Na obecnym etapie rozwoju edukacji jednym z jej głównych zadań jest kształtowanie osobowości twórczo myślącej. Zdolność twórczą uczniów można rozwijać tylko wtedy, gdy będą oni systematycznie angażowani w podstawy działalności badawczej. Podstawą wykorzystania przez uczniów swoich sił twórczych, zdolności i talentów jest kształtowana pełnoprawna wiedza i umiejętności. W związku z tym problem kształtowania systemu podstawowej wiedzy i umiejętności dla każdego tematu szkolnego kursu matematyki nie jest mały. Jednocześnie pełnoprawne umiejętności powinny być celem dydaktycznym nie poszczególnych zadań, ale ich starannie przemyślanego systemu. W najszerszym znaczeniu system jest rozumiany jako zbiór wzajemnie powiązanych, oddziałujących na siebie elementów, które charakteryzują się integralnością i stabilną strukturą.
Rozważmy technikę nauczania uczniów, jak napisać równanie stycznej do wykresu funkcji. Zasadniczo wszystkie problemy ze znalezieniem równania stycznego sprowadzają się do konieczności wybrania ze zbioru (wiązki, rodziny) prostych tych, które spełniają określony warunek - są styczne do wykresu określonej funkcji. W takim przypadku zbiór linii, z których dokonywana jest selekcja, można określić na dwa sposoby:
a) punkt leżący na płaszczyźnie xOy (środkowy ołówek linii);
b) współczynnik kątowy (równoległa wiązka linii prostych).
W związku z tym, studiując temat „Styczna do wykresu funkcji” w celu wyodrębnienia elementów układu, zidentyfikowaliśmy dwa rodzaje problemów:
1) problemy dotyczące stycznej danej przez punkt, przez który ona przechodzi;
2) problemy dotyczące stycznej wynikającej z jej nachylenia.
Szkolenie z rozwiązywania problemów stycznych przeprowadzono przy użyciu algorytmu zaproponowanego przez A.G. Mordkowicz. Zasadnicza różnica w stosunku do znanych już polega na tym, że odcięta punktu stycznego jest oznaczona literą a (zamiast x0), w związku z czym równanie styczne przyjmuje postać
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(porównaj z y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Naszym zdaniem ta technika metodologiczna pozwala uczniom szybko i łatwo zrozumieć, gdzie zapisane są współrzędne bieżącego punktu ogólne równanie styczne i gdzie znajdują się punkty styczności.
Algorytm skomponowania równania stycznego z wykresem funkcji y = f(x)
1. Oznacz odciętą punktu stycznego literą a.
2. Znajdź f(a).
3. Znajdź f „(x) i f” (a).
4. Podstaw znalezione liczby a, f(a), f „(a) do ogólnego równania stycznego y = f(a) = f „(a)(x – a).
Algorytm ten można zestawić na podstawie samodzielnej identyfikacji przez studentów operacji i kolejności ich wykonywania.
Praktyka pokazała, że sekwencyjne rozwiązywanie każdego z kluczowych problemów za pomocą algorytmu pozwala rozwinąć umiejętności zapisywania równania stycznej na wykresie funkcji etapami, a kroki algorytmu służą jako punkty odniesienia dla działań . Podejście to odpowiada teorii stopniowego kształtowania się działań umysłowych opracowanej przez P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.
W pierwszym typie zadań zidentyfikowano dwa zadania kluczowe:
- styczna przechodzi przez punkt leżący na krzywej (zadanie 1);
- styczna przechodzi przez punkt nie leżący na krzywej (zadanie 2).
Zadanie 1. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji 
w punkcie M(3; – 2).
Rozwiązanie. Punkt M(3; – 2) jest punktem stycznym, ponieważ
1. a = 3 – odcięta punktu stycznego.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – równanie styczne.
Zadanie 2. Zapisz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji y = – x 2 – 4x + 2 przechodzącej przez punkt M(– 3; 6).
Rozwiązanie. Punkt M(– 3; 6) nie jest punktem stycznym, gdyż f(– 3) 6 (rys. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – równanie styczne.
Styczna przechodzi przez punkt M(– 3; 6), zatem jej współrzędne spełniają równanie styczne.
6 = – za 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
za 2 + 6a + 8 = 0 ^ za 1 = – 4, za 2 = – 2.
Jeśli a = – 4, to równanie styczne ma postać y = 4x + 18.
