„Czytelnik zauważył już w naszej prezentacji częste używanie pojęcia „prawdopodobieństwo”.

Jest to cecha charakterystyczna logiki nowożytnej w odróżnieniu od logiki starożytnej i średniowiecznej. Współczesny logik rozumie, że cała nasza wiedza jest jedynie mniej lub bardziej probabilistyczna, a nie pewna, jak zwykli sądzić filozofowie i teolodzy. Nie przejmuje się zbytnio faktem, że wnioskowanie indukcyjne jedynie nadaje prawdopodobieństwo jego konkluzji, ponieważ nie oczekuje niczego więcej. Jednak zastanowi się nad tym, jeśli znajdzie powód, aby wątpić nawet w prawdopodobieństwo swojego wniosku.

W ten sposób dwa problemy nabrały we współczesnej logice znacznie większego znaczenia niż w czasach wcześniejszych. Pierwsza to natura prawdopodobieństwa, druga to znaczenie indukcji. Omówmy pokrótce te problemy.

Istnieją zatem dwa rodzaje prawdopodobieństwa - określone i niepewne.

Prawdopodobieństwo pewnego rodzaju występuje w matematycznej teorii prawdopodobieństwa, gdzie omawiane są takie problemy, jak rzucanie kostkami czy rzucanie monetami. Występuje tam, gdzie istnieje kilka możliwości i żadnej z nich nie można preferować nad drugą. Jeśli rzucisz monetą, powinna wypaść reszka lub reszka, ale oba wydają się równie prawdopodobne. Dlatego szanse na orzeł i reszkę wynoszą 50%, jedną przyjmuje się jako niezawodność. Podobnie, jeśli rzucisz kostką, może ona wylądować na dowolnej z sześciu stron i nie ma powodu faworyzować jednej nad drugą, więc każdy ma 1/6 szansy. Firmy ubezpieczeniowe wykorzystują tego rodzaju prawdopodobieństwo w swojej pracy. Nie wiedzą, który budynek spłonie, ale wiedzą, jaki procent budynków płonie każdego roku. Nie wiedzą, jak długo będzie żyła konkretna osoba, ale znają średnią długość życia w danym okresie. We wszystkich takich przypadkach oszacowanie prawdopodobieństwa samo w sobie nie jest jedynie prawdopodobne, chyba że wszelka wiedza jest jedynie prawdopodobna. Oszacowanie prawdopodobieństwa samo w sobie może charakteryzować się wysokim stopniem prawdopodobieństwa. W przeciwnym razie firmy ubezpieczeniowe zbankrutowałyby.

Dołożono wszelkich starań, aby zwiększyć prawdopodobieństwo indukcji, ale istnieją podstawy, aby sądzić, że wszystkie te próby poszły na marne. Prawdopodobieństwo charakterystyczne dla wnioskowań indukcyjnych ma prawie zawsze, jak powiedziałem powyżej, charakter niepewny.

Teraz wyjaśnię, co to jest.

Twierdzenie, że cała wiedza ludzka jest omylna, stało się trywialne. Oczywiste jest, że błędy są różne. Jeśli to powiem Buddażył w VI wieku przed narodzeniem Chrystusa prawdopodobieństwo błędu będzie bardzo wysokie. Jeśli to powiem Cezar został zabity, prawdopodobieństwo błędu będzie małe.

Jeśli powiem, że teraz trwa wielka wojna, to prawdopodobieństwo błędu jest tak małe, że tylko filozof lub logik może przyznać się do jego obecności. Przykłady te dotyczą wydarzeń historycznych, ale podobna gradacja istnieje w odniesieniu do praw naukowych. Niektóre z nich mają oczywisty charakter hipotez, którym nikt nie będzie nadał poważniejszego statusu ze względu na brak danych empirycznych na ich korzyść, inne natomiast wydają się na tyle pewne, że nie ma praktycznie żadnych wątpliwości ze strony naukowców co do ich prawda. (Kiedy mówię „prawda”, mam na myśli „prawdę przybliżoną”, ponieważ każde prawo naukowe podlega pewnym zmianom.)

Prawdopodobieństwo to coś, co leży pomiędzy tym, czego jesteśmy pewni, a tym, co jesteśmy mniej lub bardziej skłonni przyznać, jeśli słowo to rozumieć w sensie matematycznej teorii prawdopodobieństwa.

Bardziej poprawne byłoby mówienie o stopniach pewności lub stopniach niezawodności . Jest to szersza koncepcja tego, co nazwałem „pewnym prawdopodobieństwem”, co również jest ważniejsze”.

Bertrand Russell, Sztuka wyciągania wniosków / Sztuka myślenia, M., „House of Intellectual Books”, 1999, s. 23-35. 50-51.

Jest mało prawdopodobne, aby wiele osób zastanawiało się, czy możliwe jest obliczenie zdarzeń, które są mniej lub bardziej losowe. Krótko mówiąc, czy można wiedzieć, która strona sześcianu pojawi się jako następna? To właśnie pytanie zadało sobie dwóch wielkich naukowców, którzy położyli podwaliny pod taką naukę, jak teoria prawdopodobieństwa, w której dość szeroko bada się prawdopodobieństwo zdarzenia.

Pochodzenie

Jeśli spróbujesz zdefiniować takie pojęcie jak teoria prawdopodobieństwa, otrzymasz następujące informacje: jest to jedna z gałęzi matematyki badająca stałość zdarzeń losowych. Oczywiście ta koncepcja tak naprawdę nie odsłania całej istoty, dlatego należy rozważyć ją bardziej szczegółowo.

Chciałbym zacząć od twórców teorii. Jak wspomniano powyżej, było ich dwóch i jako jedni z pierwszych próbowali obliczyć wynik tego czy innego zdarzenia za pomocą wzorów i obliczeń matematycznych. Generalnie początki tej nauki sięgają średniowiecza. W tamtym czasie różni myśliciele i naukowcy próbowali analizować gry hazardowe, takie jak ruletka, kości itp., ustalając w ten sposób wzór i procent wypadania określonej liczby. Fundamenty założyli w XVII wieku wspomniani uczeni.

