Równania z parametrami: graficzna metoda rozwiązywania
8-9 klas
W artykule omówiono graficzną metodę rozwiązywania niektórych równań z parametrami, która jest bardzo skuteczna, gdy trzeba ustalić, ile pierwiastków ma równanie w zależności od parametru A.
Zadanie 1. Ile pierwiastków ma równanie | | x | – 2 | = A w zależności od parametru A?
Rozwiązanie. W układzie współrzędnych (x; y) nanosimy wykresy funkcji y = | | x | – 2 | i y= A. Wykres funkcji y = | | x | – 2 | pokazany na rysunku.
Wykres funkcji y = a jest linią prostą równoległą do osi Wółu lub z nią pokrywającą się (dla A = 0).
Z rysunku widać, że:
Jeśli A= 0, następnie linia y = A pokrywa się z osią Ox i ma wykres funkcji y = | | x | – 2 | dwa punkty wspólne; oznacza to, że pierwotne równanie ma dwa pierwiastki (w tym przypadku pierwiastki można znaleźć: x 1,2 \u003d q 2).
Jeśli 0< A < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Jeśli A= 2, to prosta y = 2 ma trzy punkty wspólne z wykresem funkcji. Wtedy oryginalne równanie ma trzy pierwiastki.
Jeśli A> 2, to linia y = A będzie miał dwa punkty z wykresem funkcji pierwotnej, czyli równanie to będzie miało dwa pierwiastki.
Jeśli A < 0, то корней нет;
Jeśli A = 0, A> 2, następnie dwa pierwiastki;
Jeśli A= 2, następnie trzy pierwiastki;
jeśli 0< A < 2, то четыре корня.
Zadanie 2. Ile pierwiastków ma równanie | x 2 – 2| x | – 3 | = A w zależności od parametru A?
Rozwiązanie. W układzie współrzędnych (x; y) nanosimy wykresy funkcji y = | x 2 – 2| x | – 3 | i y= A.
Wykres funkcji y = | x 2 – 2| x | – 3 | pokazany na rysunku. Wykres funkcji y = a jest linią prostą równoległą do Ox lub pokrywającą się z nią (kiedy A = 0).
Z rysunku widać:
Jeśli A= 0, następnie linia y = A pokrywa się z osią Ox i ma wykres funkcji y = | x2-2| x | – 3 | dwa punkty wspólne oraz linię y = A będzie miał wykres funkcji y = | x 2 – 2| x | – 3 | dwa punkty wspólne A> 4. Stąd dla A= 0 i A> 4 pierwotne równanie ma dwa pierwiastki.
Jeśli 0< A < 3, то прямая y = A ma wykres funkcji y = | x 2 – 2| x | – 3 | cztery punkty wspólne oraz prostą y= A będzie miał cztery punkty wspólne z wykresem skonstruowanej funkcji w A= 4. Zatem przy 0< A < 3, A= 4 pierwotne równanie ma cztery pierwiastki.
Jeśli A= 3, następnie linia y = A przecina wykres funkcji w pięciu punktach; dlatego równanie ma pięć pierwiastków.
Jeśli 3< A < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Jeśli A < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
Jeśli A < 0, то корней нет;
Jeśli A = 0, A> 4, następnie dwa pierwiastki;
jeśli 0< A < 3, A= 4, następnie cztery pierwiastki;
Jeśli A= 3, następnie pięć pierwiastków;
jeśli 3< A < 4, то шесть корней.
Zadanie 3. Ile pierwiastków ma równanie
w zależności od parametru A?
Rozwiązanie. Konstruujemy w układzie współrzędnych (x; y) wykres funkcji 
ale najpierw zapiszmy to w postaci:
Linie x = 1, y = 1 są asymptotami wykresu funkcji. Wykres funkcji y = | x | + A otrzymany z wykresu funkcji y = | x | przesunięte o jednostki wzdłuż osi Oy.
Wykresy funkcji 
przecinają się w jednym punkcie w A> – 1; stąd równanie (1) dla tych wartości parametru ma jedno rozwiązanie.
Na A = – 1, A= – 2 wykresy przecinają się w dwóch punktach; stąd dla tych wartości parametru równanie (1) ma dwa pierwiastki.
O - 2< A < – 1, A < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
Jeśli A> – 1, wtedy jedno rozwiązanie;
Jeśli A = – 1, A= – 2, wtedy dwa rozwiązania;
jeśli - 2< A < – 1, A < – 1, то три решения.
Komentarz. Rozwiązując równanie (1) zadania 3, należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek, gdy A= - 2, gdyż punkt (- 1; - 1) nie należy do wykresu funkcji 
ale należy do wykresu funkcji y = | x | + A.
Przejdźmy do rozwiązania innego problemu.
Zadanie 4. Ile pierwiastków ma równanie
x + 2 = A| x – 1 | (2)
w zależności od parametru A?
