W ostatnim samouczku wideo dowiedzieliśmy się, że stopień określonej podstawy jest wyrażeniem będącym iloczynem podstawy i samej siebie, wziętym w ilości równej wykładnikowi. Przestudiujmy teraz niektóre z najważniejszych własności i działań potęg.
Na przykład pomnóżmy dwie różne potęgi o tej samej podstawie:
Przyjrzyjmy się temu fragmentowi w całości:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Obliczając wartość tego wyrażenia, otrzymujemy liczbę 32. Z drugiej strony, jak widać z tego samego przykładu, 32 można przedstawić jako iloczyn o tej samej podstawie (dwa), wzięty 5 razy. I rzeczywiście, jeśli liczyć, to:
Można więc bezpiecznie stwierdzić, że:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Ta zasada działa z powodzeniem dla dowolnych wskaźników i dowolnych podstaw. Ta właściwość mnożenia stopnia wynika z zasady zachowania znaczenia wyrażeń podczas przekształceń w produkcie. Dla dowolnej podstawy a iloczyn dwóch wyrażeń (a) x i (a) y jest równy a (x + y). Innymi słowy, podczas tworzenia dowolnych wyrażeń o tej samej podstawie końcowy jednomian ma całkowity stopień utworzony przez dodanie stopnia pierwszego i drugiego wyrażenia.
Przedstawiona reguła świetnie sprawdza się również przy mnożeniu kilku wyrażeń. Głównym warunkiem jest to, aby podstawy dla wszystkich były takie same. Na przykład:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Niemożliwe jest dodawanie stopni iw ogóle przeprowadzanie jakichkolwiek działań połączonych mocą z dwoma elementami wyrażenia, jeśli ich podstawy są różne.
Jak pokazuje nasz film, dzięki podobieństwu procesów mnożenia i dzielenia, zasady dodawania potęg podczas iloczynu są doskonale przeniesione na procedurę dzielenia. Rozważ ten przykład:
Dokonajmy przekształcenia wyrażenia wyraz po wyrazie do pełnej formy i zredukujmy te same elementy w dzielnej i dzielniku:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Wynik końcowy tego przykładu nie jest tak ciekawy, ponieważ już w trakcie jego rozwiązania widać, że wartość wyrażenia jest równa kwadratowi dwójki. I jest to dwójka, którą uzyskuje się przez odjęcie stopnia drugiego wyrażenia od stopnia pierwszego.
Aby określić stopień ilorazu, należy od stopnia dzielnej odjąć stopień dzielnika. Reguła działa na tej samej podstawie dla wszystkich jej wartości i dla wszystkich sił natury. W postaci abstrakcyjnej mamy:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Definicja stopnia zerowego wynika z zasady dzielenia identycznych podstaw potęgami. Oczywiście, następujące wyrażenie to:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Z drugiej strony, jeśli podzielimy w bardziej wizualny sposób, otrzymamy:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Podczas zmniejszania wszystkich widocznych elementów ułamka zawsze uzyskuje się wyrażenie 1/1, czyli jeden. Dlatego ogólnie przyjmuje się, że każda podstawa podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:
Niezależnie od wartości A.
Byłoby jednak absurdem, gdyby 0 (które nadal daje 0 dla dowolnego mnożenia) było w jakiś sposób równe jeden, więc wyrażenie takie jak (0) 0 (zero do stopnia zerowego) po prostu nie ma sensu, a wzór (a) 0 = 1 dodaj warunek: „jeśli a nie jest równe 0”.
Zróbmy ćwiczenie. Znajdźmy wartość wyrażenia:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Ponieważ podstawa jest wszędzie taka sama i wynosi 34, ostateczna wartość będzie miała tę samą podstawę ze stopniem (zgodnie z powyższymi zasadami):
Innymi słowy:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Odpowiedź: Wyrażenie jest równe jeden.
Lekcja na temat: „Zasady mnożenia i dzielenia potęg o tych samych i różnych wykładnikach. Przykłady”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Podręcznik do podręcznika Yu.N. Podręcznik Makaryczewy do podręcznika A.G. Mordkowicz
Cel lekcji: nauczyć się wykonywać operacje na potęgach liczby.
Na początek przypomnijmy sobie pojęcie „potęgi liczby”. Wyrażenie takie jak $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ można przedstawić jako $a^n$.
Odwrotność jest również prawdziwa: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ta równość nazywana jest „zapisywaniem stopnia jako iloczynu”. Pomoże nam ustalić, jak mnożyć i dzielić potęgi.
Pamiętać:
A- podstawa stopnia.
N- wykładnik.
Jeśli n=1, co oznacza liczbę A wzięte raz i odpowiednio: $a^n= 1$.
Jeśli n=0, wtedy $a^0= 1$.
Dlaczego tak się dzieje, możemy się dowiedzieć, gdy zapoznamy się z zasadami mnożenia i dzielenia potęg.
zasady mnożenia
a) Jeśli potęgi o tej samej podstawie zostaną pomnożone.Do $a^n * a^m$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Rysunek pokazuje, że liczba A wziąłem n+m razy, wtedy $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Przykład.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ta właściwość jest wygodna w użyciu, aby uprościć pracę podczas podnoszenia liczby do dużej potęgi.
Przykład.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Jeśli potęgi są mnożone przez inną podstawę, ale ten sam wykładnik.
Do $a^n * b^n$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Jeśli zamienimy czynniki i policzymy wynikowe pary, otrzymamy: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Więc $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Przykład.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
zasady podziału
a) Podstawa stopnia jest taka sama, wykładniki są różne.Rozważ podzielenie stopnia z większym wykładnikiem przez podzielenie stopnia z mniejszym wykładnikiem.
Więc to jest konieczne $\frac(a^n)(a^m)$, Gdzie n>m.
Stopnie zapisujemy jako ułamek:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Dla wygody zapiszemy dzielenie jako ułamek zwykły.Skróćmy teraz ułamek.
Okazuje się, że: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Oznacza, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ta właściwość pomoże wyjaśnić sytuację z podniesieniem liczby do potęgi zero. Załóżmy, że n=m, to $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Przykłady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Podstawy stopnia są różne, wskaźniki są takie same.
Powiedzmy, że potrzebujesz $\frac(a^n)( b^n)$. Zapisujemy potęgi liczb jako ułamek:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Wyobraźmy sobie dla wygody.
Korzystając z właściwości ułamków, dzielimy duży ułamek na iloczyn małych, otrzymujemy.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Odpowiednio: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Przykład.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Dodawanie i odejmowanie potęg
Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.
Więc suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - re 4.
Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.
Zatem suma 2a 2 i 3a 2 wynosi 5a 2 .
Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.
Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.
Więc suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .
Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.
Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odejmowanie potęgi wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki odejmowania muszą być odpowiednio zmienione.
Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Mnożenie mocy
Liczby z potęgami można mnożyć jak inne wielkości, zapisując je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.
Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.
Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 y
Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .
Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to wynikiem będzie liczba (zmienna) o potędze równej suma stopnie terminów.
Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.
Zatem a n .a m = a m+n .
Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;
A m jest brane jako czynnik tyle razy, ile stopień m jest równy;
Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.
Więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ta reguła jest również prawdziwa dla liczb, których wykładniki to - negatywny.
1. Więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. za -n .a m = za m-n .
Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy
Wynik mnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.
Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.
Więc (a - y).(a + y) = za 2 - y 2 .
(za 2 - y 2)⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅ (za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .
Podział władzy
Liczby z potęgami można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.
Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .
Zapisanie 5 podzielonego przez 3 wygląda jak $\frac $. Ale to jest równe a 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 , za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..
Więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac = y$.
A n+1:a = an+1-1 = an . Oznacza to, że $\frac = a^n$.
Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem dzielenia -5 przez -3 jest -2 .
Również $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.
Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami
1. Zmniejsz wykładniki w $\frac $ Odpowiedź: $\frac $.
2. Zmniejsz wykładniki w $\frac$. Odpowiedź: $\frac $ lub 2x.
3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to a -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.
6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.
właściwości stopnia
Przypominamy, że w tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia ze wskaźnikami naturalnymi i zerem. Stopnie z racjonalnymi wskaźnikami i ich właściwościami zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.
Wykładnik z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia w przykładach wykładników.
Nieruchomość nr 1
Produkt potęg
Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.
a m a n \u003d a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Ta właściwość potęg wpływa również na iloczyn trzech lub więcej potęg.
- Uprość wyrażenie.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Obecny jako stopień.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Obecny jako stopień.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Zapisz iloraz jako potęgę
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Oblicz.
Proszę zwrócić uwagę, że we wskazanej własności chodziło tylko o mnożenie potęg o tych samych podstawach.. Nie dotyczy ich dodawania.
Nie możesz zamienić sumy (3 3 + 3 2) na 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Nieruchomość nr 2
Stopnie prywatne
Podczas dzielenia potęg o tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dzielnej.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności stopni cząstkowych.
3 8: t = 3 4
Odpowiedź: t = 3 4 = 81
Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, możesz łatwo uprościć wyrażenia i wykonać obliczenia.
Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Przykład. Znajdź wartość wyrażenia za pomocą właściwości stopnia.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Należy zauważyć, że właściwość 2 dotyczyła tylko podziału władzy o tych samych podstawach.
Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 −4 2) przez 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli obliczymy (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, a 4 1 = 4
Nieruchomość nr 3
Potęgowanie
Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa potęgi pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.
(a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego na następnej stronie zajmiemy się bardziej szczegółowo tematem podnoszenia ułamka do potęgi.
Jak mnożyć potęgi
Jak pomnożyć potęgi? Które potęgi można pomnożyć, a które nie? Jak pomnożyć liczbę przez potęgę?
W algebrze iloczyn potęg można znaleźć w dwóch przypadkach:
1) jeżeli stopnie mają tę samą podstawę;
2) jeśli stopnie mają te same wskaźniki.
Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie podstawa musi pozostać taka sama, a wykładniki należy dodać:
Mnożąc stopnie z tymi samymi wskaźnikami, całkowity wskaźnik można wyjąć z nawiasów:
Zastanów się, jak mnożyć potęgi, podając konkretne przykłady.
Jednostka w wykładniku nie jest zapisywana, ale przy mnożeniu stopni biorą pod uwagę:
Podczas mnożenia liczba stopni może być dowolna. Należy pamiętać, że nie można pisać znaku mnożenia przed literą:
W wyrażeniach potęgowanie jest wykonywane najpierw.
Jeśli chcesz pomnożyć liczbę przez potęgę, musisz najpierw wykonać potęgowanie, a dopiero potem - mnożenie:
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Ten samouczek wideo jest dostępny w ramach subskrypcji
Czy masz już subskrypcję? Wejść
W tej lekcji nauczymy się mnożyć potęgi o tej samej podstawie. Najpierw przypomnijmy sobie definicję stopnia i sformułujmy twierdzenie o ważności równości . Następnie podajemy przykłady jego zastosowania do konkretnych liczb i udowadniamy to. Twierdzenie to zastosujemy również do rozwiązywania różnych problemów.
Temat: Stopień ze wskaźnikiem naturalnym i jego właściwościami
Lekcja: Mnożenie potęg o tych samych podstawach (wzór)
1. Podstawowe definicje
Podstawowe definicje:
N- wykładnik,
— N-ta potęga liczby.
2. Twierdzenie 1
Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby A i dowolny naturalny N I k równość jest prawdziwa:
Innymi słowy: jeśli A- Jakikolwiek numer; N I k liczby naturalne, to:
Stąd zasada 1:
3. Wyjaśnianie zadań
Wniosek: przypadki szczególne potwierdziły poprawność twierdzenia nr 1. Udowodnijmy to w przypadku ogólnym, to znaczy dla dowolnego A i dowolny naturalny N I k.
4. Dowód twierdzenia 1
Podany numer A- każdy; liczby N I k- naturalny. Udowodnić:
Dowód opiera się na definicji stopnia.
5. Rozwiązywanie przykładów z wykorzystaniem Twierdzenia 1
Przykład 1: Obecny jako stopień.
Aby rozwiązać poniższe przykłady, używamy Twierdzenia 1.
I) 
6. Uogólnienie Twierdzenia 1
Oto uogólnienie:
7. Rozwiązywanie przykładów za pomocą uogólnienia Twierdzenia 1
8. Rozwiązywanie różnych problemów z wykorzystaniem Twierdzenia 1
Przykład 2: Oblicz (możesz skorzystać z tabeli podstawowych stopni).
A) 
(zgodnie z tabelą)
B) 
Przykład 3: Zapisz jako potęgę o podstawie 2.
A) 
Przykład 4: Określ znak liczby:
, A - ujemny, ponieważ wykładnik przy -13 jest nieparzysty.
Przykład 5: Zastąp ( ) potęgą z podstawą R:
Mamy, tzn.
9. Podsumowanie
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 7. 6. wydanie. M.: Oświecenie. 2010
1. Asystent szkolny (źródło).
1. Wyraź w stopniach:
a B C D E) 
3. Zapisz jako potęgę o podstawie 2:
4. Określ znak liczby:
A) 
5. Zastąp ( ) potęgą liczby z podstawą R:
za) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach
W tej lekcji zajmiemy się mnożeniem potęg o tych samych wykładnikach. Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące mnożenia i dzielenia potęg o tych samych podstawach oraz podnoszenia potęgi do potęgi. Następnie formułujemy i udowadniamy twierdzenia o mnożeniu i dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami. A potem z ich pomocą rozwiążemy szereg typowych problemów.
Przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń
Tutaj A- podstawa stopnia
— N-ta potęga liczby.
Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby A i dowolny naturalny N I k równość jest prawdziwa:
Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie wykładniki są dodawane, podstawa pozostaje niezmieniona.
Twierdzenie 2. Dla dowolnej liczby A i dowolny naturalny N I k, takie że N > k równość jest prawdziwa:
Podczas dzielenia potęg o tej samej podstawie wykładniki są odejmowane, a podstawa pozostaje niezmieniona.
Twierdzenie 3. Dla dowolnej liczby A i dowolny naturalny N I k równość jest prawdziwa:
Wszystkie powyższe twierdzenia dotyczyły potęg o tym samym fusy, w tej lekcji rozważymy stopnie z tym samym wskaźniki.
Przykłady mnożenia potęg o tych samych wykładnikach
Rozważ następujące przykłady:
Napiszmy wyrażenia służące do określenia stopnia.
Wniosek: Po przykładach to widać 
, ale to jeszcze wymaga udowodnienia. Formułujemy twierdzenie i udowadniamy je w przypadku ogólnym, to znaczy dla dowolnego A I B i dowolny naturalny N.
Stwierdzenie i dowód Twierdzenia 4
Dla dowolnych numerów A I B i dowolny naturalny N równość jest prawdziwa:
Dowód Twierdzenie 4 .
Z definicji stopnia:
Więc to udowodniliśmy .
Aby pomnożyć potęgi o tym samym wykładniku, wystarczy pomnożyć podstawy i pozostawić niezmieniony wykładnik.
Stwierdzenie i dowód twierdzenia 5
Formułujemy twierdzenie o dzieleniu potęg o tych samych wykładnikach.
Dla dowolnej liczby A I B() i dowolny naturalny N równość jest prawdziwa:
Dowód Twierdzenie 5 .
Zapiszmy i z definicji stopnia:
Zestawienie twierdzeń słownie
Więc to udowodniliśmy.
Aby podzielić stopnie z tymi samymi wykładnikami na siebie, wystarczy podzielić jedną podstawę przez drugą i pozostawić wykładnik niezmieniony.
Rozwiązywanie typowych problemów za pomocą Twierdzenia 4
Przykład 1: Wyraź jako iloczyn potęg.
Aby rozwiązać poniższe przykłady, używamy Twierdzenia 4.
Aby rozwiązać poniższy przykład, przypomnij sobie formuły:
Uogólnienie twierdzenia 4
Uogólnienie Twierdzenia 4:
Rozwiązywanie przykładów przy użyciu uogólnionego twierdzenia 4
Kontynuacja rozwiązywania typowych problemów
Przykład 2: Napisz jako stopień iloczynu.
Przykład 3: Zapisz jako potęgę z wykładnikiem 2.
Przykłady obliczeń
Przykład 4: Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7 .M.: Edukacja. 2006
2. Asystent szkolny (źródło).
1. Przedstaw jako iloczyn potęg:
A) ; B) ; V) ; G) ;
2. Zapisz jako stopień produktu:
3. Napisz w formie stopnia ze wskaźnikiem 2:
4. Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.
Lekcja matematyki na temat „Mnożenie i dzielenie potęg”
Sekcje: Matematyka
Cel pedagogiczny:
Zadania:
Jednostki aktywności doktryny: określenie stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego; komponenty stopnia; definicja prywatnego; asocjacyjne prawo mnożenia.
I. Organizacja pokazu opanowania przez studentów posiadanej wiedzy. (krok 1)
a) Aktualizowanie wiedzy:
2) Sformułuj definicję stopnia ze wskaźnikiem naturalnym.
za n \u003d a za a a ... a (n razy)
b k \u003d b b b b a ... b (k razy) Uzasadnij swoją odpowiedź.
II. Organizacja samooceny stażysty według stopnia posiadania odpowiedniego doświadczenia. (krok 2)
Test do samooceny: (praca indywidualna w dwóch wersjach).
A1) Wyraź iloczyn 7 7 7 7 x x x jako potęgę:
A2) Wyraź jako iloczyn stopień (-3) 3 x 2
A3) Oblicz: -2 3 2 + 4 5 3
Liczbę zadań w teście dobieram zgodnie z przygotowaniem do poziomu zajęć.
Do testu dodaję klucz do samodzielnego sprawdzenia. Kryteria: zaliczenie-niezaliczenie.
III. Zadanie dydaktyczno-praktyczne (krok 3) + krok 4. (uczniowie sami sformułują właściwości)
W trakcie rozwiązywania zadań 1) i 2) uczniowie proponują rozwiązanie, a ja jako nauczyciel organizuję zajęcia, aby znaleźć sposób na uproszczenie potęg przy mnożeniu przez te same podstawy.
Nauczyciel: wymyśl sposób na uproszczenie potęg podczas mnożenia przez tę samą podstawę.
W klastrze pojawia się wpis:
Temat lekcji jest sformułowany. Mnożenie potęg.
Nauczyciel: wymyśl regułę dzielenia stopni z tymi samymi podstawami.
Rozumowanie: jakie działanie sprawdza podział? a 5: a 3 = ? że a 2 a 3 = a 5
Wracam do schematu - klaster i uzupełniam wpis - ..przy dzieleniu odejmuję i dodaję temat lekcji. ...i podział stopni.
IV. Zakomunikowanie studentom granic wiedzy (minimum i maksimum).
Nauczyciel: zadaniem minimum na dzisiejszą lekcję jest nauczenie się stosowania własności mnożenia i dzielenia potęg o tych samych podstawach, a maksimum: jednoczesnego stosowania mnożenia i dzielenia.
Napisz na tablicy : za m za n = za m + n ; a m: a n = a m-n
V. Organizacja badania nowego materiału. (krok 5)
a) Wg podręcznika: nr 403 (a, c, e) zadania o innym brzmieniu
Nr 404 (a, e, f) samodzielna praca, potem organizuję wzajemne sprawdzenie, daję klucze.
b) Dla jakiej wartości m zachodzi równość? za 16 a m \u003d za 32; x godz x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Zadanie: wymyśl podobne przykłady podziału.
c) nr 417(a), nr 418(a) Pułapki na studentów: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; za 16: za 8 \u003d za 2.
