Jak być może pamiętacie ze szkolnego programu geometrii, trójkąt to figura utworzona z trzech odcinków połączonych trzema punktami, które nie leżą na jednej linii prostej. Trójkąt tworzy trzy kąty, stąd nazwa figury. Definicja może być inna. Trójkąt można również nazwać wielokątem z trzema narożnikami, odpowiedź będzie równie prawdziwa. Trójkąty dzielą się ze względu na liczbę równych boków i wielkość kątów na figurach. Rozróżnij więc takie trójkąty jak równoramienny, równoboczny i skalenowy, a także odpowiednio prostokątny, ostry i rozwarty.

Istnieje wiele wzorów obliczania pola trójkąta. Wybierz sposób znalezienia pola trójkąta, tj. jakiej formuły użyć, tylko Ty. Warto jednak zwrócić uwagę tylko na część notacji używanej w wielu wzorach do obliczania pola trójkąta. Więc pamiętaj:

S jest obszarem trójkąta,

a, b, c to boki trójkąta,

h jest wysokością trójkąta,

R jest promieniem opisanego okręgu,

p jest półobwodem.

Oto podstawowe zapisy, które mogą się przydać, jeśli zupełnie zapomniałeś o przebiegu geometrii. Najbardziej zrozumiałe i nieskomplikowane opcje obliczania nieznanego i tajemniczego obszaru trójkąta zostaną podane poniżej. Nie jest to trudne, a przyda się zarówno w potrzebach domowych, jak i w pomaganiu dzieciom. Pamiętajmy, jak obliczyć pole trójkąta tak łatwo, jak obieranie gruszek:

W naszym przypadku powierzchnia trójkąta wynosi: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamiętaj, że powierzchnię mierzy się w centymetrach kwadratowych (cm2).

Trójkąt prostokątny i jego pole.

Trójkąt prostokątny to trójkąt o jednym kącie równym 90 stopni (stąd nazywany trójkątem prostokątnym). Kąt prosty tworzą dwie prostopadłe linie (w przypadku trójkąta dwa prostopadłe odcinki). W trójkącie prostokątnym może być tylko jeden kąt prosty, ponieważ suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Okazuje się, że 2 inne kąty powinny podzielić między sobą pozostałe 90 stopni, na przykład 70 i 20, 45 i 45 itd. Pamiętałeś więc o najważniejszej rzeczy, pozostaje nauczyć się, jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego. Wyobraź sobie, że mamy przed sobą taki trójkąt prostokątny i musimy znaleźć jego pole S.

1. Najprostszy sposób określenia pola trójkąta prostokątnego oblicza się za pomocą następującego wzoru:

W naszym przypadku pole trójkąta prostokątnego wynosi: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

Zasadniczo nie jest już konieczne sprawdzanie pola trójkąta w inny sposób, ponieważ w życiu codziennym się przyda i tylko ten pomoże. Ale istnieją również opcje pomiaru pola trójkąta pod ostrymi kątami.

2. W przypadku innych metod obliczeń musisz mieć tabelę cosinusów, sinusów i stycznych. Oceń sam, oto kilka opcji obliczania obszarów trójkąta prostokątnego, z których nadal możesz korzystać:

Zdecydowaliśmy się na pierwszy wzór i z małymi plamkami (rysowaliśmy w zeszycie i używaliśmy starej linijki i kątomierza), ale otrzymaliśmy prawidłowe obliczenie:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Otrzymaliśmy takie wyniki 3,6=3,7, ale biorąc pod uwagę przesunięcie komórki, możemy wybaczyć ten niuans.

Trójkąt równoramienny i jego pole.

Jeśli stoisz przed zadaniem obliczenia wzoru trójkąta równoramiennego, najłatwiej jest użyć głównego i, jak się uważa, klasycznego wzoru na pole trójkąta.