Rozwiązanie. Zauważ, że x = 1 nie jest pierwiastkiem tego równania, ponieważ równość 3 = A Wartość 0 nie może być prawdziwa dla żadnej wartości parametru A. Obie strony równania dzielimy przez | x – 1 |(| x – 1 | Nr 0), wówczas równanie (2) przyjmie postać 
W układzie współrzędnych xOy wykreślamy funkcję 
Wykres tej funkcji pokazano na rysunku. Wykres funkcji y = A jest linią prostą równoległą do osi Wołu lub zbiegającą się z nią (np A = 0).
Jeśli A J - 1, wtedy nie ma korzeni;
jeśli - 1< AЈ 1, potem jeden pierwiastek;
Jeśli A> 1, to są dwa pierwiastki.
Rozważ najbardziej złożone równanie.
Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru A równanie
A x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
ma trzy rozwiązania?
Rozwiązanie. 1. Wartością kontrolną parametru tego równania będzie liczba A= 0, przy czym równanie (3) przyjmuje postać 0 + | x – 1 | = 0, skąd x = 1. Zatem dla A= 0 równanie (3) ma jeden pierwiastek, co nie spełnia warunku problemu.
2. Rozważmy przypadek, kiedy A № 0.
Przepiszmy równanie (3) w następującej postaci: A x 2 = - | x – 1 |. Należy pamiętać, że równanie będzie miało rozwiązania tylko dla: A < 0.
W układzie współrzędnych xOy nanosimy wykresy funkcji y = | x – 1 | i y= A x 2 . Wykres funkcji y = | x – 1 | pokazany na rysunku. Wykres funkcji y = A x 2 jest parabolą, której gałęzie są skierowane w dół, ponieważ A < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
Równanie (3) będzie miało trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy prosta y = – x + 1 jest styczna do wykresu funkcji y= A x 2 .
Niech x 0 będzie odciętą punktu styku z prostą y = - x + 1 z parabolą y = A x 2 . Równanie styczne ma postać
y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).
Zapiszmy warunki dotyku:
Równanie to można rozwiązać bez korzystania z pojęcia pochodnej.
Rozważmy inny sposób. Korzystamy z faktu, że jeśli prosta y = kx + b ma jeden punkt wspólny z parabolą y = A x 2 + px + q, a następnie równanie A x 2 + px + q = kx + b musi mieć jednoznaczne rozwiązanie, czyli jego wyróżnik wynosi zero. W naszym przypadku mamy równanie A x 2 \u003d - x + 1 ( A nr 0). Dyskryminator równania
Zadania do samodzielnego rozwiązania
6. Ile pierwiastków ma równanie w zależności od parametru A?
1)| | x | – 3 | = A;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = A;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = A;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = A.
1) jeśli A<0, то корней нет; если A=0, A>3, następnie dwa pierwiastki; Jeśli A=3, następnie trzy pierwiastki; jeśli 0<A<3, то четыре корня;
2) jeśli A<1, то корней нет; если A=1, to nieskończony zbiór rozwiązań z odcinka [– 2; - 1]; Jeśli A> 1, to dwa rozwiązania;
3) jeśli A<0, то корней нет; если A=0, A<3, то четыре корня; если 0<A<1, то восемь корней; если A=1, następnie sześć pierwiastków; Jeśli A=3, następnie trzy rozwiązania; Jeśli A>3, to dwa rozwiązania;
4) jeśli A<0, то корней нет; если A=0, 4<A<5, то четыре корня; если 0<A< 4, то восемь корней; если A=4, następnie sześć pierwiastków; Jeśli A=5, następnie trzy pierwiastki; Jeśli A>5, następnie dwa pierwiastki.
7. Ile pierwiastków ma równanie | x + 1 | = A(x – 1) w zależności od parametru A?
Instrukcja. Ponieważ x = 1 nie jest pierwiastkiem równania, równanie to można sprowadzić do postaci 
.
Odpowiedź: jeśli A J-1, A > 1, A=0, następnie jeden pierwiastek; jeśli - 1<A<0, то два корня; если 0<AЈ 1, wtedy nie ma korzeni.
8. Ile pierwiastków ma równanie x + 1 = A| x – 1 | w zależności od parametru A?
Zbuduj wykres (patrz rysunek).
Odpowiedź: jeśli AЈ –1, wtedy nie ma korzeni; jeśli - 1<AЈ 1, potem jeden pierwiastek; Jeśli A>1, to są dwa pierwiastki.
9. Ile pierwiastków ma równanie
2| x | – 1 = a(x – 1)
w zależności od parametru A?
Instrukcja. Doprowadź równanie do postaci 
Odpowiedź: jeśli A J-2, A>2, A=1, następnie jeden pierwiastek; jeśli -2<A<1, то два корня; если 1<AЈ 2, wtedy nie ma korzeni.
10. Ile pierwiastków ma równanie
w zależności od parametru A?