VI. Podsumowanie zdobytej wiedzy, przeprowadzenie pracy diagnostycznej (która zachęci uczniów, a nie nauczycieli do studiowania tego tematu) (krok 6)
praca diagnostyczna.
Test(umieść klucze z tyłu testu).
Opcje zadania: przedstaw jako stopień iloraz x 15: x 3; przedstaw jako potęgę iloczyn (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; gdzie m jest równością a 16 a m = a 32 prawda; znajdź wartość wyrażenia h 0: h 2 z h = 0,2; oblicz wartość wyrażenia (5 2 5 0) : 5 2 .
Podsumowanie lekcji. Odbicie. Dzielę klasę na dwie grupy.
Znajdź argumenty z grupy I: za znajomością właściwości stopnia iz grupy II - argumenty, które powiedzą, że można obejść się bez właściwości. Słuchamy wszystkich odpowiedzi, wyciągamy wnioski. Na kolejnych lekcjach możesz podać dane statystyczne i nazwać rubrykę „To mi się nie mieści w głowie!”
VII. Praca domowa.
Odniesienie historyczne. Jakie liczby nazywamy liczbami Fermata.
str. 19. #403, #408, #417
Używane książki:
Własności stopni, sformułowania, dowody, przykłady.
Po określeniu stopnia liczby logiczne jest mówienie o tym właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe właściwości stopnia liczby, dotykając jednocześnie wszystkich możliwych wykładników. Tutaj podamy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, w jaki sposób te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów.
Nawigacja po stronie.
Właściwości stopni ze wskaźnikami naturalnymi
Z definicji potęgi z naturalnym wykładnikiem potęga n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . Na podstawie tej definicji i przy użyciu właściwości mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić, co następuje własności stopnia z wykładnikiem naturalnym:
- jeśli a>0 , to a n > 0 dla dowolnego naturalnego n ;
- jeśli a=0 , to n = 0 ;
- jeśli a 2 m > 0 , jeśli a 2 m−1 n ;
- jeśli m i n są liczbami naturalnymi takimi, że m>n , to dla 0m n i dla a>0 nierówność a m > a n jest prawdziwa.
- za m za n \u003d za m + n;
- za m: za n = za m-n ;
- (za b) n = za n b n ;
- (a:b) n =a n:bn ;
- (za m) n = za m n ;
- jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, aib są liczbami dodatnimi, a a n n i a-n>b-n ;
- jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a m>n , to dla 0m n i dla a>1 nierówność a m > a n jest spełniona.
Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczny w określonych warunkach, a ich prawa i lewa część mogą być wymieniane. Na przykład główna właściwość ułamka a m a n = a m + n z uproszczenie wyrażeń często używane w formie a m+n = a m a n .
Teraz przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu z nich.
Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, czyli tzw główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n równość a m·a n =a m+n jest prawdziwa.
Udowodnijmy główną własność stopnia. Z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m a n można zapisać jako iloczyn 
. Ze względu na właściwości mnożenia wynikowe wyrażenie można zapisać jako 
, a ten iloczyn jest potęgą a z naturalnym wykładnikiem m+n , czyli a m+n . To kończy dowód.
Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tych samych podstawach 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, według głównej własności stopnia możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Sprawdźmy jego poprawność, dla której obliczamy wartości wyrażeń 2 2 ·2 3 i 2 5 . Wykonując potęgowanie, mamy 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 =2 2 2 2 2=32 , skoro otrzymujemy równe wartości, to równość 2 2 2 3 = 2 5 jest prawdziwe i potwierdza główną własność stopnia.
Główną właściwość stopnia opartą na właściwościach mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej stopni z tymi samymi podstawami i wykładnikami naturalnymi. Zatem dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1 , n 2 , …, n k równość a n 1 a n 2 a n k = a n 1 +n 2 +…+n k jest prawdziwa.
Na przykład (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Możesz przejść do następnej właściwości stopni z naturalnym wskaźnikiem - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n równość a m:a n =a m−n jest prawdziwa.
Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w sformułowaniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0 n = 0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że dzielenie przez zero jest niemożliwe. Warunek m>n jest wprowadzany, abyśmy nie wychodzili poza wykładniki naturalne. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie albo zerem (co ma miejsce, gdy m−n) albo liczbą ujemną (co ma miejsce, gdy m m−n a n = a (m−n) + n = a m Z otrzymanej równości a m−n a n = a m oraz ze stosunku mnożenia przez dzielenie wynika, że a m−n jest potęgą cząstkową m i a n Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.
Weźmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i wykładnikach naturalnych 5 i 2, rozpatrywana własność stopnia odpowiada równości π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Teraz rozważ właściwość stopnia produktu: stopień naturalny n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych aib jest równy iloczynowi stopni a n i b n , czyli (a b) n = a n b n .
Rzeczywiście, z definicji stopnia z naturalnym wykładnikiem mamy 
. Ostatni iloczyn, oparty na właściwościach mnożenia, można przepisać jako 
, co jest równe a n b n .
Oto przykład: 
.
Ta właściwość rozciąga się na stopień iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że własność stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·ak k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Dla jasności pokażemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .
Następna właściwość to właściwość naturalna: iloraz liczb rzeczywistych a i b , b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n , czyli (a:b) n =a n:b n .
Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej własności. Zatem (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , a z równości (a:b) n b n =a n wynika, że (a:b) n jest ilorazem a n do b n .
Zapiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: 
.
Teraz zabierzmy głos właściwość potęgowania: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potędze a o wykładniku wykładniczym m·n, to znaczy (a m) n = a m·n .
Na przykład (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Dowodem własności mocy w stopniu jest następujący łańcuch równości: 
.
Rozważana właściwość może zostać rozszerzona na stopień w zakresie stopnia w stopniu i tak dalej. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s równość 
. Dla większej przejrzystości podajmy przykład z konkretnymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.
Zaczniemy od udowodnienia własności porównania zera i potęgi z naturalnym wykładnikiem.
Najpierw uzasadnijmy, że a n >0 dla dowolnego a>0 .
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Fakt ten oraz własności mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. A potęga a z naturalnym wykładnikiem n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Te argumenty pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej dodatniej podstawy a stopień n jest liczbą dodatnią. Na mocy udowodnionej własności 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 oraz 
.
Jest całkiem oczywiste, że dla dowolnego naturalnego n z a=0 stopień a n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0·0·…·0=0 . Na przykład 0 3 = 0 i 0 762 = 0 .
Przejdźmy do ujemnych baz.
Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2 m , gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie 
. Zgodnie z zasadą mnożenia liczb ujemnych każdy z iloczynów postaci a a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, co oznacza, że jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny. 
i stopień a 2 m . Oto przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnik jest liczbą nieparzystą 2 m−1, to wtedy 
. Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Na mocy tej własności (−5) 3 17 n n jest iloczynem lewej i prawej części n prawdziwych nierówności a właściwości nierówności, udowadniana nierówność ma postać a n n . Na przykład ze względu na tę właściwość nierówności 3 7 7 i 
.
