Niemożliwe figury. Niemożliwe figury w prawdziwym świecie Niemożliwy przedmiot

18.06.2019

Figura niemożliwa to jeden z rodzajów złudzeń optycznych, figura, która na pierwszy rzut oka wydaje się być projekcją zwykłego trójwymiarowego przedmiotu,

przy bliższym przyjrzeniu się, które stają się widoczne sprzeczne połączenia elementów figury. Powstaje złudzenie niemożliwości istnienia takiej postaci w przestrzeni trójwymiarowej.

Niemożliwe figury

Najbardziej znane niemożliwe figury to niemożliwy trójkąt, niekończące się schody i niemożliwy trójząb.

Niemożliwy trójkąt Perrose'a

Iluzja Reutersvarda (Reutersvard, 1934)

Zauważ też, że zmiana organizacji figura-podstawa umożliwiła dostrzeżenie centralnie położonej „gwiazdy”.
_________

Niemożliwa kostka Eschera

W rzeczywistości wszystkie niemożliwe liczby mogą istnieć w prawdziwym świecie. Tak więc wszystkie obiekty narysowane na papierze są rzutami obiektów trójwymiarowych, dlatego możliwe jest stworzenie takiego trójwymiarowego obiektu, który rzutowany na płaszczyznę będzie wyglądał niemożliwie. Patrząc na taki obiekt z pewnego punktu, będzie on również wyglądał na niemożliwy, ale patrząc z dowolnego innego punktu, efekt niemożliwości zostanie utracony.

13-metrowa aluminiowa rzeźba niemożliwego trójkąta została wzniesiona w 1999 roku w mieście Perth (Australia). Tutaj niemożliwy trójkąt został przedstawiony w najbardziej ogólnej formie - w postaci trzech belek połączonych ze sobą pod kątem prostym.

Widelec diabła
Wśród wszystkich figur niemożliwych szczególne miejsce zajmuje niemożliwy trójząb („diabelski widelec”).

Jeśli zamkniesz prawą stronę trójzębu dłonią, zobaczymy bardzo realny obraz - trzy okrągłe zęby. Jeśli zamkniemy dolną część trójzębu, zobaczymy również prawdziwy obraz - dwa prostokątne zęby. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę całą figurę jako całość, okazuje się, że trzy okrągłe zęby stopniowo zamieniają się w dwa prostokątne.

W ten sposób widać, że pierwszy plan i tło tego rysunku są w konflikcie. Oznacza to, że to, co pierwotnie było na pierwszym planie, wraca, a tło (środkowy ząb) czołga się do przodu. Oprócz zmiany pierwszego planu i tła ten rysunek ma jeszcze jeden efekt - płaskie krawędzie prawej strony trójzębu stają się okrągłe po lewej stronie.

Efekt niemożliwości uzyskuje się dzięki temu, że nasz mózg analizuje kontur sylwetki i próbuje policzyć ilość zębów. Mózg porównuje liczbę zębów figury w lewej i prawej części obrazu, co powoduje poczucie niemożliwości figury. Gdyby figura miała znacznie większą liczbę zębów (na przykład 7 lub 8), ten paradoks byłby mniej wyraźny.

Niektóre książki twierdzą, że niemożliwy trójząb należy do klasy niemożliwych postaci, których nie można odtworzyć w prawdziwym świecie. Właściwie tak nie jest. WSZYSTKIE niemożliwe figury można zobaczyć w prawdziwym świecie, ale będą wyglądać na niemożliwe tylko z jednego punktu widzenia.

______________

niemożliwy słoń

Ile nóg ma słoń?

Psycholog ze Stanford, Roger Shepard, wykorzystał pomysł trójzębu do swojego obrazu niemożliwego słonia.

______________

Schody Penrose'a(niekończące się schody, niemożliwe schody)

Nieskończone schody to jedna z najbardziej znanych klasycznych niemożliwości.

Jest to konstrukcja klatki schodowej, w której w przypadku ruchu wzdłuż niej w jednym kierunku (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na rysunku do artykułu) osoba będzie się podnosić w nieskończoność, a poruszając się w przeciwnym kierunku, będzie stale schodzić.

Innymi słowy, widzimy schody prowadzące, jak się wydaje, w górę lub w dół, ale jednocześnie idący po nich człowiek nie wznosi się ani nie opada. Po ukończeniu swojej wizualnej trasy znajdzie się na początku ścieżki. Gdybyś naprawdę musiał wejść po tej drabinie, wspinałbyś się po niej bez celu nieskończoną liczbę razy. Można to nazwać niekończącą się syzyfową pracą!

Odkąd Penrose'owie opublikowali tę figurę, pojawiała się ona w druku częściej niż jakikolwiek inny niemożliwy przedmiot. „Schody bez końca” można znaleźć w książkach o grach, łamigłówkach, iluzjach, podręcznikach psychologii i nie tylko.

„Wzlot i zejście”

„Endless Stairway” został z powodzeniem wykorzystany przez artystę Mauritsa K. Eschera, tym razem w jego uroczej litografii Ascending and Descent z 1960 roku.
Na tym rysunku, który odzwierciedla wszystkie możliwości postaci Penrose'a, dość rozpoznawalne Niekończące Schody są starannie wpisane w dach klasztoru. Zakapturzeni mnisi poruszają się po schodach w sposób ciągły w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Idą ku sobie niemożliwą drogą. Nigdy nie udaje im się wejść w górę ani w dół.

W związku z tym The Endless Stair był częściej kojarzony z Escherem, który je przerysował, niż z Penrosesami, którzy je wymyślili.

Ile jest półek?

Gdzie są otwarte drzwi?

Na zewnątrz czy w środku?

Na płótnach dawnych mistrzów sporadycznie pojawiały się postacie niemożliwe, jak na przykład szubienica na obrazie Pietera Brueghela (Starszego)
„Sroka na szubienicy” (1568)

__________

Niemożliwy łuk

Jos de Mey jest flamandzkim artystą, który studiował w Królewskiej Akademii Sztuk Pięknych w Gandawie (Belgia), a następnie przez 39 lat uczył studentów projektowania wnętrz i koloru. Od 1968 roku skupił się na rysowaniu. Najbardziej znany jest ze skrupulatnego i realistycznego wykonywania niemożliwych konstrukcji.

Najsłynniejsze niemożliwe postacie w twórczości artysty Maurice'a Eschera. Rozważając takie rysunki, każdy szczegół wydaje się całkiem prawdopodobny, jednak przy próbie prześledzenia linii okazuje się, że ta linia nie jest już na przykład zewnętrznym narożnikiem ściany, ale wewnętrznym.

"Względność"

Ta litografia autorstwa holenderskiego artysty Eschera została po raz pierwszy wydrukowana w 1953 roku.

Litografia przedstawia paradoksalny świat, w którym nie obowiązują prawa rzeczywistości. Trzy rzeczywistości są zjednoczone w jednym świecie, trzy siły grawitacji są skierowane prostopadle do siebie.

Powstała struktura architektoniczna, rzeczywistości są połączone schodami. Dla ludzi żyjących w tym świecie, ale w różnych płaszczyznach rzeczywistości, ta sama drabina będzie skierowana w górę lub w dół.

"Wodospad"

Ta litografia autorstwa holenderskiego artysty Eschera została po raz pierwszy wydrukowana w październiku 1961 roku.

Ta praca Eschera przedstawia paradoks - spadająca woda z wodospadu kontroluje koło, które kieruje wodę na szczyt wodospadu. Wodospad ma strukturę „niemożliwego” trójkąta Penrose'a: litografia powstała na podstawie artykułu w British Journal of Psychology.

Projekt składa się z trzech poprzeczek ułożonych jedna na drugiej pod kątem prostym. Wodospad na litografii działa jak perpetuum mobile. Wydaje się również, że obie wieże są takie same; właściwie ten po prawej, jedno piętro poniżej lewej wieży.

Cóż, bardziej nowoczesna praca: o)
Niekończąca się fotografia

Niesamowita konstrukcja

Szachownica

zdjęcia do góry nogami

Co widzisz: ogromną wronę ze zdobyczą czy rybaka w łodzi, rybę i wyspę z drzewami?

