Jak znaleźć różnicę wzoru na postęp arytmetyczny. Jak znaleźć postęp arytmetyczny? Przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniem

Temat „postęp arytmetyczny” jest realizowany w ramach kursu algebry ogólnej w szkołach w IX klasie. Temat ten jest ważny dla dalszych dogłębnych badań matematyki szeregów liczbowych. W tym artykule zapoznamy się z postępem arytmetycznym, jego różnicą, a także typowymi problemami, z jakimi mogą spotkać się uczniowie.

Pojęcie postępu algebraicznego

Postęp liczbowy to ciąg liczb, w którym każdy kolejny element można uzyskać z poprzedniego, jeśli zastosujemy jakieś prawa matematyczne. Istnieją dwa proste typy postępu: geometryczny i arytmetyczny, zwany także algebraicznym. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Wyobraźmy sobie jakąś liczbę wymierną, oznaczmy ją symbolem a1, gdzie indeks wskazuje jej numer seryjny w rozważanym szeregu. Dodajmy inną liczbę do a1 i nazwijmy ją d. Wtedy drugi element szeregu można przedstawić następująco: a2 = a1+d. Teraz dodaj ponownie d, otrzymamy: a3 = a2+d. Kontynuując tę ​​operację matematyczną, możesz uzyskać całą serię liczb, którą nazwiemy postępem arytmetycznym.

Jak można zrozumieć z powyższego, aby znaleźć n-ty element tego ciągu, należy skorzystać ze wzoru: an = a1 + (n-1)*d. Rzeczywiście, podstawiając do wyrażenia n=1, otrzymamy a1 = a1, jeśli n = 2, to wzór będzie następujący: a2 = a1 + 1*d i tak dalej.

Na przykład, jeśli różnica ciągu arytmetycznego wynosi 5, a a1 = 1, oznacza to, że szereg liczbowy rozważanego typu ma postać: 1, 6, 11, 16, 21, ... Jak możesz zobacz, każdy z jego członków jest o 5 większy od poprzedniego.

Wzory na różnice w postępie arytmetycznym

Z powyższej definicji rozważanego ciągu liczb wynika, że ​​aby go zdefiniować, trzeba znać dwie liczby: a1 i d. To drugie nazywa się różnicą tego postępu. W unikalny sposób determinuje zachowanie całej serii. Rzeczywiście, jeśli d jest dodatnie, to szereg liczbowy będzie stale rósł; przeciwnie, jeśli d jest ujemne, liczby w szeregu będą rosły tylko w wartości bezwzględnej, podczas gdy ich wartość bezwzględna będzie malała wraz ze wzrostem liczby n.

Jaka jest różnica w postępie arytmetycznym? Rozważmy dwa podstawowe wzory używane do obliczenia tej wartości:

d = an+1-an, wzór ten wynika bezpośrednio z definicji rozpatrywanego szeregu liczb.

d = (-a1+an)/(n-1), wyrażenie to otrzymamy jeśli wyrazimy d ze wzoru podanego w poprzednim akapicie artykułu. Należy zauważyć, że to wyrażenie staje się niezdefiniowane (0/0), jeśli n=1. Wynika to z faktu, że aby określić jego różnicę, konieczna jest znajomość co najmniej 2 elementów szeregu.

Te dwa podstawowe wzory służą do rozwiązywania wszelkich problemów związanych ze znalezieniem różnicy progresji. Istnieje jednak jeszcze jedna formuła, o której również musisz wiedzieć.

Suma pierwszych elementów

Wzór, za pomocą którego można wyznaczyć sumę dowolnej liczby wyrazów ciągu algebraicznego, zgodnie z dowodami historycznymi, został po raz pierwszy uzyskany przez „księcia” matematyki w XVIII wieku, Carla Gaussa. Niemiecki naukowiec, będąc jeszcze chłopcem w klasie podstawowej wiejskiej szkoły, zauważył, że aby dodać liczby naturalne w szeregu od 1 do 100, należy najpierw zsumować pierwszy i ostatni element (wynikowa wartość będzie być równa sumie przedostatniego i drugiego, przedostatniego i trzeciego elementu itd.), a następnie liczbę tę należy pomnożyć przez liczbę tych kwot, czyli przez 50.

Wzór, który odzwierciedla podany wynik w konkretnym przykładzie, można uogólnić na dowolny przypadek. Będzie to wyglądać następująco: Sn = n/2*(an+a1). Należy zauważyć, że aby znaleźć wskazaną wartość, nie jest wymagana znajomość różnicy d, jeśli znane są dwa wyrazy ciągu (an i a1).

Przykład nr 1. Określ różnicę, znając dwa wyrazy szeregu a1 i an

Pokażemy Ci, jak zastosować formuły wspomniane powyżej w artykule. Podajmy prosty przykład: różnica ciągu arytmetycznego jest nieznana, należy określić, ile będzie wynosić, jeśli a13 = -5,6 i a1 = -12,1.