Ale najpierw, zanim znajdziemy obszar trójkąta równoramiennego, dowiedzmy się, jaki to rodzaj figury. Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego dwa boki mają tę samą długość. Te dwie strony nazywane są bokami, trzeci bok nazywa się podstawą. Nie myl trójkąta równoramiennego z równobocznym, tj. trójkąt równoboczny, którego wszystkie trzy boki są równe. W takim trójkącie nie ma specjalnych tendencji do kątów, a raczej do ich wielkości. Jednakże kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe, ale różnią się od kąta między równymi bokami. Znasz już pierwszy i główny wzór, pozostaje dowiedzieć się, jakie inne wzory na określenie pola trójkąta równoramiennego są znane:

Instrukcja

Strony i narożniki są uważane za elementy podstawowe A. Trójkąt jest całkowicie zdefiniowany przez którykolwiek z następujących podstawowych elementów: albo trzy boki, albo jeden bok i dwa kąty, albo dwa boki i kąt między nimi. Dla istnienia trójkąt zdefiniowanych przez trzy strony a, b, c, konieczne i wystarczające jest istnienie nierówności, zwanych nierównościami trójkąt:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Do budowy trójkąt z trzech stron a, b, c, konieczne jest, aby z punktu C odcinka CB=a narysować za pomocą kompasu okrąg o promieniu b. Następnie analogicznie narysuj okrąg z punktu B o promieniu równym boku c. Ich punkt przecięcia A jest trzecim wierzchołkiem pożądanego trójkąt ABC, gdzie AB=c, CB=a, CA=b - boki trójkąt. Problem ma , jeśli boki a, b, c spełniają nierówności trójkąt określone w kroku 1.

Zbudowany w ten sposób obszar S trójkąt ABC o znanych bokach a, b, c oblicza się ze wzoru Herona:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdzie a, b, c są bokami trójkąt, p jest półobwodem.
p = (a+b+c)/2

Jeśli trójkąt jest równoboczny, to znaczy, że wszystkie jego boki są równe (a=b=c).Powierzchnia trójkąt obliczane według wzoru:
S=(a^2 v3)/4

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to znaczy jeden z jego kątów wynosi 90 °, a tworzące go boki to nogi, trzeci bok to przeciwprostokątna. W tym przypadku kwadrat równa się iloczynowi nóg podzielonemu przez dwa.
S=ab/2

Znaleźć kwadrat trójkąt, możesz użyć jednej z wielu formuł. Wybierz formułę w zależności od tego, jakie dane są już znane.

Będziesz potrzebować

• znajomość wzorów na znalezienie pola trójkąta

Instrukcja

Jeśli znasz wartość jednego z boków i wartość wysokości obniżonej na ten bok z przeciwległego narożnika, to możesz obliczyć pole korzystając ze wzoru: S = a*h/2, gdzie S jest polem ​trójkąt, a jest jednym z boków trójkąta, a h - wysokość boku a.

Znany jest sposób określenia pola trójkąta, jeśli znane są trzy jego boki. Ona jest formułą Herona. Aby uprościć jego rejestrację, wprowadza się wartość pośrednią - półobwód: p \u003d (a + b + c) / 2, gdzie a, b, c - . Wtedy wzór Herona jest następujący: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ potęgowanie.

Załóżmy, że znasz jeden z boków trójkąta i trzy kąty. Wtedy łatwo jest znaleźć pole trójkąta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdzie β jest kątem przeciwnym do boku a, a α i γ są kątami przylegającymi do boku.

Powiązane wideo

notatka

Najbardziej ogólnym wzorem, odpowiednim dla wszystkich przypadków, jest wzór Herona.

Źródła:

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trójkąta, mając trzy boki

Znalezienie pola trójkąta jest jednym z najczęstszych zadań w planimetrii szkolnej. Znajomość trzech boków trójkąta wystarczy, aby określić pole dowolnego trójkąta. W szczególnych przypadkach i trójkątach równobocznych wystarczy znać długości odpowiednio dwóch i jednego boku.

Będziesz potrzebować

• długości boków trójkątów, wzór Herona, twierdzenie cosinus

Instrukcja

Wzór Herona na pole trójkąta jest następujący: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jeśli pomalujesz półobwód p, otrzymasz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Z rozważań można również wyprowadzić wzór na pole trójkąta, na przykład stosując twierdzenie o cosinusie.