Początkowo ich prac nie można było uznać za wielkie osiągnięcia w tej dziedzinie, gdyż opierali się jedynie na faktach empirycznych, a eksperymenty przeprowadzano wizualnie, bez użycia formuł. Z biegiem czasu udało się osiągnąć świetne rezultaty, które pojawiły się w wyniku obserwacji rzutu kostką. To właśnie to narzędzie pomogło wyprowadzić pierwsze zrozumiałe formuły.

Ludzie myślący podobnie

Nie sposób nie wspomnieć o takiej osobie jak Christiaan Huygens w procesie studiowania tematu zwanego „teorią prawdopodobieństwa” (prawdopodobieństwo zdarzenia jest właśnie omawiane w tej nauce). Ta osoba jest bardzo interesująca. On, podobnie jak przedstawieni powyżej naukowcy, próbował wyprowadzić wzór zdarzeń losowych w postaci wzorów matematycznych. Warto zauważyć, że nie zrobił tego razem z Pascalem i Fermatem, to znaczy wszystkie jego dzieła nie krzyżowały się z tymi umysłami. Huygens wydedukował

Ciekawostką jest to, że jego dzieło powstało na długo przed wynikami pracy odkrywców, a raczej dwadzieścia lat wcześniej. Wśród zidentyfikowanych koncepcji najbardziej znane to:

• koncepcja prawdopodobieństwa jako wartości przypadku;
• oczekiwanie matematyczne dla przypadków dyskretnych;
• twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu prawdopodobieństw.

Nie sposób też nie pamiętać, kto także wniósł znaczący wkład w badanie tego problemu. Przeprowadzając własne, niezależne od nikogo testy, był w stanie przedstawić dowód prawa wielkich liczb. Z kolei naukowcom Poissona i Laplace'a, którzy pracowali na początku XIX wieku, udało się udowodnić oryginalne twierdzenia. Od tego momentu zaczęto wykorzystywać teorię prawdopodobieństwa do analizy błędów w obserwacjach. Rosyjscy naukowcy, a raczej Markow, Czebyszew i Diapunow, nie mogli zignorować tej nauki. Opierając się na pracy wielkich geniuszy, uznali ten przedmiot za dziedzinę matematyki. Liczby te funkcjonowały już pod koniec XIX wieku, a dzięki ich wkładowi udowodniono następujące zjawiska:

• prawo wielkich liczb;
• Teoria łańcucha Markowa;
• centralne twierdzenie graniczne.

Tak więc, jeśli chodzi o historię narodzin nauki i głównych ludzi, którzy na nią wpłynęli, wszystko jest mniej więcej jasne. Nadszedł czas na wyjaśnienie wszystkich faktów.

Podstawowe koncepcje

Zanim dotkniemy praw i twierdzeń, warto przestudiować podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenie odgrywa w nim wiodącą rolę. Ten temat jest dość obszerny, ale bez niego nie będzie można zrozumieć wszystkiego innego.

Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa to dowolny zbiór wyników eksperymentu. Koncepcji tego zjawiska jest całkiem sporo. Dlatego naukowiec Łotman zajmujący się tą dziedziną stwierdził, że w tym przypadku mówimy o tym, co „się wydarzyło, chociaż mogło się nie wydarzyć”.

Zdarzenia losowe (szczególnie zwraca na nie uwagę teoria prawdopodobieństwa) to pojęcie, które implikuje absolutnie każde zjawisko, które ma możliwość wystąpienia. Lub odwrotnie, ten scenariusz może się nie wydarzyć, jeśli spełnionych zostanie wiele warunków. Warto też wiedzieć, że to właśnie zdarzenia losowe oddają cały ogrom zjawisk, które miały miejsce. Teoria prawdopodobieństwa wskazuje, że wszystkie warunki mogą się stale powtarzać. To ich postępowanie nazywa się „doświadczeniem” lub „testem”.

Zdarzenie wiarygodne to zjawisko, które w danym teście wystąpi ze stuprocentowym prawdopodobieństwem. Zatem zdarzenie niemożliwe to takie, które nie nastąpi.

Połączenie pary działań (warunkowo, przypadek A i przypadek B) jest zjawiskiem zachodzącym jednocześnie. Są one oznaczone jako AB.

Suma par zdarzeń A i B to C, czyli jeżeli zajdzie choć jedno z nich (A lub B) to otrzymamy C. Wzór na opisywane zjawisko zapisuje się następująco: C = A + B.

Niespójne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa oznaczają, że dwa przypadki wzajemnie się wykluczają. W żadnym wypadku nie mogą one wystąpić jednocześnie. Wspólne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są ich antypodą. Chodzi tu o to, że jeśli wydarzyło się A, to w żaden sposób nie zapobiega to B.

Zdarzenia przeciwne (teoria prawdopodobieństwa rozważa je bardzo szczegółowo) są łatwe do zrozumienia. Najlepszym sposobem, aby je zrozumieć, jest porównanie. Są prawie takie same, jak zdarzenia niezgodne w teorii prawdopodobieństwa. Różnica polega jednak na tym, że w każdym przypadku musi nastąpić jedno z wielu zjawisk.

Zdarzeniami równie prawdopodobnymi są te działania, których powtarzalność jest równa. Aby było to jaśniejsze, możesz sobie wyobrazić rzut monetą: utrata jednej strony z równym prawdopodobieństwem wypadnie z drugiej.

Pomyślne wydarzenie łatwiej jest rozważyć na przykładzie. Załóżmy, że jest odcinek B i odcinek A. Pierwszy to rzut kośćmi, w którym pojawia się nieparzysta liczba, a drugi to pojawienie się cyfry pięć na kostce. Potem okazuje się, że A faworyzuje B.

Niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są rzutowane tylko na dwa lub więcej przypadków i implikują niezależność dowolnego działania od drugiego. Na przykład A to utrata orła podczas rzucania monetą, a B to wyciągnięcie waleta z talii. Są to niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. W tym momencie stało się jaśniej.

