Funkcja wykładnicza
Funkcja postaci y = a X , gdzie a jest większe od zera i a nie jest równe jedności, nazywa się funkcją wykładniczą. Główne właściwości funkcji wykładniczej:
1. Dziedziną funkcji wykładniczej będzie zbiór liczb rzeczywistych.
2. Zakresem funkcji wykładniczej będzie zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Czasami ten zestaw jest oznaczony jako R+ dla zwięzłości.
3. Jeżeli w funkcji wykładniczej podstawa a jest większa od jedności, to funkcja będzie rosnąć w całym obszarze definicji. Jeżeli funkcja wykładnicza dla podstawy a spełnia warunek 0
4. Wszystkie podstawowe właściwości stopni będą obowiązywać. Główne właściwości stopni są reprezentowane przez następujące równości:
A X *A y = za (x+y) ;
(A X )/(A y ) = a (x-y) ;
(a*b) X = (a X )*(A y );
(a/b) X = za X /B X ;
(A X ) y = za (x*y) .
Równości te będą obowiązywać dla wszystkich rzeczywistych wartości x i y.
5. Wykres funkcji wykładniczej zawsze przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;1)
6. W zależności od tego, czy funkcja wykładnicza rośnie, czy maleje, jej wykres będzie miał jeden z dwóch typów.
Poniższy rysunek przedstawia wykres rosnącej funkcji wykładniczej: a>0.
Poniższy rysunek przedstawia wykres malejącej funkcji wykładniczej: 0
Zarówno wykres rosnącej funkcji wykładniczej, jak i wykres malejącej funkcji wykładniczej, zgodnie z właściwością opisaną w akapicie piątym, przechodzą przez punkt (0; 1).
7. Funkcja wykładnicza nie ma punktów ekstremalnych, czyli innymi słowy nie ma punktów minimalnych i maksymalnych tej funkcji. Jeśli rozważymy funkcję na jakimkolwiek konkretnym segmencie, wówczas funkcja przyjmie wartości minimalne i maksymalne na końcach tego przedziału.
8. Funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta. Funkcja wykładnicza jest funkcją ogólną. Widać to również na wykresach, żaden z nich nie jest symetryczny ani względem osi Oy, ani względem początku układu współrzędnych.
Logarytm
Logarytmy zawsze były uważane za trudny temat na szkolnych lekcjach matematyki. Istnieje wiele różnych definicji logarytmu, ale z jakiegoś powodu większość podręczników używa najbardziej złożonej i niefortunnej z nich.
Zdefiniujemy logarytm prosto i jasno. Stwórzmy w tym celu tabelę:
Mamy więc potęgę dwójki. Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć potęgę, do której musisz podnieść dwójkę, aby otrzymać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do potęgi czwartej. Aby otrzymać 64, musisz podnieść dwa do potęgi szóstej. Można to zobaczyć z tabeli.
A teraz - w rzeczywistości definicja logarytmu:
Definicja
Logarytm podstawa a na podstawie argumentu x to potęga, do której należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer X.
Przeznaczenie
log a x = b
gdzie a jest podstawą, x jest argumentem, b Czym dokładnie jest logarytm.
Na przykład 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Równie dobrze można logować 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.
Nazywa się operację znajdowania logarytmu liczby o zadanej podstawielogarytm . Dodajmy więc nowy wiersz do naszej tabeli:
Niestety, nie wszystkie logarytmy można rozpatrywać tak łatwo. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5. Numeru 5 nie ma w tabeli, ale logika podpowiada, że logarytm będzie leżał gdzieś na segmencie. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Takie liczby nazywane są niewymiernymi: liczby po przecinku można zapisywać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej zostawić go w ten sposób: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem zawierającym dwie zmienne (podstawę i argument). Na początku wiele osób myli, gdzie jest podstawa, a gdzie argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, wystarczy spojrzeć na zdjęcie:
Przed nami nic więcej niż definicja logarytmu. Pamiętaj: logarytm jest potęgą , do którego musisz podnieść podstawę, aby uzyskać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest ona zaznaczona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę powtarzam moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie ma zamieszania.
