Jak znaleźć pochodną, jak obliczyć pochodną? Na tej lekcji nauczymy się znajdować pochodne funkcji. Ale przed przestudiowaniem tej strony zdecydowanie zalecam zapoznanie się z materiałem metodologicznym Gorące formuły na szkolny kurs matematyki. Podręcznik referencyjny można otworzyć lub pobrać na stronie Wzory i tablice matematyczne. Stamtąd będziemy potrzebować Tabela instrumentów pochodnych, lepiej go wydrukować, często będziesz musiał do niego sięgać, nie tylko teraz, ale także offline.
Jeść? Zacznijmy. Mam dla Ciebie dwie wiadomości: dobrą i bardzo dobrą. Dobra wiadomość jest taka: aby dowiedzieć się, jak znaleźć instrumenty pochodne, nie musisz wiedzieć i rozumieć, czym jest instrument pochodny. Co więcej, bardziej celowe jest przetrawienie definicji pochodnej funkcji, matematycznego, fizycznego, geometrycznego znaczenia pochodnej później, ponieważ moim zdaniem wysokiej jakości badanie teorii wymaga przestudiowania szeregu inne tematy, a także trochę doświadczenia praktycznego.
A teraz naszym zadaniem jest techniczne opanowanie tych samych pochodnych. Bardzo dobrą wiadomością jest to, że nauka obliczania pochodnych nie jest taka trudna; istnieje dość jasny algorytm rozwiązania (i wyjaśnienia) tego zadania; na przykład całki lub granice są trudniejsze do opanowania.
Zalecam następującą kolejność studiowania tematu:: Najpierw ten artykuł. Następnie musisz przeczytać najważniejszą lekcję Pochodna funkcji zespolonej. Te dwie podstawowe klasy przeniosą Twoje umiejętności od zera. Następnie możesz zapoznać się z bardziej złożonymi instrumentami pochodnymi w artykule Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna. Jeśli poprzeczka jest za wysoka, najpierw przeczytaj całość Najprostsze typowe problemy z instrumentami pochodnymi. Oprócz nowego materiału, lekcja obejmuje inne, prostsze typy instrumentów pochodnych i jest doskonałą okazją do udoskonalenia techniki różniczkowania. Ponadto arkusze testowe prawie zawsze zawierają zadania polegające na znajdowaniu pochodnych funkcji określonych implicytnie lub parametrycznie. Jest też taka lekcja: Pochodne funkcji ukrytych i parametrycznie zdefiniowanych.
Postaram się w przystępnej formie krok po kroku nauczyć Cię jak znaleźć pochodne funkcji. Wszystkie informacje są przedstawione szczegółowo, w prostych słowach.
Właściwie, od razu spójrzmy na przykład:
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie: 
To prosty przykład, proszę go znaleźć w tabeli pochodnych funkcji elementarnych. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu i przeanalizujmy, co się stało? I stała się następująca rzecz: mieliśmy funkcję, która w wyniku rozwiązania zamieniła się w funkcję.
Mówiąc prościej, aby znaleźć pochodną funkcji, należy ją zamienić na inną funkcję zgodnie z pewnymi zasadami. Spójrz jeszcze raz na tabelę pochodnych - tam funkcje zamieniają się w inne funkcje. Jedynym wyjątkiem jest funkcja wykładnicza, która zamienia się w samą siebie. Nazywa się operację znajdowania pochodnej różnicowanie .
Oznaczenia: Pochodna jest oznaczona przez lub .
UWAGA, WAŻNE! Zapomnienie o umieszczeniu obrysu (jeśli jest to konieczne) lub narysowaniu dodatkowego obrysu (gdzie nie jest to konieczne) - DUŻY BŁĄD! Funkcja i jej pochodna to dwie różne funkcje!
Wróćmy do naszej tabeli instrumentów pochodnych. Z tego stołu jest to pożądane zapamiętać: zasady różniczkowania i pochodne niektórych funkcji elementarnych, zwłaszcza:
pochodna stałej:
, gdzie jest liczbą stałą;
pochodna funkcji potęgowej:
, w szczególności: , , .