Odpowiedź: jeśli AЈ 0, A i 2, potem jeden pierwiastek; jeśli 0<A<2, то два корня.
11. Przy jakich wartościach parametru A równanie
x2+ A| x – 2 | = 0
ma trzy rozwiązania?
Instrukcja. Doprowadź równanie do postaci x 2 = - A| x - 2 |.
Odpowiedź: kiedy AЈ -8.
12. Przy jakich wartościach parametru A równanie
A x 2 + | x + 1 | = 0
ma trzy rozwiązania?
Instrukcja. Skorzystaj z zadania 5. To równanie ma trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy równanie A x 2 + x + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie i przypadek A= 0 nie spełnia warunku problemu, czyli przypadek pozostaje gdy 
13. Ile pierwiastków ma równanie
x | x – 2 | = 1 - A
w zależności od parametru A?
Instrukcja. Doprowadź równanie do postaci –x |x – 2| + 1 = A
w zależności od parametru A?
Instrukcja. Utwórz wykresy lewej i prawej części tego równania.
Odpowiedź: jeśli A<0, A>2, następnie dwa pierwiastki; jeśli 0Ј AЈ 2, potem jeden pierwiastek.
16. Ile pierwiastków ma równanie
w zależności od parametru A?
Instrukcja. Utwórz wykresy lewej i prawej części tego równania. Aby wykreślić funkcję 
znajdź przedziały stałości wyrażeń x + 2 i x:
Odpowiedź: jeśli A>– 1, wtedy jedno rozwiązanie; Jeśli A= – 1, wtedy dwa rozwiązania; jeśli - 3<A<–1, то четыре решения; если AЈ –3, następnie trzy rozwiązania.
2. Wyznaczanie nieznanych parametrów rozkładu.
Za pomocą histogramu możemy w przybliżeniu zbudować wykres gęstości rozkładu zmiennej losowej. Wygląd tego wykresu często pozwala przyjąć założenia dotyczące gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Wyrażenie tej gęstości rozkładu zwykle zawiera pewne parametry, które należy określić na podstawie danych eksperymentalnych.
Zatrzymajmy się na konkretnym przypadku, gdy gęstość rozkładu zależy od dwóch parametrów.
Więc pozwól x 1 , x 2 , ..., x n są obserwowanymi wartościami ciągłej zmiennej losowej i niech gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zależy od dwóch nieznanych parametrów A I B, tj. wygląda jak . Jedna z metod znajdowania nieznanych parametrów A I B polega na tym, że są one dobrane w taki sposób, aby matematyczne oczekiwanie i wariancja rozkładu teoretycznego pokrywały się ze średnią i wariancją próbki:
 |
(66) |
 |
(67) |
Z dwóch uzyskanych równań () znajdź nieznane parametry A I B. Na przykład, jeśli zmienna losowa jest zgodna z prawem normalnego rozkładu prawdopodobieństwa, wówczas gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jest jej równa
zależy od dwóch parametrów A I . Parametry te, jak wiemy, to odpowiednio oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe zmiennej losowej; więc równa się () zostanie zapisane w ten sposób:
 |
(68) |
Dlatego gęstość rozkładu prawdopodobieństwa ma postać
Uwaga 1. Rozwiązaliśmy już ten problem w . Wynik pomiaru jest zmienną losową spełniającą prawo rozkładu normalnego wraz z parametrami A I . Dla przybliżenia A wybieramy wartość, a dla wartości przybliżonej - wartość.
Uwaga 2. Przy dużej liczbie eksperymentów znalezienie wartości i użycie wzorów () wiąże się z uciążliwymi obliczeniami. Dlatego zachowują się następująco: każda z obserwowanych wartości wielkości, na którą przypada I-ty interwał ] X i-1 , X i [ szereg statystyczny, uważa się w przybliżeniu za równy środkowi c ja ten odstęp, tj. c ja \u003d (X i-1 + X i) / 2. Rozważmy pierwszy interwał ] X 0 , X 1 [. Został trafiony m 1 zaobserwowane wartości zmiennej losowej, z których każdą zastępujemy liczbą od 1. Dlatego suma tych wartości jest w przybliżeniu równa m 1 s 1. Podobnie suma wartości, które wpadły w drugi przedział, jest w przybliżeniu równa m 2 s 2 itp. Dlatego
W podobny sposób otrzymujemy przybliżoną równość
Więc pokażmy to
 |
(71) |
Równania z parametrami słusznie uważane są za jedno z najtrudniejszych zadań w matematyce szkolnej. To właśnie te zadania z roku na rok wpadają na listę zadań typu B i C na jednolitym egzaminie państwowym Unified State Examination. Jednak wśród dużej liczby równań z parametrami znajdują się takie, które można łatwo rozwiązać graficznie. Rozważmy tę metodę na przykładzie rozwiązania kilku problemów.
Znajdź sumę wartości całkowitych a, dla których równanie |x 2 – 2x – 3| = a ma cztery pierwiastki.