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych własności potęg z wykładnikami naturalnymi. Sformułujmy to. Z dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi dodatnimi podstawami, mniej niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest mniejszy; i o dwa stopnie z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień, którego wskaźnik jest większy, jest większy. Przechodzimy do dowodu tej własności.
Udowodnijmy, że dla m>n i 0m n . W tym celu zapisujemy różnicę a m − a n i porównujemy ją z zerem. Zapisana różnica po wyjęciu n z nawiasów przyjmie postać a n ·(a m−n −1) . Wynikowy iloczyn jest ujemny jako iloczyn liczby dodatniej a n i liczby ujemnej a m−n −1 (a n jest dodatnią potęgą naturalną liczby dodatniej, a różnica a m−n −1 jest ujemna, ponieważ m−n >0 ze względu na warunek początkowy m>n , skąd wynika, że dla 0m−n jest mniejszy niż jeden). Zatem a m − a n m n , co należało udowodnić. Na przykład podajemy poprawną nierówność.
Pozostaje udowodnić drugą część własności. Udowodnijmy, że dla m>n i a>1, a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po wyjęciu n z nawiasów przyjmuje postać a n ·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, ponieważ dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, ponieważ m−n>0 ze względu na warunek początkowy, a dla a>1 stopień m−n jest większy niż jeden. Zatem a m − a n >0 i a m >a n , co należało udowodnić. Właściwość tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2 .
Własności stopni z wykładnikami całkowitymi
Ponieważ dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi, to wszystkie właściwości potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych dokładnie pokrywają się z właściwościami potęg o wykładnikach naturalnych wymienionych i udowodnionych w poprzednim akapicie.
Zdefiniowaliśmy stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym, jak również stopień z wykładnikiem zerowym, tak aby wszystkie własności stopni z naturalnymi wykładnikami wyrażonymi przez równości pozostały ważne. Dlatego wszystkie te właściwości są ważne zarówno dla wykładników zerowych, jak i wykładników ujemnych, podczas gdy oczywiście podstawy stopni są niezerowe.
Tak więc dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych a i b, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, prawdziwe są następujące własności stopni z wykładnikami całkowitymi:
Dla a=0 potęgi a m i n mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, czyli liczbami naturalnymi. Tak więc właśnie zapisane właściwości obowiązują również w przypadkach, gdy a=0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Udowodnienie każdej z tych właściwości nie jest trudne, w tym celu wystarczy skorzystać z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym, a także właściwości działań z liczbami rzeczywistymi. Jako przykład udowodnijmy, że właściwość potęgi dotyczy zarówno dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, musimy pokazać, że jeśli p jest zerem lub liczbą naturalną, a q jest zerem lub liczbą naturalną, to równości (a p) q = a p q , (a − p) q = a (−p) q , (za p ) −q = za p (−q) i (za −p) −q = za (−p) (−q) . Zróbmy to.
Dla dodatnich p i q równość (a p) q = a p·q została udowodniona w poprzednim podrozdziale. Jeśli p=0 , to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , skąd (a 0) q =a 0 q . Podobnie, jeśli q=0, to (a p) 0 = 1 i a p 0 = a 0 = 1, skąd (a p) 0 = a p 0 . Jeśli zarówno p=0, jak i q=0 , to (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , skąd (a 0) 0 =a 0 0 .
Udowodnijmy teraz, że (a −p) q = a (−p) q . Zatem z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym 
. Zgodnie z właściwością ilorazu w stopniu mamy 
. Skoro 1 p =1·1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie jest z definicji potęgą postaci a −(p q) , którą na mocy reguł mnożenia można zapisać jako a (−p) q .
podobnie 
.
I 
.
Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości.
Przy przedostatniej zarejestrowanej własności warto zatrzymać się nad dowodem nierówności a −n >b −n , która jest prawdziwa dla dowolnej ujemnej liczby całkowitej −n oraz dowolnej dodatniej a i b dla której warunek a . Piszemy i przekształcamy różnicę między lewą i prawą częścią tej nierówności: 
. Ponieważ z warunku a n n , zatem b n - za n > 0 . Iloczyn a n·b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy otrzymany ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n − a n i a n b n . Stąd skąd a −n >b −n , co należało udowodnić.
Ostatnia własność stopni z wykładnikami całkowitymi jest dowodzona w taki sam sposób, jak analogiczna własność stopni z wykładnikami naturalnymi.
Własności potęg o wykładnikach wymiernych
Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając na niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, stopnie z wykładnikami ułamkowymi mają takie same właściwości jak stopnie z wykładnikami całkowitymi. Mianowicie:
- własność iloczynu potęg o tej samej podstawie
dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ; - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach
dla a>0; - ułamkowa właściwość produktu
dla a>0 i b>0 , a jeśli i , to dla a≥0 i (lub) b≥0 ; - właściwość ilorazu do potęgi ułamkowej
dla a>0 i b>0 , a jeśli , to dla a≥0 i b>0 ; - właściwość stopnia w stopniu
dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ; - właściwość porównywania potęg o równych wykładnikach wymiernych: dla dowolnych liczb dodatnich aib, a 0 nierówność a p p jest spełniona, a dla p p >b p ;
- właściwość porównywania potęg z wykładnikami wymiernymi i równymi podstawami: dla liczb wymiernych p i q p>q dla 0p q, a dla a>0 nierówność a p >a q .
- za p za q = za p + q ;
- za p: za q = za p-q ;
- (a b) p = za p b p ;
- (a:b) p = a p: b p ;
- (za p) q = za p q ;
- dla dowolnych liczb dodatnich a i b , a 0 nierówność a p p jest spełniona, a dla p p >b p ;
- dla liczb niewymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .
Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym, na własnościach pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Dajmy dowód.
Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i , a następnie 
. Właściwości pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam zapisać następujące równości. Ponadto, korzystając z własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , skąd z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym mamy 
, a wykładnik uzyskanego stopnia można przeliczyć w następujący sposób: . To kończy dowód.
Druga własność potęg o wykładnikach ułamkowych jest dowodzona dokładnie w ten sam sposób: 
Pozostałe równości dowodzą podobne zasady: 
Przechodzimy do dowodu następnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnych dodatnich a i b , a 0 obowiązuje nierówność a p p , a dla p p > b p . Liczbę wymierną p zapisujemy jako m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki p 0 w tym przypadku będą odpowiednio równoważne warunkom m 0. Dla m>0 i am m . Z tej nierówności, przez właściwość pierwiastków, mamy , a ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, to na podstawie definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym wynikającą z tego nierówność można zapisać jako , to znaczy a p p .
