Pole figury geometrycznej- numeryczna charakterystyka figury geometrycznej pokazująca wielkość tej figury (część powierzchni ograniczona zamkniętym konturem tej figury). Wielkość obszaru wyraża się liczbą zawartych w nim jednostek kwadratowych.
Wzory na pole trójkąta
- Wzór na pole trójkąta na bok i wysokość
Pole trójkąta równa połowie iloczynu długości boku trójkąta i długości wysokości poprowadzonej na ten bok - Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu opisanego
- Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu wpisanego
Pole trójkąta jest równy iloczynowi półobwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego. gdzie S jest polem trójkąta,
- długości boków trójkąta,
- wysokość trójkąta,
- kąt między bokami i,
- promień okręgu wpisanego,
R - promień opisanego okręgu,
Wzory na pole kwadratu
- Wzór na pole kwadratu według długości boku
Powierzchnia kwadratowa równy kwadratowi długości jego boku. - Wzór na pole kwadratu wzdłuż przekątnej
Powierzchnia kwadratowa równy połowie kwadratu długości jego przekątnej.S= 1 2 2 gdzie S jest polem kwadratu,
- długość boku kwadratu,
- długość przekątnej kwadratu.
Wzór na pole prostokąta
- Pole prostokąta równy iloczynowi długości dwóch sąsiednich boków
gdzie S jest polem prostokąta,
- długości boków prostokąta.
Wzory na pole równoległoboku
- Wzór na pole równoległoboku na podstawie długości boku i wysokości
Obszar równoległoboku - Wzór na pole równoległoboku oparty na dwóch bokach i kącie między nimi
Obszar równoległoboku jest równy iloczynowi długości jego boków pomnożonemu przez sinus kąta między nimi.a b grzech α
gdzie S jest obszarem równoległoboku,
- długości boków równoległoboku,
- długość wysokości równoległoboku,
- kąt między bokami równoległoboku.
Wzory na pole rombu
- Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i wysokości
Powierzchnia rombu jest równa iloczynowi długości jego boku i długości wysokości obniżonej na ten bok. - Wzór na pole rombu na podstawie długości boku i kąta
Powierzchnia rombu jest równy iloczynowi kwadratu długości jego boku i sinusa kąta między bokami rombu. - Wzór na pole rombu na podstawie długości jego przekątnych
Powierzchnia rombu równy połowie iloczynu długości jego przekątnych. gdzie S jest polem rombu,
- długość boku rombu,
- długość wysokości rombu,
- kąt między bokami rombu,
1, 2 - długości przekątnych.
Wzory na pole trapezu
- Wzór Herona na trapez
Gdzie S jest obszarem trapezu,
- długości podstaw trapezu,
- długości boków trapezu,
Wiedza o pomiarach Ziemi pojawiła się już w starożytności i stopniowo nabierała kształtu w nauce geometrii. Słowo to jest tłumaczone z języka greckiego jako „geodezja”.
Miarą wielkości płaskiego odcinka Ziemi pod względem długości i szerokości jest powierzchnia. W matematyce jest zwykle oznaczany łacińską literą S (od angielskiego „kwadrat” - „obszar”, „kwadrat”) lub grecką literą σ (sigma). S oznacza obszar figury na płaszczyźnie lub powierzchnię ciała, a σ jest polem przekroju poprzecznego drutu w fizyce. Są to główne symbole, chociaż mogą istnieć inne, na przykład w zakresie wytrzymałości materiałów, A jest polem przekroju poprzecznego profilu.
Wzory obliczeniowe
Znając pola prostych figur, możesz znaleźć parametry bardziej złożonych.. Starożytni matematycy opracowali wzory, za pomocą których można je łatwo obliczyć. Takie figury to trójkąt, czworokąt, wielokąt, okrąg.
Aby znaleźć pole złożonej figury płaskiej, dzieli się ją na wiele prostych figur, takich jak trójkąty, trapezy lub prostokąty. Następnie za pomocą metod matematycznych wyprowadza się wzór na pole tej figury. Podobną metodę stosuje się nie tylko w geometrii, ale także w analizie matematycznej do obliczania pól figur ograniczonych krzywymi.