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na pytanie, konstruujemy wykresy funkcji na jednej płaszczyźnie współrzędnych
y = |x 2 – 2x – 3| i y = a.
Wykres pierwszej funkcji y = |x 2 – 2x – 3| zostanie uzyskany z wykresu paraboli y = x 2 - 2x - 3 poprzez wyświetlenie symetrycznie względem osi odciętych części wykresu znajdującej się poniżej osi Ox. Część wykresu powyżej osi x pozostanie niezmieniona.
Zróbmy to krok po kroku. Wykres funkcji y \u003d x 2 - 2x - 3 to parabola, której gałęzie są skierowane w górę. Aby zbudować jego wykres, znajdujemy współrzędne wierzchołka. Można to zrobić za pomocą wzoru x 0 = -b / 2a. Zatem x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Aby znaleźć współrzędną góry paraboli wzdłuż osi y, otrzymaną wartość podstawiamy za x 0 do równania rozważanej funkcji. Otrzymujemy, że y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -4).
Następnie musisz znaleźć punkty przecięcia gałęzi paraboli z osiami współrzędnych. W punktach przecięcia gałęzi paraboli z osią odciętych wartość funkcji wynosi zero. Dlatego rozwiązujemy równanie kwadratowe x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Jego pierwiastkami będą pożądane punkty. Z twierdzenia Viety mamy x 1 = -1, x 2 = 3.
W punktach przecięcia gałęzi paraboli z osią y wartość argumentu wynosi zero. Zatem punkt y = -3 jest punktem przecięcia gałęzi paraboli z osią y. Powstały wykres pokazano na rysunku 1.
Aby otrzymać wykres funkcji y = |x 2 - 2x - 3|, wyświetlimy część wykresu znajdującą się poniżej osi x, symetrycznie względem osi x. Powstały wykres pokazano na rysunku 2.
Wykres funkcji y = a jest linią prostą równoległą do osi x. Pokazano to na rysunku 3. Korzystając z rysunku i stwierdzamy, że wykresy mają cztery punkty wspólne (a równanie ma cztery pierwiastki), jeśli a należy do przedziału (0; 4).
Wartości całkowite liczby a z otrzymanego przedziału: 1; 2; 3. Aby odpowiedzieć na pytanie, znajdźmy sumę tych liczb: 1 + 2 + 3 = 6.
Odpowiedź: 6.
Znajdź średnią arytmetyczną wartości całkowitych liczby a, dla której równanie |x 2 – 4|x| – 1| = a ma sześć pierwiastków.
Zacznijmy od wykreślenia funkcji y = |x 2 – 4|x| – 1|. Aby to zrobić, używamy równości a 2 = |a| 2 i wybierz pełny kwadrat w wyrażeniu podmodułu zapisanym po prawej stronie funkcji:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.
Wtedy oryginalna funkcja będzie wyglądać tak: y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
Aby zbudować wykres tej funkcji budujemy kolejno wykresy funkcji:
1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabola z wierzchołkiem w punkcie o współrzędnych (2; -5); (ryc. 1).
2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - część paraboli skonstruowanej w ust. 1, która znajduje się na prawo od osi rzędnych, jest symetrycznie wyświetlana na lewo od osi Oy; (ryc. 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - część wykresu skonstruowana w ust. 2, znajdująca się poniżej osi x, jest wyświetlana symetrycznie względem osi odciętych w górę. (ryc. 3).
Rozważ powstałe rysunki:
Wykres funkcji y = a jest linią prostą równoległą do osi x.
Korzystając z rysunku, wnioskujemy, że wykresy funkcji mają sześć punktów wspólnych (równanie ma sześć pierwiastków), jeśli a należy do przedziału (1; 5).
Można to zobaczyć na poniższym rysunku:
Znajdź średnią arytmetyczną wartości całkowitych parametru a:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Odpowiedź: 3.
stronie, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału wymagany jest link do źródła.
Aby w pełni ujawnić możliwości tej metody, rozważymy główne rodzaje problemów.
Przykładowe zadania rozwijające wiedzę i umiejętności rozwiązywania problemów z parametrami metodą graficzną (płaszczyzna współrzędnych)
Ćwiczenie 1.
Przy jakich wartościachArównanie = ma dwa pierwiastki?
Rozwiązanie.
Przechodzimy do układu równoważnego:
Układ ten definiuje krzywą na płaszczyźnie współrzędnych (;). Oczywiste jest, że wszystkie punkty tego łuku paraboli (i tylko one) mają współrzędne spełniające pierwotne równanie. Zatem liczba rozwiązań równania dla każdej ustalonej wartości parametru, jest równa liczbie punktów przecięcia krzywej z linią poziomą odpowiadającą wartości tego parametru.
Oczywiście dla wskazanych prostych wykres przecina się w dwóch punktach, co jest równoznaczne z pierwotnym równaniem mającym dwa pierwiastki.