Jeżeli a = – 2, to równanie styczne ma postać y = 6.
W drugim typie kluczowymi zadaniami będą:
- styczna jest równoległa do jakiejś prostej (zadanie 3);
- styczna przechodzi pod pewnym kątem do danej prostej (zadanie 4).
Zadanie 3. Zapisz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji y = x 3 – 3x 2 + 3, równolegle do prostej y = 9x + 1.
1. a – odcięta punktu stycznego.
2. f(a) = za 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.
Ale z drugiej strony f "(a) = 9 (warunek równoległości). Oznacza to, że musimy rozwiązać równanie 3a 2 – 6a = 9. Jego pierwiastki to a = – 1, a = 3 (ryc. 3 ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f „(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – równanie styczne;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – równanie styczne.
Zadanie 4. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji y = 0,5x 2 – 3x + 1, przechodzącej pod kątem 45° do prostej y = 0 (rys. 4).
Rozwiązanie. Z warunku f "(a) = tan 45° znajdujemy a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – odcięta punktu stycznego.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – równanie styczne.
Łatwo pokazać, że rozwiązanie dowolnego innego problemu sprowadza się do rozwiązania jednego lub większej liczby problemów kluczowych. Rozważmy jako przykład dwa następujące problemy.
1. Zapisz równania stycznych do paraboli y = 2x 2 – 5x – 2, jeżeli styczne przecinają się pod kątem prostym i jedna z nich dotyka paraboli w punkcie o odciętej 3 (rys. 5).
Rozwiązanie. Ponieważ podana jest odcięta punktu stycznego, pierwsza część rozwiązania sprowadza się do kluczowego problemu 1.
1. a = 3 – odcięta punktu styczności jednego z boków kąta prostego.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – równanie pierwszej stycznej.
Niech a będzie kątem nachylenia pierwszej stycznej. Ponieważ styczne są prostopadłe, to jest kąt nachylenia drugiej stycznej. Z równania y = 7x – 20 pierwszej stycznej mamy tg a = 7. Znajdźmy
Oznacza to, że nachylenie drugiej stycznej jest równe .
Dalsze rozwiązanie sprowadza się do kluczowego zadania 3.
Niech B(c; f(c)) będzie zatem punktem styczności drugiej prostej
1. – odcięta drugiego punktu styczności.
2. 
3. 
4. 
– równanie drugiej stycznej.
Notatka. Współczynnik kątowy stycznej można łatwiej znaleźć, jeśli uczniowie znają stosunek współczynników prostych prostopadłych k 1 k 2 = – 1.
2. Zapisz równania wszystkich wspólnych stycznych do wykresów funkcji
Rozwiązanie. Zadanie sprowadza się do znalezienia odciętych punktów stycznych wspólnych stycznych, czyli rozwiązania kluczowego problemu 1 w postaci ogólnej, ułożenia układu równań, a następnie jego rozwiązania (rys. 6).
1. Niech a będzie odciętą punktu stycznego leżącego na wykresie funkcji y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = za 2 + za + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = za 2 + za + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – za 2 .
1. Niech c będzie odciętą punktu stycznego leżącego na wykresie funkcji 
2. 
3. f "(c) = do.
4.
Zatem styczne są ogólne
Zatem y = x + 1 i y = – 3x – 3 są wspólnymi stycznymi.
Głównym celem rozważanych zadań jest przygotowanie studentów do samodzielnego rozpoznawania rodzaju problemu kluczowego przy rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów wymagających określonych umiejętności badawczych (umiejętność analizowania, porównywania, uogólniania, stawiania hipotez itp.). Do takich zadań zalicza się każde zadanie, którego elementem jest zadanie kluczowe. Rozważmy jako przykład problem (odwrotny do Zadania 1) znalezienia funkcji z rodziny jej stycznych.
3. Dla jakiego b i c proste y = x i y = – 2x są styczne do wykresu funkcji y = x 2 + bx + c?
Niech t będzie odciętą punktu styczności prostej y = x z parabolą y = x 2 + bx + c; p jest odciętą punktu styczności prostej y = – 2x z parabolą y = x 2 + bx + c. Wtedy równanie styczne y = x przyjmie postać y = (2t + b)x + c – t 2 , a równanie styczne y = – 2x przyjmie postać y = (2p + b)x + c – p 2 .
