Na lekcjach matematyki dziecko po raz pierwszy słyszy termin „równanie”. Co to jest, spróbujmy to wspólnie rozgryźć. W tym artykule rozważymy rodzaje i metody rozwiązywania.
Matematyka. równania
Na początek proponujemy zająć się samą koncepcją, co to jest? Jak mówi wiele podręczników do matematyki, równanie to pewne wyrażenia, między którymi zawsze występuje znak równości. Wyrażenia te zawierają litery, tak zwane zmienne, których wartość trzeba znaleźć.
Jest to atrybut systemowy, który zmienia swoją wartość. Dobrym przykładem zmiennych są:
- temperatura powietrza;
- wzrost dziecka;
- waga i tak dalej.
W matematyce są one oznaczane literami, na przykład x, a, b, c ... Zwykle zadanie w matematyce jest następujące: znajdź wartość równania. Oznacza to, że musisz znaleźć wartość tych zmiennych.
Odmiany
Równanie (co to jest, omówiliśmy w poprzednim akapicie) może mieć następującą postać:
- liniowy;
- kwadrat;
- sześcienny;
- algebraiczny;
- niedościgniony.
Aby uzyskać bardziej szczegółową znajomość wszystkich typów, rozważymy każdy z nich osobno.
Równanie liniowe
Jest to pierwszy typ, z którym zapoznają się studenci. Rozwiązuje się je dość szybko i prosto. Czym więc jest równanie liniowe? Jest to wyrażenie postaci: ax=s. Nie jest to zbyt jasne, więc podajmy kilka przykładów: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Spójrzmy na przykłady równań. Aby to zrobić, musimy zebrać z jednej strony wszystkie znane dane, a z drugiej nieznane dane: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Wykorzystano tu elementarne reguły matematyki: a*c=e, stąd c=e/a; a=e/s. Aby zakończyć rozwiązanie równania, wykonujemy jedną akcję (w naszym przypadku dzielenie) x=13; x=8; x=5. To były przykłady mnożenia, teraz spójrzmy na odejmowanie i dodawanie: x + 3 = 9; 10x-5=15. Przenosimy znane dane w jednym kierunku: x=9-3; x=20/10. Wykonujemy ostatnią akcję: x=6; x=2.
Możliwe są również warianty równań liniowych, w których stosuje się więcej niż jedną zmienną: 2x-2y=4. Aby rozwiązać, konieczne jest dodanie 2y do każdej części, otrzymujemy 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, jak zauważyliśmy, po lewej stronie znaku równości -2y i +2y są zmniejszone, podczas gdy my mieć: 2x \u003d 4 -2u. Ostatnim krokiem jest podzielenie każdej części przez dwa, otrzymujemy odpowiedź: x równa się dwa minus y.
Problemy z równaniami można znaleźć nawet na papirusach Ahmesa. Oto jedno z zadań: liczba i jej czwarta część sumują się do 15. Aby ją rozwiązać, piszemy następujące równanie: x dodać jedną czwartą x równa się piętnaście. Widzimy jeszcze jeden przykład w wyniku rozwiązania, otrzymujemy odpowiedź: x=12. Ale ten problem można rozwiązać w inny sposób, a mianowicie metodą egipską lub, jak to się nazywa inaczej, metodą założenia. Papirus stosuje następujące rozwiązanie: weź cztery i jego czwartą część, czyli jedną. W sumie dają pięć, teraz piętnaście trzeba podzielić przez sumę, dostajemy trzy, przy ostatniej akcji mnożymy trzy przez cztery. Otrzymujemy odpowiedź: 12. Dlaczego w rozwiązaniu dzielimy piętnaście na pięć? Dowiadujemy się więc, ile razy piętnaście, czyli wynik, który musimy uzyskać, jest mniejszy niż pięć. W średniowieczu rozwiązywano problemy w ten sposób, który stał się znany jako metoda fałszywej pozycji.
Równania kwadratowe
Oprócz przykładów omówionych wcześniej istnieją inne. Co dokładnie? Co to jest równanie kwadratowe? Wyglądają jak ax 2 +bx+c=0. Aby je rozwiązać, musisz zapoznać się z niektórymi pojęciami i zasadami.
Najpierw musisz znaleźć wyróżnik za pomocą wzoru: b 2 -4ac. Możliwe są trzy rozwiązania:
- dyskryminator jest większy od zera;
- mniej niż zero;
- równa się zeru.
W pierwszym wariancie możemy uzyskać odpowiedź z dwóch pierwiastków, które można znaleźć według wzoru: -b + - pierwiastek wyróżnika podzielony przez podwojony pierwszy współczynnik, czyli 2a.
W drugim przypadku równanie nie ma pierwiastków. W trzecim przypadku korzeń znajduje się według wzoru: -b / 2a.
Rozważ przykład równania kwadratowego dla bardziej szczegółowej znajomości: trzy x kwadrat minus czternaście x minus pięć równa się zero. Na początek, jak napisano wcześniej, szukamy wyróżnika, w naszym przypadku jest to 256. Zauważ, że wynikowa liczba jest większa od zera, dlatego powinniśmy otrzymać odpowiedź składającą się z dwóch pierwiastków. Wynikowy wyróżnik podstawiamy do wzoru na znalezienie pierwiastków. W rezultacie mamy: x równa się pięć i minus jedna trzecia.
Przypadki szczególne w równaniach kwadratowych
Są to przykłady, w których niektóre wartości wynoszą zero (a, b lub c), a być może więcej niż jeden.
