Jak wygląda kształt cylindra? Podstawowe streszczenie geometrii na temat „cylinder”

Cylinder (cylinder okrągły) to bryła składająca się z dwóch okręgów połączonych równoległym translacją oraz wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych okręgów. Okręgi nazywane są podstawami walca, a odcinki łączące odpowiednie punkty obwodów okręgów nazywane są generatorami walca.

Podstawy walca są równe i leżą w równoległych płaszczyznach, a generatory walca są równoległe i równe. Powierzchnia cylindra składa się z podstawy i powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna składa się z tworzących.

Walec nazywa się prostym, jeśli jego generatory są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Cylinder można uznać za bryłę uzyskaną przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków jako osi. Istnieją inne typy cylindrów - eliptyczne, hiperboliczne, paraboliczne. Pryzmat jest również uważany za rodzaj cylindra.

Rysunek 2 przedstawia nachylony cylinder. Jego podstawą są koła o środkach O i O 1.

Promień walca to promień jego podstawy. Wysokość walca to odległość między płaszczyznami podstaw. Oś walca jest linią prostą przechodzącą przez środki podstaw. Jest równoległy do ​​generatorów. Przekrój walca z płaszczyzną przechodzącą przez oś cylindra nazywa się przekrojem osiowym. Płaszczyzna przechodząca przez tworzącą prostego cylindra i prostopadła do przekroju osiowego poprowadzonego przez tę tworzącą nazywana jest płaszczyzną styczną cylindra.

Płaszczyzna prostopadła do osi walca przecina jego powierzchnię boczną po okręgu równym obwodowi podstawy.

Pryzmat wpisany w cylinder to pryzmat, którego podstawy są równymi wielokątami wpisanymi w podstawy walca. Jego boczne żebra tworzą cylinder. Mówi się, że pryzmat jest opisany na walcu, jeśli jego podstawy są równymi wielokątami opisanymi na podstawach walca. Płaszczyzny jego ścian stykają się z boczną powierzchnią cylindra.

Pole powierzchni bocznej cylindra można obliczyć, mnożąc długość tworzącej przez obwód przekroju cylindra przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej.

Powierzchnię boczną prostego cylindra można znaleźć poprzez jego rozwój. Rozwinięciem walca jest prostokąt o wysokości h i długości P, która jest równa obwodowi podstawy. Dlatego powierzchnia bocznej powierzchni cylindra jest równa powierzchni jego rozwoju i jest obliczana według wzoru:

W szczególności dla prawego cylindra okrągłego:

P = 2πR i Sb = 2πRh.

Całkowita powierzchnia walca jest równa sumie pól jego powierzchni bocznej i podstaw.

Dla prostego cylindra okrągłego:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Istnieją dwa wzory na znalezienie objętości nachylonego walca.

Objętość można znaleźć, mnożąc długość tworzącej przez pole przekroju cylindra przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej.

Objętość nachylonego cylindra jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości (odległości między płaszczyznami, w których leżą podstawy):

V = Sh = S l sin α,

gdzie l jest długością tworzącej, a α jest kątem pomiędzy tworzącą a płaszczyzną podstawy. Dla prostego cylindra h = l.

Wzór na znalezienie objętości walca kołowego jest następujący:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4) h,

gdzie d jest średnicą podstawy.

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Nazwę nauki „geometria” tłumaczy się jako „pomiar ziemi”. Powstał dzięki wysiłkom pierwszych starożytnych zarządców gruntów. A stało się tak: podczas wylewów świętego Nilu strumienie wody czasami zmywały granice działek rolników, a nowe granice mogły nie pokrywać się ze starymi. Podatki chłopi płacili do skarbca faraona proporcjonalnie do wielkości działki. W pomiary powierzchni gruntów ornych w nowych granicach po wycieku zaangażowane były specjalne osoby. W wyniku ich działalności powstała nowa nauka, która rozwinęła się w starożytnej Grecji. Tam otrzymał swoją nazwę i uzyskał niemal nowoczesny wygląd. Następnie termin ten stał się międzynarodową nazwą nauki o figurach płaskich i trójwymiarowych.

Planimetria to dział geometrii zajmujący się badaniem figur płaskich. Kolejną gałęzią nauki jest stereometria, która bada właściwości figur przestrzennych (objętościowych). Do takich liczb zalicza się ta opisana w tym artykule - cylinder.

