Wykład: Pryzmat, jego podstawy, żebra boczne, wysokość, powierzchnia boczna; prosty pryzmat; prawidłowy pryzmat
Pryzmat
Jeśli nauczyłeś się z nami płaskich figur z poprzednich pytań, jesteś całkowicie gotowy do studiowania figur trójwymiarowych. Pierwszą bryłą, jaką się poznamy, będzie pryzmat.
Pryzmat to trójwymiarowe ciało o dużej liczbie ścian.
Figura ta ma u podstaw dwa wielokąty, które leżą w równoległych płaszczyznach, a wszystkie ściany boczne mają kształt równoległoboku.
Ryc. 1. Ryc. 2
Zastanówmy się więc, z czego składa się pryzmat. Aby to zrobić, zwróć uwagę na ryc. 1
Jak wspomniano wcześniej, pryzmat ma dwie równoległe do siebie podstawy - są to pięciokąty ABCEF i GMNJK. Co więcej, te wielokąty są sobie równe.
Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są ścianami bocznymi - składają się z równoległoboków. Na przykład BMNC, AGKF, FKJE itp.
Nazywa się całkowitą powierzchnię wszystkich ścian bocznych powierzchnia boczna.
Każda para sąsiadujących ścian ma wspólny bok. Ta wspólna strona nazywana jest krawędzią. Na przykład MV, SE, AB itp.
Jeśli górna i dolna podstawa pryzmatu są połączone prostopadle, wówczas nazywa się to wysokością pryzmatu. Na rysunku wysokość oznaczono linią prostą OO 1.
Istnieją dwa główne typy pryzmatów: ukośne i proste.
Jeżeli boczne krawędzie pryzmatu nie są prostopadłe do podstaw, wówczas taki pryzmat nazywa się skłonny.
Jeżeli wszystkie krawędzie pryzmatu są prostopadłe do podstaw, wówczas taki pryzmat nazywa się prosty.
Jeżeli podstawy pryzmatu zawierają wielokąty foremne (o równych bokach), wówczas taki pryzmat nazywa się prawidłowy.
Jeżeli podstawy pryzmatu nie są do siebie równoległe, wówczas taki pryzmat zostanie wywołany kadłubowy.
Można to zobaczyć na ryc. 2
Wzory na znalezienie objętości i pola pryzmatu
Istnieją trzy podstawowe wzory na znalezienie objętości. Różnią się między sobą zastosowaniem:
Podobne wzory na znalezienie pola powierzchni pryzmatu:
Wielościany
Głównym przedmiotem badań stereometrii są ciała przestrzenne. Ciało reprezentuje część przestrzeni ograniczoną określoną powierzchnią.
Wielościan jest ciałem, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów. Wielościan nazywa się wypukłym, jeśli znajduje się po jednej stronie płaszczyzny każdego wielokąta płaskiego na jego powierzchni. Nazywa się część wspólną takiej płaszczyzny i powierzchni wielościanu krawędź. Ściany wielościanu wypukłego są płaskimi wielokątami wypukłymi. Nazywa się boki twarzy krawędzie wielościanu, a wierzchołki są wierzchołki wielościanu.
Na przykład sześcian składa się z sześciu kwadratów, które są jego ścianami. Zawiera 12 krawędzi (boki kwadratów) i 8 wierzchołków (wierzchołki kwadratów).
Najprostszymi wielościanami są pryzmaty i piramidy, które będziemy badać dalej.
Pryzmat
Definicja i właściwości pryzmatu
Pryzmat jest wielościanem składającym się z dwóch płaskich wielokątów leżących w równoległych płaszczyznach połączonych równoległym translacją oraz wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych wielokątów. Nazywa się wielokąty podstawy pryzmatu, a segmenty łączące odpowiednie wierzchołki wielokątów to boczne krawędzie pryzmatu.