Zdarzenia zależne w teorii prawdopodobieństwa są również dopuszczalne tylko dla ich zbioru. Implikują zależność jednego od drugiego, to znaczy zjawisko B może wystąpić tylko wtedy, gdy A już się wydarzyło lub odwrotnie, nie wydarzyło się, gdy jest to główny warunek B.

Wynikiem losowego eksperymentu składającego się z jednego składnika są zdarzenia elementarne. Teoria prawdopodobieństwa wyjaśnia, że ​​jest to zjawisko, które zdarzyło się tylko raz.

Podstawowe formuły

Zatem powyżej omówiono pojęcia „zdarzenia” i „teorii prawdopodobieństwa”, podano także definicję podstawowych pojęć tej nauki. Teraz czas na bezpośrednie zapoznanie się z ważnymi formułami. Wyrażenia te matematycznie potwierdzają wszystkie główne koncepcje w tak złożonym przedmiocie, jak teoria prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia również odgrywa tutaj ogromną rolę.

Lepiej zacząć od tych podstawowych, a zanim się z nimi zaczniesz, warto zastanowić się, czym one są.

Kombinatoryka to przede wszystkim dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem ogromnej liczby liczb całkowitych, a także różnymi permutacjami zarówno samych liczb, jak i ich elementów, różnych danych itp., prowadzących do powstania szeregu kombinacji. Oprócz teorii prawdopodobieństwa dziedzina ta jest ważna dla statystyki, informatyki i kryptografii.

Możemy zatem przejść do przedstawienia samych formuł i ich definicji.

Pierwsza z nich będzie wyrażeniem na liczbę permutacji, wygląda to następująco:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Równanie stosuje się tylko wtedy, gdy elementy różnią się jedynie kolejnością ułożenia.

Teraz rozważymy formułę rozmieszczenia, która wygląda następująco:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Wyrażenie to ma zastosowanie nie tylko do kolejności umieszczenia elementu, ale także do jego składu.

Trzecie równanie kombinatoryki i jednocześnie ostatnie, nazywa się wzorem na liczbę kombinacji:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :M!

Kombinacja odnosi się do wyborów, które nie są uporządkowane, dlatego też ta zasada ma do nich zastosowanie.

Łatwo było zrozumieć wzory kombinatoryki, teraz można przejść do klasycznej definicji prawdopodobieństw. To wyrażenie wygląda następująco:

W tym wzorze m jest liczbą warunków sprzyjających zdarzeniu A, a n jest liczbą absolutnie wszystkich równie możliwych i elementarnych wyników.

Wyrażeń jest bardzo dużo, w artykule nie zostaną omówione wszystkie, ale poruszone zostaną te najważniejsze, jak na przykład prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

P(A + B) = P(A) + P(B) - twierdzenie to służy do dodawania tylko zdarzeń niezgodnych;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - i ten służy do dodawania tylko kompatybilnych.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - twierdzenie to dotyczy zdarzeń niezależnych;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - i to jest dla osoby zależnej.

Listę wydarzeń uzupełni formuła wydarzeń. Teoria prawdopodobieństwa mówi nam o twierdzeniu Bayesa, które wygląda następująco:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

W tym wzorze H 1, H 2, ..., H n jest kompletną grupą hipotez.

Przykłady

Jeśli dokładnie przestudiujesz jakąkolwiek sekcję matematyki, nie będzie ona kompletna bez ćwiczeń i przykładowych rozwiązań. Podobnie jest z teorią prawdopodobieństwa: zdarzenia i przykłady są tutaj integralnym elementem potwierdzającym obliczenia naukowe.

Wzór na liczbę permutacji

Załóżmy, że w talii znajduje się trzydzieści kart, zaczynając od wartości jeden. Następne pytanie. Na ile sposobów można ułożyć talię tak, aby karty o wartości jeden i dwa nie leżały obok siebie?

Zadanie zostało postawione, teraz przejdźmy do jego rozwiązania. Najpierw musisz określić liczbę permutacji trzydziestu elementów, w tym celu bierzemy wzór przedstawiony powyżej, okazuje się, że P_30 = 30!.

Na podstawie tej reguły dowiadujemy się, ile jest możliwości złożenia talii na różne sposoby, ale musimy odjąć od nich te, w których pierwsza i druga karta leżą obok siebie. Aby to zrobić, zacznijmy od opcji, gdy pierwsza jest nad drugą. Okazuje się, że pierwsza karta może zająć dwadzieścia dziewięć miejsc - od pierwszego do dwudziestego dziewiątego, a druga karta od drugiego do trzydziestego, co daje w sumie dwadzieścia dziewięć miejsc na parę kart. Z kolei pozostali mogą przyjąć dwadzieścia osiem miejsc i to w dowolnej kolejności. Oznacza to, że aby zmienić układ dwudziestu ośmiu kart, istnieje dwadzieścia osiem opcji P_28 = 28!

W rezultacie okazuje się, że jeśli weźmiemy pod uwagę rozwiązanie, w którym pierwsza karta znajduje się nad drugą, będzie 29 ⋅ 28 dodatkowych możliwości! = 29!

W ten sam sposób należy obliczyć liczbę opcji nadmiarowych w przypadku, gdy pierwsza karta znajduje się pod drugą. Okazuje się również, że jest to 29 ⋅ 28! = 29!

Wynika z tego, że opcji dodatkowych jest 2 ⋅ 29!, natomiast sposobów potrzebnych do złożenia talii jest 30! - 2 ⋅ 29!. Pozostaje tylko policzyć.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musisz pomnożyć wszystkie liczby od jednego do dwudziestu dziewięciu, a na koniec pomnożyć wszystko przez 28. Odpowiedź to 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Przykładowe rozwiązanie. Wzór na numer miejsca docelowego

W tym zadaniu musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można umieścić piętnaście tomów na jednej półce, pod warunkiem, że w sumie będzie ich trzydzieści.

