Jak znaleźć prawdopodobieństwo upadku. Podstawy balansu gry: losowość i prawdopodobieństwo wystąpienia różnych zdarzeń

01.05.2019

Chcesz poznać matematyczne szanse na powodzenie Twojego zakładu? Mamy dla Ciebie dwie dobre wiadomości. Po pierwsze: aby obliczyć zdolność przełajową, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń i spędzać dużo czasu. Wystarczy użyć prostych formuł, których praca zajmie kilka minut. Po drugie: po przeczytaniu tego artykułu możesz łatwo obliczyć prawdopodobieństwo pomyślnego przejścia dowolnej transakcji.

Aby poprawnie określić zdolność przełajową, musisz wykonać trzy kroki:

Oblicz procent prawdopodobieństwa wyniku zdarzenia według biura bukmacherskiego;
Oblicz prawdopodobieństwo samodzielnie, korzystając z danych statystycznych;
Sprawdź wartość zakładu, biorąc pod uwagę oba prawdopodobieństwa.

Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu z kroków, używając nie tylko formuł, ale także przykładów.

Szybkie przejście

Obliczanie prawdopodobieństwa uwzględnionego w kursach bukmacherskich

Pierwszym krokiem jest sprawdzenie, z jakim prawdopodobieństwem bukmacher sam szacuje szanse na dany wynik. Oczywiste jest, że bukmacherzy nie ustalają kursów w ten sposób. W tym celu używamy następującej formuły:

PB=(1/K)*100%,

gdzie P B to prawdopodobieństwo wyniku według biura bukmacherskiego;

K – kursy bukmachera na wynik.

Załóżmy, że kurs na zwycięstwo London Arsenal w meczu z Bayernem Monachium wynosi 4. Oznacza to, że prawdopodobieństwo ich zwycięstwa bukmacher ocenia na (1/4)*100%=25%. Albo Djokovic gra przeciwko Youzhny’emu. Mnożnik zwycięstwa Novaka wynosi 1,2, jego szanse wynoszą (1/1,2)*100%=83%.

W ten sposób sam bukmacher ocenia szanse na sukces każdego zawodnika i drużyny. Po wykonaniu pierwszego kroku przechodzimy do drugiego.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia przez gracza

Drugim punktem naszego planu jest nasza własna ocena prawdopodobieństwa zdarzenia. Ponieważ nie jesteśmy w stanie matematycznie uwzględnić takich parametrów jak motywacja i ton gry, posłużymy się uproszczonym modelem i wykorzystamy jedynie statystyki z poprzednich spotkań. Aby obliczyć statystyczne prawdopodobieństwo wyniku, używamy wzoru:

PI=(UM/M)*100%,

GdziePI– prawdopodobieństwo zdarzenia według gracza;

UM – liczba udanych meczów, w których wystąpiło takie zdarzenie;

M – łączna liczba dopasowań.

Aby było jaśniej, podamy przykłady. Andy Murray i Rafael Nadal rozegrali między sobą 14 meczów. W 6 z nich suma w meczach wyniosła mniej niż 21, w 8 suma ta była większa. Musisz obliczyć prawdopodobieństwo, że następny mecz zostanie rozegrany z wyższą sumą: (8/14)*100=57%. Valencia rozegrała 74 mecze przeciwko Atlético na Mestalla, w których odniosła 29 zwycięstw. Prawdopodobieństwo wygranej Valencii: (29/74)*100%=39%.

A tego wszystkiego dowiadujemy się dopiero dzięki statystykom z poprzednich gier! Oczywiście nie będzie możliwe obliczenie takiego prawdopodobieństwa dla żadnej nowej drużyny lub zawodnika, dlatego ta strategia obstawiania jest odpowiednia tylko w przypadku meczów, w których przeciwnicy spotykają się więcej niż raz. Teraz już wiemy, jak określić prawdopodobieństwo wyniku bukmachera i własne, i mamy całą wiedzę, aby przejść do ostatniego kroku.

Ustalanie wartości zakładu

Wartość (wartość) zakładu i przejezdność mają ze sobą bezpośredni związek: im wyższa wartość, tym większa szansa na spasowanie. Wartość oblicza się w następujący sposób:

V=PI*K-100%,

gdzie V jest wartością;

P I – prawdopodobieństwo wyniku według obstawiającego;

K – kursy bukmachera na wynik.

Załóżmy, że chcemy obstawić zwycięstwo Milanu w meczu z Romą i obliczamy, że prawdopodobieństwo wygranej „czerwono-czarnych” wynosi 45%. Bukmacher oferuje nam na ten wynik kurs 2,5. Czy taki zakład byłby wartościowy? Wykonujemy obliczenia: V=45%*2,5-100%=12,5%. Świetnie, mamy wartościowy zakład z dużymi szansami na pasowanie.

Weźmy inny przypadek. Maria Szarapowa zagra z Petrą Kvitovą. Chcemy zawrzeć układ na zwycięstwo Marii, którego prawdopodobieństwo według naszych obliczeń wynosi 60%. Bukmacherzy oferują dla tego wyniku mnożnik 1,5. Ustalamy wartość: V=60%*1,5-100=-10%. Jak widać, ten zakład nie ma żadnej wartości i należy go unikać.

Zdarzenia dziejące się w rzeczywistości lub w naszej wyobraźni można podzielić na 3 grupy. Są to pewne zdarzenia, które na pewno będą miały miejsce, zdarzenia niemożliwe i zdarzenia losowe. Teoria prawdopodobieństwa bada zdarzenia losowe, tj. zdarzenia, które mogą, ale nie muszą, nastąpić. W artykule pokrótce przedstawiona zostanie teoria wzorów prawdopodobieństwa oraz przykłady rozwiązywania problemów z teorii prawdopodobieństwa, które znajdą się w zadaniu 4 Unified State Exam z matematyki (poziom profilu).

Po co nam teoria prawdopodobieństwa?

Historycznie rzecz biorąc, potrzeba zbadania tych problemów pojawiła się w XVII wieku w związku z rozwojem i profesjonalizacją gier hazardowych oraz pojawieniem się kasyn. Było to zjawisko realne, wymagające własnych studiów i badań.

Gra w karty, kości i ruletka stwarzała sytuacje, w których mogło nastąpić dowolne ze skończonej liczby równie możliwych zdarzeń. Zaistniała potrzeba podania liczbowych szacunków możliwości wystąpienia określonego zdarzenia.

W XX wieku stało się jasne, że ta pozornie niepoważna nauka odgrywa ważną rolę w zrozumieniu podstawowych procesów zachodzących w mikrokosmosie. Powstała nowoczesna teoria prawdopodobieństwa.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa

Przedmiotem badań teorii prawdopodobieństwa są zdarzenia i ich prawdopodobieństwa. Jeśli zdarzenie jest złożone, można je rozłożyć na proste elementy, których prawdopodobieństwa można łatwo znaleźć.

Suma zdarzeń A i B nazywana jest zdarzeniem C, co polega na tym, że albo zdarzenie A, albo zdarzenie B, albo zdarzenia A i B wystąpiły jednocześnie.

Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie C, co oznacza, że wystąpiło zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B.

Zdarzenia A i B nazywane są niezgodnymi, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie.

