W tym artykule przeanalizujemy wszystkie rodzaje problemów do znalezienia
Zapamiętajmy geometryczne znaczenie pochodnej: jeśli w punkcie poprowadzono styczną do wykresu funkcji, to współczynnik nachylenia stycznej (równy tangensowi kąta między styczną a dodatnim kierunkiem osi) jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie.
Weźmy dowolny punkt stycznej o współrzędnych:
I rozważmy trójkąt prostokątny:
W tym trójkącie 
Stąd 
Jest to równanie stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie.
Aby zapisać równanie styczne, wystarczy znać równanie funkcji i punkt, w którym styczna jest narysowana. Następnie możemy znaleźć i .
Istnieją trzy główne typy problemów równań stycznych.
1. Dany punkt kontaktowy
2. Podano współczynnik nachylenia stycznej, czyli wartość pochodnej funkcji w punkcie.
3. Podano współrzędne punktu, przez który poprowadzona jest styczna, ale który nie jest punktem styczności.
Przyjrzyjmy się każdemu typowi zadania.
1. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji 
w tym punkcie .
.
b) Znajdź wartość pochodnej w punkcie . Najpierw znajdźmy pochodną funkcji
Podstawmy znalezione wartości do równania stycznego:
Otwórzmy nawiasy po prawej stronie równania. Otrzymujemy:
Odpowiedź: .
2. Znajdź odciętą punktów, w których funkcje są styczne do wykresu 
równolegle do osi x.
Jeśli styczna jest równoległa do osi x, zatem kąt między styczną a dodatnim kierunkiem osi wynosi zero, zatem tangens kąta stycznego wynosi zero. Oznacza to, że wartość pochodnej funkcji w punktach styku wynosi zero.
a) Znajdź pochodną funkcji .
b) Przyrównajmy pochodną do zera i znajdźmy wartości, w których styczna jest równoległa do osi:
Przyrównując każdy czynnik do zera, otrzymujemy:
Odpowiedź: 0;3;5
3. Zapisz równania stycznych do wykresu funkcji , równoległy prosty .
Styczna jest równoległa do prostej. Nachylenie tej linii wynosi -1. Ponieważ styczna jest równoległa do tej linii, nachylenie stycznej również wynosi -1. To jest znamy nachylenie stycznej, a tym samym wartość pochodnej w punkcie styczności.
Jest to drugi rodzaj problemu polegający na znalezieniu równania stycznego.
Mamy więc daną funkcję i wartość pochodnej w punkcie styczności.
a) Znajdź punkty, w których pochodna funkcji jest równa -1.
Najpierw znajdźmy równanie pochodnej.
Przyrównajmy pochodną do liczby -1.
Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie.
(według warunku)
.
b) Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie.
(według warunku).
Podstawmy te wartości do równania stycznego:
.
Odpowiedź:
4. Zapisz równanie stycznej do krzywej , przechodząc przez punkt
Najpierw sprawdźmy, czy punkt jest punktem stycznym. Jeżeli punkt jest punktem stycznym, to należy do wykresu funkcji i jego współrzędne muszą spełniać równanie funkcji. Podstawiamy współrzędne punktu do równania funkcji.
Tytuł="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nie jest punktem kontaktowym.
To ostatni rodzaj problemu, w którym można znaleźć równanie styczne. Pierwsza rzecz musimy znaleźć odciętą punktu stycznego.
Znajdźmy wartość.
Niech będzie punktem kontaktowym. Punkt należy do stycznej do wykresu funkcji. Jeśli podstawimy współrzędne tego punktu do równania stycznego, otrzymamy poprawną równość:
.
Wartość funkcji w punkcie wynosi 
.
Znajdźmy wartość pochodnej funkcji w punkcie.
Najpierw znajdźmy pochodną funkcji. Ten .
Pochodna w punkcie jest równa 
.
Zastąpmy wyrażenia za i do równania stycznego. Otrzymujemy równanie dla:
Rozwiążmy to równanie.
Zmniejsz licznik i mianownik ułamka o 2:
Sprowadźmy prawą stronę równania do wspólnego mianownika. Otrzymujemy:
Uprośćmy licznik ułamka i pomnóżmy obie strony przez - to wyrażenie jest ściśle większe od zera.
Otrzymujemy równanie
Rozwiążmy to. Aby to zrobić, wyrównajmy obie części i przejdźmy do systemu.
Tytuł="delim(lbrace)(macierz(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}
Rozwiążmy pierwsze równanie.
Rozwiążmy równanie kwadratowe, otrzymamy
Drugi pierwiastek nie spełnia warunku title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}
Zapiszmy równanie stycznej do krzywej w tym punkcie. Aby to zrobić, podstaw wartość do równania 
- Już to nagraliśmy.
Odpowiedź:
.
Ten program matematyczny znajduje równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie określonym przez użytkownika \(a\).
Program nie tylko wyświetla równanie styczne, ale także wyświetla proces rozwiązywania problemu.
Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontrolowania rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.
W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.
Jeśli chcesz znaleźć pochodną funkcji, mamy do tego zadanie Znajdź pochodną.
Jeżeli nie znasz zasad wprowadzania funkcji, polecamy się z nimi zapoznać.
Wprowadź wyrażenie funkcyjne \(f(x)\) i liczbę \(a\) Znajdź równanie styczne Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.
Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...
Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.
Nasze gry, puzzle, emulatory:
Trochę teorii.
