Co zrobić ze stopniami, jeśli podstawy są różne. Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

19.10.2019

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie ich potrzebujesz? Dlaczego musisz poświęcać czas na ich studiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o stopniach, do czego służą i jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni naukowych przybliży Cię do pomyślnego zdania egzaminu OGE lub Unified State Examination i wejścia na uniwersytet swoich marzeń.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz bełkot, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to ta sama operacja matematyczna, co dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a potem wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, mocniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, ładniejszy:

A jakie inne trudne sztuczki z liczeniem wymyślili leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to. I rozwiązuj takie zagadki w głowie - szybciej, łatwiej i bez błędów.

Aby to zrobić, potrzebujesz tylko pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Nawiasem mówiąc, dlaczego nazywa się drugi stopień kwadrat numery i trzeci sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen mierzący metry po metrach. Basen jest na twoim podwórku. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen bez dna! Konieczne jest pokrycie dna basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać powierzchnię dna basenu.

Można po prostu policzyć szturchając palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli twoje płytki są metr po metrze, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś taką płytkę? Płytka będzie raczej cm na cm, a wtedy będzie Was męczyło „liczenie palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu umieścimy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Mnożąc przez, otrzymujesz płytki ().

Czy zauważyłeś, że pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie, aby określić powierzchnię dna basenu? Co to znaczy? Ponieważ ta sama liczba jest mnożona, możemy zastosować technikę potęgowania. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach Dla egzaminu jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do drugiego stopnia będzie (). Albo możesz powiedzieć, że będzie trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie, policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Z jednej strony komórek i z drugiej też. Aby policzyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub… jeśli zauważysz, że szachownica jest kwadratem z bokiem, możesz podnieść osiem do kwadratu. Zdobądź komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze mierzy się w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dolny o średnicy jednego metra i głębokości metra i spróbuj obliczyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr wejdzie do twojego basen.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery…dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy… Ile wyszło? Nie zgubiłeś się? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość puli będzie równa kostkom… Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, jeśli sprawiają, że jest to zbyt łatwe. Sprowadzono wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie… I co to oznacza? Oznacza to, że możesz używać tego stopnia. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy w sześcianie to równość. Jest napisane tak:

Pozostaje tylko zapamiętaj tabelę stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu Cię przekonać, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez próżniaków i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy Twój milion na początku każdego roku podwaja się. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! Tak więc w pierwszym roku - dwa razy dwa... w drugim roku - co się stało, o dwa kolejne, w trzecim roku... Stop! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona jeden raz. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto szybciej policzy, zgarnie te miliony... Czy warto pamiętać o stopniach liczb, co o tym myślisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku zarabiasz dwa więcej na każdy milion. To wspaniale, prawda? Każdy milion jest potrójny. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny ... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem czwarta potęga to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania…

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prostsza jest liczba znajdująca się na dole, u podstawy.

Dla pewności masz tu zdjęcie.

Cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać… Stopień z podstawą „” i wskaźnikiem „” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to te, których używamy do liczenia przy wyliczaniu przedmiotów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też „jedna trzecia” ani „przecinek zero pięć dziesiątych”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) oraz liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy nie ma nic. A co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby oznaczać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak do nich doszło, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie mieli wystarczającej liczby liczb naturalnych, aby zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne… Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (czyli liczba całkowita i dodatnia).

Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
Poszerzyć liczbę do sześcianu, to pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:
.

Właściwości stopnia

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy, co jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy czynniki do czynników i otrzymaliśmy czynniki.

Ale z definicji jest to stopień liczby z wykładnikiem, czyli: , który należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie musi być ten sam powód!
Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

tylko dla produktów mocy!

W żadnym wypadku nie powinieneś tak pisać.

2. to znaczy -ta potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej właściwości, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie jednokrotnie, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to nieprawda, naprawdę.

Stopień z podstawą ujemną

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W stopniach od naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy jest ona dodatnia, ujemna, czy parzysta.

Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy, okaże się.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 praktycznych przykładów

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tutaj zobaczymy? Przyjrzyjmy się programowi klasy 7. Więc pamiętaj? To jest skrócony wzór na mnożenie, czyli różnica kwadratów! Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Zła kolejność terminów. Gdyby zostały zamienione, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Terminy w magiczny sposób zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: znaki w nawiasach możemy dowolnie zmieniać.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajemy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewną moc z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było -. Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy w dowolnym stopniu - niezależnie od tego, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do stopnia zerowego, musi być równa. Jaka więc jest w tym prawda? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Idźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują liczby ujemne. Aby zrozumieć, co to jest stopień ujemny, zróbmy to samo, co ostatnim razem: mnożymy jakąś liczbę normalną przez tę samą w stopniu ujemnym:

Stąd już łatwo jest wyrazić pożądane:

Teraz rozszerzamy powstałą regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej. Ale w tym samym czasie baza nie może mieć wartości null:(bo nie da się dzielić).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba, która nie jest równa zeru do potęgi ujemnej, jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady samodzielnego rozwiązania:

Analiza zadań pod kątem samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie trzeba być gotowym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązanie, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a dowiesz się, jak łatwo sobie z nimi poradzić na egzaminie!

Kontynuujmy rozszerzanie kręgu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważ liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są ponadto liczbami całkowitymi.

Aby zrozumieć, co jest „stopień ułamkowy” Rozważmy ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Teraz pamiętaj o zasadzie „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi x liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem stopnia th jest odwrotna operacja potęgowania: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodaj licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania dzięki regule mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie ze wszystkich liczb można wyodrębnić pierwiastek.

Nic!

Zapamiętaj zasadę: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie można wyodrębnić pierwiastków stopnia parzystego z liczb ujemnych!

A to oznacza, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z ekspresją?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, zredukowanych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, a to po prostu dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Ale gdy tylko napiszemy wskaźnik w inny sposób, znów pojawiają się kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanów się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

- Liczba naturalna;
jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Potęgi z wykładnikiem wymiernym są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 praktycznych przykładów

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz - najtrudniejsze. Teraz przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopni z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Rzeczywiście, z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i racjonalnym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...moc zerowa- jest to jakby liczba raz pomnożona przez samą siebie, to znaczy nie zaczęła się jeszcze mnożyć, co oznacza, że sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pustym numerem” , mianowicie liczba;

...ujemny wykładnik całkowity- to tak, jakby nastąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często używa się stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od już zwykłej zasady podnoszenia stopnia o stopień:

Teraz spójrz na wynik. Czy on ci coś przypomina? Przypominamy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach doprowadzamy do tej samej formy: albo dziesiętnej, albo zwykłej. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Definicja stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

— podstawa stopnia;
- wykładnik.

Stopień z wykładnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

erekcja do zerowej mocy:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest liczba całkowita ujemna numer:

(bo nie da się dzielić).

Jeszcze raz o wartościach null: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Stopień z wykładnikiem racjonalnym

- Liczba naturalna;
jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Właściwości stopnia

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymuje się następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie musi opierać się na tej samej zasadzie. Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla produktów mocy!

W żadnym wypadku nie powinienem tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej właściwości, przejdźmy do definicji stopnia:

Uporządkujmy to tak:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie jednokrotnie, czyli zgodnie z definicją jest to -ta potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości:!

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to nieprawda, naprawdę.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy tylko to, co powinno być indeks stopień. Ale co powinno być podstawą? W stopniach od naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy jest ona dodatnia, ujemna, czy parzysta. Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy -.

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Możesz sformułować następujące proste zasady:

nawet stopień, - liczba pozytywny.
Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
Liczba dodatnia do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętasz, staje się jasne, co oznacza, że podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przeanalizujemy ostatnią regułę, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wartości wyrażeń:

Rozwiązania :

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tutaj zobaczymy? Przyjrzyjmy się programowi klasy 7. Więc pamiętaj? To jest skrócony wzór na mnożenie, czyli różnica kwadratów!

Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Zła kolejność terminów. Gdyby je odwrócić, można by zastosować zasadę 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz wygląda to tak:

Terminy w magiczny sposób zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: znaki w nawiasach możemy dowolnie zmieniać. Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić zmianą tylko jednego dla nas niemiłego minusa!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile będzie liter? razy przez mnożniki - jak to wygląda? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: łącznie okazało się, że są mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień ze wskaźnikiem irracjonalnym. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (tj. , wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i racjonalnym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do stopnia zerowego jest jakby liczbą raz pomnożoną przez samą siebie, czyli nie zaczęła się jeszcze mnożyć, co oznacza, że sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła – zatem wynik jest tylko pewne „przygotowanie liczby”, czyli liczby; stopień ze wskaźnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który stworzyli matematycy, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często używa się stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Odpowiedzi:

Zapamiętaj różnicę we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
Doprowadzamy ułamki do tej samej formy: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

PODSUMOWANIE SEKCJI I PODSTAWOWA FORMUŁA

Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Stopień z wykładnikiem racjonalnym

stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

wykładnik, którego wykładnik jest nieskończonym ułamkiem dziesiętnym lub pierwiastkiem.