Zdarzenie A nazywamy niemożliwym, jeżeli nie może nastąpić. Zdarzenie takie oznaczone jest symbolem.

Zdarzenie A nazywamy pewnym, jeśli wystąpi z pewnością. Zdarzenie takie oznaczone jest symbolem.

Niech każde zdarzenie A będzie powiązane z liczbą P(A). Ta liczba P(A) nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia A, jeśli z tą korespondencją spełnione są następujące warunki.

Ważnym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy istnieją równie prawdopodobne wyniki elementarne i dowolne z tych wyników ze zdarzeń A. W tym przypadku prawdopodobieństwo można wpisać za pomocą wzoru. Prawdopodobieństwo wprowadzone w ten sposób nazywa się prawdopodobieństwem klasycznym. Można wykazać, że w tym przypadku spełnione są właściwości 1-4.

Problemy z teorii prawdopodobieństwa pojawiające się na egzaminie Unified State Examination z matematyki dotyczą głównie prawdopodobieństwa klasycznego. Takie zadania mogą być bardzo proste. Szczególnie proste są problemy teorii prawdopodobieństwa w wersjach demonstracyjnych. Łatwo jest obliczyć liczbę korzystnych wyników; liczba wszystkich wyników jest zapisana bezpośrednio w warunku.

Odpowiedź otrzymujemy korzystając ze wzoru.

Przykład zadania z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki dotyczącego wyznaczania prawdopodobieństwa

Na stole leży 20 placków - 5 z kapustą, 7 z jabłkami i 8 z ryżem. Marina chce wziąć ciasto. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje ciastko ryżowe?

Rozwiązanie.

Istnieje 20 równie prawdopodobnych wyników elementarnych, co oznacza, że Marina może wziąć dowolny z 20 ciast. Musimy jednak oszacować prawdopodobieństwo, że Marina zje ciasto ryżowe, czyli gdzie A jest wyborem ciasta ryżowego. Oznacza to, że liczba korzystnych wyników (wybór placków z ryżem) wynosi tylko 8. Wtedy prawdopodobieństwo będzie określone według wzoru:

Niezależne, przeciwne i arbitralne zdarzenia

Jednak w otwartym banku zadań zaczęto znajdować bardziej złożone zadania. Dlatego zwróćmy uwagę czytelnika na inne zagadnienia badane w teorii prawdopodobieństwa.

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo każdego z nich nie zależy od tego, czy zajdzie drugie zdarzenie.

Zdarzenie B to zdarzenie A, które nie miało miejsca, tj. zdarzenie B jest przeciwne do zdarzenia A. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia bezpośredniego, tj. .

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństwa, wzory

Dla dowolnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw bez prawdopodobieństwa ich wspólnego zdarzenia, tj. .

Dla niezależnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwo wystąpienia tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, tj. w tym przypadku .

Ostatnie 2 stwierdzenia nazywane są twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.

Liczenie liczby wyników nie zawsze jest takie proste. W niektórych przypadkach konieczne jest zastosowanie wzorów kombinatoryki. Najważniejsze jest policzenie liczby zdarzeń spełniających określone warunki. Czasami tego rodzaju obliczenia mogą stać się niezależnymi zadaniami.

Na ile sposobów można posadzić 6 uczniów na 6 wolnych miejscach? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom zajęcia miejsca przez drugiego ucznia. Zostały 4 wolne miejsca dla trzeciego ucznia, 3 dla czwartego, 2 dla piątego, a jedyne wolne miejsce zajmie szósty. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt, który jest oznaczony symbolem 6! i brzmi „sześć silni”.

W ogólnym przypadku odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę permutacji n elementów. W naszym przypadku.

Rozważmy teraz inny przypadek z naszymi uczniami. Na ile sposobów można posadzić 2 uczniów na 6 wolnych miejscach? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom zajęcia miejsca przez drugiego ucznia. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt.

Generalnie odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę umieszczenia n elementów na k elementach

W naszym przypadku .

I ostatni przypadek z tej serii. Na ile sposobów możesz wybrać trzech uczniów spośród sześciu? Pierwszego ucznia można wybrać na 6 sposobów, drugiego na 5, trzeciego na cztery sposoby. Ale wśród tych opcji ci sami trzej uczniowie pojawiają się 6 razy. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz obliczyć wartość: . Ogólnie odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę kombinacji elementów po elemencie:

W naszym przypadku .

Przykłady rozwiązywania problemów z egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki w celu określenia prawdopodobieństwa

Zadanie 1. Ze zbioru pod redakcją. Jaszczenko.

Na talerzu znajduje się 30 placków: 3 z mięsem, 18 z kapustą i 9 z wiśniami. Sasha wybiera losowo jedno ciasto. Znajdź prawdopodobieństwo, że skończy z wiśnią.

Odpowiedź: 0,3.

Zadanie 2. Ze zbioru pod redakcją. Jaszczenko.

W każdej partii liczącej 1000 żarówek średnio 20 jest uszkodzonych. Znajdź prawdopodobieństwo, że żarówka wybrana losowo z partii będzie działać.

Rozwiązanie: Liczba działających żarówek wynosi 1000-20=980. Wtedy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana z partii żarówka będzie działać:

Odpowiedź: 0,98.

Prawdopodobieństwo, że uczeń U rozwiąże poprawnie więcej niż 9 zadań podczas testu z matematyki, wynosi 0,67. Prawdopodobieństwo, że U. poprawnie rozwiąże więcej niż 8 zadań, wynosi 0,73. Znajdź prawdopodobieństwo, że U rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów.

Jeśli wyobrazimy sobie oś liczbową i zaznaczymy na niej punkty 8 i 9, to zobaczymy, że warunek „U. rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów” jest zawarte w warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 zadań”, ale nie dotyczy warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 9 problemów.”

Jednakże warunek „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 9 zadań” zawiera się w warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 problemów.” Jeśli zatem wyznaczymy zdarzenia: „U. rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów” – poprzez A, „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 problemów” – poprzez B, „U. poprawnie rozwiąże więcej niż 9 problemów” do C. To rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

Odpowiedź: 0,06.

Na egzaminie z geometrii student odpowiada na jedno pytanie z listy pytań egzaminacyjnych. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z trygonometrii, wynosi 0,2. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie dotyczące kątów zewnętrznych, wynosi 0,15. Nie ma pytań, które dotyczą jednocześnie tych dwóch tematów. Znajdź prawdopodobieństwo, że student otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

Zastanówmy się, jakie mamy wydarzenia. Mamy do czynienia z dwoma niezgodnymi zdarzeniami. Oznacza to, że albo pytanie będzie dotyczyć tematu „Trygonometria”, albo tematu „Kąty zewnętrzne”. Zgodnie z twierdzeniem o prawdopodobieństwie prawdopodobieństwo niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego zdarzenia, musimy znaleźć sumę prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli:

Odpowiedź: 0,35.

Pomieszczenie oświetla latarnia z trzema lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,29. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najmniej jedna lampa nie przepali się.

Rozważmy możliwe zdarzenia. Mamy trzy żarówki, z których każda może, ale nie musi, przepalić się niezależnie od innej żarówki. To są niezależne wydarzenia.