Zgodnie z prawem cosinusów AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Korzystając z wprowadzonej notacji, mogą one mieć także postać: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Zatem cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Pole trójkąta oblicza się także ze wzoru S = a*c*sin(ABC)/2 przechodzącego przez dwa boki i kąt między nimi. Sinus kąta ABC można wyrazić za pomocą podstawowej tożsamości trygonometrycznej: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Podstawiając sinus do wzoru na pole powierzchni i malując go, możesz dochodzimy do wzoru na pole trójkąta ABC.

Powiązane wideo

W przypadku naprawy może być konieczne dokonanie pomiaru kwadratściany. Łatwiej jest obliczyć wymaganą ilość farby lub tapety. Do pomiarów najlepiej użyć miarki krawieckiej lub taśmy centymetrowej. Pomiary należy wykonać po ściany zostały wyrównane.

Będziesz potrzebować

• -ruletka;
• -drabina.

Instrukcja

Liczyć kwadratściany, musisz znać dokładną wysokość sufitów, a także zmierzyć długość wzdłuż podłogi. Odbywa się to w następujący sposób: weź centymetr i połóż go na cokole. Zwykle centymetr nie wystarcza na całą długość, dlatego przymocuj go w rogu, a następnie rozwiń do maksymalnej długości. W tym miejscu należy zaznaczyć ołówkiem, zapisać wynik i w ten sam sposób przeprowadzić dalszy pomiar, zaczynając od ostatniego punktu pomiarowego.

Standardowe sufity w typowych - 2 metry 80 centymetrów, 3 metry i 3 metry 20 centymetrów, w zależności od domu. Jeśli dom został zbudowany przed latami 50. XX wieku, najprawdopodobniej rzeczywista wysokość jest nieco niższa niż wskazano. Jeśli kalkulujesz kwadrat w przypadku prac naprawczych niewielki margines nie zaszkodzi - rozważ w oparciu o standard. Jeśli nadal chcesz poznać rzeczywistą wysokość - wykonaj pomiary. Zasada jest podobna do pomiaru długości, ale będziesz potrzebować drabiny.

Pomnóż powstałe liczby - to jest kwadrat twój ściany. To prawda, że ​​\u200b\u200bdo prac malarskich lub do odejmowania kwadrat otwory drzwiowe i okienne. Aby to zrobić, połóż centymetr wzdłuż otworu. Jeśli mówimy o drzwiach, które zamierzasz później zmienić, to przeprowadź je po zdjęciu ościeżnicy, biorąc pod uwagę tylko kwadrat samo otwarcie. Powierzchnię okna oblicza się wzdłuż obwodu jego ramy. Po kwadrat obliczonych okien i drzwi, wynik odejmij od całkowitej otrzymanej powierzchni pomieszczenia.

Należy pamiętać, że pomiary długości i szerokości pomieszczenia przeprowadza się razem, łatwiej jest ustalić centymetr lub taśmę mierniczą i odpowiednio uzyskać dokładniejszy wynik. Wykonaj ten sam pomiar kilka razy, aby upewnić się, że otrzymane liczby są dokładne.

Powiązane wideo

Znalezienie objętości trójkąta jest rzeczywiście zadaniem nietrywialnym. Faktem jest, że trójkąt jest figurą dwuwymiarową, tj. leży całkowicie w jednej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​po prostu nie ma objętości. Oczywiście nie da się znaleźć czegoś, czego nie ma. Ale nie poddawajmy się! Możemy przyjąć następujące założenie - objętość figury dwuwymiarowej, to jest jej powierzchnia. Szukamy obszaru trójkąta.

Będziesz potrzebować

• kartka papieru, ołówek, linijka, kalkulator

Instrukcja

Rysuj na kartce papieru za pomocą linijki i ołówka. Uważnie badając trójkąt, możesz upewnić się, że tak naprawdę go nie ma, ponieważ jest narysowany na płaszczyźnie. Oznacz boki trójkąta: niech jeden bok będzie bokiem „a”, drugi bok „b”, a trzeci bok „c”. Oznacz wierzchołki trójkąta literami „A”, „B” i „C”.