Weźmy na przykład następujące równanie, które jest kwadratem: dwa x kwadrat równa się zero, tutaj widzimy, że b i c są równe zeru. Spróbujmy to rozwiązać, w tym celu dzielimy obie części równania przez dwa, mamy: x 2 \u003d 0. W rezultacie otrzymujemy x=0.
Innym przypadkiem jest 16x 2 -9=0. Tutaj tylko b=0. Rozwiązujemy równanie, przenosimy swobodny współczynnik na prawą stronę: 16x 2 \u003d 9, teraz każdą część dzielimy przez szesnaście: x 2 \u003d dziewięć szesnastych. Ponieważ mamy x do kwadratu, pierwiastek z 9/16 może być ujemny lub dodatni. Piszemy odpowiedź w następujący sposób: x jest równe plus / minus trzy czwarte.
Taka odpowiedź jest również możliwa, ponieważ równanie w ogóle nie ma pierwiastków. Spójrzmy na ten przykład: 5x 2 +80=0, tutaj b=0. Aby rozwiązać wolnego członka, rzuć go na prawą stronę, po tych czynnościach otrzymamy: 5x 2 \u003d -80, teraz każdą część dzielimy przez pięć: x 2 \u003d minus szesnaście. Jeśli dowolna liczba jest podniesiona do kwadratu, nie otrzymamy wartości ujemnej. Dlatego nasza odpowiedź brzmi tak: równanie nie ma pierwiastków.
Rozszerzenie trójmianowe
Przypisanie do równań kwadratowych może również brzmieć inaczej: rozłóż trójmian kwadratowy na czynniki. Można to zrobić za pomocą następującego wzoru: a (x-x 1) (x-x 2). W tym celu, podobnie jak w innej wersji zadania, konieczne jest znalezienie dyskryminatora.
Rozważmy następujący przykład: 3x 2 -14x-5, rozłóż trójmian na czynniki. Znajdujemy dyskryminator, używając znanego nam wzoru, okazuje się, że wynosi 256. Od razu zauważamy, że 256 jest większe od zera, dlatego równanie będzie miało dwa pierwiastki. Znajdujemy je, podobnie jak w poprzednim akapicie, mamy: x \u003d pięć i minus jedna trzecia. Skorzystajmy ze wzoru na rozłożenie trójmianu na czynniki: 3(x-5)(x+1/3). W drugim nawiasie dostaliśmy znak równości, bo we wzorze jest minus, a pierwiastek też jest ujemny, korzystając z elementarnej znajomości matematyki, w sumie mamy plus. Aby uprościć, mnożymy pierwszy i trzeci wyraz równania, aby pozbyć się ułamka: (x-5) (x + 1).
Równania kwadratowe
W tej części nauczymy się rozwiązywać bardziej złożone równania. Od razu zacznijmy od przykładu:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Możemy zauważyć powtarzające się elementy: (x 2 - 2x), wygodnie jest nam zastąpić inną zmienną rozwiązania, oraz następnie rozwiąż zwykłe równanie kwadratowe, od razu zauważamy, że w takim zadaniu otrzymamy cztery pierwiastki, to nie powinno cię przestraszyć. Oznaczamy powtórzenie zmiennej a. Otrzymujemy: a 2 -2a-3=0. Naszym następnym krokiem jest znalezienie wyróżnika nowego równania. Otrzymujemy 16, znajdujemy dwa pierwiastki: minus jeden i trzy. Pamiętamy, że zrobiliśmy zamianę, podstawiamy te wartości, w wyniku czego mamy równania: x 2 - 2x \u003d -1; x2 - 2x=3. Rozwiązujemy je w pierwszej odpowiedzi: x równa się jeden, w drugiej: x równa się minus jeden i trzy. Odpowiedź piszemy w następujący sposób: plus / minus jeden i trzy. Z reguły odpowiedź jest zapisywana w porządku rosnącym.
Równania sześcienne
Rozważmy inną możliwą opcję. Porozmawiajmy o równaniach sześciennych. Wyglądają one następująco: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Poniżej rozważymy przykłady równań, ale najpierw trochę teorii. Mogą mieć trzy pierwiastki, jest też wzór na znalezienie wyróżnika dla równania sześciennego.
Rozważmy przykład: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Jak to rozwiązać? Aby to zrobić, po prostu wyjmujemy x z nawiasów: x(3x 2 +4x+2)=0. Pozostaje nam tylko obliczyć pierwiastki równania w nawiasach. Wyróżnik równania kwadratowego w nawiasach jest mniejszy od zera, więc wyrażenie ma pierwiastek: x=0.
Algebra. równania
Przejdźmy do następnego. Zajmiemy się teraz pokrótce równaniami algebraicznymi. Jedno z zadań jest następujące: rozłóż na czynniki 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Najwygodniejszym sposobem byłoby następujące grupowanie: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Zauważ, że reprezentowaliśmy 8x2 z pierwszego wyrażenia jako sumę 3x2 i 5x2. Teraz wyjmujemy z każdego nawiasu wspólny czynnik 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Widzimy, że mamy wspólny dzielnik: x kwadrat plus jeden, wyjmujemy go z nawiasów: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Dalsze rozwinięcie jest niemożliwe, ponieważ oba równania mają ujemny wyróżnik.
Równania transcendentalne
Proponujemy zająć się następującym typem. Są to równania zawierające funkcje przestępne, a mianowicie logarytmiczne, trygonometryczne lub wykładnicze. Przykłady: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 i tak dalej. Jak się je rozwiązuje dowiesz się z kursu trygonometrii.