Bezpośrednie nachylenie
Przypomnijmy, że wykres funkcji liniowej \(y=kx+b\) jest linią prostą. Wywoływana jest liczba \(k=tg \alpha \). nachylenie linii prostej, a kąt \(\alfa \) jest kątem pomiędzy tą linią a osią Wółu
Jeśli \(k>0\), to \(0 Jeśli \(kRównanie stycznej do wykresu funkcji
Jeżeli punkt M(a; f(a)) należy do wykresu funkcji y = f(x) i jeżeli w tym miejscu można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi x, wówczas z geometrycznego znaczenia pochodnej wynika, że współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(a). Następnie opracujemy algorytm układania równania stycznej do wykresu dowolnej funkcji.
Niech na wykresie tej funkcji będzie podana funkcja y = f(x) i punkt M(a; f(a)); niech wiadomo, że f”(a) istnieje. Utwórzmy równanie na styczną do wykresu danej funkcji w danym punkcie. Równanie to, podobnie jak równanie dowolnej prostej nierównoległej do osi rzędnych, ma postać y = kx + b, więc zadaniem jest znalezienie wartości współczynników k i b.
Ze współczynnikiem kątowym k wszystko jest jasne: wiadomo, że k = f"(a). Do obliczenia wartości b wykorzystujemy fakt, że pożądana prosta przechodzi przez punkt M(a; f(a)) Oznacza to, że jeśli podstawiamy współrzędne punktu M do równania prostej, otrzymamy poprawną równość: \(f(a)=ka+b\), czyli \(b = f(a) - ka\).
Pozostaje podstawić znalezione wartości współczynników k i b do równania linii prostej:
Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji\(y = f(x) \) w punkcie \(x=a \).
Algorytm znajdowania równania stycznej do wykresu funkcji \(y=f(x)\)
1. Oznacz odciętą punktu stycznego literą \(a\)
2. Oblicz \(f(a)\)
3. Znajdź \(f"(x)\) i oblicz \(f"(a)\)
4. Podstaw znalezione liczby \(a, f(a), f"(a) \) do wzoru \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Rozważ następujący rysunek:
Przedstawia pewną funkcję y = f(x), która jest różniczkowalna w punkcie a. Zaznaczono punkt M o współrzędnych (a; f(a)). Sieczny MR jest rysowany przez dowolny punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) wykresu.
Jeśli teraz punkt P zostanie przesunięty na wykresie do punktu M, to linia prosta MR będzie się obracać wokół punktu M. W tym przypadku ∆x będzie dążyć do zera. Stąd możemy sformułować definicję stycznej do wykresu funkcji.
Styczna do wykresu funkcji
Styczna do wykresu funkcji jest pozycją graniczną siecznej, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Należy rozumieć, że istnienie pochodnej funkcji f w punkcie x0 oznacza, że w tym punkcie wykresu tangens do niego.
W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy pochodnej tej funkcji w tym punkcie f’(x0). To jest geometryczne znaczenie pochodnej. Styczna do wykresu funkcji f różniczkowalnej w punkcie x0 jest pewną linią prostą przechodzącą przez ten punkt (x0;f(x0)) i posiadającą współczynnik kątowy f’(x0).
Równanie styczne
Spróbujmy otrzymać równanie stycznej do wykresu jakiejś funkcji f w punkcie A(x0; f(x0)). Równanie prostej o nachyleniu k ma postać:
Ponieważ nasz współczynnik nachylenia jest równy pochodnej f’(x0), wówczas równanie przyjmie postać: y = f’(x0)*x + b.
Teraz obliczmy wartość b. W tym celu wykorzystujemy fakt, że funkcja przechodzi przez punkt A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, stąd wyrażamy b i otrzymujemy b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Otrzymaną wartość podstawiamy do równania stycznego:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Rozważmy następujący przykład: znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 w punkcie x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Podstaw otrzymane wartości do wzoru stycznego, otrzymamy: y = 1 + 4*(x - 2). Otwierając nawiasy i wprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy: y = 4*x - 7.
Odpowiedź: y = 4*x - 7.
Ogólny schemat tworzenia równania stycznego do wykresu funkcji y = f(x):
1. Określ x0.
2. Oblicz f(x0).
3. Oblicz f’(x)
Instrukcje
Wyznaczamy współczynnik kątowy stycznej do krzywej w punkcie M.
Krzywa reprezentująca wykres funkcji y = f(x) jest ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu M (uwzględniając sam punkt M).
Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przebiega ona pionowo. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia niepionowej stycznej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy f "(x0). Zatem geometryczne znaczenie pochodnej staje się jasne - obliczenie współczynnika kątowego stycznej.
Znajdź wartość odciętej punktu stycznego, który jest oznaczony literą „a”. Jeśli pokrywa się z danym punktem stycznym, wówczas „a” będzie jego współrzędną x. Określ wartość Funkcje f(a) poprzez podstawienie do równania Funkcje wartość odciętej.
Wyznacz pierwszą pochodną równania Funkcje f’(x) i podstawiamy do niego wartość punktu „a”.
Weź ogólne równanie styczne, które jest zdefiniowane jako y = f(a) = f (a)(x – a) i podstaw do niego znalezione wartości a, f(a), f „(a). W rezultacie zostanie znalezione rozwiązanie wykresu i styczne.
Rozwiąż zadanie w inny sposób, jeśli podany punkt styczny nie pokrywa się z punktem stycznym. W takim przypadku konieczne jest podstawienie „a” zamiast liczb w równaniu stycznym. Następnie zamiast liter „x” i „y” podstawia się wartość współrzędnych danego punktu. Rozwiąż powstałe równanie, w którym „a” jest niewiadomą. Podstaw otrzymaną wartość do równania stycznego.
Napisz równanie stycznej z literą „a”, jeśli opis problemu określa równanie Funkcje oraz równanie linii równoległej względem żądanej stycznej. Następnie potrzebujemy pochodnej Funkcje, do współrzędnej w punkcie „a”. Podstaw odpowiednią wartość do równania stycznego i rozwiąż funkcję.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.