Rasputina i Stalina

Młodość i starość

_________________

Szlachetna i królowa

___________________

Zły i zabawny

Podstawowa szkoła ogólnokształcąca GU Osmeryzhskaya

Niemożliwe figury

Kierunek: fizyczny i matematyczny

Wykonawca pracy : Dippel Siergiej, uczeń 6. klasy szkoły osmieryskiej, obwód pawłodarski, rejon kachirski, wieś Osmieryżsk

Kierownik pracy: Dovzhenko Natalia Vladimirovna nauczycielka matematyki w szkole Osmeryzhskaya

rok 2013

Streszczenie /streszczenie/…………………………………………………………………2

Wprowadzenie…………………………………………………………………………………………3

1. Trochę historii ………………………………………………..………….5

2. Rodzaje figur niemożliwych…………….……………………………………….9

3. Oscar Ruthersvärd – ojciec postaci niemożliwej……….…………………..16

4. Figury niemożliwe są możliwe!………………………………………...18 5. Zastosowanie figur niemożliwych……………………………………..…… 19

Podsumowanie………………………………….21

Referencje………………………………………………………………22

Podsumowanie /streszczenie/

Etapy projektu:

Scena 1.

Sformułowanie problemu, ustalenie celów, zadań pracy informacyjnej i badawczej;

Prowadzenie rozmów o liczbach niemożliwych;

Stwierdzenie problematycznej kwestii, motywacja do realizacji projektu;

Prowadzenie wstępnych prac na temat „Liczby niemożliwe”;

Dyskusja i opracowanie etapowego planu pracy, stworzenie banku pomysłów i sugestii. Wybór źródeł informacji.

Etap 2. Działania związane z realizacją projektu.

Rozmowy informacyjne i edukacyjne;

Prace związane z wyszukiwaniem informacji;

Prace eksperymentalne;

Przegląd literatury

Osiągnięcia celów

Wstęp

Od jakiegoś czasu interesuję się takimi figurami, które na pierwszy rzut oka wydają się zwyczajne, jednak przy bliższym przyjrzeniu się widać, że coś jest w nich nie tak. Głównym zainteresowaniem były dla mnie tzw. figury niemożliwe, patrząc na które wydaje się, że nie mogą istnieć w realnym świecie. Chciałem dowiedzieć się o nich więcej.

Pomimo faktu, że figury niemożliwe znane były niemal od czasów sztuki naskalnej, ich systematyczne badanie rozpoczęło się dopiero w połowie XX wieku, czyli praktycznie na naszych oczach, a wcześniej matematycy odrzucali je jako niefortunne nieporozumienie.

W 1934 roku Oscar Reutersvard przypadkowo stworzył swoją pierwszą niemożliwą figurę - trójkąt złożony z dziewięciu sześcianów, ale zamiast coś naprawić, zaczął tworzyć kolejne niemożliwe figury jedna po drugiej.

Nawet tak proste formy wolumetryczne, jak sześcian, piramida, równoległościan, można przedstawić jako kombinację kilku figur znajdujących się w różnych odległościach od oka obserwatora. W takim przypadku zawsze powinna istnieć linia, wzdłuż której obraz poszczególnych części łączy się w pełny obraz.

„Niemożliwa figura to trójwymiarowy obiekt narysowany na papierze, który nie może istnieć w rzeczywistości, ale który można jednak postrzegać jako dwuwymiarowy obraz”. To jeden z typów iluzje optyczne, figura, która na pierwszy rzut oka wydaje się być projekcją zwykłego trójwymiarowego obiektu, po bliższym przyjrzeniu się, uwidaczniają się sprzeczne połączenia elementów figury. Powstaje złudzenie niemożliwości istnienia takiej postaci w przestrzeni trójwymiarowej.

Pomimo znacznej liczby publikacji dotyczących figur niemożliwych, ich jasna definicja nie została zasadniczo sformułowana. Można przeczytać, że wszelkie złudzenia optyczne związane ze specyfiką naszego postrzegania świata należą do figur niemożliwych. Z drugiej strony osoba może pokazać ci postać zielonego człowieka lub z dziesięcioma ramionami i pięcioma głowami i powiedzieć, że to wszystko są figury niemożliwe. Czyniąc to, będzie miał rację. W końcu nie ma zielonych ludzi z dziesięcioma nogami. Dlatego przez figury niemożliwe będziemy rozumieć płaskie obrazy postaci, które są postrzegane przez osobę jednoznacznie, ponieważ są rysowane bez postrzegania przez człowieka żadnych dodatkowych, w rzeczywistości nie rysowanych obrazów lub zniekształceń i których nie można przedstawić w formie trójwymiarowej. Niemożność przedstawienia w formie trójwymiarowej jest oczywiście rozumiana tylko bezpośrednio, bez uwzględnienia możliwości użycia specjalnych środków do produkcji niemożliwych figur, ponieważ zawsze niemożliwą figurę można wykonać za pomocą genialnego systemu szczelin , dodatkowe elementy podpierające i wygięcie elementów figury, a następnie sfotografowanie jej pod kątem prostym

Stało się przede mną pytanie: „Czy w prawdziwym świecie istnieją postacie niemożliwe?”

Cele projektu:

1. Dowiedz się, jak powstają nierealistyczne figury.

2. Znajdź obszary zastosowania figur niemożliwych.

Cele projektu:

1. Przestudiuj literaturę na temat „figury niemożliwe”.

2. Dokonaj klasyfikacji figur niemożliwych.

3. Rozważ sposoby konstruowania figur niemożliwych.

4. Stwórz niemożliwą figurę.

Tematyka mojej pracy jest aktualna, ponieważ zrozumienie paradoksów jest jednym z przejawów tego rodzaju kreatywności, jaką posiadają najlepsi matematycy, naukowcy i artyści. Wiele prac z nierealistycznymi przedmiotami można zakwalifikować jako „intelektualne gry matematyczne”. Taki świat można modelować tylko za pomocą wzorów matematycznych, człowiek po prostu nie jest w stanie tego sobie wyobrazić. A dla rozwoju wyobraźni przestrzennej przydatne okazują się figury niemożliwe. Osoba niestrudzenie mentalnie tworzy wokół siebie to, co będzie dla niego proste i zrozumiałe. Nie wyobraża sobie nawet, że niektóre z otaczających go przedmiotów mogą być „niemożliwe”. W rzeczywistości świat jest jeden, ale można na niego patrzeć z różnych punktów widzenia.

Niemożliwe figury

Trochę historii

Na starożytnych rycinach, obrazach i ikonach często spotykamy figury niemożliwe - w niektórych przypadkach mamy do czynienia z oczywistymi błędami w przekazywaniu perspektywy, w innych - z celowymi zniekształceniami wynikającymi z zamierzeń artystycznych.

Jesteśmy przyzwyczajeni do wiary w fotografie (aw mniejszym stopniu - w rysunki i rysunki), naiwnie wierząc, że zawsze odpowiadają one jakiejś rzeczywistości (rzeczywistej lub fikcyjnej). Przykładem pierwszego jest równoległościan, drugim elf lub inne bajeczne zwierzę. Brak elfów w obserwowanym przez nas regionie czasoprzestrzeni nie oznacza, że nie mogą one istnieć. Nawet jak mogą (co łatwo zweryfikować za pomocą gipsu, plasteliny lub papier-mache). Ale jak narysować coś, czego w ogóle nie można?! Czego w ogóle nie da się zbudować?

Istnieje ogromna klasa tak zwanych „figur niemożliwych”, które są błędnie lub celowo rysowane z błędami perspektywy, co daje zabawne efekty wizualne, które pomagają psychologom zrozumieć, jak działa (pod)świadomy umysł.

W średniowiecznym malarstwie japońskim i perskim przedmioty niemożliwe są integralną częścią orientalnego stylu artystycznego, który daje jedynie ogólny zarys obrazu, którego szczegóły „musi” widz sam przemyśleć, zgodnie z ich preferencje. Tutaj mamy szkołę. Naszą uwagę zwraca struktura architektoniczna w tle, której geometryczna niekonsekwencja jest oczywista. Można ją interpretować zarówno jako wewnętrzną ścianę pomieszczenia, jak i zewnętrzną ścianę budynku, ale obie te interpretacje są błędne, gdyż mamy do czynienia z płaszczyzną będącą jednocześnie ścianą zewnętrzną i zewnętrzną, czyli zdjęcie przedstawia typowy obiekt niemożliwy.

Obrazy ze zniekształconą perspektywą spotyka się już na początku pierwszego tysiąclecia. Miniatura z księgi Henryka II, stworzona przed 1025 r. i przechowywana w Bawarskiej Bibliotece Państwowej w Monachium, przedstawia Madonnę z Dzieciątkiem. Na zdjęciu sklepienie złożone z trzech kolumn, przy czym środkowa kolumna, zgodnie z prawami perspektywy, powinna znajdować się przed Madonną, ale za nią, co nadaje obrazowi efekt nierzeczywistości.

