Jak pomnożyć ułamek zwykły przez część całkowitą. Mnożenie ułamków

17.10.2019

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować – dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.

Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).

Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie jest zwyczajowo pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

Znajdź LCM mianowników ułamków;
Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:

Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.

Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.

Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10

Otrzymaliśmy odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Liczby odwrotne pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, należy pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.

Korzystając z tej zasady zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda jest ułamkiem, a dzielnikiem jest liczba 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, należy pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotnością dzielnika 2 jest ułamek. Więc musisz pomnożyć przez

Rozważymy mnożenie ułamków zwykłych w kilku możliwych opcjach.

Mnożenie ułamka zwykłego przez ułamek

To najprostszy przypadek, w którym musisz użyć poniższych zasady mnożenia ułamków zwykłych.

Do pomnóż ułamek przez ułamek, niezbędny:

pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i wpisz ich iloczyn do licznika nowego ułamka;
pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i wpisz ich iloczyn do mianownika nowego ułamka;

Przed pomnożeniem liczników i mianowników sprawdź, czy ułamki można skrócić. Zmniejszanie ułamków w obliczeniach znacznie ułatwi obliczenia.

Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Aby zrobić ułamek pomnożyć przez liczbę naturalną Musisz pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik ułamka bez zmian.

Jeśli wynikiem mnożenia jest ułamek niewłaściwy, nie zapomnij zamienić go na liczbę mieszaną, czyli podświetl całą część.

Mnożenie liczb mieszanych

Aby pomnożyć liczby mieszane, należy najpierw zamienić je na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Inny sposób pomnożenia ułamka zwykłego przez liczbę naturalną

Czasami podczas wykonywania obliczeń wygodniej jest zastosować inną metodę pomnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.

Jak widać z przykładu, ta wersja reguły jest wygodniejsza w użyciu, jeśli mianownik ułamka jest podzielny przez liczbę naturalną bez reszty.

Operacje na ułamkach

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;
Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istota tej metody polega na tym, że najpierw szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

LCM (2 i 3) = 6

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

Znajdź LCM mianowników ułamków;
Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy ze schematu, który podaliśmy powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM dla mianowników ułamków

Znajdź LCM dla mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4. Musisz znaleźć LCM dla tych liczb:

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw taki sam:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Jeśli przykład zostanie ukończony, zwyczajowo pozbywa się ułamka niewłaściwego. Pozbądźmy się ułamka niewłaściwego w odpowiedzi. W tym celu zaznaczmy całą jego część:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;

Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz podkreślić całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Należałoby to uprościć i uczynić bardziej estetycznym. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek. Przypomnijmy, że redukcja ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.

Aby poprawnie skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 20 i 30.

GCD nie należy mylić z NOC. Najczęstszy błąd wielu początkujących. GCD jest największym wspólnym dzielnikiem. Uważamy, że redukuje ułamek.

A LCM jest najmniejszą wspólną wielokrotnością. Znajdujemy go, aby doprowadzić ułamki do tego samego (wspólnego) mianownika.

Teraz znajdziemy największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 20 i 30.

Znajdujemy więc GCD dla liczb 20 i 30:

NWD (20 i 30) = 10

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 10:

Otrzymaliśmy piękną odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby zmniejszyć ten ułamek, należy go podzielić przez gcd licznika i mianownika. Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

NWD dla (105 i 150) wynosi 15

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez gcd:

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numer A to liczba, która po pomnożeniu przez A daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Innymi słowy, pomnóż ułamek sam przez siebie, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

odwrotność 3 jest ułamkiem
odwrotność 4 to ułamek

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek nie jest trudnym zadaniem. Są jednak subtelności, które prawdopodobnie rozumiałeś w szkole, ale od tego czasu zapomniałeś.

Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek - kilka wyrazów

Jeśli pamiętasz, czym jest licznik i mianownik i czym różni się ułamek właściwy od niewłaściwego, pomiń ten akapit. Jest dla tych, którzy całkowicie zapomnieli o teorii.

Licznik to górna część ułamka - tego, co dzielimy. Mianownik jest niższy. To jest to, co dzielimy.
Ułamek właściwy to taki, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek niewłaściwy to taki, którego licznik jest większy lub równy jego mianownikowi.

Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek

Zasada mnożenia liczby całkowitej przez ułamek jest bardzo prosta - licznik mnożymy przez liczbę całkowitą, ale nie dotykamy mianownika. Na przykład: dwa pomnożone przez jedną piątą - otrzymamy dwie piąte. Cztery pomnożone przez trzy szesnaste równa się dwanaście szesnastych.

Zmniejszenie

W drugim przykładzie uzyskaną frakcję można zmniejszyć.
Co to znaczy? Należy pamiętać, że zarówno licznik, jak i mianownik tego ułamka są podzielne przez cztery. Dzielenie obu liczb przez wspólny dzielnik nazywa się redukcją ułamka. Dostajemy trzy czwarte.