Wymyśliliśmy definicję - pozostaje nauczyć się liczyć logarytmy, tj. pozbądź się znaku „log”. Na początek zauważamy to Z definicji wynikają dwa ważne fakty:
Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
Podstawa musi różnić się od jedności, ponieważ jednostka do dowolnej potęgi nadal jest jednostką. Z tego powodu pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść jedną, aby otrzymać dwie” jest pozbawione sensu. Nie ma takiego stopnia!
Takie ograniczenia zwany Prawidłowy zakres(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda następująco: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Zauważ, że brak limitu liczby B (wartość logarytmu) nie pokrywają się. Na przykład logarytm może być ujemny: log 2 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2 -1 .
Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w przypadku których nie jest wymagana znajomość ODZ logarytmu. Wszystkie ograniczenia zostały już uwzględnione przez kompilatorów problemów. Kiedy jednak w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DHS staną się obowiązkowe. Rzeczywiście, w podstawie i argumencie mogą znajdować się bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.
Teraz rozważ generała schemat obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:
Prześlij podstawę a i argument x jako potęga o najmniejszej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
Zdecyduj się na zmienną b równanie: x = a b ;
Otrzymany numer b będzie odpowiedzią.
To wszystko! Jeśli logarytm okaże się niewymierny, będzie to widoczne już na pierwszym kroku. Wymóg, aby podstawa była większa niż jedność, jest bardzo istotny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. Podobnie jest z ułamkami dziesiętnymi: jeśli od razu zamienisz je na zwykłe, błędów będzie wielokrotnie mniej.
Zobaczmy, jak ten schemat działa na konkretnych przykładach:
Oblicz logarytm: log 5 25
Przedstawmy podstawę i argument w postaci potęgi piątej: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Otrzymałem odpowiedź: 2.
Oblicz logarytm:
Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę trójki: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;
Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
Otrzymałem odpowiedź: -4.
−4
Oblicz logarytm: log 4 64
Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Otrzymałem odpowiedź: 3.
Oblicz logarytm: log 16 1
Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Otrzymałem odpowiedź: 0.
Oblicz logarytm: log 7 14
Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę siódemki: 7 = 7 1 ; Liczba 14 nie jest przedstawiana jako potęga siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
Z poprzedniego akapitu wynika, że logarytm nie jest brany pod uwagę;
Odpowiedź brzmi bez zmian: log 7 14.
log 7 14
Mała uwaga do ostatniego przykładu. Jak upewnić się, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? Bardzo proste - wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. Jeśli w rozwinięciu występują co najmniej dwa różne czynniki, liczba nie jest dokładną potęgą.
Dowiedz się, czy dokładne potęgi liczby to: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie jest potęgą dokładną, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 5 - znowu nie jest to dokładny stopień;
14 \u003d 7 2 - znowu nie jest to dokładny stopień;
8, 81 - dokładny stopień; 48, 35, 14 - nie.
Należy również zauważyć, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.
Logarytm dziesiętny
Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i oznaczenie.
Definicja
Logarytm dziesiętny z argumentu x jest logarytmem o podstawie 10, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać tę liczbę X.
Przeznaczenie
LG x
Na przykład log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.
Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się sformułowanie typu „Znajdź lg 0,01”, wiedz, że nie jest to literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie jesteś przyzwyczajony do takiego oznaczenia, zawsze możesz je przepisać:
log x = log 10 x
Wszystko, co jest prawdziwe w przypadku logarytmów zwykłych, jest również prawdziwe w przypadku ułamków dziesiętnych.
naturalny logarytm
Istnieje inny logarytm, który ma swój własny zapis. W pewnym sensie jest nawet ważniejszy niż dziesiętny. To jest logarytm naturalny.
Definicja
naturalny logarytm z argumentu x jest logarytmem podstawowym mi , tj. potęga, do której należy podnieść liczbę mi aby uzyskać numer X.
