Definicja 1
Moment siły jest reprezentowany przez moment obrotowy lub moment obrotowy, będący wektorową wielkością fizyczną.
Definiuje się go jako iloczyn wektorowy wektora siły, a także wektor promienia, który jest rysowany od osi obrotu do punktu przyłożenia określonej siły.
Moment siły jest cechą obrotowego działania siły na ciało stałe. Pojęcia momentu „obrotowego” i „momentu obrotowego” nie będą uważane za identyczne, ponieważ w technologii pojęcie momentu „obrotowego” jest uważane za siłę zewnętrzną przyłożoną do obiektu.
Jednocześnie pojęcie „momentu obrotowego” rozważa się w formacie siły wewnętrznej powstającej w obiekcie pod wpływem określonych przyłożonych obciążeń (podobną koncepcję stosuje się w przypadku wytrzymałości materiałów).
Pojęcie momentu siły
Moment siły w fizyce można rozpatrywać w postaci tzw. „siły obrotowej”. Jednostką miary w układzie SI jest niutonometr. Moment siły można również nazwać „momentem pary sił”, jak zauważył Archimedes w pracy na temat dźwigni.
Notatka 1
W prostych przykładach, gdy na dźwignię działa siła w stosunku prostopadłym do niej, moment siły będzie wyznaczony jako iloczyn wielkości określonej siły i odległości od osi obrotu dźwigni.
Na przykład siła trzech niutonów przyłożona w odległości dwóch metrów od osi obrotu dźwigni wytwarza moment równy sile jednego niutona przyłożonej w odległości 6 metrów od dźwigni. Dokładniej, moment siły cząstki wyznacza się w formacie iloczynu wektorowego:
$\vec (M)=\vec(r)\vec(F)$, gdzie:
- $\vec (F)$ reprezentuje siłę działającą na cząstkę,
- $\vec (r)$ jest promieniem wektora cząstki.
W fizyce energię należy rozumieć jako wielkość skalarną, natomiast moment obrotowy będzie uważany za wielkość (pseudo) wektorową. Zbieżność wymiarów takich wielkości nie będzie przypadkowa: moment siły 1 N m, przyłożony podczas całego obrotu, wykonując pracę mechaniczną, przekazuje energię 2 $\pi$ dżuli. Matematycznie wygląda to tak:
$E = M\theta$, gdzie:
- $E$ reprezentuje energię;
- Za moment obrotowy uważa się $M$;
- $\theta$ będzie kątem w radianach.
Obecnie pomiar momentu siły odbywa się za pomocą specjalnych czujników obciążenia typu tensometrycznego, optycznego i indukcyjnego.
Wzory do obliczania momentu siły
Ciekawostką w fizyce jest obliczanie momentu siły w polu, obliczanego według wzoru:
$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, gdzie:
- $\vec(M_1)$ jest momentem dźwigni;
- $\vec(F)$ reprezentuje wielkość działającej siły.
Wadą takiego przedstawienia jest to, że nie wyznacza ono kierunku momentu siły, a jedynie jego wielkość. Jeżeli siła jest prostopadła do wektora $\vec(r)$, moment dźwigni będzie równy odległości od środka do punktu przyłożonej siły. W takim przypadku moment siły będzie maksymalny:
$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$
Kiedy siła wykonuje określoną akcję w dowolnej odległości, wykona pracę mechaniczną. W ten sam sposób moment siły (podczas wykonywania działania na odległość kątową) wykona pracę.
$P = \vec (M)\omega $
W istniejącym międzynarodowym systemie miar moc $P$ będzie mierzona w watach, a sam moment siły w niutonometrach. W tym przypadku prędkość kątową określa się w radianach na sekundę.
Moment kilku sił
Uwaga 2
Kiedy na ciało działają dwie równe i przeciwnie skierowane siły, które nie leżą na tej samej linii prostej, obserwujemy brak tego ciała w stanie równowagi. Wyjaśnia to fakt, że wypadkowy moment wskazanych sił względem którejkolwiek z osi nie ma wartości zerowej, ponieważ obie reprezentowane siły mają momenty skierowane w tym samym kierunku (para sił).
W sytuacji, gdy ciało jest unieruchomione na osi, będzie się ono obracać pod wpływem kilku sił. Jeśli na wolne ciało zostanie przyłożona para sił, zacznie się ono obracać wokół osi przechodzącej przez środek ciężkości ciała.
Moment pary sił uważa się za taki sam względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny pary. W tym przypadku moment całkowity $M$ pary będzie zawsze równy iloczynowi jednej z sił $F$ i odległości $l$ pomiędzy siłami (ramię pary) niezależnie od rodzaju segmentów który dzieli położenie osi.