Zmierz dowolny bok trójkąta za pomocą linijki i zapisz wynik. Następnie przywróć prostopadłość do zmierzonej strony z przeciwnego wierzchołka, taka prostopadłość będzie wysokością trójkąta. W przypadku pokazanym na rysunku prostopadłość „h” zostaje przywrócona do boku „c” z wierzchołka „A”. Zmierz uzyskaną wysokość za pomocą linijki i zapisz wynik pomiaru.

Może się zdarzyć, że przywrócenie dokładnej prostopadłości będzie trudne. W takim przypadku powinieneś zastosować inną formułę. Zmierz wszystkie boki trójkąta za pomocą linijki. Następnie oblicz połowę obwodu trójkąta „p”, dodając powstałe długości boków i dzieląc ich sumę przez pół. Mając do dyspozycji wartość półobwodu, możesz skorzystać ze wzoru Czapli. Aby to zrobić, musisz wziąć pierwiastek kwadratowy z następujących wartości: p(p-a)(p-b)(p-c).

Uzyskałeś pożądany obszar trójkąta. Problem znalezienia objętości trójkąta nie został rozwiązany, ale jak wspomniano powyżej, objętość nie jest . W świecie 3D możesz znaleźć objętość, która jest zasadniczo trójkątem. Jeśli wyobrazimy sobie, że nasz pierwotny trójkąt stał się trójwymiarową piramidą, wówczas objętość takiej piramidy będzie iloczynem długości jej podstawy i pola otrzymanego trójkąta.

notatka

Obliczenia będą dokładniejsze, im dokładniej dokonasz pomiarów.

Źródła:

• Kalkulator typu „wszystko dla wszystkich” – portal referencyjny
• objętość trójkąta w 2019 roku

Trzy punkty, które jednoznacznie definiują trójkąt w kartezjańskim układzie współrzędnych, to jego wierzchołki. Znając ich położenie względem każdej z osi współrzędnych, można obliczyć dowolne parametry tej płaskiej figury, także te ograniczone jej obwodem kwadrat. Można to zrobić na kilka sposobów.

Instrukcja

Do obliczenia pola użyj wzoru Herona trójkąt. Obejmuje wymiary trzech boków figury, więc rozpocznij obliczenia od. Długość każdego boku musi być równa pierwiastkowi sumy kwadratów długości jego rzutów na osie współrzędnych. Jeżeli oznaczymy współrzędne A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), to długości ich boków można wyrazić następująco: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Aby uprościć obliczenia, należy wprowadzić zmienną pomocniczą - półobwód (P). Stąd jest połowa sumy długości wszystkich boków: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Trójkąt to najprostsza figura geometryczna, która składa się z trzech boków i trzech wierzchołków. Ze względu na swoją prostotę trójkąt był używany od czasów starożytnych do różnych pomiarów, a dziś figura może być przydatna do rozwiązywania problemów praktycznych i codziennych.

Cechy trójkąta

Liczba ta była używana do obliczeń od czasów starożytnych, na przykład geodeci i astronomowie posługują się właściwościami trójkątów do obliczania powierzchni i odległości. Przez obszar tej figury łatwo jest wyrazić pole dowolnego n-gonu, a ta właściwość była wykorzystywana przez starożytnych naukowców do wyprowadzania wzorów na pola wielokątów. Ciągła praca z trójkątami, zwłaszcza z trójkątem prostokątnym, stała się podstawą całej części matematyki - trygonometrii.

geometria trójkąta

Właściwości figury geometrycznej badano od czasów starożytnych: najwcześniejsze informacje o trójkącie znaleziono w egipskich papirusach sprzed 4000 lat. Następnie figurę badano w starożytnej Grecji, a największy wkład w geometrię trójkąta wnieśli Euklides, Pitagoras i Czapla. Badania nad trójkątem nie ustały i w XVIII wieku Leonhard Euler wprowadził koncepcję ortocentrum figury i koła Eulera. Na przełomie XIX i XX wieku, kiedy wydawało się, że o trójkącie wiadomo już wszystko, Frank Morley sformułował twierdzenie o trójsektorach kąta, a Wacław Sierpiński zaproponował trójkąt fraktalny.