Dlaczego pamiętasz? Wiedza ta jest podstawową wiedzą na temat instrumentów pochodnych. A jeśli nie potrafisz odpowiedzieć na pytanie nauczyciela „Jaka jest pochodna liczby?”, to Twoje studia na uniwersytecie mogą się dla Ciebie zakończyć (osobiście znam dwa przypadki z życia wzięte). Poza tym są to najczęstsze formuły, z których musimy skorzystać niemal za każdym razem, gdy spotykamy instrumenty pochodne.
W rzeczywistości proste przykłady tabelaryczne są rzadkie, zwykle przy znajdowaniu pochodnych najpierw stosuje się reguły różniczkowania, a następnie tabelę pochodnych funkcji elementarnych.
W związku z tym przechodzimy do rozważenia zasady różnicowania:
1) Ze znaku pochodnej można (i należy) usunąć liczbę stałą
Gdzie jest liczbą stałą (stała)
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Spójrzmy na tabelę instrumentów pochodnych. Pochodna cosinusa istnieje, ale mamy .
Czas skorzystać z reguły, ze znaku pochodnej usuwamy stały współczynnik:
Teraz przeliczamy nasz cosinus zgodnie z tabelą:
Cóż, wskazane jest trochę „przeczesać” wynik - na pierwszym miejscu umieść znak minus, jednocześnie pozbywając się nawiasów:
2) Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Zdecydujmy. Jak zapewne już zauważyłeś, pierwszym krokiem, który zawsze wykonujemy przy szukaniu pochodnej, jest ujęcie całego wyrażenia w nawiasy i umieszczenie liczby pierwszej w prawym górnym rogu:
Zastosujmy drugą zasadę:
Należy pamiętać, że w celu zróżnicowania wszystkie pierwiastki i stopnie muszą być przedstawione w formie, a jeśli są w mianowniku, przesuń je w górę. Jak to zrobić, omówiono w moich materiałach dydaktycznych.
Przypomnijmy sobie teraz pierwszą zasadę różniczkowania - czynniki stałe (liczby) bierzemy poza znak pochodnej:
Zwykle podczas rozwiązywania te dwie zasady stosuje się jednocześnie (aby nie przepisywać ponownie długiego wyrażenia).
Wszystkie funkcje znajdujące się pod kreskami są elementarnymi funkcjami tabelarycznymi, korzystając z tabeli przeprowadzamy transformację:
Możesz zostawić wszystko tak, jak jest, ponieważ nie ma już uderzeń i znaleziono pochodną. Jednak takie wyrażenia zwykle upraszczają:
Wskazane jest ponowne przedstawienie wszystkich potęg tego typu w postaci pierwiastków; potęgi o wykładnikach ujemnych należy sprowadzić do mianownika. Chociaż nie musisz tego robić, nie będzie to błąd.
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji 
Spróbuj samodzielnie rozwiązać ten przykład (odpowiedź na końcu lekcji). Zainteresowani również mogą skorzystać intensywny kurs w formacie pdf, co jest szczególnie istotne, jeśli masz do dyspozycji bardzo mało czasu.
3) Pochodna iloczynu funkcji
Wydaje się, że analogia sugeruje formułę…., jednak niespodzianką jest to, że:
To niezwykła zasada (podobnie jak w rzeczywistości inni) wynika z definicje instrumentów pochodnych. Ale na razie poprzestaniemy na teorii – teraz ważniejsze jest nauczenie się, jak rozwiązywać:
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj mamy iloczyn dwóch funkcji w zależności od .
Najpierw stosujemy naszą dziwną regułę, a następnie przekształcamy funkcje za pomocą tabeli pochodnych:
Trudny? Wcale nie, całkiem dostępne nawet dla czajnika.
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Funkcja ta zawiera sumę i iloczyn dwóch funkcji - trójmianu kwadratowego i logarytmu. Ze szkoły pamiętamy, że mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem.
Tutaj jest tak samo. NAJPIERW korzystamy z reguły różnicowania produktów:
Teraz dla nawiasu używamy dwóch pierwszych reguł:
W wyniku zastosowania zasad różniczkowania pod kreskami pozostają nam jedynie funkcje elementarne, korzystając z tablicy pochodnych zamieniamy je na inne funkcje:
Gotowy.
