Bardziej niezawodna niż metoda graficzna omówiona w poprzednim akapicie.
Metoda substytucyjna
Tę metodę stosowaliśmy w 7. klasie do rozwiązywania układów równań liniowych. Algorytm opracowany w 7. klasie całkiem nadaje się do rozwiązywania układów dowolnych dwóch równań (niekoniecznie liniowych) z dwiema zmiennymi x i y (oczywiście zmienne można oznaczyć innymi literami, co nie ma znaczenia). Faktycznie, zastosowaliśmy ten algorytm w poprzednim akapicie, gdy problem liczby dwucyfrowej doprowadził do modelu matematycznego, który jest układem równań. Rozwiązaliśmy powyższy układ równań, stosując metodę podstawienia (patrz przykład 1 z § 4).
Algorytm stosowania metody podstawieniowej przy rozwiązywaniu układu dwóch równań z dwiema zmiennymi x, y.
1. Wyraź y w postaci x z jednego równania układu.
2. Zastąp powstałe wyrażenie zamiast y do innego równania układu.
3. Rozwiąż powstałe równanie dla x.
4. Podstaw kolejno każdy z pierwiastków równania znalezionego w kroku trzecim zamiast x do wyrażeń od y do x otrzymanych w kroku pierwszym.
5. Zapisz odpowiedź w postaci par wartości (x; y), które znaleziono odpowiednio w trzecim i czwartym kroku.
4) Zastąp jedną po drugiej znalezione wartości y wzorem x = 5 - 3. Jeśli następnie 
5) Pary (2; 1) i rozwiązania danego układu równań.
Odpowiedź: (2; 1);
Metoda dodawania algebraicznego
Metodę tę, podobnie jak metodę podstawieniową, znacie z zajęć algebry w klasie VII, gdzie stosowano ją do rozwiązywania układów równań liniowych. Przypomnijmy istotę metody na poniższym przykładzie.
Przykład 2. Rozwiązać układ równań
Pomnóżmy wszystkie wyrazy pierwszego równania układu przez 3, a drugie równanie pozostawmy bez zmian: 
Odejmij drugie równanie układu od jego pierwszego równania:
W wyniku algebraicznego dodania dwóch równań układu pierwotnego otrzymano równanie prostsze od pierwszego i drugiego równania danego układu. Tym prostszym równaniem mamy prawo zastąpić dowolne równanie danego układu, np. drugie. Wówczas dany układ równań zostanie zastąpiony prostszym układem:
Układ ten można rozwiązać metodą podstawieniową. Z drugiego równania, które znajdujemy, podstawiając to wyrażenie zamiast y do pierwszego równania układu, otrzymujemy
Pozostaje zastąpić znalezione wartości x we wzorze
Jeśli x = 2 to
W ten sposób znaleźliśmy dwa rozwiązania systemu: 
Metoda wprowadzania nowych zmiennych
Na kursie algebry w ósmej klasie zapoznałeś się ze sposobem wprowadzania nowej zmiennej przy rozwiązywaniu równań wymiernych z jedną zmienną. Istota tej metody rozwiązywania układów równań jest taka sama, ale z technicznego punktu widzenia istnieją pewne cechy, które omówimy w poniższych przykładach.
Przykład 3. Rozwiązać układ równań
Wprowadźmy nową zmienną.Wtedy pierwsze równanie układu można zapisać w prostszej postaci: Rozwiążmy to równanie ze względu na zmienną t:
Obie te wartości spełniają warunek i dlatego są pierwiastkami równania wymiernego o zmiennej t. Ale to oznacza albo miejsce, w którym stwierdzamy, że x = 2y, albo
Tym samym, stosując metodę wprowadzenia nowej zmiennej, udało nam się „rozwarstwić” pierwsze równanie układu, z pozoru dość złożonego, na dwa prostsze równania:
x = 2 lata; y - 2x.
Co dalej? I wtedy każde z dwóch otrzymanych prostych równań należy po kolei rozpatrzyć w układzie z równaniem x 2 - y 2 = 3, o którym jeszcze nie pamiętaliśmy. Inaczej mówiąc, problem sprowadza się do rozwiązania dwóch układów równań:
Musimy znaleźć rozwiązania dla pierwszego układu, drugiego układu i uwzględnić w odpowiedzi wszystkie powstałe pary wartości. Rozwiążmy pierwszy układ równań:
Skorzystajmy z metody podstawieniowej, zwłaszcza, że tutaj wszystko jest na to gotowe: podstawmy wyrażenie 2y zamiast x do drugiego równania układu. Dostajemy
Ponieważ x = 2y, znajdujemy odpowiednio x 1 = 2, x 2 = 2. Otrzymujemy zatem dwa rozwiązania danego układu: (2; 1) i (-2; -1). Rozwiążmy drugi układ równań:
Zastosujmy ponownie metodę podstawienia: wstawmy wyrażenie 2x zamiast y do drugiego równania układu. Dostajemy
Równanie to nie ma pierwiastków, co oznacza, że układ równań nie ma rozwiązań. Zatem w odpowiedzi należy uwzględnić jedynie rozwiązania pierwszego układu.