Podobnie, gdy m m > b m , czyli skąd , a p > b p .
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q . Zawsze możemy sprowadzić liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, weźmy ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 >m 2, który wynika z zasady porównywania ułamków zwykłych o tych samych mianownikach. Następnie, przez właściwość porównywania potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych, dla 0m 1 m 2 i dla a>1, nierówność a m 1 > a m 2 . Te nierówności pod względem właściwości pierwiastków można zapisać odpowiednio jako 
I 
. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .
Własności stopni o wykładnikach niewymiernych
Z tego, jak zdefiniowano stopień z wykładnikiem niewymiernym, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikami wymiernymi. Zatem dla dowolnych a>0 , b>0 oraz liczb niewymiernych p i q prawdziwe są następujące stwierdzenia własności stopni z wykładnikami niewymiernymi:
Z tego możemy wywnioskować, że potęgi o dowolnych wykładnikach rzeczywistych p i q dla a>0 mają te same własności.
- Algebra - 10 klasa. Równania trygonometryczne Lekcja i prezentacja na temat: „Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych” Materiały dodatkowe Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały […]
- Otwarty jest konkurs na stanowisko „SPRZEDAWCA - KONSULTANT”: Obowiązki: sprzedaż telefonów komórkowych i akcesoriów do usługi łączności mobilnej dla abonentów Beeline, Tele2, MTS łączenie planów taryfowych i usług Beeline i Tele2, doradztwo MTS […]
- Równoległościan o wzorze Równoległościan to wielościan o 6 ścianach, z których każda jest równoległobokiem. Prostopadłościan to prostopadłościan, którego każda ściana jest prostokątem. Każdy równoległościan charakteryzuje się 3 […]
- PISOWNIA Н I НН W RÓŻNYCH CZĘŚCIACH MOWY 2. Wymień wyjątki od tych reguł. 3. Jak odróżnić przymiotnik czasownikowy z przyrostkiem -n- od imiesłowu z […]
- INSPEKCJA GOSTEKHNADZORA REJONU BRIAŃSKIEGO Dowód zapłaty cła państwowego (Pobierz-12.2 kb) Wnioski o rejestrację dla osób fizycznych (Pobierz-12 kb) Wnioski o rejestrację osób prawnych (Pobierz-11.4 kb) 1. Przy rejestracji nowego samochodu: 1. wniosek 2. paszport […]
- Towarzystwo Ochrony Praw Konsumentów Astana Aby otrzymać kod PIN umożliwiający dostęp do tego dokumentu na naszej stronie internetowej, wyślij wiadomość SMS o treści zan na numer Abonentów operatorów GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) wysyłając SMS na numer, […]
- Przyjąć ustawę o zagrodach rodowych Przyjąć ustawę federalną o nieodpłatnym przydzielaniu kawałka ziemi każdemu obywatelowi Federacji Rosyjskiej lub rodzinie obywateli pragnącej na niej zagospodarować zagrodę rodzinną na następujących warunkach: 1. Ziemia jest przeznaczone na […]
- Pivoev V.M. Filozofia i metodologia nauki: podręcznik dla magistrów i doktorantów Pietrozawodsk: Wydawnictwo PetrGU, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]
Artykuły z nauk przyrodniczych i matematyki
Własności potęg o tej samej podstawie
Istnieją trzy właściwości potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych. Ten
Bądź ostrożny! Zasady dot Dodawanie i odejmowanie potęgi o tej samej podstawie nie istnieje.
Piszemy te reguły właściwości w postaci formuł:
Rozważ je teraz na konkretnych przykładach i spróbuj udowodnić.
5 2 × 5 3 = 5 5 - tutaj zastosowaliśmy regułę; a teraz wyobraź sobie, jak rozwiązalibyśmy ten przykład, gdybyśmy nie znali zasad:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - pięć do kwadratu to pięć razy pięć, a sześcian to iloczyn trzech piątek. Rezultatem jest iloczyn pięciu piątek, ale to jest coś innego niż pięć do potęgi piątej: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapiszmy dzielenie jako ułamek:
Można to skrócić: 
W rezultacie otrzymujemy: 
W ten sposób udowodniliśmy, że dzieląc dwie potęgi o tych samych podstawach, należy odjąć ich wskaźniki.
Jednak podczas dzielenia nie jest możliwe, aby dzielnik był równy zeru (ponieważ nie można dzielić przez zero). Ponadto, ponieważ stopnie rozpatrujemy tylko ze wskaźnikami naturalnymi, w wyniku odejmowania wskaźników nie otrzymamy liczby mniejszej niż 1. W związku z tym na wzór a m ÷ a n = a m–n nałożono ograniczenia: a ≠ 0 i m > n .
Przejdźmy do trzeciej właściwości:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Napiszmy w rozszerzonej formie:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Można dojść do tego wniosku i logicznie rozumować. Musisz pomnożyć dwa do kwadratu cztery razy. Ale w każdym kwadracie są dwie dwójki, więc w sumie będzie osiem dwójek.
naukaland.info
właściwości stopnia
Przypominamy, że w tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia ze wskaźnikami naturalnymi i zerem. Stopnie z racjonalnymi wskaźnikami i ich właściwościami zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.
Wykładnik z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia w przykładach wykładników.
Nieruchomość nr 1
Produkt potęg
Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.
a m a n \u003d a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Ta właściwość potęg wpływa również na iloczyn trzech lub więcej potęg.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Proszę zwrócić uwagę, że we wskazanej własności chodziło tylko o mnożenie potęg o tych samych podstawach.. Nie dotyczy ich dodawania.
Nie możesz zamienić sumy (3 3 + 3 2) na 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Nieruchomość nr 2
Stopnie prywatne
Podczas dzielenia potęg o tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dzielnej.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności stopni cząstkowych.
3 8: t = 3 4
Odpowiedź: t = 3 4 = 81
Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, możesz łatwo uprościć wyrażenia i wykonać obliczenia.
- Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Przykład. Znajdź wartość wyrażenia za pomocą właściwości stopnia.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Należy zauważyć, że właściwość 2 dotyczyła tylko podziału władzy o tych samych podstawach.
Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 −4 2) przez 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli obliczymy (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, a 4 1 = 4
Nieruchomość nr 3
Potęgowanie
Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa potęgi pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.
(a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Należy pamiętać, że właściwość nr 4, podobnie jak inne właściwości stopni, jest również stosowana w odwrotnej kolejności.