Trójkąt
Zacznijmy od najprostszej figury - trójkąta. Są prostokątne, równoramienne i równoboczne. Weź dowolny trójkąt ABC o bokach AB=a, BC=b i AC=c (∆ ABC). Aby znaleźć jego pole, przypomnijmy sobie twierdzenia o sinusach i cosinusach znane ze szkolnych zajęć z matematyki. Porzucając wszelkie obliczenia, dochodzimy do następujących wzorów:
- S=√ - znany wszystkim wzór Herona, gdzie p=(a+b+c)/2 jest półobwodem trójkąta;
- S=a h/2, gdzie h jest wysokością obniżoną do boku a;
- S=a b (sin γ)/2, gdzie γ jest kątem pomiędzy bokami aib;
- S=a b/2, jeśli ∆ ABC jest prostokątne (tutaj a i b to nogi);
- S=b² (sin (2 β))/2, jeśli ∆ ABC jest równoramienne (tutaj b jest jednym z „bioder”, β jest kątem pomiędzy „biodrami” trójkąta);
- S=a² √¾, jeśli ∆ ABC jest równoboczne (tutaj a jest bokiem trójkąta).
Czworobok
Niech istnieje czworokąt ABCD z AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Aby znaleźć pole S dowolnego czterokąta, należy podzielić go przez przekątną na dwa trójkąty, których pola S1 i S2 w ogólnym przypadku nie są równe.
Następnie skorzystaj ze wzorów, aby je obliczyć i dodać, czyli S=S1+S2. Jeżeli jednak 4-kąt należy do określonej klasy, to jego pole można wyznaczyć korzystając ze znanych wcześniej wzorów:
- S=(a+c) h/2=e h, jeśli czworokąt jest trapezem (tutaj a i c to podstawy, e to linia środkowa trapezu, h to wysokość obniżona do jednej z podstaw trapezu;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jeśli ABCD jest równoległobokiem (tutaj φ jest kątem pomiędzy bokami a i b, h jest wysokością opuszczoną na bok a, d1 i d2 są przekątnymi);
- S=a b=d²/2, jeśli ABCD jest prostokątem (d jest przekątną);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jeśli ABCD jest rombem (a to bok rombu, φ to jeden z jego kątów, P to obwód);
- S=a²=P²/16=d²/2, jeśli ABCD jest kwadratem.
Wielokąt
Aby znaleźć pole n-gonu, matematycy rozkładają go na najprostsze równe figury - trójkąty, znajdują pole każdego z nich, a następnie je dodają. Ale jeśli wielokąt należy do klasy regularnej, użyj wzoru:
S=a n h/2=a² n/=P²/, gdzie n to liczba wierzchołków (lub boków) wielokąta, a to bok n-kąta, P to jego obwód, h to apotem, czyli a odcinek poprowadzony ze środka wielokąta na jeden z jego boków pod kątem 90°.
Koło
Okrąg to doskonały wielokąt o nieskończonej liczbie boków. Musimy obliczyć granicę wyrażenia po prawej stronie we wzorze na pole wielokąta o liczbie boków n zmierzającej do nieskończoności. W tym przypadku obwód wielokąta zamieni się w długość okręgu o promieniu R, który będzie granicą naszego okręgu i będzie równy P=2 π R. Podstaw to wyrażenie do powyższego wzoru. Dostaniemy:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Znajdźmy granicę tego wyrażenia jako n → ∞. Aby to zrobić, bierzemy pod uwagę, że lim (cos (180°/n)) dla n → ∞ jest równe cos 0° = 1 (lim jest znakiem granicy), a lim = lim dla n → ∞ wynosi równy 1/π (przeliczyliśmy miarę stopnia na radian, korzystając z relacji π rad=180° i zastosowaliśmy pierwszą niezwykłą granicę graniczną (sin x)/x=1 przy x → ∞). Podstawiając uzyskane wartości do ostatniego wyrażenia dla S, dochodzimy do dobrze znanego wzoru:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Jednostki
Stosuje się systemowe i niesystemowe jednostki miary. Jednostki systemowe należą do SI (System International). Jest to metr kwadratowy (metr kwadratowy, m²) i wywodzące się z niego jednostki: mm², cm², km².