Przeznaczenie
w x
Wielu zapyta: jaka jest liczba e? Jest to liczba niewymierna, której dokładnej wartości nie można znaleźć i zapisać. Oto tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459...
Nie będziemy zagłębiać się w to, czym jest ta liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że E jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x
Zatem ln e = 1; log mi 2 = 2; W 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie logarytm naturalny dowolnej liczby wymiernej jest niewymierny. Oprócz, oczywiście, jedności: ln 1 = 0.
W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie zasady obowiązujące dla logarytmów zwykłych.
Podstawowe własności logarytmów
Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przeliczać na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które nazywane są podstawowymi właściwościami.
Zasady te muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.
Dodawanie i odejmowanie logarytmów
Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: log a x i zapisz y . Następnie można je dodawać i odejmować oraz:
dziennik x +log y = log A ( X · y );
dziennik x −log y = log A ( X : y ).
Więc, suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią są tutaj te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!
Te formuły pomogą ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „ „). Spójrz na przykłady - i zobacz:
Znajdź wartość wyrażenia: log 6 4 + log 6 9.
Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.
Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.
Powtórzę: podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie rozważa się osobno. Ale po przekształceniach wychodzą całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, ta kontrola – podobne wyrażenia, z całą powagą (czasami – praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.
Usuwanie wykładnika z logarytmu
Teraz skomplikujmy trochę zadanie. Co się stanie, jeśli podstawa lub argument logarytmu zawiera stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:
Łatwo zauważyć, że ostatnia zasada jest zgodna z dwiema pierwszymi. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.
Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzega się logarytmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.
Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .
Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Znajdź wartość wyrażenia:
Zauważ, że mianownikiem jest logarytm, którego podstawa i argument są dokładnymi potęgami: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mamy:
Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.
Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Wynikiem jest odpowiedź: 2.
Przejście na nowy fundament
Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli podstawy są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?
Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w formie twierdzenia:
Twierdzenie
Niech logarytm będzie logowany x . Następnie dla dowolnej liczby c takie, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:
W szczególności, jeśli umieścimy c = x, otrzymujemy:
Z drugiego wzoru wynika, że możliwa jest zamiana podstawy i argumentu logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.
Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.
Są jednak zadania, których nie da się w ogóle rozwiązać inaczej niż poprzez przeniesienie do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:
Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.
Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Teraz odwróćmy drugi logarytm:
Ponieważ iloczyn nie zmienia się w wyniku permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.
Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.
Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:
Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:
Podstawowa tożsamość logarytmiczna
Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W tym przypadku pomogą nam formuły:
W pierwszym przypadku liczba N staje się wykładnikiem argumentu. Numer N może być absolutnie wszystko, bo to tylko wartość logarytmu.
Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:podstawowa tożsamość logarytmiczna.
Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b zostanie podniesiona do takiego stopnia, że liczba b w tym stopniu da liczbę a? Zgadza się: to jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób na nim „wisi”.
Podobnie jak w przypadku nowych wzorów konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.
Zadanie
Znajdź wartość wyrażenia:
Rozwiązanie
Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - właśnie wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:
200
Jeśli ktoś się nie orientuje to było to prawdziwe zadanie z egzaminu :)
Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne
Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są to raczej konsekwencje z definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.
log a a = 1 wynosi jednostka logarytmiczna. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy A od tej podstawy jest równa jeden.
log a 1 = 0 jest zero logarytmiczne. Baza A może być wszystko, ale jeśli argumentem jest jeden - logarytm wynosi zero! Ponieważ 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.
To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie!
Koncentracja uwagi:
Definicja. Funkcjonować gatunek się nazywa funkcja wykładnicza .
Komentarz. Wykluczenie podstawy A cyfry 0; 1 i wartości ujemne A wyjaśnione następującymi okolicznościami:
Samo wyrażenie analityczne x w takich przypadkach zachowuje swoje znaczenie i można go spotkać przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład dla wyrażenia x y kropka x = 1; y = 1 wchodzi w zakres wartości dopuszczalnych.