Mając pewne doświadczenie w znajdowaniu instrumentów pochodnych, wydaje się, że proste instrumenty pochodne nie wymagają tak szczegółowego opisu. Na ogół rozstrzyga się je ustnie i jest to natychmiast spisywane 
.
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji 
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji)
4) Pochodna funkcji ilorazowych
Właz otworzył się w suficie, nie przejmuj się, to usterka.
Ale to jest brutalna rzeczywistość: 
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Czego tu brakuje – sumy, różnicy, iloczynu, ułamka…. Od czego mam zacząć?! Są wątpliwości, nie ma wątpliwości, ale W KAŻDYM RAZIE Najpierw narysuj nawiasy i obrysuj w prawym górnym rogu:
Teraz spójrzmy na wyrażenie w nawiasach. Jak możemy je uprościć? W tym przypadku zauważamy czynnik, który zgodnie z pierwszą zasadą warto umieścić poza znakiem pochodnej.
Skoro tu trafiłeś, prawdopodobnie widziałeś już tę formułę w podręczniku
i zrób taką minę:
Przyjacielu, nie martw się! Właściwie wszystko jest po prostu oburzające. Na pewno wszystko zrozumiesz. Tylko jedna prośba – przeczytaj artykuł powoli, staraj się zrozumieć każdy krok. Napisałem tak prosto i przejrzyście, jak to możliwe, ale nadal musisz zrozumieć ideę. I pamiętaj o rozwiązaniu zadań z artykułu.
Co to jest funkcja złożona?
Wyobraź sobie, że przeprowadzasz się do innego mieszkania i dlatego pakujesz rzeczy do dużych pudeł. Załóżmy, że musisz zebrać kilka drobnych przedmiotów, na przykład szkolne przybory piśmiennicze. Jeśli po prostu wrzucisz je do ogromnego pudełka, zgubią się między innymi. Aby tego uniknąć, najpierw umieszcza się je np. w torbie, którą następnie wkłada się do dużego pudełka, po czym je zamyka. Ten „złożony” proces przedstawiono na poniższym schemacie:
Wydawałoby się, co ma z tym wspólnego matematyka? Tak, pomimo tego, że funkcja złożona jest tworzona DOKŁADNIE W TYM SAMYM SPOSOBIE! Tylko my „pakujemy” nie notesy i długopisy, ale \(x\), natomiast „opakowania” i „pudełka” są różne.
Na przykład weźmy x i „spakujmy” go w funkcję:
W rezultacie otrzymujemy oczywiście \(\cosx\). To jest nasza „torba rzeczy”. Teraz włóżmy to do „pudełka” – spakujmy na przykład w funkcję sześcienną.
Co się stanie na końcu? Tak, zgadza się, w pudełku będzie „worek rzeczy”, czyli „cosinus X do sześcianu”.
Powstały projekt jest złożoną funkcją. Od prostego różni się tym KILKA „wpływów” (pakietów) jest przykładanych do jednego X z rzędu i okazuje się, że „funkcja z funkcji” - „opakowanie w opakowaniu”.
W kursie szkolnym rodzajów tych „pakietów” jest bardzo niewiele, tylko cztery:
„Spakujmy” teraz X najpierw do funkcji wykładniczej o podstawie 7, a następnie do funkcji trygonometrycznej. Otrzymujemy:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Teraz „spakujmy” x dwukrotnie do funkcji trygonometrycznych, najpierw w, a następnie w:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Proste, prawda?
Teraz sam napisz funkcje, gdzie x:
- najpierw jest „upakowany” w cosinus, a następnie w funkcję wykładniczą o podstawie \(3\);
- najpierw do potęgi piątej, a następnie do stycznej;
- pierwszy do logarytmu o podstawie \(4\)
, a następnie do potęgi \(-2\).
Odpowiedzi na to zadanie znajdziesz na końcu artykułu.
Czy możemy „spakować” X nie dwa, ale trzy razy? Bez problemu! I cztery, i pięć, i dwadzieścia pięć razy. Oto na przykład funkcja, w której x jest „upakowane” \(4\) razy:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Ale takich formuł nie znajdziemy w praktyce szkolnej (uczniowie mają więcej szczęścia – ich może być bardziej skomplikowana☺).