Istnieje kilka rodzajów płaskich trójkątów znanych nam ze szkolnego kursu geometrii:

• ostry kąt - wszystkie rogi figury są ostre;
• rozwarty - figura ma jeden kąt rozwarty (większy niż 90 stopni);
• prostokątny - figura zawiera jeden kąt prosty równy 90 stopni;
• równoramienny - trójkąt o dwóch równych bokach;
• równoboczny - trójkąt o wszystkich bokach równych.
• W prawdziwym życiu istnieje wiele rodzajów trójkątów, a w niektórych przypadkach może być konieczne obliczenie pola figury geometrycznej.

Pole trójkąta

Pole to szacunkowa część płaszczyzny, którą ogranicza figura. Pole trójkąta można wyznaczyć na sześć sposobów, wykorzystując boki, wysokość, kąty, promień okręgu wpisanego lub opisanego, a także korzystając ze wzoru Herona lub obliczając całkę podwójną po liniach ograniczających płaszczyznę. Najprostszy wzór na obliczenie pola trójkąta to:

gdzie a to bok trójkąta, h to jego wysokość.

Jednak w praktyce nie zawsze jest nam wygodnie znaleźć wysokość figury geometrycznej. Algorytm naszego kalkulatora pozwala obliczyć powierzchnię, wiedząc:

• trzy boki;
• dwa boki i kąt między nimi;
• jedna strona i dwa rogi.

Aby wyznaczyć pole w oparciu o trzy boki, używamy wzoru Herona:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdzie p jest połową obwodu trójkąta.

Obliczenia powierzchni z dwóch stron i kąta dokonuje się według klasycznego wzoru:

S = a × b × grzech(alfa),

gdzie alfa jest kątem pomiędzy bokami a i b.

Aby wyznaczyć pole przez jeden bok i dwa narożniki, korzystamy z zależności:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Stosując prostą proporcję wyznaczamy długość drugiego boku, po czym obliczamy pole ze wzoru S = a × b × sin(alfa). Algorytm ten jest w pełni zautomatyzowany i wystarczy wprowadzić podane zmienne i otrzymać wynik. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia wzięte

płyty chodnikowe

Załóżmy, że chcesz wyłożyć podłogę trójkątnymi płytkami i aby określić ilość potrzebnego materiału, powinieneś sprawdzić powierzchnię jednej płytki i powierzchnię podłogi. Załóżmy, że musisz przetworzyć 6 metrów kwadratowych powierzchni za pomocą płytki o wymiarach a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Oczywiście kalkulator wykorzystuje wzór Herona do obliczenia pola trójkąta i będzie podaj wynik:

Zatem powierzchnia jednego elementu płytki wyniesie 0,021 metra kwadratowego, a do ulepszenia podłogi będziesz potrzebować 6 / 0,021 \u003d 285 trójkątów. Liczby 20, 21 i 29 tworzą pitagorejskie liczby potrójne, które spełniają . I zgadza się, nasz kalkulator obliczył także wszystkie kąty trójkąta, a kąt gamma wynosi dokładnie 90 stopni.

zadanie szkolne

W zadaniu szkolnym musisz znaleźć obszar trójkąta, wiedząc, że bok a \u003d 5 cm, a kąty alfa i beta rany wynoszą odpowiednio 30 i 50 stopni. Aby rozwiązać ten problem ręcznie, musielibyśmy najpierw znaleźć wartość boku b, korzystając ze współczynnika proporcji i sinusów przeciwległych kątów, a następnie określić pole za pomocą prostego wzoru S = a × b × sin(alfa). Oszczędźmy czas, wprowadź dane w formularzu kalkulatora i uzyskaj błyskawiczną odpowiedź

Podczas korzystania z kalkulatora ważne jest prawidłowe określenie kątów i boków, w przeciwnym razie wynik będzie nieprawidłowy.