W artykule „Uporządkowanie niemożliwego” ( impossible.info/english/articles/kulpa/putting-order.html) podano następującą definicję figur niemożliwych: „ Figura niemożliwa to płaski rysunek, który sprawia wrażenie trójwymiarowego obiektu w taki sposób, że przedmiot sugerowany przez naszą percepcję przestrzenną nie może istnieć, więc próba jego stworzenia prowadzi do (geometrycznych) sprzeczności wyraźnie widocznych dla obserwatora.". W przybliżeniu to samo napisali Penroses w swoim pamiętnym artykule: " Każda oddzielna część figury wygląda jak normalny trójwymiarowy obiekt, ale z powodu nieprawidłowego połączenia części figury postrzeganie figury całkowicie prowadzi do iluzorycznego efektu niemożliwości", ale żaden z nich nie odpowiada na pytanie: dlaczego to wszystko się dzieje?

Tymczasem wszystko jest proste. Nasza percepcja jest ułożona w taki sposób, że podczas przetwarzania figury dwuwymiarowej, która ma oznaki perspektywy (czyli przestrzeni objętościowej), mózg postrzega ją jako trójwymiarową, wybierając najprostszy sposób konwersji 2D na 3D, kierując się doświadczeniem życiowym , a jak pokazano powyżej, prawdziwe prototypy „niemożliwych” figur są raczej wyrafinowanymi konstrukcjami, z którymi nasza podświadomość jest nieznana, ale nawet po ich poznaniu mózg nadal wybiera najprostszą (z jego punktu widzenia) opcję transformacji i dopiero po długim treningu podświadomość w końcu „wchodzi w sytuację” i pozorna nienormalność „figur niemożliwych” znika.

Zacznijmy od łatwego. Rozważmy obraz (tak, tak, obraz, a nie fotorealistyczny rysunek wygenerowany komputerowo) autorstwa flamandzkiego artysty Josa de Meya. Pytanie brzmi, jakiej rzeczywistości fizycznej może odpowiadać?

Na pierwszy rzut oka konstrukcja architektoniczna wydaje się niemożliwa, ale po chwili wahania świadomość znajduje ratunek: mur znajduje się w płaszczyźnie prostopadłej do obserwatora i opiera się na trzech kolumnach, których wierzchołki wydają się znajdować w równej odległości z muru, ale tak naprawdę pusta przestrzeń jest po prostu „ukryta” za sprawą „udanego” rzutu. Gdy świadomość „rozszyfruje” obraz, jest on (i wszystkie podobne do niego obrazy) postrzegany jako zupełnie normalny, a geometryczne sprzeczności znikają równie niepostrzeżenie, jak się pojawiają.

Niemożliwy obraz autorstwa Jos de Mey

Rozważ słynny obraz Maurice'a Eschera / Mauritsa Eschera „Wodospad” / „Wodospad” i jego uproszczony model komputerowy, wykonany w fotorealistycznym stylu. Na pierwszy rzut oka nie ma paradoksów, mamy przed sobą zwykły obrazek przedstawiający... rysunek perpetuum mobile!!! Ale przecież, jak wiadomo ze szkolnego kursu fizyki, perpetum mobile jest niemożliwe! Jak Escherowi udało się tak szczegółowo przedstawić to, czego w ogóle nie może być w naturze?!

Perpetuum mobile na rycinie „Wodospad” autorstwa Eschera.

Model komputerowy perpetuum mobile Eschera.

Przy próbie zbudowania silnika według rysunku (lub po dokładnej analizie tego ostatniego) od razu pojawia się „oszustwo” – w przestrzeni trójwymiarowej takie projekty są geometrycznie sprzeczne i mogą istnieć tylko na papierze, czyli , na płaszczyźnie, a złudzenie „objętości” powstaje tylko dzięki znakom perspektywy (w tym przypadku celowo zniekształconej) i na lekcji rysunku dla takiego arcydzieła bez problemu zdobędziemy dwa punkty, wytykając błędy w odwzorowaniu .

Rodzaje figur niemożliwych.

„Figury niemożliwe” dzielą się na 4 grupy. Więc pierwszy:

Niesamowity trójkąt - tribar.

Ta figura jest prawdopodobnie pierwszym niemożliwym obiektem opublikowanym drukiem. Pojawiła się w 1958 roku. Jego autorzy, ojciec i syn Lionell oraz Roger Penrose, odpowiednio genetyk i matematyk, zdefiniowali obiekt jako „trójwymiarową prostokątną strukturę”. Otrzymała również nazwę „tribar”. Na pierwszy rzut oka tribar wydaje się być tylko obrazem trójkąta równobocznego. Ale boki zbiegające się u góry rysunku wydają się być prostopadłe. Jednocześnie lewa i prawa ściana na dole również wydają się być prostopadłe. Jeśli spojrzysz na każdy szczegół z osobna, wydaje się to realne, ale ogólnie ta postać nie może istnieć. Nie jest zdeformowany, ale podczas rysowania prawidłowe elementy zostały źle połączone.

Oto kilka przykładów niemożliwych figur opartych na plemieniu.

Potrójnie zdeformowany trójkąt Tribar składający się z 12 sześcianów

Skrzydlaty plemienny potrójny domino

Poznawanie postaci niemożliwych (zwłaszcza w wykonaniu Eschera) jest z pewnością oszałamiające, ale fakt, że którąkolwiek z figur niemożliwych można zbudować w prawdziwym trójwymiarowym świecie, jest oszałamiający.

Jak wiecie, każdy dwuwymiarowy obraz jest rzutem trójwymiarowej figury na płaszczyznę (arkusz papieru). Istnieje wiele metod projekcji, ale w ramach każdej z nich odwzorowanie jest unikalne, to znaczy istnieje ścisła zgodność między trójwymiarową figurą a jej dwuwymiarowym obrazem. Jednak aksonometryczne, izometryczne i inne popularne metody projekcji są jednokierunkowymi transformacjami przeprowadzanymi z utratą informacji, a zatem transformację odwrotną można przeprowadzić na nieskończoną liczbę sposobów, to znaczy nieskończoną liczbę figur trójwymiarowych odpowiada dwuwymiarowemu obraz dwuwymiarowy, a każdy matematyk może łatwo udowodnić, że taka transformacja jest możliwa dla dowolnego obrazu dwuwymiarowego. Oznacza to, że w rzeczywistości nie ma liczb niemożliwych!

Wróćmy do trójkąta Penrose'a i spróbujmy zbudować trójwymiarową figurę, której rzut na płaszczyznę dwuwymiarową wyglądałby jak wyznaczony obraz. Oczywiście tego problemu nie można rozwiązać bezpośrednio, ale jeśli dobrze się zastanowisz i wybierzesz odpowiedni kąt, to ... jedna z możliwych opcji jest pokazana na rysunku.

Możliwy niemożliwy trójkąt Penrose'a.

A oto kolejny pokaz Mathieu Hemakersa. Istnieje wiele możliwych opcji odwrotnego mapowania. Tak wiele. Nieskończenie wiele!

Cały ten sam trójkąt Penrose'a pod różnymi kątami.

Nawiasem mówiąc, trójkąt Penrose'a jest uwieczniony w postaci posągu w Perth (Australia). Stworzony przez artystę Briana McKaya i architekta Ahmada Abasa, został wzniesiony w Claisebrook Park w 1999 roku i teraz każdy przechodzący obok może zobaczyć kolejną „niemożliwą” figurę.

Trójkąt Perose'a w Australii

Warto jednak zmienić kąt widzenia, bo trójkąt z „niemożliwego” zamienia się w realną i nieatrakcyjną estetycznie konstrukcję, która z trójkątami nie ma nic wspólnego.

Tak naprawdę wygląda Trójkąt Penrose'a.

Niekończące się schody

Figura ta nazywana jest najczęściej „Schodami bez końca”, „Schodami wiecznymi” lub „Schodami Penrose’a” – od nazwiska jej twórcy. Nazywa się to również „ścieżką ciągłego wstępowania i opadania”.

Ta liczba została po raz pierwszy opublikowana w 1958 roku. Przed nami pojawiają się schody prowadzące, jak się wydaje, w górę lub w dół, ale jednocześnie idący po nich człowiek nie wznosi się ani nie opada. Po ukończeniu swojej wizualnej trasy znajdzie się na początku ścieżki.

„Endless Staircase” z powodzeniem wykorzystał artysta Maurits K. Escher, tym razem w swojej litografii „Ascent and Descend”, powstałej w 1960 roku.

Schody z czterema lub siedmioma krokami. Stworzenie tej figury z dużą liczbą kroków autora mogło być inspirowane stosem zwykłych podkładów kolejowych. Jeśli zamierzasz wspiąć się po tej drabinie, staniesz przed wyborem: czy wejść na cztery, czy na siedem stopni.