Ponieważ znamy wartości dwóch elementów ciągu liczbowego, a jeden z nich jest liczbą pierwszą, możemy skorzystać ze wzoru nr 2, aby wyznaczyć różnicę d. Mamy: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. W wyrażeniu użyliśmy wartości n=13, ponieważ termin o tej konkretnej liczbie porządkowej jest znany.

Powstała różnica wskazuje, że progresja rośnie, mimo że elementy podane w warunkach zadania mają wartość ujemną. Jasne jest, że a13>a1, chociaż |a13|<|a1|.

Przykład nr 2. Pozytywne warunki progresji w przykładzie nr 1

Wykorzystajmy wynik uzyskany w poprzednim przykładzie do rozwiązania nowego problemu. Formułuje się to następująco: od jakiego numeru seryjnego elementy progresji z przykładu nr 1 zaczną przyjmować wartości dodatnie?

Jak pokazano, postęp w którym a1 = -12,1 i d = 0,54167 jest rosnący, zatem od pewnej liczby liczby zaczną przyjmować wyłącznie wartości dodatnie. Aby wyznaczyć tę liczbę n, należy rozwiązać prostą nierówność, którą zapisujemy matematycznie w następujący sposób: an>0 lub korzystając z odpowiedniego wzoru przepisujemy nierówność: a1 + (n-1)*d>0. Należy znaleźć nieznane n, wyraźmy to: n>-1*a1/d + 1. Teraz pozostaje zastąpić znane wartości różnicy i pierwszy wyraz ciągu. Otrzymujemy: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 lub n>23,338. Ponieważ n może przyjmować tylko wartości całkowite, z powstałej nierówności wynika, że ​​dowolne wyrazy w szeregu, które mają liczbę większą niż 23, będą dodatnie.

Sprawdźmy otrzymaną odpowiedź, korzystając z powyższego wzoru, aby obliczyć 23. i 24. element tego ciągu arytmetycznego. Mamy: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (liczba ujemna); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (wartość dodatnia). Otrzymany wynik jest zatem poprawny: począwszy od n=24 wszystkie elementy szeregu liczbowego będą większe od zera.

Przykład nr 3. Ile kłód zmieści się?

Przedstawmy jeden ciekawy problem: podczas wycinki postanowiono ułożyć przetarte kłody jedna na drugiej, jak pokazano na poniższym rysunku. Ile kłód można ułożyć w ten sposób, wiedząc, że w sumie zmieści się 10 rzędów?

W tej metodzie składania kłód można zauważyć jedną ciekawą rzecz: każdy kolejny rząd będzie zawierał o jedną kłodę mniej niż poprzedni, czyli zachodzi postęp algebraiczny, którego różnica wynosi d = 1. Zakładając, że liczba kłód w każdym rzędzie należy do tego ciągu, a także biorąc pod uwagę, że a1 = 1 (na samej górze zmieści się tylko jedna kłoda), znajdujemy liczbę a10. Mamy: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Oznacza to, że w 10. rzędzie, który leży na ziemi, będzie 10 kłód.

Całkowitą sumę tej „piramidalnej” struktury można obliczyć, korzystając ze wzoru Gaussa. Otrzymujemy: S10 = 10/2*(10+1) = 55 logów.

Instrukcje

Postęp arytmetyczny jest ciągiem postaci a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Krok numer d postęp.Jest oczywiste, że generał dowolnego n-tego wyrazu arytmetyki postęp ma postać: An = A1+(n-1)d. Następnie poznanie jednego z członków postęp, członek postęp i krok postęp, możesz, czyli numer członka postępu. Oczywiście będzie to określone wzorem n = (An-A1+d)/d.

Niech teraz będzie znany m-ty termin postęp i inny członek postęp- n-te, ale n, jak w poprzednim przypadku, ale wiadomo, że n i m nie pokrywają się Krok postęp można obliczyć ze wzoru: d = (An-Am)/(n-m). Wtedy n = (An-Am+md)/d.

Jeśli znana jest suma kilku elementów równania arytmetycznego postęp, a także jego pierwszy i ostatni, wówczas można również wyznaczyć liczbę tych elementów.Suma arytmetyczna postęp będzie równa: S = ((A1+An)/2)n. Wtedy n = 2S/(A1+An) - chdenov postęp. Wykorzystując fakt, że An = A1+(n-1)d, wzór ten można przepisać jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Na tej podstawie możemy wyrazić n, rozwiązując równanie kwadratowe.

Ciąg arytmetyczny to uporządkowany zbiór liczb, którego każdy element, z wyjątkiem pierwszego, różni się od poprzedniego o tę samą kwotę. Ta stała wartość nazywana jest różnicą postępu lub jego kroku i można ją obliczyć ze znanych wyrazów postępu arytmetycznego.