Na przykład w milimetrach kwadratowych (mm²) mierzą pole przekroju poprzecznego drutów w elektrotechnice, w centymetrach kwadratowych (cm²) - przekrój belki w mechanice budowlanej, w metrach kwadratowych (m²) - w mieszkaniu lub domu, w kilometrach kwadratowych (km²) - w geografii .
Czasami jednak stosuje się niesystemowe jednostki miary, takie jak: splot, ar (a), hektar (ha) i akr (ac). Przedstawmy następujące zależności:
- 1 splot=1 a=100 m²=0,01 ha;
- 1 ha=100 a=100 akrów=10000 m²=0,01 km²=2,471 ak;
- 1 ak = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akra = 0,405 ha.
Aby rozwiązać problemy z geometrią, musisz znać wzory - takie jak pole trójkąta lub pole równoległoboku - a także proste techniki, które omówimy.
Najpierw nauczmy się wzorów na pola figur. Specjalnie zebraliśmy je w wygodnym stoliku. Drukuj, ucz się i aplikuj!
Oczywiście nie wszystkie wzory geometrii znajdują się w naszej tabeli. Na przykład, aby rozwiązać problemy z geometrii i stereometrii w drugiej części profilu Unified State Exam z matematyki, stosuje się inne wzory na pole trójkąta. Na pewno o nich opowiemy.
Ale co, jeśli chcesz znaleźć nie obszar trapezu lub trójkąta, ale obszar jakiejś złożonej figury? Istnieją uniwersalne sposoby! Pokażemy je na przykładach z banku zadań FIPI.
1. Jak znaleźć obszar niestandardowej figury? Na przykład dowolny czworokąt? Prosta technika - podzielmy tę figurę na te, o których wiemy wszystko i znajdźmy jej pole - jako sumę pól tych figur.
Podziel ten czworokąt linią poziomą na dwa trójkąty o wspólnej podstawie równej . Wysokości tych trójkątów są równe i . Następnie pole czworoboku jest równe sumie pól dwóch trójkątów: .
Odpowiedź: .
2. W niektórych przypadkach obszar figury można przedstawić jako różnicę niektórych obszarów.
Nie jest łatwo obliczyć, ile wynosi podstawa i wysokość tego trójkąta! Ale możemy powiedzieć, że jego powierzchnia jest równa różnicy między polami kwadratu o boku i trzech trójkątów prostokątnych. Czy widzisz je na zdjęciu? Otrzymujemy: .
Odpowiedź: .
3. Czasami w zadaniu trzeba znaleźć obszar nie całej figury, ale jej część. Zwykle mówimy o obszarze sektora - części koła. Znajdź obszar sektora koła o promieniu, którego długość łuku jest równa .
Na tym zdjęciu widzimy część koła. Pole całego koła jest równe. Pozostaje dowiedzieć się, która część koła jest przedstawiona. Ponieważ długość całego koła jest równa (ponieważ) i długość łuku danego sektora jest równa, dlatego długość łuku jest współczynnikiem mniejszym niż długość całego koła. Kąt, pod którym spoczywa ten łuk, jest również czynnikiem mniejszym niż pełne koło (to znaczy stopni). Oznacza to, że powierzchnia sektora będzie kilkakrotnie mniejsza niż powierzchnia całego koła.
Pola figur geometrycznych są wartościami liczbowymi charakteryzującymi ich wielkość w przestrzeni dwuwymiarowej. Wartość tę można mierzyć w jednostkach systemowych i niesystemowych. Na przykład niesystemową jednostką powierzchni jest setna część hektara. Dzieje się tak w przypadku, gdy mierzona powierzchnia jest kawałkiem ziemi. Systemową jednostką powierzchni jest kwadrat długości. W układzie SI jednostką powierzchni płaskiej jest metr kwadratowy. W GHS jednostka powierzchni wyrażana jest w centymetrze kwadratowym.
Geometria i wzory na pole są ze sobą nierozerwalnie powiązane. Związek ten polega na tym, że obliczanie pól figur płaskich opiera się właśnie na ich zastosowaniu. Dla wielu figur wyprowadza się kilka opcji, z których obliczane są ich wymiary kwadratowe. Na podstawie danych zawartych w opisie problemu możemy określić najprostsze możliwe rozwiązanie. Ułatwi to obliczenia i zredukuje do minimum prawdopodobieństwo błędów obliczeniowych. Aby to zrobić, rozważ główne obszary figur w geometrii.