Wysokość pryzmatu nazywa się odległością między płaszczyznami jego podstaw (). Nazywa się odcinek łączący dwa wierzchołki pryzmatu, które nie należą do tej samej ściany przekątna pryzmatu(). Pryzmat nazywa się n-węgiel, jeśli jego podstawa zawiera n-gon.
Każdy pryzmat ma następujące właściwości, wynikające z faktu, że podstawy pryzmatu są łączone poprzez równoległe przesunięcie:
1. Podstawy pryzmatu są równe.
2. Boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.
Powierzchnia pryzmatu składa się z podstaw i powierzchnia boczna. Powierzchnia boczna pryzmatu składa się z równoległoboków (wynika to z właściwości pryzmatu). Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest sumą pól ścian bocznych.
Prosty pryzmat
Pryzmat nazywa się prosty, jeżeli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw. W przeciwnym razie nazywa się pryzmat skłonny.
Ściany prawego pryzmatu są prostokątami. Wysokość prostego pryzmatu jest równa jego ścianom bocznym.
Pełna powierzchnia pryzmatu nazywa się sumą pola powierzchni bocznej i pól podstaw.
Z odpowiednim pryzmatem zwany pryzmatem prawym, którego podstawą jest wielokąt foremny.
Twierdzenie 13.1. Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu i wysokości pryzmatu (lub, co jest takie samo, krawędzi bocznej).
Dowód. Boczne ściany prawego pryzmatu to prostokąty, których podstawy to boki wielokątów u podstaw pryzmatu, a wysokości to boczne krawędzie pryzmatu. Zatem z definicji pole powierzchni bocznej wynosi:
,
gdzie jest obwód podstawy prostego graniastosłupa.
Równoległościan
Jeśli równoległoboki leżą u podstaw pryzmatu, nazywa się to równoległościan. Wszystkie ściany równoległościanu są równoległobokami. W tym przypadku przeciwne ściany równoległościanu są równoległe i równe.
Twierdzenie 13.2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.
Dowód. Rozważmy na przykład dwie dowolne przekątne i . Ponieważ ściany równoległościanu są równoległobokami, a następnie i , co oznacza, według To, że istnieją dwie proste równoległe do trzeciej. Ponadto oznacza to, że linie proste i leżą w tej samej płaszczyźnie (płaszczyźnie). Płaszczyzna ta przecina płaszczyzny równoległe i wzdłuż linii równoległych i . Zatem czworokąt jest równoległobokiem i zgodnie z właściwością równoległoboku jego przekątne przecinają się i dzielą na pół w punkcie przecięcia, co należało udowodnić.
Nazywa się równoległościan prawy, którego podstawa jest prostokątem prostokątny równoległościan. Wszystkie ściany równoległościanu prostokątnego są prostokątami. Długości nierównoległych krawędzi prostokątnego równoległościanu nazywane są jego wymiarami liniowymi (wymiarami). Istnieją trzy takie rozmiary (szerokość, wysokość, długość).
Twierdzenie 13.3. W równoległościanie prostokątnym kwadrat dowolnej przekątnej jest równy sumie kwadratów jej trzech wymiarów 
(udowodniono przez dwukrotne zastosowanie pitagorejskiego T).
Nazywa się równoległościanem prostokątnym, którego wszystkie krawędzie są równe sześcian.
Zadania
13.1 Ile ma przekątnych? N-pryzmat węglowy
13.2 W nachylonym trójkątnym pryzmacie odległości między krawędziami bocznymi wynoszą 37, 13 i 40. Znajdź odległość między większą krawędzią boczną a krawędzią przeciwległą.
13.3 Przez bok dolnej podstawy foremnego trójkątnego pryzmatu rysuje się płaszczyznę, przecinającą ściany boczne wzdłuż odcinków o kącie między nimi. Znajdź kąt nachylenia tej płaszczyzny do podstawy pryzmatu.
Ogólne informacje o pryzmacie prostym
Nazywa się powierzchnię boczną pryzmatu (dokładniej pole powierzchni bocznej). suma obszary ścian bocznych. Całkowita powierzchnia pryzmatu jest równa sumie powierzchni bocznej i pól podstaw.