Konstruuj wykresy funkcji: i .
 |
 |
| Wykres funkcji wykładniczej | |
| y= A X, a > 1 | y= A X , 0< a < 1 |
 |
 |
Własności funkcji wykładniczej
| Własności funkcji wykładniczej | y= A X, a > 1 | y= A X , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Zakres wartości funkcji | ||
| 3. Przedziały porównawcze z jednostką | Na X> 0, A X > 1 | Na X > 0, 0< a X < 1 |
| Na X < 0, 0< a X < 1 | Na X < 0, a X > 1 | |
| 4. Parzysty, dziwny. | Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta (funkcja ogólna). | |
| 5. Monotonia. | rośnie monotonicznie o R | maleje monotonicznie o R |
| 6. Skrajności. | Funkcja wykładnicza nie ma ekstremów. | |
| 7.Asymptota | Oś O X jest asymptotą poziomą. | |
| 8. Dla dowolnych wartości rzeczywistych X I y; |  |
|
Gdy stół jest zapełniony, zadania rozwiązuje się równolegle z wypełnianiem.
Zadanie numer 1. (Aby znaleźć dziedzinę funkcji).
Jakie wartości argumentów obowiązują dla funkcji:
Zadanie numer 2. (Aby znaleźć zakres funkcji).
Rysunek przedstawia wykres funkcji. Określ zakres i zakres funkcji:
 |
 |
 |
 |
Zadanie numer 3. (Aby wskazać przedziały porównania z jednostką).
Porównaj każdą z poniższych potęg z jedną:
Zadanie nr 4. (Aby zbadać funkcję monotoniczności).
Porównuj liczby rzeczywiste według wielkości M I N Jeśli:
Zadanie numer 5. (Aby zbadać funkcję monotoniczności).
Wyciągnij wniosek na temat podstawy A, Jeśli:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
Jak kształtują się wykresy funkcji wykładniczych względem siebie dla x > 0, x = 0, x< 0?
W jednej płaszczyźnie współrzędnych wykreślane są wykresy funkcji:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Jak kształtują się wykresy funkcji wykładniczych względem siebie dla x > 0, x = 0, x< 0?
| Numer
jedna z najważniejszych stałych w matematyce. Z definicji to równy granicy ciągu
z nielimitowanym
rosnący r
. Przeznaczenie mi wprowadzony Leonarda Eulera
w 1736 r. Obliczył pierwsze 23 cyfry tej liczby w zapisie dziesiętnym, a sama liczba została nazwana imieniem Napiera „liczba nierówna”.
Numer mi odgrywa szczególną rolę w analizie matematycznej. Funkcja wykładnicza z bazą mi, zwany wykładnikiem i oznaczone y = mi x. Pierwsze znaki liczby miłatwe do zapamiętania: dwa, przecinek, siedem, rok urodzenia Lwa Tołstoja - dwa razy, czterdzieści pięć, dziewięćdziesiąt, czterdzieści pięć. |
 |
Praca domowa:
Kołmogorow s. 35; nr 445-447; 451; 453.
Powtórz algorytm konstruowania wykresów funkcji zawierających zmienną pod znakiem modułu.
1. Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci y(x) \u003d a x, w zależności od wykładnika x, o stałej wartości podstawy stopnia a, gdzie a > 0, a ≠ 0, xϵR (R to zbiór liczb rzeczywistych).