„Rozpakowywanie” złożonej funkcji
Spójrz jeszcze raz na poprzednią funkcję. Czy potrafisz ustalić sekwencję „pakowania”? W co X zostało wepchnięte najpierw, w co potem i tak dalej, aż do samego końca. To znaczy, która funkcja jest zagnieżdżona w której? Weź kartkę papieru i napisz, co myślisz. Można to zrobić za pomocą łańcuszka ze strzałkami tak jak pisaliśmy powyżej lub w inny sposób.
Teraz poprawna odpowiedź brzmi: najpierw x zostało „upakowane” do \(4\)-tej potęgi, następnie wynik został spakowany do sinusa, a to z kolei zostało umieszczone w logarytmie o podstawie \(2\) , a na koniec całą tę konstrukcję upchnięto w potęgę piątkową.
Oznacza to, że musisz rozwinąć sekwencję W ODWROTNEJ KOLEJNOŚCI. A tu podpowiedź jak to zrobić prościej: od razu spójrz na X – powinieneś od niego zatańczyć. Spójrzmy na kilka przykładów.
Oto przykładowa funkcja: \(y=tg(\log_2x)\). Patrzymy na X – co dzieje się z nim najpierw? Zabrane mu. I wtedy? Przyjmuje się tangens wyniku. Kolejność będzie taka sama:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Inny przykład: \(y=\cos((x^3))\). Przeanalizujmy - najpierw podnieśliśmy X do sześcianu, a następnie obliczyliśmy cosinus wyniku. Oznacza to, że sekwencja będzie następująca: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Zwróć uwagę, funkcja wydaje się być podobna do pierwszej (gdzie zawiera obrazy). Ale to jest zupełnie inna funkcja: tutaj w sześcianie jest x (czyli \(\cos((x·x·x)))\), a tam w sześcianie jest cosinus \(x\) ( to znaczy \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Różnica ta wynika z różnych sekwencji „pakowania”.
Ostatni przykład (zawierający ważne informacje): \(y=\sin((2x+5))\). Oczywiste jest, że tutaj najpierw wykonali operacje arytmetyczne na x, a następnie obliczyli sinus wyniku: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). I to jest ważny punkt: pomimo tego, że operacje arytmetyczne same w sobie nie są funkcjami, tutaj działają również jako sposób „pakowania”. Zagłębmy się nieco w tę subtelność.
Jak powiedziałem powyżej, w prostych funkcjach x jest „pakowane” raz, a w funkcjach złożonych - dwa lub więcej. Co więcej, dowolna kombinacja prostych funkcji (czyli ich suma, różnica, mnożenie lub dzielenie) jest również funkcją prostą. Na przykład \(x^7\) jest prostą funkcją, podobnie jak \(ctg x\). Oznacza to, że wszystkie ich kombinacje są prostymi funkcjami:
\(x^7+ ctg x\) - proste,
\(x^7· łóżko x\) – proste,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – proste itp.
Jeśli jednak do takiej kombinacji zostanie zastosowana jeszcze jedna funkcja, stanie się ona funkcją złożoną, ponieważ będą dwa „pakiety”. Zobacz schemat:
OK, śmiało. Zapisz sekwencję funkcji „zawijania”:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Odpowiedzi znajdują się ponownie na końcu artykułu.
Funkcje wewnętrzne i zewnętrzne
Dlaczego musimy zrozumieć zagnieżdżanie funkcji? Co nam to daje? Faktem jest, że bez takiej analizy nie będziemy w stanie wiarygodnie znaleźć pochodnych funkcji omówionych powyżej.
Aby przejść dalej, będziemy potrzebować jeszcze dwóch koncepcji: funkcji wewnętrznych i zewnętrznych. To bardzo prosta rzecz, zresztą analizowaliśmy je już powyżej: jeśli pamiętamy naszą analogię na samym początku, to funkcja wewnętrzna to „pakiet”, a funkcja zewnętrzna to „pudełko”. Te. to, w co X jest najpierw „owinięte”, jest funkcją wewnętrzną, a to, w co „owinięta” jest funkcja wewnętrzna, jest już funkcją zewnętrzną. Cóż, jasne jest dlaczego – jest na zewnątrz, to znaczy na zewnątrz.