Odpowiedź: Na.
Zadanie 2.
Znajdź wszystkie wartości a, dla których system ma unikalne rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Przepiszmy oryginalny system w tej formie:
Wszystkie rozwiązania tego układu (pary widoków) tworzą obszar pokazany na rysunku poprzez kreskowanie. Wymóg jednoznaczności rozwiązania tego układu na język graficzny przekłada się następująco: linie poziome muszą mieć tylko jeden punkt wspólny z otrzymaną powierzchnią. Łatwo zauważyć, że tylko linie prostei spełniają podane wymagania.
Odpowiedź: Lub.
Dwa właśnie przeanalizowane problemy pozwalają nam podać bardziej szczegółowe zalecenia w porównaniu do tych podanych wcześniej:
spróbuj wyrazić parametr poprzez zmienną, czyli uzyskaj wtedy równość formy
wykreślić funkcję na płaszczyźnie.
Zadanie 3.
Przy jakich wartościachA czy równanie ma dokładnie trzy pierwiastki?
Rozwiązanie.
Mamy
Wykres tego zbioru jest sumą „narożnika” i paraboli. Oczywiście tylko linia przecina powstały związek w trzech punktach.
Odpowiedź: .
Komentarz: Zwykle bierze się pod uwagę parametr jako stały, ale nieznany numer. Tymczasem z formalnego punktu widzenia parametr jest zmienną, która w dodatku jest „równa” z innymi występującymi w zadaniu. W tym widoku parametru formularza funkcje są definiowane nie za pomocą jednej, ale dwóch zmiennych.
Zadanie 4.
Znajdź wszystkie wartości parametrów, dla których równanie ma jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik ułamka jest równy zero, a mianownik jest różny od zera.
Znajdowanie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
Korzystając z powstałego układu, łatwo jest wykreślić pierwotne równanie. To obecność „przebić” na tym wykresie pozwala i = mieć unikalne rozwiązanie równania. Jest to czynnik decydujący o podjęciu decyzji.
Odpowiedź: I.
Zadanie 5.
Przy jakich wartościach parametruA równanie ma unikalne rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Napiszmy układ równoważny pierwotnemu równaniu
Stąd dostajemy
Budujemy wykres i rysujemy linie proste prostopadłe do osiA .
Dwie pierwsze nierówności układu definiują zbiór punktów pokazanych poprzez kreskowanie, przy czym zbiór ten nie zawiera hiperboli i.
Następnie odcinek i promień, odcinek i promień, leżące odpowiednio na liniach i , są wykresem pierwotnego równania. Jednym z rozwiązań będzie, jeśli 2< < или < или = .
Odpowiedź : 2 < < или < или = .
Zadanie 6.
Znajdź wszystkie wartości parametrówA , dla którego równanie
ma dokładnie dwa różne rozwiązania
Rozwiązanie.
Rozważmy zestaw dwóch systemów
Jeśli , To.
Jeśli < , To.
Stąd
Lub
Parabole i linia prosta mają dwa punkty wspólne:A (-2; - 2), W(-1; -1), ponadto W jest wierzchołkiem pierwszej paraboli,D - góra drugiego. Zatem wykres pierwotnego równania pokazano na rysunku.
Muszą być dokładnie dwa różne rozwiązania. Robi się to za pomocą lub.
Odpowiedź: Lub.
Zadanie 7.
Znajdź zbiór wszystkich liczb, dla każdej z nich równanie
ma tylko dwa różne korzenie.
Rozwiązanie.
Zapiszmy to równanie w postaci
Pierwiastki równania, pod warunkiem, że.
Budujemy wykres tego równania. W takim przypadku wygodnie jest zbudować wykres, przypisując zmiennej oś Y. Tutaj „czytamy” odpowiedź za pomocą pionowych linii, otrzymujemy, że to równanie ma tylko dwa różne pierwiastki w = -1 lub lub.
Mówią to przerywane linie.
Odpowiedź: przy = -1 lub lub.
Zadanie 8.
Dla którego zbiór rozwiązań nierówności zawiera lukę.
Rozwiązanie.
Napiszmy zbiór dwóch układów, który jest równoważny pierwotnemu równaniu:
Lub
Ponieważ w rozwiązaniu pierwszego układu też nieA segmentu nie można uwzględnić, wówczas przeprowadzimy niezbędne badania dla drugiego systemu.
Mamy
Oznaczać . Wtedy postać ma druga nierówność układu< - i definiuje zbiór pokazany na rysunku na płaszczyźnie współrzędnych.
Za pomocą rysunku ustalamy, że dla powstałego zbioru znajdują się wszystkie punkty, odcięte, w których przebiegają wszystkie wartości przedziału
Potem stąd.
Odpowiedź : .
Zadanie 9.
Znajdź wszystkie liczby nieujemne, dla których istnieje jedna liczba spełniająca system
Rozwiązanie.