Rozważać wykres funkcji jeśli podstawa nie spełnia warunku: a>0
a)< 0
Jeśli< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Jeżeli a = 0 - funkcja y = jest zdefiniowana i ma stałą wartość 0
c) a \u003d 1
Jeżeli a = 1 - funkcja y = jest zdefiniowana i ma stałą wartość 1
Dziedzina funkcji (OOF) Obszar dopuszczalnych wartości funkcji (ODZ) 3. Zera funkcji (y = 0) 4. Punkty przecięcia z osią y (x = 0) 5. Funkcja rosnąca, malejąca Jeśli , to funkcja f(x) rośnie 6. Funkcje parzyste i nieparzyste Funkcja y = nie jest symetryczna względem osi 0y i względem początku, zatem nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. (funkcja ogólna) 7. Funkcja y \u003d nie ma ekstremów 8. Właściwości stopnia z wykładnikiem rzeczywistym: Niech a > 0; a≠1 Następnie dla xϵR; tyR: Stopień właściwości monotoniczności: Jeśli następnie Jeśli a > 0, to . 9. Względne położenie funkcji Im większa podstawa a, tym bliżej osi x i y a > 1, a = 20 Przykład 1
Lekcja nr2
Temat: Funkcja wykładnicza, jej własności i wykres. Cel: Sprawdź jakość asymilacji pojęcia „funkcji wykładniczej”; kształtowanie umiejętności rozpoznawania funkcji wykładniczej, posługiwania się jej własnościami i wykresami, nauczenie studentów posługiwania się analitycznymi i graficznymi formami zapisu funkcji wykładniczej; zapewnić środowisko pracy w klasie. Sprzęt: tablica, plakaty Formularz lekcji: klasa Rodzaj lekcji: lekcja praktyczna Typ lekcji: lekcja treningu umiejętności Plan lekcji 1. Moment organizacyjny 2. Samodzielna praca i sprawdzanie zadań domowych 3. Rozwiązywanie problemów 4. Podsumowanie 5. Praca domowa Podczas zajęć. 1. Moment organizacyjny
: Cześć. Otwórz zeszyty, zapisz dzisiejszą datę i temat lekcji „Funkcja wykładnicza”. Dzisiaj będziemy kontynuować badanie funkcji wykładniczej, jej właściwości i wykresu. 2. Samodzielna praca i sprawdzanie zadań domowych
.
Cel: sprawdź jakość przyswojenia pojęcia „funkcji wykładniczej” i sprawdź wykonanie części teoretycznej pracy domowej Metoda: zadanie testowe, badanie czołowe Jako zadanie domowe otrzymaliście cyfry z zeszytu zadań i akapit z podręcznika. Nie będziemy teraz sprawdzać wykonania liczb z podręcznika, ale zeszyty oddasz na koniec lekcji. Teraz teoria zostanie sprawdzona w formie małego testu. Zadanie jest takie samo dla wszystkich: dostajesz listę funkcji, musisz dowiedzieć się, które z nich mają charakter orientacyjny (podkreśl je). A obok funkcji wykładniczej musisz napisać, czy rośnie, czy maleje. opcja 1 Odpowiedź B)
D) - wykładniczy, malejący Opcja 2 Odpowiedź D) - wykładniczy, malejący D)
- orientacyjny, rosnący Opcja 3 Odpowiedź A)
- orientacyjny, rosnący B)
- wykładniczy, malejący Opcja 4 Odpowiedź A)
- wykładniczy, malejący W)
- orientacyjny, rosnący Zapamiętajmy teraz razem, jaką funkcję nazywa się wykładniczą? Funkcja postaci , gdzie i nazywana jest funkcją wykładniczą. Jaki jest zakres tej funkcji? Wszystkie liczby rzeczywiste. Jaki jest zakres funkcji wykładniczej? Wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste. Zmniejsza się, jeśli podstawa jest większa niż zero, ale mniejsza niż jeden. Kiedy funkcja wykładnicza maleje w swojej dziedzinie? Zwiększa się, jeśli podstawa jest większa niż jeden. 3. Rozwiązywanie problemów