$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$
W sytuacji, gdy wypadkowy moment kilku sił jest równy zeru, będzie on uważany za taki sam względem wszystkich osi równoległych do siebie. Z tego powodu działanie na ciało wszystkich tych sił można zastąpić działaniem tylko jednej pary sił o tym samym momencie.
Rozwiązując problemy poruszających się obiektów, w wielu przypadkach zaniedbuje się ich wymiary przestrzenne, wprowadzając koncepcję punktu materialnego. W przypadku innego rodzaju zagadnienia, w którym rozważane są ciała w spoczynku lub wirujące, istotna jest znajomość ich parametrów oraz punktów przyłożenia sił zewnętrznych. W tym przypadku mówimy o momencie siły względem osi obrotu. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu w artykule.
Pojęcie momentu siły
Zanim sprowadzimy go względem ustalonej osi obrotu, należy wyjaśnić, o jakim zjawisku mówimy. Poniżej rysunek przedstawiający klucz o długości d, na jego koniec przykładana jest siła F. Łatwo sobie wyobrazić, że skutkiem jej działania będzie obrócenie klucza w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i odkręcenie nakrętki.
Zgodnie z definicją moment siły względem osi obrotu jest iloczynem ramienia (w tym przypadku d) i siły (F), czyli można zapisać wzór: M = d*F. Należy od razu zauważyć, że powyższy wzór jest zapisany w postaci skalarnej, to znaczy pozwala obliczyć wartość bezwzględną momentu M. Jak widać ze wzoru, jednostką miary rozważanej wartości są niutony na metr (N*m).
- wielkość wektorowa
Jak wspomniano powyżej, moment M jest w rzeczywistości wektorem. Aby wyjaśnić to stwierdzenie, rozważmy inną liczbę.
Widzimy tutaj dźwignię o długości L, która jest przymocowana do osi (pokazanej strzałką). Na jego koniec działa siła F pod kątem Φ. Nietrudno sobie wyobrazić, że siła ta spowoduje podniesienie dźwigni. Wzór na moment w postaci wektorowej w tym przypadku zapiszemy następująco: M¯ = L¯*F¯, tutaj kreska nad symbolem oznacza, że dana wielkość jest wektorem. Należy wyjaśnić, że L¯ jest skierowany od do punktu przyłożenia siły F¯.
Podane wyrażenie jest iloczynem krzyżowym. Powstały wektor (M¯) będzie skierowany prostopadle do płaszczyzny utworzonej przez L¯ i F¯. Istnieje kilka zasad (prawa ręka, świder) pozwalających określić kierunek momentu M¯. Aby ich nie zapamiętać i nie pomylić kolejności mnożenia wektorów L¯ i F¯ (od tego zależy kierunek M¯), należy pamiętać o jednej prostej rzeczy: moment siły będzie skierowany w taki sposób w taki sposób, że patrząc od końca wektora, działająca siła F ¯ obróci dźwignię w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ten kierunek chwili jest tradycyjnie uznawany za pozytywny. Jeśli układ obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wówczas powstały moment siły ma wartość ujemną.
Zatem w rozpatrywanym przypadku z dźwignią L wartość M¯ jest skierowana w górę (od figury do czytelnika).
W formie skalarnej wzór na chwilę zostanie zapisany jako: M = L*F*sin(180-Φ) lub M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)) . Zgodnie z definicją sinusa możemy zapisać równość: M = d*F, gdzie d = L*sin(Φ) (patrz rysunek i odpowiadający mu trójkąt prostokątny). Ostatni wzór jest podobny do podanego w poprzednim akapicie.
Powyższe obliczenia pokazują, jak pracować z wektorowymi i skalarnymi wartościami momentu obrotowego, aby uniknąć błędów.
Fizyczne znaczenie wielkości M¯
Ponieważ dwa przypadki omówione w poprzednich akapitach są związane z ruchem obrotowym, możemy się domyślić, jakie jest znaczenie momentu siły. Jeżeli siła działająca na punkt materialny jest miarą wzrostu prędkości ruchu liniowego tego ostatniego, to moment siły jest miarą jej zdolności obrotowej względem rozpatrywanego układu.
Podajmy jasny przykład. Każda osoba otwiera drzwi trzymając za klamkę. Można to również zrobić poprzez naciśnięcie drzwi w obszarze klamki. Dlaczego nikt go nie otworzy, wpychając go w okolicę zawiasów? To bardzo proste: im bliżej zawiasów zostanie przyłożona siła, tym trudniej otworzyć drzwi i odwrotnie. Konkluzja poprzedniego zdania wynika ze wzoru na chwilę (M = d*F), z którego wynika, że przy M = const wartości d i F są odwrotnie powiązane.