Odpowiedź: (2; 1); (-2;-1).
Metodę wprowadzania nowych zmiennych przy rozwiązywaniu układów dwóch równań z dwiema zmiennymi zastosowano w dwóch wersjach. Opcja pierwsza: wprowadza się jedną nową zmienną i wykorzystuje się ją tylko w jednym równaniu układu. Dokładnie tak się stało w przykładzie 3. Opcja druga: wprowadza się dwie nowe zmienne i wykorzystuje je jednocześnie w obu równaniach układu. Będzie tak w przykładzie 4.
Przykład 4. Rozwiązać układ równań
Wprowadźmy dwie nowe zmienne:
Weźmy to w takim razie pod uwagę
Umożliwi to przepisanie danego układu w znacznie prostszej formie, ale z uwzględnieniem nowych zmiennych aib:
Ponieważ a = 1, to z równania a + 6 = 2 znajdujemy: 1 + 6 = 2; 6=1. Zatem w odniesieniu do zmiennych a i b otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:
Wracając do zmiennych x i y, otrzymujemy układ równań
Zastosujmy metodę dodawania algebraicznego do rozwiązania tego układu:
Odtąd z równania 2x + y = 3 znajdujemy:
Zatem w odniesieniu do zmiennych x i y otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:
Zakończmy ten akapit krótką, ale dość poważną dyskusją teoretyczną. Zdobyłeś już pewne doświadczenie w rozwiązywaniu różnych równań: liniowych, kwadratowych, wymiernych, niewymiernych. Wiesz, że główną ideą rozwiązywania równania jest stopniowe przechodzenie od jednego równania do drugiego, prostszego, ale równoważnego danemu. W poprzednim akapicie wprowadziliśmy pojęcie równoważności równań z dwiema zmiennymi. Pojęcie to jest również stosowane w przypadku układów równań.
Definicja.
Dwa układy równań ze zmiennymi x i y nazywamy równoważnymi, jeśli mają takie same rozwiązania lub oba układy nie mają rozwiązań.
Wszystkie trzy metody (podstawienie, dodawanie algebraiczne i wprowadzenie nowych zmiennych), które omówiliśmy w tej sekcji, są absolutnie poprawne z punktu widzenia równoważności. Innymi słowy, stosując te metody, zastępujemy jeden układ równań innym, prostszym, ale równoważnym układowi pierwotnemu.
Graficzna metoda rozwiązywania układów równań
Nauczyliśmy się już rozwiązywać układy równań w tak powszechny i niezawodny sposób, jak metoda podstawienia, dodawania algebraicznego i wprowadzanie nowych zmiennych. Przypomnijmy sobie teraz metodę, której nauczyłeś się już na poprzedniej lekcji. Oznacza to, że powtórzmy to, co wiesz o graficznej metodzie rozwiązywania.
Metoda graficznego rozwiązywania układów równań polega na skonstruowaniu wykresu dla każdego z konkretnych równań wchodzących w skład danego układu i znajdujących się w tej samej płaszczyźnie współrzędnych, a także tam, gdzie konieczne jest znalezienie przecięć punktów tych równań wykresy. Do rozwiązania tego układu równań służą współrzędne tego punktu (x; y).
Należy pamiętać, że graficzny układ równań często ma jedno poprawne rozwiązanie, nieskończoną liczbę rozwiązań lub nie ma ich wcale.
Przyjrzyjmy się teraz każdemu z tych rozwiązań bardziej szczegółowo. Zatem układ równań może mieć unikalne rozwiązanie, jeśli linie będące wykresami równań układu przecinają się. Jeżeli te linie są równoległe, to taki układ równań nie ma absolutnie żadnych rozwiązań. Jeżeli bezpośrednie wykresy równań układu pokrywają się, to taki układ pozwala na znalezienie wielu rozwiązań.