Cel: kształtowanie umiejętności rozpoznawania funkcji wykładniczej, posługiwania się jej własnościami i wykresami, nauczenie studentów posługiwania się analitycznymi i graficznymi formami zapisu funkcji wykładniczej metoda: demonstracja przez nauczyciela rozwiązywania typowych problemów, praca ustna, praca przy tablicy, praca w zeszycie, rozmowa nauczyciela z uczniami. Właściwości funkcji wykładniczej można wykorzystać przy porównywaniu 2 lub więcej liczb. Na przykład: nr 000. Porównaj wartości i jeśli a) - W) - G) - - Nr 000. Porównaj liczby: a) i Zatem funkcja jest rosnąca Dlaczego ? Zwiększanie funkcji i Zatem funkcja jest malejąca Obie funkcje rosną w całej swojej dziedzinie definicji, ponieważ są wykładnicze o podstawie większej niż jeden. Jaki jest tego sens? Budujemy wykresy: Która funkcja rośnie szybciej podczas wysiłku https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" szerokość="20 wysokość=25" wysokość="25"> Która funkcja maleje szybciej podczas wysiłku https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" szerokość="20 wysokość=25" wysokość="25"> Która z funkcji ma w danym punkcie największą wartość na przedziale? D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif"width="69" height="57 src=">. Najpierw poznajmy zakres tych funkcji. Czy one zbiec się? Tak, dziedziną tych funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste. Nazwij zakres każdej z tych funkcji. Zakresy tych funkcji pokrywają się: wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste. Określ rodzaj monotoniczności każdej z funkcji. Wszystkie trzy funkcje maleją w całej dziedzinie definicji, ponieważ są wykładnicze o podstawie mniejszej niż jeden i większej niż zero. Jaki jest punkt osobliwy wykresu funkcji wykładniczej? Jaki jest tego sens? Niezależnie od podstawy stopnia funkcji wykładniczej, jeśli wykładnik wynosi 0, wówczas wartość tej funkcji wynosi 1. Budujemy wykresy: Przeanalizujmy wykresy. Ile punktów przecięcia ma wykres funkcji? Która funkcja maleje szybciej podczas wysiłku? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Która funkcja rośnie szybciej podczas wysiłku? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Która z funkcji ma w danym punkcie największą wartość na przedziale? Która z funkcji ma w danym punkcie największą wartość na przedziale? Dlaczego funkcje wykładnicze o różnych podstawach mają tylko jeden punkt przecięcia? Funkcje wykładnicze są ściśle monotoniczne w całej swojej dziedzinie definicji, więc mogą przecinać się tylko w jednym punkcie. Następne zadanie skupi się na wykorzystaniu tej właściwości. № 000. Znajdź największą i najmniejszą wartość danej funkcji w danym przedziale a). Przypomnijmy, że funkcja ściśle monotoniczna przyjmuje wartości minimalne i maksymalne na końcach danego przedziału. A jeśli funkcja jest rosnąca, to jej największa wartość będzie na prawym końcu odcinka, a najmniejsza na lewym końcu odcinka (pokaz na plakacie na przykładzie funkcji wykładniczej). Jeżeli funkcja maleje, to jej największa wartość będzie na lewym końcu odcinka, a najmniejsza na prawym końcu odcinka (pokaz na plakacie na przykładzie funkcji wykładniczej). Funkcja rośnie, ponieważ zatem najmniejsza wartość funkcji będzie w punkcie https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" szerokość="145" wysokość="29" > Punkty b) Uczniowie rozwiązują zadanie w swoich notatnikach Funkcja malejąca Funkcja malejąca Funkcja rosnąca - № 000. Znajdź największą i najmniejszą wartość danej funkcji w danym przedziale a) 
2. Rozważ bardziej szczegółowo funkcję wykładniczą:
0
Jeżeli , to funkcja f(x) maleje
Funkcja y= , przy 0
Wynika to z właściwości monotoniczności stopnia z wykładnikiem rzeczywistym.
b > 0; b≠1
Na przykład:
Funkcja wykładnicza jest ciągła w dowolnym punkcie ϵ R.
Jeśli a0, to funkcja wykładnicza przyjmuje postać bliską y = 0.
Jeśli a1, to dalej od osi x i y, a wykres przyjmuje postać bliską funkcji y \u003d 1.