Ułóżmy i rozwiążmy układ równań
Odpowiedź: 
Tangens jest linią prostą przechodzącą przez punkt na krzywej i pokrywającą się z nim w tym punkcie aż do pierwszego rzędu (rys. 1).
Inna definicja: jest to położenie graniczne siecznej w punkcie Δ X→0.
Wyjaśnienie: Weź linię prostą przecinającą krzywą w dwóch punktach: A I B(widzieć zdjęcie). To jest sieczna. Będziemy go obracać zgodnie z ruchem wskazówek zegara, aż znajdzie tylko jeden punkt wspólny z krzywą. To da nam tangens.
Ścisła definicja stycznej:
Styczna do wykresu funkcji F, różniczkowalna w punkcie XO, jest linią prostą przechodzącą przez punkt ( XO; F(XO)) i mający nachylenie F′( XO).
Nachylenie ma prostą linię formy y =kx +B. Współczynnik k i jest nachylenie tę linię prostą.
Współczynnik kątowy jest równy tangensowi kąta ostrego utworzonego przez tę prostą z osią odciętej:
|
Tutaj kąt α jest kątem pomiędzy linią prostą y =kx +B i dodatni (to znaczy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) kierunek osi x. Nazywa się to kąt nachylenia linii prostej(Rys. 1 i 2). 
Jeśli kąt nachylenia jest prosty y =kx +B ostre, wówczas nachylenie jest liczbą dodatnią. Wykres rośnie (ryc. 1).
Jeśli kąt nachylenia jest prosty y =kx +B jest rozwarty, to nachylenie jest liczbą ujemną. Wykres maleje (ryc. 2).
Jeżeli prosta jest równoległa do osi x, to kąt nachylenia prostej wynosi zero. W tym przypadku nachylenie linii również wynosi zero (ponieważ tangens zera wynosi zero). Równanie prostej będzie wyglądać jak y = b (ryc. 3).
Jeżeli kąt nachylenia prostej wynosi 90° (π/2), czyli jest prostopadły do osi odciętych, to prosta jest dana przez równość x =C, Gdzie C– jakaś liczba rzeczywista (ryc. 4).
Równanie stycznej do wykresu funkcjiy = F(X) W punkcie XO:
Przykład: Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 w punkcie z odciętą 2.
Rozwiązanie .
Postępujemy zgodnie z algorytmem.
1) Punkt dotykowy XO jest równe 2. Oblicz F(XO):
F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Znajdź F′( X). W tym celu stosujemy wzory na różniczkowanie opisane w poprzedniej sekcji. Według tych formuł, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Oznacza:
F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Teraz korzystając z otrzymanej wartości F′( X), Oblicz F′( XO):
F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Mamy więc wszystkie niezbędne dane: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Podstaw te liczby do równania stycznego i znajdź ostateczne rozwiązanie:
y = F(XO) + F′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Odpowiedź: y = 4x – 7.
Rodzaj pracy: 7
Stan
Prosta y=3x+2 jest styczna do wykresu funkcji y=-12x^2+bx-10. Znajdź b, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest mniejsza od zera.
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=-12x^2+bx-10, przez który przechodzi styczna do tego wykresu.
Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do obu wykresu funkcja i tangens, czyli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(przypadki)
Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.
Odpowiedź
Rodzaj pracy: 7
Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji
Stan
Prosta y=-3x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7. Znajdź odciętą punktu stycznego.
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Współczynnik kątowy prostej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7 w dowolnym punkcie x_0 jest równy y"(x_0). Ale y"=-2x+5, co oznacza y" (x_0)=-2x_0+5.Kątowy współczynnik prostej y=-3x+4 określony w warunku jest równy -3.Proste równoległe mają takie same współczynniki nachylenia.Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że =- 2x_0 +5=-3.
Otrzymujemy: x_0 = 4.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Rodzaj pracy: 7
Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji
Stan
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Z rysunku określamy, że styczna przechodzi przez punkty A(-6; 2) i B(-1; 1). Oznaczmy przez C(-6; 1) punkt przecięcia prostych x=-6 i y=1, a przez \alpha kąt ABC (na rysunku widać, że jest on ostry). Następnie prosta AB tworzy kąt \pi -\alpha z dodatnim kierunkiem osi Ox, która jest rozwarta.
Jak wiadomo, tg(\pi -\alpha) będzie wartością pochodnej funkcji f(x) w punkcie x_0. Zauważ, że tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Stąd, korzystając ze wzorów redukcyjnych, otrzymujemy: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Rodzaj pracy: 7
Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji
Stan
Prosta y=-2x-4 jest styczna do wykresu funkcji y=16x^2+bx+12. Znajdź b, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest większa od zera.
