Krzywe drugiego rzędu na płaszczyźnie znajdują się linie określone równaniami, w których zmienne współrzędne X I y zawarte są w drugim stopniu. Należą do nich elipsa, hiperbola i parabola.
Ogólna postać równania krzywej drugiego rzędu jest następująca:
Gdzie ALFABET- liczby i co najmniej jeden ze współczynników A, B, C nie równe zeru.
Przy rozwiązywaniu problemów z krzywymi drugiego rzędu najczęściej uwzględnia się równania kanoniczne elipsy, hiperboli i paraboli. Łatwo przejść do nich od równań ogólnych, temu poświęcony zostanie przykład 1 problemów z elipsami.
Elipsa określona równaniem kanonicznym
Definicja elipsy. Elipsa to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości do punktów zwanych ogniskami jest wartością stałą większą od odległości pomiędzy ogniskami.
Ogniska są zaznaczone jak na poniższym rysunku.
Równanie kanoniczne elipsy ma postać:
Gdzie A I B (A > B) - długości półosi, czyli połowy długości odcinków odciętych przez elipsę na osiach współrzędnych.
Linia prosta przechodząca przez ogniska elipsy jest jej osią symetrii. Inną osią symetrii elipsy jest linia prosta przechodząca przez środek odcinka prostopadłego do tego odcinka. Kropka O przecięcie tych linii służy jako środek symetrii elipsy lub po prostu środek elipsy.
Oś odciętych elipsy przecina się w punktach ( A, O) I (- A, O), a oś współrzędnych jest w punktach ( B, O) I (- B, O). Te cztery punkty nazywane są wierzchołkami elipsy. Odcinek pomiędzy wierzchołkami elipsy na osi x nazywany jest jej osią wielką, a na osi rzędnych osią mniejszą. Ich odcinki od góry do środka elipsy nazywane są półosiami.
Jeśli A = B, to równanie elipsy przyjmuje postać . To jest równanie okręgu o promieniu A, a okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy. Elipsę można otrzymać z okręgu o promieniu A, jeśli skompresujesz go do A/B razy wzdłuż osi Oj .
Przykład 1. Sprawdź, czy prosta dana równaniem ogólnym jest 
, elipsa.
Rozwiązanie. Przekształcamy równanie ogólne. Korzystamy z przeniesienia wyrazu wolnego na prawą stronę, podziału równania wyraz po wyrazie przez tę samą liczbę i redukcji ułamków:
Odpowiedź. Równanie otrzymane w wyniku przekształceń jest równaniem kanonicznym elipsy. Dlatego ta linia jest elipsą.
Przykład 2. Utwórz równanie kanoniczne elipsy, jeśli jej półosie wynoszą odpowiednio 5 i 4.
Rozwiązanie. Patrzymy na wzór na równanie kanoniczne elipsy i zastępujemy: półoś wielka A= 5, oś półmała wynosi B= 4 . Otrzymujemy równanie kanoniczne elipsy:
Punkty i , zaznaczone na zielono na głównej osi, gdzie
są nazywane wydziwianie.
zwany ekscentryczność elipsa.
Postawa B/A charakteryzuje „płaskość” elipsy. Im mniejszy jest ten stosunek, tym bardziej elipsa jest wydłużona wzdłuż głównej osi. Jednakże stopień wydłużenia elipsy wyraża się częściej poprzez mimośrodowość, której wzór podano powyżej. W przypadku różnych elips mimośrodowość zmienia się od 0 do 1, zawsze pozostając mniejsza niż jedność.
Przykład 3. Utwórz równanie kanoniczne elipsy, jeśli odległość między ogniskami wynosi 8, a główna oś wynosi 10.
Rozwiązanie. Wyciągnijmy kilka prostych wniosków:
Jeśli oś wielka jest równa 10, to jej połowa, czyli półoś A = 5 ,
Jeśli odległość między ogniskami wynosi 8, to liczba C współrzędnych ogniskowych jest równa 4.
Podstawiamy i obliczamy:
Wynikiem jest równanie kanoniczne elipsy:
Przykład 4. Utwórz równanie kanoniczne elipsy, jeśli jej główna oś wynosi 26, a mimośród wynosi .
Rozwiązanie. Jak wynika zarówno z rozmiaru głównej osi, jak i równania mimośrodu, półoś wielka elipsy A= 13. Z równania mimośrodu wyrażamy liczbę C, potrzebne do obliczenia długości mniejszej półosi:
.
Obliczamy kwadrat długości mniejszej półosi:
Tworzymy równanie kanoniczne elipsy:
Przykład 5. Wyznacz ogniska elipsy podane równaniem kanonicznym.
Rozwiązanie. Znajdź numer C, który wyznacza pierwsze współrzędne ognisk elipsy:
.
Otrzymujemy ogniska elipsy:
Przykład 6. Ogniska elipsy znajdują się na osi Wół symetrycznie względem początku. Ułóż równanie kanoniczne elipsy, jeśli:
1) odległość między ogniskami wynosi 30, a oś wielka 34
2) oś pomocnicza 24, a jedno z ognisk znajduje się w punkcie (-5; 0)
3) ekscentryczność, a jedno z ognisk znajduje się w punkcie (6; 0)
Kontynuujmy wspólne rozwiązywanie problemów z elipsami
Jeżeli jest to dowolny punkt elipsy (zaznaczony na zielono w prawej górnej części elipsy na rysunku) i jest odległością do tego punktu od ognisk, to wzory na odległości są następujące:
Dla każdego punktu należącego do elipsy suma odległości od ognisk jest stałą wartością równą 2 A.
Linie określone równaniami
są nazywane dyrektorki elipsa (na rysunku wzdłuż krawędzi znajdują się czerwone linie).
Z dwóch powyższych równań wynika, że dla dowolnego punktu elipsy
,
gdzie i są odległościami tego punktu do kierownic i .
Przykład 7. Biorąc pod uwagę elipsę. Napisz równanie na jego kierownice.