Funkcjonować
Ostatnim krokiem jest rozważenie pojęcia równania funkcji. W przeciwieństwie do poprzednich opcji, ten typ nie jest rozwiązany, ale na nim zbudowany jest wykres. Aby to zrobić, równanie należy dobrze przeanalizować, znaleźć wszystkie niezbędne punkty do budowy, obliczyć punkty minimalne i maksymalne.
Ministerstwo Edukacji Ogólnej i Zawodowej Federacji Rosyjskiej
Miejska placówka oświatowa
Gimnazjum nr 12
kompozycja
na temat: Równania i sposoby ich rozwiązywania
Ukończone: uczeń 10 klasa „A”.
Krutko Jewgienij
Sprawdzono: nauczycielka matematyki Iskhakova Gulsum Akramovna
Tiumeń 2001
Plan................................................. ............................................... . ............................. 1
Wprowadzenie ......................................................... . .................................................. ............................ 2
Głównym elementem................................................ ............................................... . ............ 3
Wniosek................................................. ............................................... . ........... 25
Aplikacja................................................. ............................................... . ............... 26
Spis referencji ......................................................... .............................. ................... ... 29
Plan.
Wstęp.
Odniesienie historyczne.
równania. Równania algebraiczne.
a) Podstawowe definicje.
b) Równanie liniowe i sposób jego rozwiązywania.
c) Równania kwadratowe i metody ich rozwiązywania.
d) Równania dwuczłonowe, sposób ich rozwiązywania.
e) Równania sześcienne i metody ich rozwiązywania.
f) Równanie dwukwadratowe i sposób jego rozwiązania.
g) Równania czwartego stopnia i metody ich rozwiązywania.
g) Równania wysokich stopni i metody z rozwiązania.
h) Wymierne równanie algebraiczne i jego metoda
i) Równania niewymierne i metody ich rozwiązywania.
j) Równania zawierające niewiadomą pod znakiem.
wartość bezwzględna i sposób jej rozwiązania.
Równania transcendentalne.
a) Równania wykładnicze i sposoby ich rozwiązywania.
b) Równania logarytmiczne i sposoby ich rozwiązywania.
Wstęp
Wykształcenie matematyczne zdobyte w szkole ogólnokształcącej jest istotnym składnikiem wykształcenia ogólnego i ogólnej kultury współczesnego człowieka. Prawie wszystko, co otacza współczesnego człowieka, jest w taki czy inny sposób związane z matematyką. A najnowsze osiągnięcia w fizyce, inżynierii i informatyce nie pozostawiają wątpliwości, że w przyszłości stan rzeczy pozostanie taki sam. Dlatego rozwiązanie wielu praktycznych problemów sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, których rozwiązywania trzeba się nauczyć.
Niniejsza praca jest próbą uogólnienia i usystematyzowania badanego materiału na powyższy temat. Materiał ułożyłem według stopnia jego skomplikowania, zaczynając od najprostszego. Zawiera zarówno typy równań znane nam ze szkolnego kursu algebry, jak i materiał dodatkowy. Jednocześnie starałem się pokazać typy równań, których nie uczy się na kursie szkolnym, ale których znajomość może być potrzebna przy wchodzeniu na studia wyższe. W mojej pracy, rozwiązując równania, nie ograniczałem się tylko do rzeczywistego rozwiązania, ale wskazywałem również rozwiązanie złożone, ponieważ uważam, że w przeciwnym razie równanie po prostu nie zostanie rozwiązane. W końcu, jeśli w równaniu nie ma prawdziwych pierwiastków, nie oznacza to, że nie ma ono rozwiązań. Niestety z powodu braku czasu nie byłem w stanie przedstawić całego materiału, którym dysponuję, ale nawet przy materiale, który jest tutaj prezentowany, może pojawić się wiele pytań. Mam nadzieję, że moja wiedza wystarczy, aby odpowiedzieć na większość pytań. Przedstawiam więc materiał.
Matematyka... ujawnia porządek
symetria i pewność,
i to są najważniejsze rodzaje piękna.
Arystoteles.
Odniesienie historyczne
W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane wielkości, prawdopodobnie nie było jeszcze monet ani portfeli. Ale z drugiej strony były to stosy, a także garnki, kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek-magazynów zawierających nieznaną liczbę przedmiotów. „Szukamy kupy, która wraz z dwiema trzecimi jej, połową i jedną siódmą, wynosi 37…”, nauczał egipski pisarz Ahmes w II tysiącleciu pne. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, całość rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Skrybowie, urzędnicy i kapłani wtajemniczeni w wiedzę tajemną, dobrze wyszkoleni w nauce liczenia, radzili sobie z takimi zadaniami całkiem pomyślnie.
Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali pewne ogólne metody rozwiązywania problemów o nieznanych ilościach. Jednak ani jeden papirus, ani jedna gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Autorzy tylko sporadycznie opatrzyli swoje obliczenia numeryczne złośliwymi komentarzami typu: „Spójrz!”, „Zrób to!”, „Dobrze trafiłeś”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do zestawiania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.
Jednak praca uczonego z Bagdadu z IX wieku stała się pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo "al-jabr" z arabskiego tytułu tego traktatu - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Księga Przywrócenia i Kontrastowania") - z czasem zamieniło się w dobrze wszystkim znane słowo "algebra", a praca samego al-Khwarizmi posłużyła jako punkt wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań.
równania. Równania algebraiczne
Podstawowe definicje
W algebrze brane są pod uwagę dwa rodzaje równości - tożsamości i równania.