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=16x^2+bx+12, przez który
jest styczna do tego wykresu.
Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y"(x_0)=32x_0+b=-2. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do obu wykresu funkcja i tangens, czyli 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(przypadki)
Rozwiązując układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są większe od zera, zatem x_0=1, wówczas b=-2-32x_0=-34.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Rodzaj pracy: 7
Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji
Stan
Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-2; 8). Wyznacz liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej y=6.
Rozwiązanie
Linia prosta y=6 jest równoległa do osi Wółu. Znajdujemy zatem punkty, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi Wółu. Na tym wykresie takie punkty są punktami ekstremalnymi (punktami maksymalnymi lub minimalnymi). Jak widać, istnieją 4 ekstrema.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Rodzaj pracy: 7
Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji
Stan
Prosta y=4x-6 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x^2-4x+9. Znajdź odciętą punktu stycznego.
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Nachylenie stycznej do wykresu funkcji y=x^2-4x+9 w dowolnym punkcie x_0 jest równe y"(x_0). Ale y"=2x-4, co oznacza y"(x_0)= 2x_0-4.Nachylenie stycznej y =4x-7, określonej w warunku, jest równe 4.Proste równoległe mają te same współczynniki kątowe.Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że 2x_0-4 = 4.My otrzymaj: x_0 = 4.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Rodzaj pracy: 7
Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji
Stan
Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x_0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x_0.
Rozwiązanie
Z rysunku wynika, że styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4). Oznaczmy przez C(5; 1) punkt przecięcia prostych x=5 i y=1, a przez \alpha kąt BAC (na rysunku widać, że jest on ostry). Następnie prosta AB tworzy kąt \alfa z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Y = f(x) i jeśli w tym miejscu można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to współczynnik kątowy stycznej jest równy f”(a). Mamy już użyłem tego kilka razy.Na przykład w § 33 ustalono, że wykres funkcji y = sin x (sinusoida) w początku tworzy z osią x kąt 45° (a dokładniej styczną do wykres na początku tworzy kąt 45° z dodatnim kierunkiem osi x), a w przykładzie 5 w podanym harmonogramie znaleziono punkty 33 Funkcje, w którym styczna jest równoległa do osi x. W przykładzie 2 z § 33 sporządzono równanie dla stycznej do wykresu funkcji y = x 2 w punkcie x = 1 (a dokładniej w punkcie (1; 1), ale częściej jest to tylko wartość odciętej wskazano, wierząc, że jeśli znana jest wartość odciętej, to wartość rzędnej można znaleźć z równania y = f(x)). W tej części opracujemy algorytm tworzenia równania stycznego z wykresem dowolnej funkcji.
Niech będzie dana funkcja y = f(x) i punkt M (a; f(a)), wiadomo też, że istnieje f"(a). Ułóżmy równanie na styczną do wykresu a dana funkcja w danym punkcie.Równanie to podobnie jak równanie dowolnej prostej nierównoległej do osi rzędnych ma postać y = kx+m, więc zadaniem jest znalezienie wartości współczynników k i m.
Ze współczynnikiem kątowym k nie ma problemów: wiemy, że k = f "(a). Do obliczenia wartości m wykorzystujemy fakt, że pożądana prosta przechodzi przez punkt M(a; f (a)) Oznacza to, że jeśli do równania prostej podstawimy współrzędne punktu M, otrzymamy poprawną równość: f(a) = ka+m, z czego wynika, że m = f(a) - ka.
Pozostaje zastąpić znalezione wartości współczynników zestawu równanie prosty:
Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x=a.
Jeśli, powiedzmy,
Podstawiając znalezione wartości a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 do równania (1), otrzymujemy: y = 1+2(x-f), czyli y = 2x-1.
Porównaj ten wynik z wynikiem uzyskanym w przykładzie 2 z § 33. Naturalnie stało się to samo.
Utwórzmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = tan x w początku układu współrzędnych. Mamy: 
oznacza to cos x f"(0) = 1. Podstawiając znalezione wartości a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 do równania (1), otrzymujemy: y = x.
Dlatego w § 15 (patrz rys. 62) narysowaliśmy styczną przez początek współrzędnych pod kątem 45° do osi odciętych.