Rozwiązanie tego problemu jest nieco prostsze niż poprzednie. Korzystając ze znanego już wzoru, należy obliczyć całkowitą liczbę aranżacji trzydziestu tomów z piętnastu.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odpowiedź będzie zatem równa 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz weźmy się za nieco trudniejsze zadanie. Musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć trzydzieści książek na dwóch półkach, biorąc pod uwagę, że na jednej półce mieści się tylko piętnaście tomów.

Zanim przystąpię do rozwiązania chciałbym wyjaśnić, że niektóre problemy można rozwiązać na kilka sposobów, a ten ma dwie metody, ale obie korzystają z tej samej formuły.

W tym zadaniu możesz wziąć odpowiedź z poprzedniego, ponieważ tam obliczyliśmy, ile razy możesz zapełnić półkę piętnastoma książkami na różne sposoby. Okazało się, że A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugą półkę obliczymy za pomocą wzoru permutacyjnego, ponieważ zmieści się w niej piętnaście książek, a pozostało już tylko piętnaście. Korzystamy ze wzoru P_15 = 15!.

Okazuje się, że suma będzie wynosić A_30^15 ⋅ P_15 sposobów, ale oprócz tego iloczyn wszystkich liczb od trzydziestu do szesnastu będzie musiał zostać pomnożony przez iloczyn liczb od jednego do piętnastu, w końcu otrzyma iloczyn wszystkich liczb od jednego do trzydziestu, czyli odpowiedź wynosi 30!

Ale ten problem można rozwiązać w inny sposób - łatwiej. Aby to zrobić, możesz sobie wyobrazić, że jest jedna półka na trzydzieści książek. Wszystkie są umieszczone na tej płaszczyźnie, ale ponieważ warunek wymaga, aby były dwie półki, widzieliśmy jedną długą na pół, więc otrzymujemy dwie z piętnastu. Z tego wynika, że ​​opcji aranżacyjnych może być P_30 = 30!.

Przykładowe rozwiązanie. Wzór na liczbę kombinacji

Teraz rozważymy wersję trzeciego problemu z kombinatoryki. Trzeba dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć piętnaście książek, pod warunkiem, że trzeba wybrać spośród trzydziestu absolutnie identycznych.

Do rozwiązania zastosowany zostanie oczywiście wzór na liczbę kombinacji. Z warunku wynika, że ​​kolejność identycznych piętnastu ksiąg nie jest istotna. Dlatego początkowo musisz sprawdzić całkowitą liczbę kombinacji trzydziestu książek po piętnaście.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

To wszystko. Korzystając z tego wzoru, udało nam się rozwiązać ten problem w najkrótszym możliwym czasie, zatem odpowiedź wynosi 155 117 520.

Przykładowe rozwiązanie. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Korzystając z powyższego wzoru, możesz znaleźć odpowiedź na prosty problem. Pomoże to jednak wyraźnie zobaczyć i śledzić postęp działań.

Zadanie polega na tym, że w urnie znajduje się dziesięć identycznych kul. Spośród nich cztery są żółte, a sześć niebieskie. Z urny wyjmujemy jedną kulę. Musisz sprawdzić prawdopodobieństwo otrzymania niebieskiego koloru.

Aby rozwiązać problem, należy oznaczyć zdobycie niebieskiej kuli jako zdarzenie A. Doświadczenie to może mieć dziesięć wyników, które z kolei są elementarne i równie możliwe. Jednocześnie na dziesięć sześć sprzyja zdarzeniu A. Rozwiązujemy za pomocą wzoru:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Stosując ten wzór dowiedzieliśmy się, że prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli wynosi 0,6.

Przykładowe rozwiązanie. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Zostanie teraz przedstawiona opcja, którą można rozwiązać za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Zatem warunek jest taki, że są dwa pudełka, pierwsze zawiera jedną szarą i pięć białych kul, a drugie osiem szarych i cztery białe kule. W efekcie zabrali po jednym z pierwszego i drugiego pudełka. Musisz dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymane kule będą szaro-białe.

Aby rozwiązać ten problem, konieczna jest identyfikacja zdarzeń.

• Zatem A - wziął szarą kulę z pierwszego pudełka: P(A) = 1/6.
• A’ – wziął także białą kulę z pierwszego pudełka: P(A”) = 5/6.
• B - z drugiego pudełka wyjęto kulę szarą: P(B) = 2/3.
• B’ – wziął szarą kulę z drugiego pudełka: P(B”) = 1/3.

W zależności od warunków problemu konieczne jest zajście jednego ze zjawisk: AB’ lub A’B. Korzystając ze wzoru otrzymujemy: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz zastosowano wzór na pomnożenie prawdopodobieństwa. Następnie, aby znaleźć odpowiedź, musisz zastosować równanie ich dodania:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

W ten sposób możesz rozwiązać podobne problemy za pomocą wzoru.

Konkluzja

W artykule przedstawiono informacje na temat „Teorii prawdopodobieństwa”, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia odgrywa istotną rolę. Oczywiście nie wszystko zostało wzięte pod uwagę, ale na podstawie przedstawionego tekstu można teoretycznie zapoznać się z tym działem matematyki. Nauka, o której mowa, może przydać się nie tylko w sprawach zawodowych, ale także w życiu codziennym. Za jego pomocą możesz obliczyć dowolną możliwość dowolnego zdarzenia.

W tekście poruszono także istotne daty w historii kształtowania się teorii prawdopodobieństwa jako nauki oraz nazwiska osób, których praca była w nią włożona. W ten sposób ludzka ciekawość doprowadziła do tego, że ludzie nauczyli się liczyć nawet zdarzenia losowe. Kiedyś po prostu się tym interesowali, dziś już wszyscy o tym wiedzą. I nikt nie powie, co nas czeka w przyszłości, jakie inne genialne odkrycia związane z rozważaną teorią zostaną dokonane. Ale jedno jest pewne – badania nie stoją w miejscu!

Kiedy rzucimy monetą, możemy powiedzieć, że wypadnie reszką do góry, lub prawdopodobieństwo to jest 1/2. Nie oznacza to oczywiście, że jeśli rzucimy monetą 10 razy, koniecznie wylądujemy na orle 5 razy. Jeśli moneta jest „uczciwa” i jeśli zostanie rzucona wiele razy, reszka w połowie przypadków wypadnie bardzo blisko. Zatem istnieją dwa rodzaje prawdopodobieństw: eksperymentalny I teoretyczny .