Instrukcje

Jeśli z warunków zadania znane są wartości pierwszego i drugiego lub dowolnej innej pary sąsiednich wyrazów, aby obliczyć różnicę (d), wystarczy odjąć poprzednią od kolejnego wyrazu. Wynikowa wartość może być liczbą dodatnią lub ujemną – zależy to od tego, czy progresja rośnie. W formie ogólnej rozwiązanie dowolnej pary (aᵢ i aᵢ₊₁) sąsiadujących wyrazów ciągu zapisz następująco: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Dla pary wyrazów takiego ciągu, z których jeden jest pierwszym (a₁), a drugi dowolnym, dowolnie wybranym, można także utworzyć wzór na znalezienie różnicy (d). Jednakże w tym przypadku musi być znany numer seryjny (i) dowolnie wybranego elementu sekwencji. Aby obliczyć różnicę, dodaj obie liczby i podziel wynik przez liczbę porządkową dowolnego wyrazu pomniejszoną o jeden. Ogólnie rzecz biorąc, zapisz ten wzór w następujący sposób: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jeżeli oprócz dowolnego członka ciągu arytmetycznego o liczbie porządkowej i znany jest jeszcze inny członek o liczbie porządkowej u, należy odpowiednio zmienić wzór z poprzedniego kroku. W tym przypadku różnicą (d) postępu będzie suma tych dwóch wyrazów podzielona przez różnicę ich liczb porządkowych: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Wzór na obliczenie różnicy (d) staje się nieco bardziej skomplikowany, jeśli warunki problemu podają wartość jej pierwszego wyrazu (a₁) oraz sumę (Sᵢ) danej liczby (i) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Aby otrzymać żądaną wartość, należy podzielić sumę przez liczbę tworzących ją wyrazów, odjąć wartość pierwszej liczby w ciągu i podwoić wynik. Otrzymaną wartość podziel przez liczbę składników tworzących sumę pomniejszoną o jeden. Ogólnie rzecz biorąc, zapisz wzór na obliczenie dyskryminatora w następujący sposób: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Tak, tak: postęp arytmetyczny to nie zabawka dla Ciebie :)

Cóż, przyjaciele, jeśli czytacie ten tekst, to wewnętrzne dowody cap mówią mi, że jeszcze nie wiecie, czym jest postęp arytmetyczny, ale naprawdę (nie, w ten sposób: DUŻO!) chcecie się tego dowiedzieć. Dlatego nie będę Was dręczyć długimi wstępami i od razu przejdę do sedna.

Najpierw kilka przykładów. Przyjrzyjmy się kilku zestawom liczb:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Co łączy wszystkie te zestawy? Na pierwszy rzut oka nic. Ale rzeczywiście coś jest. Mianowicie: każdy kolejny element różni się od poprzedniego tą samą liczbą.

Oceńcie sami. Pierwszy zestaw to po prostu kolejne liczby, a każda następna jest o jeden większa od poprzedniej. W drugim przypadku różnica między sąsiednimi liczbami wynosi już pięć, ale różnica ta jest nadal stała. W trzecim przypadku są w ogóle korzenie. Jednak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i w tym przypadku każdy kolejny element po prostu zwiększa się o $\sqrt(2)$ (i nie bój się, że ta liczba jest irracjonalna).

Zatem: wszystkie takie ciągi nazywane są postępami arytmetycznymi. Podajmy ścisłą definicję:

Definicja. Ciąg liczb, w którym każda kolejna różni się od poprzedniej dokładnie o tę samą kwotę, nazywa się postępem arytmetycznym. Sama wielkość różnicy między liczbami nazywana jest różnicą progresji i najczęściej oznaczana jest literą $d$.

Notacja: $\left(((a)_(n)) \right)$ to sama progresja, $d$ to jej różnica.

I tylko kilka ważnych uwag. Po pierwsze, brana jest pod uwagę jedynie progresja zamówione sekwencja liczb: można je czytać ściśle w kolejności, w jakiej zostały zapisane – i nic więcej. Liczb nie można zmieniać ani zamieniać.

Po drugie, sama sekwencja może być skończona lub nieskończona. Na przykład zbiór (1; 2; 3) jest oczywiście skończonym ciągiem arytmetycznym. Ale jeśli napiszesz coś w duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to już jest nieskończony postęp. Wielokropek po czwórce wydaje się wskazywać, że przed nami jeszcze kilka liczb. Na przykład nieskończenie wiele. :)

Chciałbym również zauważyć, że progresja może być rosnąca lub malejąca. Widzieliśmy już rosnące - ten sam zbiór (1; 2; 3; 4; ...). Oto przykłady progresji malejącej:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK, OK: ostatni przykład może wydawać się zbyt skomplikowany. Ale resztę, jak sądzę, rozumiesz. Dlatego wprowadzamy nowe definicje:

Definicja. Postęp arytmetyczny nazywa się:

1. rosnący, jeśli każdy kolejny element jest większy od poprzedniego;
2. zmniejsza się, jeśli wręcz przeciwnie, każdy kolejny element jest mniejszy niż poprzedni.

Ponadto istnieją tak zwane ciągi „stacjonarne” - składają się z tej samej powtarzającej się liczby. Na przykład (3; 3; 3; ...).