Następnie wskażemy opcje takich wydarzeń. Stosujmy następujące oznaczenia: - żarówka jest zapalona, - żarówka jest przepalona. A tuż obok obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia. Przykładowo, prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym wystąpiły trzy niezależne zdarzenia „przepaliła się żarówka”, „zapaliła się żarówka”, „zapaliła się żarówka”: , gdzie prawdopodobieństwo zdarzenia „zapaliła się żarówka” świeci” oblicza się jako prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego do zdarzenia „żarówka nie świeci”, czyli: .

Należy pamiętać, że korzystnych dla nas zdarzeń niezgodnych jest tylko 7. Prawdopodobieństwo takich zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń: .

Odpowiedź: 0,975608.

Na rysunku widać kolejny problem:

W ten sposób zrozumieliśmy, czym jest teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, które możesz napotkać w wersji Unified State Exam.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w danym teście jest równe współczynnikowi , gdzie:

Łączna liczba wszystkich jednakowo możliwych, elementarnych wyników danego testu, które się tworzą pełen zespół wydarzeń;

Liczba elementarnych wyników sprzyjających zdarzeniu.

Problem 1

W urnie znajduje się 15 kul białych, 5 czerwonych i 10 czarnych. Wylosowano losowo 1 kulę, oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to: a) biała, b) czerwona, c) czarna.

Rozwiązanie: Najważniejszym warunkiem stosowania klasycznej definicji prawdopodobieństwa jest umiejętność policzenia całkowitej liczby wyników.

W urnie znajduje się łącznie 15 + 5 + 10 = 30 kul i oczywiście prawdziwe są następujące fakty:

Odzyskanie dowolnej piłki jest równie możliwe (równe szanse wyniki), natomiast wyniki podstawowy i forma pełen zespół wydarzeń (czyli w wyniku testu jedna z 30 kulek na pewno zostanie usunięta).

Zatem łączna liczba wyników:

Rozważmy zdarzenie: - z urny zostanie wylosowana kula biała. Zdarzeniu temu sprzyjają skutki elementarne, zatem zgodnie z klasyczną definicją:
- prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula biała.

Co dziwne, nawet w tak prostym zadaniu można popełnić poważną niedokładność. Gdzie tu jest pułapka? Twierdzenie w tym miejscu jest błędne „ponieważ połowa kul jest biała, to prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli » . Klasyczna definicja prawdopodobieństwa odnosi się do PODSTAWOWY wyniki, a ułamek należy zapisać!

Podobnie w przypadku innych punktów rozważ następujące zdarzenia:

Z urny zostanie wylosowana czerwona kula;
- z urny zostanie wylosowana czarna kula.

Zdarzeniu sprzyja 5 elementarnych wyników, a zdarzeniu sprzyja 10 elementarnych wyników. Zatem odpowiednie prawdopodobieństwa wynoszą:

Typowe sprawdzenie wielu zadań serwera odbywa się za pomocą twierdzenia o sumie prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę. W naszym przypadku zdarzenia tworzą kompletną grupę, co oznacza, że suma odpowiednich prawdopodobieństw musi koniecznie wynosić jeden: .

Sprawdźmy, czy to prawda: tego chciałem się upewnić.

Odpowiedź:

W praktyce często spotykana jest opcja projektowania rozwiązań „szybkich”.:

Razem: 15 + 5 + 10 = 30 kul w urnie. Według klasycznej definicji:
- prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula biała;
- prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula czerwona;
- prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowana kula czarna.

Odpowiedź:

Problem 2

Do sklepu trafiło 30 lodówek, z czego pięć ma wadę fabryczną. Wybierana jest losowo jedna lodówka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on pozbawiony wad?

Problem 3

Abonent wybierając numer telefonu zapomniał dwóch ostatnich cyfr, ale pamięta, że jedna z nich to zero, a druga nieparzysta. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybierze właściwy numer.

Notatka: zero jest liczbą parzystą (podzielną przez 2 bez reszty)

Rozwiązanie: Najpierw znajdujemy całkowitą liczbę wyników. Pod warunkiem, że abonent pamięta, że jedna z cyfr wynosi zero, a druga cyfra jest nieparzysta. Tutaj bardziej racjonalnie jest nie dzielić włosa na czworo kombinatoryka i skorzystaj metoda bezpośredniego zestawienia wyników . Oznacza to, że przy rozwiązywaniu po prostu zapisujemy wszystkie kombinacje:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

I liczymy je - w sumie: 10 wyników.

Jest tylko jeden korzystny wynik: poprawna liczba.

Według klasycznej definicji:
- prawdopodobieństwo, że abonent wybierze właściwy numer

Odpowiedź: 0,1

Zaawansowane zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Problem 4

Abonent zapomniał kodu PIN do swojej karty SIM, ale pamięta, że zawiera ona trzy „piątki”, a jedna z cyfr to „siódemka” lub „ósemka”. Jakie jest prawdopodobieństwo udanej autoryzacji przy pierwszej próbie?

Tutaj możesz również rozwinąć pomysł prawdopodobieństwa, że subskrybentowi grozi kara w postaci kodu PUK, ale niestety rozumowanie wykracza poza zakres tej lekcji

Rozwiązanie i odpowiedź poniżej.

Czasami zestawienie kombinacji okazuje się bardzo żmudnym zadaniem. W szczególności dotyczy to kolejnej, nie mniej popularnej grupy problemów, w której rzuca się 2 kostkami (rzadziej - więcej):

Problem 5

Znajdź prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema kostkami wypadnie suma:

a) pięć punktów;

b) nie więcej niż cztery punkty;

c) od 3 do 9 punktów włącznie.

Rozwiązanie: znajdź całkowitą liczbę wyników:

W jaki sposób bok pierwszej kostki może wypaść I na różne sposoby bok drugiej kostki może wypaść; Przez zasada mnożenia kombinacji, Całkowity: możliwe kombinacje. Innymi słowy, każdyściana pierwszego sześcianu może tworzyć uporządkowaną parę z każdym krawędź drugiego sześcianu. Zgódźmy się zapisać taką parę w postaci , gdzie jest liczbą, która pojawia się na 1. kostce, a jest liczbą, która pojawia się na 2. kostce.

Na przykład:

Pierwsza kostka zdobyła 3 punkty, druga kostka zdobyła 5 punktów, suma punktów: 3 + 5 = 8;
- za pierwszą kostkę uzyskano 6 punktów, za drugą 1 punkt, suma punktów: 6 + 1 = 7;
- 2 punkty wyrzucone na obu kostkach, suma: 2 + 2 = 4.