Prawdopodobieństwo eksperymentalne i teoretyczne

Jeśli rzucimy monetą dużą liczbę razy – powiedzmy 1000 – i policzymy, ile razy wypadła reszka, możemy określić prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka. Jeśli rzucimy orłem 503 razy, możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie:
503/1000, czyli 0,503.

Ten eksperymentalny określenie prawdopodobieństwa. Ta definicja prawdopodobieństwa pochodzi z obserwacji i badania danych i jest dość powszechna i bardzo użyteczna. Oto na przykład niektóre prawdopodobieństwa określone eksperymentalnie:

1. Prawdopodobieństwo, że u kobiety zachoruje na raka piersi wynosi 1/11.

2. Jeśli pocałujesz kogoś, kto jest przeziębiony, prawdopodobieństwo, że ty też się przeziębisz, wynosi 0,07.

3. Osoba, która właśnie wyszła na wolność, ma 80% szans na powrót do więzienia.

Jeśli rozważymy rzucenie monetą i biorąc pod uwagę, że jest równie prawdopodobne, że wypadnie reszka lub reszka, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła: 1/2. Jest to teoretyczna definicja prawdopodobieństwa. Oto kilka innych prawdopodobieństw, które zostały określone teoretycznie za pomocą matematyki:

1. Jeśli w pokoju jest 30 osób, prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny w tym samym dniu (bez roku) wynosi 0,706.

2. Podczas podróży spotykasz kogoś i podczas rozmowy odkrywasz, że macie wspólnego znajomego. Typowa reakcja: „To nie może być!” W rzeczywistości to sformułowanie nie jest odpowiednie, ponieważ prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest dość wysokie - nieco ponad 22%.

Zatem prawdopodobieństwa eksperymentalne określa się na podstawie obserwacji i gromadzenia danych. Prawdopodobieństwa teoretyczne określa się na podstawie rozumowania matematycznego. Przykłady prawdopodobieństw eksperymentalnych i teoretycznych, takich jak te omówione powyżej, a zwłaszcza tych, których się nie spodziewamy, prowadzą nas do znaczenia badania prawdopodobieństwa. Możesz zapytać: „Co to jest prawdziwe prawdopodobieństwo?” Faktycznie, coś takiego nie istnieje. Prawdopodobieństwa w pewnych granicach można określić eksperymentalnie. Mogą, ale nie muszą, pokrywać się z prawdopodobieństwami, które otrzymujemy teoretycznie. Są sytuacje, w których znacznie łatwiej jest określić jeden rodzaj prawdopodobieństwa niż inny. Na przykład wystarczyłoby obliczyć prawdopodobieństwo przeziębienia, korzystając z prawdopodobieństwa teoretycznego.

Obliczanie prawdopodobieństw eksperymentalnych

Rozważmy najpierw eksperymentalną definicję prawdopodobieństwa. Podstawowa zasada, której używamy do obliczania takich prawdopodobieństw, jest następująca.

Zasada P (eksperymentalna)

Jeśli w eksperymencie, w którym dokonano n obserwacji, sytuacja lub zdarzenie E wystąpi m razy w n obserwacjach, wówczas prawdopodobieństwo eksperymentalne zdarzenia wynosi P (E) = m/n.

Przykład 1 Badanie socjologiczne. Przeprowadzono badania eksperymentalne mające na celu określenie liczby osób leworęcznych, praworęcznych i osób o jednakowo rozwiniętych obu rękach, a wyniki przedstawiono na wykresie.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że dana osoba jest praworęczna.

b) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna.

c) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie równie płynnie posługiwać się obiema rękami.

d) W większości turniejów Professional Bowling Association może brać udział maksymalnie 120 graczy. Na podstawie danych z tego eksperymentu ilu graczy może być leworęcznych?

Rozwiązanie

a) Liczba osób praworęcznych wynosi 82, liczba osób leworęcznych wynosi 17, a liczba osób równie biegle posługujących się obiema rękami wynosi 1. Łączna liczba obserwacji wynosi 100. Zatem prawdopodobieństwo że dana osoba jest praworęczna, to P
P = 82/100, czyli 0,82, czyli 82%.

b) Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna, wynosi P, gdzie
P = 17/100, czyli 0,17, czyli 17%.

c) Prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie równie płynnie posługiwać się obiema rękami, wynosi P, gdzie
P = 1/100 lub 0,01 lub 1%.

d) 120 meloników, a od (b) możemy spodziewać się, że 17% to osoby leworęczne. Stąd
17% ze 120 = 0,17,120 = 20,4,
czyli możemy spodziewać się, że około 20 graczy będzie leworęcznych.

Przykład 2 Kontrola jakości . Dla producenta bardzo ważne jest utrzymanie jakości swoich produktów na wysokim poziomie. W rzeczywistości firmy zatrudniają inspektorów kontroli jakości, aby zapewnić ten proces. Celem jest wyprodukowanie jak najmniejszej liczby wadliwych produktów. Ponieważ jednak firma produkuje tysiące produktów każdego dnia, nie może sobie pozwolić na testowanie każdego produktu w celu ustalenia, czy jest on wadliwy, czy nie. Aby dowiedzieć się, jaki procent produktów jest wadliwy, firma testuje znacznie mniej produktów.
USDA wymaga, aby 80% nasion sprzedawanych przez hodowców kiełkowało. Aby określić jakość nasion produkowanych przez firmę rolniczą, sadzi się 500 nasion wyprodukowanych. Następnie obliczono, że wykiełkowało 417 nasion.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ziarno wykiełkuje?

b) Czy nasiona spełniają standardy rządowe?

Rozwiązanie a) Wiemy, że z 500 nasion, które zostały zasiane, wykiełkowało 417. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion P i
P = 417/500 = 0,834, czyli 83,4%.

b) Ponieważ procent wykiełkowanych nasion przekroczył wymagane 80%, nasiona spełniają standardy rządowe.