Twórcy tej klatki schodowej wykorzystali równoległe linie przy projektowaniu końcowych części bloków, które są w tej samej odległości; wydaje się, że niektóre bloki są skręcone, aby pasowały do iluzji.

Kosmiczny widelec.

Kolejna grupa figurek pod ogólną nazwą "Space Fork". Z tą postacią wkraczamy w sam rdzeń i istotę niemożliwego. Być może jest to najliczniejsza klasa obiektów niemożliwych.

Z praktycznego punktu widzenia ten dziwny trójząb lub mechanizm w postaci wspornika jest absolutnie nie do zastosowania. Niektórzy nazywają to po prostu „niefortunnym błędem”. Jeden z przedstawicieli przemysłu lotniczego zaproponował wykorzystanie jego właściwości w konstrukcji międzywymiarowego kamertonu kosmicznego.

Niemożliwe pudełka

Kolejny niemożliwy obiekt pojawił się w 1966 roku w Chicago w wyniku oryginalnych eksperymentów fotografa dr Charlesa F. Cochrana. Wielu miłośników figur niemożliwych eksperymentowało z Crazy Box. Początkowo autor nazwał to „Free Box” i stwierdził, że „jest przeznaczony do transportu niemożliwych przedmiotów w dużych ilościach”.

Crazy Box to sześcienna rama wywrócona na lewą stronę. Bezpośrednim poprzednikiem Crazy Box był Impossible Box firmy Escher, a jego poprzednikiem był z kolei Necker Cube.

Nie jest to obiekt niemożliwy, ale figura, w której parametr głębi może być postrzegany niejednoznacznie.

Kiedy zajrzymy do sześcianu Neckera, zauważymy, że ściana z punktem jest na pierwszym planie, a następnie w tle, przeskakuje z jednej pozycji do drugiej.

Oskar Rutersvärd - ojciec postaci niemożliwej.

„Ojcem” figur niemożliwych jest szwedzki artysta Oscar Ruthersvärd. Szwedzki artysta Oskar Rutersvärd, specjalista od tworzenia obrazów figur niemożliwych, twierdził, że jest słabo zorientowany w matematyce, niemniej jednak podniósł swoją sztukę do rangi nauki, tworząc całą teorię tworzenia figur niemożliwych według określonej liczby wzorów .

Para niemożliwych postaci autorstwa Oscara Reutersvärda.

Podzielił postacie na dwie główne grupy. Jedną z nich nazwał „prawdziwie niemożliwymi postaciami”. Są to dwuwymiarowe obrazy trójwymiarowych ciał, które można pokolorować i cieniować na papierze, ale nie mają one monolitycznej i stabilnej głębi.

Drugi rodzaj to wątpliwe liczby niemożliwe. Figury te nie są pojedynczymi bryłami. Są kombinacją dwóch lub więcej kształtów. Nie można ich ani malować, ani nakładać na nie światła i cienie.

Prawdziwie niemożliwa figura składa się z ustalonej liczby możliwych elementów, podczas gdy wątpliwa „traci” pewną liczbę elementów, jeśli śledzi się je wzrokiem.

Jedna wersja tych niemożliwych figur jest bardzo łatwa do wykonania, a wielu z tych, którzy automatycznie rysują figury geometryczne podczas rozmowy przez telefon, zrobiło to już więcej niż raz. Konieczne jest narysowanie pięciu, sześciu lub siedmiu równoległych linii, zakończenie tych linii na różnych końcach na różne sposoby - i niemożliwa figura jest gotowa. Jeśli na przykład zostanie narysowanych pięć równoległych linii, można je zakończyć jako dwie belki po jednej stronie i trzy po drugiej.

Na rysunku widzimy trzy warianty wątpliwych figur niemożliwych. Po lewej belka trzy-siedmio-belkowa zbudowana z siedmiu linii, w której trzy belki zamieniają się w siedem. Figura pośrodku, zbudowana z trzech linii, w których jedna belka przechodzi w dwie okrągłe belki. Figura po prawej, zbudowana z czterech linii, w których dwie okrągłe belki przechodzą w dwie belki

Rutersvärd namalował około 2500 postaci w ciągu swojego życia. Książki Rutersvärda zostały opublikowane w wielu językach, w tym rosyjskim.

Niemożliwe figury są możliwe!

Wiele osób uważa, że figury niemożliwe są naprawdę niemożliwe i nie da się ich stworzyć w prawdziwym świecie. Ale musimy pamiętać, że każdy rysunek na kartce papieru jest rzutem trójwymiarowej figury. Dlatego każda figura narysowana na kartce papieru musi istnieć w przestrzeni trójwymiarowej. Przedmioty niemożliwe na obrazach są projekcjami przedmiotów trójwymiarowych, co oznacza, że przedmioty mogą być realizowane w formie kompozycji rzeźbiarskich. Istnieje wiele sposobów ich tworzenia. Jednym z nich jest użycie zakrzywionych linii jako boków niemożliwego trójkąta. Stworzona rzeźba wygląda na niemożliwą tylko z jednego punktu. Od tego momentu zakrzywione boki wyglądają prosto, a cel zostanie osiągnięty – powstanie prawdziwy „niemożliwy” obiekt.

Rosyjski artysta Anatolij Konenko, nasz współczesny, podzielił niemożliwe figury na 2 klasy: niektóre można modelować w rzeczywistości, a inne nie. Modele figur niemożliwych nazywane są modelami Amesa.

Zrobiłam swoją niemożliwą figurę. Wziąłem czterdzieści dwie kostki i skleiłem je ze sobą, w wyniku czego powstał sześcian, w którym brakuje części krawędzi. Zaznaczam, że aby stworzyć kompletną iluzję potrzebny jest odpowiedni kąt widzenia i odpowiednie oświetlenie.

Tworzę swoje figury niemożliwe, korzystając z rad O. Rutersvärda. Narysowałem siedem równoległych linii na papierze. Połączyłem je od dołu linią przerywaną, a od góry nadałem im kształt równoległościanów. Spójrz na to najpierw z góry, a potem z dołu. Takich figur jest nieskończenie wiele.

Zastosowanie figur niemożliwych

Niemożliwe figury znajdują czasem nieoczekiwane zastosowania. O zastosowaniu rysunków im-art w psychoterapii Oskar Rutersvärd opowiada w swojej książce „Omojliga figurer”. Pisze, że obrazy ze swoimi paradoksami wywołują zdziwienie, wyostrzają uwagę i chęć rozszyfrowania. Psycholog Roger Shepard wykorzystał ideę trójzębu do swojego obrazu niemożliwego słonia.

W Szwecji stosuje się je w praktyce dentystycznej: patrząc na zdjęcia w poczekalni, pacjent odwraca uwagę od przykrych myśli przed gabinetem dentystycznym.

Figury niemożliwe zainspirowały artystów do stworzenia zupełnie nowego kierunku w malarstwie, zwanego imposybilizmem. Holenderski artysta Escher nazywany jest imposybilistą. Jego pióro należy do słynnych litografii „Wodospad”, „Wzniesienie i zejście” oraz „Belweder”. Artysta wykorzystał odkryty przez Rooteswarda efekt „niekończących się schodów”.

Za granicą, na ulicach miast, możemy zobaczyć architektoniczne wcielenia figur niemożliwych.

Najbardziej znanym zastosowaniem figur niemożliwych w kulturze popularnej jest logo Renault.

Matematycy twierdzą, że mogą istnieć pałace, w których można zejść schodami prowadzącymi na górę. Aby to zrobić, wystarczy zbudować taką strukturę nie w przestrzeni trójwymiarowej, ale powiedzmy w przestrzeni czterowymiarowej. A w wirtualnym świecie, który otwiera przed nami nowoczesna technologia komputerowa, nie da się czegoś takiego zrobić. W ten sposób dziś realizują się idee człowieka, który na początku wieku wierzył w istnienie światów niemożliwych.

Wniosek.

Figury niemożliwe sprawiają, że nasz umysł najpierw widzi to, czego nie powinno być, a potem szuka odpowiedzi – co jest zrobione źle, w czym tkwi punkt kulminacyjny paradoksu. A czasami nie jest tak łatwo znaleźć odpowiedź - jest ukryta w optycznym, psychologicznym, logicznym postrzeganiu rysunków.

Rozwój nauki, potrzeba nowego myślenia, poszukiwanie piękna – wszystkie te wymagania współczesnego życia zmuszają nas do szukania nowych metod, które mogą zmienić przestrzenne myślenie i wyobraźnię.