Oczywiście najmniejszą kwotę podaje para, a największą dwie „szóstki”.

a) Rozważ zdarzenie: - przy rzucie dwiema kostkami pojawi się 5 punktów. Zapiszmy i policzmy liczbę wyników, które sprzyjają temu zdarzeniu:

Razem: 4 korzystne wyniki. Według klasycznej definicji:
- pożądane prawdopodobieństwo.

b) Rozważ wydarzenie: - pojawią się nie więcej niż 4 punkty. Czyli 2, 3 lub 4 punkty. Ponownie wyliczamy i liczymy korzystne kombinacje, po lewej stronie napiszę całkowitą liczbę punktów, a po dwukropku - odpowiednie pary:

Razem: 6 korzystnych kombinacji. Zatem:
- prawdopodobieństwo, że wyrzuci nie więcej niż 4 punkty.

c) Rozważ wydarzenie: - W losowaniu zostanie przyznanych od 3 do 9 punktów włącznie. Tutaj możesz jechać prostą drogą, ale... z jakiegoś powodu nie chcesz. Tak, niektóre pary zostały już wymienione w poprzednich akapitach, ale przed nami jeszcze sporo pracy.

Jak najlepiej postępować? W takich przypadkach droga okrężna okazuje się racjonalna. Rozważmy wydarzenie przeciwne: - Pojawią się 2 lub 10, 11 lub 12 punktów.

Jaki jest sens? Zdarzeniu odwrotnemu sprzyja znacznie mniejsza liczba par:

Razem: 7 korzystnych wyników.

Według klasycznej definicji:
- prawdopodobieństwo, że zdobędziesz mniej niż trzy lub więcej niż 9 punktów.

Szczególnie skrupulatne osoby mogą wypisać wszystkie 29 par, kończąc w ten sposób sprawdzanie.

Odpowiedź:

W następnym zadaniu powtórzymy tabliczkę mnożenia:

Problem 6

Znajdź prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema kostkami iloczyn punktów będzie wynosił:

a) będzie równe siedem;

b) będzie ich co najmniej 20;

c) będzie równa.

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Problem 7

Do windy w 20-piętrowym budynku na pierwszym piętrze weszły trzy osoby. I chodźmy. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) wyjdą na różne piętra;

b) dwie osoby wyjdą na tym samym piętrze;

c) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze.

Rozwiązanie: obliczmy całkowitą liczbę wyników: sposoby, w jakie pierwszy pasażer może wydostać się z windy I sposoby - 2. pasażer I sposoby - trzeci pasażer. Zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji: możliwe wyniki. To jest, każdy Istnieje możliwość połączenia piętra z wyjściem dla pierwszej osoby z każdym Wyjście dla drugiej osoby z piętra i z każdym Wyjście z piętra dla trzeciej osoby.

Druga metoda opiera się na pozycje z powtórzeniami:
- kto rozumie to jaśniej.

a) Rozważmy zdarzenie: - pasażerowie wysiądą na różnych piętrach. Obliczmy liczbę korzystnych wyników:
Za pomocą tych metod może wyjść 3 pasażerów na różnych piętrach. Wykonaj własne rozumowanie w oparciu o wzór.

Według klasycznej definicji:

c) Rozważmy zdarzenie: - pasażerowie wysiądą na tym samym piętrze. Zdarzenie to ma korzystne skutki i zgodnie z klasyczną definicją odpowiednie prawdopodobieństwo: .

Wchodzimy tylnymi drzwiami:

b) Rozważmy zdarzenie: - dwie osoby wysiądą na tym samym piętrze (i odpowiednio trzeci jest po drugiej).

Formularz wydarzeń pełna grupa (uważamy, że w windzie nikt nie zaśnie i winda się nie zablokuje, co znaczy .

W rezultacie pożądane prawdopodobieństwo wynosi:

Zatem, twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę, może być nie tylko wygodny, ale także stać się prawdziwym wybawieniem!

Odpowiedź:

W przypadku dużych ułamków dobrą praktyką jest podanie ich przybliżonych wartości dziesiętnych. Zwykle zaokrąglane do 2-3-4 miejsc po przecinku.

Ponieważ zdarzenia z punktów „a”, „be”, „ve” tworzą kompletną grupę, sensowne jest przeprowadzenie kontroli kontrolnej, a lepiej przy wartościach przybliżonych:

To właśnie należało sprawdzić.

Czasami z powodu błędów zaokrągleń wynik może wynosić 0,9999 lub 1,0001; w takim przypadku jedną z przybliżonych wartości należy „dopasować”, aby suma była „czystą” jednostką.

Na własną rękę:

Problem 8

Rzucamy 10 monetami. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) na wszystkich monetach będzie reszka;

b) 9 monet wyrzuci reszkę, a jedna moneta wyrzuci reszkę;

c) na połowie monet pojawią się reszki.

Problem 9

Na siedmioosobowej ławce siedzi losowo 7 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie określone osoby będą blisko siebie?

Rozwiązanie: Nie ma problemów z całkowitą liczbą wyników:
Na ławce może siedzieć 7 osób na różne sposoby.

Ale jak obliczyć liczbę korzystnych wyników? Trywialne formuły nie są odpowiednie i jedynym sposobem jest logiczne rozumowanie. Rozważmy najpierw sytuację, gdy Sasza i Masza siedzieli obok siebie, na lewym krańcu ławki:

Oczywiście kolejność ma znaczenie: Sasha może siedzieć po lewej stronie, Masza po prawej i odwrotnie. Ale to nie wszystko - dla każdego w tych dwóch przypadkach reszta osób może zająć puste miejsca w inny sposób. Mówiąc kombinatorycznie, Saszę i Maszę można przestawić w sąsiednich miejscach na następujące sposoby: I Dla każdej takiej permutacji można na różne sposoby uporządkować innych ludzi.

Zatem zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji powstają korzystne wyniki.

Ale to nie wszystko! Powyższe fakty są prawdziwe dla każdego pary sąsiadujących ze sobą miejsc:

Warto zauważyć, że jeśli ławka jest „zaokrąglona” (łączenie lewego i prawego siedzenia), wówczas powstaje dodatkowa, siódma para sąsiednich miejsc. Ale nie dajmy się rozpraszać. Zgodnie z tą samą zasadą mnożenia kombinacji otrzymujemy ostateczną liczbę korzystnych wyników:

Według klasycznej definicji:
- prawdopodobieństwo, że w pobliżu będą dwie określone osoby.

Odpowiedź:

Problem 10

Na szachownicy składającej się z 64 komórek ustawiono losowo dwie wieże, białą i czarną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się nie „pobiją”?

Odniesienie: szachownica ma wielkość kwadratów; czarne i białe wieże „biją” się nawzajem, gdy znajdują się na tym samym rzędzie lub na tym samym pionie

Pamiętaj, aby wykonać schematyczny rysunek planszy, a jeszcze lepiej, jeśli w pobliżu znajdują się szachy. Co innego myśleć na papierze, a co innego, gdy układasz elementy własnymi rękami.

Problem 11

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czterech rozdanych kartach będzie jeden as i jeden król?

Obliczmy całkowitą liczbę wyników. Na ile sposobów można usunąć 4 karty z talii? Chyba każdy zrozumiał, o czym mowa liczba kombinacji:
korzystając z tych metod możesz wybrać 4 karty z talii.

Teraz rozważamy korzystne wyniki. Zgodnie z warunkiem w wyborze 4 kart musi znajdować się jeden as, jeden król i, co nie jest określone jawnym tekstem - dwie inne karty:

Sposoby na wyciągnięcie jednego asa;
sposobów możesz wybrać jednego króla.

Nie uwzględniamy asów i królów: 36 - 4 - 4 = 28

sposoby wyodrębnienia pozostałych dwóch kart.

Zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji:
sposoby wyodrębnienia żądanej kombinacji kart (1. as I 1. król I dwie inne karty).

Pozwólcie, że skomentuję kombinacyjne znaczenie notacji w inny sposób:
każdy as łączy z każdym król i z każdym możliwa para innych kart.

Według klasycznej definicji:
- prawdopodobieństwo, że wśród czterech rozdanych kart będzie jeden as i jeden król.

Jeśli masz czas i cierpliwość, zmniejsz duże ułamki tak bardzo, jak to możliwe.

Odpowiedź:

Prostsze zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Problem 12

Pudełko zawiera 15 części wysokiej jakości i 5 wadliwych. 2 części są usuwane losowo.

Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) obie części będą wysokiej jakości;

b) jedna część będzie wysokiej jakości, a druga będzie wadliwa;

c) obie części są uszkodzone.

Zdarzenia wymienionych punktów tworzą kompletną grupę, więc sprawdzenie tutaj sugeruje się samo. Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Generalnie najciekawsze rzeczy dopiero się zaczynają!

Problem 13

Student zna odpowiedzi na 25 pytań egzaminacyjnych z 60. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu, jeśli trzeba odpowiedzieć na co najmniej 2 z 3 pytań?

Rozwiązanie: Zatem sytuacja wygląda następująco: w sumie 60 pytań, z czego 25 jest „dobrych”, a odpowiednio 60 - 25 = 35 „złych”. Sytuacja jest niepewna i niekorzystna dla studenta. Przekonajmy się, jak duże są jego szanse:

sposobów na wybranie 3 pytań z 60 (całkowita liczba wyników).

Aby zdać egzamin należy odpowiedzieć na 2 Lub 3 pytania. Rozważamy korzystne kombinacje:

Sposoby wyboru 2 „dobrych” pytań I jeden jest „zły”;

sposoby na wybranie 3 „dobrych” pytań.

Przez zasada dodawania kombinacji:
sposoby na wybranie kombinacji 3 pytań sprzyjającej zaliczeniu egzaminu (nie ma różnicy w przypadku dwóch lub trzech „dobrych” pytań).

Według klasycznej definicji:

Odpowiedź:

Problem 14

Pokerzysta otrzymuje 5 kart. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) wśród tych kart będzie para dziesiątek i para waletów;
b) gracz otrzyma kolor (5 kart w tym samym kolorze);
c) gracz otrzyma karetę (4 karty o tej samej wartości).

Która z poniższych kombinacji jest najbardziej prawdopodobna do uzyskania?

! Uwaga! Jeśli warunek zadaje podobne pytanie, odpowiedz na nie niezbędny dać odpowiedź.
Odniesienie : W pokera tradycyjnie gra się talią składającą się z 52 kart, która zawiera karty w 4 kolorach, od dwójek po asy.

Poker to najbardziej matematyczna gra (ci, którzy grają, to wiedzą), w której można mieć zauważalną przewagę nad mniej wprawnymi przeciwnikami.

Rozwiązania i odpowiedzi:

Zadanie 2: Rozwiązanie: 30 - 5 = 25 lodówek nie ma żadnych usterek.

- prawdopodobieństwo, że losowo wybrana lodówka nie będzie miała wady.
Odpowiedź :

Zadanie 4: Rozwiązanie: znajdź całkowitą liczbę wyników:
sposoby wybrania miejsca, w którym znajduje się wątpliwy numer i na każdym Z tych 4 miejsc można zlokalizować 2 cyfry (siedem lub osiem). Zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji łączna liczba wyników: .
Alternatywnie rozwiązaniem może być po prostu wypisanie wszystkich wyników (na szczęście jest ich kilka):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Jest tylko jeden korzystny wynik (poprawny kod PIN).

Zatem zgodnie z klasyczną definicją:
- prawdopodobieństwo, że abonent zaloguje się przy pierwszej próbie
Odpowiedź :

Zadanie 6: Rozwiązanie

Zadanie 6:Rozwiązanie : znajdź całkowitą liczbę wyników:
liczby mogą pojawić się na 2 kostkach na różne sposoby.

a) Rozważ wydarzenie: - przy rzucie dwiema kostkami iloczyn punktów będzie równy siedmiu. Nie ma korzystnych wyników tego wydarzenia,
, tj. to wydarzenie jest niemożliwe.

b) Rozważ wydarzenie: - przy rzucie dwiema kostkami iloczyn punktów wyniesie co najmniej 20. Następujące wyniki sprzyjają temu wydarzeniu:

Razem: 8

Według klasycznej definicji:

- pożądane prawdopodobieństwo.

c) Rozważmy zdarzenia przeciwne:

- iloczyn punktów będzie równy;

- iloczyn punktów będzie nieparzysty.

Wypiszmy wszystkie korzystne dla wydarzenia wyniki :

Razem: 9 korzystnych wyników.

Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:

Zdarzenia przeciwne tworzą kompletną grupę, zatem:

- pożądane prawdopodobieństwo.

Odpowiedź :

Problem 8:Rozwiązanie sposoby, w jakie mogą spaść 2 monety.
Inny sposób: w jaki sposób może spaść pierwsza monetaI w jaki sposób może spaść druga monetaI … I w jaki sposób może spaść dziesiąta moneta. Zgodnie z zasadą mnożenia kombinacji może spaść 10 monet sposoby.
a) Rozważ wydarzenie: - na wszystkich monetach będzie widoczna reszka. Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa temu zdarzeniu sprzyja jeden wynik: .
b) Rozważ wydarzenie: - 9 monet wyrzuci reszkę, a jedna moneta wyrzuci reszkę.
Istnieje monety, które mogą wylądować na reszcie. Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa: .
c) Rozważ wydarzenie: - na połowie monet pojawią się głowy.
Istnieje unikalne kombinacje pięciu monet, które mogą wylądować orłem. Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:
Odpowiedź:

Problem 10:Rozwiązanie : obliczmy całkowitą liczbę wyników:
sposoby umieszczenia dwóch wież na szachownicy.
Inna opcja projektowania: sposoby zaznaczania dwóch pól szachownicyI sposoby umieszczenia białej i czarnej wieżyw każdym spośród przypadków z 2016 r. Zatem łączna liczba wyników: .

Teraz policzmy, w jakich wynikach „pokonały” się wieże. Rozważmy pierwszą poziomą linię. Oczywiście figurki można na nim umieścić w dowolny sposób, na przykład tak:

Ponadto wieże można przestawiać. Przełóżmy rozumowanie na postać liczbową: sposoby zaznaczania dwóch komórekI sposoby zmiany układu wieżw każdymz 28 przypadków. Całkowity: możliwe położenia cyfr na poziomie.
Krótka wersja projektu: sposoby umieszczenia białej i czarnej wieży na pierwszym miejscu.

Powyższe rozumowanie jest prawidłowedla każdego poziomo, więc liczbę kombinacji należy pomnożyć przez osiem: . Dodatkowo podobna historia dotyczy każdego z ośmiu branż. Obliczmy całkowitą liczbę formacji, w których elementy „biją” się nawzajem:

Wtedy w pozostałych wariantach układu wieże nie będą się „bić”:
4032 - 896 = 3136

Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:
- prawdopodobieństwo, że biała i czarna wieża umieszczone losowo na szachownicy nie „pobiją się” nawzajem.