Wniosek

Trójkąt to wyjątkowa figura, która występuje zarówno w prawdziwym życiu, jak i w abstrakcyjnych obliczeniach. Skorzystaj z naszego kalkulatora online, aby znaleźć pole dowolnego trójkąta.

Pole trójkąta - wzory i przykłady rozwiązywania problemów

Poniżej są wzory na znalezienie obszaru dowolnego trójkąta które nadają się do znalezienia pola dowolnego trójkąta, niezależnie od jego właściwości, kątów czy wymiarów. Wzory przedstawiono w formie obrazkowej, tutaj znajdują się wyjaśnienia dotyczące zastosowania lub uzasadnienie ich poprawności. Oddzielny rysunek pokazuje także zgodność symboli literowych we wzorach z symbolami graficznymi na rysunku.

Notatka . Jeśli trójkąt ma specjalne właściwości (równoramienny, prostokątny, równoboczny), możesz skorzystać z poniższych wzorów, a także dodatkowo specjalnych wzorów, które są prawdziwe tylko dla trójkątów o tych właściwościach:

• „Wzory na pole trójkąta równobocznego”

Wzory na pole trójkąta

Objaśnienia do formuł:
a, b, c- długości boków trójkąta, którego pole chcemy znaleźć
R- promień okręgu wpisanego w trójkąt
R- promień okręgu opisanego na trójkącie
H- wysokość trójkąta obniżonego na bok
P- półobwód trójkąta, 1/2 sumy jego boków (obwód)
α - kąt leżący naprzeciw boku a trójkąta
β - kąt leżący naprzeciw boku b trójkąta
γ - kąt leżący naprzeciw boku c trójkąta
H A, H B , H C- wysokość trójkąta obniżona na bok a, b, c

Należy pamiętać, że podany zapis odpowiada powyższemu rysunkowi, dlatego przy rozwiązywaniu rzeczywistego problemu z geometrią wizualnie łatwiej będzie Ci podstawić prawidłowe wartości we właściwych miejscach we wzorze.

• Pole trójkąta wynosi połowa iloczynu wysokości trójkąta i długości boku, o który ta wysokość jest obniżona(Formuła 1). Poprawność tej formuły można zrozumieć logicznie. Wysokość obniżona do podstawy podzieli dowolny trójkąt na dwa prostokątne. Jeśli uzupełnimy każdy z nich do prostokąta o wymiarach b i h, to oczywiście pole tych trójkątów będzie równe dokładnie połowie pola prostokąta (Spr = bh)
• Pole trójkąta wynosi połowa iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi(Wzór 2) (patrz przykład rozwiązania problemu przy użyciu tego wzoru poniżej). Pomimo tego, że wydaje się inny od poprzedniego, łatwo można go w niego przekształcić. Jeśli obniżymy wysokość od kąta B do boku b, okaże się, że iloczyn boku a i sinusa kąta γ, zgodnie z właściwościami sinusa w trójkącie prostokątnym, jest równy wysokości trójkąta narysowanego przez nas, co da nam poprzednią formułę
• Można znaleźć obszar dowolnego trójkąta Poprzez praca połowę promienia okręgu w niego wpisanego, będącego sumą długości wszystkich jego boków(Wzór 3), czyli trzeba pomnożyć połowę obwodu trójkąta przez promień okręgu wpisanego (tak łatwiej zapamiętać)
• Pole dowolnego trójkąta można znaleźć, dzieląc iloczyn wszystkich jego boków przez 4 promienie okręgu opisanego wokół niego (wzór 4)
• Formuła 5 znajduje pole trójkąta pod względem długości jego boków i jego półobwodu (połowa sumy wszystkich jego boków)
• Wzór Herona(6) jest przedstawieniem tego samego wzoru bez użycia pojęcia półobwodu, tylko poprzez długości boków
• Pole dowolnego trójkąta jest równe iloczynowi kwadratu boku trójkąta i sinusów kątów przylegających do tego boku podzielonych przez podwójny sinus kąta przeciwnego do tego boku (wzór 7)
• Pole dowolnego trójkąta można znaleźć jako iloczyn dwóch kwadratów koła opisanego wokół niego i sinusów każdego z jego kątów. (Formuła 8)
• Jeśli znana jest długość jednego boku i wielkość dwóch sąsiadujących z nim kątów, wówczas obszar trójkąta można obliczyć jako kwadrat tego boku podzielony przez podwójną sumę kotangentów tych kąty (wzór 9)
• Jeśli znana jest tylko długość każdej z wysokości trójkąta (wzór 10), wówczas pole takiego trójkąta jest odwrotnie proporcjonalne do długości tych wysokości, jak we wzorze Herona
• Formuła 11 pozwala na obliczenia obszar trójkąta zgodnie ze współrzędnymi jego wierzchołków, które są podane jako wartości (x;y) dla każdego z wierzchołków. Należy pamiętać, że wynikową wartość należy przyjmować modulo, ponieważ współrzędne poszczególnych (lub nawet wszystkich) wierzchołków mogą znajdować się w obszarze wartości ujemnych