Niewłaściwe ułamki

Załóżmy jednak, że pomnożymy cztery przez dwie piąte. Okazało się, że było osiem piątych. To jest ułamek niewłaściwy.
Zdecydowanie trzeba to doprowadzić do właściwej formy. Aby to zrobić, musisz wybrać z niego całą część.
Tutaj musisz użyć dzielenia z resztą. Jako resztę otrzymujemy jeden i trzy.
Jedna całość i trzy piąte to nasz ułamek właściwy.

Doprowadzenie trzydziestu pięciu ósmych do prawidłowej formy jest nieco trudniejsze.Liczba najbliższa trzydziestu siedmiu podzielna przez osiem to trzydzieści dwa. Po podzieleniu otrzymamy cztery. Odejmij trzydzieści dwa od trzydziestu pięciu i otrzymamy trzy. Wynik: cztery całości i trzy ósemki.

Równość licznika i mianownika. A tutaj wszystko jest bardzo proste i piękne. Jeśli licznik i mianownik są równe, wynikiem jest po prostu jeden.

Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz znać proste zasady. Przeanalizujemy teraz szczegółowo te zasady.

Mnożenie ułamka zwykłego przez ułamek.

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.

$\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\$

Spójrzmy na przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.

$\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ razy 3)(7 \razy 3) = \frac(4)(7)\\$

Ułamek $\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$ został zmniejszony o 3.

Mnożenie ułamka przez liczbę.

Na początek przypomnijmy sobie zasadę, dowolną liczbę można przedstawić jako ułamek $\bf n = \frac(n)(1)$ .

Skorzystajmy z tej zasady przy mnożeniu.

$5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\$

Ułamek niewłaściwy $\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\$ przeliczone na ułamek mieszany.

Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian. Przykład:

$\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\$ $\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\$

Mnożenie ułamków mieszanych.

Aby pomnożyć ułamki mieszane, należy najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie skorzystać z reguły mnożenia. Mnożymy licznik przez licznik i mnożymy mianownik przez mianownik.

Przykład:
$2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\$

Mnożenie ułamków i liczb odwrotnych.

Ułamek $\bf \frac(a)(b)$ jest odwrotnością ułamka $\bf \frac(b)(a)$, pod warunkiem, że a≠0,b≠0.
Ułamki $\bf \frac(a)(b)$ i $\bf \frac(b)(a)$ nazywane są ułamkami odwrotnymi. Iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1.
$\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\$

Przykład:
$\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\$

Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: Iloczyn ułamków zwykłych to pomnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby uzyskać iloczyn ułamków mieszanych, należy je zamienić na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.

Jak pomnożyć ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy ułamki mają takie same czy różne mianowniki, mnożenie odbywa się zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.

Jak pomnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: najpierw musisz zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn, korzystając z zasad mnożenia.

Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: mnożymy liczbę przez licznik, ale mianownik pozostawiamy bez zmian.

Przykład 1:
Oblicz iloczyn: a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)$ b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) $

Rozwiązanie:
a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ $
b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( czerwony) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)$

Przykład nr 2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) $3 \times \frac(17)(23)$ b) $\frac(2)(3) \times 11$

Rozwiązanie:
a) $3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\$
b) $\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)$

Przykład nr 3:
Zapisz odwrotność ułamka $\frac(1)(3)$?
Odpowiedź: $\frac(3)(1) = 3$

Przykład nr 4:
Oblicz iloczyn dwóch wzajemnie odwrotnych ułamków: a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)$

Rozwiązanie:
a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1$

Przykład nr 5:
Czy ułamki odwrotne mogą być:
a) jednocześnie z właściwymi frakcjami;
b) jednocześnie ułamki niewłaściwe;
c) jednocześnie liczby naturalne?

Rozwiązanie:
a) Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, podamy przykład. Ułamek $\frac(2)(3)$ jest właściwy, jego ułamek odwrotny będzie równy $\frac(3)(2)$ - ułamkowi niewłaściwemu. Odpowiedź: nie.

b) prawie we wszystkich wyliczeniach ułamków warunek ten nie jest spełniony, ale są liczby, które spełniają warunek bycia jednocześnie ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to $\frac(3)(3)$, jego ułamek odwrotny jest równy $\frac(3)(3)$. Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.

c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3,…. Jeśli weźmiemy liczbę $3 = \frac(3)(1)$, to jej odwrotnym ułamkiem będzie $\frac(1)(3)$. Ułamek $\frac(1)(3)$ nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejdziemy przez wszystkie liczby, odwrotność liczby będzie zawsze ułamkiem zwykłym, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, wówczas jej odwrotność będzie wynosić $\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1$. Liczba 1 jest liczbą naturalną. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli jest to liczba 1.