Wzory na znalezienie obszaru dowolnego trójkąta są prezentowane w kilku opcjach:
1) Pole trójkąta oblicza się z podstawy a i wysokości h. Za podstawę uważa się bok figury, na którym obniżona jest wysokość. Zatem pole trójkąta wynosi:
2) Pole trójkąta prostokątnego oblicza się w ten sam sposób, jeśli przeciwprostokątną uważa się za podstawę. Jeśli przyjmiemy nogę jako podstawę, wówczas obszar prawego trójkąta będzie równy iloczynowi nóg o połowę.
Na tym nie kończą się formuły obliczania pola dowolnego trójkąta. Inne wyrażenie zawiera boki a, b i sinusoidalną funkcję kąta γ pomiędzy a i b. Wartość sinusa można znaleźć w tabelach. Można to również sprawdzić za pomocą kalkulatora. Zatem pole trójkąta wynosi:
Korzystając z tej równości, możesz również upewnić się, że obszar trójkąta prostokątnego jest określony przez długości nóg. Ponieważ kąt γ jest kątem prostym, dlatego pole trójkąta prostokątnego oblicza się bez mnożenia przez funkcję sinus.
3) Rozważmy szczególny przypadek - regularny trójkąt, którego bok a jest znany z warunku lub jego długość można znaleźć podczas rozwiązywania. Nic więcej nie wiadomo na temat figury w zadaniu geometrycznym. Jak więc znaleźć obszar pod tym warunkiem? W tym przypadku stosuje się wzór na pole regularnego trójkąta:
Prostokąt
Jak znaleźć pole prostokąta i wykorzystać wymiary boków mających wspólny wierzchołek? Wyrażenie do obliczeń to:
Jeśli chcesz użyć długości przekątnych do obliczenia pola prostokąta, będziesz potrzebować funkcji sinusa kąta utworzonego podczas ich przecięcia. Ten wzór na pole prostokąta to:
Kwadrat
Pole kwadratu określa się jako drugą potęgę długości boku:
Dowód wynika z definicji, że kwadrat jest prostokątem. Wszystkie boki tworzące kwadrat mają te same wymiary. Zatem obliczenie pola takiego prostokąta sprowadza się do pomnożenia jednego przez drugi, czyli do drugiej potęgi boku. A wzór na obliczenie pola kwadratu przyjmie pożądaną formę.
Pole kwadratu można znaleźć w inny sposób, na przykład, jeśli użyjesz przekątnej:
Jak obliczyć pole figury utworzonej przez część płaszczyzny ograniczonej okręgiem? Aby obliczyć pole, stosuje się następujące wzory:
Równoległobok
W przypadku równoległoboku wzór zawiera wymiary liniowe boku, wysokość i operację matematyczną - mnożenie. Jeśli wysokość nie jest znana, jak znaleźć obszar równoległoboku? Jest inny sposób obliczeń. Wymagana będzie pewna wartość, którą przyjmie funkcja trygonometryczna kąta utworzonego przez sąsiednie boki, a także ich długość.
Wzory na pole równoległoboku to:
Romb
Jak znaleźć pole czworokąta zwanego rombem? Pole rombu określa się za pomocą prostej matematyki z przekątnymi. Dowód opiera się na fakcie, że odcinki przekątne w d1 i d2 przecinają się pod kątem prostym. Z tabeli sinusów wynika, że dla kąta prostego funkcja ta jest równa jedności. Dlatego powierzchnię rombu oblicza się w następujący sposób:
Obszar rombu można również znaleźć w inny sposób. Nie jest to również trudne do udowodnienia, biorąc pod uwagę, że jego boki mają tę samą długość. Następnie zastąp ich iloczyn podobnym wyrażeniem równoległoboku. Przecież szczególnym przypadkiem tej konkretnej figury jest romb. Tutaj γ jest kątem wewnętrznym rombu. Pole rombu określa się w następujący sposób:
Trapez
Jak znaleźć pole trapezu poprzez podstawy (a i b), jeśli zadanie wskazuje ich długości? Tutaj bez znanej wartości długości wysokości h nie będzie możliwe obliczenie pola takiego trapezu. Ponieważ ta wartość zawiera wyrażenie do obliczeń:
W ten sam sposób można obliczyć kwadratowy wymiar trapezu prostokątnego. Bierze się pod uwagę, że w prostokątnym trapezie łączone są pojęcia wysokości i boku. Dlatego w przypadku trapezu prostokątnego zamiast wysokości należy określić długość boku bocznego.