Przykładów obecności cylindrycznych przedmiotów w życiu codziennym jest mnóstwo. Prawie wszystkie części obrotowe - wały, tuleje, czopy, osie itp. - mają kształt cylindryczny (znacznie rzadziej - stożkowy). Cylinder ma również szerokie zastosowanie w budownictwie: wieże, kolumny wsporcze, kolumny dekoracyjne. A także naczynia, niektóre rodzaje opakowań, rury o różnych średnicach. I wreszcie – słynne kapelusze, które od dawna stały się symbolem męskiej elegancji. Lista jest długa.

Definicja cylindra jako figury geometrycznej

Cylinder (cylinder okrągły) nazywany jest zwykle figurą składającą się z dwóch okręgów, które w razie potrzeby łączy się za pomocą równoległego tłumaczenia. Te okręgi są podstawą cylindra. Ale linie (odcinki proste) łączące odpowiednie punkty nazywane są „generatorami”.

Ważne jest, aby podstawy walca były zawsze równe (jeśli ten warunek nie jest spełniony, to mamy stożek ścięty, coś innego, ale nie walec) i znajdowały się w równoległych płaszczyznach. Odcinki łączące odpowiednie punkty na okręgach są równoległe i równe.

Zbiór nieskończonej liczby elementów tworzących to nic innego jak powierzchnia boczna cylindra – jeden z elementów danej figury geometrycznej. Drugim ważnym jego elementem są omówione powyżej kręgi. Nazywa się je bazami.

Rodzaje cylindrów

Najprostszym i najczęstszym typem cylindra jest okrągły. Tworzą go dwa regularne koła pełniące rolę podstaw. Ale zamiast nich mogą być inne liczby.

Podstawy cylindrów mogą tworzyć (oprócz okręgów) elipsy i inne zamknięte figury. Ale cylinder niekoniecznie musi mieć zamknięty kształt. Na przykład podstawą walca może być parabola, hiperbola lub inna funkcja otwarta. Taki cylinder będzie otwarty lub rozłożony.

W zależności od kąta nachylenia cylindrów tworzących podstawy, mogą one być proste lub nachylone. W przypadku cylindra prostego tworzące są ściśle prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Jeżeli kąt ten jest różny od 90°, cylinder jest nachylony.

Co to jest powierzchnia obrotowa

Prosty okrągły cylinder jest bez wątpienia najpowszechniejszą powierzchnią obrotową stosowaną w inżynierii. Czasami ze względów technicznych stosuje się powierzchnie stożkowe, kuliste i inne, ale 99% wszystkich obracających się wałów, osi itp. wykonane są w formie cylindrów. Aby lepiej zrozumieć, czym jest powierzchnia obrotowa, możemy rozważyć, w jaki sposób powstaje sam cylinder.

Powiedzmy, że istnieje pewna linia prosta A, umiejscowiony pionowo. ABCD jest prostokątem, którego jeden bok (odcinek AB) leży na prostej A. Jeśli obrócimy prostokąt wokół linii prostej, jak pokazano na rysunku, objętość, jaką zajmie on podczas obracania się, będzie naszym ciałem obrotowym - prawym okrągłym cylindrem o wysokości H = AB = DC i promieniu R = AD = BC.

W tym przypadku w wyniku obrotu figury - prostokąta - uzyskuje się walec. Obracając trójkąt, możesz uzyskać stożek, obracając półkole - kulę itp.

Powierzchnia cylindra

Aby obliczyć pole powierzchni zwykłego prawego walca okrągłego, należy obliczyć pola podstaw i powierzchni bocznych.

Najpierw przyjrzyjmy się, jak obliczane jest pole powierzchni bocznej. Jest to iloczyn obwodu cylindra i jego wysokości. Obwód z kolei jest równy dwukrotności iloczynu liczby uniwersalnej P przez promień okręgu.

Wiadomo, że powierzchnia koła jest równa iloczynowi P na promień kwadratowy. Tak więc, dodając wzory na pole wyznaczania powierzchni bocznej z podwójnym wyrażeniem na pole podstawy (są dwa) i dokonując prostych przekształceń algebraicznych, otrzymujemy końcowe wyrażenie na wyznaczanie powierzchni obszar cylindra.

Wyznaczanie objętości figury

Objętość cylindra określa się zgodnie ze standardowym schematem: powierzchnię podstawy mnoży się przez wysokość.

Zatem ostateczny wzór wygląda następująco: pożądaną wartość definiuje się jako iloczyn wysokości ciała przez liczbę uniwersalną P i przez kwadrat promienia podstawy.