Tożsamość jest równością, która obowiązuje dla wszystkich (dopuszczalnych) wartości liter). Aby napisać tożsamość wraz ze znakiem
używany jest również znak.Równanie- jest to równość, która jest spełniona tylko dla niektórych wartości zawartych w niej liter. Litery zawarte w równaniu, w zależności od stanu problemu, mogą być nierówne: niektóre mogą przyjmować wszystkie dopuszczalne wartości (nazywane są parametry Lub współczynniki równania i są zwykle oznaczane pierwszymi literami alfabetu łacińskiego:
, , ... – lub te same litery, opatrzone indeksami: , , ... lub , , ...); inne, których wartości mają zostać znalezione, nazywane są nieznany(zazwyczaj oznacza się je ostatnimi literami alfabetu łacińskiego: , , , ... - lub tymi samymi literami, opatrzonymi indeksami: , , ... lub , , ...).Ogólnie równanie można zapisać w następujący sposób:
(, , ..., ).W zależności od liczby niewiadomych równanie nazywa się równaniem z jedną, dwiema itd. niewiadomymi.
Równanie to wyrażenie matematyczne, które jest równaniem zawierającym niewiadomą. Jeśli równość jest prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości zawartych w niej niewiadomych, to nazywa się to tożsamością; na przykład: relacja typu (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) obowiązuje dla wszystkich wartości x.
Jeśli równanie z nieznanym x zachodzi tylko dla pewnych wartości x, a nie dla wszystkich wartości x, jak w przypadku tożsamości, wówczas przydatne może być wyznaczenie tych wartości x, dla których równanie jest prawidłowe. Takie wartości x nazywane są pierwiastkami lub rozwiązaniami równania. Na przykład liczba 5 jest pierwiastkiem równania 2x + 7 = 17.
W dziale matematyki zwanym teorią równań głównym przedmiotem badań są metody rozwiązywania równań. Na szkolnym kursie algebry podawane są równania duże skupienie.
Historia badania równań sięga wielu stuleci. Najbardziej znanymi matematykami, którzy przyczynili się do rozwoju teorii równań, byli:
Archimedes (ok. 287-212 pne) – starożytny grecki naukowiec, matematyk i mechanik. W badaniu jednego problemu, który sprowadza się do równania sześciennego, Archimedes odkrył rolę cechy, która później stała się znana jako dyskryminator.
François Viet żył w XVI wieku. Wniósł wielki wkład w badanie różnych problemów matematyki. W szczególności wprowadził dosłowny zapis współczynników równania i ustalił związek między pierwiastkami równania kwadratowego.
Leonhard Euler (1707 - 1783) - matematyk, mechanik, fizyk i astronom. Autor św. 800 prac z zakresu analizy matematycznej, równań różniczkowych, geometrii, teorii liczb, obliczeń przybliżonych, mechaniki nieba, matematyki, optyki, balistyki, budownictwa okrętowego, teorii muzyki itp. Wywarł znaczący wpływ na rozwój nauki. Wyprowadził wzory (wzory Eulera) wyrażające funkcje trygonometryczne zmiennej x poprzez funkcję wykładniczą.
Lagrange Joseph Louis (1736-1813), francuski matematyk i mechanik. Ma wybitne osiągnięcia naukowe, m.in. nad algebrą (funkcja symetryczna pierwiastków równania, nad równaniami różniczkowymi (teoria rozwiązań osobliwych, metoda wariacji stałych).
J. Lagrange i A. Vandermonde – francuscy matematycy. W 1771 r. po raz pierwszy zastosowano metodę rozwiązywania układów równań (metodę podstawieniową).
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) – niemiecki matematyk. Napisał książkę przedstawiającą teorię równań dzielenia koła (tj. równań xn - 1 = 0), która pod wieloma względami była prototypem teorii Galois. Oprócz ogólnych metod rozwiązywania tych równań, ustalił związek między nimi a konstrukcją regularnych wielokątów. On, po raz pierwszy po starożytnych greckich naukowcach, zrobił znaczący krok naprzód w tej sprawie, a mianowicie: znalazł wszystkie te wartości n, dla których można zbudować regularny n-gon za pomocą kompasu i linijki. Nauczyłem się dodawać. Doszedł do wniosku, że układy równań można dodawać, dzielić i mnożyć między sobą.
O. I. Somow - wzbogacił różne działy matematyki ważnymi i licznymi pracami, między innymi teorią niektórych równań algebraicznych wyższych stopni.
Galois Evariste (1811-1832), francuski matematyk. Jego główną zasługą jest sformułowanie zbioru idei, do którego doszedł w związku z kontynuacją badań nad rozwiązywalnością równań algebraicznych, zapoczątkowanych przez J. Lagrange'a, N. Abla i innych, stworzył teorię równań algebraicznych wyższych stopni z jedną niewiadomą.
AV Pogorelov (1919 - 1981) - W jego pracy metody geometryczne są łączone z analitycznymi metodami teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jego prace miały również znaczący wpływ na teorię nieliniowych równań różniczkowych.
P. Ruffini – włoski matematyk. Poświęcił szereg prac dowodowi nierozwiązywalności równania V stopnia, systematycznie posługuje się domknięciem zbioru podstawień.
Pomimo faktu, że naukowcy od dawna badają równania, nauka nie wie, jak i kiedy ludzie dostali potrzebę używania równań. Wiadomo tylko, że problemy prowadzące do rozwiązania najprostszych równań ludzie rozwiązywali od czasu, gdy stali się ludźmi. Kolejne 3 - 4 tysiące lat pne. mi. Egipcjanie i Babilończycy umieli rozwiązywać równania. Reguła rozwiązywania tych równań pokrywa się ze współczesną, ale nie wiadomo, jak doszli do tego punktu.