Cóż, teraz spójrzmy na algorytm rozwiązywania układu dwóch równań z 2 niewiadomymi metodą graficzną:
Najpierw budujemy wykres pierwszego równania;
Drugim krokiem będzie skonstruowanie wykresu powiązanego z drugim równaniem;
Po trzecie, musimy znaleźć punkty przecięcia wykresów.
W rezultacie otrzymujemy współrzędne każdego punktu przecięcia, który będzie rozwiązaniem układu równań.
Przyjrzyjmy się tej metodzie bardziej szczegółowo na przykładzie. Mamy układ równań, który należy rozwiązać:
Rozwiązywanie równań
1. Najpierw zbudujemy wykres tego równania: x2+y2=9.
Należy jednak zauważyć, że ten wykres równań będzie kołem ze środkiem w początku, a jego promień będzie równy trzy.
2. Następnym krokiem będzie narysowanie równania typu: y = x – 3.
W tym przypadku musimy skonstruować linię prostą i znaleźć punkty (0;−3) i (3;0).
3. Zobaczmy, co mamy. Widzimy, że linia prosta przecina okrąg w dwóch punktach A i B.
Teraz szukamy współrzędnych tych punktów. Widzimy, że współrzędne (3;0) odpowiadają punktowi A, a współrzędne (0;−3) odpowiadają punktowi B.
I co w efekcie otrzymamy?
Liczby (3;0) i (0;−3) otrzymane, gdy prosta przecina okrąg, są dokładnie rozwiązaniami obu równań układu. Z tego wynika, że liczby te są również rozwiązaniami tego układu równań.
Oznacza to, że odpowiedzią na to rozwiązanie są liczby: (3;0) i (0;−3).
Na tej lekcji przyjrzymy się metodom rozwiązywania układu równań liniowych. Na lekcjach matematyki wyższej układy równań liniowych należy rozwiązywać zarówno w formie odrębnych zadań, np. „Rozwiąż układ za pomocą wzorów Cramera”, jak i w trakcie rozwiązywania innych problemów. Układami równań liniowych trzeba się zajmować w prawie wszystkich gałęziach wyższej matematyki.
Na początek trochę teorii. Co w tym przypadku oznacza matematyczne słowo „liniowy”? Oznacza to, że równania układu Wszystko zmienne uwzględnione w pierwszym stopniu: bez żadnych wymyślnych rzeczy, takich jak 
itp., którymi zachwycają się jedynie uczestnicy olimpiad matematycznych.
W matematyce wyższej do oznaczenia zmiennych używa się nie tylko liter znanych z dzieciństwa.
Dość popularną opcją są zmienne z indeksami: .
Lub początkowe litery alfabetu łacińskiego, małe i duże:
Nierzadko spotyka się greckie litery: – znane wielu jako „alfa, beta, gamma”. A także zestaw z indeksami, powiedzmy, z literą „mu”:
Użycie tego lub innego zestawu liter zależy od sekcji wyższej matematyki, w której mamy do czynienia z układem równań liniowych. I tak na przykład w układach równań liniowych spotykanych przy rozwiązywaniu całek i równań różniczkowych tradycyjnie stosuje się zapis
Ale bez względu na to, jak wyznaczone są zmienne, zasady, metody i metody rozwiązywania układu równań liniowych nie zmieniają się. Tak więc, jeśli natkniesz się na coś strasznego, np. , nie spiesz się, aby ze strachu zamknąć księgę zadań, w końcu możesz zamiast tego narysować słońce, ptaka i twarz (nauczyciela). I choć może się to wydawać zabawne, można również rozwiązać układ równań liniowych z tymi oznaczeniami.
Coś czuję, że artykuł wyjdzie dość długi, dlatego mały spis treści. Zatem sekwencyjne „odprawa” będzie wyglądać następująco:
– Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawieniową („metoda szkolna”);
– Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu;
– Rozwiązanie układu z wykorzystaniem wzorów Cramera;
– Rozwiązywanie układu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej;
– Rozwiązanie układu metodą Gaussa.
Układy równań liniowych znają wszyscy ze szkolnych kursów matematyki. Zasadniczo zaczynamy od powtórzeń.
Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawieniową
Metodę tę można również nazwać „metodą szkolną” lub metodą eliminowania niewiadomych. W przenośni można ją też nazwać „niedokończoną metodą Gaussa”.
Przykład 1
Mamy tu dany układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Należy zauważyć, że wolne terminy (cyfry 5 i 7) znajdują się po lewej stronie równania. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma znaczenia, gdzie się znajdują, po lewej czy po prawej stronie, po prostu w problemach z matematyki wyższej często są one umiejscowione w ten sposób. I takie nagranie nie powinno wprowadzać zamieszania, w razie potrzeby system zawsze można zapisać „jak zwykle”: . Nie zapominaj, że przenosząc termin z części do części, musi on zmienić swój znak.