Odpowiedź :

Problem 12:Rozwiązanie : łącznie: 15 + 5 = 20 części w pudełku. Obliczmy całkowitą liczbę wyników:
korzystając z tych metod, możesz usunąć 2 części z pudełka.
a) Rozważ wydarzenie: - obie wyodrębnione części będą wysokiej jakości.
korzystając z tych metod, możesz wyodrębnić 2 części wysokiej jakości.
Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:
b) Rozważ wydarzenie: - jedna część będzie wysokiej jakości, a druga będzie wadliwa.
sposoby wyodrębnienia 1 części wysokiej jakościI1 uszkodzony.
Według klasycznej definicji:
c) Rozważ wydarzenie: - obie wyjęte części są uszkodzone.
za pomocą tych metod można usunąć 2 wadliwe części.
Według klasycznej definicji:
Badanie: obliczmy sumę prawdopodobieństw zdarzeń tworzących pełną grupę: , co należało sprawdzić.
Odpowiedź:

A teraz weźmy w swoje ręce znane już i bezproblemowe narzędzie do nauki - kostkę do gry pełen zespół wydarzeń , które polegają na tym, że po rzuceniu pojawią się odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Rozważ wydarzenie - w wyniku rzutu kostką pojawi się co najmniej pięć punktów. Na to zdarzenie składają się dwa niezgodne wyniki: (rolka 5 Lub 6 punktów)
- prawdopodobieństwo, że rzut kostką zakończy się co najmniej pięcioma punktami.

Rozważmy zdarzenie, w którym nie zostaną wyrzucone więcej niż 4 punkty, i znajdźmy jego prawdopodobieństwo. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:

Być może niektórzy czytelnicy nie zdali sobie jeszcze w pełni sprawy istota niezgodność. Zastanówmy się jeszcze raz: student nie potrafi odpowiedzieć na 2 z 3 pytań i w tym samym czasie odpowiedz na wszystkie 3 pytania. Zatem zdarzenia i są niezgodne.

Teraz, używając klasyczna definicja, znajdźmy ich prawdopodobieństwa:

O pomyślnym zdaniu egzaminu wyraża się ilością (odpowiedź na 2 z 3 pytań Lub na wszystkie pytania). Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:
- prawdopodobieństwo, że student zda egzamin.

To rozwiązanie jest całkowicie równoważne, wybierz które Ci bardziej odpowiada.

Problem 1

Sklep otrzymał produkty w kartonach z czterech hurtowni: cztery z pierwszej, pięć z drugiej, siedem z trzeciej i cztery z czwartej. Sprzedawane pudełko wybierane jest losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to pudełko z pierwszego lub trzeciego magazynu.

Rozwiązanie: łącznie otrzymane przez sklep: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 pudełek.

W tym zadaniu wygodniej jest zastosować „szybką” metodę formatowania bez zapisywania zdarzeń wielkimi literami. Według klasycznej definicji:
- prawdopodobieństwo, że do sprzedaży zostanie wybrane pudło z 1. magazynu;
- prawdopodobieństwo, że do sprzedaży zostanie wybrane pudełko z 3 magazynu.

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu zdarzeń niezgodnych:
- prawdopodobieństwo, że do sprzedaży zostanie wybrane pudełko z pierwszego lub trzeciego magazynu.

Odpowiedź: 0,55

Oczywiście problem można rozwiązać i to całkowicie klasyczna definicja prawdopodobieństwa poprzez bezpośrednie policzenie liczby korzystnych wyników (4 + 7 = 11), ale rozważana metoda nie jest gorsza. I jeszcze wyraźniej.

Problem 2

Pudełko zawiera 10 czerwonych i 6 niebieskich guzików. Dwa przyciski są losowo usuwane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą tego samego koloru?

Podobnie - tutaj możesz użyć reguła sumy kombinatorycznej, ale nigdy nie wiadomo... nagle ktoś o tym zapomniał. Wtedy na ratunek przyjdzie twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń!

Wiedząc, że prawdopodobieństwo można zmierzyć, spróbujmy wyrazić je w liczbach. Istnieją trzy możliwe sposoby.

Ryż. 1.1. Pomiar prawdopodobieństwa

PRAWdopodobieństwo OKREŚLONE PRZEZ SYMETRIĘ

Istnieją sytuacje, w których możliwe wyniki są równie prawdopodobne. Na przykład przy jednorazowym rzucie monetą, jeśli jest ona standardowa, prawdopodobieństwo wyrzucenia „reszki” lub „reszki” jest takie samo, tj. P("reszta") = P("reszka"). Ponieważ możliwe są tylko dwa wyniki, wówczas P(„reszka”) + P(„reszka”) = 1, zatem P(„reszka”) = P(„reszka”) = 0,5.

W eksperymentach, w których szanse wystąpienia wyników są równe, prawdopodobieństwo zdarzenia E, P (E) jest równe:

Przykład 1.1. Moneta rzucana jest trzykrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwie reszki i jedna reszka?

Najpierw znajdźmy wszystkie możliwe wyniki: Aby upewnić się, że znaleźliśmy wszystkie możliwe opcje, użyjemy diagramu drzewa (patrz rozdział 1, sekcja 1.3.1).

Zatem istnieje 8 jednakowo możliwych wyników, dlatego prawdopodobieństwo ich wynosi 1/8. Zdarzenie E – dwie orły i reszki – wystąpiły trzy. Dlatego:

Przykład 1.2. Standardową kostką rzuca się dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik będzie 9 lub więcej?

Znajdźmy wszystkie możliwe wyniki.

Tabela 1.2. Łączna liczba punktów uzyskanych poprzez dwukrotny rzut kostką

Zatem w 10 z 36 możliwych wyników suma punktów wynosi 9, czyli:

PRAWdopodobieństwo określone empirycznie

Przykład z monetą ze stołu. 1.1 wyraźnie ilustruje mechanizm określania prawdopodobieństwa.

Biorąc pod uwagę całkowitą liczbę pomyślnych eksperymentów, prawdopodobieństwo wymaganego wyniku oblicza się w następujący sposób:

Stosunek to względna częstotliwość występowania określonego wyniku w wystarczająco długim eksperymencie. Prawdopodobieństwo oblicza się albo na podstawie danych z przeprowadzonego eksperymentu, albo na podstawie danych z przeszłości.

Przykład 1.3. Spośród pięciuset przetestowanych lamp elektrycznych 415 pracowało przez ponad 1000 godzin. Na podstawie danych z tego eksperymentu możemy stwierdzić, że prawdopodobieństwo normalnej pracy lampy tego typu przez ponad 1000 godzin wynosi:

Notatka. Testowanie ma charakter destrukcyjny, dlatego nie wszystkie lampy można przetestować. Jeżeli testowano tylko jedną lampę, prawdopodobieństwo wynosiłoby 1 lub 0 (tj. czy może ona działać przez 1000 godzin, czy nie). Stąd potrzeba powtórzenia eksperymentu.