Cylinder i równoległościan
Zastanówmy się, co jest potrzebne do obliczenia powierzchni całego cylindra. Pole tej figury to para okręgów zwanych podstawami i powierzchnia boczna. Okręgi tworzące koła mają promienie o długości r. Dla powierzchni cylindra przeprowadza się następujące obliczenia:
Jak znaleźć obszar równoległościanu składającego się z trzech par ścian? Jego wymiary odpowiadają konkretnej parze. Przeciwległe ściany mają te same parametry. Najpierw znajdź S(1), S(2), S(3) - kwadratowe wymiary nierównych ścian. Następnie pole powierzchni równoległościanu wynosi:
Pierścień
Dwa koła o wspólnym środku tworzą pierścień. Ograniczają także powierzchnię pierścienia. W tym przypadku oba wzory obliczeniowe uwzględniają wymiary każdego koła. Pierwszy z nich, obliczający pole pierścienia, zawiera większy promień R i mniejszy r. Częściej nazywane są zewnętrznymi i wewnętrznymi. W drugim wyrażeniu obszar pierścienia jest obliczany na podstawie większej średnicy D i mniejszej średnicy d. Zatem obszar pierścienia na podstawie znanych promieni oblicza się w następujący sposób:
Pole pierścienia, korzystając z długości średnic, określa się w następujący sposób:
Wielokąt
Jak znaleźć obszar wielokąta, którego kształt nie jest regularny? Nie ma ogólnego wzoru na pole takich figur. Ale jeśli jest to przedstawione na płaszczyźnie współrzędnych, na przykład może to być papier w kratkę, to jak w tym przypadku znaleźć pole powierzchni? Tutaj stosują metodę, która nie wymaga przybliżonego pomiaru figury. Robią to: jeśli znajdą punkty wpadające w róg komórki lub mające całe współrzędne, to tylko one są brane pod uwagę. Aby następnie dowiedzieć się, jakie jest pole, skorzystaj ze wzoru sprawdzonego przez Peake'a. Należy dodać liczbę punktów znajdujących się wewnątrz linii łamanej, na której leży połowa punktów, i odjąć jeden, czyli oblicza się to w następujący sposób:
gdzie B, G - liczba punktów znajdujących się odpowiednio wewnątrz i na całej linii łamanej.
Wszystkie wzory na pole figur płaskich
Powierzchnia trapezu równoramiennego
1. Wzór na pole trapezu równoramiennego za pomocą boków i kątów
a - dolna podstawa
b - górna podstawa
c - równe boki
α - kąt przy dolnej podstawie
Wzór na pole trapezu równoramiennego przez boki, (S):
Wzór na pole trapezu równoramiennego przy użyciu boków i kątów, (S):
2. Wzór na pole trapezu równoramiennego w funkcji promienia okręgu wpisanego
R - promień okręgu wpisanego
D - średnica okręgu wpisanego
O - środek okręgu wpisanego
H - wysokość trapezu
α, β - kąty trapezowe
Wzór na pole trapezu równoramiennego w odniesieniu do promienia okręgu wpisanego, (S):
DOKŁADNY, dla okręgu wpisanego w trapez równoramienny:
3. Wzór na pole trapezu równoramiennego przechodzącego przez przekątne i kąt między nimi
d- przekątna trapezu
α,β- kąty między przekątnymi
Wzór na pole trapezu równoramiennego przechodzącego przez przekątne i kąt między nimi, (S):
4. Wzór na pole trapezu równoramiennego przez linię środkową, bok boczny i kąt u podstawy
strona c
m - linia środkowa trapezu
α, β - kąty u podstawy
Wzór na pole trapezu równoramiennego z wykorzystaniem linii środkowej, boku bocznego i kąta podstawy,
(S): 
5. Wzór na pole trapezu równoramiennego z wykorzystaniem podstaw i wysokości
a - dolna podstawa
b - górna podstawa
h - wysokość trapezu
Wzór na pole trapezu równoramiennego przy użyciu podstaw i wysokości, (S):
Pole trójkąta na podstawie boku i dwóch kątów, wzór.