W tym przykładzie: \(y=tg(log_2x)\), funkcja \(\log_2x\) jest funkcją wewnętrzną i 
- zewnętrzny.
A w tym: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) jest wewnętrzne i 
- zewnętrzny.
Wykonaj ostatnią praktykę analizy funkcji złożonych i przejdźmy wreszcie do tego, od czego wszyscy zaczęliśmy – znajdziemy pochodne funkcji złożonych:
Wypełnij puste miejsca w tabeli:
Pochodna funkcji zespolonej
Brawo dla nas, w końcu dotarliśmy do „szefa” tego tematu - a właściwie pochodnej funkcji zespolonej, a konkretnie do tej bardzo okropnej formuły z początku artykułu.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Ta formuła brzmi następująco:
Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej po stałej funkcji wewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.
I od razu spójrz na diagram analizy, zgodnie ze słowami, aby zrozumieć, co zrobić z czym:
Mam nadzieję, że określenia „pochodna” i „produkt” nie sprawią żadnych trudności. „Funkcja złożona” - już to rozwiązaliśmy. Haczyk tkwi w „pochodnej funkcji zewnętrznej względem stałej funkcji wewnętrznej”. Co to jest?
Odpowiedź: Jest to zwykła pochodna funkcji zewnętrznej, w której zmienia się tylko funkcja zewnętrzna, a funkcja wewnętrzna pozostaje taka sama. Nadal nie jest jasne? OK, użyjmy przykładu.
Miejmy funkcję \(y=\sin(x^3)\). Jasne jest, że funkcją wewnętrzną jest tutaj \(x^3\), a funkcją zewnętrzną 
. Znajdźmy teraz pochodną zewnętrza względem stałego wnętrza.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższego rzędu. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych.
Pochodna x do potęgi a jest równa a razy x do potęgi minus jeden:
(1)
.
Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi wynosi:
(2)
.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej
Przypadek x > 0
Rozważmy funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a:
(3)
.
Tutaj a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Rozważmy najpierw sprawę.
Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z właściwości funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.
Teraz znajdujemy pochodną za pomocą:
;
.
Tutaj .
Wzór (1) został udowodniony.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m
Rozważmy teraz funkcję będącą pierwiastkiem następującej formy:
(4)
.
Aby znaleźć pochodną, przekształcamy pierwiastek do funkcji potęgowej:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy to
.
Następnie
.
Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1)
;
;
(2)
.
W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). Dużo wygodniej jest najpierw przekształcić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne korzystając ze wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).
Przypadek x = 0
Jeżeli , to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0
. Znajdźmy pochodną funkcji (3) przy x = 0
. W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:
.
Podstawmy x = 0
:
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawą granicę, dla której .
Znaleźliśmy więc:
.
Z tego jasno wynika, że dla , .
Na , .
Na , .
Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):
(1)
.
Zatem wzór (1) obowiązuje także dla x = 0
.
Przypadek x< 0
Rozważmy ponownie funkcję (3):
(3)
.
Dla pewnych wartości stałej a definiuje się ją również dla ujemnych wartości zmiennej x. Mianowicie, niech a będzie liczbą wymierną. Wtedy można to przedstawić jako ułamek nieredukowalny:
,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi, które nie mają wspólnego dzielnika.
Jeśli n jest nieparzyste, wówczas funkcję potęgową definiuje się również dla ujemnych wartości zmiennej x. Na przykład, gdy n = 3
i m = 1
mamy pierwiastek sześcienny z x:
.
Jest on również definiowany dla ujemnych wartości zmiennej x.
Znajdźmy pochodną funkcji potęgi (3) dla i dla wymiernych wartości stałej a, dla której jest ona zdefiniowana. Aby to zrobić, przedstawmy x w następującej formie:
.
Następnie ,
.
Pochodną znajdujemy umieszczając stałą poza znakiem pochodnej i stosując zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Tutaj . Ale
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) obowiązuje także dla:
(1)
.
Instrumenty pochodne wyższego rzędu
Znajdźmy teraz pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3)
.
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.
Wyjmując stałą a poza znak pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;
.
Z tego wynika, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.
Zauważ, że jeśli a jest liczbą naturalną, to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
Na .
Przykłady obliczania instrumentów pochodnych
Przykład
Znajdź pochodną funkcji:
.