(a n b n)= (a b) n
Oznacza to, że aby pomnożyć stopnie przez te same wykładniki, możesz pomnożyć podstawy i pozostawić niezmieniony wykładnik.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
W bardziej złożonych przykładach mogą wystąpić przypadki, gdy mnożenie i dzielenie muszą być wykonywane na potęgach o różnych podstawach i różnych wykładnikach. W takim przypadku radzimy wykonać następujące czynności.
Na przykład 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Przykład potęgowania ułamka dziesiętnego.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4
Właściwości 5
Potęga ilorazu (ułamki)
Aby podnieść iloraz do potęgi, możesz podnieść dzielną i dzielnik osobno do tej potęgi i podzielić pierwszy wynik przez drugi.
(a: b) n \u003d a n: b n, gdzie „a”, „b” to dowolne liczby wymierne, b ≠ 0, n to dowolna liczba naturalna.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego na następnej stronie zajmiemy się bardziej szczegółowo tematem podnoszenia ułamka do potęgi.
Mnożenie i dzielenie liczb za pomocą potęg
Jeśli chcesz podnieść określoną liczbę do potęgi, możesz skorzystać z tabeli potęg liczb naturalnych od 2 do 25 w algebrze. Przyjrzymy się teraz bliżej właściwości stopni.
Liczby wykładnicze otwierają ogromne możliwości, pozwalają zamienić mnożenie na dodawanie, a dodawanie jest o wiele łatwiejsze niż mnożenie. 
Na przykład musimy pomnożyć 16 przez 64. Iloczyn tych dwóch liczb to 1024. Ale 16 to 4x4, a 64 to 4x4x4. Więc 16 razy 64=4x4x4x4x4, co również daje 1024.
Liczbę 16 można również przedstawić jako 2x2x2x2, a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a jeśli pomnożymy, ponownie otrzymamy 1024.
A teraz skorzystamy z zasady podnoszenia liczby do potęgi. 16=4 2 , czyli 2 4 , 64=4 3 , czyli 2 6 , podczas gdy 1024=6 4 =4 5 , czyli 2 10 .
Dlatego nasz problem można zapisać w inny sposób: 4 2 x4 3 =4 5 lub 2 4 x2 6 =2 10 i za każdym razem otrzymujemy 1024.
Możemy rozwiązać wiele podobnych przykładów i zobaczyć, że mnożenie liczb przez potęgi sprowadza się do dodawanie wykładników, lub wykładnik, oczywiście pod warunkiem, że podstawy czynników są równe.
Możemy więc bez mnożenia od razu powiedzieć, że 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Zasada ta obowiązuje również przy dzieleniu liczb przez potęgi, ale w tym przypadku np wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dzielnej. Zatem 2 5:2 3 = 2 2 , co w zwykłych liczbach równa się 32:8 = 4, czyli 2 2 . Podsumujmy:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi.
Na pierwszy rzut oka mogłoby się tak wydawać mnożenie i dzielenie liczb z potęgami niezbyt wygodne, ponieważ najpierw musisz przedstawić liczbę w postaci wykładniczej. Nie jest trudno przedstawić liczby 8 i 16 w tej formie, czyli 2 3 i 2 4, ale jak to zrobić z liczbami 7 i 17? Lub co robić w przypadkach, gdy liczbę można przedstawić w postaci wykładniczej, ale podstawy wykładniczych wyrażeń liczb są bardzo różne. Na przykład 8×9 to 2 3 x 3 2 , w takim przypadku nie możemy zsumować wykładników. Ani 2 5, ani 3 5 nie jest odpowiedzią, ani też nie jest odpowiedzią między nimi.
Czy w takim razie warto w ogóle zawracać sobie głowę tą metodą? Zdecydowanie warto. Zapewnia ogromne korzyści, szczególnie w przypadku skomplikowanych i czasochłonnych obliczeń.
Do tej pory zakładaliśmy, że wykładnik to liczba identycznych czynników. W tym przypadku minimalna wartość wykładnika wynosi 2. Jeśli jednak wykonamy operację dzielenia liczb, czy też odejmowania wykładników, możemy otrzymać również liczbę mniejszą od 2, co oznacza, że stara definicja już nam nie odpowiada. Przeczytaj więcej w następnym artykule.
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie potęg
Dodawanie i odejmowanie potęg
Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.
Więc suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - re 4.
Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.
Zatem suma 2a 2 i 3a 2 wynosi 5a 2 .
Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.
Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.
Więc suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .
Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.
Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odejmowanie potęgi wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki odejmowania muszą być odpowiednio zmienione.
Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Mnożenie mocy
Liczby z potęgami można mnożyć jak inne wielkości, zapisując je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.
Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.
Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 y
Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .
Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to wynikiem będzie liczba (zmienna) o potędze równej suma stopnie terminów.
Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.
Zatem a n .a m = a m+n .
Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;
A m jest brane jako czynnik tyle razy, ile stopień m jest równy;
Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.
Więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ta reguła jest również prawdziwa dla liczb, których wykładniki to - negatywny.
1. Więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. za -n .a m = za m-n .
Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy
Wynik mnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.
Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.
Więc (a - y).(a + y) = za 2 - y 2 .
(za 2 - y 2)⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅ (za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .
Podział władzy
Liczby z potęgami można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.
Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .
Zapisanie 5 podzielonego przez 3 wygląda jak $\frac $. Ale to jest równe a 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 , za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..
Więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac = y$.
A n+1:a = an+1-1 = an . Oznacza to, że $\frac = a^n$.
Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem dzielenia -5 przez -3 jest -2 .
Również $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.
Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami
1. Zmniejsz wykładniki w $\frac $ Odpowiedź: $\frac $.
2. Zmniejsz wykładniki w $\frac$. Odpowiedź: $\frac $ lub 2x.
3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to a -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.
6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.
Stopień i jego właściwości. Średni poziom.
Chcesz sprawdzić swoje siły i dowiedzieć się, w jakim stopniu jesteś gotowy do Jednolitego Egzaminu Państwowego lub OGE?
Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie: 
Stopień z wykładnikiem całkowitym
stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. całkowita i dodatnia).
Stopień z wykładnikiem wymiernym
stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.
Stopień z niewymiernym wykładnikiem
stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.
Właściwości stopnia
Cechy stopni.
Jaki jest stopień liczby?
Potęgowanie jest tą samą operacją matematyczną, co dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.
Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.
Zacznijmy od dodawania.
Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile coli? Zgadza się - 16 butelek.
Teraz mnożenie.
Ten sam przykład z colą można zapisać w inny sposób: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób na ich szybsze „liczenie”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, uważa się to za łatwiejsze i szybsze niż.
Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, mocniej i z błędami! Ale…
Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.