Właściwości stopnia

Cechy stopni.

Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
Liczba dodatnia do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
Zero jest równe dowolnej potędze.
Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Daj mi znać w komentarzach poniżej, czy Ci się podobało, czy nie.

Podziel się z nami swoimi doświadczeniami z właściwościami mocy.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Podział władz o tej samej podstawie. Główną właściwość stopnia opartą na właściwościach mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej stopni o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych.

3.a-3 to a0 = 1, drugi licznik. W bardziej złożonych przykładach mogą zaistnieć przypadki, gdy trzeba będzie mnożyć i dzielić potęgi o różnych podstawach i różnych wykładnikach. Teraz rozważ je na konkretnych przykładach i spróbuj udowodnić.

W ten sposób udowodniliśmy, że dzieląc dwie potęgi o tych samych podstawach, należy odjąć ich wskaźniki. Po określeniu stopnia liczby logiczne jest mówienie o właściwościach stopnia.

Tutaj podamy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane przy rozwiązywaniu przykładów. Na przykład główna właściwość ułamka am·an=am+n przy upraszczaniu wyrażeń jest często używana w postaci am+n=am·an. Podajmy przykład potwierdzający główną właściwość stopnia. Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w sformułowaniu.

Właściwości stopni ze wskaźnikami naturalnymi

Warunek m>n wprowadza się, abyśmy nie wychodzili poza wykładniki naturalne. Z otrzymanej równości am−n·an=am oraz związku między mnożeniem i dzieleniem wynika, że am−n jest ilorazem am i an. Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach. Dla przejrzystości pokażemy tę właściwość na przykładzie. Na przykład równość dotyczy dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s. Dla większej przejrzystości podamy przykład z konkretnymi liczbami: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Dodawanie i odejmowanie jednomianów

Fakt ten oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich również będzie liczbą dodatnią. Jest całkiem oczywiste, że dla dowolnego naturalnego n z a=0 stopień an wynosi zero. Rzeczywiście, 0n=0·0·…·0=0. Na przykład 03=0 i 0762=0. Przejdźmy do podstaw ujemnych. Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną.

Przechodzimy do dowodu tej własności. Udowodnimy, że dla m>n i 0 Pozostaje udowodnić drugą część własności. Zatem am−an>0 i am>an, co należało udowodnić. Udowodnienie każdej z tych własności nie jest trudne, w tym celu wystarczy posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym, a także właściwości działań z liczbami rzeczywistymi.

Jeśli p=0, to mamy (a0)q=1q=1 i a0 q=a0=1, skąd (a0)q=a0 q. Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym zapisanym w postaci równości. Warunki p 0 w tym przypadku będą równoważne odpowiednio warunkom m 0.

W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m1>m2, co wynika z reguły porównywania ułamków zwyczajnych o tych samych mianownikach. Te nierówności we właściwościach pierwiastków można przepisać jako i odpowiednio. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio.

Podstawowe własności logarytmów

Obliczanie wartości mocy nazywa się działaniem potęgującym. Oznacza to, że obliczając wartość wyrażenia niezawierającego nawiasów, najpierw wykonaj czynność trzeciego kroku, potem drugiego (mnożenie i dzielenie), a na końcu pierwszego (dodawanie i odejmowanie). Operacje z korzeniami.

Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy wykładniki tylko z wykładnikami naturalnymi, ale działania z wykładnikami i pierwiastkami mogą również prowadzić do wykładników ujemnych, zerowych i ułamkowych. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji. Jeżeli chcemy, aby wzór a m: a n=a m - n obowiązywał dla m = n, musimy zdefiniować stopień zerowy.

Mnożenie potęg liczb o tych samych wykładnikach. Następnie formułujemy twierdzenie o podziale potęg o równych podstawach, rozwiązujemy problemy wyjaśniające i udowadniamy twierdzenie w przypadku ogólnym. Przejdźmy teraz do definicji potęg ujemnych. Można to łatwo sprawdzić, podstawiając wzór z definicji do pozostałych właściwości. Aby rozwiązać ten problem, pamiętaj, że: 49 = 7^2 i 147 = 7^2 * 3^1. Jeśli teraz ostrożnie wykorzystasz właściwości stopni (podnosząc stopień do potęgi, wykładniki ...

Oznacza to, że wykładniki są naprawdę odejmowane, ale ponieważ wykładnik jest ujemny w mianowniku wykładnika, odejmowanie minus przez minus daje plus i wykładniki są dodawane. Przypomnijmy sobie, co nazywa się jednomianem i jakie operacje można wykonać na jednomianach. Przypomnijmy, że aby doprowadzić jednomian do postaci standardowej, należy najpierw uzyskać współczynnik liczbowy, mnożąc wszystkie współczynniki liczbowe, a następnie pomnożyć odpowiednie potęgi.

Przejście na nowy fundament

Oznacza to, że musimy nauczyć się rozróżniać między podobnymi i niepodobnymi jednomianami. Dochodzimy do wniosku: podobne jednomiany mają tę samą część literową i takie jednomiany można dodawać i odejmować.

Dziękujemy za twoją opinię. Jeśli podoba Ci się nasz projekt i jesteś gotowy pomóc lub wziąć w nim udział, prześlij informację o projekcie swoim znajomym i współpracownikom. W poprzednim filmie zostało powiedziane, że w przykładach z jednomianami możliwe jest jedynie mnożenie: „Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi.

Sama koncepcja jednomianu jako jednostki matematycznej zakłada jedynie mnożenie liczb i zmiennych, jeśli istnieją inne operacje, wyrażenie nie będzie już jednomianem. Ale jednocześnie jednomiany można dodawać, odejmować, dzielić między sobą… Logarytmy, jak dowolne liczby, można dodawać, odejmować i przekształcać na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które nazywane są podstawowymi właściwościami.

Uwaga: kluczową kwestią są tutaj te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają! Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. Z drugiego wzoru wynika, że możliwa jest zamiana podstawy i argumentu logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Oznacza to, że stopień naturalny n iloczynu k czynników zapisuje się jako (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Nie ma żadnych zasad dodawania i odejmowania potęg o tej samej podstawie. Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. 4. Skróć wykładniki 2a4/5a3 i 2/a4 i sprowadź je do wspólnego mianownika.

Artykuły z zakresu nauk przyrodniczych i matematyki

Własności potęg o tej samej podstawie

Istnieją trzy własności potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Ten

Praca suma

Prywatny dwie potęgi o tej samej podstawie są równe wyrażeniu, w którym podstawa jest taka sama, a wykładnik jest taki sam różnica wskaźniki pierwotnych mnożników.

Podnoszenie potęgi liczby do potęgi jest równe wyrażeniu, którego podstawa jest tą samą liczbą, a wykładnik jest taki sam praca dwa stopnie.

Bądź ostrożny! Zasady dot Dodawanie i odejmowanie potęgi o tej samej podstawie nie istnieje.

Te reguły-właściwości zapisujemy w formie wzorów:

za m × za n = za m + n

za m ÷ za n = za m – n

(rano) n = a mn

Teraz rozważ je na konkretnych przykładach i spróbuj udowodnić.

5 2 × 5 3 = 5 5 - tutaj zastosowaliśmy regułę; a teraz wyobraźmy sobie, jak rozwiązalibyśmy ten przykład, gdybyśmy nie znali zasad:

5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - pięć do kwadratu to pięć razy pięć, a sześcian to iloczyn trzech piątek. Wynik jest iloczynem pięciu piątek, ale jest to coś innego niż pięć do potęgi piątej: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapiszmy dzielenie w postaci ułamka zwykłego:

Można to skrócić:

W rezultacie otrzymujemy:

W ten sposób udowodniliśmy, że dzieląc dwie potęgi o tych samych podstawach, należy odjąć ich wskaźniki.

Jednak podczas dzielenia dzielnik nie może być równy zeru (ponieważ nie można dzielić przez zero). Dodatkowo, ponieważ stopnie uwzględniamy tylko przy pomocy wskaźników naturalnych, w wyniku odjęcia wskaźników nie możemy otrzymać liczby mniejszej niż 1. Dlatego też na wzór a m ÷ a n = a m–n nałożone są ograniczenia: a ≠ 0 i m > n .