Rozwiązanie
Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wtedy oryginalna funkcja przyjmuje postać:
.
Znajdowanie pochodnych potęg:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.
Definicja. Niech funkcja \(y = f(x)\) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym punkt \(x_0\). Nadajmy argumentowi przyrost \(\Delta x \) tak, aby nie opuścił tego przedziału. Znajdźmy odpowiedni przyrost funkcji \(\Delta y \) (podczas przechodzenia od punktu \(x_0 \) do punktu \(x_0 + \Delta x \)) i utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jeżeli istnieje granica tego stosunku w \(\Delta x \rightarrow 0\), to określona granica nazywana jest pochodna funkcji\(y=f(x) \) w punkcie \(x_0 \) i oznacz \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej. Należy zauważyć, że y" = f(x) jest funkcją nową, ale w naturalny sposób powiązaną z funkcją y = f(x), określoną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się następująco: pochodna funkcji y = f(x).
Geometryczne znaczenie pochodnej następująco. Jeżeli można poprowadzić styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x=a, który nie jest równoległy do osi y, to f(a) wyraża nachylenie stycznej :
\(k = f"(a)\)
Ponieważ \(k = tg(a) \), to równość \(f"(a) = tan(a) \) jest prawdziwa.
Zinterpretujmy teraz definicję pochodnej z punktu widzenia przybliżonych równości. Niech funkcja \(y = f(x)\) ma pochodną w określonym punkcie \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x przybliżona równość \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \około f"(x)\), czyli \(\Delta y \około f"(x) \cdot\ Delta x\). Znaczenie otrzymanej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnikiem proporcjonalności jest wartość pochodnej w danym punkcie x. Na przykład dla funkcji \(y = x^2\) obowiązuje przybliżona równość \(\Delta y \około 2x \cdot \Delta x \). Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.
Sformułujmy to.
Jak znaleźć pochodną funkcji y = f(x)?
1. Popraw wartość \(x\), znajdź \(f(x)\)
2. Nadaj argumentowi \(x\) przyrost \(\Delta x\), przejdź do nowego punktu \(x+ \Delta x \), znajdź \(f(x+ \Delta x) \)
3. Znajdź przyrost funkcji: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Granica ta jest pochodną funkcji w punkcie x.
Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywa się ją różniczkowalną w punkcie x. Wywołuje się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y = f(x). różnicowanie funkcje y = f(x).
Omówmy następujące pytanie: w jaki sposób ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie są ze sobą powiązane?
Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Następnie można narysować styczną do wykresu funkcji w punkcie M(x; f(x)) i, przypomnijmy, współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(x). Takiego wykresu nie można „złamać” w punkcie M, czyli funkcja musi być ciągła w punkcie x.
To były argumenty „praktyczne”. Podajmy bardziej rygorystyczne uzasadnienie. Jeśli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to zachodzi przybliżona równość \(\Delta y \około f"(x) \cdot \Delta x \). Jeśli w tej równości \(\Delta x \) dąży do zera, wówczas \(\Delta y \) będzie dążyć do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.
Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.
Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Na przykład: funkcja y = |x| jest ciągła wszędzie, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „punkcie przecięcia” (0; 0) nie istnieje. Jeśli w pewnym momencie nie można poprowadzić stycznej do wykresu funkcji, to pochodna w tym punkcie nie istnieje.
Jeszcze jeden przykład. Funkcja \(y=\sqrt(x)\) jest ciągła na całej osi liczbowej, także w punkcie x = 0. Natomiast styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, także w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, tj. jest prostopadła do osi odciętych, jej równanie ma postać x = 0. Taka prosta nie ma współczynnika kąta, co oznacza, że \(f „(0)\) nie istnieje.
Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak z wykresu funkcji można wywnioskować, że jest ona różniczkowalna?
Właściwie odpowiedź została podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to w tym miejscu funkcja jest różniczkowalna. Jeśli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi odciętych, to w tym momencie funkcja nie jest różniczkowalna.
Zasady różnicowania
Nazywa się operację znajdowania pochodnej różnicowanie. Wykonując tę operację, często musisz pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C jest liczbą stałą, a f=f(x), g=g(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to spełnione są następujące warunki zasady różnicowania:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$