Co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych? Rozwiązanie układu równań oznacza znalezienie wielu jego rozwiązań. Rozwiązaniem układu jest zbiór wartości wszystkich zmiennych w nim zawartych, co zamienia KAŻDE równanie układu w prawdziwą równość. Ponadto system może być nie wspólne (nie mam rozwiązań).Nie wstydź się, to jest ogólna definicja =) Będziemy mieć tylko jedną wartość „x” i jedną wartość „y”, które spełniają każde równanie c-we.
Istnieje graficzna metoda rozwiązania układu, z którą możesz zapoznać się na zajęciach. Najprostsze problemy z linią. Tam, o czym mówiłem zmysł geometryczny układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ale teraz jest era algebry i liczb, akcji i akcji.
Zdecydujmy: z pierwszego równania wyrażamy:
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania:
Otwieramy nawiasy, dodajemy podobne terminy i znajdujemy wartość: 
Następnie pamiętamy, po co tańczyliśmy:
Znamy już wartość, pozostaje tylko znaleźć:
Odpowiedź:
Po rozwiązaniu KAŻDEGO układu równań w JAKIKOLWIEK sposób, gorąco polecam sprawdzenie (ustnie, na szkicu lub na kalkulatorze). Na szczęście można to zrobić łatwo i szybko.
1) Podstaw znalezioną odpowiedź do pierwszego równania:
– uzyskuje się poprawną równość.
2) Podstaw znalezioną odpowiedź do drugiego równania: 
– uzyskuje się poprawną równość.
Lub, mówiąc prościej, „wszystko się ułożyło”
Rozważany sposób rozwiązania nie jest jedyny, z pierwszego równania można było wyrazić , a nie .
Możesz zrobić odwrotnie - wyrazić coś z drugiego równania i zastąpić to pierwszym równaniem. Przy okazji zauważmy, że najbardziej niekorzystną z czterech metod jest wyrażenie z drugiego równania:
Rezultatem są ułamki, ale dlaczego? Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie.
Jednak w niektórych przypadkach nadal nie można obejść się bez ułamków. W związku z tym chciałbym zwrócić uwagę na JAK zapisałem to wyrażenie. Nie w ten sposób: i w żadnym wypadku w ten sposób: 
.
Jeśli w wyższej matematyce masz do czynienia z liczbami ułamkowymi, spróbuj przeprowadzić wszystkie obliczenia w zwykłych ułamkach niewłaściwych.
Dokładnie i nie lub!
Przecinka można użyć tylko czasami, szczególnie jeśli jest to ostateczne rozwiązanie jakiegoś problemu i nie trzeba już wykonywać żadnych dalszych działań z tą liczbą.
Wielu czytelników zapewne pomyślało „po co takie szczegółowe wyjaśnienie jak na korektę, wszystko jasne”. Nic podobnego, wydaje się, że to taki prosty przykład ze szkoły, a jednak jest tak wiele BARDZO ważnych wniosków! Oto kolejny:
Powinieneś starać się wykonać każde zadanie w najbardziej racjonalny sposób. Choćby dlatego, że oszczędza czas i nerwy, a także zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędu.
Jeśli w zadaniu z matematyki wyższej natkniesz się na układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, to zawsze możesz zastosować metodę podstawienia (chyba że wskazano, że układ należy rozwiązać inną metodą). Żaden nauczyciel tego nie zrobi pomyśl, że jesteś frajerem i obniżysz swoją ocenę za stosowanie „metody szkolnej” ”
Ponadto w niektórych przypadkach wskazane jest zastosowanie metody podstawieniowej przy większej liczbie zmiennych.
Przykład 2
Rozwiąż układ równań liniowych z trzema niewiadomymi
Podobny układ równań często powstaje przy stosowaniu tzw. metody współczynników nieokreślonych, gdy znajdujemy całkę ułamkowej funkcji wymiernej. System, o którym mowa, został stamtąd przeze mnie zabrany.
Celem znalezienia całki jest szybko znajdź wartości współczynników, zamiast korzystać ze wzorów Cramera, metody macierzy odwrotnych itp. Dlatego w tym przypadku właściwa jest metoda substytucyjna.