Przejdźmy do trzeciej właściwości:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8

Napiszmy w rozszerzonej formie:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Można dojść do takiego wniosku i logicznego rozumowania. Musisz pomnożyć dwa do kwadratu cztery razy. Ale w każdym kwadracie znajdują się dwie dwójki, więc w sumie będzie ich osiem.

scienceland.info

właściwości stopnia

Przypominamy, że na tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Stopnie z racjonalnymi wskaźnikami i ich właściwościami zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.

Wykładnik z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia na przykładach wykładników.

Właściwość nr 1
Produkt mocy

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.

a m a n \u003d a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.

Ta właściwość potęg wpływa również na iloczyn trzech lub więcej potęg.

Uprość wyrażenie.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Obecny jako stopień.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Obecny jako stopień.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Należy pamiętać, że we wskazanej własności chodziło jedynie o pomnożenie potęg o tych samych podstawach.. Nie dotyczy to ich dodawania.

Nie można zastąpić sumy (3 3 + 3 2) liczbą 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Właściwość nr 2
Stopnie prywatne

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.

Zapisz iloraz jako potęgę
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Oblicz.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności stopni cząstkowych.
3 8: t = 3 4

Odpowiedź: t = 3 4 = 81

Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, można łatwo upraszczać wyrażenia i wykonywać obliczenia.

Przykład. Znajdź wartość wyrażenia, korzystając z właściwości stopni.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Należy pamiętać, że własność 2 dotyczyła tylko podziału władzy o tych samych podstawach.

Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 −4 2) liczbą 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli obliczysz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Właściwość nr 3
Potęgowanie

Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa potęgi pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.

(a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.

Należy pamiętać, że właściwość nr 4, podobnie jak inne właściwości stopni, również stosuje się w odwrotnej kolejności.

(a n b n) = (a b) n

Oznacza to, że aby pomnożyć stopnie przez te same wykładniki, można pomnożyć podstawy i pozostawić wykładnik bez zmian.

Przykład. Oblicz.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Przykład. Oblicz.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

W bardziej złożonych przykładach mogą zaistnieć przypadki, gdy trzeba będzie mnożyć i dzielić potęgi o różnych podstawach i różnych wykładnikach. W takim przypadku zalecamy wykonanie następujących czynności.

Na przykład 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Przykład potęgowania ułamka dziesiętnego.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Właściwości 5
Potęga ilorazu (ułamki)

Aby podnieść iloraz do potęgi, możesz oddzielnie podnieść dzielną i dzielnik do tej potęgi i podzielić pierwszy wynik przez drugi.

(a: b) n \u003d a n: b n, gdzie „a”, „b” to dowolne liczby wymierne, b ≠ 0, n to dowolna liczba naturalna.

Przykład. Wyraź wyrażenie w postaci potęg cząstkowych.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo omówimy temat podnoszenia ułamka do potęgi na następnej stronie.

Mnożenie i dzielenie liczb z potęgami

Jeśli chcesz podnieść konkretną liczbę do potęgi, możesz skorzystać z tabeli potęg liczb naturalnych od 2 do 25 w algebrze. Przyjrzymy się teraz bliżej właściwości potęg.

Liczby wykładnicze otwierają ogromne możliwości, pozwalają zamienić mnożenie na dodawanie, a dodawanie jest znacznie łatwiejsze niż mnożenie.

Na przykład musimy pomnożyć 16 przez 64. Wynik pomnożenia tych dwóch liczb wynosi 1024. Ale 16 to 4x4, a 64 to 4x4x4. Zatem 16 razy 64 = 4x4x4x4x4, co również równa się 1024.

Liczbę 16 można również przedstawić jako 2x2x2x2, a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a jeśli pomnożymy, ponownie otrzymamy 1024.

A teraz skorzystamy z zasady podnoszenia liczby do potęgi. 16=4 2 lub 2 4 , 64=4 3 lub 2 6 , podczas gdy 1024=6 4 =4 5 lub 2 10 .

Dlatego nasze zadanie można zapisać inaczej: 4 2 x4 3 =4 5 lub 2 4 x2 6 =2 10 i za każdym razem otrzymamy 1024.

Możemy rozwiązać wiele podobnych przykładów i zobaczyć, że mnożenie liczb przez potęgi sprowadza się do dodawanie wykładników lub wykładnik oczywiście pod warunkiem, że podstawy współczynników są równe.

Zatem bez mnożenia możemy od razu powiedzieć, że 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Zasada ta obowiązuje również przy dzieleniu liczb przez potęgi, ale w tym przypadku np wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dywidendy. Zatem 2 5:2 3 =2 2 , co w zwykłych liczbach jest równe 32:8=4, czyli 2 2 . Podsumujmy:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi.

Na pierwszy rzut oka mogłoby się tak wydawać mnożenie i dzielenie liczb z potęgami niezbyt wygodne, ponieważ najpierw musisz przedstawić liczbę w formie wykładniczej. Nie jest trudno przedstawić w tej formie liczby 8 i 16, czyli 2 3 i 2 4, ale jak to zrobić z liczbami 7 i 17? Albo co zrobić w przypadkach, gdy liczbę można przedstawić w formie wykładniczej, ale podstawy wykładniczych wyrażeń liczb są bardzo różne. Na przykład 8×9 to 2 3 x 3 2 , w którym to przypadku nie możemy sumować wykładników. Ani 2 5, ani 3 5 nie jest odpowiedzią, ani nie jest odpowiedzią pomiędzy nimi dwoma.

Czy w takim razie warto w ogóle zawracać sobie głowę tą metodą? Zdecydowanie warto. Zapewnia ogromne korzyści, szczególnie w przypadku skomplikowanych i czasochłonnych obliczeń.

Do tej pory zakładaliśmy, że wykładnikiem jest liczba identycznych czynników. W tym przypadku minimalna wartość wykładnika wynosi 2. Jeżeli jednak wykonamy operację dzielenia liczb, czyli odjęcia wykładników, to możemy otrzymać także liczbę mniejszą niż 2, co oznacza, że stara definicja już nam nie odpowiada. Przeczytaj więcej w następnym artykule.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie potęg

Dodawanie i odejmowanie potęg

Oczywiście liczby z potęgami można dodawać tak samo, jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Zatem suma a 3 i b 2 wynosi a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - d 4.

Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodać lub odjąć.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 jest równa 5a 2 .

Jest także oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.

Zatem suma 2 i 3 jest sumą 2 + a 3 .

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są dwa razy większe od kwadratu a, ale dwa razy większe od sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 wynosi a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odejmowanie potęgowanie wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tą różnicą, że należy odpowiednio zmienić znaki odejmowania.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie mocy

Liczby posiadające potęgę można mnożyć jak inne wielkości, wpisując je jedna po drugiej, ze znakiem mnożenia lub bez niego.

Zatem wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 r

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie będzie miało postać: a 5 b 5 y 3 .

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej suma stopnie terminów.

Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

Zatem a n .a m = a m+n .

Dla n, a przyjmuje się jako współczynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;

A m przyjmuje się jako współczynnik tyle razy, ile wynosi stopień m;

Dlatego, Potęgi o tej samej podstawie można pomnożyć przez dodanie wykładników.

Zatem a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Zasada ta dotyczy również liczb, których wykładnikami są − negatywny.

1. Zatem a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jeśli a + b zostanie pomnożone przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy

Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.

Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.

Zatem (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(za 2 - y 2) ⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅(za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .

Podział władzy

Liczby posiadające potęgę można dzielić podobnie jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka zwykłego.

Zatem a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .

Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac $. Ale to jest równe 2. W szeregu liczb
za +4 , za +3 , za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmuje się ich wykładniki..

Zatem y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac = y$.

Oraz a n+1:a = a n+1-1 = za n . Oznacza to, że $\frac = a^n$.

Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem podzielenia -5 przez -3 jest -2.
Ponadto $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Trzeba bardzo dobrze opanować mnożenie i dzielenie potęg, gdyż takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki w $\frac $ Odpowiedź: $\frac $.

2. Zmniejsz wykładniki w $\frac$. Odpowiedź: $\frac $ lub 2x.

3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 jest pierwszym licznikiem -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: tak.

Stopień i jego właściwości. Średni poziom.

Czy chcesz sprawdzić swoje siły i dowiedzieć się, na ile jesteś gotowy do egzaminu Unified State Examination lub OGE?

Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Stopień z wykładnikiem racjonalnym

stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopnia

Cechy stopni.

nawet stopień, - liczba pozytywny.

Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.

Liczba dodatnia do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.

Zero jest równe dowolnej potędze.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

Jaki jest stopień liczby?

Potęgowanie to ta sama operacja matematyczna, co dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, mocniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, ładniejszy:

A jakie inne trudne sztuczki z liczeniem wymyślili leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi.

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to. A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Aby to zrobić, potrzebujesz tylko pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Nawiasem mówiąc, dlaczego nazywa się drugi stopień kwadrat numery i trzeci sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1.

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2.

Oto zadanie dla Ciebie. Policz, ile pól jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby. Z jednej strony komórek i z drugiej też. Aby policzyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub… jeśli zauważysz, że szachownica jest kwadratem z bokiem, możesz podnieść osiem do kwadratu. Zdobądź komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3.

Pozostaje tylko zapamiętaj tabelę stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Przykład z życia wzięty nr 4.

Przykład z życia nr 5.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia.

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prostsza jest liczba znajdująca się na dole, u podstawy.

Dla pewności masz tu zdjęcie.

Cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać… Stopień z podstawą „” i wskaźnikiem „” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

„Stopień liczby z naturalnym wskaźnikiem”

Prawdopodobnie już się tego domyśliłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to te, których używamy do liczenia przy wyliczaniu przedmiotów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też „jedna trzecia” ani „przecinek zero pięć dziesiątych”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby naturalne nazywane są liczbami używanymi do liczenia, to znaczy itp.

Liczby całkowite - wszystkie liczby naturalne, liczby naturalne z minusem i cyfrą 0.

Liczby ułamkowe są uważane za wymierne.

Liczby niewymierne to nieskończone ułamki dziesiętne

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (czyli liczba całkowita i dodatnia).

Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
Poszerzyć liczbę do sześcianu, to pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Artykuły z zakresu nauk przyrodniczych i matematyki

Własności potęg o tej samej podstawie

Istnieją trzy własności potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Ten

Praca suma
Prywatny dwie potęgi o tej samej podstawie są równe wyrażeniu, w którym podstawa jest taka sama, a wykładnik jest taki sam różnica wskaźniki pierwotnych mnożników.
Podnoszenie potęgi liczby do potęgi jest równe wyrażeniu, którego podstawa jest tą samą liczbą, a wykładnik jest taki sam praca dwa stopnie.

Bądź ostrożny! Zasady dot Dodawanie i odejmowanie potęgi o tej samej podstawie nie istnieje.

Te reguły-właściwości zapisujemy w formie wzorów:

jestem? za n = za m+n
jestem? za n = za m – n
(rano) n = a mn

Teraz rozważ je na konkretnych przykładach i spróbuj udowodnić.

5 2? 5 3 = 5 5 - tutaj zastosowaliśmy regułę; a teraz wyobraźmy sobie, jak rozwiązalibyśmy ten przykład, gdybyśmy nie znali zasad:

5 2? 5 3 = 5? 5? 5? 5? 5 \u003d 5 · 5 - pięć do kwadratu to pięć razy pięć, a sześcian to iloczyn trzech piątek. Wynik jest iloczynem pięciu piątek, ale jest to coś innego niż pięć do potęgi piątej: 5 5 .

3 9? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapiszmy dzielenie w postaci ułamka zwykłego:

Można to skrócić:

W rezultacie otrzymujemy:

W ten sposób udowodniliśmy, że dzieląc dwie potęgi o tych samych podstawach, należy odjąć ich wskaźniki.

Jednak podczas dzielenia dzielnik nie może być równy zeru (ponieważ nie można dzielić przez zero). Ponadto, ponieważ stopnie rozważamy tylko za pomocą naturalnych wskaźników, w wyniku odjęcia wskaźników nie możemy uzyskać liczby mniejszej niż 1. Dlatego wzór a m ? a n = a m–n nałożone są ograniczenia: a ? 0 i m > n.

Przejdźmy do trzeciej właściwości:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Napiszmy w rozszerzonej formie:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Można dojść do takiego wniosku i logicznego rozumowania. Musisz pomnożyć dwa do kwadratu cztery razy. Ale w każdym kwadracie znajdują się dwie dwójki, więc w sumie będzie ich osiem.

scienceland.info

Zasady dodawania i odejmowania.

1. Ze zmiany miejsc warunków suma się nie zmieni (właściwość przemienna dodawania)

13+25=38 można zapisać jako: 25+13=38

2. Wynik dodawania nie ulegnie zmianie, jeśli sąsiednie wyrazy zostaną zastąpione ich sumą (właściwość dodawania polegająca na łączeniu).

10+13+3+5=31 można zapisać jako: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 itd.

3. Jednostki sumują się jednościami, dziesiątkami dziesiątkami i tak dalej.

34+11=45 (3 dziesiątki plus 1 dziesiątka; 4 jedności plus 1 jedność).

4. Jednostki odejmuje się od jednostek, dziesiątki od dziesiątek itd.

53-12=41 (3 jednostki minus 2 jednostki; 5 dziesiątek minus 1 dziesięć)

uwaga: 10 jednostek to jedna dziesiątka. Należy o tym pamiętać przy odejmowaniu, ponieważ jeśli liczba jednostek odejmowanych jest większa niż liczba jednostek zmniejszonych, wówczas możemy „pożyczyć” jedną dziesiątkę od zmniejszonych.

41-12 \u003d 29 (Aby odjąć 2 od 1, musimy najpierw „pożyczyć” jednostkę od dziesiątek, otrzymujemy 11-2 \u003d 9; pamiętaj, że zredukowana ma zatem o 1 mniej mniej to 3 dziesiątki i od tego odejmuje się 1 dziesiątkę Odpowiedź 29).

5. Jeśli od sumy dwóch wyrazów odejmiemy jeden z nich, otrzymamy drugi wyraz.

Oznacza to, że dodawanie można sprawdzić za pomocą odejmowania.

Aby to sprawdzić, od sumy odejmuje się jeden z wyrazów: 49-7=42 lub 49-42=7

Jeśli w wyniku odejmowania nie otrzymałeś jednego z terminów, oznacza to, że w dodawaniu wystąpił błąd.

6. Jeśli do różnicy dodasz odejmowanie, otrzymasz odjemną.

Oznacza to, że odejmowanie można sprawdzić przez dodanie.

Aby to sprawdzić, dodaj odejmowanie do różnicy: 19+50=69.

Jeśli w wyniku opisanej powyżej procedury nie uzyskałeś zmniejszenia, oznacza to, że w odejmowaniu popełniono błąd.

Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych

W tej lekcji omówimy dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych. Temat jest klasyfikowany jako złożony. Tutaj konieczne jest wykorzystanie całego arsenału wcześniej zdobytej wiedzy.

Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych obowiązują także w przypadku liczb wymiernych. Przypomnijmy, że liczby wymierne to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka, gdzie A - jest licznikiem ułamka B jest mianownikiem ułamka. I B nie powinno być zerowe.

W tej lekcji będziemy coraz częściej odnosić się do ułamków zwykłych i liczb mieszanych w ramach jednego popularnego wyrażenia - liczby wymierne.

Nawigacja po lekcjach:

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia

W nawiasach umieszczamy każdą liczbę wymierną wraz ze znakami. Bierzemy pod uwagę, że plus podany w wyrażeniu jest znakiem operacji i nie dotyczy ułamków zwykłych. Ułamek ten ma swój własny znak plus, który jest niewidoczny ze względu na to, że nie jest zapisywany. Ale napiszemy to dla jasności:

Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Aby dodać liczby wymierne o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszą i przed odpowiedzią umieścić znak, którego moduł jest większy. Aby zrozumieć, który moduł jest większy, a który mniejszy, musisz móc porównać moduły tych ułamków przed ich obliczeniem:

Moduł liczby wymiernej jest większy niż moduł liczby wymiernej. Dlatego odjęliśmy od . Mam odpowiedź. Następnie, zmniejszając ten ułamek o 2, otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

W razie potrzeby można pominąć niektóre prymitywne czynności, takie jak umieszczanie liczb w nawiasach i odkładanie modułów. Ten przykład można zapisać krócej:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

W nawiasach umieszczamy każdą liczbę wymierną wraz ze znakami. Bierzemy pod uwagę, że minus podany w wyrażeniu jest znakiem operacji i nie dotyczy ułamka.