Przykład 3 Oceny telewizji. Według statystyk w Stanach Zjednoczonych jest 105 500 000 gospodarstw domowych wyposażonych w telewizory. Co tydzień zbierane i przetwarzane są informacje o oglądaniu programów. W ciągu tygodnia 7 815 000 gospodarstw domowych obejrzało hitowy serial komediowy „Wszyscy kochają Raymonda” w telewizji CBS, a 8 302 000 gospodarstw domowych obejrzało hitowy serial „Prawo i porządek” w NBC (źródło: Nielsen Media Research). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym tygodniu telewizor w jednym gospodarstwie domowym będzie nastawiony na „Wszyscy kochają Raymonda” lub na „Prawo i porządek”?

Rozwiązanie Prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym gospodarstwie domowym jest nastrojony na „Wszyscy kochają Raymonda”, wynosi P i
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Prawdopodobieństwo, że telewizor w gospodarstwie domowym był nastawiony na „Prawo i porządek”, wynosi P i
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Te wartości procentowe nazywane są ocenami.

Prawdopodobieństwo teoretyczne

Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment, taki jak rzucanie monetą lub rzutkami, wyciąganie karty z talii lub testowanie jakości produktów na linii montażowej. Każdy możliwy wynik takiego eksperymentu nazywa się Exodus . Zbiór wszystkich możliwych wyników nazywa się przestrzeń wynikowa . Wydarzenie jest to zbiór wyników, czyli podzbiór przestrzeni wyników.

Przykład 4 Rzucanie rzutkami. Załóżmy, że w eksperymencie z rzucaniem strzałką strzałka trafia w cel. Znajdź każdy z poniższych elementów:

b) Przestrzeń wynikowa

Rozwiązanie
a) Wyniki są następujące: trafienie czarnego (B), trafienie czerwonego (R) i trafienie białego (B).

b) Przestrzeń wyników to (trafienie czarnego, trafienie czerwonego, trafienie białego), co można zapisać po prostu jako (H, K, B).

Przykład 5 Rzucanie kostkami. Kostka to sześcian o sześciu bokach, na każdym z nich znajduje się od jednej do sześciu kropek.


Załóżmy, że rzucamy kostką. Znajdować
a) Wyniki
b) Przestrzeń wynikowa

Rozwiązanie
a) Wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Pole wyniku (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E oznaczamy jako P(E). Na przykład „moneta wyląduje na orle” można oznaczyć jako H. Wtedy P(H) oznacza prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na orle. Kiedy wszystkie wyniki eksperymentu mają to samo prawdopodobieństwo wystąpienia, mówimy, że są one jednakowo prawdopodobne. Aby zobaczyć różnice między zdarzeniami, które są równie prawdopodobne, a zdarzeniami, które nie są, rozważ cel pokazany poniżej.

W przypadku celu A zdarzenia trafienia w czarny, czerwony i biały są równie prawdopodobne, ponieważ sektory czarny, czerwony i biały są takie same. Jednakże dla celu B strefy o tych kolorach nie są takie same, czyli trafienie w nie nie jest jednakowo prawdopodobne.

Zasada P (teoretyczna)

Jeśli zdarzenie E może nastąpić na m sposobów z n możliwych, równie prawdopodobnych wyników z przestrzeni wyników S, to prawdopodobieństwo teoretyczne zdarzeń, P(E) jest
P(E) = m/n.

Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucisz kostką i wypadnie 3?

Rozwiązanie Na kostce jest 6 jednakowo prawdopodobnych wyników i istnieje tylko jedna możliwość wyrzucenia liczby 3. Wtedy prawdopodobieństwo P będzie wynosić P(3) = 1/6.

Przykład 7 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby na kostce?

Rozwiązanie Zdarzenie polega na rzuceniu liczby parzystej. Może się to zdarzyć na 3 sposoby (jeśli wyrzucisz 2, 4 lub 6). Liczba równie prawdopodobnych wyników wynosi 6. Wtedy prawdopodobieństwo P (parzyste) = 3/6 lub 1/2.

Posłużymy się wieloma przykładami dotyczącymi standardowej talii 52 kart. Ta talia składa się z kart pokazanych na poniższym rysunku.

Przykład 8 Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z dobrze potasowanej talii kart?

Rozwiązanie Wyników jest 52 (liczba kart w talii), są one jednakowo prawdopodobne (jeśli talia jest dobrze potasowana) i są 4 sposoby na wylosowanie asa, więc zgodnie z zasadą P prawdopodobieństwo
P (wylosuj asa) = 4/52 lub 1/13.

Przykład 9 Załóżmy, że bez patrzenia wybieramy jedną kulę z worka, w którym znajdują się 3 kule czerwone i 4 kule zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czerwoną?

Rozwiązanie Istnieje 7 równie prawdopodobnych wyników losowania dowolnej kuli, a ponieważ liczba sposobów wylosowania czerwonej kuli wynosi 3, otrzymujemy
P (wybór czerwonej kuli) = 3/7.

Poniższe stwierdzenia wynikają z Zasady P.

Właściwości prawdopodobieństwa

a) Jeżeli zdarzenie E nie może zaistnieć, to P(E) = 0.
b) Jeśli zdarzenie E jest pewne, to P(E) = 1.
c) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia E jest liczbą od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na przykład podczas rzutu monetą prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na krawędzi, ma zerowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie orzeł lub reszka, wynosi 1.

Przykład 10 Załóżmy, że z talii 52 kart dobieramy 2 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba z nich są szczytami?

Rozwiązanie Liczba n sposobów dobrania 2 kart z dobrze potasowanej talii 52 kart wynosi 52 C 2 . Ponieważ 13 z 52 kart to pik, liczba sposobów wyciągnięcia 2 pik wynosi 13 C 2 . Następnie,
P(wyciąganie 2 pików) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Przykład 11 Załóżmy, że z grupy składającej się z 6 mężczyzn i 4 kobiet zostaną losowo wybrane 3 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety?