W starożytnym Egipcie i Babilonie stosowano metodę fałszywej pozycji. Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą zawsze można sprowadzić do postaci ax + b = c, w której a, b, c są liczbami całkowitymi. Zgodnie z zasadami operacji arytmetycznych ax \u003d c - b,
Jeśli b > c, to c b jest liczbą ujemną. Liczby ujemne były nieznane Egipcjanom i wielu innym późniejszym ludom (na równi z liczbami dodatnimi zaczęto je stosować w matematyce dopiero w XVII wieku). Aby rozwiązać problemy, które teraz rozwiązujemy za pomocą równań pierwszego stopnia, wynaleziono metodę fałszywej pozycji. W papirusie Ahmesa tą metodą rozwiązano 15 problemów. Egipcjanie mieli specjalny znak oznaczający nieznaną liczbę, który do niedawna był czytany „jak” i tłumaczony słowem „sterta” („sterta” lub „nieznana liczba” jednostek). Teraz czytają trochę mniej niedokładnie: „aha”. Metoda rozwiązania stosowana przez Ahmesa nazywana jest metodą jednej fałszywej pozycji. Za pomocą tej metody rozwiązuje się równania postaci ax = b. Metoda ta polega na podzieleniu każdej strony równania przez a. Używali go zarówno Egipcjanie, jak i Babilończycy. Różne ludy stosowały metodę dwóch fałszywych pozycji. Arabowie zmechanizowali tę metodę i uzyskali taką formę, w jakiej przeszła ona do podręczników ludów europejskich, w tym do Arytmetyki Magnickiego. Magnitsky nazywa metodę rozwiązywania „fałszywej reguły” i pisze w części swojej książki wyjaśniającej tę metodę:
Zelo bo przebiegłość to ta część, jakbyś mógł włożyć w to wszystko. Nie tylko to, co jest w obywatelstwie, Ale i wyższe nauki w kosmosie, Nawet są wymienione w sferze nieba, Jak mędrcy są potrzebni.
Treść wierszy Magnickiego można streścić w następujący sposób: ta część arytmetyki jest bardzo trudna. Z jego pomocą można obliczyć nie tylko to, co jest potrzebne w codziennej praktyce, ale także rozwiązuje „wyższe” pytania, przed którymi stają „mądrzy”. Magnicki używa „fałszywej reguły” w formie nadanej jej przez Arabów, nazywając ją „arytmetyką dwóch błędów” lub „metodą wag”. Indyjscy matematycy często zadawali problemy w wierszu. Wyzwanie Lotosu:
Nad spokojnym jeziorem, pół miary nad wodą, widać było kolor lotosu. Dorastał sam, a wiatr falą wyginał go na bok, i już nie
Kwiaty nad wodą. Znalazł oko rybaka Dwie miary od miejsca, w którym dorastał. Ile jezior jest tutaj głębokich? Zaproponuję ci pytanie.
Rodzaje równań
Równania liniowe
Równania liniowe to równania postaci: ax + b = 0, gdzie aib to pewne stałe. Jeśli a nie jest równe zero, to równanie ma jeden pierwiastek: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).
Na przykład: rozwiąż równanie liniowe: 4x + 12 = 0.
Rozwiązanie: T. do a \u003d 4 i b \u003d 12, a następnie x \u003d - 12: 4; x = - 3.
Sprawdź: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Ponieważ k 0 = 0, to -3 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.
Odpowiedź. x = -3
Jeśli a wynosi zero, a b wynosi zero, to pierwiastek równania ax + b = 0 jest dowolną liczbą.
Na przykład:
0 = 0. Skoro 0 to 0, to pierwiastek równania 0x + 0 = 0 jest dowolną liczbą.
Jeśli a wynosi zero, a b nie jest równe zeru, to równanie ax + b = 0 nie ma pierwiastków.
Na przykład:
0 \u003d 6. Ponieważ 0 nie jest równe 6, to 0x - 6 \u003d 0 nie ma pierwiastków.
Układy równań liniowych.
Układ równań liniowych to układ, w którym wszystkie równania są liniowe.
Rozwiązanie systemu oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań.
Przed rozwiązaniem układu równań liniowych można określić liczbę jego rozwiązań.
Niech dany będzie układ równań: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.
Jeśli a1 podzielone przez a2 nie jest równe b1 podzielone przez b2, to system ma jedno unikalne rozwiązanie.
Jeśli a1 podzielone przez a2 jest równe b1 podzielone przez b2, ale równe c1 podzielone przez c2, to układ nie ma rozwiązań.
Jeżeli a1 podzielone przez a2 jest równe b1 podzielone przez b2 i równe c1 podzielone przez c2, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układ równań, który ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywamy spójnym.
System połączony nazywamy określonym, jeśli ma skończoną liczbę rozwiązań, a nieokreślonym, jeśli zbiór jego rozwiązań jest nieskończony.
System, który nie ma jednego rozwiązania, nazywamy niespójnym lub niespójnym.
Sposoby rozwiązywania równań liniowych
Istnieje kilka sposobów rozwiązywania równań liniowych:
1) Metoda selekcji. To najprostszy sposób. Polega to na tym, że wszystkie prawidłowe wartości nieznanego są wybierane przez wyliczenie.
Na przykład:
Rozwiązać równanie.
Niech x = 1. Wtedy
4 = 6. Ponieważ 4 nie równa się 6, nasze założenie, że x = 1 było błędne.