Twierdzenie 19.1. Powierzchnia boczna prostego pryzmatu jest równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości graniastosłupa, czyli długości krawędzi bocznej.
Dowód. Boczne ściany prostego pryzmatu są prostokątami. Podstawami tych prostokątów są boki wielokąta leżącego u podstawy pryzmatu, a wysokości są równe długości krawędzi bocznych. Wynika z tego, że powierzchnia boczna pryzmatu jest równa
S = za 1 l + za 2 l + ... + za n l = pl,
gdzie a 1 i n to długości krawędzi podstawy, p to obwód podstawy pryzmatu, a I to długość krawędzi bocznych. Twierdzenie zostało udowodnione.
Zadanie praktyczne
Problem (22) . Odbywa się to w nachylonym pryzmacie Sekcja, prostopadle do żeber bocznych i przecinającą wszystkie żebra boczne. Znajdź powierzchnię boczną pryzmatu, jeśli obwód przekroju jest równy p, a krawędzie boczne są równe l.
Rozwiązanie. Płaszczyzna narysowanego przekroju dzieli pryzmat na dwie części (ryc. 411). Poddajmy jeden z nich translacji równoległej, łącząc podstawy pryzmatu. W tym przypadku otrzymujemy prosty pryzmat, którego podstawą jest przekrój pierwotnego pryzmatu, a krawędzie boczne są równe l. Pryzmat ten ma taką samą powierzchnię boczną jak pierwotny. Zatem powierzchnia boczna pierwotnego pryzmatu jest równa pl.
Podsumowanie poruszanego tematu
Spróbujmy teraz podsumować poruszany przez nas temat dotyczący pryzmatów i przypomnijmy sobie, jakie właściwości ma pryzmat.
Właściwości pryzmatu
Po pierwsze, pryzmat ma wszystkie podstawy jako równe wielokąty;
Po drugie, w pryzmacie wszystkie jego ściany boczne są równoległobokami;
Po trzecie, w tak różnorodnej figurze jak pryzmat wszystkie krawędzie boczne są równe;
Należy także pamiętać, że wielościany takie jak pryzmaty mogą być proste lub nachylone.
Który pryzmat nazywa się prostym?
Jeżeli boczna krawędź pryzmatu jest prostopadła do płaszczyzny jego podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się prostym.
Nie będzie zbędne przypominanie, że boczne ściany prostego pryzmatu są prostokątami.
Jaki rodzaj pryzmatu nazywa się ukośnym?
Jeżeli jednak boczna krawędź pryzmatu nie jest położona prostopadle do płaszczyzny jego podstawy, to śmiało możemy powiedzieć, że jest to pryzmat nachylony.
Który pryzmat nazywa się prawidłowym?
Jeśli u podstawy prostego graniastosłupa leży wielokąt foremny, to taki pryzmat jest regularny.
Przypomnijmy sobie teraz, jakie właściwości ma pryzmat foremny.
Właściwości pryzmatu foremnego
Po pierwsze, wielokąty foremne zawsze służą jako podstawy foremnego pryzmatu;
Po drugie, jeśli weźmiemy pod uwagę ściany boczne regularnego pryzmatu, są one zawsze równymi prostokątami;
Po trzecie, jeśli porównasz rozmiary bocznych żeber, to w zwykłym pryzmacie są one zawsze równe.
Po czwarte, prawidłowy pryzmat jest zawsze prosty;
Po piąte, jeśli w regularnym pryzmacie ściany boczne mają kształt kwadratów, wówczas taką figurę nazywa się zwykle wielokątem półregularnym.
Przekrój pryzmatu
Spójrzmy teraz na przekrój pryzmatu:
Praca domowa
Spróbujmy teraz utrwalić poznany temat rozwiązując zadania.