Pozostaje tylko jedno pytanie: jak odróżnić progresję rosnącą od malejącej? Na szczęście wszystko tutaj zależy tylko i wyłącznie od znaku liczby $d$, czyli: różnice w progresji:

1. Jeśli $d \gt 0$, to postęp wzrasta;
2. Jeśli $d \lt 0$, to postęp oczywiście maleje;
3. Wreszcie mamy przypadek $d=0$ - w tym przypadku cały postęp sprowadza się do stacjonarnego ciągu identycznych liczb: (1; 1; 1; 1; ...) itd.

Spróbujmy obliczyć różnicę $d$ dla trzech podanych powyżej progresji malejących. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolne dwa sąsiednie elementy (na przykład pierwszy i drugi) i odjąć liczbę po lewej stronie od liczby po prawej stronie. Będzie to wyglądać tak:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Jak widać, we wszystkich trzech przypadkach różnica faktycznie okazała się ujemna. A teraz, gdy już mniej więcej opracowaliśmy definicje, czas dowiedzieć się, jak opisuje się progresje i jakie mają właściwości.

Warunki progresji i formuła powtarzalności

Ponieważ elementów naszych ciągów nie można zamieniać miejscami, można je ponumerować:

\[\lewy(((a)_(n)) \prawy)=\lewy\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Prawidłowy\)\]

Poszczególne elementy tego zbioru nazywane są elementami progresji. Są one oznaczone numerem: pierwszy członek, drugi członek itp.

Ponadto, jak już wiemy, sąsiednie wyrazy progresji powiązane są wzorem:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strzałka w prawo ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Krótko mówiąc, aby znaleźć $n$-ty wyraz progresji, musisz znać $n-1$-ty wyraz i różnicę $d$. Formuła ta nazywa się rekurencyjną, ponieważ za jej pomocą można znaleźć dowolną liczbę tylko znając poprzednią (a właściwie wszystkie poprzednie). Jest to bardzo niewygodne, dlatego istnieje bardziej przebiegła formuła, która redukuje wszelkie obliczenia do pierwszego członu i różnicy:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lewo(n-1 \prawo)d\]

Prawdopodobnie spotkałeś się już z tą formułą. Lubią podawać to w różnego rodzaju podręcznikach i książkach z rozwiązaniami. I w każdym rozsądnym podręczniku do matematyki jest to jeden z pierwszych.

Radzę jednak trochę poćwiczyć.

Zadanie nr 1. Zapisz pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$ jeśli $((a)_(1))=8,d=-5$.

Rozwiązanie. Znamy więc pierwszy wyraz $((a)_(1))=8$ i różnicę progresji $d=-5$. Użyjmy podanego wzoru i zamieńmy $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odpowiedź: (8; 3; −2)

To wszystko! Uwaga: nasz postęp maleje.

Oczywiście $n=1$ nie dało się zastąpić - pierwszy wyraz jest nam już znany. Jednak podstawiając jedność, byliśmy przekonani, że nawet dla pierwszego wyrazu nasza formuła działa. W innych przypadkach wszystko sprowadzało się do banalnej arytmetyki.

Zadanie nr 2. Zapisz pierwsze trzy wyrazy postępu arytmetycznego, jeśli jego siódmy wyraz jest równy –40, a siedemnasty wyraz jest równy –50.

Rozwiązanie. Zapiszmy warunek problemu w znany sposób:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\(\begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Prawidłowy.\]

Umieszczam znak systemowy, ponieważ te wymagania muszą być spełnione jednocześnie. Zauważmy teraz, że jeśli odejmiemy pierwsze od drugiego równania (mamy do tego prawo, ponieważ mamy układ), otrzymamy to:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Tak łatwo jest znaleźć różnicę w progresji! Pozostaje tylko zastąpić znalezioną liczbę dowolnym równaniem układu. Na przykład w pierwszym:

\[\begin(macierz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(macierz)\]

Teraz, znając pierwszy termin i różnicę, pozostaje znaleźć drugi i trzeci wyraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gotowy! Problem jest rozwiązany.

Odpowiedź: (-34; -35; -36)

Zwróć uwagę na interesującą właściwość progresji, którą odkryliśmy: jeśli weźmiemy wyrazy $n$th i $m$th i odejmiemy je od siebie, otrzymamy różnicę progresji pomnożoną przez liczbę $n-m$:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Prosta, ale bardzo przydatna właściwość, którą zdecydowanie musisz znać - z jej pomocą możesz znacznie przyspieszyć rozwiązanie wielu problemów progresyjnych. Oto wyraźny przykład:

Zadanie nr 3. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 8,4, a dziesiąty wyraz to 14,4. Znajdź piętnasty wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie. Ponieważ $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ i musimy znaleźć $((a)_(15))$, zauważamy co następuje:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ale według warunku $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, zatem $5d=6$, z czego mamy:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odpowiedź: 20,4

To wszystko! Nie musieliśmy tworzyć żadnych układów równań i obliczać pierwszego wyrazu i różnicy - wszystko zostało rozwiązane w zaledwie kilku linijkach.