Notatka. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązywania problemów z geometrii w celu znalezienia pola trójkąta. Jeżeli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, jakiego tu nie ma - napisz o tym na forum. W rozwiązaniach zamiast symbolu „pierwiastka kwadratowego” można zastosować funkcję sqrt(), w której sqrt jest symbolem pierwiastka kwadratowego, a wyrażenie pierwiastkowe podano w nawiasach.Czasami symbolu można używać do prostych wyrażeń radykalnych √

Zadanie. Znajdź pole, mając dane dwa boki i kąt między nimi

Boki trójkąta mają długość 5 i 6 cm, a kąt między nimi wynosi 60 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, używamy wzoru numer dwa z teoretycznej części lekcji.
Pole trójkąta można znaleźć poprzez długości dwóch boków i sinus kąta między nimi i będzie równe
S=1/2 ab sin γ

Ponieważ posiadamy wszystkie niezbędne dane do rozwiązania (zgodnie ze wzorem), możemy jedynie podstawić wartości ze sformułowania problemu do wzoru:
S=1/2*5*6*sin60

W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy i zastępujemy w wyrażeniu wartość sinusa 60 stopni. Będzie równy pierwiastkowi z trzech przez dwa.
S = 15 √3 / 2

Odpowiedź: 7,5 √3 (w zależności od wymagań nauczyciela prawdopodobnie można pozostawić 15 √3/2)

Zadanie. Znajdź obszar trójkąta równobocznego

Znajdź pole trójkąta równobocznego o boku 3 cm.

Rozwiązanie .

Pole trójkąta można obliczyć korzystając ze wzoru Herona:

S = 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ponieważ a \u003d b \u003d c, wzór na pole trójkąta równobocznego będzie miał postać:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpowiedź: 9 √3 / 4.

Zadanie. Zmień obszar przy zmianie długości boków

O ile razy zwiększy się pole trójkąta, jeśli boki zwiększą się czterokrotnie?

Rozwiązanie.

Ponieważ wymiary boków trójkąta nie są nam znane, aby rozwiązać problem, założymy, że długości boków są odpowiednio równe dowolnym liczbom a, b, c. Następnie, aby odpowiedzieć na pytanie, znajdujemy pole tego trójkąta, a następnie znajdujemy pole trójkąta, którego boki są czterokrotnie większe. Stosunek pól tych trójkątów da nam odpowiedź na pytanie.

Następnie podajemy tekstowe wyjaśnienie rozwiązania problemu krok po kroku. Jednak na sam koniec to samo rozwiązanie przedstawiono w wygodniejszej dla percepcji formie graficznej. Ci, którzy chcą, mogą natychmiast upuścić rozwiązanie.