Mamy
Pierwsze równanie na płaszczyźnie współrzędnych definiuje rodzinę linii pionowych. Linie proste i płaszczyzny dzielą się na cztery obszary. Niektóre z nich są rozwiązaniami nierówności układu. W szczególności, które można ustalić, pobierając punkt próbny z każdego obszaru. Obszar, którego punkt spełnia nierówność, jest jej rozwiązaniem (technika ta jest związana z metodą przedziałów przy rozwiązywaniu nierówności z jedną zmienną). Budujemy linie proste
Na przykład bierzemy punkt i zastępujemy go Współrzędne punktu spełniają nierówność.
Otrzymujemy dwa obszary (I) I ( II), ale biorąc pod uwagę, że pod warunkiem, bierzemy tylko obszar (I). Budujemy linie proste , k .
Zatem pierwotny układ spełniają wszystkie punkty (i tylko one) leżące na promieniach i zaznaczone na rysunku pogrubionymi liniami (czyli budujemy punkty na danym obszarze).
Teraz musimy znaleźć ten jedyny, który będzie naprawiony. Narysuj linie równoległe przecinające oś. i znajdź miejsce, w którym będzie jeden punkt przecięcia z linią.
Z rysunku dowiadujemy się, że wymóg jednoznaczności rozwiązania jest spełniony jeżeli (już za 2 punkty)
gdzie jest rzędną punktu przecięcia linii i,
gdzie jest rzędną punktu przecięcia linii i.
Więc otrzymujemy< .
Odpowiedź: < .
Zadanie 10.
Przy jakich wartościach parametru a układ ma rozwiązania?
Rozwiązanie.
Rozkładamy na czynniki lewą stronę nierówności układu i mamy
Budujemy linie proste i Na rysunku pokazujemy poprzez zacienienie zbioru punktów płaszczyzny spełniających nierówność układu.
Budujemy hiperbolę = .
Wtedy odcięte wyróżnionych łuków hiperboli są rozwiązaniami układu pierwotnego.M , P , N , Q - punkty węzłowe. Znajdźmy ich odcięte.
Za punkty P , Q mamy
Pozostaje zapisać odpowiedź: lub.
Odpowiedź: Lub.
Zadanie 11.
Znajdź wszystkie wartości, dla których dowolne rozwiązanie nierówności nie przekracza dwóch w wartości bezwzględnej ().
Rozwiązanie .
Zapiszmy tę nierówność w tej postaci. Konstruujemy wykresy równań i =.
Stosując „metodę przedziałową” ustalamy, że zacienione obszary będą rozwiązaniem pierwotnej nierówności.
Teraz budujemy teren i zobacz, która jego część mieści się w zacienionym obszarze.
Te. teraz, jeśli dla jakiejś ustalonej wartości linia na przecięciu z otrzymanym obszarem daje tylko punkty, których odcięte spełniają warunek < 2, to jest jedna z wymaganych wartości parametru.
Więc to widzimy.
Odpowiedź: .
Zadanie 12.
Dla jakich wartości parametru zbiór rozwiązań nierówności zawiera co najwyżej cztery wartości całkowite?
Rozwiązanie.
Sprowadźmy tę nierówność do postaci Ta nierówność jest równoważna kombinacji dwóch systemów
Lub
Korzystając z tego zbioru, przedstawiamy rozwiązanie pierwotnej nierówności.
Narysujmy linie proste, gdzie. Wtedy pożądana będzie wartość, dla której prosta przecina linie co najwyżej w czterech punktach z zaznaczonego zbioru. Widzimy więc, że albo.
Odpowiedź: albo albo.
Zadanie 13.
Przy jakich wartościach parametruA ma system rozwiązań
Rozwiązanie.
Pierwiastki trójmianu kwadratowego i.
Następnie
Budujemy linie proste i
Metodą „przedziałów” znajdujemy rozwiązanie nierówności układu (obszar zacieniony).
Ta część koła o środku w początku układu i promieniu 2, która wpada w zacieniony obszar i będzie rozwiązaniem tego układu. .
Wartości i znajdź z systemu
Wartości i - z systemu.
Odpowiedź:
Zadanie 14.
W zależności od wartości parametrówA rozwiązać nierówność > .
Rozwiązanie.
Zapiszmy tę nierówność w postaci i rozważmy funkcję, które rozwijając moduły zapisujemy następująco:
Budujemy wykres. Wykres dzieli płaszczyznę współrzędnych na dwa obszary. Biorąc m. (0; 0) i podstawiając i do pierwotnej nierówności, otrzymujemy, że 0 > 1, a zatem pierwotna nierówność jest spełniona w obszarze leżącym nad wykresem.
Bezpośrednio z rysunku otrzymujemy:
brak rozwiązań;
Na ;
Na.
Odpowiedź: brak rozwiązań;
Na ;
Na.
Zadanie 15.
Znajdź wszystkie wartości parametru, dla którego występuje układ nierówności
tylko jeden jest zadowolony.