Przyjrzyjmy się teraz innemu rodzajowi problemu - poszukiwaniu negatywnych i pozytywnych terminów progresji. Nie jest tajemnicą, że jeśli progresja narasta, a jej pierwszy wyraz jest ujemny, to prędzej czy później pojawią się w niej człony pozytywne. I odwrotnie: warunki progresji malejącej prędzej czy później staną się negatywne.

Jednocześnie nie zawsze można znaleźć ten moment „od razu”, przechodząc kolejno przez elementy. Często zadania są pisane w taki sposób, że bez znajomości wzorów obliczenia zajęłyby kilka kartek papieru – po prostu zasypialibyśmy w trakcie szukania odpowiedzi. Dlatego spróbujmy rozwiązać te problemy szybciej.

Zadanie nr 4. Ile wyrazów ujemnych znajduje się w postępie arytmetycznym -38,5; −35,8; ...?

Rozwiązanie. Zatem $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, skąd natychmiast znajdujemy różnicę:

Należy pamiętać, że różnica jest dodatnia, więc progresja wzrasta. Pierwszy wyraz jest ujemny, więc rzeczywiście w pewnym momencie natkniemy się na liczby dodatnie. Pytanie tylko, kiedy to nastąpi.

Spróbujmy dowiedzieć się jak długo (tzn. do jakiej liczby naturalnej $n$) pozostaje negatywność wyrazów:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strzałka w prawo ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \prawo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strzałka w prawo ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ostatnia linijka wymaga wyjaśnienia. Wiemy więc, że $n \lt 15\frac(7)(27)$. Z drugiej strony zadowalają nas tylko całkowite wartości liczby (co więcej: $n\in \mathbb(N)$), zatem największą dopuszczalną liczbą jest właśnie $n=15$, a w żadnym wypadku 16 .

Zadanie nr 5. W postępie arytmetycznym $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Znajdź numer pierwszego dodatniego wyrazu tego ciągu.

Byłby to dokładnie ten sam problem, co poprzedni, ale nie znamy $((a)_(1))$. Ale znane są wyrazy sąsiednie: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, więc łatwo możemy znaleźć różnicę progresji:

Ponadto spróbujmy wyrazić wyraz piąty poprzez pierwszy i różnicę za pomocą standardowego wzoru:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Teraz postępujemy analogicznie do poprzedniego zadania. Przekonajmy się, w którym momencie naszego ciągu pojawią się liczby dodatnie:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strzałka w prawo ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimalnym rozwiązaniem całkowitym tej nierówności jest liczba 56.

Uwaga: w ostatnim zadaniu wszystko sprowadzało się do ścisłej nierówności, zatem opcja $n=55$ nam nie będzie odpowiadać.

Teraz, gdy nauczyliśmy się rozwiązywać proste problemy, przejdźmy do bardziej złożonych. Ale najpierw przeanalizujmy inną bardzo przydatną właściwość postępów arytmetycznych, która w przyszłości zaoszczędzi nam dużo czasu i nierównych komórek. :)

Średnia arytmetyczna i równe wcięcia

Rozważmy kilka kolejnych wyrazów rosnącego postępu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$. Spróbujmy zaznaczyć je na osi liczbowej:

Warunki ciągu arytmetycznego na osi liczbowej

Specjalnie zaznaczyłem dowolne terminy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie jakieś $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Ponieważ zasada, o której teraz opowiem, działa tak samo dla dowolnych „segmentów”.

A zasada jest bardzo prosta. Zapamiętajmy wzór powtarzający się i zapiszmy go dla wszystkich zaznaczonych terminów:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Równości te można jednak przepisać inaczej:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

No i co? Oraz fakt, że terminy $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leżą w tej samej odległości od $((a)_(n)) $ . A ta odległość jest równa $d$. To samo można powiedzieć o terminach $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - są one również usunięte z $((a)_(n) )$ w tej samej odległości równej 2d$. Można tak ciągnąć w nieskończoność, ale znaczenie dobrze ilustruje rysunek

Warunki progresji leżą w tej samej odległości od centrum

Co to oznacza dla nas? Oznacza to, że $((a)_(n))$ można znaleźć, jeśli znane są sąsiednie liczby:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wyprowadziliśmy doskonałe stwierdzenie: każdy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy średniej arytmetycznej wyrazów sąsiednich! Co więcej: możemy cofnąć się od naszego $((a)_(n))$ w lewo i w prawo nie o jeden krok, ale o $k$ kroków - a formuła nadal będzie poprawna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Te. możemy łatwo znaleźć trochę $((a)_(150))$, jeśli znamy $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, ponieważ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że fakt ten nie daje nam niczego przydatnego. Jednak w praktyce wiele problemów jest specjalnie dostosowanych do stosowania średniej arytmetycznej. Spójrz:

Zadanie nr 6. Znajdź wszystkie wartości $x$, dla których liczby $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ są kolejnymi wyrazami postęp arytmetyczny (w podanej kolejności).

Rozwiązanie. Ponieważ liczby te należą do ciągu, spełniony jest dla nich warunek średniej arytmetycznej: element centralny $x+1$ można wyrazić w postaci elementów sąsiednich:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatem jest klasyczne równanie kwadratowe. Odpowiedzią są jego pierwiastki: $x=2$ i $x=-3$.