Ułamek w tym przypadku jest dodatnią liczbą wymierną ze znakiem plus, który jest niewidoczny. Ale napiszemy to dla jasności:

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Przypomnij sobie, że w tym celu musisz dodać liczbę przeciwną odjętą do odejmowania:

Otrzymaliśmy dodanie ujemnych liczb wymiernych. Aby dodać ujemne liczby wymierne, należy dodać ich moduły i postawić minus przed otrzymaną odpowiedzią:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

W tym wyrażeniu ułamki mają różne mianowniki. Aby sobie ułatwić, sprowadźmy te ułamki do tego samego (wspólnego) mianownika. Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić. Jeżeli będziesz mieć trudności, koniecznie wróć do lekcji o ułamkach zwykłych i powtórz ją.

Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika wyrażenie przyjmie następującą postać:

Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Od większego modułu odejmujemy mniejszy i stawiamy przed otrzymaną odpowiedzią znak, którego moduł jest większy:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Otrzymaliśmy sumę trzech wyrazów. Najpierw znajdź wartość wyrażenia, a następnie dodaj do otrzymanej odpowiedzi

Pierwsza akcja:

Druga akcja:

Zatem wartość wyrażenia jest równa.

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej

Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia

Każdą liczbę w nawiasach umieść wraz ze znakami. Aby to zrobić, tymczasowo rozwiniemy liczbę mieszaną

Obliczmy części całkowite:

W głównym wyrażeniu zamiast napisz wynikową jednostkę:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie. Aby to zrobić, pomijamy nawiasy i zapisujemy jednostkę i ułamek razem

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:

Przykład 6 Znajdź wartość wyrażenia

Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy. Przepiszmy resztę tak jak jest:

W nawiasach umieszczamy każdą liczbę wymierną wraz ze znakami:

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

Otrzymaliśmy dodanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajmy moduły tych liczb i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:

Zatem wartość wyrażenia wynosi .

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:

Przykład 7 Znajdź wyrażenie wartości

Zapiszmy liczbę mieszaną w postaci rozwiniętej. Przepiszmy resztę tak jak jest:

Każdą liczbę wymierną ująć w nawiasy razem ze znakami

Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:

Obliczmy części całkowite:

W wyrażeniu głównym zamiast wpisywać wynikową liczbę? 7

Wyrażenie jest rozszerzoną formą zapisu liczby mieszanej. Możesz od razu zapisać odpowiedź, zapisując razem liczby? 7 i ułamek (ukrywając minus tego ułamka)

Zatem wartość wyrażenia wynosi

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać znacznie krócej. Jeśli pominiesz niektóre szczegóły, można to zapisać w następujący sposób:

Przykład 8 Znajdź wartość wyrażenia

Wyrażenie to można obliczyć na dwa sposoby. Rozważmy każdy z nich.

Pierwszy sposób. Części całkowite i ułamkowe wyrażenia są obliczane oddzielnie.

Najpierw napiszmy liczby mieszane w postaci rozwiniętej:

Każdą liczbę w nawiasach umieść wraz ze znakami:

Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:

Otrzymaliśmy sumę kilku wyrazów. Zgodnie z prawem dodawania asocjacyjnego, jeśli wyrażenie zawiera kilka terminów, suma nie będzie zależeć od kolejności operacji. Umożliwi nam to oddzielne pogrupowanie części całkowitej i ułamkowej:

Obliczmy części całkowite:

W wyrażeniu głównym zamiast wpisywać wynikową liczbę? 3

Obliczmy części ułamkowe:

W wyrażeniu głównym zamiast zapisywać wynikową liczbę mieszaną

Aby obliczyć wynikowe wyrażenie, należy tymczasowo rozszerzyć liczbę mieszaną, następnie umieścić każdą liczbę w nawiasach i zastąpić odejmowanie dodawaniem. Należy to zrobić bardzo ostrożnie, aby nie pomylić znaków terminów.

Po przekształceniu wyrażenia mamy nowe wyrażenie, które jest łatwe do obliczenia. Podobne wyrażenie miało miejsce w przykładzie 7. Przypomnijmy, że części całkowite dodaliśmy osobno, a część ułamkową pozostawiliśmy bez zmian:

Zatem wartość wyrażenia wynosi

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej

W krótkim rozwiązaniu pomijane są etapy umieszczania liczb w nawiasach, zastępowania odejmowania dodawaniem, dodawania modułów. Jeśli jesteś w szkole lub innej instytucji edukacyjnej, będziesz musiał pominąć te prymitywne czynności, aby zaoszczędzić czas i miejsce. Powyższe krótkie rozwiązanie można zapisać jeszcze krócej. Będzie to wyglądać tak:

Dlatego będąc w szkole czy innej placówce oświatowej bądź przygotowany na to, że pewne czynności trzeba będzie wykonać w umyśle.

Drugi sposób. Liczby mieszane wyrażenia są konwertowane na ułamki niewłaściwe i obliczane jak zwykłe ułamki zwykłe.

W nawiasie umieść każdą liczbę wymierną wraz ze znakami

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

A teraz liczby mieszane i przelicz je na ułamki niewłaściwe:

Otrzymaliśmy dodanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajmy ich moduły i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:

Dostałem tę samą odpowiedź co ostatnim razem.

Szczegółowe rozwiązanie drugiego sposobu jest następujące:

Przykład 9 Znajdź wyrażenia wyrażeń

Pierwszy sposób. Dodaj oddzielnie część całkowitą i ułamkową.

Tym razem spróbujmy pominąć niektóre prymitywne czynności, takie jak zapisanie wyrażenia w rozwiniętej formie, wstawienie liczb w nawiasy, zastąpienie odejmowania dodawaniem, odłożenie modułów:

Należy zauważyć, że części ułamkowe zostały sprowadzone do wspólnego mianownika.

Drugi sposób. Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i obliczaj jak zwykłe ułamki zwykłe.

Przykład 10 Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

Otrzymane wyrażenie nie zawiera liczb ujemnych, które są główną przyczyną błędów. A ponieważ nie ma liczb ujemnych, możemy usunąć plus przed odjemnikiem, a także usunąć nawiasy. Następnie otrzymujemy najprostsze wyrażenie, które jest łatwe do obliczenia:

W tym przykładzie część całkowitą i ułamkową obliczono osobno.

Przykład 11. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Od większego modułu odejmujemy mniejszy i stawiamy znak przed otrzymaną liczbą, której moduł jest większy:

Przykład 12. Znajdź wartość wyrażenia

Wyrażenie składa się z kilku parametrów. Zgodnie z kolejnością działań przede wszystkim należy wykonać czynności podane w nawiasach.

Najpierw obliczamy wyrażenie, następnie dodajemy wyrażenie. Otrzymane odpowiedzi są dodawane.

Pierwsza akcja:

Druga akcja:

Trzecia akcja:

Odpowiedź: wartość wyrażenia równa się

Przykład 13 Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

Uzyskiwany przez dodanie liczb wymiernych o różnych znakach. Odejmij mniejszy moduł od większego i postaw przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy. Ale mamy do czynienia z liczbami mieszanymi. Aby zrozumieć, który moduł jest większy, a który mniejszy, należy porównać moduły tych liczb mieszanych. Aby porównać moduły liczb mieszanych, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe i porównać jak zwykłe ułamki zwykłe.

Poniższy rysunek pokazuje wszystkie kroki porównywania modułów liczb mieszanych

Wiedząc, który moduł jest większy, a który mniejszy, możemy kontynuować obliczenia z naszego przykładu:

Zatem wartość wyrażenia równa się

Rozważ dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych, które są również liczbami wymiernymi i które mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Przykład 14 Znajdź wartość wyrażenia? 3,2 + 4,3

W nawiasach umieszczamy każdą liczbę wymierną wraz ze znakami. Bierzemy pod uwagę, że plus podany w wyrażeniu jest znakiem operacji i nie dotyczy ułamka dziesiętnego. 4.3. Ten ułamek dziesiętny ma swój własny znak plus, który jest niewidoczny, ponieważ nie jest zapisywany. Ale napiszemy to dla jasności:

Moduł 4,3 jest większy niż moduł 3,2, więc odjęliśmy 3,2 od 4,3. Otrzymałem odpowiedź 1.1. Odpowiedź brzmi tak, ponieważ odpowiedź musi zawierać znak większego modułu, czyli modułu |+4,3|.