Rozwiązanie.
Przepiszmy ten system w następującej postaci:
Skonstruujmy obszar określony przez ten układ.
1) , jest wierzchołkiem paraboli.
2) jest linią prostą przechodzącą przez punkty i.
Wymóg niepowtarzalności rozwiązania przekłada się na język graficzny w następujący sposób: linie poziome z otrzymaną powierzchnią muszą mieć tylko jeden punkt wspólny. Powyższy wymóg spełniają proste i gdzie jest rzędną punktu przecięcia paraboli z prostą.
Znajdźmy wartość:
= (nie pasuje do znaczenia problemu),
Znajdujemy rzędną:
Odpowiedź: ,
Zadanie 16.
Znajdź wszystkie wartości parametrówA, w ramach którego system nierówności
spełnia tylko jeden x.
Rozwiązanie .
Konstruujmy parabole i pokażmy rozwiązanie ostatniego układu poprzez cieniowanie.
1) , .
2) , .
Z rysunku widać, że warunek problemu jest spełniony dla lub.
Odpowiedź: Lub.
Zadanie 17.
Dla jakich wartości równanie ma dokładnie trzy pierwiastki?
Rozwiązanie.
To równanie jest równoważne zbiorowi
Wykres populacji jest sumą wykresów paraboli i kątów.
Linie przecinają powstały związek w trzech punktach.
Odpowiedź: Na.
Zadanie 18.
Dla jakich wartości równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
Rozwiązanie.
Przekształćmy lewą stronę tego równania. Otrzymujemy równanie kwadratowe dla.
Otrzymujemy równanie
co jest równoważne sumie
Rozwiązaniem zbioru jest suma wykresów paraboli.
Znajdź rzędne punktów przecięcia paraboli:
Niezbędne informacje odczytujemy z rysunku: to równanie ma trzy rozwiązania dla lub
Odpowiedź: w lub
Zadanie 19.
W zależności od parametru określ liczbę pierwiastków równania
Rozwiązanie .
Rozważ to równanie jako równanie kwadratowe w odniesieniu do a.
,
.
Dostajemy zestaw
Budujemy wykresy równań zbioru i odpowiadamy na pytanie problemu.
Odpowiedź:: brak rozwiązań;
: jedno rozwiązanie;
: dwa rozwiązania;
lub: trzy rozwiązania;
lub: cztery rozwiązania.
Zadanie 20.
Ile rozwiązań ma ten układ
Rozwiązanie.
Oczywiste jest, że liczba pierwiastków drugiego równania układu jest równa liczbie rozwiązań samego układu.
Mamy .
Rozważając to równanie jako kwadratowe, otrzymujemy zbiór.
Teraz odniesienie się do płaszczyzny współrzędnych ułatwia zadanie. Współrzędne punktów przecięcia znajdujemy rozwiązując równanie
Stąd
Wierzchołki paraboli i.
Odpowiedź: : cztery rozwiązania;
: dwa rozwiązania;
: jedno rozwiązanie;
: brak rozwiązań.
Zadanie 21.
Znajdź wszystkie rzeczywiste wartości parametru, dla których równanie ma tylko dwa różne pierwiastki. Zapisz te korzenie.
Rozwiązanie .
Znajdźmy pierwiastki trójmianu kwadratowego w nawiasach:
Przedstawiamy zbiór rozwiązań tego równania w płaszczyźnie współrzędnych, rysując wykresy pod warunkiem, że
Niezbędne informacje odczytujemy z obrazka. Zatem to równanie ma dwa różne pierwiastki w (u) i w (u)
Odpowiedź: z (i) i
w (i).
Zadanie 2 2 .
Rozwiąż układ nierówności:
Rozwiązanie.
Budujemy wykresy płaskie paraboli i linii prostej.
Wszystkie punkty zacienionego obszaru są rozwiązaniem układu. Podzielmy zbudowany obszar na dwie części.
Jeśli i, to nie ma rozwiązań.
Jeżeli, to odcięte punktów zacieniowanego obszaru będą większe od odciętych punktów prostej, ale mniejsze niż odcięte (większy pierwiastek równania) paraboli.
Wyrażamy poprzez równanie prostej:
Znajdźmy pierwiastki równania:
Następnie.
Jeśli następnie.
Odpowiedź: dla i 1 nie ma rozwiązań;
Na;
Na.
Zadanie 23.
Rozwiązać układ nierówności
Rozwiązanie.
– wierzchołek paraboli.
Wierzchołek paraboli.
Znajdź odcięte punktów przecięcia paraboli:
Zacieniony obszar to rozwiązanie układu. Podzielmy to na dwie części.
W równaniach paraboli wyrażamy poprzez:
Zapisujemy odpowiedź:
jeśli i, to nie ma rozwiązań;
Jeśli następnie< ;
Jeśli następnie.
Zadanie 24.
Przy jakich wartościach i równaniu nie ma rozwiązań?