Rozwiązanie. Patrzymy na równanie kierownicy i stwierdzamy, że musimy znaleźć mimośród elipsy, tj. Mamy na to wszystkie dane. Obliczamy:
.
Otrzymujemy równanie kierownic elipsy:
Przykład 8. Utwórz równanie kanoniczne elipsy, jeśli jej ogniska są punktami, a kierownice liniami.
11.1. Podstawowe koncepcje
Rozważmy proste określone równaniami drugiego stopnia względem aktualnych współrzędnych
Współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi, ale co najmniej jedna z liczb A, B lub C jest różna od zera. Takie linie nazywane są liniami (krzywymi) drugiego rzędu. Poniżej zostanie ustalone, że równanie (11.1) definiuje okrąg, elipsę, hiperbolę lub parabolę na płaszczyźnie. Zanim przejdziemy do tego stwierdzenia, przeanalizujmy właściwości wymienionych krzywych.
11.2. Koło
Najprostszą krzywą drugiego rzędu jest okrąg. Przypomnijmy, że okrąg o promieniu R ze środkiem w punkcie to zbiór wszystkich punktów M płaszczyzny spełniającej warunek. Niech punkt w prostokątnym układzie współrzędnych ma współrzędne x 0, y 0 i - dowolny punkt na okręgu (patrz ryc. 48).
Następnie z warunku otrzymujemy równanie
(11.2)
Równanie (11.2) jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu na danym okręgu, a nie przez współrzędne żadnego punktu nie leżącego na okręgu.
Równanie (11.2) nazywa się równanie kanoniczne okręgu
W szczególności, ustawiając i , otrzymujemy równanie okręgu ze środkiem w początku 
.
Równanie okręgu (11.2) po prostych przekształceniach przyjmie postać . Porównując to równanie z ogólnym równaniem (11.1) krzywej drugiego rzędu, łatwo zauważyć, że dla równania okręgu spełnione są dwa warunki:
1) współczynniki dla x 2 i y 2 są sobie równe;
2) nie ma pręta zawierającego iloczyn xy bieżących współrzędnych.
Rozważmy problem odwrotny. Umieszczając wartości i w równaniu (11.1), otrzymujemy
Przekształćmy to równanie:
(11.4)
Wynika z tego, że równanie (11.3) definiuje okrąg pod warunkiem 
. Jego środek znajduje się w punkcie 
i promień
.
Jeśli 
, wówczas równanie (11.3) ma postać
.
Spełniają to współrzędne pojedynczego punktu 
. W tym przypadku mówią: „okrąg zdegenerował się w punkt” (ma promień zerowy).
Jeśli 
, to równanie (11.4), a zatem równoważne równanie (11.3), nie będzie definiować żadnej prostej, gdyż prawa strona równania (11.4) jest ujemna, a lewa nie jest ujemna (powiedzmy: „wyimaginowany okrąg”).
11.3. Elipsa
Kanoniczne równanie elipsy
Elipsa to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, suma odległości każdego z nich do dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwany wydziwianie , jest wartością stałą większą od odległości pomiędzy ogniskami.
Oznaczmy ogniska przez F 1 I F 2, odległość między nimi wynosi 2 C, a suma odległości od dowolnego punktu elipsy do ognisk - w 2 A(patrz rys. 49). Z definicji 2 A > 2C, tj. A
> C.
Aby wyprowadzić równanie elipsy, wybieramy układ współrzędnych tak, aby ogniska F 1 I F 2 leżał na osi, a początek pokrywał się ze środkiem segmentu F 1 F 2. Wtedy ogniska będą miały następujące współrzędne: i .
Niech będzie dowolnym punktem elipsy. Następnie zgodnie z definicją elipsy, tj.
W istocie jest to równanie elipsy.
Przekształćmy równanie (11.5) do prostszej postaci w następujący sposób:
Ponieważ A>Z, To . Włóżmy
(11.6)
Wtedy ostatnie równanie przybierze postać lub
(11.7)
Można udowodnić, że równanie (11.7) jest równoważne równaniu pierwotnemu. To jest nazwane kanoniczne równanie elipsy .
Elipsa jest krzywą drugiego rzędu.
Badanie kształtu elipsy za pomocą jej równania
Ustalmy kształt elipsy, korzystając z jej równania kanonicznego.
1. Równanie (11.7) zawiera x i y tylko w potęgach parzystych, więc jeśli punkt należy do elipsy, to punkty ,, również do niej należą. Wynika z tego, że elipsa jest symetryczna względem osi i oraz względem punktu, który nazywa się środkiem elipsy.
2. Znajdź punkty przecięcia elipsy z osiami współrzędnych. Stawiając , znajdujemy dwa punkty i , w których oś przecina elipsę (patrz ryc. 50). Wstawiając równanie (11.7) znajdujemy punkty przecięcia elipsy z osią: oraz . Zwrotnica A 1 ,
2 , B 1, B 2 są nazywane wierzchołki elipsy. Segmenty A 1 2 I B 1 B 2, a także ich długości 2 A i 2 B są odpowiednio nazywane oś większą i mniejszą elipsa. Liczby A I B nazywane są odpowiednio dużymi i małymi półosie elipsa.
3. Z równania (11.7) wynika, że każdy wyraz po lewej stronie nie przekracza jedności, tj. nierówności i lub i mają miejsce. W rezultacie wszystkie punkty elipsy leżą wewnątrz prostokąta utworzonego przez linie proste.
4. W równaniu (11.7) suma wyrazów nieujemnych i jest równa jeden. W konsekwencji, gdy jeden wyraz wzrośnie, drugi będzie się zmniejszał, tj. jeśli wzrośnie, maleje i odwrotnie.
Z powyższego wynika, że elipsa ma kształt pokazany na ryc. 50 (owalna zamknięta krzywa).