Przykład nr 6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) $4 \times 2\frac(4)(5)$ b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Rozwiązanie:
a) $4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ $
b) $1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)$

Przykład nr 7:
Czy dwie odwrotności mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi?

Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany $1\frac(1)(2)$, znajdź jego ułamek odwrotny, w tym celu zamieniamy go na ułamek niewłaściwy $1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) $ . Jego odwrotny ułamek będzie równy $\frac(2)(3)$ . Ułamek $\frac(2)(3)$ jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa ułamki wzajemnie odwrotne nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.

Mnożenie ułamków zwykłych

Spójrzmy na przykład.

Niech na talerzu będzie $\frac(1)(3)$ część jabłka. Musimy znaleźć jego część $\frac(1)(2)$. Wymagana część jest wynikiem pomnożenia ułamków $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Wynik mnożenia dwóch ułamków zwykłych jest ułamkiem wspólnym.

Mnożenie dwóch ułamków zwykłych

Zasada mnożenia ułamków zwykłych:

Wynikiem mnożenia ułamka przez ułamek jest ułamek, którego licznik jest równy iloczynowi liczników mnożonych ułamków, a mianownik jest równy iloczynowi mianowników:

Przykład 1

Wykonaj mnożenie ułamków zwykłych $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze wzoru na mnożenie ułamków zwykłych:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odpowiedź:$\frac(15)(77)$

Jeśli mnożenie ułamków daje ułamek redukowalny lub niewłaściwy, należy go uprościć.

Przykład 2

Pomnóż ułamki $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Rozwiązanie.

Korzystamy ze wzoru na mnożenie ułamków zwykłych:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

W rezultacie otrzymaliśmy ułamek redukowalny (w oparciu o dzielenie przez 3 $. Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez 3 $, otrzymujemy:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Krótkie rozwiązanie:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odpowiedź:$\frac(1)(24).$

Mnożąc ułamki zwykłe, możesz zmniejszać liczniki i mianowniki, aż znajdziesz ich iloczyn. W takim przypadku licznik i mianownik ułamka rozkłada się na proste czynniki, po czym powtarzające się czynniki są anulowane i znajduje się wynik.

Przykład 3

Oblicz iloczyn ułamków $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze wzoru na mnożenie ułamków zwykłych:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Oczywiście w liczniku i mianowniku znajdują się liczby, które można zredukować parami do liczb 2$, 3$ i 5$. Rozłóżmy licznik i mianownik na proste czynniki i dokonajmy redukcji:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odpowiedź:$\frac(1)(20).$

Mnożąc ułamki zwykłe, możesz zastosować prawo przemienności:

Mnożenie ułamka zwykłego przez liczbę naturalną

Zasada mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę naturalną:

Wynikiem pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną jest ułamek, w którym licznik jest równy iloczynowi licznika pomnożonego ułamka przez liczbę naturalną, a mianownik jest równy mianownikowi pomnożonego ułamka:

gdzie $\frac(a)(b)$ jest ułamkiem zwykłym, $n$ jest liczbą naturalną.

Przykład 4

Pomnóż ułamek $\frac(3)(17)$ przez $4$.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze wzoru na mnożenie ułamka zwykłego przez liczbę naturalną:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odpowiedź:$\frac(12)(17).$

Nie zapomnij sprawdzić wyniku mnożenia przez redukowalność ułamka lub przez ułamek niewłaściwy.

Przykład 5

Pomnóż ułamek $\frac(7)(15)$ przez liczbę $3$.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze wzoru na pomnożenie ułamka przez liczbę naturalną:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Dzieląc przez liczbę $3$) możemy ustalić, że powstały ułamek można zmniejszyć:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultatem był nieprawidłowy ułamek. Wybierzmy całą część:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Krótkie rozwiązanie:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Ułamki można również zmniejszyć, zastępując liczby w liczniku i mianowniku ich rozkładem na czynniki pierwsze. W takim przypadku rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odpowiedź:$1\frac(2)(5).$

Mnożąc ułamek przez liczbę naturalną, możesz skorzystać z prawa przemienności:

Dzielenie ułamków

Operacja dzielenia jest odwrotnością mnożenia, a jej wynikiem jest ułamek, przez który należy pomnożyć znany ułamek, aby otrzymać znany iloczyn dwóch ułamków.

Dzielenie dwóch ułamków zwykłych

Zasada dzielenia ułamków zwykłych: Oczywiście licznik i mianownik powstałego ułamka można rozłożyć na czynniki i zmniejszyć:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

W rezultacie otrzymujemy ułamek niewłaściwy, z którego wybieramy całą część:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Odpowiedź:$1\frac(5)(9).$