Rozwiązanie.
Równanie jest równoważne systemowi
Skonstruujmy zbiór rozwiązań układu.
Rozwiązaniem tego równania są trzy części paraboli.
Znajdźmy pod którym i wykluczmy to.
Tak więc, ponieważ nie ma rozwiązań;
gdy nie ma rozwiązań;
(uwaga: co do resztyAjest jedno lub dwa rozwiązania).
Odpowiedź: ; .
Zadanie 25.
Dla jakich rzeczywistych wartości parametru istnieje przynajmniej taki, który spełnia warunki:
Rozwiązanie.
Rozwiążmy graficznie nierówność metodą przedziałową i zbudujmy wykres. Zobaczmy, która część wykresu należy do obszaru skonstruowanego w celu rozwiązania nierówności i znajdź odpowiednie wartościA.
Budujemy wykresy linii i
Dzielą płaszczyznę współrzędnych na 4 obszary.
Rozwiążmy graficznie ostatnią nierówność, stosując „metodę przedziałową”.
Zacieniony obszar to rozwiązanie. Część wykresu paraboli mieści się w tym obszarze. W przerwie; (według warunku nierówność układu jest ścisła) istnieją spełniające warunki danego układu.
Odpowiedź:
Zadanie 26.
Znajdź wszystkie wartości parametru, dla których zbiór rozwiązań nierówności nie zawiera żadnych rozwiązań nierówności.
Rozwiązanie.
Skonstruujmy zbiór rozwiązań nierówności („metodą przedziałów”). Następnie zbudujemy „pasmo” Pożądanych wartości parametruQ takie, dla których żaden z punktów wskazanych obszarów nie należy do „pasa”
Odpowiedź: Lub.
Zadanie 27.
Dla jakich wartości parametru równanie ma unikalne rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Rozłóżmy licznik ułamka na czynniki.
To równanie jest równoważne układowi:
Zbudujmy wykres populacji w płaszczyźnie współrzędnych.
Lub
– punkt przecięcia linii i. Wykres populacji jest sumą linii.
„Wybijamy” punkty wykresu za pomocą odciętych.
Rysujemy linie proste i sprawdzamy, gdzie jest jeden punkt przecięcia z wykresem.
Jest oczywiste, że tylko dla lub to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie.
Odpowiedź: Lub.
Zadanie 28.
Dla jakich rzeczywistych wartości parametru układ nierówności nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie.
Zbiór punktów na płaszczyźnie zacieniowanego obszaru spełnia zadany układ nierówności.
Budujemy linie proste. Z rysunku stwierdzamy, że dla (- odciętej punktu przecięcia hiperboli i linii) linie nie przecinają zacieniowanego obszaru.
Odpowiedź: Na.
Zadanie 29.
Przy jakich wartościach parametruA system posiada unikalne rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Przejdźmy do układu równoważnego podanemu.
W płaszczyźnie współrzędnych wykreślamy odpowiednio wykresy paraboli i wierzchołków paraboli, punkty i.
Oblicz odcięte punktów przecięcia paraboli, rozwiązując równanie
Zacieniony obszar jest rozwiązaniem układu nierówności. Bezpośrednie i
ma jeden punkt wspólny z zacienionym obszarem.
Odpowiedź: w I.
Zadanie 30.
Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie.
W zależności od parametru znajdujemy wartość.
Nierówność rozwiążemy „metodą przedziałową”.
Zbudujmy parabole
: .
Oblicz współrzędne punktu przecięcia paraboli:
Punkty zacienionego obszaru spełniają tę nierówność. Rysując linię prostą dzielimy ten obszar na trzy części.
1) Jeśli, to nie ma rozwiązań.
2) Jeśli, to w równaniu wyrażamy przez:
Zatem w okolicyI mamy.
Jeśli, to spójrz:
a) obszar II .
Wyrażamy w równaniu poprzez.
mniejszy korzeń,
Większy korzeń.
A więc w okolicy II mamy.
b) obszar III : .
Odpowiedź: gdy nie ma rozwiązań;
Na
Na, .
Literatura:
Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbiór problemów algebry dla klas 8-9: Podręcznik dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki - wyd. 2. – M.: Oświecenie, 1994.
P. I. Gorshtein, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Zadania z parametrami. Wydanie trzecie, powiększone i poprawione. - M.: Ileksa, Charków: Gimnazjum, 2003.
Faddeev D. K. Algebra 6 - 8. - M.: Edukacja, 1983 (b - ka nauczyciel matematyki).
A. H. Szachmeister. Równania i nierówności z parametrami. Pod redakcją BG Ziva. C – Petersburg. Moskwa. 2004.
V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Zadania z parametrami Mińsk „Asar”, 2002.
A. H. Szachmeister. Zadania z parametrami na egzaminie. Wydawnictwo Uniwersytetu Moskiewskiego, CheRo nad Newą MCNMO.