Więcej informacji o elipsie
Kształt elipsy zależy od stosunku. Kiedy elipsa zamienia się w okrąg, równanie elipsy (11.7) przyjmuje postać . Stosunek jest często używany do scharakteryzowania kształtu elipsy. Stosunek połowy odległości ognisk do półosi wielkiej elipsy nazywany jest mimośrodem elipsy, a o6o oznacza się literą ε („epsilon”):
z 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
To pokazuje, że im mniejszy mimośród elipsy, tym mniej będzie ona spłaszczona; jeśli ustalimy ε = 0, wówczas elipsa zamienia się w okrąg.
Niech M(x;y) będzie dowolnym punktem elipsy z ogniskami F 1 i F 2 (patrz rys. 51). Długości odcinków F 1 M = r 1 i F 2 M = r 2 nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Oczywiście,
Formuły się trzymają
Nazywa się linie bezpośrednie
Twierdzenie 11.1. Jeśli jest odległością od dowolnego punktu elipsy do jakiegoś ogniska, d jest odległością od tego samego punktu do kierownicy odpowiadającej temu ognisku, to stosunek jest stałą wartością równą mimośrodowi elipsy:
Z równości (11.6) wynika, że . Jeżeli, to równanie (11.7) definiuje elipsę, której oś główna leży na osi Oy, a oś pomocnicza na osi Ox (patrz ryc. 52). Ogniska takiej elipsy znajdują się w punktach i , gdzie 
.
11.4. Hiperbola
Równanie kanoniczne hiperboli
Hiperbola to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, moduł różnicy odległości każdego z nich do dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwany wydziwianie , jest wartością stałą mniejszą od odległości pomiędzy ogniskami.
Oznaczmy ogniska przez F 1 I F 2 odległość między nimi wynosi 2s oraz moduł różnicy odległości od każdego punktu hiperboli do ognisk 2a. A-przeorat 2a < 2s, tj. A < C.
Aby wyprowadzić równanie hiperboli, wybieramy układ współrzędnych tak, aby ogniska F 1 I F 2 leżał na osi, a początek pokrywał się ze środkiem segmentu F 1 F 2(patrz rys. 53). Wtedy ogniska będą miały współrzędne i
Niech będzie dowolnym punktem hiperboli. Następnie zgodnie z definicją hiperboli 
lub , tj. po uproszczeniu, jak to zrobiono przy wyprowadzaniu równania elipsy, otrzymujemy
równanie kanoniczne hiperboli
(11.9)
(11.10)
Hiperbola jest linią drugiego rzędu.
Badanie kształtu hiperboli za pomocą jej równania
Ustalmy postać hiperboli za pomocą jej równania kakonicznego.
1. Równanie (11.9) zawiera x i y tylko w potęgach parzystych. W związku z tym hiperbola jest symetryczna względem osi i , a także względem punktu, który nazywa się środek hiperboli.
2. Znajdź punkty przecięcia hiperboli z osiami współrzędnych. Wstawiając równanie (11.9), znajdujemy dwa punkty przecięcia hiperboli z osią: i. Wstawiając (11.9) otrzymujemy , czego nie może być. Dlatego hiperbola nie przecina osi Oy.
Punkty to tzw szczyty hiperbole i odcinek
prawdziwa oś , odcinek - prawdziwa półoś hiperbola.
Odcinek łączący punkty nazywa się wyimaginowana oś , liczba b - wyimaginowana półoś . Prostokąt z bokami 2a I 2b zwany podstawowy prostokąt hiperboli .
3. Z równania (11.9) wynika, że odjemna jest nie mniejsza niż jeden, tj. to lub . Oznacza to, że punkty hiperboli znajdują się na prawo od linii (prawa gałąź hiperboli) i na lewo od linii (lewa gałąź hiperboli).
4. Z równania (11.9) hiperboli wynika, że gdy wzrasta, wzrasta. Wynika to z faktu, że różnica utrzymuje stałą wartość równą jedności.
Z powyższego wynika, że hiperbola ma postać pokazaną na rysunku 54 (krzywa składająca się z dwóch nieograniczonych gałęzi).
Asymptoty hiperboli
Prostą L nazywamy asymptotą 
nieograniczona krzywa K, jeśli odległość d od punktu M krzywej K do tej prostej dąży do zera, gdy odległość punktu M na krzywej K od początku jest nieograniczona. Rysunek 55 ilustruje koncepcję asymptoty: linia prosta L jest asymptotą krzywej K.
Pokażemy, że hiperbola ma dwie asymptoty:
(11.11)
Ponieważ linie proste (11.11) i hiperbola (11.9) są symetryczne względem osi współrzędnych, wystarczy wziąć pod uwagę tylko te punkty wskazanych linii, które znajdują się w pierwszej ćwiartce.
Weźmy punkt N na linii prostej, który ma tę samą odciętą x co punkt hiperboli 
(patrz ryc. 56) i znajdź różnicę ΜΝ między rzędnymi prostej i gałęzi hiperboli:
Jak widać, wraz ze wzrostem x zwiększa się mianownik ułamka; licznik jest wartością stałą. Dlatego długość odcinka 
ΜΝ dąży do zera. Ponieważ MΝ jest większe niż odległość d od punktu M do prostej, wówczas d dąży do zera. Zatem linie są asymptotami hiperboli (11.9).
Konstruując hiperbolę (11.9), zaleca się najpierw skonstruować główny prostokąt hiperboli (patrz ryc. 57), narysować linie proste przechodzące przez przeciwne wierzchołki tego prostokąta - asymptoty hiperboli i zaznaczyć wierzchołki i , hiperboli.
Równanie hiperboli równobocznej.
których asymptoty są osiami współrzędnych
Hiperbolę (11.9) nazywa się równoboczną, jeśli jej półosie są równe (). Jego równanie kanoniczne
(11.12)
Asymptoty hiperboli równobocznej mają równania i dlatego są dwusiecznymi kątów współrzędnych.