Aby rozwiązać, używamy wzoru Czapli (patrz powyżej w części teoretycznej lekcji). To wygląda tak:

S = 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz pierwsza linia obrazu poniżej)

Długości boków dowolnego trójkąta są określone przez zmienne a, b, c.
Jeśli boki powiększymy 4 razy, wówczas obszar nowego trójkąta c będzie wynosić:

S 2 = 1/4 kwadratu((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(patrz druga linia na obrazku poniżej)

Jak widać, 4 jest wspólnym czynnikiem, który można ująć w nawias wszystkich czterech wyrażeń, zgodnie z ogólnymi zasadami matematyki.
Następnie

S 2 = 1/4 kwadratu(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - w trzeciej linii obrazu
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - czwarta linia

Z liczby 256 pierwiastek kwadratowy jest doskonale wyodrębniony, więc wyciągniemy go spod korzenia
S 2 = 16 * 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz piąta linia rysunku poniżej)

Aby odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu, wystarczy podzielić pole powstałego trójkąta przez pole pierwotnego.
Określamy stosunki powierzchni, dzieląc wyrażenia na siebie i redukując powstały ułamek.

Pojęcie obszaru

Pojęcie obszaru dowolnej figury geometrycznej, w szczególności trójkąta, będzie kojarzone z taką figurą jak kwadrat. Za powierzchnię jednostkową dowolnej figury geometrycznej weźmiemy pole kwadratu, którego bok jest równy jeden. Dla kompletności przypominamy dwie podstawowe właściwości koncepcji obszarów o kształtach geometrycznych.

Właściwość 1: Jeśli figury geometryczne są równe, to ich pola również są równe.

Właściwość 2: Każdą figurę można podzielić na kilka cyfr. Co więcej, pole oryginalnej figury jest równe sumie wartości pól wszystkich figur, które ją tworzą.

Rozważmy przykład.

Przykład 1

Jest oczywiste, że jeden z boków trójkąta jest przekątną prostokąta, gdzie jeden bok ma wartość 5 $ (od 5 $ komórek), a drugi 6 $ (od 6 $ komórek). Dlatego obszar tego trójkąta będzie równy połowie takiego prostokąta. Pole prostokąta wynosi

Następnie obszar trójkąta wynosi

Odpowiedź: 15 dolarów.

Następnie rozważ kilka metod znajdowania obszarów trójkątów, a mianowicie użycie wysokości i podstawy, użycie wzoru Czapli i pola trójkąta równobocznego.

Jak znaleźć obszar trójkąta za pomocą wysokości i podstawy

Twierdzenie 1

Pole trójkąta można obliczyć jako połowę iloczynu długości boku pomnożonego przez wysokość narysowaną na ten bok.

Matematycznie wygląda to tak

$S=\frac(1)(2)αh$

gdzie $a$ jest długością boku, $h$ jest wysokością do niego narysowaną.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$, gdzie $AC=α$. Wysokość $BH$ jest narysowana na tym boku i wynosi $h$. Podnieśmy to do kwadratu $AXYC$, jak na rysunku 2.

Pole prostokąta $AXBH$ wynosi $h\cdot AH$, a pole prostokąta $HBYC$ to $h\cdot HC$. Następnie

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dlatego pożądany obszar trójkąta, zgodnie z właściwością 2, jest równy

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład 2

Znajdź pole trójkąta na poniższym rysunku, jeśli komórka ma pole równe jeden

Podstawa tego trójkąta wynosi 9 dolarów (ponieważ 9 dolarów to 9 dolarów komórek). Wysokość również wynosi 9 dolarów. Następnie, na mocy Twierdzenia 1, otrzymujemy

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odpowiedź: 40,5 dolarów.

Wzór Herona

Twierdzenie 2

Jeśli mamy dane trzy boki trójkąta $α$, $β$ i $γ$, to jego pole można obliczyć w następujący sposób

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tutaj $ρ$ oznacza połowę obwodu tego trójkąta.

Dowód.

Rozważ następujący rysunek:

Z twierdzenia Pitagorasa z trójkąta $ABH$ otrzymujemy

Z trójkąta $CBH$, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, mamy

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Z tych dwóch relacji otrzymujemy równość

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ponieważ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, to $α+β+γ=2ρ$, stąd

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Z twierdzenia 1 otrzymujemy

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$