Rozwiązując te dość proste przykłady, faktycznie zastosowaliśmy pewien algorytm, który zawarty jest we wzorze (1). Wyjaśnijmy ten algorytm wyraźnie.
ALGORYTM OPRACOWANIA RÓWNAŃ NA STYCZNĄ DO WYKRESU FUNKCJI y = f(x)
1) Oznacz odciętą punktu stycznego literą a.
2) Oblicz 1 (a).
3) Znajdź f”(x) i oblicz f”(a).
4) Podstaw znalezione liczby a, f(a), (a) do wzoru (1).
Przykład 1. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie x = 1.
Użyjmy algorytmu, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie
Na ryc. Na rys. 126 przedstawiono hiperbolę, konstruowana jest linia prosta y = 2.
Rysunek potwierdza powyższe obliczenia: rzeczywiście prosta y = 2 styka się z hiperbolą w punkcie (1; 1).
Odpowiedź: y = 2- x.
Przykład 2. Narysuj styczną do wykresu funkcji tak, aby była równoległa do prostej y = 4x - 5.
Wyjaśnijmy sformułowanie problemu. Wymóg „narysowania stycznej” zwykle oznacza „utworzenie równania stycznej”. Jest to logiczne, ponieważ jeśli dana osoba była w stanie utworzyć równanie stycznej, jest mało prawdopodobne, aby miała trudności z skonstruowaniem linii prostej na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą jej równania.
Skorzystajmy z algorytmu układania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie. Jednak w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu istnieje niejednoznaczność: odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana.
Zacznijmy myśleć w ten sposób. Pożądana styczna musi być równoległa do prostej y = 4x-5. Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. Oznacza to, że współczynnik kątowy stycznej musi być równy współczynnikowi kątowemu danej prostej: 
Zatem wartość a możemy znaleźć z równania f”(a) = 4.
Mamy: 
Z równania Oznacza to, że istnieją dwie styczne spełniające warunki zadania: jedna w punkcie z odciętą 2, druga w punkcie z odciętą -2.
Teraz możesz postępować zgodnie z algorytmem.
Przykład 3. Z punktu (0; 1) narysuj styczną do wykresu funkcji
Skorzystajmy z algorytmu układania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie. Należy zauważyć, że tutaj, podobnie jak w przykładzie 2, odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana. Niemniej jednak postępujemy zgodnie z algorytmem.
Warunek: styczna przechodzi przez punkt (0; 1). Podstawiając wartości x = 0, y = 1 do równania (2), otrzymujemy: 
Jak widać, w tym przykładzie dopiero w czwartym kroku algorytmu udało nam się znaleźć odciętą punktu stycznego. Podstawiając wartość a =4 do równania (2) otrzymujemy:
Na ryc. 127 przedstawia ilustrację geometryczną rozważanego przykładu: wykreślany jest wykres funkcji
W § 32 zauważyliśmy, że dla funkcji y = f(x) mającej pochodną w stałym punkcie x obowiązuje przybliżona równość:
Dla wygody dalszego rozumowania zmieńmy oznaczenie: zamiast x napiszemy a, zamiast x i odpowiednio zamiast x-a. Wtedy przybliżona równość zapisana powyżej będzie miała postać:
Teraz spójrz na rys. 128. Do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie M (a; f (a)) poprowadzono styczną. Punkt x jest zaznaczony na osi x w pobliżu a. Jasne jest, że f(x) jest rzędną wykresu funkcji w określonym punkcie x. Co to jest f(a) + f”(a) (x-a)? Jest to rzędna stycznej odpowiadającej temu samemu punktowi x - patrz wzór (1). Co oznacza przybliżona równość (3)? Fakt że Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji, należy przyjąć wartość rzędnej stycznej.
Przykład 4. Znajdź przybliżoną wartość wyrażenia liczbowego 1,02 7.
Mówimy o znalezieniu wartości funkcji y = x 7 w punkcie x = 1,02. Skorzystajmy ze wzoru (3), uwzględniając to w tym przykładzie
W rezultacie otrzymujemy:
Jeśli użyjemy kalkulatora, otrzymamy: 1,02 7 = 1,148685667...
Jak widać dokładność aproksymacji jest całkiem akceptowalna.
Odpowiedź: 1,02 7 =1,14.