Zatem wartość wyrażenia?3,2 + (+4,3) wynosi 1,1

Przykład 15 Znajdź wartość wyrażenia 3,5 + (?8,3)

Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Podobnie jak w poprzednim przykładzie od większego modułu odejmujemy mniejszy i przed odpowiedzią stawiamy znak, którego moduł jest większy

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Zatem wartość wyrażenia 3,5 + (?8,3) jest równa?4,8

Ten przykład można zapisać krócej:

Przykład 16 Znajdź wartość wyrażenia?7,2 + (?3,11)

Jest to dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Aby dodać ujemne liczby wymierne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Zatem wartość wyrażenia ?7,2 + (?3,11) wynosi? 10,31

Ten przykład można zapisać krócej:

Przykład 17. Znajdź wartość wyrażenia?0,48 + (?2,7)

Jest to dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajemy ich moduły i stawiamy znak minus przed otrzymaną odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Przykład 18. Znajdź wartość wyrażenia?4,9 ? 5.9

W nawiasach umieszczamy każdą liczbę wymierną wraz ze znakami. Bierzemy pod uwagę, że minus podany w wyrażeniu jest znakiem operacji i nie dotyczy ułamka dziesiętnego 5.9. Ten ułamek dziesiętny ma swój własny znak plus, który jest niewidoczny, ponieważ nie jest zapisywany. Ale napiszemy to dla jasności:

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

Otrzymaliśmy dodanie ujemnych liczb wymiernych. Dodaj ich moduły i postaw minus przed otrzymaną odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Zatem wartość wyrażenia? 4,9 ? 5,9 równa się? 10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Przykład 19. Znajdź wartość wyrażenia 7? 9.3

Każdą liczbę w nawiasach umieść wraz ze znakami

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie

Otrzymaliśmy dodanie liczb wymiernych o różnych znakach. Odejmij mniejszy moduł od większego i postaw przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Zatem wartość wyrażenia 7 ? 9,3 równa się? 2,3

Szczegółowe rozwiązanie tego przykładu zapisano w następujący sposób:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Krótkie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Przykład 20. Znajdź wartość wyrażenia? 0,25? (?1,2)

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

Otrzymaliśmy dodanie liczb wymiernych o różnych znakach. Odejmij mniejszy moduł od większego i postaw przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Szczegółowe rozwiązanie tego przykładu zapisano w następujący sposób:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Krótkie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Przykład 21. Znajdź wartość wyrażenia?3,5 + (4,1 ? 7,1)

W pierwszej kolejności wykonamy czynności w nawiasach, a następnie dodamy otrzymaną odpowiedź wraz z liczbą? 3.5. Pomińmy wpis z modułami, żeby nie zaśmiecać wyrażeń.

Pierwsza akcja:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Druga akcja:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Odpowiedź: wartość wyrażenia ?3,5 + (4,1 ? 7,1) wynosi ?6,5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Przykład 22. Znajdź wartość wyrażenia (3,5 ? 2,9)? (3,7 x 9,1)

Wykonajmy czynności w nawiasach, a następnie od liczby, która wypadła w wyniku wykonania pierwszych nawiasów, odejmij liczbę, która wypadła w wyniku wykonania drugich nawiasów. Pomińmy wpis z modułami, żeby nie zaśmiecać wyrażeń.

Pierwsza akcja:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Druga akcja:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Akt trzeci

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Odpowiedź: wartość wyrażenia (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) równa się 6.

Krótkie rozwiązanie tego przykładu można zapisać w następujący sposób:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Przykład 23. Znajdź wartość wyrażenia? 3,8 + 17,15? 6,2? 6.15

W nawiasie umieść każdą liczbę wymierną wraz ze znakami

Jeśli to możliwe, zastąp odejmowanie dodawaniem

Wyrażenie składa się z kilku terminów. Zgodnie z prawem dodawania skojarzeń, jeśli wyrażenie składa się z kilku terminów, wówczas suma nie będzie zależeć od kolejności działań. Oznacza to, że terminy można dodawać w dowolnej kolejności.

Nie będziemy wymyślać koła na nowo, ale dodamy wszystkie terminy od lewej do prawej w kolejności, w jakiej się pojawiają:

Pierwsza akcja:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Druga akcja:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Trzecia akcja:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Odpowiedź: wartość wyrażenia?3,8 + 17,15 ? 6,2? 6,15 równa się 1.

Krótkie rozwiązanie tego przykładu można zapisać w następujący sposób:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Krótkie rozwiązania stwarzają mniej problemów i zamieszania, dlatego warto się do nich przyzwyczaić.

Przykład 24. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy ułamek dziesiętny 1,8 na liczbę mieszaną. Resztę przepiszemy tak, jak jest. Jeśli masz problemy z konwersją ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną, pamiętaj, aby powtórzyć lekcję dotyczącą ułamków dziesiętnych.

Przykład 25. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Po drodze przełożymy ułamek dziesiętny (? 4,4) na ułamek niewłaściwy

W wynikowym wyrażeniu nie ma liczb ujemnych. A ponieważ nie ma liczb ujemnych, możemy usunąć plus przed drugą liczbą i pominąć nawiasy. Następnie otrzymujemy proste wyrażenie dodawania, które można łatwo rozwiązać

Przykład 26. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a ułamek dziesiętny – 0,85 – na ułamek zwykły. Otrzymujemy następujące wyrażenie:

Otrzymaliśmy dodanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajemy ich moduły i stawiamy znak minus przed otrzymaną odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:

Przykład 27. Znajdź wartość wyrażenia

Zamień oba ułamki na ułamki niewłaściwe. Aby zamienić ułamek dziesiętny 2,05 na ułamek niewłaściwy, możesz najpierw zamienić go na liczbę mieszaną, a następnie na ułamek niewłaściwy:

Po zamianie obu ułamków na ułamki niewłaściwe otrzymujemy następujące wyrażenie:

Otrzymaliśmy dodanie liczb wymiernych o różnych znakach. Od większego modułu odejmujemy mniejszy i przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak, którego moduł jest większy:

Przykład 28. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Zamieńmy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły

Przykład 29. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy ułamki dziesiętne 0,25 i 1,25 na ułamki zwykłe, resztę zostawmy bez zmian. Otrzymujemy następujące wyrażenie:

Jeśli to możliwe, możesz najpierw zastąpić odejmowanie dodawaniem i dodawać liczby wymierne jeden po drugim. Istnieje druga możliwość: najpierw dodaj liczby wymierne i , a następnie odejmij liczbę wymierną od liczby wynikowej. Skorzystamy z tej opcji.

Pierwsza akcja:

Druga akcja:

Odpowiedź: wartość wyrażenia równy?2.

Przykład 30. Znajdź wartość wyrażenia

Zamień ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe. Resztę zostawmy tak jak jest.

Otrzymaliśmy sumę kilku wyrazów. Jeśli suma składa się z kilku składników, wyrażenie można oceniać w dowolnej kolejności. Wynika to z łącznego prawa dodawania.

Dlatego możemy zorganizować najwygodniejszą dla nas opcję. Przede wszystkim możesz dodać pierwszy i ostatni wyraz, a mianowicie liczby wymierne i . Liczby te mają te same mianowniki, co oznacza, że uwolni nas to od konieczności ich do tego sprowadzania.

Pierwsza akcja:

Otrzymaną liczbę można dodać do drugiego członu, a mianowicie liczby wymiernej. Liczby wymierne mają te same mianowniki w częściach ułamkowych, co znowu jest dla nas zaletą

Druga akcja:

Cóż, dodajmy wynikową liczbę 7 do ostatniego wyrazu, a mianowicie do liczby wymiernej. Wygodne jest, aby przy obliczaniu tego wyrażenia siódemki zniknęły, to znaczy ich suma będzie równa zeru, ponieważ suma liczb przeciwnych jest równa zeru

Trzecia akcja:

Odpowiedź: wartość wyrażenia wynosi

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tej lekcji będziemy się uczyć dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, a także zasady ich dodawania i odejmowania.

Przypomnijmy, że liczby całkowite to liczby dodatnie i ujemne, a także liczba 0. Na przykład następujące liczby są liczbami całkowitymi:

Liczby dodatnie można łatwo dodawać i odejmować, mnożyć i dzielić. Niestety nie można tego powiedzieć o liczbach ujemnych, które wielu początkujących mylą z minusami przed każdą cyfrą. Jak pokazuje praktyka, błędy popełniane z powodu liczb ujemnych najbardziej denerwowały uczniów.

Przykłady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Pierwszą rzeczą, której należy się nauczyć, jest dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych za pomocą linii współrzędnych. Nie jest konieczne rysowanie linii współrzędnych. Wystarczy wyobrazić sobie to w myślach i zobaczyć, gdzie znajdują się liczby ujemne, a gdzie dodatnie.

Rozważmy najprostsze wyrażenie: 1 + 3. Wartość tego wyrażenia wynosi 4:

Ten przykład można zrozumieć, korzystając z linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść trzy kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się cyfra 4. Na rysunku widać, jak to się dzieje:

Znak plus w wyrażeniu 1 + 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Przykład 2 Znajdźmy wartość wyrażenia 1? 3.