Rozważmy równanie tej hiperboli w nowym układzie współrzędnych (patrz ryc. 58), uzyskanym ze starego poprzez obrót osi współrzędnych o kąt. Korzystamy ze wzorów na obracanie osi współrzędnych:
Podstawiamy wartości x i y do równania (11.12):
Równanie hiperboli równobocznej, dla której osie Ox i Oy są asymptotami, będzie miało postać .
Więcej informacji o hiperboli
Ekscentryczność hiperbola (11.9) to stosunek odległości ognisk do wartości osi rzeczywistej hiperboli, oznaczony przez ε:
Ponieważ dla hiperboli ekscentryczność hiperboli jest większa niż jeden: . Ekscentryczność charakteryzuje kształt hiperboli. Rzeczywiście z równości (11.10) wynika, że tj. I 
.
Z tego widać, że im mniejszy mimośród hiperboli, tym mniejszy jest stosunek jej półosi, a zatem tym bardziej wydłużony jest jej główny prostokąt.
Ekscentryczność hiperboli równobocznej wynosi . Naprawdę,
Promienie ogniskowe 
I 
dla punktów prawej gałęzi hiperbole mają postać i , a dla lewej gałęzi - 
I 
.
Linie proste nazywane są kierownicami hiperboli. Ponieważ dla hiperboli ε > 1, to . Oznacza to, że prawa kierownica znajduje się między środkiem a prawym wierzchołkiem hiperboli, lewa - między środkiem a lewym wierzchołkiem.
Kierownice hiperboli mają tę samą właściwość, co kierownice elipsy.
Krzywa określona równaniem jest jednocześnie hiperbolą, której oś rzeczywista 2b leży na osi Oy, a oś urojona 2 A- na osi Wołu. Na rysunku 59 pokazano to linią przerywaną.
Jest oczywiste, że hiperbole mają wspólne asymptoty. Takie hiperbole nazywane są koniugatami.
11,5. Parabola
Równanie kanoniczne paraboli
Parabola to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, z których każdy jest jednakowo oddalony od danego punktu zwanego ogniskiem i danej linii zwanej kierownicą. Odległość od ogniska F do kierownicy nazywana jest parametrem paraboli i oznaczana przez p (p > 0).
Aby wyprowadzić równanie paraboli, wybieramy układ współrzędnych Oxy tak, aby oś Ox przechodziła przez ognisko F prostopadle do kierownicy w kierunku od kierownicy do F, a początek współrzędnych O znajdował się pośrodku między ognisko i kierownica (patrz ryc. 60). W wybranym układzie ognisko F ma współrzędne , a równanie kierownicy ma postać , lub .
1. W równaniu (11.13) zmienna y występuje w stopniu parzystym, co oznacza, że parabola jest symetryczna względem osi Wółu; Oś Wół jest osią symetrii paraboli.
2. Ponieważ ρ > 0, z (11.13) wynika, że . W związku z tym parabola znajduje się na prawo od osi Oy.
3. Gdy mamy y = 0. Zatem parabola przechodzi przez początek.
4. Gdy x rośnie w nieskończoność, moduł y również rośnie w nieskończoność. Parabola ma postać (kształt) pokazaną na rysunku 61. Punkt O(0; 0) nazywany jest wierzchołkiem paraboli, odcinek FM = r nazywany jest promieniem ogniskowym punktu M.
Równania , , ( p>0) definiują także parabole, pokazano je na rysunku 62
Łatwo pokazać, że wykres trójmianu kwadratowego, gdzie , B i C są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest parabolą w znaczeniu podanym powyżej.
11.6. Równanie ogólne prostych drugiego rzędu
Równania krzywych drugiego rzędu o osiach symetrii równoległych do osi współrzędnych
Znajdźmy najpierw równanie elipsy ze środkiem w punkcie, której osie symetrii są równoległe do osi współrzędnych Ox i Oy, a półosie są odpowiednio równe A I B. Umieśćmy w środku elipsy O 1 początek nowego układu współrzędnych, którego osie i półosie A I B(patrz rys. 64):
Wreszcie parabole pokazane na rysunku 65 mają odpowiednie równania.
Równanie
Równania elipsy, hiperboli, paraboli i równania okręgu po przekształceniach (otwierać nawiasy, przesuwać wszystkie wyrazy równania na jedną stronę, wprowadzać wyrazy podobne, wprowadzać nowe oznaczenia współczynników) można zapisać za pomocą pojedynczego równania formularz
gdzie współczynniki A i C nie są jednocześnie równe zeru.
Powstaje pytanie: czy każde równanie postaci (11.14) wyznacza jedną z krzywych (okrąg, elipsa, hiperbola, parabola) drugiego rzędu? Odpowiedź daje następujące twierdzenie.
Twierdzenie 11.2. Równanie (11.14) zawsze definiuje: albo okrąg (dla A = C), albo elipsę (dla A C > 0), albo hiperbolę (dla A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Ogólne równanie drugiego rzędu
Rozważmy teraz równanie ogólne drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi:
Różni się ono od równania (11.14) obecnością składnika z iloczynem współrzędnych (B¹ 0). Można, obracając osie współrzędnych o kąt a, przekształcić to równanie w taki sposób, że nie ma członu z iloczynem współrzędnych.
Korzystanie ze wzorów na obrót osi
Wyraźmy stare współrzędne za pomocą nowych:
Wybierzmy kąt a tak, aby współczynnik dla x" · y" wyniósł zero, czyli aby równość
Zatem, gdy osie zostaną obrócone o kąt a spełniający warunek (11.17), równanie (11.15) sprowadza się do równania (11.14).
Wniosek: ogólne równanie drugiego rzędu (11.15) definiuje na płaszczyźnie (z wyjątkiem przypadków degeneracji i zaniku) następujące krzywe: okrąg, elipsa, hiperbola, parabola.
Uwaga: Jeśli A = C, to równanie (11.17) traci sens. W tym przypadku cos2α = 0 (patrz (11.16)), wówczas 2α = 90°, czyli α = 45°. Zatem, gdy A = C, układ współrzędnych należy obrócić o 45°.