Moment siły – wielkość addytywna
We wszystkich omówionych powyżej przypadkach istniała tylko jedna siła czynna. Przy rozwiązywaniu rzeczywistych problemów sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana. Zazwyczaj układy, które obracają się lub są w równowadze, podlegają działaniu kilku sił skręcających, z których każda wytwarza swój własny moment. W tym przypadku rozwiązywanie problemów sprowadza się do znalezienia całkowitego momentu sił względem osi obrotu.
Moment całkowity oblicza się poprzez zwykłą sumę poszczególnych momentów dla każdej siły, należy jednak pamiętać o zastosowaniu prawidłowego znaku dla każdej z nich.
Przykład rozwiązania problemu
W celu utrwalenia zdobytej wiedzy proponuje się rozwiązanie następującego problemu: należy obliczyć całkowity moment siły dla układu pokazanego na poniższym rysunku.
Widzimy, że na dźwignię o długości 7 m działają trzy siły (F1, F2, F3) i mają one różne punkty przyłożenia względem osi obrotu. Ponieważ kierunek sił jest prostopadły do dźwigni, nie ma potrzeby stosowania wyrażenia wektorowego dla momentu skręcającego. Możesz obliczyć moment całkowity M za pomocą wzoru skalarnego i nie zapominając o ustawieniu żądanego znaku. Ponieważ siły F1 i F3 mają tendencję do obracania dźwigni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a F2 - zgodnie z ruchem wskazówek zegara, moment obrotowy dla pierwszego będzie dodatni, a dla drugiego - ujemny. Mamy: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 N*m. Oznacza to, że moment całkowity jest dodatni i skierowany w górę (w stronę czytelnika).
Co jest równe iloczynowi siły działającej na jego ramię.
Moment siły oblicza się ze wzoru:
Gdzie F- siła, l- ramię siły.
Ramię mocy- jest to najkrótsza odległość od linii działania siły do osi obrotu ciała. Poniższy rysunek przedstawia sztywny korpus, który może obracać się wokół osi. Oś obrotu tego ciała jest prostopadła do płaszczyzny figury i przechodzi przez punkt oznaczony literą O. Ramię siły Ft oto odległość l, od osi obrotu do linii działania siły. Definiuje się to w ten sposób. Pierwszym krokiem jest narysowanie linii działania siły, następnie z punktu O, przez który przechodzi oś obrotu ciała, obniż prostopadle do linii działania siły. Długość tej prostopadłej okazuje się być ramieniem danej siły.
Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. To działanie zależy zarówno od siły, jak i dźwigni. Im większe ramię, tym mniejszą siłę należy przyłożyć, aby uzyskać pożądany efekt, czyli ten sam moment siły (patrz rysunek powyżej). Dlatego znacznie trudniej otworzyć drzwi, dociskając je w pobliże zawiasów, niż chwytając za klamkę, a o wiele łatwiej odkręcić nakrętkę długim kluczem niż krótkim.
Za jednostkę momentu siły w układzie SI przyjmuje się moment siły 1 N, którego ramię jest równe 1 m - niutonometr (N m).
Zasada momentów.
Ciało sztywne, które może obracać się wokół ustalonej osi, znajduje się w równowadze, jeśli moment siły M 1 obrót go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły M 2 , który obraca go w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:
Reguła momentów jest konsekwencją jednego z twierdzeń mechaniki, które sformułował francuski naukowiec P. Varignon w 1687 roku.
Parę sił.
Jeżeli na ciało działają 2 równe i przeciwnie skierowane siły, które nie leżą na tej samej prostej, to ciało takie nie jest w równowadze, gdyż wypadkowy moment tych sił względem dowolnej osi nie jest równy zeru, gdyż obie siły mają momenty skierowane w tym samym kierunku. Dwie takie siły działające jednocześnie na ciało nazywamy parę sił. Jeśli ciało jest zamocowane na osi, to pod działaniem pary sił będzie się obracać. Jeśli na wolne ciało przyłoży się kilka sił, wówczas obróci się ono wokół własnej osi. przechodząc przez środek ciężkości ciała, figura B.
Moment pary sił jest taki sam względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny pary. Całkowita chwila M par jest zawsze równa iloczynowi jednej z sił F na odległość l pomiędzy siłami, tzw ramię pary, bez względu na segmenty l, i dzieli położenie osi ramienia pary:
Moment kilku sił, których wypadkowa wynosi zero, będzie taki sam względem wszystkich osi równoległych do siebie, dlatego działanie wszystkich tych sił na ciało można zastąpić działaniem jednej pary sił o tych samych za chwilę.
Zasada dźwigni, odkryta przez Archimedesa w III wieku p.n.e., istniała przez prawie dwa tysiące lat, aż w XVII wieku, za sprawą lekkiej ręki francuskiego naukowca Varignona, otrzymała bardziej ogólną formę.
Zasada momentu obrotowego
Wprowadzono pojęcie momentu obrotowego. Moment siły jest wielkością fizyczną równą iloczynowi siły i jej ramienia:
gdzie M jest momentem siły,
F - siła,
l - dźwignia siły.