A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa
Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania
Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok, zalecenia metodyczne, programy dyskusji Zintegrowane LekcjeLekcja wideo „Równanie stycznej do wykresu funkcji” przedstawia materiały edukacyjne do opanowania tematu. Podczas lekcji wideo opisano materiał teoretyczny niezbędny do sformułowania koncepcji równania stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie, algorytm znajdowania takiej stycznej oraz przykłady rozwiązywania problemów z wykorzystaniem przestudiowanego materiału teoretycznego .
W samouczku wideo zastosowano metody poprawiające przejrzystość materiału. Prezentacja zawiera rysunki, diagramy, ważne komentarze głosowe, animacje, wyróżnianie i inne narzędzia.
Lekcja wideo rozpoczyna się przedstawieniem tematu lekcji i obrazem stycznej do wykresu pewnej funkcji y=f(x) w punkcie M(a;f(a)). Wiadomo, że współczynnik kątowy stycznej wykreślonej na wykresie w danym punkcie jest równy pochodnej funkcji f΄(a) w tym punkcie. Z kursu algebry znamy także równanie prostej y=kx+m. Schematycznie przedstawiono rozwiązanie problemu znalezienia równania stycznego w punkcie, co sprowadza się do znalezienia współczynników k, m. Znając współrzędne punktu należącego do wykresu funkcji, m możemy znaleźć m podstawiając wartość współrzędnej do równania stycznego f(a)=ka+m. Z tego znajdujemy m=f(a)-ka. Zatem znając wartość pochodnej w danym punkcie i współrzędne tego punktu, możemy przedstawić równanie styczne w ten sposób y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Poniżej znajduje się przykład tworzenia równania stycznego zgodnie ze schematem. Biorąc pod uwagę funkcję y=x 2 , x=-2. Biorąc a=-2, znajdujemy wartość funkcji w danym punkcie f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Wyznaczamy pochodną funkcji f΄(x)=2x. W tym momencie pochodna jest równa f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Aby ułożyć równanie, znaleziono wszystkie współczynniki a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, więc równanie styczne ma postać y=4+(-4)(x+2). Upraszczając równanie, otrzymujemy y = -4-4x.
Poniższy przykład sugeruje skonstruowanie równania dla stycznej na początku wykresu funkcji y=tgx. W danym punkcie a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Zatem równanie styczne wygląda jak y=x.
Uogólniając, proces komponowania równania stycznego do wykresu funkcji w pewnym punkcie sformalizowany jest w postaci algorytmu składającego się z 4 kroków:
- Wprowadź oznaczenie a dla odciętej punktu stycznego;
- oblicza się f(a);
- wyznacza się f΄(x) i oblicza f΄(a). Znalezione wartości a, f(a), f΄(a) podstawiamy do wzoru równania stycznego y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Przykład 1 rozważa złożenie równania stycznego z wykresem funkcji y=1/x w punkcie x=1. Aby rozwiązać problem, używamy algorytmu. Dla danej funkcji w punkcie a=1 wartość funkcji f(a)=-1. Pochodna funkcji f΄(x)=1/x 2. W punkcie a=1 pochodna f΄(a)= f΄(1)=1. Na podstawie uzyskanych danych sporządza się równanie styczne y=-1+(x-1) lub y=x-2.
W przykładzie 2 należy znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji y=x 3 +3x 2 -2x-2. Głównym warunkiem jest równoległość stycznej i prostej y=-2x+1. Najpierw znajdujemy współczynnik kątowy stycznej równy współczynnikowi kątowemu prostej y=-2x+1. Ponieważ f΄(a)=-2 dla danej prostej, to k=-2 dla żądanej stycznej. Znajdujemy pochodną funkcji (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Wiedząc, że f΄(a)=-2, wyznaczamy współrzędne punktu 3a 2 +6a-2=-2. Po rozwiązaniu równania otrzymujemy 1 =0 i 2 =-2. Korzystając ze znalezionych współrzędnych, możesz znaleźć równanie styczne za pomocą dobrze znanego algorytmu. Wartość funkcji znajdujemy w punktach f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Wartość pochodnej w punkcie f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Podstawiając znalezione wartości do równania stycznego, otrzymujemy dla pierwszego punktu a 1 =0 y=-2x-2, a dla drugiego punktu a 2 =-2 równanie styczne y=-2x-22.