Przykład 1.4. W tabeli 1.3 przedstawia dane dotyczące stażu pracy mężczyzn pracujących w firmie:

Tabela 1.3. Doświadczenie zawodowe mężczyzn

Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolejna osoba zatrudniona przez firmę będzie pracować co najmniej dwa lata:

Rozwiązanie.

Z tabeli wynika, że 38 na 100 pracowników pracuje w firmie dłużej niż dwa lata. Empiryczne prawdopodobieństwo, że kolejny pracownik pozostanie w firmie dłużej niż dwa lata, wynosi:

Jednocześnie zakładamy, że nowy pracownik jest „typowy, a warunki pracy niezmienione”.

SUBIEKTYWNA OCENA PRAWIDŁOWOŚCI

W biznesie często zdarzają się sytuacje, w których nie ma symetrii, nie ma też danych eksperymentalnych. Dlatego określenie prawdopodobieństwa korzystnego wyniku pod wpływem poglądów i doświadczenia badacza ma charakter subiektywny.

Przykład 1.5.

1. Ekspert inwestycyjny szacuje, że prawdopodobieństwo osiągnięcia zysku w ciągu pierwszych dwóch lat wynosi 0,6.

2. Prognoza menedżera ds. marketingu: prawdopodobieństwo sprzedaży 1000 sztuk produktu w pierwszym miesiącu po jego pojawieniu się na rynku wynosi 0,4.

jako kategoria ontologiczna odzwierciedla zakres możliwości pojawienia się dowolnego bytu w każdych warunkach. W przeciwieństwie do matematyczno-logicznej interpretacji tego pojęcia, matematyka ontologiczna nie wiąże się z obowiązkiem wyrażenia ilościowego. Znaczenie V. ujawnia się w kontekście rozumienia determinizmu i natury rozwoju w ogóle.

Doskonała definicja

Niekompletna definicja ↓

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

pojęcie charakteryzujące wielkości. miara możliwości wystąpienia określonego zdarzenia w określonym czasie warunki. W naukowym wiedzy istnieją trzy interpretacje W. Klasyczna koncepcja W., która wyrosła z matematyki. analiza hazardu, najpełniej rozwinięta przez B. Pascala, J. Bernoulliego i P. Laplace'a, uważa wygraną za stosunek liczby korzystnych przypadków do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych. Na przykład, rzucając kostką o 6 stronach, można oczekiwać, że każda z nich wypadnie z wartością 1/6, ponieważ żadna ze stron nie ma przewagi nad drugą. Taka symetria wyników eksperymentów jest szczególnie brana pod uwagę przy organizowaniu gier, ale jest stosunkowo rzadka w badaniu obiektywnych zdarzeń w nauce i praktyce. Klasyczny Interpretacja V. ustąpiła miejsca statystykom. koncepcje V., które opierają się na faktach obserwacja wystąpienia określonego zdarzenia w długim okresie czasu. doświadczenia w ściśle określonych warunkach. Praktyka potwierdza, że im częściej dane zdarzenie występuje, tym większy jest stopień obiektywnej możliwości jego wystąpienia, czyli B. Zatem statystyczny. Interpretacja V. opiera się na koncepcji relacji. częstotliwość, którą można wyznaczyć doświadczalnie. V. jako teoretyczny pojęcie nigdy nie pokrywa się z empirycznie określoną częstotliwością, jednakże w liczbie mnogiej. W przypadkach praktycznie niewiele różni się od względnej. częstotliwość wynikająca z czasu trwania. obserwacje. Wielu statystyków uważa V. za „podwójne” odniesienie. częstotliwości, krawędzie są wyznaczane statystycznie. badanie wyników obserwacji

lub eksperymenty. Mniej realistyczna była definicja V. ze względu na granicę. częstotliwości imprez masowych lub grup, zaproponowane przez R. Misesa. Jako dalszy rozwój częstotliwościowego podejścia do V. zaproponowano dyspozycyjną lub propensywną interpretację V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Zgodnie z tą interpretacją V. charakteryzuje np. właściwość warunków generowania. eksperyment. instalacji w celu uzyskania sekwencji masowych zdarzeń losowych. To właśnie ta postawa rodzi fizyczność dyspozycje, czyli predyspozycje, V. które można sprawdzić za pomocą krewnych. częstotliwość

Statystyczny W badaniach naukowych dominuje interpretacja V. poznania, ponieważ odzwierciedla konkret. natura wzorców właściwych zjawiskom masowym o charakterze losowym. W wielu przypadkach fizycznych, biologicznych, ekonomicznych i demograficznych. i innych procesów społecznych, należy wziąć pod uwagę działanie wielu czynników losowych, które charakteryzują się stałą częstotliwością. Identyfikacja tych stabilnych częstotliwości i wielkości. jego ocena za pomocą V. pozwala ujawnić konieczność, która przenika poprzez skumulowane działanie wielu wypadków. W tym miejscu przejawia się dialektyka przekształcania przypadku w konieczność (por. F. Engels, w książce: K. Marx i F. Engels, Works, t. 20, s. 535-36).

Rozumowanie logiczne lub indukcyjne charakteryzuje związek między przesłankami a wnioskiem rozumowania niedemonstracyjnego, a w szczególności indukcyjnego. W przeciwieństwie do dedukcji przesłanki indukcji nie gwarantują prawdziwości wniosku, a jedynie czynią go mniej lub bardziej wiarygodnym. Tę wiarygodność, przy precyzyjnie sformułowanych przesłankach, można czasami ocenić za pomocą V. Wartość tego V. określa się najczęściej przez porównanie. pojęcia (więcej niż, mniej niż lub równe), a czasami w sposób numeryczny. Logiczny interpretacja jest często wykorzystywana do analizy rozumowań indukcyjnych i konstruowania różnych systemów logiki probabilistycznej (R. Carnap, R. Jeffrey). W semantyce pojęcia logiczne V. jest często definiowane jako stopień, w jakim jedno stwierdzenie potwierdzają inne (na przykład hipoteza na podstawie jej danych empirycznych).

W związku z rozwojem teorii podejmowania decyzji i gier, tzw personalistyczna interpretacja V. Choć V. wyraża jednocześnie stopień wiary podmiotu i zaistnienie określonego zdarzenia, same V. muszą być tak dobrane, aby spełnione były aksjomaty rachunku V. Dlatego V. przy takiej interpretacji wyraża nie tyle stopień subiektywnej, co raczej rozsądnej wiary. W konsekwencji decyzje podejmowane na podstawie takiego V. będą racjonalne, gdyż nie uwzględniają aspektu psychologicznego. cechy i skłonności podmiotu.

Z epistemologicznym t.zr. różnica między statystyczną a logiczną. i personalistyczne interpretacje V. polegają na tym, że jeśli pierwsza charakteryzuje obiektywne właściwości i zależności zjawisk masowych o charakterze przypadkowym, to dwie ostatnie analizują cechy subiektywne, świadome. działalność człowieka w warunkach niepewności.

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

jedna z najważniejszych koncepcji nauki, charakteryzująca szczególną systemową wizję świata, jego struktury, ewolucji i wiedzy. Specyfika probabilistycznego widzenia świata ujawnia się poprzez włączenie pojęć losowości, niezależności i hierarchii (idei poziomów w strukturze i wyznaczania systemów) do podstawowych pojęć bytu.