Odpowiedź: −3; 2.

Zadanie nr 7. Znajdź wartości $$, dla których liczby $-1;4-3;(()^(2))+1$ tworzą ciąg arytmetyczny (w tej kolejności).

Rozwiązanie. Wyraźmy jeszcze raz wyraz średni za pomocą średniej arytmetycznej sąsiadujących wyrazów:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \prawo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Znów równanie kwadratowe. I znowu mamy dwa pierwiastki: $x=6$ i $x=1$.

Odpowiedź 1; 6.

Jeśli w trakcie rozwiązywania problemu natkniesz się na jakieś brutalne liczby lub nie jesteś do końca pewien poprawności znalezionych odpowiedzi, istnieje wspaniała technika, która pozwala sprawdzić: czy poprawnie rozwiązaliśmy problem?

Załóżmy, że w zadaniu nr 6 otrzymaliśmy odpowiedzi −3 i 2. Jak możemy sprawdzić, czy te odpowiedzi są poprawne? Po prostu podłączmy je do stanu pierwotnego i zobaczmy, co się stanie. Przypomnę, że mamy trzy liczby ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), które muszą tworzyć postęp arytmetyczny. Podstawmy $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Mamy liczby -54; −2; Liczba 50 różniących się o 52 jest niewątpliwie ciągiem arytmetycznym. To samo dzieje się dla $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Znowu progresja, ale z różnicą 27. Zatem problem został rozwiązany poprawnie. Chętni mogą sami sprawdzić drugi problem, ale od razu powiem: tam też wszystko jest w porządku.

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązując ostatnie problemy, natknęliśmy się na inny ciekawy fakt, o którym również należy pamiętać:

Jeśli trzy liczby są takie, że druga jest średnią arytmetyczną pierwszej i ostatniej, wówczas liczby te tworzą ciąg arytmetyczny.

W przyszłości zrozumienie tego stwierdzenia pozwoli nam dosłownie „skonstruować” niezbędne postępy w oparciu o warunki problemu. Zanim jednak zajmiemy się taką „konstrukcją”, warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden fakt, który bezpośrednio wynika z tego, co zostało już omówione.

Grupowanie i sumowanie elementów

Wróćmy jeszcze raz do osi liczb. Zauważmy tam kilku członków postępu, pomiędzy którymi być może. jest wart wielu innych członków:

Na osi liczbowej zaznaczono 6 elementów

Spróbujmy wyrazić „lewy ogon” poprzez $((a)_(n))$ i $d$, a „prawy ogon” poprzez $((a)_(k))$ i $d$. To jest bardzo proste:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Teraz zauważ, że następujące kwoty są równe:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mówiąc najprościej, jeśli na początek weźmiemy pod uwagę dwa elementy progresji, które w sumie są równe pewnej liczbie $S$, a następnie zaczniemy od tych elementów schodzić w przeciwnych kierunkach (do siebie lub odwrotnie, aby się oddalić), Następnie sumy elementów, na które się natkniemy, również będą równe$S$. Najłatwiej można to przedstawić graficznie:

Równe wcięcia dają równe kwoty

Zrozumienie tego faktu pozwoli nam rozwiązać problemy o zasadniczo wyższym poziomie złożoności niż te, które rozważaliśmy powyżej. Na przykład te:

Zadanie nr 8. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz wynosi 66, a iloczyn drugiego i dwunastego wyrazu jest najmniejszy z możliwych.

Rozwiązanie. Zapiszmy wszystko, co wiemy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Nie znamy więc różnicy w progresji $d$. Właściwie całe rozwiązanie zostanie zbudowane wokół różnicy, ponieważ iloczyn $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Dla tych w zbiorniku: wziąłem całkowity mnożnik 11 z drugiego nawiasu. Zatem pożądany iloczyn jest funkcją kwadratową w odniesieniu do zmiennej $d$. Rozważmy zatem funkcję $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej wykres będzie parabolą z gałęziami skierowanymi do góry, ponieważ jeśli rozszerzymy nawiasy, otrzymamy:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Jak widać współczynnik najwyższego wyrazu wynosi 11 - jest to liczba dodatnia, więc tak naprawdę mamy do czynienia z parabolą z gałęziami skierowanymi w górę:

wykres funkcji kwadratowej - parabola

Uwaga: ta parabola przyjmuje swoją minimalną wartość w wierzchołku z odciętą $((d)_(0))$. Oczywiście tę odciętą możemy obliczyć korzystając ze standardowego schematu (istnieje wzór $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale znacznie rozsądniej byłoby to zauważyć że żądany wierzchołek leży na osi symetrii paraboli, zatem punkt $((d)_(0))$ jest w równej odległości od pierwiastków równania $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Dlatego nie spieszyło mi się szczególnie z otwieraniem zamków: w ich oryginalnej formie korzenie były bardzo, bardzo łatwe do znalezienia. Dlatego odcięta jest równa średniej arytmetycznej liczb -66 i -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Co daje nam odkryta liczba? Dzięki niemu wymagany iloczyn przyjmuje najmniejszą wartość (swoją drogą nigdy nie obliczaliśmy $((y)_(\min ))$ - nie jest to od nas wymagane). Jednocześnie liczba ta jest różnicą pierwotnego postępu, tj. znaleźliśmy odpowiedź. :)