Po przestudiowaniu literatury przedmiotu byłem w stanie odpowiedzieć na pytanie „Czy w realnym świecie istnieją postacie niemożliwe?” Zrozumiałam, że niemożliwe jest możliwe, a nierealne figury można zrobić własnymi rękami. Stworzyłem model Impossible Cube Amesa. Po przyjrzeniu się sposobom budowania niemożliwych figur byłem w stanie narysować własne niemożliwe figury. Udało mi się to pokazać

Wniosek: Wszystkie niemożliwe figury mogą istnieć w prawdziwym świecie.

Obszarów, w których figury niemożliwe zostaną wykorzystane, jest znacznie więcej.

Można więc powiedzieć, że świat figur niemożliwych jest niezwykle ciekawy i różnorodny. Badanie figur niemożliwych jest dość ważne z punktu widzenia geometrii. Pracę można wykorzystać na lekcjach matematyki do rozwijania myślenia przestrzennego uczniów. Dla ludzi kreatywnych, skłonnych do inwencji, figury niemożliwe są swego rodzaju dźwignią do stworzenia czegoś nowego, niezwykłego.

Bibliografia

Rapsodia geometryczna Levitina Karla. - M.: Wiedza, 1984, -176 s.

Penrose L., Penrose R. Przedmioty niemożliwe, Kvant, nr 5,1971, s.26

Reutersvärd O. Figury niemożliwe. – M.: Strojizdat, 1990, 206 s.

Tkaczewa M.V. Obracające się kostki. - M.: Drop, 2002. - 168 s.

Zasoby internetowe:

http://wikipedia.tomsk.ru

http://www.konenko.net/imp.htm

http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/

Niemożliwe jest co
co nie może istnieć...
albo zdarzy...

Cel lekcji: rozwój trójwymiarowej wizji uczniów; umiejętność wyjaśnienia niemożliwości istnienia określonej figury z punktu widzenia geometrii; rozwijanie zainteresowania tematem.

Sprzęt: gazeta oparta na materiałach z serwisu "Impossible World" (Internet), narzędzia do konstruowania figur, figury geometryczne, ilustracje figur niemożliwych.

Podczas zajęć:

Wstęp:
W całej historii ludzie napotykali różnego rodzaju iluzje optyczne. Wystarczy przypomnieć miraż na pustyni, iluzje stworzone przez światło i cień, a także względny ruch. Powszechnie znany jest następujący przykład: księżyc wyłaniający się zza horyzontu wydaje się być znacznie większy niż wysoko na niebie. To wszystko to tylko niektóre z ciekawych zjawisk zachodzących w przyrodzie. Kiedy po raz pierwszy zauważono te zjawiska, które zwodzą wzrok i umysł, zaczęły pobudzać wyobraźnię ludzi.

Od czasów starożytnych złudzenia optyczne były wykorzystywane do wzmacniania oddziaływania dzieł sztuki lub poprawiania wyglądu kreacji architektonicznych. Starożytni Grecy używali złudzeń optycznych, aby udoskonalić wygląd swoich wielkich świątyń. W średniowieczu w malarstwie stosowano czasem przesuniętą perspektywę. Później w grafice wykorzystano wiele innych iluzji. Wśród nich wyjątkowy i stosunkowo nowy rodzaj złudzenia optycznego znany jest jako „obiekty niemożliwe”.

Jedną z ważnych umiejętności osób pracujących w branży technicznej jest umiejętność postrzegania obiektów trójwymiarowych na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Impossible Objects opiera się na sztuczkach z perspektywą i głębią w przestrzeni 2D. Niemożliwe w rzeczywistej przestrzeni trójwymiarowej, wpływają na nasze widzenie z powodu przesuniętej perspektywy, manipulacji głębokością i płaszczyzną, zwodniczych wskazówek optycznych, niespójności planów, gry światła i cienia, niejasnych połączeń, z powodu nieprawidłowych i sprzecznych kierunków i połączeń, zmienionego kodu punkty i inne „sztuczki”, do których ucieka się grafik.

Świadome wykorzystywanie obiektów niemożliwych w projektowaniu sięga czasów starożytnych, przed nadejściem klasycznej perspektywy. Artyści próbowali znaleźć nowe rozwiązania. Przykładem jest XV-wieczne przedstawienie Zwiastowania na fresku katedry Najświętszej Marii Panny w holenderskiej Bredzie. Obraz przedstawia archanioła Gabriela przynoszącego Maryi wieści o jej przyszłym Synu. Fresk obramowany jest dwoma łukami wspartymi kolejno na trzech kolumnach. Należy jednak zwrócić uwagę na środkową kolumnę. W przeciwieństwie do innych znika w tle za piecem. Z praktycznego punktu widzenia artysta wykorzystał tę „niemożliwość” jako specjalną technikę unikania podziału sceny na dwie połowy.

Przykład takiego łuku pokazano na ryc. 1

„Figury niemożliwe” dzielą się na 4 grupy. Spróbujmy teraz przeanalizować główne postacie z każdej grupy. Więc pierwszy:

uczeń 1:

Niesamowity trójkąt - tribar.

Określ, co jest geometrycznie niemożliwe.

(Na pierwszy rzut oka tribar wydaje się być tylko obrazem trójkąta równobocznego. Ale boki zbiegające się u góry rysunku wydają się być prostopadłe. Jednocześnie lewa i prawa ściana na dole również wydają się być prostopadłe. Jeśli spojrzysz na każdy szczegół z osobna, wydaje się to realne, ale ogólnie ta postać nie może istnieć. Nie jest zdeformowany, ale prawidłowe elementy zostały źle połączone podczas rysowania.)

Oto kilka przykładów niemożliwych figur opartych na plemieniu. Spróbuj wyjaśnić ich niemożliwość.

Potrójnie zdeformowany tribar

Trójkąt 12 sześcianów

Skrzydlaty plemion

potrójne domino

Uczeń 2:

Niekończące się schody

„Endless Staircase” z powodzeniem wykorzystał artysta Maurits K. Escher, tym razem w swojej litografii „Ascent and Descend”, powstałej w 1960 roku.

Schody z czterema lub siedmioma krokami.

Stworzenie tej figury z dużą liczbą kroków autora mogło być inspirowane stosem zwykłych podkładów kolejowych. Jeśli zamierzasz wspiąć się po tej drabinie, staniesz przed wyborem: czy wejść na cztery, czy na siedem stopni.

Spróbuj wyjaśnić, jakimi właściwościami posługiwali się twórcy tej klatki schodowej.

(Twórcy tej klatki schodowej wykorzystali równoległe linie przy projektowaniu końcowych części bloków, które są w tej samej odległości; niektóre klocki wydają się skręcać, aby dopasować się do iluzji).

Proponuje się spojrzeć na inną postać. Ściana schodkowa.

uczeń 3:

Kolejna grupa figurek pod ogólną nazwą "Space Fork". Z tą postacią wkraczamy w sam rdzeń i istotę niemożliwego. Być może jest to najliczniejsza klasa obiektów niemożliwych.

Ten notorycznie niemożliwy obiekt z trzema (lub dwoma?) zębami stał się popularny wśród inżynierów i entuzjastów puzzli w 1964 roku. Pierwsza publikacja poświęcona niezwykłej postaci ukazała się w grudniu 1964 roku. Autor nazwał to „Wspornik składający się z trzech elementów”. Dostrzeganie i rozwiązywanie (jeśli to możliwe) niezgodności w tym nowym typie niejednoznacznych figur wymaga prawdziwej zmiany fiksacji wzrokowej. Z praktycznego punktu widzenia ten dziwny trójząb lub mechanizm w postaci wspornika jest absolutnie nie do zastosowania. Niektórzy nazywają to po prostu „niefortunnym błędem”. Jeden z przedstawicieli przemysłu lotniczego zaproponował wykorzystanie jego właściwości w konstrukcji międzywymiarowego kamertonu kosmicznego.

Wieża z czterema bliźniaczymi kolumnami.

uczeń 4:

Crazy Box to sześcienna rama wywrócona na lewą stronę. Bezpośrednim poprzednikiem Crazy Box był Impossible Box firmy Escher, a jego poprzednikiem był z kolei Necker Cube.

Nie jest to obiekt niemożliwy, ale figura, w której parametr głębi może być postrzegany niejednoznacznie.

Kostka Neckera została po raz pierwszy opisana w 1832 roku przez szwajcarskiego krystalografa Lewisa A. Neckera, który zauważył, że kryształy czasami wizualnie zmieniają kształt, gdy się na nie patrzy. Kiedy zajrzymy do sześcianu Neckera, zauważymy, że ściana z punktem znajduje się na pierwszym planie, a następnie w tle przeskakuje z jednej pozycji do drugiej.

Jeszcze kilka niemożliwych postaci.