Działka y=
..gif" szerokość="37" wysokość="20 src=">, to jest to dość trudne zadanie: musielibyśmy wziąć pierwiastek sześcienny z 3 i 9 i porównać je. Ale wiemy, że to wzrasta, to znajduje się w swojej kolejce oznacza, że wraz ze wzrostem argumentu wzrasta wartość funkcji, czyli wystarczy nam porównać ze sobą wartości argumentu i oczywiście, że 
(można wykazać na plakacie ze rosnącą funkcją wykładniczą). I zawsze przy rozwiązywaniu takich przykładów najpierw określ podstawę funkcji wykładniczej, porównaj z 1, określ monotoniczność i przystąp do porównywania argumentów. W przypadku funkcji malejącej: wraz ze wzrostem argumentu wartość funkcji maleje, zatem przy przejściu od nierówności argumentów do nierówności funkcji zmienia się znak nierówności. Następnie rozwiązujemy ustnie: b) 
, V) 
d) samodzielnie rozwiążcie zeszyty, my sprawdzimy to ustnie.
największa wartość funkcji w segmencie
najmniejsza wartość funkcji w segmencie
najmniejsza wartość funkcji w segmencie
największa wartość funkcji w segmencie
. To zadanie jest prawie takie samo jak poprzednie. Ale tutaj nie jest podany odcinek, ale promień. Wiemy, że funkcja jest rosnąca i nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości na całej osi liczbowej https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" szerokość="68" wysokość = "20"> i dąży do at , czyli na półprostej funkcja at dąży do 0, ale nie ma najmniejszej wartości, ale największą wartość ma w punkcie 
. Punkty b) 
, V) 
, G) 
Rozwiążcie własne zeszyty, my sprawdzimy to ustnie.
Znajdź wartość wyrażenia dla różnych wymiernych wartości zmiennej x=2; 0; -3; -
Uwaga, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy zamiast zmiennej x, zawsze można znaleźć wartość tego wyrażenia. Rozważamy więc funkcję wykładniczą (y równa się trzy do potęgi x), zdefiniowaną na zbiorze liczb wymiernych: .
Zbudujmy wykres tej funkcji, tworząc tabelę jej wartości.
Narysujmy gładką linię przechodzącą przez te punkty (ryc. 1)
Korzystając z wykresu tej funkcji, rozważ jej właściwości:
3. Przyrosty na całym obszarze definicji.
- zakresie od zera do plus nieskończoności.
8. Funkcja jest wypukła w dół.
Jeśli w jednym układzie współrzędnych buduje się wykresy funkcji; y=(y równa się dwa do potęgi x, y równa się pięć do potęgi x, y równa się siedem do potęgi x), widać, że mają te same właściwości co y=(y równa się trzy do potęgi x) ( Rys. 2), czyli wszystkie funkcje postaci y = (y jest równe a do potęgi x, przy czym jest większa niż jeden) będą miały takie właściwości
Narysujmy funkcję:
1. Sporządzenie tabeli jego wartości.
Uzyskane punkty zaznaczamy na płaszczyźnie współrzędnych.
Narysujmy gładką linię przechodzącą przez te punkty (ryc. 3).
Korzystając z wykresu tej funkcji, wskazujemy jej właściwości:
1. Dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
2. Nie jest ani parzysty, ani nieparzysty.
3. Zmniejszenia w całym zakresie definicji.
4. Nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości.
5. Ograniczone od dołu, ale nie ograniczone od góry.
6. Ciągły w całym zakresie definicji.
7. zakres wartości od zera do plus nieskończoności.
8. Funkcja jest wypukła w dół.
Podobnie, jeśli w jednym układzie współrzędnych buduje się wykresy funkcji; y=(y równa się jednej sekundzie potęgi x, y równa się jednej piątej potęgi x, y równa się jednej siódmej potęgi x), widać, że mają te same właściwości co y=(y równa się jednej trzeciej potęgi potęga x).x) (ryc. 4), czyli wszystkie funkcje postaci y \u003d (y jest równe jedności podzielonej przez a do potęgi x, przy czym jest więcej niż zero, ale mniej niż jeden) mają takie właściwości
Konstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych
oznacza to, że wykresy funkcji y \u003d y \u003d (y jest równe a do potęgi x i y jest równe jedności podzielonej przez a do potęgi x) również będą symetryczne dla tej samej wartości a .