Trzeba powiedzieć, że uzyskana formuła ma zastosowanie do rozwiązywania najbardziej nieoczekiwanych problemów. W taki sam sposób, jak na przykład objętość cylindra, określa się objętość przewodów elektrycznych. Może to być konieczne do obliczenia masy drutów.

Jedyna różnica we wzorze polega na tym, że zamiast promienia jednego walca podawana jest średnica żyły podzielona na pół, a w wyrażeniu pojawia się liczba żył w drucie N. Ponadto zamiast wysokości używana jest długość drutu. W ten sposób objętość „cylindra” oblicza się nie tylko na podstawie jednego, ale liczby drutów w oplocie.

Takie obliczenia są często wymagane w praktyce. Przecież znaczna część zbiorników na wodę wykonana jest w formie rury. Często konieczne jest obliczenie objętości cylindra nawet w gospodarstwie domowym.

Jednak, jak już wspomniano, kształt cylindra może być inny. W niektórych przypadkach konieczne jest obliczenie objętości nachylonego cylindra.

Różnica polega na tym, że pola powierzchni podstawy nie mnoży się przez długość tworzącej, jak w przypadku prostego walca, ale przez odległość między płaszczyznami – zbudowany między nimi odcinek prostopadły.

Jak widać z rysunku, taki odcinek jest równy iloczynowi długości tworzącej i sinusa kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny.

Jak zbudować zabudowę cylindra

W niektórych przypadkach konieczne jest wycięcie ryzy cylindra. Poniższy rysunek przedstawia zasady konstrukcji półfabrykatu do produkcji cylindra o zadanej wysokości i średnicy.

Należy pamiętać, że rysunek jest pokazany bez szwów.

Różnice między skośnym cylindrem

Wyobraźmy sobie pewien prosty walec, ograniczony z jednej strony płaszczyzną prostopadłą do generatorów. Ale płaszczyzna ograniczająca cylinder po drugiej stronie nie jest prostopadła do generatorów i nie jest równoległa do pierwszej płaszczyzny.

Rysunek przedstawia skośny cylinder. Samolot A pod pewnym kątem, różnym od 90° w stosunku do generatorów, przecina figurę.

Ten geometryczny kształt częściej spotyka się w praktyce w postaci połączeń rurociągów (kolanka). Ale są nawet budynki zbudowane w formie skośnego cylindra.

Charakterystyka geometryczna skośnego cylindra

Nachylenie jednej z płaszczyzn ukośnego cylindra nieznacznie zmienia procedurę obliczania zarówno pola powierzchni takiej figury, jak i jej objętości.

Cylinder

def. Cylinder to bryła składająca się z dwóch połączonych ze sobą okręgów

tłumaczenie równoległe i wszystkie odcinki łączące odpowiednie punkty

te kręgi.

Okręgi nazywane są podstawami walca, a odcinki łączące odpowiednie punkty okręgów tych okręgów nazywane są generatorami walca (ryc. 1)

Ryż. 1 zdjęcie 2 rys. 3 rys. 4

Właściwości cylindra:

1) Podstawy walca są równe i leżą w równoległych płaszczyznach.

2) Generatory cylindra są równe i równoległe.

def. Promień walca to promień jego podstawy.

def. Wysokość walca to odległość między płaszczyznami jego podstaw.

def. Przekrój walca z płaszczyzną przechodzącą przez oś cylindra nazywa się przekrojem osiowym.

Przekrój osiowy cylindra jest prostokątem o bokach 2R i l(w prostym cylindrze l= N) rys. 2

Przekrój walca, równoległy do ​​jego osi, ma kształt prostokątów (ryc. 3).

Przekrój walca przez płaszczyznę równoległą do podstaw - okrąg równy podstawom (ryc. 4)

Powierzchnia cylindra.

Powierzchnia boczna cylindra składa się z tworzących.

Pełna powierzchnia cylindra składa się z podstaw i powierzchni bocznej.

S pełny = 2 S podstawowy + S strona ; S podstawowy = P ∙ R 2 ; S strona = 2 P ∙ R ∙HS pełny = 2PR ∙(R + N)

Część praktyczna:

№1. Promień walca wynosi 3 cm, a jego wysokość wynosi 5 cm. Znajdź obszar przekroju osiowego i obszar pół-

na powierzchni cylindra.

№2. Przekątna przekroju osiowego cylindra jest nachylona pod kątem do płaszczyzny podstawy
i jest równy 20 cm Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra.