Nauczyciel:

Teraz spróbuj samodzielnie stworzyć jakąś niemożliwą figurę.

Lekcja kończy się próbą samodzielnego narysowania figury niemożliwej.

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że niemożliwe figury mogą istnieć tylko na płaszczyźnie. W rzeczywistości niesamowite postacie można ucieleśnić w przestrzeni trójwymiarowej, ale dla „tego samego efektu” trzeba spojrzeć na nie z określonego punktu.

Zniekształcona perspektywa jest częstym zjawiskiem w malarstwie starożytnym. Gdzieś wynikało to z niemożności zbudowania obrazu przez artystów, gdzieś - oznaką obojętności na realizm, który preferowano od symboliki. Świat materialny został częściowo zrehabilitowany w renesansie. Mistrzowie renesansu zaczęli badać perspektywę i odkrywać gry z przestrzenią.

Jeden z obrazów niemożliwej postaci pochodzi z XVI wieku - na obrazie Pietera Brueghela Starszego „Czterdzieści na szubienicy” ta sama szubienica wygląda podejrzanie.

Niemożliwe postacie XX wieku zyskały wielką sławę. Szwedzki artysta Oskar Rutesvard narysował trójkąt złożony z sześcianów w 1934 roku „Opus 1”, a kilka lat później – „Opus 2B”, w którym zmniejszyła się liczba sześcianów. Sam artysta zauważa, że za najcenniejsze w opracowywaniu postaci, którego podjął się jeszcze w latach szkolnych, należy uznać nie tworzenie samych rysunków, ale umiejętność zrozumienia, że to, co jest rysowane, jest paradoksalne i sprzeczne z prawa geometrii euklidesowej.

Moja pierwsza figura niemożliwa pojawiła się przypadkiem, kiedy w 1934 roku na ostatnich zajęciach w gimnazjum „drapałem” w podręczniku do gramatyki łacińskiej, rysując w nim figury geometryczne.
Oskara Ruteswarda „Rysunki niemożliwe”

W latach 50. XX wieku brytyjski matematyk Roger Penrose opublikował artykuł poświęcony osobliwościom percepcji form przestrzennych przedstawionych na płaszczyźnie. Artykuł ukazał się w British Journal of Psychology, który wiele mówi o naturze figur niemożliwych. Najważniejsze w nich nie jest nawet paradoksalna geometria, ale to, jak nasz umysł postrzega takie zjawiska. Z reguły zrozumienie, co dokładnie jest „nie tak” z figurą, zajmuje kilka sekund.

Dzięki Rogerowi Penrose'owi na figury te spojrzano z punktu widzenia nauki, jako na obiekty o szczególnych cechach topologicznych. Australijska rzeźba, o której była mowa powyżej, jest po prostu niemożliwym trójkątem Penrose'a, w którym wszystkie elementy są prawdziwe, ale obraz nie składa się na integralność, jaka może istnieć w trójwymiarowym świecie. Trójkąt Penrose'a wprowadza w błąd z fałszywą perspektywą.

Tajemnicze postacie stały się źródłem inspiracji zarówno dla fizyków, jak i matematyków oraz artystów. Zainspirowany artykułem Penrose'a grafik Maurits Escher stworzył kilka litografii, które uczyniły go sławnym jako iluzjonista, a następnie kontynuował eksperymenty z przestrzennymi zniekształceniami na płaszczyźnie.

Niemożliwy widelec

Niemożliwy trójząb, bliwet, a nawet, jak to się nazywa, „diabelski widelec”, to figura z trzema okrągłymi zębami na jednym końcu i prostokątnymi na drugim. Okazuje się, że obiekt jest całkiem normalny w prawej i lewej części, ale w kompleksie okazuje się jednolitym szaleństwem.

Efekt ten uzyskano dzięki temu, że trudno jednoznacznie stwierdzić, gdzie jest pierwszy plan, a gdzie tło.

Irracjonalny sześcian

Niemożliwy sześcian (znany również jako sześcian Eschera) pojawił się na litografii Belvedere Mauritsa Eschera. Wydaje się, że samo istnienie tego sześcianu narusza wszystkie podstawowe prawa geometryczne. Odpowiedź, jak zawsze w przypadku niemożliwych figur, jest dość prosta: ludzkie oko ma tendencję do postrzegania obrazów dwuwymiarowych jako obiektów trójwymiarowych.

Tymczasem w trzech wymiarach niemożliwy sześcian wyglądałby tak, a od pewnego momentu wyglądałby tak samo jak na powyższym obrazku.

Figury niemożliwe cieszą się dużym zainteresowaniem psychologów, kognitywistów i biologów ewolucyjnych, pomagając dowiedzieć się więcej o naszym widzeniu i rozumowaniu przestrzennym. Dzisiaj technologie komputerowe, rzeczywistość wirtualna i projekcje poszerzają możliwości, dzięki czemu można z nowym zainteresowaniem spojrzeć na sprzeczne obiekty.

Oprócz klasycznych przykładów, które podaliśmy, istnieje wiele innych opcji figur niemożliwych, a artyści i matematycy wymyślają nowe paradoksalne opcje. Rzeźbiarze i architekci stosują rozwiązania, które mogą wydawać się niewiarygodne, choć ich wygląd zależy od kierunku patrzenia widza (jak obiecał Escher – względność!).

Nie trzeba być zawodowym architektem, aby spróbować swoich sił w tworzeniu objętościowych niemożliwości. Istnieją origami niemożliwych figur - można to powtórzyć w domu, pobierając puste miejsce.

Przydatne zasoby

Impossible World - zasób w języku rosyjskim i angielskim ze słynnymi obrazami, setkami przykładów niemożliwych postaci i programami do samodzielnego tworzenia niesamowitych.
MC Escher - oficjalna strona M.K. Escher, założona przez MC Escher Company (angielski i holenderski).
- twórczość artysty, artykuły, biografia (język rosyjski).

Obrazek 1.

To niemożliwe plemię. Ten rysunek nie jest ilustracją obiektu przestrzennego, ponieważ taki obiekt nie może istnieć. Nasze EYE akceptuje ten fakt i sam obiekt bez problemu. Argumentów na obronę niemożliwości zaistnienia przedmiotu możemy podać wiele, np. twarz C leży w płaszczyźnie poziomej, podczas gdy twarz A jest nachylona w naszą stronę, a twarz B jest od nas odchylona, a jeśli twarze A i B rozchodzą się od siebie, nie mogą się spotkać u góry figury, jak widać w tym przypadku. Możemy zauważyć, że tribar tworzy zamknięty trójkąt, wszystkie trzy belki są do siebie prostopadłe, a suma jego kątów wewnętrznych okazuje się wynosić 270 stopni, co jest niemożliwe. Możemy odwołać się do podstawowych zasad stereometrii, a mianowicie, że trzy nierównoległe płaszczyzny zawsze spotykają się w tym samym punkcie. Jednak na rysunku 1 widzimy, co następuje:

Ciemnoszara płaszczyzna C spotyka się z płaszczyzną B; linia przecięcia - l;
Ciemnoszara płaszczyzna C styka się z jasnoszarą płaszczyzną A; linia przecięcia - M;
Biała płaszczyzna B styka się z jasnoszarą płaszczyzną A; linia przecięcia - N;
Linie przecięcia l, M, N przecinają się w trzech różnych punktach.

Zatem figura, o której mowa, nie spełnia jednego z podstawowych twierdzeń stereometrii, że trzy nierównoległe płaszczyzny (w tym przypadku A, B, C) muszą spotkać się w jednym punkcie.

Podsumowując: bez względu na to, jak złożone lub proste może być nasze rozumowanie, EYE sygnalizuje nam sprzeczności bez żadnego wyjaśnienia z jego strony.

Niemożliwy tri-bar jest paradoksalny pod kilkoma względami. Oko potrzebuje ułamka sekundy, aby przekazać wiadomość: „To jest zamknięty obiekt składający się z trzech pasków”. Chwilę później następuje: „Ten przedmiot nie może istnieć…”. Trzecią wiadomość można było odczytać jako: „...a więc pierwsze wrażenie było błędne”. Teoretycznie taki obiekt powinien rozpaść się na wiele linii, które nie mają ze sobą żadnego znaczącego związku i nie zbierają się już w kształt plemienia. Tak się jednak nie dzieje, a EYE ponownie sygnalizuje: „To jest obiekt, tribar”. Krótko mówiąc, wniosek jest taki, że jest jednocześnie przedmiotem i nie-przedmiotem, i to jest pierwszy paradoks. Obie interpretacje są równie ważne, tak jakby EYE pozostawiło ostateczny werdykt wyższej władzy.