I jeszcze jeden, ładniejszy:
A jakie inne podstępne sztuczki z liczeniem wymyślili leniwi matematycy? Prawidłowy - podniesienie liczby do potęgi.
Podnoszenie liczby do potęgi.
Jeśli musisz pomnożyć liczbę przez siebie pięć razy, matematycy twierdzą, że musisz podnieść tę liczbę do piątej potęgi. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do piątej potęgi to jest. I takie problemy rozwiązują w myślach - szybciej, łatwiej i bezbłędnie.
Aby to zrobić, potrzebujesz tylko pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.
Nawiasem mówiąc, dlaczego nazywa się drugi stopień kwadrat liczby i trzeci sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.
Przykład z życia wzięty nr 1.
Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.
Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach metry na metry. Basen jest na twoim podwórku. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale… basen bez dna! Konieczne jest pokrycie dna basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać obszar dna basenu.
Możesz po prostu policzyć, szturchając palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli twoje płytki są metr po metrze, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Ale gdzie widziałeś taką płytkę? Płytka będzie raczej centymetr po centymetrze, a potem męczy cię „liczenie palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Tak więc po jednej stronie dna basenu zmieścimy kafelki (sztuki), a po drugiej również kafelki. Mnożąc przez, otrzymujesz kafelki ().
Czy zauważyłeś, że pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie, aby określić powierzchnię dna basenu? Co to znaczy? Ponieważ ta sama liczba jest mnożona, możemy zastosować technikę potęgowania. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach Dla egzaminu jest to bardzo ważne).
Tak więc trzydzieści do drugiego stopnia będzie (). Lub możesz powiedzieć, że trzydzieści do kwadratu będzie. Innymi słowy, drugą potęgę liczby można zawsze przedstawić jako kwadrat. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.
Przykład z życia wzięty nr 2.
Oto zadanie dla ciebie, policz, ile pól jest na szachownicy, używając kwadratu liczby. Po jednej stronie komórek i po drugiej też. Aby policzyć ich liczbę, musisz pomnożyć osiem przez osiem, czyli… jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, możesz podnieść osiem do kwadratu. Zdobądź komórki. () Więc?
Przykład z życia nr 3.
Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze są mierzone w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dolny o wielkości jednego metra i głęboki na metr, i spróbuj obliczyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr wejdzie do twojego basen.
Po prostu wskaż palcem i policz! Raz, dwa, trzy, cztery… dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy… Ile wyszło? Nie zgubiłeś się? Czy trudno jest policzyć palcem? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość puli będzie równa kostkom… Łatwiej, prawda?
A teraz wyobraź sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, jeśli to zbyt łatwo upraszczają. Zredukowałem wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są sobie równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie… A co to oznacza? Oznacza to, że możesz użyć stopnia. A więc to, co kiedyś policzyłeś palcem, robią jednym ruchem: trzy w kostce równa się. Jest napisane tak:
Pozostałości tylko zapamiętaj tabelę stopni. Chyba że jesteś tak samo leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz liczyć na palcach.
Cóż, żeby Cię w końcu przekonać, że stopnie zostały wymyślone przez mokasynów i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać ich życiowe problemy, a nie stwarzać Ci problemy, oto jeszcze kilka przykładów z życia.
Przykład z życia #4.
Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy twój milion na początku każdego roku podwaja się. Ile będziesz miał pieniędzy za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa razy dwa... w drugim roku - co się stało przez kolejne dwa, w trzecim roku... Stop! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez siebie raz. Więc dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto szybciej policzy, dostanie te miliony… Czy warto pamiętać stopnie liczb, co o tym sądzisz?
Przykład z życia nr 5.
Masz milion. Na początku każdego roku zarabiasz o dwa więcej za każdy milion. To świetnie, prawda? Każdy milion jest potrojony. Ile będziesz miał pieniędzy za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Więc czwarta potęga to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.
Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się dalej, co możesz zrobić ze stopniami i co musisz o nich wiedzieć.
Terminy i koncepcje.
A więc najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste - jest to liczba, która jest „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania ...
Cóż, w tym samym czasie, co taka podstawa stopnia? Jeszcze prostsza jest liczba, która znajduje się na dole, u podstawy.
Oto zdjęcie dla pewności.
Cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać ... Stopień z podstawą „” i wskaźnikiem „” odczytuje się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:
„Stopień liczby ze wskaźnikiem naturalnym”
Prawdopodobnie już to zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to te, które są używane do liczenia przy wymienianiu przedmiotów: jeden, dwa, trzy… Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też „jedna trzecia” ani „zero przecinek pięć dziesiątych”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, co to za liczby?
Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb naturalnych (czyli wzięte ze znakiem minus) oraz liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia - wtedy nie ma nic. A co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim w celu oznaczenia długów: jeśli masz saldo w telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.
Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak do nich doszło, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie mają wystarczającej liczby liczb naturalnych, aby zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne… Ciekawe, prawda?
Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.
Stopień z naturalnym wskaźnikiem
Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (czyli liczba całkowita i dodatnia).
- Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa samej sobie:
- Podniesienie liczby do kwadratu to pomnożenie jej przez siebie:
- Sześcian liczby to trzykrotne pomnożenie jej samej przez siebie:
Definicja. Aby podnieść liczbę do potęgi naturalnej, należy pomnożyć ją przez siebie razy:
Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.
Więc suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3-bn i h 5-d 4 to a 3-bn + h 5-d 4 .
Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.
Zatem suma 2a 2 i 3a 2 wynosi 5a 2 .
Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.
Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.
Więc suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .
Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.
Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odejmowanie potęgi wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki odejmowania muszą być odpowiednio zmienione.
Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Mnożenie mocy
Liczby z potęgami można mnożyć jak inne wielkości, zapisując je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.
Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.
Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 y
Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .
Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to wynikiem będzie liczba (zmienna) o potędze równej suma stopnie terminów.
Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.
Zatem a n .a m = a m+n .
Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;
A m jest brane jako czynnik tyle razy, ile stopień m jest równy;
Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.
Więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ta reguła jest również prawdziwa dla liczb, których wykładniki są - negatywny.
1. Więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. za -n .a m = za m-n .
Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy
Wynik mnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.
Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.
Więc (a - y).(a + y) = za 2 - y 2 .
(za 2 - y 2)⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅ (za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .
Podział władzy
Liczby z potęgami można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.
Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .
Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Zapisanie 5 podzielonego przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe a 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 , za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..
Więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.
A n+1:a = an+1-1 = an . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem dzielenia -5 przez -3 jest -2 .
Również $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.
Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami
1. Zmniejsz wykładniki w $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Zmniejsz wykładniki w $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.
3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to a -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.
6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.
9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.