Wartość tego wyrażenia wynosi?2

Ten przykład można ponownie zrozumieć, korzystając z linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna 2. Rysunek pokazuje, jak to się dzieje:

Znak minus w wyrażeniu 1? 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.

Ogólnie rzecz biorąc, musimy pamiętać, że jeśli przeprowadzamy dodawanie, to musimy przesunąć się w prawo w kierunku zwiększania. Jeśli przeprowadzane jest odejmowanie, należy przesunąć się w lewo w kierunku zmniejszania.

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia?2 + 4

Wartość tego wyrażenia wynosi 2

Ten przykład można ponownie zrozumieć, korzystając z linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna 2, musisz przejść cztery kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.

Widać, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna 2, przesunęliśmy się o cztery kroki w prawo i trafiliśmy do punktu, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.

Znak plus w wyrażeniu?2 + 4 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia?1? 3

Wartość tego wyrażenia wynosi?4

Ten przykład można ponownie rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna?1, należy przejść trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna? 4

Widać, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna 1, przesunęliśmy się o trzy kroki w lewo i trafiliśmy do punktu, w którym znajduje się liczba ujemna 4.

Znak minus w wyrażeniu?1? 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.

Przykład 5 Znajdź wartość wyrażenia?2 + 2

Wartość tego wyrażenia wynosi 0

Ten przykład można rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna 2, należy przejść dwa kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się cyfra 0

Widać, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna 2, przesunęliśmy się o dwa kroki w prawo i znaleźliśmy się w punkcie, w którym znajduje się liczba 0.

Znak plus w wyrażeniu?2 + 2 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Aby obliczyć to lub inne wyrażenie, nie trzeba za każdym razem wyobrażać sobie linii współrzędnych, nie mówiąc już o jej rysowaniu. Wygodniej jest korzystać z gotowych reguł.

Stosując reguły, należy zwrócić uwagę na znak operacji i znaki liczb, które należy dodać lub odjąć. To określi, którą zasadę zastosować.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia?2 + 5

Tutaj liczba dodatnia jest dodawana do liczby ujemnej. Innymi słowy, przeprowadzane jest dodawanie liczb o różnych znakach. ?2 jest ujemne, a 5 jest dodatnie. W takich przypadkach przewidziana jest następująca zasada:

Zobaczmy więc, który moduł jest większy:

Czy moduł 5 jest większy niż moduł liczby?2. Reguła wymaga odjęcia mniejszego modułu od większego. Musimy zatem odjąć 2 od 5, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak, którego moduł jest większy.

Liczba 5 ma większy moduł, więc znak tej liczby będzie w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź będzie pozytywna:

Czy zwykle zapisuje się go krócej? 2 + 5 = 3

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia 3 + (?2)

Tutaj, podobnie jak w poprzednim przykładzie, przeprowadzane jest dodawanie liczb o różnych znakach. 3 jest liczbą dodatnią, a ?2 jest ujemną. Zwróć uwagę, że liczba?2 jest ujęta w nawiasy, aby wyrażenie było jaśniejsze i ładniejsze. To wyrażenie jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia niż wyrażenie 3+?2.

Stosujemy więc zasadę dodawania liczb o różnych znakach. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, od większego modułu odejmujemy mniejszy moduł i przed odpowiedzią stawiamy znak, którego moduł jest większy:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Moduł liczby 3 jest większy niż moduł liczby Δ2, więc od 3 odjęliśmy 2 i przed otrzymaną odpowiedzią postawiliśmy znak modułu, który jest większy. Liczba 3 ma większy moduł, dlatego w odpowiedzi wstawiany jest znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź brzmi: tak.

Zwykle zapisywane krócej 3 + (? 2) = 1

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia 3? 7

W tym wyrażeniu większa liczba jest odejmowana od mniejszej liczby. W takim przypadku przewidziana jest następująca reguła:

Aby odjąć większą liczbę od mniejszej, należy odjąć mniejszą liczbę od większej i postawić minus przed otrzymaną odpowiedzią.

W tym wyrażeniu jest niewielki szkopuł. Przypomnijmy, że znak równości (=) umieszcza się pomiędzy wartościami i wyrażeniami, gdy są one sobie równe.

Wartość wyrażenia 3? 7 skąd wiedzieliśmy, że są sobie równi?4. Oznacza to, że wszelkie przekształcenia, które wykonamy w tym wyrażeniu, muszą być równe?4

Ale widzimy, że drugi etap zawiera wyrażenie 7? 3, co nie jest równe?4.

Aby zaradzić tej sytuacji, wyrażenie 7? 3 należy wziąć w nawiasach i postawić minus przed tym nawiasem:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

W takim przypadku równość będzie przestrzegana na każdym etapie:

Po ocenie wyrażenia nawiasy można usunąć, co też zrobiliśmy.

Aby być bardziej precyzyjnym, rozwiązanie powinno wyglądać następująco:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Regułę tę można zapisać za pomocą zmiennych. Będzie to wyglądać tak:

A? b=? (b? a)

Duża ilość nawiasów i znaków operacji może skomplikować rozwiązanie pozornie bardzo prostego zadania, dlatego bardziej wskazane jest nauczenie się, jak pisać takie przykłady w skrócie, np. 3 ? 7=? 4.

W rzeczywistości dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych sprowadza się do zwykłego dodawania. Co to znaczy? Oznacza to, że jeśli chcesz odjąć liczby, operację tę można zastąpić dodawaniem.

Zapoznajmy się więc z nową zasadą:

Odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odjemnej liczby, która będzie przeciwieństwem liczby odejmowanej.

Rozważmy na przykład najprostsze wyrażenie 5 ? 3. Na początkowych etapach nauki matematyki po prostu stawiamy znak równości i zapisujemy odpowiedź:

Ale teraz robimy postępy w nauce, więc musimy dostosować się do nowych zasad. Nowa zasada mówi, że odjęcie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odjemnej liczby, która będzie przeciwieństwem odejmowanej.

Na przykładzie wyrażenia 5?3 spróbujmy zrozumieć tę regułę. W tym wyrażeniu zmniejsza się 5, a odejmuje się 3. Reguła mówi, że aby odjąć 3 od 5, należy dodać do 5 liczbę, która będzie przeciwna do 3. Liczba przeciwna dla liczby 3 jest? 3. Piszemy nowe wyrażenie:

I już wiemy, jak znaleźć wartości takich wyrażeń. Jest to dodanie liczb o różnych znakach, które omówiliśmy powyżej. Aby dodać liczby o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszą i przed otrzymaną odpowiedzią umieścić znak, którego moduł jest większy:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Czy moduł 5 jest większy niż moduł liczby?3. Dlatego od 5 odjęliśmy 3 i otrzymaliśmy 2. Liczba 5 ma większy moduł, więc w odpowiedzi umieszczono znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.

Na początku nie każdemu udaje się szybko zastąpić odejmowanie dodawaniem. Dzieje się tak, ponieważ liczby dodatnie są zapisywane bez znaku plus.

Na przykład w wyrażeniu 3? Znak minus 1 oznaczający odejmowanie jest znakiem operacji i nie odnosi się do jedynki. Jednostką w tym przypadku jest liczba dodatnia i ma ona własny znak plus, ale go nie widzimy, bo plusa tradycyjnie nie zapisuje się przed liczbami dodatnimi.

I tak, dla jasności, wyrażenie to można zapisać w następujący sposób:

Dla wygody liczby wraz ze znakami ujęto w nawiasy. W tym przypadku zastąpienie odejmowania dodawaniem jest znacznie łatwiejsze. W tym przypadku odejmowana jest liczba (+1) i liczba przeciwna (?1). Zamieńmy operację odejmowania na dodawanie i zamiast odejmowania (+1) zapiszemy liczbę przeciwną (? 1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

Na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, jaki jest sens tych dodatkowych gestów, jeśli można zastosować starą, dobrą metodę, postawić znak równości i od razu zapisać odpowiedź 2. Tak naprawdę ta zasada pomoże nam nie raz.

Rozwiążmy poprzedni przykład 3? 7 stosując zasadę odejmowania. Najpierw doprowadzamy wyrażenie do postaci normalnej, umieszczając każdą liczbę wraz ze znakami. Trzy ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią. Minus oznaczający odejmowanie nie dotyczy siódemki. Siedem ma znak plus, ponieważ jest również liczbą dodatnią:

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

Dalsze obliczenia nie są trudne:

Przykład 7 Znajdź wartość wyrażenia?4? 5

Przed nami znowu operacja odejmowania. Operację tę należy zastąpić dodawaniem. Do pomniejszonej (?4) dodajemy liczbę przeciwną odejmowanej (+5). Przeciwną liczbą dla odejmowania (+5) jest liczba (?5).