Druga paradoksalna cecha tri-baru niemożliwego wynika z rozważań nad jego budową. Jeśli słupek A jest skierowany w naszą stronę, a słupek B jest skierowany w przeciwną stronę, a mimo to się spotykają, to kąt, który tworzą, musi leżeć w dwóch miejscach jednocześnie, jednym bliżej obserwatora, a drugim dalej. (To samo dotyczy pozostałych dwóch rogów, ponieważ obiekt zachowuje ten sam kształt po obróceniu o drugi róg w górę.)

Ryc. 2. Bruno Ernst, fotografia niemożliwego tri-baru, 1985 r
Ryc. 3. Gerard Traarbach, „Perfect timing”, olej na płótnie, 100x140 cm, 1985 r., wydruk odwrotny
Ryc. 4. Dirk Huiser, „Kostka”, sitodruk irysowany, 48x48 cm, 1984

Rzeczywistość obiektów niemożliwych

Jedno z najtrudniejszych pytań dotyczących figur niemożliwych dotyczy ich realności: czy naprawdę istnieją, czy nie? Oczywiście istnieje rysunek niemożliwego tri-baru i nie jest to kwestionowane. Jednocześnie jednak nie ulega wątpliwości, że trójwymiarowa forma, którą prezentuje nam EYE, jako taka nie istnieje w otaczającym nas świecie. Z tego powodu postanowiliśmy porozmawiać o niemożliwym obiekty a nie o niemożliwym figurki(chociaż pod tą nazwą w języku angielskim są lepiej znane). Wydaje się to zadowalającym rozwiązaniem tego dylematu. A jednak, kiedy na przykład dokładnie badamy niemożliwy plemion, jego przestrzenna rzeczywistość wciąż nas dezorientuje.

Mając do czynienia z obiektem rozłożonym na części, prawie niemożliwe jest uwierzenie, że po prostu łącząc ze sobą pręty i kostki, można uzyskać pożądany, niemożliwy tri-bar.

Rycina 3 jest szczególnie atrakcyjna dla specjalistów od krystalografii. Obiekt wygląda jak wolno rosnący kryształ, kostki są wstawiane w istniejącą sieć krystaliczną bez naruszania ogólnej struktury.

Zdjęcie na rycinie 2 jest prawdziwe, chociaż tri-bar, złożony z pudełek po cygarach i sfotografowany pod pewnym kątem, jest nierzeczywisty. To wizualny żart stworzony przez Rogera Penrose'a, współautora pierwszego artykułu i Impossible Tribar.

Rysunek 5

Rycina 5 przedstawia tribar złożony z ponumerowanych bloków o wymiarach 1x1x1 dm. Po prostu licząc klocki, możemy dowiedzieć się, że objętość figury wynosi 12 dm 3, a powierzchnia 48 dm 2.

Rysunek 6
Rysunek 7

W podobny sposób możemy obliczyć odległość, jaką pokona biedronka wzdłuż trybuny (Rysunek 7). Centralny punkt każdego słupka jest ponumerowany, a kierunek ruchu oznaczony strzałkami. Zatem powierzchnia plemienia jest reprezentowana jako długa, ciągła droga. Biedronka musi wykonać cztery pełne okrążenia, zanim wróci do punktu wyjścia.

Cyfra 8

Możesz zacząć podejrzewać, że niemożliwy tri-bar ma jakieś tajemnice po swojej niewidzialnej stronie. Ale można łatwo narysować przezroczysty, niemożliwy tri-bar (ryc. 8). W tym przypadku widoczne są wszystkie cztery boki. Jednak obiekt nadal wygląda całkiem realistycznie.

Zadajmy ponownie pytanie: co tak naprawdę sprawia, że plemię jest postacią, którą można interpretować na tak wiele sposobów. Trzeba pamiętać, że OKO przetwarza obraz niemożliwego obiektu z siatkówki w taki sam sposób, jak obrazy zwykłych przedmiotów - krzesła czy domu. Rezultatem jest „obraz przestrzenny”. Na tym etapie nie ma różnicy między niemożliwym tri-barem a zwykłym krzesłem. Tak więc niemożliwy tribar istnieje w głębi naszego mózgu na tym samym poziomie, co wszystkie inne otaczające nas obiekty. Niepowodzenie oka w potwierdzeniu trójwymiarowej „żywotności” tri-baru w rzeczywistości w żaden sposób nie umniejsza faktu, że w naszej głowie obecny jest niemożliwy tri-bar.

W rozdziale 1 natknęliśmy się na niemożliwy obiekt, którego ciało znikało w pustce. Na rysunku ołówkiem „Pociąg osobowy” (il. 11) Fons de Vogelaere subtelnie wykorzystał tę samą zasadę ze wzmocnioną kolumną po lewej stronie obrazu. Jeśli prześledzimy kolumnę od góry do dołu lub zamkniemy dolną część obrazu, zobaczymy kolumnę wspartą na czterech filarach (z których tylko dwa są widoczne). Jeśli jednak spojrzysz na tę samą kolumnę od dołu, zobaczysz dość szeroki otwór, przez który może przejechać pociąg. Bloczki z litego kamienia są jednocześnie... cieńsze od powietrza!

Ten obiekt jest wystarczająco prosty, aby go sklasyfikować, ale okazuje się, że jest dość złożony, gdy zaczniemy go analizować. Badacze tacy jak Broydrick Thro wykazali, że sam opis tego zjawiska prowadzi do sprzeczności. Konflikt na jednej z granic. EYE najpierw oblicza kontury, a następnie zbiera z nich kształty. Zamieszanie powstaje, gdy ścieżki mają jednocześnie dwa cele w dwóch różnych kształtach lub częściach kształtu, jak na rysunku 11.

Rysunek 9

Podobna sytuacja występuje na rycinie 9. Na tej rycinie konturówka l występuje zarówno jako granica formy A, jak i jako granica formy B. Nie jest to jednak granica obu form jednocześnie. Jeśli twoje oczy patrzą najpierw na górę rysunku, to patrząc w dół, na linię l będzie postrzegana jako granica formy A i tak pozostanie, dopóki nie zostanie stwierdzone, że A jest figurą otwartą. W tym momencie EYE oferuje drugą interpretację linii l, a mianowicie, że jest to granica formy B. Jeśli spojrzymy wstecz na linię l, to wracamy do pierwszej interpretacji.

Gdyby to była jedyna niejednoznaczność, to moglibyśmy mówić o piktograficznej figurze dualnej. Ale wniosek komplikują dodatkowe czynniki, takie jak zjawisko znikania postaci z tła, aw szczególności przestrzenne przedstawienie postaci przez OKO. Pod tym względem można już inaczej spojrzeć na rysunki 7, 8 i 9 z rozdziału 1. Chociaż tego typu figury wydają się być prawdziwymi obiektami przestrzennymi, możemy tymczasowo nazwać je obiektami niemożliwymi i opisać je (ale nie wyjaśnić) w następujący sposób: EYE oblicza na podstawie tych obiektów dwie różne wzajemnie wykluczające się formy trójwymiarowe, które jednak istnieją jednocześnie. Można to zobaczyć na rycinie 11 w czymś, co wydaje nam się być monolityczną kolumną. Jednak po ponownym zbadaniu wydaje się, że jest otwarta, z obszerną szczeliną pośrodku, przez którą, jak pokazano na rysunku, może przejechać pociąg.

Ryc. 10. Arthur Stibbe, „Z przodu iz tyłu”, karton/akryl, 50x50 cm, 1986
Ryc. 11. Fons de Vogelaere, „Pociąg osobowy”, rysunek ołówkiem, 80x98 cm, 1984

Niemożliwy obiekt jako paradoks

Ryc. 12. Oscar Reutersvärd, „Perspective japonaise n° 274 dda”, rysunek kolorowym tuszem, 74x54 cm

Na początku tego rozdziału widzieliśmy obiekt niemożliwy jako trójwymiarowy paradoks, czyli obraz, którego elementy stereograficzne są ze sobą w konflikcie. Przed głębszym zbadaniem tego paradoksu konieczne jest zrozumienie, czy istnieje coś takiego jak paradoks obrazkowy. W rzeczywistości istnieje - pomyśl o syrenach, sfinksach i innych fantastycznych stworzeniach często spotykanych w sztukach wizualnych średniowiecza i wczesnego renesansu. Ale w tym przypadku to nie praca EYE jest naruszana przez takie piktograficzne równanie, jak kobieta + ryba = syrenka, ale nasza wiedza (w szczególności znajomość biologii), zgodnie z którą takie połączenie jest niedopuszczalne. Tylko tam, gdzie dane przestrzenne na obrazie siatkówkowym są ze sobą sprzeczne, „automatyczne” przetwarzanie danych przez EYE zawodzi. EYE nie jest gotowe do przetwarzania tak dziwnego materiału, a my jesteśmy świadkami nowego dla nas wizualnego doświadczenia.