Przykład 3 opisuje skład równania stycznego do narysowania go w punkcie (0;3) do wykresu funkcji y=√x. Rozwiązanie wykonano przy użyciu dobrze znanego algorytmu. Punkt styczny ma współrzędne x=a, gdzie a>0. Wartość funkcji w punkcie f(a)=√x. Pochodna funkcji f΄(х)=1/2√х, zatem w danym punkcie f΄(а)=1/2√а. Podstawiając wszystkie otrzymane wartości do równania stycznego, otrzymujemy y = √a + (x-a)/2√a. Przekształcając równanie, otrzymujemy y=x/2√а+√а/2. Wiedząc, że tangens przechodzi przez punkt (0;3), znajdujemy wartość a. Znajdujemy a od 3=√a/2. Zatem √a=6, a=36. Znajdujemy równanie styczne y=x/12+3. Rysunek przedstawia wykres rozważanej funkcji i skonstruowaną żądaną styczną.
Przypomina się uczniom przybliżone równości Δy=≈f΄(x)Δx i f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Biorąc x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, otrzymujemy f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), stąd f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
W przykładzie 4 konieczne jest znalezienie przybliżonej wartości wyrażenia 2,003 6. Ponieważ konieczne jest znalezienie wartości funkcji f(x)=x 6 w punkcie x=2,003, możemy skorzystać ze znanego wzoru, przyjmując f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Pochodna w punkcie f΄(2)=192. Zatem 2,003 6 ≈65-192·0,003. Po obliczeniu wyrażenia otrzymujemy 2,003 6 ≈64,576.
Lekcję wideo „Równanie stycznej do wykresu funkcji” zaleca się do wykorzystania podczas tradycyjnej lekcji matematyki w szkole. W przypadku nauczyciela nauczającego zdalnie materiał wideo pomoże w jaśniejszym wyjaśnieniu tematu. Jeśli zajdzie taka potrzeba, aby pogłębić zrozumienie tematu, film można polecić uczniom do samodzielnego przejrzenia.
DEKODOWANIE TEKSTU:
Wiemy, że jeśli punkt M (a; f(a)) (em o współrzędnych a i ef z a) należy do wykresu funkcji y = f (x) i jeśli w tym punkcie można narysować styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, wówczas współczynnik kątowy stycznej jest równy f”(a) (eff prime z a).
Niech będzie dana funkcja y = f(x) i punkt M (a; f(a)), wiadomo też, że f´(a) istnieje. Utwórzmy równanie stycznej do wykresu danej funkcji w danym punkcie. Równanie to, podobnie jak równanie dowolnej prostej, która nie jest równoległa do osi rzędnych, ma postać y = kx+m (y jest równe ka x plus em), zatem zadaniem jest znalezienie wartości współczynniki k i m. (ka i em)
Współczynnik kąta k= f"(a). Do obliczenia wartości m wykorzystujemy fakt, że pożądana prosta przechodzi przez punkt M(a; f (a)). Oznacza to, że jeśli podstawimy współrzędne punkt M do równania prostej, otrzymujemy poprawną równość: f(a) = ka+m, skąd dowiadujemy się, że m = f(a) - ka.
Pozostaje podstawić znalezione wartości współczynników ki i m do równania linii prostej:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y jest równe ef od a plus ef liczba pierwsza od a, pomnożone przez x minus a).
Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x=a.
Jeśli, powiedzmy, y = x 2 i x = -2 (tj. a = -2), to f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, co oznacza f”(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (wtedy ef a jest równy cztery, ef liczby pierwszej x równa się dwa x, co oznacza ef prime od a równego minus cztery)
Podstawiając znalezione wartości a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 do równania otrzymujemy: y = 4+(-4)(x+2), czyli y = -4x -4.
(E równa się minus cztery x minus cztery)
Utwórzmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = tanx (y jest równe tangensowi x) w początku układu współrzędnych. Mamy: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , co oznacza f"(0) = l. Podstawiając znalezione wartości a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 do równania, otrzymujemy: y=x.
Podsumujmy nasze kroki w znajdowaniu równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie x za pomocą algorytmu.
ALGORYTM OPRACOWANIA RÓWNAŃ NA STYCZNĄ DO WYKRESU FUNKCJI y = f(x):
1) Oznacz odciętą punktu stycznego literą a.
2) Oblicz f(a).
3) Znajdź f’(x) i oblicz f’(a).
4) Podstaw znalezione liczby a, f(a), f´(a) do wzoru y= F(A)+ F"(A) (X- A).
Przykład 1. Utwórz równanie stycznej do wykresu funkcji y = - in
punkt x = 1.