Kiedy podany jest jakikolwiek układ równań, przede wszystkim pożądane jest, aby dowiedzieć się, czy można go w jakiś sposób NATYCHMIAST uprościć? Analizując równania układu zauważamy, że drugie równanie układu można podzielić przez 2, co też robimy:
Odniesienie: znak matematyczny oznacza „z tego wynika tamto” i jest często używany przy rozwiązywaniu problemów.
Przeanalizujmy teraz równania; musimy wyrazić jedną zmienną w kategoriach innych. Które równanie wybrać? Pewnie już się domyśliłeś, że najłatwiej w tym celu skorzystać z pierwszego równania układu:
Tutaj, bez względu na to, jaką zmienną wyrazić, można równie łatwo wyrazić lub .
Następnie podstawiamy wyrażenie do do drugiego i trzeciego równania układu: 
Otwieramy nawiasy i przedstawiamy podobne terminy: 
Podziel trzecie równanie przez 2: 
Z drugiego równania wyrażamy i podstawiamy do trzeciego równania:
Prawie wszystko jest gotowe, z trzeciego równania znajdujemy:
Z drugiego równania: 
Z pierwszego równania:
Sprawdź: Podstaw znalezione wartości zmiennych po lewej stronie każdego równania układu:
1)
2)
3)
Otrzymuje się odpowiednie prawe strony równań, co oznacza, że rozwiązanie jest znalezione poprawnie.
Przykład 3
Rozwiąż układ równań liniowych z 4 niewiadomymi
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu
Rozwiązując układy równań liniowych, należy starać się stosować nie „metodę szkolną”, ale metodę dodawania (odejmowania) wyrazów układu. Dlaczego? Oszczędza to czas i upraszcza obliczenia, jednak teraz wszystko stanie się jaśniejsze.
Przykład 4
Rozwiąż układ równań liniowych:
Wziąłem ten sam system, co w pierwszym przykładzie.
Analizując układ równań zauważamy, że współczynniki zmiennej mają identyczną wielkość i przeciwny znak (–1 i 1). W takiej sytuacji równania można dodawać termin po wyrazie: 
Czynności zaznaczone na czerwono wykonuje się MENTALNIE.
Jak widać, w wyniku dodawania kolejnych wyrazów straciliśmy zmienną. W rzeczywistości to jest to istotą tej metody jest pozbycie się jednej ze zmiennych.
Przeanalizujmy dwa rodzaje rozwiązań układów równań:
1. Rozwiązanie układu metodą podstawieniową.
2. Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu.
Aby rozwiązać układ równań metodą podstawieniową musisz postępować zgodnie z prostym algorytmem:
1. Ekspresowy. Z dowolnego równania wyrażamy jedną zmienną.
2. Zastępca. Zamiast wyrażonej zmiennej zastępujemy wynikową wartość innym równaniem.
3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną. Znajdujemy rozwiązanie systemu.
Rozwiązać metodą dodawania (odejmowania) wyraz po wyrazie potrzebować:
1. Wybierz zmienną, dla której stworzymy identyczne współczynniki.
2. Dodajemy lub odejmujemy równania, w wyniku czego otrzymujemy równanie z jedną zmienną.
3. Rozwiąż powstałe równanie liniowe. Znajdujemy rozwiązanie systemu.
Rozwiązaniem układu są punkty przecięcia wykresów funkcji.
Rozważmy szczegółowo rozwiązanie systemów na przykładach.
Przykład 1:
Rozwiążmy metodą podstawieniową
Rozwiązywanie układu równań metodą podstawieniową2x+5y=1 (1 równanie)
x-10y=3 (drugie równanie)
1. Ekspresowy
Widać, że w drugim równaniu występuje zmienna x o współczynniku 1, co oznacza, że najłatwiej jest wyrazić zmienną x z drugiego równania.
x=3+10 lat
2. Po wyrażeniu podstawiamy 3+10y do pierwszego równania zamiast zmiennej x.
2(3+10 lat)+5 lat=1
3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną.
2(3+10y)+5y=1 (otwórz nawiasy)
6+20 lat+5 lat=1
25 lat=1-6
25 lat=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rozwiązaniem układu równań są punkty przecięcia wykresów, dlatego musimy znaleźć x i y, ponieważ punkt przecięcia składa się z x i y. Znajdźmy x, w pierwszym punkcie, w którym to wyraziliśmy, podstawiamy y.
x=3+10 lat
x=3+10*(-0,2)=1
Zwyczajowo zapisuje się punkty, w pierwszej kolejności zapisujemy zmienną x, a w drugiej kolejności zmienną y.
Odpowiedź: (1; -0,2)
Przykład nr 2:
Rozwiążmy to za pomocą metody dodawania (odejmowania) wyraz po wyrazie.