Rozwiązanie Liczba sposobów wyboru trzech osób z grupy 10 osób wynosi 10 C 3. Jednego mężczyznę można wybrać na 6 sposobów C 1, a dwie kobiety można wybrać na 4 sposoby C 2. Zgodnie z podstawową zasadą liczenia liczba sposobów wyboru 1 mężczyzny i 2 kobiet wynosi 6 C 1. 4 do 2 . Zatem prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety, wynosi
P. = 6 do 1 . 4 do 2 / 10 do 3 = 3/10.

Przykład 12 Rzucanie kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na dwóch kostkach wyrzucimy w sumie 8?

Rozwiązanie Każda kostka ma 6 możliwych wyników. Wyniki są podwajane, co oznacza, że ​​liczby na obu kostkach mogą pojawić się na 6,6 lub 36 możliwych sposobów. (Lepiej, jeśli kostki są różne, powiedzmy, że jedna jest czerwona, a druga niebieska - pomoże to zobrazować wynik.)

Pary liczb, których suma daje 8, pokazano na poniższym rysunku. Istnieje 5 możliwych sposobów uzyskania sumy równej 8, stąd prawdopodobieństwo wynosi 5/36.

W ekonomii, podobnie jak w innych obszarach działalności człowieka czy w przyrodzie, nieustannie mamy do czynienia ze zdarzeniami, których nie da się dokładnie przewidzieć. Zatem wielkość sprzedaży produktu zależy od popytu, który może się znacznie różnić, a także od wielu innych czynników, których prawie nie można wziąć pod uwagę. Dlatego organizując produkcję i prowadząc sprzedaż, trzeba przewidzieć wynik takich działań na podstawie albo własnych, wcześniejszych doświadczeń, albo podobnych doświadczeń innych osób, albo intuicji, która w dużej mierze opiera się także na danych eksperymentalnych.

Aby w jakiś sposób ocenić dane wydarzenie, należy wziąć pod uwagę lub specjalnie zorganizować warunki, w jakich to wydarzenie jest rejestrowane.

Nazywa się wdrożeniem określonych warunków lub działań mających na celu identyfikację danego zdarzenia doświadczenie Lub eksperyment.

Wydarzenie nazywa się losowy, jeśli w wyniku doświadczenia może to nastąpić lub nie.

Wydarzenie nazywa się niezawodny, jeśli koniecznie pojawia się w wyniku danego doświadczenia, oraz niemożliwe, jeśli nie może pojawić się w tym doświadczeniu.

Na przykład opady śniegu w Moskwie 30 listopada są zdarzeniem losowym. Codzienny wschód słońca można uznać za wydarzenie wiarygodne. Opady śniegu na równiku można uznać za wydarzenie niemożliwe.

Jednym z głównych zadań teorii prawdopodobieństwa jest określenie ilościowej miary możliwości wystąpienia zdarzenia.

Algebra zdarzeń

Zdarzenia nazywane są niezgodnymi, jeśli nie można ich obserwować razem w tym samym doświadczeniu. Zatem obecność dwóch i trzech samochodów w jednym sklepie na sprzedaż w tym samym czasie to dwa zdarzenia niezgodne.

Kwota zdarzeniami jest zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń

Przykładem sumy zdarzeń jest obecność w sklepie przynajmniej jednego z dwóch produktów.

Praca zdarzeniem jest zdarzenie polegające na jednoczesnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń

Zdarzenie polegające na pojawieniu się w sklepie jednocześnie dwóch towarów jest wypadkową zdarzeń: - pojawienia się jednego produktu, - pojawienia się innego produktu.

Zdarzenia tworzą kompletną grupę zdarzeń, jeśli przynajmniej jedno z nich ma pewność wystąpienia w doświadczeniu.

Przykład. Port posiada dwa stanowiska do przyjmowania statków. Można uwzględnić trzy zdarzenia: - brak statków przy nabrzeżach, - obecność jednego statku przy jednym z nabrzeży, - obecność dwóch statków przy dwóch nabrzeżach. Te trzy wydarzenia tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Naprzeciwko nazywane są dwa unikalne możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę.

Jeśli jedno ze zdarzeń przeciwnych jest oznaczone przez , wówczas zdarzenie przeciwne jest zwykle oznaczane przez .

Klasyczne i statystyczne definicje prawdopodobieństwa zdarzenia

Każdy z równie możliwych wyników testów (eksperymentów) nazywany jest wynikiem elementarnym. Zazwyczaj są one oznaczone literami. Na przykład rzuca się kostką. W sumie może być sześć podstawowych wyników w zależności od liczby punktów po bokach.

Z elementarnych wyników możesz stworzyć bardziej złożone wydarzenie. Zatem o przypadku parzystej liczby punktów decydują trzy wyniki: 2, 4, 6.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia danego zdarzenia jest prawdopodobieństwo.

Najczęściej używane definicje prawdopodobieństwa zdarzenia to: klasyczny I statystyczny.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wiąże się z koncepcją korzystnego wyniku.

Wynik nazywa się korzystny do danego zdarzenia, jeżeli jego wystąpienie pociąga za sobą zajście tego zdarzenia.

W powyższym przykładzie dane wydarzenie – parzysta liczba punktów na wyrzuconej stronie – ma trzy korzystne wyniki. W tym wypadku generał
liczbę możliwych wyników. Oznacza to, że można tu zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia.

Klasyczna definicja równa się stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby możliwych wyników

gdzie jest prawdopodobieństwem zdarzenia, jest liczbą wyników korzystnych dla zdarzenia, jest całkowitą liczbą możliwych wyników.

W rozważanym przykładzie

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z koncepcją względnej częstotliwości występowania zdarzenia w eksperymentach.

Względną częstotliwość występowania zdarzenia oblicza się ze wzoru

gdzie jest liczbą wystąpień zdarzenia w serii eksperymentów (testów).

Definicja statystyczna. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, wokół której stabilizuje się (ustala) częstotliwość względna przy nieograniczonym wzroście liczby eksperymentów.