№3. Promień walca wynosi 2 cm, a jego wysokość 3 cm. Znajdź przekątną przekroju osiowego cylindra.

№4. Przekątna przekroju osiowego cylindra jest równa
, tworzy kąt z płaszczyzną podstawy
. Znajdź powierzchnię boczną cylindra.

№5. Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi 15 . Znajdź osiowe pole przekroju poprzecznego.

№6. Znajdź wysokość walca, jeśli pole jego podstawy wynosi 1, a bok S =
.

№7. Przekątna przekroju osiowego cylindra ma długość 8 cm i jest nachylona pod kątem do płaszczyzny podstawy
. Znajdź całkowitą powierzchnię cylindra.

Cylindryczny komin o średnicy 65 cm ma wysokość 18 m. Ile blachy potrzeba na jego wykonanie, jeśli 10% materiału zostanie zużyte na nit?

Ograniczona powierzchnią cylindryczną i przecinającymi ją dwiema równoległymi płaszczyznami.

Powiązane definicje

Powierzchnia cylindryczna- powierzchnia uzyskana poprzez przesunięcie linii prostej (generatora), równoległej do dowolnej, przecinającej linię zakrzywioną (kierownik) leżącą w nierównoległej do zadanej płaszczyźnie prostej. Nazywa się figury płaskie powstałe w wyniku przecięcia powierzchni cylindrycznej z dwiema równoległymi płaszczyznami podstawy cylindrów. Nazywa się powierzchnię cylindryczną pomiędzy płaszczyznami podstaw powierzchnia boczna cylinder. Jeżeli płaszczyzna podstawy i płaszczyzna prowadnicy są równoległe, granica podstawy będzie pokrywać się kształtem z prowadnicą.

Typy

W większości przypadków cylinder oznacza prosty okrągły cylinder, którego prowadnicą jest okrąg, a podstawy są prostopadłe do tworzącej. Taki cylinder ma oś symetrii.

Inne typy cylindrów - (w zależności od nachylenia tworzącej) ukośne lub nachylone (jeśli tworząca nie dotyka podstawy pod kątem prostym); (w zależności od kształtu podstawy) eliptyczny, hiperboliczny, paraboliczny.

Pryzmat to także rodzaj cylindra - z podstawą w kształcie wielokąta.

Powierzchnia cylindra

Powierzchnia boczna

Pole powierzchni bocznej cylindra jest równe długości tworzącej pomnożonej przez obwód przekroju cylindra przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej.

Pole powierzchni bocznej prostego cylindra oblicza się na podstawie jego rozwoju. Rozwinięcie walca jest prostokątem o wysokości $H$ i długość $P$, równy obwodowi podstawy. Dlatego powierzchnia bocznej powierzchni cylindra jest równa powierzchni jego rozwoju i jest obliczana według wzoru:

$S\_b\; =\; P\; godz$

W szczególności dla prawego cylindra okrągłego:

$P\; =\; 2\backslash pi\; R$, I $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; godz$

W przypadku nachylonego cylindra pole powierzchni bocznej jest równe długości tworzącej pomnożonej przez obwód przekroju prostopadłego do tworzącej:

$S\_b\; =\; P\_(\backslash perp)\; godz$

W przeciwieństwie do objętości, nie ma prostego wzoru wyrażającego pole powierzchni bocznej skośnego cylindra poprzez parametry podstawy i wysokości. W przypadku nachylonego walca kołowego można zastosować przybliżone wzory na obwód elipsy, a następnie pomnożyć otrzymaną wartość przez długość tworzącej.

Całkowita powierzchnia

Całkowita powierzchnia walca jest równa sumie pól jego powierzchni bocznej i podstaw.

Dla prostego cylindra okrągłego: $S\_(p)\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +2\; \backslash pi\; R^2\; =\; 2\backslash pi\; R\; (h+R)$

Objętość cylindra

Dla nachylonego cylindra istnieją dwa wzory:

• Objętość jest równa długości tworzącej pomnożonej przez pole przekroju poprzecznego cylindra przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej. $V=S\_(\backslash perp)l$,
• Objętość jest równa powierzchni podstawy pomnożonej przez wysokość (odległość między płaszczyznami, w których leżą podstawy): $V=Sh=Sl\backslash sin(\backslash varphi)$,

Gdzie $l$ jest długością tworzącej, oraz $\backslash varphi$- kąt pomiędzy tworzącą a płaszczyzną podstawy. Do cylindra prostego $h=l$.