Niech x = 2.
6 = 6. Skoro 6 równa się 6, to nasze założenie, że x = 2 było poprawne.
Odpowiedź: x = 2.
2) Sposób uproszczenia
Metoda ta polega na tym, że wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przenosimy na lewą stronę, a znane prawicy ze znakiem przeciwnym, dajemy podobne, a obie części równania dzielimy przez współczynnik niewiadomego.
Na przykład:
Rozwiązać równanie.
5x - 4 \u003d 11 + 2x;
5x - 2x \u003d 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Odpowiedź. x = 5.
3) Graficzny sposób.
Polega ona na tym, że konstruuje się wykres funkcji danego równania. Ponieważ w równaniu liniowym y \u003d 0 wykres będzie równoległy do osi y. Punkt przecięcia wykresu z osią x będzie rozwiązaniem tego równania.
Na przykład:
Rozwiązać równanie.
Niech y = 7. Wtedy y = 2x + 3.
Zbudujmy wykres funkcji obu równań:
Sposoby rozwiązywania układów równań liniowych
W siódmej klasie badane są trzy sposoby rozwiązywania układów równań:
1) Metoda zastępcza.
Metoda ta polega na tym, że w jednym z równań jedna niewiadoma jest wyrażona za pomocą innej. Otrzymane wyrażenie jest zastępowane innym równaniem, które następnie zamienia się w równanie z jedną niewiadomą, po czym zostaje rozwiązane. Otrzymaną wartość tej niewiadomej podstawiamy do dowolnego równania pierwotnego układu i znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Na przykład.
Rozwiąż układ równań.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.
Zastąp otrzymane wyrażenie innym równaniem:
5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;
5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Podstaw wynikową wartość do równania 3x + y \u003d 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.
Badanie.
/3 1 + 1 = 4,
\5 1 - 2 1 - 2 = 1;
Odpowiedź: x = 1; y = 1.
2) Metoda dodawania.
Metoda ta polega na tym, że jeżeli dany układ składa się z równań, które dodane wyraz po wyrazie tworzą równanie z jedną niewiadomą, to rozwiązując to równanie otrzymamy wartość jednej z niewiadomych. Otrzymaną wartość tej niewiadomej podstawiamy do dowolnego równania pierwotnego układu i znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.
Na przykład:
Rozwiąż układ równań.
/ 3y - 2x \u003d 5,
\5x - 3y \u003d 4.
Rozwiążmy otrzymane równanie.
3x = 9; : (3) x = 3.
Podstawmy otrzymaną wartość do równania 3y - 2x = 5.
3y - 2 3 = 5;
3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
więc x = 3; y = 3 2/3.
Badanie.
/3 11/3 - 2 3 = 5,
\5 3 - 3 11/ 3 = 4;
Odpowiedź. x = 3; y = 3 2/3
3) Graficzny sposób.
Metoda ta opiera się na fakcie, że wykresy równań są kreślone w jednym układzie współrzędnych. Jeżeli wykresy równania przecinają się, to współrzędne punktu przecięcia są rozwiązaniem tego układu. Jeżeli wykresy równania są liniami równoległymi, to dany układ nie ma rozwiązań. Jeżeli wykresy równań łączą się w jedną linię prostą, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Na przykład.
Rozwiąż układ równań.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Konstruujemy wykresy funkcji y \u003d 2x - 5 i y \u003d 3 - 6x w tym samym układzie współrzędnych.
Wykresy funkcji y \u003d 2x - 5 i y \u003d 3 - 6x przecinają się w punkcie A (1; -3).
Dlatego rozwiązaniem tego układu równań będzie x = 1 i y = -3.
Badanie.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Odpowiedź. x = 1; y = -3.
Wniosek
Na podstawie powyższego możemy stwierdzić, że równania są we współczesnym świecie niezbędne nie tylko do rozwiązywania problemów praktycznych, ale także jako narzędzie naukowe. Dlatego tak wielu naukowców badało ten problem i kontynuuje naukę.
52. Bardziej złożone przykłady równań.
Przykład 1 .
5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)
Wspólny mianownik to x 2 - 1, ponieważ x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Pomnóż obie strony tego równania przez x 2 - 1. Otrzymujemy:
lub po redukcji
5(x + 1) - 3(x - 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x=7 i x=3½
Rozważ inne równanie:
5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)
Rozwiązując jak wyżej, otrzymujemy:
5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 lub 2x = 2 i x = 1.
Zobaczmy, czy nasze równości są uzasadnione, jeśli zastąpimy x w każdym z rozważanych równań znalezioną liczbą.
Dla pierwszego przykładu otrzymujemy:
Widzimy, że nie ma tu miejsca na żadne wątpliwości: znaleźliśmy taką liczbę dla x, że wymagana równość jest uzasadniona.
Dla drugiego przykładu otrzymujemy:
5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) lub 5/0 - 3/2 = 15/0
Tu pojawiają się wątpliwości: mamy tu do czynienia z dzieleniem przez zero, co jest niemożliwe. Jeśli w przyszłości uda nam się nadać temu podziałowi pewien, choć pośredni, sens, to możemy zgodzić się, że znalezione rozwiązanie x - 1 spełnia nasze równanie. Do tego czasu musimy przyznać, że nasze równanie w ogóle nie ma rozwiązania, które miałoby bezpośrednie znaczenie.
Takie przypadki mogą wystąpić, gdy niewiadoma jest w jakiś sposób zawarta w mianownikach ułamków w równaniu, a niektóre z tych mianowników po znalezieniu rozwiązania znikają.