Rozwiązywanie układu równań metodą dodawania3x-2y=1 (1 równanie)
2x-3y=-10 (drugie równanie)
1. Wybieramy zmienną, powiedzmy, że wybieramy x. W pierwszym równaniu zmienna x ma współczynnik 3, w drugim - 2. Musimy ustawić takie same współczynniki, w tym celu mamy prawo pomnożyć równania lub podzielić przez dowolną liczbę. Mnożymy pierwsze równanie przez 2, a drugie przez 3 i otrzymujemy całkowity współczynnik 6.
3x-2 lata=1 |*2
6x-4 lata=2
2x-3 lata=-10 |*3
6x-9 lat=-30
2. Odejmij drugie od pierwszego równania, aby pozbyć się zmiennej x. Rozwiąż równanie liniowe.
__6x-4 lata=2
5 lat=32 | :5
y=6,4
3. Znajdź x. Podstawiamy znalezione y do dowolnego z równań, powiedzmy do pierwszego równania.
3x-2 lata = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Punktem przecięcia będzie x=4,6; y=6,4
Odpowiedź: (4,6; 6,4)
Chcesz bezpłatnie przygotować się do egzaminów? Korepetytor online za darmo. Bez żartów.
Układy równań liniowych.Układ równań nazywamy liniowym, jeżeli wszystkie równania wchodzące w jego skład są liniowe. Zwyczajowo zapisuje się układ równań za pomocą nawiasów klamrowych, na przykład:
Definicja:Para wartości zmiennych, która sprawia, że każde równanie z dwiema zmiennymi zawartymi w układzie jest prawdziwą równością rozwiązywanie układu równań.
Rozwiąż system- oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań lub udowodnienie, że rozwiązań nie ma.
Przy rozwiązywaniu układu równań liniowych możliwe są trzy następujące przypadki:
układ nie ma rozwiązań;
układ ma dokładnie jedno rozwiązanie;
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
I . Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawieniową.
Metodę tę można również nazwać „metodą substytucyjną” lub metodą eliminowania niewiadomych.
Mamy tu dany układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Należy zauważyć, że wolne terminy (cyfry -5 i -7) znajdują się po lewej stronie równania. Napiszmy system w zwykłej formie.
Nie zapominaj, że przenosząc termin z części do części, musi on zmienić swój znak.
Co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych? Rozwiązanie układu równań oznacza znalezienie takich wartości zmiennych, które zamieniają każde równanie układu w poprawną równość. To stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego układu równań z dowolną liczbą niewiadomych.
Zdecydujmy.
Z pierwszego równania układu wyrażamy:
. To jest substytut. Podstawiamy powstałe wyrażenie do drugiego równania układu zamiast zmiennej
Rozwiążmy to równanie dla jednej zmiennej.
Otwórz nawiasy, dodaj podobne terminy i znajdź wartość 
:
4) Następnie wracamy do podstawienia
aby obliczyć wartość 
. Znamy już wartość, pozostaje tylko znaleźć:
5) Para 
jest jedynym rozwiązaniem dla danego układu.
Odpowiedź: (2.4; 2.2).
Po rozwiązaniu w jakikolwiek sposób dowolnego układu równań zdecydowanie zalecam sprawdzenie go na szkicu. Odbywa się to łatwo i szybko.
1) Zastąp znalezioną odpowiedź pierwszym równaniem: 
– uzyskuje się poprawną równość.
2) Podstaw znalezioną odpowiedź do drugiego równania: 
– uzyskuje się poprawną równość.
Rozważany sposób rozwiązania nie jest jedyny, z pierwszego równania można było wyrazić , a nie .
Możesz zrobić odwrotnie - wyrazić coś z drugiego równania i zastąpić to pierwszym równaniem. Należy jednak tak ocenić podstawienie, aby zawierało jak najmniej wyrażeń ułamkowych. Najbardziej niekorzystnym z czterech sposobów jest wyrażenie z drugiego lub pierwszego równania:
Lub 
Jednak w niektórych przypadkach nadal nie można obejść się bez ułamków. Powinieneś starać się wykonać każde zadanie w najbardziej racjonalny sposób. Oszczędza to czas, a także zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędu.
Przykład 2
Rozwiązać układ równań liniowych
II. Rozwiązywanie układu metodą algebraicznego dodawania (odejmowania) równań układu
Rozwiązując układy równań liniowych, nie można stosować metody podstawienia, ale metodę algebraicznego dodawania (odejmowania) równań układu. Ta metoda oszczędza czas i upraszcza obliczenia, jednak teraz wszystko stanie się jaśniejsze.