Idee dotyczące prawdopodobieństwa powstały już w starożytności i dotyczyły cech naszej wiedzy, przy czym uznano istnienie wiedzy probabilistycznej, która różniła się od wiedzy rzetelnej i wiedzy fałszywej. Wpływ idei prawdopodobieństwa na myślenie naukowe i rozwój wiedzy jest bezpośrednio związany z rozwojem teorii prawdopodobieństwa jako dyscypliny matematycznej. Początki matematycznej doktryny prawdopodobieństwa sięgają XVII wieku, kiedy to pozwolił na rozwój rdzenia pojęć. cechy ilościowe (numeryczne) i wyrażanie idei probabilistycznej.

Intensywne zastosowania prawdopodobieństwa w rozwoju poznania mają miejsce w drugiej połowie. 19 - I piętro XX wiek Prawdopodobieństwo wkroczyło w struktury takich podstawowych nauk przyrodniczych, jak klasyczna fizyka statystyczna, genetyka, teoria kwantowa i cybernetyka (teoria informacji). W związku z tym prawdopodobieństwo uosabia ten etap rozwoju nauki, który obecnie określa się jako naukę nieklasyczną. Aby ukazać nowość i cechy probabilistycznego sposobu myślenia, należy wyjść od analizy przedmiotu teorii prawdopodobieństwa i podstaw jej licznych zastosowań. Teorię prawdopodobieństwa definiuje się zwykle jako dyscyplinę matematyczną badającą wzorce masowych zjawisk losowych w określonych warunkach. Losowość oznacza, że w ramach charakteru masowego istnienie każdego zjawiska elementarnego nie jest zależne i nie jest przez istnienie innych zjawisk determinowane. Jednocześnie masowy charakter zjawisk sam w sobie ma stabilną strukturę i zawiera pewne prawidłowości. Zjawisko masowe dzieli się dość ściśle na podukłady, a względna liczba zjawisk elementarnych w każdym z podukładów (częstotliwość względna) jest bardzo stabilna. Stabilność tę porównuje się z prawdopodobieństwem. Zjawisko masowe jako całość charakteryzuje się rozkładem prawdopodobieństwa, to znaczy poprzez określenie podsystemów i odpowiadających im prawdopodobieństw. Językiem teorii prawdopodobieństwa jest język rozkładów prawdopodobieństwa. W związku z tym teorię prawdopodobieństwa definiuje się jako abstrakcyjną naukę o operowaniu rozkładami.

Prawdopodobieństwo dało początek w nauce ideom dotyczącym wzorców statystycznych i systemów statystycznych. Te ostatnie są układami utworzonymi z niezależnych lub quasi-niezależnych bytów, których strukturę charakteryzują rozkłady prawdopodobieństwa. Ale jak można tworzyć systemy z niezależnych bytów? Zwykle przyjmuje się, że do powstania układów o charakterystyce integralnej konieczne jest istnienie pomiędzy ich elementami dostatecznie stabilnych połączeń cementujących układy. Stabilność systemów statystycznych wynika z obecności warunków zewnętrznych, środowiska zewnętrznego, sił zewnętrznych, a nie wewnętrznych. Sama definicja prawdopodobieństwa zawsze opiera się na ustaleniu warunków powstania początkowego zjawiska masowego. Kolejną ważną ideą charakteryzującą paradygmat probabilistyczny jest idea hierarchii (podporządkowania). Idea ta wyraża związek między cechami poszczególnych elementów a integralnymi cechami systemów: te ostatnie są niejako zbudowane na pierwszym.

Znaczenie metod probabilistycznych w poznaniu polega na tym, że umożliwiają badanie i teoretyczne wyrażanie wzorców budowy i zachowania obiektów i systemów, które mają hierarchiczną, „dwupoziomową” strukturę.

Analiza natury prawdopodobieństwa opiera się na jego częstotliwości, interpretacji statystycznej. Jednocześnie przez bardzo długi czas w nauce dominowało takie rozumienie prawdopodobieństwa, które nazywano prawdopodobieństwem logicznym lub indukcyjnym. Prawdopodobieństwo logiczne interesuje się kwestiami ważności odrębnego, indywidualnego wyroku w określonych warunkach. Czy można ocenić stopień potwierdzenia (rzetelności, prawdziwości) wniosku indukcyjnego (wniosku hipotetycznego) w formie ilościowej? W trakcie rozwoju teorii prawdopodobieństwa takie pytania były wielokrotnie omawiane i zaczęto mówić o stopniach potwierdzenia hipotetycznych wniosków. O tej mierze prawdopodobieństwa decydują informacje, którymi dysponuje dana osoba, jej doświadczenie, poglądy na świat i nastawienie psychiczne. We wszystkich takich przypadkach wielkość prawdopodobieństwa nie podlega ścisłym pomiarom i praktycznie leży poza kompetencjami teorii prawdopodobieństwa jako spójnej dyscypliny matematycznej.

Obiektywna, częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa została ugruntowana w nauce ze znacznymi trudnościami. Początkowo na rozumienie natury prawdopodobieństwa duży wpływ miały poglądy filozoficzne i metodologiczne charakterystyczne dla nauki klasycznej. Historycznie rzecz biorąc, rozwój metod probabilistycznych w fizyce nastąpił pod decydującym wpływem idei mechaniki: systemy statystyczne interpretowano po prostu jako mechaniczne. Ponieważ odpowiednich problemów nie udało się rozwiązać ścisłymi metodami mechaniki, pojawiły się twierdzenia, że zwracanie się do metod probabilistycznych i praw statystycznych jest wynikiem niekompletności naszej wiedzy. W historii rozwoju klasycznej fizyki statystycznej podejmowano liczne próby jej uzasadnienia w oparciu o mechanikę klasyczną, ale wszystkie zakończyły się niepowodzeniem. Podstawą prawdopodobieństwa jest to, że wyraża ono cechy strukturalne pewnej klasy układów, innych niż układy mechaniczne: stan elementów tych układów charakteryzuje się niestabilnością i szczególnym (nie sprowadzalnym do mechaniki) charakterem oddziaływań.

Wpis prawdopodobieństwa do wiedzy prowadzi do zaprzeczenia koncepcji twardego determinizmu, do zaprzeczenia podstawowemu modelowi bytu i wiedzy wypracowanemu w procesie kształtowania się nauki klasycznej. Podstawowe modele reprezentowane przez teorie statystyczne mają inny, bardziej ogólny charakter: obejmują one idee losowości i niezależności. Idea prawdopodobieństwa wiąże się z ujawnieniem wewnętrznej dynamiki obiektów i systemów, której nie można całkowicie zdeterminować warunkami i okolicznościami zewnętrznymi.

Koncepcja probabilistycznej wizji świata, opartej na absolutyzacji idei o niezależności (podobnie jak wcześniej paradygmat sztywnego wyznaczania), ujawniła obecnie swoje ograniczenia, czego najmocniejszym wyrazem jest przejście współczesnej nauki na analityczne metody badania systemy złożone oraz fizyczne i matematyczne podstawy zjawisk samoorganizacji.

Doskonała definicja

Niekompletna definicja ↓