Przykład 2 .
Od razu widać, że to równanie ma postać proporcji: stosunek liczby x + 3 do liczby x - 1 jest równy stosunkowi liczby 2x + 3 do liczby 2x - 2. Niech ktoś w Biorąc pod uwagę tę okoliczność, zdecydowaliśmy się zastosować tutaj, aby uwolnić równanie od ułamków, które są główną własnością proporcji (iloczyn skrajnych wyrazów jest równy iloczynowi średnich). Otrzyma wtedy:
(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)
2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.
Tutaj może budzić obawy, że nie poradzimy sobie z tym równaniem, fakt, że równanie zawiera wyrazy z x 2 . Możemy jednak odjąć 2x 2 od obu stron równania - nie spowoduje to przerwania równania; wtedy członkowie z x 2 zostaną zniszczeni i otrzymamy:
6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3
Przesuwamy nieznane wyrazy w lewo, znane w prawo - otrzymujemy:
3x=3 lub x=1
Zapamiętanie tego równania
(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)
od razu zauważymy, że znaleziona wartość dla x (x = 1) usuwa mianowniki każdego ułamka; musimy zrezygnować z takiego rozwiązania, dopóki nie rozważymy kwestii dzielenia przez zero.
Jeśli jeszcze zauważymy, że zastosowanie własności proporcji ma skomplikowaną sprawę i że prostsze równanie można by otrzymać mnożąc obie części danej przez wspólny mianownik, czyli przez 2(x - 1) - przecież 2x - 2 = 2 (x - 1) , to otrzymujemy:
2(x + 3) = 2x - 3 lub 2x + 6 = 2x - 3 lub 6 = -3,
co jest niemożliwe.
Ta okoliczność wskazuje, że to równanie nie ma rozwiązań, które miałyby bezpośrednie znaczenie, które nie powodowałyby zerowania mianowników tego równania.
Rozwiążmy teraz równanie:
(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)
Mnożymy obie części równania 2(x - 1), czyli przez wspólny mianownik otrzymujemy:
6x + 10 = 2x + 18
Znalezione rozwiązanie nie unieważnia mianownika i ma bezpośrednie znaczenie:
lub 11 = 11
Gdyby ktoś, zamiast mnożyć obie części przez 2(x - 1), skorzystał z własności proporcji, otrzymałby:
(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) lub
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.
Tutaj już wyrazy z x 2 nie zostałyby unicestwione. Przenosząc wszystkie nieznane terminy na lewą stronę, a znane na prawą, otrzymalibyśmy
4x 2 - 12x = -8
x 2 - 3 x = -2
Nie możemy teraz rozwiązać tego równania. W przyszłości nauczymy się rozwiązywać takie równania i znajdować dla nich dwa rozwiązania: 1) możemy przyjąć x = 2 i 2) możemy przyjąć x = 1. Łatwo sprawdzić oba rozwiązania:
1) 2 2 - 3 2 = -2 i 2) 1 2 - 3 1 = -2
Jeśli pamiętamy początkowe równanie
(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),
zobaczymy, że teraz otrzymamy oba jego rozwiązania: 1) x = 2 to rozwiązanie, które ma bezpośrednie znaczenie i nie zwraca mianownika do zera, 2) x = 1 to rozwiązanie, które zwraca mianownik do zera i nie nie mają bezpośredniego znaczenia.
Przykład 3 .
Znajdźmy wspólny mianownik ułamków zawartych w tym równaniu, dla którego rozkładamy na czynniki każdy z mianowników:
1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),
2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),
3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).
Wspólny mianownik to (x - 3)(x - 2)(x + 1).
Pomnóż obie strony tego równania (i teraz możemy je przepisać jako:
do wspólnego mianownika (x - 3) (x - 2) (x + 1). Następnie po skróceniu każdego ułamka otrzymujemy:
3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) lub
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.
Stąd otrzymujemy:
–x = –13 i x = 13.
To rozwiązanie ma bezpośrednie znaczenie: nie ustawia żadnego z mianowników na zero.
Gdybyśmy wzięli równanie:
następnie, postępując dokładnie w taki sam sposób jak powyżej, otrzymalibyśmy
3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2
3x + 3 - 2x + 6 = x - 2
3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,
skąd byś wziął
co jest niemożliwe. Ta okoliczność pokazuje, że nie można znaleźć rozwiązania dla ostatniego równania, które ma bezpośrednie znaczenie.
W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są najprostszymi.
Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i które z nich należy nazwać najprostszym?
Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko pierwszego stopnia.
Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:
Wszystkie inne równania liniowe są redukowane do najprostszych za pomocą algorytmu:
- Otwarte nawiasy, jeśli występują;
- Przenieś wyrażenia zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a wyrażenia bez zmiennej na drugą;
- Umieść podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
- Podziel otrzymane równanie przez współczynnik zmiennej $x$ .
Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich machinacjach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:
- Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
- Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedynym przypadkiem, w którym jest to możliwe, jest sprowadzenie równania do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.
A teraz zobaczmy jak to wszystko działa na przykładzie rzeczywistych problemów.
Przykłady rozwiązywania równań
Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko tymi najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza każdą równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.
Takie konstrukcje są rozwiązywane w przybliżeniu w ten sam sposób:
- Przede wszystkim musisz otworzyć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
- Następnie przynieś podobne
- Na koniec wyizoluj zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w których jest zawarta – jest przenoszone na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, jest przenoszone na drugą stronę.