Rozwiązanie. Użyjmy algorytmu, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Podstawiamy znalezione trzy liczby: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 do wzoru. Otrzymujemy: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Odpowiedź: y = x-2.
Przykład 2. Biorąc pod uwagę funkcję y = x 3 +3x 2 -2x-2. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x), równolegle do prostej y = -2x +1.
Korzystając z algorytmu układania równania stycznego, bierzemy pod uwagę, że w tym przykładzie f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ale odcięta punktu stycznego nie jest tutaj wskazana.
Zacznijmy myśleć w ten sposób. Pożądana styczna musi być równoległa do prostej y = -2x+1. A linie równoległe mają równe współczynniki kątowe. Oznacza to, że współczynnik kątowy stycznej jest równy współczynnikowi kątowemu danej prostej: k tangens. = -2. Hok ca. = f"(a). Zatem wartość a możemy znaleźć z równania f ´(a) = -2.
Znajdźmy pochodną funkcji y=F(X):
F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)' =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a 2 +6a-2.
Z równania f”(a) = -2, tj. 3a 2 +6a-2=-2 znajdujemy 1 =0, a 2 =-2. Oznacza to, że istnieją dwie styczne spełniające warunki zadania: jedna w punkcie z odciętą 0, druga w punkcie z odciętą -2.
Teraz możesz postępować zgodnie z algorytmem.
1) a 1 =0 i 2 =-2.
2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Podstawiając do wzoru wartości a 1 = 0, f(a 1) = -2, f”(a 1) = -2, otrzymujemy:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Podstawiając wartości a 2 = -2, f(a 2) =6, f”(a 2) = -2 do wzoru, otrzymujemy:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Odpowiedź: y=-2x-2, y=-2x+2.
Przykład 3. Z punktu (0; 3) narysuj styczną do wykresu funkcji y = . Rozwiązanie. Skorzystajmy z algorytmu układania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie f(x) = . Należy zauważyć, że tutaj, podobnie jak w przykładzie 2, odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana. Niemniej jednak postępujemy zgodnie z algorytmem.
1) Niech x = a będzie odciętą punktu styczności; jasne jest, że a >0.
3) f’(x)=()’=; f'(a) =.
4) Podstawienie wartości a, f(a) = , f"(a) = do wzoru
y=f (a) +f "(a) (x-a), otrzymujemy:
Warunek: styczna przechodzi przez punkt (0; 3). Podstawiając do równania wartości x = 0, y = 3, otrzymujemy: 3 = , a następnie =6, a =36.
Jak widać, w tym przykładzie dopiero w czwartym kroku algorytmu udało nam się znaleźć odciętą punktu stycznego. Podstawiając do równania wartość a =36 otrzymujemy: y=+3
Na ryc. Rysunek 1 przedstawia ilustrację geometryczną rozważanego przykładu: konstruuje się wykres funkcji y =, rysuje się linię prostą y = +3.
Odpowiedź: y = +3.
Wiemy, że dla funkcji y = f(x), która ma pochodną w punkcie x, obowiązuje przybliżona równość: Δyf´(x)Δx (delta y jest w przybliżeniu równa eff prime x pomnożonej przez delta x)
lub bardziej szczegółowo f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff od x plus delta x minus ef od x jest w przybliżeniu równe eff prime od x przez delta x).
Dla wygody dalszej dyskusji zmieńmy oznaczenie:
zamiast x napiszemy A,
zamiast x+Δx napiszemy x
Zamiast Δx napiszemy x-a.
Wtedy przybliżona równość zapisana powyżej będzie miała postać:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff od x jest w przybliżeniu równe ef od a plus ef liczba pierwsza od a, pomnożona przez różnicę między x i a).
Przykład 4. Znajdź przybliżoną wartość wyrażenia liczbowego 2,003 6.
Rozwiązanie. Mówimy o znalezieniu wartości funkcji y = x 6 w punkcie x = 2,003. Skorzystajmy ze wzoru f(x)f(a)+f´(a)(x-a), biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f”(x) = 6x 5, a zatem f”(a) = f”(2) = 6 2 5 =192.
W rezultacie otrzymujemy:
2,003 6 64+192· 0,003, tj. 2,003 6 =64,576.
Jeśli skorzystamy z kalkulatora, otrzymamy:
2,003 6 = 64,5781643...
Jak widać dokładność aproksymacji jest całkiem akceptowalna.