Podsumowujemy to, co zostało powiedziane, podając definicję funkcji wykładniczej i wskazując jej główne właściwości:
Definicja: Funkcja postaci y \u003d, gdzie (y jest równe a do potęgi x, gdzie a jest dodatnie i różne od jedności), nazywana jest funkcją wykładniczą.
Należy pamiętać o różnicach pomiędzy funkcją wykładniczą y= a funkcją potęgową y=, a=2,3,4,…. zarówno pod względem dźwiękowym, jak i wizualnym. Funkcja wykładnicza X jest stopniem oraz dla funkcji potęgowej X jest podstawą.
Przykład 1: Rozwiąż równanie (trzy do potęgi x równa się dziewięć)
(y równa się trzy do potęgi x i y równa się dziewięć) rys.7
Należy zauważyć, że mają one jeden punkt wspólny M (2; 9) (em o współrzędnych dwa; dziewięć), co oznacza, że odcięta punktu będzie pierwiastkiem tego równania. Oznacza to, że równanie ma pojedynczy pierwiastek x = 2.
Przykład 2: Rozwiąż równanie
W jednym układzie współrzędnych skonstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d (y jest równe pięć do potęgi x, a y jest równe jednej dwudziestej piątej) Ryc.8. Wykresy przecinają się w jednym punkcie T (-2; (te ze współrzędnymi minus dwa; jedna dwudziesta piąta). Zatem pierwiastkiem równania jest x \u003d -2 (liczba minus dwa).
Przykład 3: Rozwiąż nierówność
W jednym układzie współrzędnych konstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d
(y równa się trzy do potęgi x i y równa się dwadzieścia siedem).
Rys.9 Wykres funkcji znajduje się nad wykresem funkcji y=kiedy
x Dlatego rozwiązaniem nierówności jest przedział (od minus nieskończoności do trzech)
Przykład 4: Rozwiąż nierówność
W jednym układzie współrzędnych skonstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d (y jest równe jednej czwartej potęgi x, a y jest równe szesnastu). (ryc. 10). Wykresy przecinają się w jednym punkcie K (-2;16). Oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest przedział (-2; (od minus dwa do plus nieskończoności), ponieważ wykres funkcji y \u003d znajduje się poniżej wykresu funkcji w x
Nasze rozumowanie pozwala zweryfikować słuszność następujących twierdzeń:
Terem 1: Jeśli jest prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy m=n.
Twierdzenie 2: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, to nierówność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy (ryc. *)
Twierdzenie 4: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy (Rys.**), nierówność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy Twierdzenie 3: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy m=n.
Przykład 5: Narysuj funkcję y=
Modyfikujemy funkcję, stosując właściwość stopnia y=
Zbudujmy dodatkowy układ współrzędnych i w nowym układzie współrzędnych wykreślimy funkcję y = (y równa się dwa do potęgi x) Rys.11.
Przykład 6: Rozwiąż równanie
W jednym układzie współrzędnych konstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d
(Y równa się siedem do potęgi x, a Y równa się osiem minus x) Ryc.12.
Wykresy przecinają się w jednym punkcie E (1; (e o współrzędnych jeden; siedem). Zatem pierwiastkiem równania jest x = 1 (x równe jeden).
Przykład 7: Rozwiąż nierówność
W jednym układzie współrzędnych konstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d
(Y równa się jednej czwartej potęgi x, a Y równa się x plus pięć). Wykres funkcji y= znajduje się pod wykresem funkcji y=x+5 w, rozwiązaniem nierówności jest przedział x (od minus jeden do plus nieskończoności).