Doszliśmy do sytuacji, w której musimy dodać liczby ujemne. W takich przypadkach przewidziana jest następująca zasada:

Aby dodać liczby ujemne, należy dodać ich moduły i postawić minus przed otrzymaną odpowiedzią.

Dodajmy zatem moduły liczb, jak wymaga tego reguła, i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

Wpis z modułami należy ująć w nawiasy, a przed tymi nawiasami postawić minus. Podajemy więc minus, który powinien znajdować się przed odpowiedzią:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:

Przykład 8 Znajdź wartość wyrażenia?3? 5? 7? 9

Doprowadźmy wyrażenie do jasnej formy. Tutaj wszystkie liczby z wyjątkiem liczby?3 są dodatnie, więc będą miały znak plus:

Zastąpmy odejmowanie działaniami dodawania. Wszystkie minusy (z wyjątkiem minusa, który znajduje się przed trójką) zmienią się w plusy, a wszystkie liczby dodatnie zmienią się na przeciwne:

Zastosuj teraz zasadę dodawania liczb ujemnych. Aby dodać liczby ujemne należy dodać ich moduły i postawić minus przed otrzymaną odpowiedzią:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Przykład 9 Znajdź wartość wyrażenia? 10 + 6 ? 15 + 11? 7

Doprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy:

Są tu dwie operacje: dodawanie i odejmowanie. Dodawanie pozostawiamy bez zmian, a odejmowanie zastępujemy dodawaniem:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Kierując się kolejnością działań, każdą akcję wykonamy po kolei, w oparciu o wcześniej przestudiowane zasady. Wpisy z modułami można pominąć:

Pierwsza akcja:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Druga akcja:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Trzecia akcja:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Czwarta akcja:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Zatem wartość wyrażenia ?10 + 6? 15 + 11? 7 równa się? 15

Notatka. Nie jest konieczne doprowadzenie wyrażenia do przejrzystej formy poprzez umieszczenie liczb w nawiasach. Przyzwyczajając się do liczb ujemnych, można pominąć tę czynność, ponieważ zajmuje to dużo czasu i może być mylące.

Dlatego przy dodawaniu i odejmowaniu liczb całkowitych należy pamiętać o następujących zasadach:

Aby dodać liczby o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszy moduł i przed odpowiedzią umieścić znak, którego moduł jest większy.

Aby odjąć większą liczbę od mniejszej, należy odjąć mniejszą liczbę od większej i postawić znak minus przed otrzymaną odpowiedzią.

Odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do liczby zredukowanej wartości przeciwnej do odejmowanej.

Aby dodać liczby ujemne, należy dodać ich moduły, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak minus.

5-7 reguła algebra Ciąg liczbowy, którego każdy człon, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, dodanemu z tą samą liczbą d dla tego ciągu, nazywa się postępem arytmetycznym. Liczbę d nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. W postępie arytmetycznym, czyli w […]

Rozwiązywanie problemów z genetyki z wykorzystaniem praw Mendla 1 i 2 Wykład 8 Julia Kjahrenova 1. - prezentacja Prezentacja została opublikowana 3 lata temu przez Alinę Artemyevą. […]

Ustalamy stawkę podatku transportowego dla samochodów dostawczych i innych nietypowych pojazdów z kategorią „B” Niezbędne informacje łapiemy z tytułu) nie trzeba brać pod uwagę. Przecież kategoria „B” wcale nie oznacza […]

Ocena firm ubezpieczeniowych OSAGO OSAGO odnosi się do ubezpieczeń obowiązkowych, obowiązuje nie tylko w Rosji, ale także w innych krajach bliskiej zagranicy. Polisy te wystawiane są przez wiele towarzystw ubezpieczeniowych, które posiadają odpowiednią licencję na prowadzenie tego typu działalności. Jednakże, […]

Zakwaterowanie hotel Ufa Mini-hotel w Ufie 5 pokoi Zapraszamy gości stolicy do przytulnego i komfortowego hotelu zlokalizowanego w centrum Ufy przy ulicy Komsomolskiej 159/1. W bezpośrednim sąsiedztwie hotelu znajduje się kompleks kinowy Iskra IMAX, cyrk, restauracja-klub A kawiarnia, restauracja Beer Berry, restauracja […]

Zasady używania czasu teraźniejszego prostego w języku angielskim Czas teraźniejszy prosty jest czasem gramatycznym uważanym za jeden z najłatwiejszych do zrozumienia, ponieważ czas teraźniejszy prosty występuje we wszystkich językach. W językach słowiańskich jest to prawdą. Jeśli czytasz ten artykuł, oznacza to, że dopiero […]

Jeśli chcesz podnieść określoną liczbę do potęgi, możesz użyć . Przyjrzymy się teraz bliżej właściwości potęg.

Liczby wykładnicze otwierają ogromne możliwości, pozwalają zamienić mnożenie na dodawanie, a dodawanie jest znacznie łatwiejsze niż mnożenie.

Na przykład musimy pomnożyć 16 przez 64. Wynik pomnożenia tych dwóch liczb wynosi 1024. Ale 16 to 4x4, a 64 to 4x4x4. Zatem 16 razy 64 = 4x4x4x4x4, co również równa się 1024.

Liczbę 16 można również przedstawić jako 2x2x2x2, a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a jeśli pomnożymy, ponownie otrzymamy 1024.

Teraz skorzystajmy z reguły. 16=4 2 lub 2 4 , 64=4 3 lub 2 6 , podczas gdy 1024=6 4 =4 5 lub 2 10 .

Dlatego nasze zadanie można zapisać inaczej: 4 2 x4 3 =4 5 lub 2 4 x2 6 =2 10 i za każdym razem otrzymamy 1024.

Zatem bez mnożenia możemy od razu powiedzieć, że 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi.

Czy w takim razie warto w ogóle zawracać sobie głowę tą metodą? Zdecydowanie warto. Zapewnia ogromne korzyści, szczególnie w przypadku skomplikowanych i czasochłonnych obliczeń.

Co zrobić ze stopniami, jeśli podstawy są różne. Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

PIERWSZY POZIOM

Podnoszenie liczby do potęgi

Przykład z życia wzięty nr 1

Przykład z życia wzięty nr 2

Przykład z życia wzięty nr 3

Przykład z życia wzięty nr 4

Przykład z życia wzięty nr 5

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Właściwości stopnia

Stopień z podstawą ujemną

6 praktycznych przykładów

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Analiza zadań pod kątem samodzielnego rozwiązania:

5 praktycznych przykładów

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Definicja stopnia

Stopień z wykładnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Stopień z wykładnikiem racjonalnym

Właściwości stopnia

Moc o podstawie ujemnej.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

PODSUMOWANIE SEKCJI I PODSTAWOWA FORMUŁA

TERAZ MASZ SŁOWO...

Właściwości stopni ze wskaźnikami naturalnymi

Dodawanie i odejmowanie jednomianów

Podstawowe własności logarytmów

Przejście na nowy fundament

Artykuły z zakresu nauk przyrodniczych i matematyki

Własności potęg o tej samej podstawie

właściwości stopnia

Właściwość nr 1 Produkt mocy

Właściwość nr 2 Stopnie prywatne

Właściwość nr 3 Potęgowanie

Właściwości 5 Potęga ilorazu (ułamki)

Mnożenie i dzielenie liczb z potęgami

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie potęg

Dodawanie i odejmowanie potęg

Mnożenie mocy

Podział władzy

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

Stopień i jego właściwości. Średni poziom.

Jaki jest stopień liczby?

Zacznijmy od dodawania.

Teraz mnożenie.

Podnoszenie liczby do potęgi.

Przykład z życia wzięty nr 1.

Przykład z życia wzięty nr 2.

Przykład z życia wzięty nr 3.

Przykład z życia wzięty nr 4.

Przykład z życia nr 5.

Terminy i pojęcia.

„Stopień liczby z naturalnym wskaźnikiem”

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Artykuły z zakresu nauk przyrodniczych i matematyki

Własności potęg o tej samej podstawie

Zasady dodawania i odejmowania.

Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

Przykłady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Właściwość nr 1
Produkt mocy

Właściwość nr 2
Stopnie prywatne

Właściwość nr 3
Potęgowanie

Właściwości 5
Potęga ilorazu (ułamki)