Elipsa to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich do dwóch danych punktów F_1, a F_2 jest stałą wartością (2a), większą od odległości (2c) pomiędzy tymi danymi punktami (rys. 3.36, a). Ta geometryczna definicja wyraża ogniskowa właściwość elipsy.
Ogniskowa właściwość elipsy
Punkty F_1 i F_2 nazywane są ogniskami elipsy, odległość między nimi 2c=F_1F_2 to ogniskowa, środek O odcinka F_1F_2 to środek elipsy, liczba 2a to długość głównej osi elipsy elipsa (odpowiednio liczba a jest półoś wielką elipsy). Odcinki F_1M i F_2M łączące dowolny punkt M elipsy z jej ogniskami nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Odcinek łączący dwa punkty elipsy nazywa się cięciwą elipsy.
Stosunek e=\frac(c)(a) nazywany jest mimośrodem elipsy. Z definicji (2a>2c) wynika, że 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometryczna definicja elipsy, wyrażający jej właściwość ogniskową, jest równoznaczny z jej definicją analityczną - linią określoną przez równanie kanoniczne elipsy:
Rzeczywiście, wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych (ryc. 3.36c). Za początek układu współrzędnych przyjmujemy środek O elipsy; za oś odciętych przyjmujemy linię prostą przechodzącą przez ogniska (oś ogniskową lub pierwszą oś elipsy) (kierunek dodatni biegnie od punktu F_1 do punktu F_2); przyjmijmy prostą prostopadłą do osi ogniskowej i przechodzącą przez środek elipsy (druga oś elipsy) jako oś rzędnych (kierunek na osi rzędnych dobieramy tak, aby prostokątny układ współrzędnych Oxy był prawidłowy) .
Utwórzmy równanie elipsy, korzystając z jej definicji geometrycznej, która wyraża właściwość ogniskową. W wybranym układzie współrzędnych wyznaczamy współrzędne ognisk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Dla dowolnego punktu M(x,y) należącego do elipsy mamy:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Zapisując tę równość w postaci współrzędnych, otrzymujemy:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Przesuwamy drugi pierwiastek na prawą stronę, podnosimy obie strony równania i wprowadzamy podobne wyrazy:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dzieląc przez 4, podnosimy obie strony równania:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Mając wyznaczone b=\sqrt(a^2-c^2)>0, otrzymujemy b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dzieląc obie strony przez a^2b^2\ne0, otrzymujemy równanie kanoniczne elipsy:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Dlatego wybrany układ współrzędnych jest kanoniczny.
Jeśli ogniska elipsy pokrywają się, wówczas elipsa jest okręgiem (ryc. 3.36,6), ponieważ a=b. W tym przypadku każdy prostokątny układ współrzędnych, którego początek znajduje się w tym punkcie, będzie kanoniczny O\równoważnik F_1\równoważnik F_2, a równanie x^2+y^2=a^2 jest równaniem okręgu o środku w punkcie O i promieniu równym a.
Prowadząc rozumowanie w odwrotnej kolejności można wykazać, że wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równanie (3.49), i tylko one, należą do zbioru punktów zwanego elipsą. Innymi słowy, analityczna definicja elipsy jest równoważna jej definicji geometrycznej, która wyraża ogniskową właściwość elipsy.
Właściwość reżyserska elipsy
Kierownice elipsy to dwie linie proste biegnące równolegle do osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych, w tej samej odległości od niej \frac(a^2)(c). W c=0, gdy elipsa jest okręgiem, nie ma kierownic (możemy założyć, że kierownice są w nieskończoności).
Elipsa z mimośrodem 0
Faktycznie, np. dla ogniska F_2 i kierownicy d_2 (ryc. 3.37,6) warunek \frac(r_2)(\rho_2)=e można zapisać w postaci współrzędnych:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Pozbycie się irracjonalności i zastąpienie e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dochodzimy do kanonicznego równania elipsy (3.49). Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla fokusu F_1 i reżysera d_1\dwukropek\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych
Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych F_1r\varphi (rys. 3.37, c i 3.37 (2)) ma postać
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
gdzie p=\frac(b^2)(a) jest parametrem ogniskowym elipsy.
W rzeczywistości wybierzmy lewe ognisko F_1 elipsy jako biegun biegunowego układu współrzędnych i promień F_1F_2 jako oś biegunową (ryc. 3.37, c). Wtedy dla dowolnego punktu M(r,\varphi), zgodnie z geometryczną definicją (właściwością ogniskową) elipsy, mamy r+MF_2=2a. Wyrażamy odległość pomiędzy punktami M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (patrz akapit 2 uwag 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(wyrównane)
Zatem w postaci współrzędnych równanie elipsy F_1M+F_2M=2a ma postać
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izolujemy pierwiastek, podnosimy obie strony równania, dzielimy przez 4 i przedstawiamy podobne wyrażenia:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Wyraź promień biegunowy r i dokonaj zamiany e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
co było do okazania
Znaczenie geometryczne współczynników w równaniu elipsy
Znajdźmy punkty przecięcia elipsy (patrz rys. 3.37a) z osiami współrzędnych (wierzchołkami elipsy). Podstawiając do równania y=0, znajdujemy punkty przecięcia elipsy z osią odciętych (z osią ogniskową): x=\pm a. Zatem długość odcinka osi ogniskowej zawartej wewnątrz elipsy wynosi 2a. Odcinek ten, jak zauważono powyżej, nazywany jest główną osią elipsy, a liczba a jest półosią wielką elipsy. Podstawiając x=0 otrzymujemy y=\pm b. Zatem długość odcinka drugiej osi elipsy zawartego wewnątrz elipsy jest równa 2b. Odcinek ten nazywany jest małą osią elipsy, a liczba b jest półmniejszą osią elipsy.
Naprawdę, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a równość b=a uzyskujemy tylko w przypadku c=0, gdy elipsą jest okrąg. Postawa k=\frac(b)(a)\leqslant1 nazywa się współczynnikiem kompresji elipsy.