Rysunek 13a. Harry Turner, rysunek z serii "Paradoksalne wzory", technika mieszana, 1973-78
Rysunek 13b. Harry Turner, „Narożnik”, technika mieszana, 1978

Informacje przestrzenne zawarte w obrazie z siatkówki (patrząc tylko jednym okiem) możemy podzielić na dwie klasy – naturalną i kulturową. Pierwsza klasa zawiera informacje, na które nie ma wpływu środowisko kulturowe danej osoby, które również znajdują się na obrazkach. Taka prawdziwa „nieskażona natura” obejmuje:

Obiekty tego samego rozmiaru wydają się mniejsze, im dalej się znajdują. Jest to podstawowa zasada perspektywy liniowej, która od renesansu odgrywała główną rolę w sztukach wizualnych;
Obiekt, który częściowo blokuje inny obiekt, jest bliżej nas;
Przedmioty lub części obiektu połączone ze sobą znajdują się w tej samej odległości od nas;
Obiekty, które znajdują się stosunkowo daleko od nas, będą mniej rozpoznawalne i przesłonięte niebieską mgiełką perspektywy przestrzennej;
Strona przedmiotu, na którą pada światło, jest jaśniejsza niż strona przeciwna, a cienie skierowane są w kierunku przeciwnym do źródła światła.

Rycina 14. Zenon Kulpa, "Figury niemożliwe", tusz/papier, 30x21 cm, 1980

W środowisku kulturowym następujące dwa czynniki odgrywają ważną rolę w naszym docenianiu przestrzeni. Ludzie stworzyli swoją przestrzeń życiową w taki sposób, że dominują w niej kąty proste. Nasza architektura, meble i wiele narzędzi składa się zasadniczo z prostokątów. Można powiedzieć, że upakowaliśmy nasz świat w prostokątny układ współrzędnych, w świat prostych i kątów.

Rysunek 15. Mitsumasa Anno, „Przekrój kostki”
Ryc. 16. Mitsumasa Anno, „Skomplikowana drewniana układanka”
Ryc. 17. Monika Buch, Blue Cube, akryl/drewno, 80x80 cm, 1976

Tym samym nasza druga klasa informacji przestrzennej – kulturowa, jest jasna i zrozumiała:

Powierzchnia to płaszczyzna, która trwa, dopóki inne szczegóły nie powiedzą nam, że się nie skończyła;
Kąty, pod którymi spotykają się trzy płaszczyzny, określają trzy główne kierunki, dlatego zygzakowate linie mogą wskazywać na rozszerzanie się lub kurczenie.

Ryc. 18. Tamas Farcas, „Kryształ”, irysowana grafika, 40x29 cm, 1980
Ryc. 19. Frans Erens, akwarela, 1985 r

W naszym kontekście rozróżnienie między środowiskiem naturalnym a środowiskiem kulturowym jest bardzo przydatne. Nasz zmysł wzroku ewoluował w naturalnym otoczeniu, a także ma niesamowitą zdolność dokładnego i dokładnego przetwarzania informacji przestrzennych z kategorii kulturowej.

Niemożliwe obiekty (przynajmniej większość z nich) istnieją dzięki obecności wzajemnie sprzecznych wypowiedzi przestrzennych. Na przykład na obrazie Jos de Mey „Podwójnie strzeżona brama do zimowej Arkadii” (il. 20) płaska powierzchnia tworząca górną część muru rozpada się na kilka płaszczyzn w różnych odległościach od obserwatora. Wrażenie różnych odległości tworzą również nachodzące na siebie części postaci w „Z przodu i z tyłu” Arthura Stibbe'a (ryc. 10), które przeczą zasadzie płaskiej powierzchni. Na akwareli Fransa Erensa (ryc. 19) półka ukazana w perspektywie, z opadającym końcem mówi nam, że jest usytuowana poziomo, oddala się od nas, a ponadto jest przymocowana do podpór w taki sposób, że być pionowym. Na obrazie „Pięciu nosicieli” Fonsa de Vogelaere (il. 21) przytłoczy nas ilość paradoksów stereograficznych. Choć obraz nie zawiera paradoksalnych nakładek obiektów, to jednak występuje w nim wiele paradoksalnych powiązań. Interesujący jest sposób, w jaki centralna postać jest połączona z sufitem. Pięć figur podtrzymujących sufit łączy attykę z sufitem tak wieloma paradoksalnymi połączeniami, że EYE nieustannie poszukuje punktu, z którego można by je lepiej zobaczyć.

Ryc. 20. Jos de Mey, „Podwójnie strzeżona brama do zimowej Arkadii”, płótno/akryl, 60x70 cm, 1983
Ryc. 21. Fons de Vogelaere, „Pięciu nosicieli”, rysunek ołówkiem, 80x98 cm, 1985

Można by pomyśleć, że przy każdym możliwym typie elementu stereograficznego, który pojawia się na obrazie, stosunkowo łatwo jest skompilować systematyczny przegląd figur niemożliwych:

Te, które zawierają elementy perspektywy, które są we wzajemnym konflikcie;
Te, w których elementy perspektywiczne są w konflikcie z informacją przestrzenną wskazywaną przez nachodzące na siebie elementy;
itp.

Wkrótce jednak przekonamy się, że dla wielu z tych konfliktów nie będziemy w stanie znaleźć istniejących przykładów, a niektóre niemożliwe obiekty trudno będzie dopasować do takiego systemu. Jednak taka klasyfikacja pozwoli nam odkryć znacznie więcej nieznanych dotąd rodzajów obiektów niemożliwych.

Ryc. 22. Shigeo Fukuda, „Obrazy iluzji”, sitodruk, 102x73 cm, 1984

Definicje

Na zakończenie tego rozdziału spróbujmy zdefiniować niemożliwe obiekty.

W mojej pierwszej publikacji o obrazach z przedmiotami niemożliwymi M.K. Eschera, który pojawił się około 1960 roku, doszedłem do następującego sformułowania: możliwy obiekt zawsze można rozpatrywać jako projekcję - reprezentację trójwymiarowego obiektu. Jednak w przypadku obiektów niemożliwych nie ma obiektu trójwymiarowego, którego reprezentacją jest dana projekcja, iw tym przypadku obiekt niemożliwy możemy nazwać reprezentacją iluzoryczną. Ta definicja jest nie tylko niepełna, ale i błędna (powrócimy do tego w rozdziale 7), ponieważ odnosi się tylko do matematycznej strony obiektów niemożliwych.

Ryc. 23. Oscar Reutersvärd, „Cubic Organization of space”, rysunek kolorowym tuszem, 29x20,6 cm.
W rzeczywistości ta przestrzeń nie jest wypełniona, ponieważ większe kostki nie są połączone z mniejszymi kostkami.

Zenon Kulpa podaje następującą definicję: obraz przedmiotu niemożliwego to dwuwymiarowa figura, która sprawia wrażenie istniejącego trójwymiarowego przedmiotu, a figura ta nie może istnieć w sposób, w jaki interpretujemy ją przestrzennie; zatem każda próba jej stworzenia prowadzi do (przestrzennych) sprzeczności, które są wyraźnie widoczne dla widza.

Ostatnia uwaga Kulpy sugeruje jeden praktyczny sposób, aby dowiedzieć się, czy przedmiot jest niemożliwy, czy nie: po prostu spróbuj go stworzyć samodzielnie. Wkrótce przekonasz się, być może nawet przed rozpoczęciem budowy, że nie będziesz w stanie tego zrobić.

Wolałbym definicję podkreślającą, że EYE, analizując niemożliwy obiekt, dochodzi do dwóch sprzecznych wniosków. Ta definicja podoba mi się bardziej, ponieważ oddaje przyczynę tych wzajemnie sprzecznych wniosków, a ponadto wyjaśnia fakt, że niemożliwość nie jest matematyczną właściwością figury, ale właściwością interpretacji figury przez widza.

Na tej podstawie proponuję następującą definicję:

Niemożliwy obiekt ma dwuwymiarową reprezentację, którą OKO interpretuje jako obiekt trójwymiarowy, a jednocześnie OKO stwierdza, że ten obiekt nie może być trójwymiarowy, ponieważ informacje przestrzenne zawarte w figurze są sprzeczne.

Ryc. 24. Oscar Reutersväird, „Impossible four-bar with Crossbars”
Ryc. 25. Bruno Ernst, „Mieszane iluzje”, fotografia, 1985