Rozwiąż układ równań liniowych:
Weźmy ten sam system, co w pierwszym przykładzie.
1) Analizując układ równań zauważamy, że współczynniki zmiennej y mają identyczną wielkość i przeciwny znak (–1 i 1). W takiej sytuacji równania można dodawać termin po wyrazie:
2) Rozwiążmy to równanie dla jednej zmiennej.
Jak widać, w wyniku dodawania kolejnych wyrazów straciliśmy zmienną. To właściwie jest istota tej metody - pozbycie się jednej ze zmiennych.
3) Teraz wszystko jest proste: 
– podstawiamy do pierwszego równania układu (można też do drugiego):
Ostateczne rozwiązanie powinno wyglądać mniej więcej tak:
Odpowiedź: (2.4; 2.2).
Przykład 4
Rozwiąż układ równań liniowych:
W tym przykładzie możemy zastosować metodę podstawienia, ale dużą wadą jest to, że wyrażając dowolną zmienną z dowolnego równania, otrzymamy rozwiązanie w ułamkach zwykłych. Niewiele osób lubi pracować z ułamkami zwykłymi, co oznacza, że jest to strata czasu i istnieje duże ryzyko popełnienia błędu.
Dlatego wskazane jest stosowanie dodawania (odejmowania) równań wyraz po wyrazie. Przeanalizujmy współczynniki dla odpowiednich zmiennych:
Jak widzimy liczby w parach (14 i 7), (-9 i –2) są różne, więc jeśli teraz dodamy (odejmiemy) równania, nie pozbędziemy się zmiennej. Dlatego chciałbym zobaczyć w jednej z par liczby o identycznej wartości bezwzględnej, na przykład 14 i -14 lub 18 i –18.
Rozważymy współczynniki zmiennej.
14x – 9 lat = 24;
7x – 2 lata = 17.
Wybieramy liczbę podzielną zarówno przez 14, jak i 7, która powinna być jak najmniejsza. W matematyce liczbę tę nazywa się najmniejszą wspólną wielokrotnością. Jeśli wybór będzie dla Ciebie trudny, możesz po prostu pomnożyć współczynniki.
Drugie równanie mnożymy przez 14: 7 =2.
W rezultacie:
Teraz odejmijmy drugi wyraz od pierwszego równania.
Należy zaznaczyć, że można by postąpić odwrotnie – od drugiego równania odjąć pierwsze, niczego to nie zmienia.
Teraz podstawiamy znalezioną wartość do jednego z równań układu, na przykład do pierwszego: 
Odpowiedź: (3:2)
Rozwiążmy system w inny sposób. Rozważmy współczynniki zmiennej.
14x – 9 lat = 24;
7x – 2 lata = 17.
Oczywiście zamiast pary współczynników (-9 i –3) musimy uzyskać 18 i –18.
Aby to zrobić, pomnóż pierwsze równanie przez (-2), pomnóż drugie równanie przez 9:
Dodajemy równania termin po wyrazie i znajdujemy wartości zmiennych:
Teraz podstawiamy znalezioną wartość x do jednego z równań układu, na przykład do pierwszego:
Odpowiedź: (3:2)
Druga metoda jest nieco bardziej racjonalna niż pierwsza, ponieważ dodawanie jest łatwiejsze i przyjemniejsze niż odejmowanie. Najczęściej przy rozwiązywaniu układów ma się tendencję do dodawania i mnożenia, a nie do odejmowania i dzielenia.
Przykład 5
Rozwiąż układ równań liniowych:
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu wykładu).
Przykład 6.
Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie. Układ nie ma rozwiązań, gdyż nie można jednocześnie spełnić dwóch równań układu (z pierwszego równania). 
i od drugiego 
Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.
Przykład 7.
rozwiązać układ równań
Rozwiązanie. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ drugie równanie otrzymuje się z pierwszego przez pomnożenie przez 2 (tj. w rzeczywistości istnieje tylko jedno równanie z dwiema niewiadomymi).
Odpowiedź: Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
III. Rozwiązywanie układu za pomocą macierzy.
Wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik złożony ze współczynników niewiadomych. Ten wyznacznik
Układ równań liniowych jest sumą n równań liniowych, z których każde zawiera k zmiennych. Jest napisane tak:
Wielu, spotykając się po raz pierwszy z wyższą algebrą, błędnie uważa, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą zmiennych. W algebrze szkolnej zwykle tak się dzieje, ale w algebrze wyższej na ogół nie jest to prawdą.