Odpowiedź: −36

Zadanie nr 9. Pomiędzy liczby $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ wstaw trzy liczby tak, aby razem z nimi tworzyły ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie. Zasadniczo musimy utworzyć sekwencję pięciu liczb, przy czym pierwsza i ostatnia liczba są już znane. Oznaczmy brakujące liczby za pomocą zmiennych $x$, $y$ i $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Zauważ, że liczba $y$ jest „środkiem” naszego ciągu - jest w równej odległości od liczb $x$ i $z$ oraz od liczb $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)(6)$. A jeśli obecnie nie możemy uzyskać $y$ z liczb $x$ i $z$, to sytuacja wygląda inaczej przy końcach progresji. Przypomnijmy średnią arytmetyczną:

Teraz, znając $y$, znajdziemy pozostałe liczby. Zauważ, że $x$ leży pomiędzy liczbami $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$, które właśnie znaleźliśmy. Dlatego

Stosując podobne rozumowanie, znajdujemy pozostałą liczbę:

Gotowy! Znaleźliśmy wszystkie trzy liczby. Zapiszmy je w odpowiedzi w kolejności, w jakiej należy je wstawić pomiędzy oryginalne liczby.

Odpowiedź: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadanie nr 10. Pomiędzy liczby 2 i 42 wstaw kilka liczb, które razem z tymi liczbami tworzą ciąg arytmetyczny, jeśli wiesz, że suma pierwszej, drugiej i ostatniej z wstawionych liczb wynosi 56.

Rozwiązanie. Jeszcze bardziej złożony problem, który jednak rozwiązuje się według tego samego schematu, co poprzednie - poprzez średnią arytmetyczną. Problem w tym, że nie wiemy dokładnie, ile liczb należy wstawić. Załóżmy więc dla pewności, że po wstawieniu wszystkiego będzie dokładnie $n$ liczb, a pierwsza z nich to 2, a ostatnia to 42. W tym przypadku wymagany postęp arytmetyczny można przedstawić w postaci:

\[\lewo(((a)_(n)) \prawo)=\lewo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \prawo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Należy jednak pamiętać, że liczby $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ otrzymuje się z liczb 2 i 42 na krawędziach o jeden krok ku sobie, tj. . do środka sekwencji. A to oznacza, że

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale wtedy wyrażenie zapisane powyżej można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Znając $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, możemy łatwo znaleźć różnicę progresji:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strzałka w prawo d=5. \\ \end(align)\]

Pozostaje tylko znaleźć pozostałe wyrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tym samym już w 9. kroku dotrzemy do lewego końca ciągu – liczby 42. W sumie należało wstawić tylko 7 liczb: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Zadania tekstowe z progresją

Podsumowując, chciałbym rozważyć kilka stosunkowo prostych problemów. No cóż, proste: dla większości uczniów, którzy uczą się matematyki w szkole i nie przeczytali tego, co jest napisane powyżej, te problemy mogą wydawać się trudne. Niemniej jednak tego typu problemy pojawiają się na egzaminie OGE i Unified State Exam z matematyki, dlatego polecam się z nimi zapoznać.

Zadanie nr 11. W styczniu zespół wyprodukował 62 części, a w każdym kolejnym miesiącu wyprodukował o 14 części więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile części wyprodukował zespół w listopadzie?

Rozwiązanie. Oczywiście liczba części wymienionych według miesiąca będzie reprezentować rosnący postęp arytmetyczny. Ponadto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Listopad to 11 miesiąc roku, więc musimy znaleźć $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Tym samym w listopadzie wyprodukowane zostaną 202 części.

Zadanie nr 12. Pracownia introligatorska opatrzyła w styczniu 216 woluminów, a w każdym kolejnym miesiącu oprawiała o 4 woluminy więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile książek oprawiono w grudniu na warsztatach?

Rozwiązanie. Wszystkie takie same:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Grudzień jest ostatnim, 12-tym miesiącem roku, więc szukamy $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Oto odpowiedź – w grudniu zostanie oprawionych 260 książek.

Cóż, jeśli doczytałeś tak daleko, spieszę ci pogratulować: pomyślnie ukończyłeś „kurs młodego wojownika” w postępach arytmetycznych. Możesz bezpiecznie przejść do następnej lekcji, gdzie przestudiujemy wzór na sumę progresji, a także ważne i bardzo przydatne konsekwencje z niego wynikające.

Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):

W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.

Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).