Narysujmy nachylony trójkątny pryzmat, odległość między jego krawędziami będzie wynosić: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a powierzchnia boczna tego pryzmatu będzie równa 60 cm2. Mając te parametry, znajdź boczną krawędź tego pryzmatu.
Czy wiesz, że figury geometryczne nieustannie nas otaczają, nie tylko na lekcjach geometrii, ale także w życiu codziennym istnieją obiekty przypominające tę czy inną figurę geometryczną.
W każdym domu, szkole czy pracy znajduje się komputer, którego jednostka systemowa ma kształt prostego pryzmatu.
Jeśli podniesiesz prosty ołówek, zobaczysz, że główną częścią ołówka jest pryzmat.
Idąc centralną ulicą miasta, widzimy, że pod naszymi stopami leży płytka w kształcie sześciokątnego graniastosłupa.
A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych
Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.
Definicja. Pryzmat jest wielościanem, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach i w tych samych dwóch płaszczyznach leżą dwie ściany pryzmatu, które są równymi wielokątami o odpowiednio równoległych bokach, a wszystkie krawędzie, które nie leżą w tych płaszczyznach, są równoległe.
Nazywa się dwie równe twarze podstawy pryzmatu(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są boczne twarze(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Tworzą się wszystkie ściany boczne powierzchnia boczna pryzmatu .
Wszystkie boczne ściany pryzmatu są równoległobokami .
Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB1, CC 1, DD 1, EE 1).
Przekątna pryzmatu to odcinek, którego końcami są dwa wierzchołki pryzmatu, które nie leżą na tej samej ścianie (AD 1).
Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .
Przeznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw w kolejności przechodzenia zaznaczono wierzchołki jednej podstawy, a następnie w tej samej kolejności wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej oznaczono tymi samymi literami, oznaczono jedynie wierzchołki leżące w jednej podstawie literami bez indeksu, a w drugiej - z indeksem)
Nazwa pryzmatu związana jest z liczbą kątów na figurze leżącej u jego podstawy, np. na rycinie 1 u podstawy znajduje się pięciokąt, dlatego pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Ale ponieważ taki pryzmat ma 7 ścian, to tak siedmiościan(2 ściany - podstawy pryzmatu, 5 ścian - równoległoboki, - jego ściany boczne)
Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się szczególny typ: pryzmaty regularne.
Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są foremnymi wielokątami.
Równoległościan
Równoległościan jest czworokątnym pryzmatem, u podstawy którego leży równoległobok (nachylony równoległościan). Prawy równoległościan- równoległościan, którego boczne krawędzie są prostopadłe do płaszczyzn podstawy.Prostokątny równoległościan- prostopadłościan, którego podstawą jest prostokąt.
Właściwości i twierdzenia:
Niektóre właściwości równoległościanu są podobne do znanych właściwości równoległoboku.Prostokątny równoległościan o równych wymiarach nazywa się sześcian
.Wszystkie ściany sześcianu są równe kwadraty Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej trzech wymiarów 
,
gdzie d jest przekątną kwadratu;
a to bok kwadratu.
Pomysł na pryzmat podaje:
- różne konstrukcje architektoniczne;
- Zabawki dla dzieci;
- pudełka do pakowania;
- designerskie przedmioty itp.
Powierzchnia całkowita i boczna pryzmatu
Całkowita powierzchnia pryzmatu jest sumą pól wszystkich jego ścian Powierzchnia boczna nazywa się sumą pól jego ścian bocznych. Podstawą pryzmatu są równe wielokąty, wówczas ich pola są równe. DlategoS pełny = strona S + 2S główny,
Gdzie Pełny- powierzchnia całkowita, Strona S-powierzchnia boczna, Baza S- powierzchnia podstawy
Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.
Strona S= P podstawowy * h,
Gdzie Strona S-obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu,
P główny - obwód podstawy prostego graniastosłupa,
h jest wysokością prostego pryzmatu, równą krawędzi bocznej.
Objętość pryzmatu
Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.