Do cylindra prostego $\backslash sin(\backslash varphi)=1$, $l=godz$ I $S\_(\backslash oskarżony)=S$, a objętość jest równa:

• $V=Śl=Sz$

Dla cylindra okrągłego:

$V=\backslash pi\; R^(2)h=\backslash pi\; \backslash frac(d^(2))(4)h$

Gdzie D- średnica podstawy.

Napisz recenzję na temat artykułu „Cylinder”

Notatki

Fragment charakteryzujący Cylinder

„Paryż la capitale du monde... [Paryż jest stolicą świata...]” – powiedział Pierre kończąc swoje przemówienie.
Kapitan spojrzał na Pierre'a. Miał zwyczaj zatrzymywać się w środku rozmowy i uważnie patrzeć śmiejącymi się, czułymi oczami.
- Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce... [No cóż, gdybyś mi nie powiedział, że jesteś Rosjaninem, założyłbym się, że jesteś Paryżaninem. Jest w tobie coś takiego...] - i powiedziawszy ten komplement, znów spojrzał w milczeniu.
„J”ai ete a Paris, j”y ai passe des annees, [byłem w Paryżu, spędziłem tam całe lata” – powiedział Pierre.
– Och, ca se voit bien. Paryż!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se wysłał deuxlieux. Paryż, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards" i zauważając, że zakończenie było słabsze od poprzedniego, pospiesznie dodał: "Il n"y a qu"un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [Och, to oczywiste. Paryż!.. Człowiek, który nie zna Paryża, jest dzikusem. Paryżanina poznaje się dwie mile dalej. Paryż jest Talma, Duchesnois, Potier, Sorbona, bulwary... Jest tylko jeden Paryż na całym świecie. Byłeś w Paryżu i pozostałeś Rosjaninem. No cóż, za to cię szanuję nie mniej.]
Pod wpływem wypitego wina i po dniach spędzonych w samotności z ponurymi myślami, Pierre doświadczył mimowolnej przyjemności w rozmowie z tym wesołym i dobrodusznym człowiekiem.
– Pour en revenir a vos dames, na les dit bien belles. Quelle fichue idee d"aller s" enterrer dans les steppes, quand l"armee francaise est a Moscou. Quelle szans elles ont manque celles la. Vos moujiks c"est autre Choose, mais voua autres gens Civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca . Nous avons pris Vienne, Berlin, Madryt, Neapol, Rzym, Warszawa, toutes les capitales du monde... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l "Empereur! [Ale wróćmy do waszych pań: mówią, że są bardzo piękne. Co za głupi pomysł, żeby zakopać się w stepie, kiedy armia francuska jest w Moskwie! Stracili wspaniałą okazję. Wasi ludzie , Rozumiem, ale wy jesteście ludźmi wykształconymi - powinniście znać nas lepiej. Zdobyliśmy Wiedeń, Berlin, Madryt, Neapol, Rzym, Warszawę, wszystkie stolice świata. Boją się nas, ale nas kochają. To nie Nie zaszkodzi poznać nas lepiej. A potem cesarz...] – zaczął, ale Pierre mu przerwał.
„L"Empereur” – powtórzył Pierre, a jego twarz nagle przybrała smutny i zawstydzony wyraz. „Est ce que l”Empereur?.. [Cesarz… Kim jest cesarz?..]
- L"Empereur? C"est la Generosite, la Clemence, la Justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C „est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j” etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m'a vaincu, cet homme. Il m'a empoigne. Je n"ai pas pu stress au spectacle de grandeur et de gloiredon il couvrait la France. Quand j"ai compris ce qu"il voulait, quand j"ai vu qu"il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oui, mon cher, c"est le plus grand homme des siecles pass et a venir. [Cesarz? To hojność, miłosierdzie, sprawiedliwość, porządek, geniusz - taki jest cesarz! To ja, Rambal, mówię ci. Z tego, co mnie widzisz, byłem jego wrogiem osiem lat temu. Mój ojciec był hrabią i emigrantem. Ale pokonał mnie, tego człowieka. Wziął mnie w posiadanie. Nie mogłem się oprzeć spektaklowi wielkości i chwały, jakim okrył Francję. Kiedy zrozumiałem, czego chce, kiedy zobaczyłem, że szykuje dla nas łoże laurowe, powiedziałem sobie: oto władca i oddałem mu się. A więc! O tak, moja droga, to największy człowiek minionych i przyszłych stuleci.]