Oznacza się je tą samą literą co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego (w tym oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Mamy dane pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od swojego sąsiada tą samą liczbą. Dowiedzmy się który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\).
	Teraz możemy przywrócić naszą progresję do (pierwszego negatywnego) elementu, którego potrzebujemy.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Mając kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

	Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, innymi słowy, różnica w progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiednich elementów: \(d=12,5-10=2,5\).
	I teraz możemy łatwo znaleźć to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny definiują następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Nie znamy jednak ich znaczenia, podany jest nam jedynie pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości jedna po drugiej, korzystając z tego, co nam podano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Po obliczeniu sześciu potrzebnych nam elementów znajdujemy ich sumę.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Znaleziono wymaganą kwotę.

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tzw. różnica w postępie).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy powinniśmy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązuje się sprawy „od razu”, ale stosuje się specjalne wzory wyprowadzone na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu wyrazów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego wyrazu. Naszą progresję wyznacza wzór n-tego wyrazu w zależności od jego liczby (więcej szczegółów w artykule). Obliczmy pierwszy element, zastępując jedynką \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, zastępując dwadzieścia pięć zamiast \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Cóż, teraz możemy łatwo obliczyć wymaganą kwotę.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – całkowita liczba elementów.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania niemal każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy rozwiązywać to samo: najpierw znajdujemy \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz chciałbym podstawić \(d\) do wzoru na sumę... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy osiągniemy pierwszy pozytywny element. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy dla naszego przypadku wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrzebujemy \(a_n\), aby stać się większym od zera. Dowiedzmy się, kiedy \(n\) to się stanie.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Obliczmy...
\(n>65 333…\)		...i okazuje się, że pierwszy dodatni element będzie miał liczbę \(66\). Odpowiednio, ostatnia liczba ujemna ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musimy więc dodać pierwsze \(65\) elementy.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	W tym zadaniu również trzeba znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)-tego. Na taki przypadek nie mamy wzoru. Jak zdecydować? To proste - aby otrzymać sumę od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musisz najpierw znaleźć sumę od \(1\)-tej do \(42\)-tej, a następnie odjąć z niego suma od pierwszej do (25) (patrz rysunek).
	Dla naszej progresji \(a_1=-33\) i różnicy \(d=4\) (w końcu dodajemy czwórkę do poprzedniego elementu, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\)-y elementów.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz suma pierwszych \(25\) elementów.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Na koniec obliczamy odpowiedź.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.

Podczas nauki algebry w szkole średniej (9 klasa) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Arytmetyczny lub jest zbiorem uporządkowanych liczb wymiernych, których każdy element różni się od poprzedniego pewną stałą wartością. Wartość tę nazywa się różnicą. Oznacza to, że znając dowolnego członka uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz przywrócić cały postęp arytmetyczny.

Podajmy przykład. Następujący ciąg liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać rozważanemu rodzajowi progresji, ponieważ różnica dla niego nie jest wartością stałą (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Ważne formuły

Przedstawmy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów z wykorzystaniem postępu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem n n-ty element ciągu, gdzie n jest liczbą całkowitą. Różnicę oznaczamy łacińską literą d. Wówczas obowiązują następujące wyrażenia:

1. Do określenia wartości n-tego wyrazu odpowiedni jest wzór: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Aby wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów: S n = (a n + a 1)*n/2.

Aby zrozumieć przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniami w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy tego typu opierają się na ich zastosowaniu. Należy także pamiętać, że różnicę progresji wyznacza wzór: d = a n - a n-1.

Przykład nr 1: znalezienie nieznanego członka

Podajmy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzorów, których należy użyć, aby go rozwiązać.

Niech zostanie podana sekwencja 10, 8, 6, 4, ..., musisz znaleźć w niej pięć terminów.

Z warunków zadania wynika już, że znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:

1. Najpierw obliczmy różnicę. Mamy: d = 8 - 10 = -2. Podobnie możesz wziąć dowolnych dwóch innych członków stojących obok siebie. Na przykład d = 4 - 6 = -2. Ponieważ wiadomo, że d = a n - a n-1, to d = a 5 - a 4, z czego otrzymujemy: a 5 = a 4 + d. Podstawiamy znane wartości: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda również wymaga znajomości różnicy w rozpatrywanej progresji, więc najpierw trzeba ją określić, jak pokazano powyżej (d = -2). Wiedząc, że pierwszy wyraz a 1 = 10, używamy wzoru na liczbę n ciągu. Mamy: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Podstawiając n = 5 do ostatniego wyrażenia, otrzymujemy: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak widać oba rozwiązania doprowadziły do ​​tego samego rezultatu. Należy zauważyć, że w tym przykładzie różnica progresji d ma wartość ujemną. Takie ciągi nazywane są malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

Przykład nr 2: różnica w progresji

Teraz trochę skomplikujmy problem, podamy przykład, jak znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego.

Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Należy znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.

Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W efekcie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.

Przykład nr 3: sporządzenie progresji

Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.

Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (za 5 - za 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.

Przykład nr 4: pierwszy okres progresji

Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.

Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.

Przykład nr 5: kwota

Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.

Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Zadanie można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli liczby na końcach ciągu dodamy parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m = m * (za m + za 1) / 2.
2. S n = n * (za n + za 1) / 2.

Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz podziel cały problem na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.