W problemach praktycznych prawdopodobieństwo zdarzenia przyjmuje się jako względną częstotliwość dla wystarczająco dużej liczby prób.

Z tych definicji prawdopodobieństwa zdarzenia wynika, że ​​nierówność jest zawsze spełniona

Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wzoru (1.1), często stosuje się wzory kombinatoryczne, które służą do znalezienia liczby korzystnych wyników i całkowitej liczby możliwych wyników.

Klasyczna i statystyczna definicja prawdopodobieństwa

Do działań praktycznych konieczna jest umiejętność porównywania zdarzeń ze względu na stopień możliwości ich wystąpienia. Rozważmy klasyczny przypadek. W urnie jest 10 kul, 8 z nich jest białych, 2 są czarne. Oczywiście zdarzenie „z urny zostanie wylosowana kula biała” i zdarzenie „z urny zostanie wylosowana kula czarna” mają różny stopień prawdopodobieństwa wystąpienia. Dlatego do porównania zdarzeń potrzebna jest pewna miara ilościowa.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia zdarzenia jest prawdopodobieństwo . Najczęściej stosowane definicje prawdopodobieństwa zdarzenia są klasyczne i statystyczne.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwo wiąże się z koncepcją korzystnego wyniku. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Niech wyniki jakiegoś testu tworzą kompletną grupę zdarzeń i są równie możliwe, tj. wyjątkowo możliwe, niezgodne i równie możliwe. Takie wyniki nazywane są elementarne wyniki, Lub sprawy. Mówi się, że test sprowadza się do schemat sprawy Lub " schemat urny", ponieważ Każdy problem prawdopodobieństwa dla takiego testu można zastąpić równoważnym problemem z urnami i kulami o różnych kolorach.

Wynik nazywa się korzystny wydarzenie A, jeżeli zajście tego przypadku pociąga za sobą zajście zdarzenia A.

Według klasycznej definicji prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowitej liczby wyników, tj.

,

(1.1)

Gdzie ROCZNIE)– prawdopodobieństwo zdarzenia A; M– liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N– łączna liczba przypadków.

Przykład 1.1. Podczas rzucania kostką istnieje sześć możliwych wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia parzystej liczby punktów?

Rozwiązanie. Wszystko N= 6 wyników tworzy kompletną grupę zdarzeń i jest równie możliwych, tj. wyjątkowo możliwe, niezgodne i równie możliwe. Zdarzeniu A – „pojawieniu się parzystej liczby punktów” – sprzyjają 3 wyniki (przypadki) – utrata 2, 4 lub 6 punktów. Korzystając z klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia, otrzymujemy

ROCZNIE) = = . ◄

Opierając się na klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia, zauważamy jego właściwości:

1. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od zera do jednego, tj.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden.

3. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.

Jak wspomniano wcześniej, klasyczna definicja prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mogą powstać w wyniku testów posiadających symetrię możliwych wyników, tj. można sprowadzić do wzoru przypadków. Istnieje jednak duża klasa zdarzeń, których prawdopodobieństwa nie można obliczyć przy użyciu klasycznej definicji.

Na przykład, jeśli założymy, że moneta jest spłaszczona, to oczywiste jest, że wydarzeń „pojawienie się herbu” i „pojawienie się głów” nie można uznać za równie prawdopodobne. Dlatego wzór na określenie prawdopodobieństwa według schematu klasycznego nie ma w tym przypadku zastosowania.

Istnieje jednak inne podejście do szacowania prawdopodobieństwa zdarzeń, oparte na częstotliwości występowania danego zdarzenia w przeprowadzonych próbach. W tym przypadku stosuje się statystyczną definicję prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo statystycznezdarzenie A jest względną częstością (częstotliwością) występowania tego zdarzenia w n przeprowadzonych próbach, tj.

,

(1.2)

Gdzie ROCZNIE)– statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A; wa)– względna częstotliwość zdarzenia A; M– liczba prób, w których zdarzenie miało miejsce A; N– łączna liczba testów.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa matematycznego ROCZNIE), rozpatrywane w klasycznej definicji, prawdopodobieństwo statystyczne ROCZNIE) jest cechą doświadczony, eksperymentalny. Innymi słowy, statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A to liczba, wokół której stabilizuje się (ustawiona) częstotliwość względna wa) z nieograniczonym wzrostem liczby badań przeprowadzanych w tych samych warunkach.

Na przykład, gdy mówią o strzelcu, że trafia w cel z prawdopodobieństwem 0,95, oznacza to, że spośród setek strzałów oddanych przez niego w określonych warunkach (ten sam cel w tej samej odległości, ten sam karabin itp.). ), średnio jest ich około 95. Oczywiście nie na każdą setkę będzie oddanych 95 udanych strzałów, czasem będzie ich mniej, czasem więcej, ale średnio przy wielokrotnych powtórzeniach strzelań w tych samych warunkach ten procent trafień pozostanie niezmieniony. Liczba 0,95, która służy jako wskaźnik umiejętności strzelca, jest zwykle bardzo duża stabilny, tj. procent trafień w większości strzelań będzie dla danego strzelca prawie taki sam, jedynie w nielicznych przypadkach odbiegając znacząco od wartości średniej.

Kolejna wada klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( 1.1 ) ograniczeniem jego zastosowania jest to, że zakłada skończoną liczbę możliwych wyników testu. W niektórych przypadkach tę wadę można przezwyciężyć, stosując geometryczną definicję prawdopodobieństwa, tj. wyznaczanie prawdopodobieństwa wpadnięcia punktu w określony obszar (odcinek, część płaszczyzny itp.).

Niech płaska figura G tworzy część płaskiej figury G(ryc. 1.1). Pasować G kropka jest rzucana losowo. Oznacza to, że wszystkie punkty w regionie G„równe prawa” w odniesieniu do tego, czy trafi w niego rzucony losowy punkt. Zakładając, że prawdopodobieństwo zdarzenia A– rzucony punkt uderza w figurę G– jest proporcjonalna do pola tej figury i nie zależy od jej położenia względem G, ani z formularza G, znajdziemy