a, b, c - boki trójkąta
α, β, γ - przeciwne kąty
Pole trójkąta przechodzące przez bok i dwa kąty (S):
Wzór na pole wielokąta foremnego
a - bok wielokąta
n - liczba boków
Powierzchnia wielokąta foremnego, (S):
Wzór (Czapla) na pole trójkąta przez półobwód (S):
Pole trójkąta równobocznego wynosi:
Wzory do obliczania pola trójkąta równobocznego.
a - bok trójkąta
h – wysokość
Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego?
b - podstawa trójkąta
a - równe boki
h – wysokość
3. Wzór na pole trapezu z wykorzystaniem czterech boków
a - dolna podstawa
b - górna podstawa
c, d - boki
Promień okręgu opisanego na trapezie wzdłuż boków i przekątnych
a - boczne boki trapezu
c - dolna podstawa
b - górna podstawa
d - przekątna
h - wysokość
Wzór na promień trapezu, (R)
znajdź promień obwodu trójkąta równoramiennego, korzystając z boków
Znając boki trójkąta równoramiennego, możesz skorzystać ze wzoru, aby znaleźć promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
a, b - boki trójkąta
Promień okręgu trójkąta równoramiennego (R):
Promień okręgu wpisanego w sześciokąt
a - bok sześciokąta
Promień okręgu wpisanego w sześciokąt, (r):
Promień okręgu wpisanego w romb
r - promień okręgu wpisanego
a - bok rombu
D, d - przekątne
h - wysokość rombu
Promień okręgu wpisanego w trapez równoboczny
c - dolna podstawa
b - górna podstawa
a - boki
h - wysokość
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
a, b - nogi trójkąta
c - przeciwprostokątna
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny
a, b - boki trójkąta
Udowodnić, że pole wpisanego czworokąta wynosi
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
gdzie p jest półobwodem, a a, b, c i d są bokami czworoboku.
Udowodnić, że pole czworokąta wpisanego w okrąg jest równe
1/2 (ab + cb) · sin α, gdzie a, b, c i d są bokami czworoboku, a α jest kątem pomiędzy bokami a i b.
S = √[ a ƀ do re] grzech ½ (α + β). - Przeczytaj więcej na FB.ru:
Obszar dowolnego czworoboku (ryc. 1.13) można wyrazić poprzez jego boki a, b, c oraz sumę pary przeciwnych kątów:
gdzie p jest półobwodem czworoboku.
Pole czworoboku wpisanego w okrąg () (ryc. 1.14, a) oblicza się za pomocą wzoru Brahmagupty
i opisane (ryc. 1.14, b) () - zgodnie ze wzorem
Jeśli czworokąt zostanie wpisany i opisany jednocześnie (ryc. 1.14, c), wówczas wzór staje się bardzo prosty:
Wzór Picka
Aby oszacować powierzchnię wielokąta na papierze w kratkę, wystarczy policzyć, ile komórek obejmuje ten wielokąt (powierzchnię komórki przyjmujemy jako jeden). Dokładniej, jeśli S jest obszarem wielokąta, jest liczbą komórek znajdujących się całkowicie wewnątrz wielokąta i jest liczbą komórek, które mają co najmniej jeden punkt wspólny z wnętrzem wielokąta.
Poniżej rozważymy tylko te wielokąty, których wszystkie wierzchołki leżą w węzłach kartki papieru w kratkę - te, w których przecinają się linie siatki. Okazuje się, że dla takich wielokątów można podać następujący wzór:
gdzie jest obszarem, r jest liczbą węzłów leżących ściśle wewnątrz wielokąta.
Formuła ta nazywa się „formułą Pick” – od nazwiska matematyka, który ją odkrył w 1899 roku.