Rozwiązaniem układu równań jest ciąg liczb (k 1, k 2, ..., k n), który jest rozwiązaniem każdego równania układu, czyli: podstawiając do tego równania zamiast zmiennych x 1, x 2, ..., x n otrzymujemy poprawną równość liczbową.
Zatem rozwiązanie układu równań oznacza znalezienie zbioru wszystkich jego rozwiązań lub udowodnienie, że zbiór ten jest pusty. Ponieważ liczba równań i liczba niewiadomych mogą się różnić, możliwe są trzy przypadki:
- System jest niespójny, tj. zbiór wszystkich rozwiązań jest pusty. Dość rzadki przypadek, który można łatwo wykryć niezależnie od metody zastosowanej do rozwiązania systemu.
- System jest spójny i zdeterminowany, tj. ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wersja klasyczna, dobrze znana ze szkoły.
- System jest spójny i nieokreślony, tj. ma nieskończenie wiele rozwiązań. To najtrudniejsza opcja. Nie wystarczy wskazać, że „system ma nieskończony zbiór rozwiązań” – trzeba opisać, jak ten zbiór jest zbudowany.
Zmienną x i nazywamy dozwoloną, jeśli występuje tylko w jednym równaniu układu i ma współczynnik równy 1. Innymi słowy, w innych równaniach współczynnik zmiennej x i musi być równy zero.
Jeśli w każdym równaniu wybierzemy jedną dozwoloną zmienną, otrzymamy zbiór dozwolonych zmiennych dla całego układu równań. Sam system napisany w tej formie będzie również nazywany rozwiązanym. Ogólnie rzecz biorąc, jeden i ten sam oryginalny system można sprowadzić do różnych dozwolonych, ale na razie się tym nie przejmujemy. Oto przykłady dozwolonych systemów:
Obydwa systemy są rozwiązywane w odniesieniu do zmiennych x 1 , x 3 i x 4 . Jednakże z takim samym sukcesem można argumentować, że drugi system jest rozwiązany w odniesieniu do x 1, x 3 i x 5. Wystarczy przepisać ostatnie równanie do postaci x 5 = x 4.
Rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek. Miejmy w sumie k zmiennych, z których r jest dozwolone. Możliwe są wówczas dwa przypadki:
- Liczba dozwolonych zmiennych r jest równa całkowitej liczbie zmiennych k: r = k. Otrzymujemy układ k równań, w którym r = k dopuszczalnych zmiennych. Taki system jest wspólny i określony, ponieważ x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Liczba dozwolonych zmiennych r jest mniejsza niż całkowita liczba zmiennych k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Zatem w powyższych systemach zmienne x 2, x 5, x 6 (dla pierwszego systemu) i x 2, x 5 (dla drugiego) są dowolne. Przypadek, w którym istnieją zmienne wolne, lepiej jest sformułować jako twierdzenie:
Uwaga: to bardzo ważny punkt! W zależności od tego, jak napiszesz wynikowy system, ta sama zmienna może być dozwolona lub bezpłatna. Większość nauczycieli matematyki na poziomie wyższym zaleca zapisywanie zmiennych w porządku leksykograficznym, tj. indeks rosnący. Nie masz jednak obowiązku stosowania się do tej porady.
Twierdzenie. Jeżeli w układzie n równań dopuszczalne są zmienne x 1, x 2, ..., x r oraz x r + 1, x r + 2, ..., x k są wolne, to:
- Jeśli ustalimy wartości zmiennych wolnych (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), a następnie znajdziemy wartości x 1, x 2, ..., x r, otrzymujemy jedną z decyzji.
- Jeśli w dwóch rozwiązaniach wartości zmiennych wolnych są zbieżne, to wartości zmiennych dozwolonych również są zbieżne, tj. rozwiązania są równe.
Jakie jest znaczenie tego twierdzenia? Aby otrzymać wszystkie rozwiązania rozwiązanego układu równań wystarczy wyizolować zmienne wolne. Następnie przypisując różne wartości wolnym zmiennym otrzymamy gotowe rozwiązania. To wszystko - w ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania systemu. Nie ma innych rozwiązań.
Wniosek: rozwiązany układ równań jest zawsze spójny. Jeśli liczba równań w rozwiązanym układzie jest równa liczbie zmiennych, układ będzie określony, jeśli mniej, będzie nieokreślony.
I wszystko byłoby dobrze, ale pojawia się pytanie: jak uzyskać rozwiązany z pierwotnego układu równań? Do tego istnieje