Następnie z reguły musisz przynieść podobne po każdej stronie wynikowej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik w „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.
W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni licealiści mogą popełniać rażące błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zwykle popełnia się błędy przy otwieraniu nawiasów lub przy liczeniu „plusów” i „minusów”.
Poza tym zdarza się, że równanie liniowe nie ma w ogóle rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najprostszych zadań.
Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych
Na początek napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:
- Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
- Wyklucz zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
- Przedstawiamy podobne warunki.
- Wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”.
Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, ma pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.
Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych
Zadanie 1
W pierwszym kroku musimy otworzyć nawiasy. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o indywidualnych warunkach. Napiszmy:
Podajemy podobne terminy po lewej i po prawej stronie, ale to już zostało tutaj zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tutaj otrzymaliśmy odpowiedź.
Zadanie nr 2
W tym zadaniu możemy obserwować nawiasy, więc rozwińmy je:
Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej tę samą konstrukcję, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. zmienne sekwestrujące:
Oto kilka takich jak:
Na jakich korzeniach to działa? Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.
Zadanie nr 3
Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:
\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]
Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, po prostu mają przed sobą różne znaki. Podzielmy je:
Wykonujemy drugi już znany nam krok:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
obliczmy:
Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik na „x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych
Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, to chciałbym powiedzieć, co następuje:
- Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
- Nawet jeśli są korzenie, zero może się między nimi dostać - nie ma w tym nic złego.
Zero to taka sama liczba jak reszta, nie powinieneś jej jakoś dyskryminować ani zakładać, że jeśli dostaniesz zero, to zrobiłeś coś źle.
Kolejna cecha związana jest z rozwinięciem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zamieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć zgodnie ze standardowymi algorytmami: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.
Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, kiedy takie działania są uważane za oczywiste.
Rozwiązywanie złożonych równań liniowych
Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej skomplikowane i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie należy się jednak tego bać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiążemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową zostaną koniecznie zredukowane.
Przykład 1
Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:
Teraz weźmy prywatność:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Oto kilka takich jak:
Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi piszemy:
\[\różnorodność \]
lub bez korzeni.
Przykład nr 2
Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:
Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej w prawo:
Oto kilka takich jak:
Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:
\[\varnic\],
lub bez korzeni.
Niuanse rozwiązania
Oba równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.
Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je rozszerzać, jeśli przed nimi jest znak minus. Rozważ to wyrażenie:
Przed otwarciem musisz wszystko pomnożyć przez „x”. Uwaga: pomnóż każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i jest mnożony.
I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że jest po nim znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia są zakończone, pamiętamy, że przed nawiasami jest znak minus, co oznacza, że wszystko poniżej zmienia tylko znaki. W tym samym czasie znikają same wsporniki i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.
To samo robimy z drugim równaniem:
To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, z pozoru nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie niemożność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i uczą się od nowa rozwiązywać takie proste równania.
Oczywiście nadejdzie dzień, w którym doszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już wykonywać tylu przekształceń za każdym razem, wszystko zapiszesz w jednej linii. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.
Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych
To, co zamierzamy teraz rozwiązać, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.
Zadanie 1
\[\lewo(7x+1\prawo)\lewo(3x-1\prawo)-21((x)^(2))=3\]
Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:
Zróbmy rekolekcje:
Oto kilka takich jak:
Zróbmy ostatni krok:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to jednak wzajemnie się zniosły, co sprawia, że równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.
Zadanie nr 2
\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]
Zróbmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach należy uzyskać cztery nowe wyrazy:
A teraz ostrożnie wykonaj mnożenie w każdym wyrazie:
Przesuńmy wyrazy z „x” w lewo, a bez – w prawo:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Oto podobne terminy:
Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.
Niuanse rozwiązania
Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest taka: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest więcej niż wyraz, to robimy to według następującej zasady: pierwszy wyraz bierzemy od pierwszego i mnożymy przez każdy element od drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy z każdym elementem z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery wyrazy.
O sumie algebraicznej
Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez $1-7$ rozumiemy prostą konstrukcję: od jednego odejmujemy siedem. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy inną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Ta suma algebraiczna różni się od zwykłej sumy arytmetycznej.
Gdy tylko wykonując wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do tych opisanych powyżej, po prostu nie będziesz mieć żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.
Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie obejrzeliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.
Rozwiązywanie równań z ułamkiem
Aby rozwiązać takie zadania, do naszego algorytmu trzeba będzie dodać jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:
- Otwarte nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobny.
- Podziel przez czynnik.
Niestety, ten wspaniały algorytm, mimo całej swojej wydajności, nie jest całkowicie odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. A w tym, co zobaczymy poniżej, mamy ułamek po lewej i po prawej stronie w obu równaniach.
Jak działać w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:
- Pozbądź się ułamków.
- Otwarte nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobny.
- Podziel przez czynnik.
Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie mianownik jest tylko liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie części równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.
Przykład 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Uwaga: wszystko jest mnożone przez „cztery” raz, tj. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Teraz otwórzmy to:
Wykonujemy sekcję zmiennej:
Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:
\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przechodzimy do drugiego równania.
Przykład nr 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Tutaj wykonujemy te same czynności:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem rozwiązany.
Właściwie to wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.
Kluczowe punkty
Kluczowe ustalenia są następujące:
- Znajomość algorytmu rozwiązywania równań liniowych.
- Możliwość otwierania nawiasów.
- Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej w trakcie dalszych przekształceń zostaną one zmniejszone.
- Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet tych najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem, pierwiastków nie ma wcale.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie o wiele więcej ciekawych rzeczy!