Uwagi 3.9
1. Proste x=\pm a,~y=\pm b ograniczają główny prostokąt na płaszczyźnie współrzędnych, wewnątrz którego znajduje się elipsa (patrz ryc. 3.37, a).
2. Elipsę można zdefiniować jako miejsce punktów uzyskane przez ściśnięcie koła do jego średnicy.
Rzeczywiście, niech równanie okręgu w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy będzie wynosić x^2+y^2=a^2. Po skompresowaniu do osi x ze współczynnikiem 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Podstawiając do równania okręgi x=x" i y=\frac(1)(k)y" otrzymujemy równanie na współrzędne obrazu M"(x",y") punktu M(x,y ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ponieważ b=k\cdot a . To jest równanie kanoniczne elipsy. 3. Osie współrzędnych (kanonicznego układu współrzędnych) są osiami symetrii elipsy (zwanymi głównymi osiami elipsy), a jej środek jest środkiem symetrii. Rzeczywiście, jeśli punkt M(x,y) należy do elipsy. wówczas punkty M”(x,-y) i M””(-x,y), symetryczne do punktu M względem osi współrzędnych, również należą do tej samej elipsy. 4. Z równania elipsy w biegunowym układzie współrzędnych r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(patrz ryc. 3.37, c) wyjaśniono geometryczne znaczenie parametru ogniskowego - jest to połowa długości cięciwy elipsy przechodzącej przez jej ognisko prostopadle do osi ogniskowej ( r = p w \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Mimośród e charakteryzuje kształt elipsy, czyli różnicę między elipsą a okręgiem. Im większe e, tym bardziej wydłużona elipsa i im e jest bliższe zeru, tym elipsa jest bliżej okręgu (ryc. 3.38a). Rzeczywiście, biorąc pod uwagę, że e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2 , otrzymujemy E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} gdzie k jest współczynnikiem kompresji elipsy, 0 6. Równanie \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 o godz
7. Równanie \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiuje elipsę ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0), której osie są równoległe do osi współrzędnych (ryc. 3.38, c). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36). Gdy a=b=R równanie (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje okrąg o promieniu R ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0) . Równanie parametryczne elipsy w kanonicznym układzie współrzędnych ma postać \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Rzeczywiście, podstawiając te wyrażenia do równania (3.49), dochodzimy do głównej tożsamości trygonometrycznej \cos^2t+\sin^2t=1 . Przykład 3.20. Narysuj elipsę \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 w kanonicznym układzie współrzędnych Oxy. Znajdź półosie, ogniskową, mimośrodowość, stopień kompresji, parametr ogniskowej, równania kierownicy. Rozwiązanie. Porównując podane równanie z równaniem kanonicznym wyznaczamy półosie: a=2 - półoś wielka, b=1 - półoś mała elipsy. Budujemy główny prostokąt o bokach 2a=4,~2b=2 ze środkiem w początku układu współrzędnych (ryc. 3.39). Biorąc pod uwagę symetrię elipsy, wpasowujemy ją w główny prostokąt. Jeśli to konieczne, określ współrzędne niektórych punktów elipsy. Na przykład, podstawiając x=1 do równania elipsy, otrzymujemy \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Dlatego punkty ze współrzędnymi \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- należą do elipsy. Obliczanie stopnia sprężania k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); długość ogniskowa 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentryczność e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametr ogniskowy p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Tworzymy równania kierownicy: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Elipsa to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich do dwóch danych punktów F_1, a F_2 jest stałą wartością (2a), większą od odległości (2c) pomiędzy tymi danymi punktami (rys. 3.36, a). Ta geometryczna definicja wyraża ogniskowa właściwość elipsy. Punkty F_1 i F_2 nazywane są ogniskami elipsy, odległość między nimi 2c=F_1F_2 to ogniskowa, środek O odcinka F_1F_2 to środek elipsy, liczba 2a to długość głównej osi elipsy elipsa (odpowiednio liczba a jest półoś wielką elipsy). Odcinki F_1M i F_2M łączące dowolny punkt M elipsy z jej ogniskami nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Odcinek łączący dwa punkty elipsy nazywa się cięciwą elipsy. Stosunek e=\frac(c)(a) nazywany jest mimośrodem elipsy. Z definicji (2a>2c) wynika, że 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Geometryczna definicja elipsy, wyrażający jej właściwość ogniskową, jest równoznaczny z jej definicją analityczną - linią określoną przez równanie kanoniczne elipsy: Rzeczywiście, wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych (ryc. 3.36c). Za początek układu współrzędnych przyjmujemy środek O elipsy; za oś odciętych przyjmujemy linię prostą przechodzącą przez ogniska (oś ogniskową lub pierwszą oś elipsy) (kierunek dodatni biegnie od punktu F_1 do punktu F_2); przyjmijmy prostą prostopadłą do osi ogniskowej i przechodzącą przez środek elipsy (druga oś elipsy) jako oś rzędnych (kierunek na osi rzędnych dobieramy tak, aby prostokątny układ współrzędnych Oxy był prawidłowy) . Utwórzmy równanie elipsy, korzystając z jej definicji geometrycznej, która wyraża właściwość ogniskową. W wybranym układzie współrzędnych wyznaczamy współrzędne ognisk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Dla dowolnego punktu M(x,y) należącego do elipsy mamy: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. Zapisując tę równość w postaci współrzędnych, otrzymujemy: \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Przesuwamy drugi pierwiastek na prawą stronę, podnosimy obie strony równania i wprowadzamy podobne wyrazy: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx. Dzieląc przez 4, podnosimy obie strony równania: a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). Mając wyznaczone b=\sqrt(a^2-c^2)>0, otrzymujemy