Bezpośrednio z reguły równowagi dźwigni Zasada dotycząca momentów sił jest następująca:
F1 / F2 = l2 / l1 lub, zgodnie z właściwością proporcji, F1 * l1= F2 * l2, czyli M1 = M2
W wyrażeniu słownym zasada momentów sił jest następująca: dźwignia znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił, jeśli moment siły obracającej ją w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły obracającej ją w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Zasada momentów siły obowiązuje dla dowolnego ciała zamocowanego wokół ustalonej osi. W praktyce moment siły wyznacza się następująco: w kierunku działania siły rysuje się linię działania siły. Następnie z punktu, w którym znajduje się oś obrotu, rysuje się prostopadłą do linii działania siły. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. Mnożąc wartość modułu siły przez jej ramię, otrzymujemy wartość momentu siły względem osi obrotu. Oznacza to, że moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. Efekt siły zależy zarówno od samej siły, jak i od jej dźwigni.
Zastosowanie reguły momentów sił w różnych sytuacjach
Oznacza to zastosowanie reguły momentów sił w różnych sytuacjach. Przykładowo, jeśli otworzymy drzwi, to odepchniemy je w okolicy klamki, czyli od zawiasów. Można wykonać podstawowy eksperyment i upewnić się, że pchanie drzwi będzie łatwiejsze, im dalej przyłożymy siłę od osi obrotu. Praktyczny eksperyment w tym przypadku bezpośrednio potwierdza wzór. Ponieważ, aby momenty sił na różnych ramionach były równe, konieczne jest, aby większe ramię odpowiadało mniejszej sile i odwrotnie, mniejsze ramię odpowiadało większemu. Im bliżej osi obrotu przyłożymy siłę, tym większa powinna być. Im dalej od osi operujemy dźwignią, obracając korpus, tym mniejszą siłę będziemy musieli przyłożyć. Wartości liczbowe można łatwo znaleźć ze wzoru na regułę chwili.
Dokładnie opiera się na zasadzie momentów siły, że jeśli chcemy podnieść coś ciężkiego, bierzemy łom lub długi kij i wsuwając jeden koniec pod ciężar, przyciągamy łom do drugiego końca. Z tego samego powodu wkręcamy śruby śrubokrętem z długą rączką, a nakrętki dokręcamy długim kluczem.
Moment siły względem osi lub po prostu moment siły to rzut siły na linię prostą, prostopadłą do promienia i narysowaną w miejscu przyłożenia siły, pomnożony przez odległość od ten punkt do osi. Lub iloczyn siły i ramienia jej zastosowania. Ramię w tym przypadku jest odległością od osi do punktu przyłożenia siły. Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły na ciało. Oś w tym przypadku jest punktem mocowania korpusu, wokół którego może się on obracać. Jeśli ciało nie jest nieruchome, wówczas oś obrotu można uznać za środek masy.
Formuła 1 - Moment siły.
F - Siła działająca na ciało.
r - Dźwignia siły.
Rysunek 1 - Moment siły.
Jak widać na rysunku, ramię siły to odległość od osi do punktu przyłożenia siły. Ale dzieje się tak, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni. Jeśli tak nie jest, należy narysować linię wzdłuż działania siły i opuścić na nią prostopadłą od osi. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. Jednak przesunięcie punktu przyłożenia siły wzdłuż kierunku siły nie zmienia jej momentu.
Powszechnie przyjmuje się, że moment siły powodujący obrót ciała względem punktu obserwacyjnego w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara uważa się za dodatni. I odpowiednio ujemne, powodując obrót przeciwko niemu. Moment siły mierzony jest w niutonach na metr. Jeden niutonometr to siła 1 niutona działająca na ramię o długości 1 metra.
Jeżeli siła działająca na ciało przechodzi wzdłuż linii przechodzącej przez oś obrotu ciała lub przez środek masy, jeżeli ciało nie posiada osi obrotu. Wtedy moment siły w tym przypadku będzie równy zero. Ponieważ ta siła nie spowoduje obrotu ciała, ale po prostu przesunie je translalnie wzdłuż linii przyłożenia.
Rysunek 2 - Moment siły wynosi zero.
Jeżeli na ciało działa kilka sił, to moment siły będzie określony przez ich wypadkową. Na przykład na ciało mogą oddziaływać dwie siły o jednakowej wielkości i przeciwnych kierunkach. W tym przypadku całkowity moment siły będzie równy zeru. Ponieważ siły te będą się wzajemnie kompensować. Mówiąc najprościej, wyobraź sobie karuzelę dla dzieci. Jeśli jeden chłopiec popchnie ją zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugi z taką samą siłą, karuzela pozostanie nieruchoma.