b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dzieląc obie strony przez a^2b^2\ne0, otrzymujemy równanie kanoniczne elipsy: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Dlatego wybrany układ współrzędnych jest kanoniczny. Jeśli ogniska elipsy pokrywają się, wówczas elipsa jest okręgiem (ryc. 3.36,6), ponieważ a=b. W tym przypadku każdy prostokątny układ współrzędnych, którego początek znajduje się w tym punkcie, będzie kanoniczny O\równoważnik F_1\równoważnik F_2, a równanie x^2+y^2=a^2 jest równaniem okręgu o środku w punkcie O i promieniu równym a. Prowadząc rozumowanie w odwrotnej kolejności można wykazać, że wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równanie (3.49), i tylko one, należą do zbioru punktów zwanego elipsą. Innymi słowy, analityczna definicja elipsy jest równoważna jej definicji geometrycznej, która wyraża ogniskową właściwość elipsy. Kierownice elipsy to dwie linie proste biegnące równolegle do osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych, w tej samej odległości od niej \frac(a^2)(c). W c=0, gdy elipsa jest okręgiem, nie ma kierownic (możemy założyć, że kierownice są w nieskończoności). Elipsa z mimośrodem 0 Faktycznie, np. dla ogniska F_2 i kierownicy d_2 (ryc. 3.37,6) warunek \frac(r_2)(\rho_2)=e można zapisać w postaci współrzędnych: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Pozbycie się irracjonalności i zastąpienie e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dochodzimy do kanonicznego równania elipsy (3.49). Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla fokusu F_1 i reżysera d_1\dwukropek\frac(r_1)(\rho_1)=e. Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych F_1r\varphi (rys. 3.37, c i 3.37 (2)) ma postać r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) gdzie p=\frac(b^2)(a) jest parametrem ogniskowym elipsy. W rzeczywistości wybierzmy lewe ognisko F_1 elipsy jako biegun biegunowego układu współrzędnych i promień F_1F_2 jako oś biegunową (ryc. 3.37, c). Wtedy dla dowolnego punktu M(r,\varphi), zgodnie z geometryczną definicją (właściwością ogniskową) elipsy, mamy r+MF_2=2a. Wyrażamy odległość pomiędzy punktami M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (patrz): \begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(wyrównane) Zatem w postaci współrzędnych równanie elipsy F_1M+F_2M=2a ma postać r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. Izolujemy pierwiastek, podnosimy obie strony równania, dzielimy przez 4 i przedstawiamy podobne wyrażenia: r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. Wyraź promień biegunowy r i dokonaj zamiany e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), co było do okazania Znajdźmy punkty przecięcia elipsy (patrz rys. 3.37a) z osiami współrzędnych (wierzchołkami elipsy). Podstawiając do równania y=0, znajdujemy punkty przecięcia elipsy z osią odciętych (z osią ogniskową): x=\pm a. Zatem długość odcinka osi ogniskowej zawartej wewnątrz elipsy wynosi 2a. Odcinek ten, jak zauważono powyżej, nazywany jest główną osią elipsy, a liczba a jest półosią wielką elipsy. Podstawiając x=0 otrzymujemy y=\pm b. Zatem długość odcinka drugiej osi elipsy zawartego wewnątrz elipsy jest równa 2b. Odcinek ten nazywany jest małą osią elipsy, a liczba b jest półmniejszą osią elipsy. Naprawdę, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a równość b=a uzyskujemy tylko w przypadku c=0, gdy elipsą jest okrąg. Postawa k=\frac(b)(a)\leqslant1 nazywa się współczynnikiem kompresji elipsy. Uwagi 3.9 1. Proste x=\pm a,~y=\pm b ograniczają główny prostokąt na płaszczyźnie współrzędnych, wewnątrz którego znajduje się elipsa (patrz ryc. 3.37, a). 2. Elipsę można zdefiniować jako miejsce punktów uzyskane przez ściśnięcie koła do jego średnicy. Rzeczywiście, niech równanie okręgu w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy będzie wynosić x^2+y^2=a^2. Po skompresowaniu do osi x ze współczynnikiem 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Podstawiając do równania okręgi x=x" i y=\frac(1)(k)y" otrzymujemy równanie na współrzędne obrazu M"(x",y") punktu M(x,y ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ponieważ b=k\cdot a . To jest równanie kanoniczne elipsy. 3. Osie współrzędnych (kanonicznego układu współrzędnych) są osiami symetrii elipsy (zwanymi głównymi osiami elipsy), a jej środek jest środkiem symetrii. Rzeczywiście, jeśli punkt M(x,y) należy do elipsy. wówczas punkty M”(x,-y) i M””(-x,y), symetryczne do punktu M względem osi współrzędnych, również należą do tej samej elipsy. 4. Z równania elipsy w biegunowym układzie współrzędnych r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(patrz ryc. 3.37, c), wyjaśniono geometryczne znaczenie parametru ogniskowego - jest to połowa długości cięciwy elipsy przechodzącej przez jej ognisko prostopadle do osi ogniskowej (r=p przy \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Mimośród e charakteryzuje kształt elipsy, czyli różnicę między elipsą a okręgiem. Im większe e, tym bardziej wydłużona elipsa i im e jest bliższe zeru, tym elipsa jest bliżej okręgu (ryc. 3.38a). Rzeczywiście, biorąc pod uwagę, że e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2 , otrzymujemy e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} gdzie k jest współczynnikiem kompresji elipsy, 0 6. Równanie \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 o godz 7. Równanie \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiuje elipsę ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0), której osie są równoległe do osi współrzędnych (ryc. 3.38, c). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36). Gdy a=b=R równanie (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje okrąg o promieniu R ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0) . Równanie parametryczne elipsy w kanonicznym układzie współrzędnych ma postać \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Rzeczywiście, podstawiając te wyrażenia do równania (3.49), dochodzimy do głównej tożsamości trygonometrycznej \cos^2t+\sin^2t=1. Przykład 3.20. Narysuj elipsę \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 w kanonicznym układzie współrzędnych Oxy. Znajdź półosie, ogniskową, mimośrodowość, stopień kompresji, parametr ogniskowej, równania kierownicy. Rozwiązanie. Porównując podane równanie z równaniem kanonicznym wyznaczamy półosie: a=2 - półoś wielka, b=1 - półoś mała elipsy. Budujemy główny prostokąt o bokach 2a=4,~2b=2 ze środkiem w początku układu współrzędnych (ryc. 3.39). Biorąc pod uwagę symetrię elipsy, wpasowujemy ją w główny prostokąt. Jeśli to konieczne, określ współrzędne niektórych punktów elipsy. Na przykład, podstawiając x=1 do równania elipsy, otrzymujemy \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Dlatego punkty ze współrzędnymi \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- należą do elipsy. Obliczanie stopnia sprężania k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); długość ogniskowa 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentryczność e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametr ogniskowy p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Tworzymy równania kierownicy: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Definicja. Elipsa to geometryczne miejsce punktów na płaszczyźnie, których suma odległości każdego z dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą (pod warunkiem, że wartość ta jest większa niż odległość między ogniskami) . Oznaczmy ogniska odległością między nimi - przez i stałą wartością równą sumie odległości od każdego punktu elipsy do ognisk przez (według warunku). Konstruujmy kartezjański układ współrzędnych tak, aby ogniska znajdowały się na osi odciętej, a początek współrzędnych pokrywał się ze środkiem odcinka (ryc. 44). Wtedy ogniska będą miały następujące współrzędne: lewy fokus i prawy fokus. Wyprowadźmy równanie elipsy w wybranym przez nas układzie współrzędnych. W tym celu rozważmy dowolny punkt elipsy. Z definicji elipsy suma odległości od tego punktu do ognisk jest równa: Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami, otrzymujemy zatem Aby uprościć to równanie, zapisujemy je w postaci Następnie podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy lub po oczywistych uproszczeniach: Teraz ponownie podnosimy obie strony równania, po czym mamy: lub po identycznych przekształceniach: Ponieważ zgodnie z warunkiem w definicji elipsy liczba jest dodatnia. Wprowadźmy notację Wówczas równanie przyjmie następującą postać: Z definicji elipsy współrzędne dowolnego z jej punktów spełniają równanie (26). Ale równanie (29) jest konsekwencją równania (26). W związku z tym spełniają go również współrzędne dowolnego punktu elipsy. Można wykazać, że współrzędne punktów nie leżących na elipsie nie spełniają równania (29). Zatem równanie (29) jest równaniem elipsy. Nazywa się to równaniem kanonicznym elipsy. Ustalmy kształt elipsy, korzystając z jej równania kanonicznego. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na fakt, że w tym równaniu znajdują się tylko parzyste potęgi x i y. Oznacza to, że jeśli jakiś punkt należy do elipsy, to zawiera także punkt symetryczny do punktu względem osi odciętych oraz punkt symetryczny do punktu względem osi rzędnych. Zatem elipsa ma dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii, które w wybranym przez nas układzie współrzędnych pokrywają się z osiami współrzędnych. Osie symetrii elipsy będziemy odtąd nazywać osiami elipsy, a punkt ich przecięcia środkiem elipsy. Oś, na której znajdują się ogniska elipsy (w tym przypadku oś odciętych), nazywana jest osią ogniskową. Najpierw określmy kształt elipsy w pierwszej ćwiartce. Aby to zrobić, rozwiążmy równanie (28) dla y: Jest tu oczywiste, że , ponieważ y przyjmuje wartości urojone. W miarę zwiększania się od 0 do a y maleje od b do 0. Część elipsy leżąca w pierwszej ćwiartce będzie łukiem ograniczonym punktami B (0; b) i leżącym na osiach współrzędnych (ryc. 45). Korzystając teraz z symetrii elipsy, dochodzimy do wniosku, że elipsa ma kształt pokazany na ryc. 45. Punkty przecięcia elipsy z osiami nazywane są wierzchołkami elipsy. Z symetrii elipsy wynika, że oprócz wierzchołków elipsa ma jeszcze dwa wierzchołki (patrz ryc. 45). Odcinki i łączące przeciwne wierzchołki elipsy, a także ich długości, nazywane są odpowiednio dużą i małą osią elipsy. Liczby a i b nazywane są odpowiednio większą i mniejszą półosią elipsy. Stosunek połowy odległości ognisk do półosi wielkiej elipsy nazywany jest mimośrodem elipsy i jest zwykle oznaczany literą: Ponieważ , ekscentryczność elipsy jest mniejsza niż jedność: Ekscentryczność charakteryzuje kształt elipsy. Istotnie, ze wzoru (28) wynika, że im mniejszy mimośród elipsy, tym mniej jej półoś mała b różni się od półosi wielkiej a, czyli tym mniej wydłużona jest elipsa (wzdłuż osi ogniskowej). W skrajnym przypadku wynikiem jest okrąg o promieniu a: , lub . Jednocześnie ogniska elipsy wydają się łączyć w jednym punkcie - w środku koła. Mimośród okręgu wynosi zero: Połączenie elipsy z okręgiem można ustalić z innego punktu widzenia. Pokażmy, że elipsę z półosiami a i b można uważać za rzut koła o promieniu a. Rozważmy dwie płaszczyzny P i Q, tworzące między sobą taki kąt a, dla którego (ryc. 46). Skonstruujmy układ współrzędnych w płaszczyźnie P, a w płaszczyźnie Q układ Oxy o wspólnym początku O i wspólnej osi odciętych pokrywającej się z linią przecięcia płaszczyzn. Rozważmy okrąg na płaszczyźnie P ze środkiem w początku układu współrzędnych i promieniem równym a. Niech będzie dowolnie wybranym punktem na okręgu, będzie jego rzutem na płaszczyznę Q i niech będzie rzutem punktu M na oś Ox. Pokażmy, że punkt leży na elipsie z półosiami a i b.Równanie parametryczne elipsy
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
Ogniskowa właściwość elipsy
Właściwość reżyserska elipsy
Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych
Znaczenie geometryczne współczynników w równaniu elipsy
Równanie parametryczne elipsy
