Многогранник - большой справочник школьника. Многогранники. Виды многогранников и их свойства

11.04.2019

«Моё имя будет оболгано, мне припишут множество злодеяний. Мировой сионизм всеми силами будет стремиться уничтожить наш Союз, чтобы Россия никогда уже не смогла подняться. Острие борьбы будет направлено на отрыв окраин от России. С особой силой поднимет голову национализм. Появится много вождей-пигмеев, предателей внутри своих наций…»

«Сталин есть центр, сердце всего того, что лучами расходится от Москвы по всему миру».

Французский писатель А. Барбюс

65 лет назад, 5 марта 1953 года, ушел из жизни великий народный вождь Иосиф Сталин. Человек, который смог возродить русскую империю в виде Советского Союза, победившего во Второй мировой войне, создавший мощные вооруженные силы, ядерный щит нашей Родины, лучшую в мире науку и образование.

В «демократической России», созданной в 1991-1993 гг., его объявили маньяком и кровавым диктатором. Почему Сталина так ненавидят различные западники, либералы и местечковые националисты? Ответ прост. Сталин был настоящим народным вождём, который всю жизнь отдал на решение глобальных и национальных задач русской цивилизации и русского народа. Он заставил служить Родине не щадя себя правительство и коммунистическую партию. А после смерти не оставил ни богатств, ни счетов в заграничных банках, ни дворцов и вилл, ни ворованных миллиардов и золота. Его сокровищем стала советская сверхдержава.

Самое главное: Сталин показал магистральный путь будущей великой России (СССР) и всего человечества – общество «золотого века», общество социальной справедливости, служения и созидания. Общество, где господствует этика совести, а человек является созидателем, творцом, служит Родине и народу. Сталин показал альтернативный путь развития всего человечества. Хозяева западного проекта и цивилизации строят несправедливый мировой порядок – глобальную невольничью, рабовладельческую, кастовую цивилизацию, где есть кучка «хозяев жизни и денег», «избранных» которым позволено всё, и которые имеют доступ к подлинному знанию, самым передовым достижениям науки, техники, медицины.

А остальная масса людей погружена в мрак нищеты, не имеет доступа к нормальному образованию и здравоохранению, постоянно одурманивается различными наркотиками: табаком, алкоголем, более тяжелыми дурманами, пищевыми суррогатами, информационно-виртуальными иллюзиями и т. д. Их срок жизни сознательно сокращается, духовность, интеллект и физическое состояние подавляются, опускаются на уровень двуногих орудий, скота.

При этом западные «элиты» постоянно разрабатывают и претворяют в жизнь планы по сокращению человеческой «биомассы». Чтобы больше ресурсов осталось «избранным», чтобы можно было создать чистенькую планету, без двуногих «вирусов», убивающих Землю.

Это и вредная пища, и подсаживание людей на лекарства, с подавлением нормального иммунитета и отсутствием нормальных программ по физическому и духовному развитию людей. Это создание общества стресса, где люди вертятся как белки в колесе добывая ресурсы для «нормальной» жизни, но в реальности гробят психическое и физическое здоровье, подсаживаются на стимуляторы и дурманы, чтобы временно забыться. Это и общество потребления, которая губит как планету, её биосферу, так и самого человека, как часть общей живой системы. Человека превращают в животное-потребителя, полностью зависимое от «хозяев жизни». Это и система, направленная на разрушение воспроизводства человечества – пропаганда абортов, противозачаточных средств, идей бездетности, гомосексуальных «браков», различных извращений (извращенцы детей не рожают), виртуальный секс, на очереди секс-роботы и т. д.

При Сталине в СССР стали строить справедливое государство и общество, общество служения и созидания, общество с господством этики совести. Отсюда мощнейший духовный народный порыв, который позволил не только создать сверхдержаву, победить в самой страшной в истории человечества войне, но и ликвидировать все последствия жесточайшей мировой бойни, создать социалистический лагерь, что позволяло противостоять западному миру, опирающемуся на свои колонии и полуколонии. Народная поддержка позволила построить самостоятельное народное хозяйство, снабжавшее всем необходимым советских людей и даже поддерживать союзников, создать лучшие в мире вооруженные силы, исключив угрозу нового открытого масштабного нападения на СССР-Россию на несколько поколений (большая часть жителей России живет в мире только благодаря этому фундаменту), создать лучшие в мире науку, образование, систему, раскрывающую творческий, созидательный потенциал детей и молодежи и многое другое.

Простой народ при жизни Иосифа Виссарионовича его боготворил. О нём пели песни, ставили ему памятники, его имя присваивали городам и крупным предприятиям. Сталин и его правительство приняли разрушенную и разорённую Россию, которая прошла через катастрофу прежнего проекта развития в 1917 году. Большевики (русские коммунисты), вопреки распространенному мнению, к этой катастрофе отношения практически не имели, они уже просто взяли власть в погибшей «старой России». Предложили народу новый проект – советскую цивилизацию, который был в интересах подавляющей части народа. Сумели создать советскую сверхдержаву – вернули большую часть утраченных в годы смуты земель, победили Японию и Германию, которым проиграла царская Россия. Советский Союз включил в свою сферу влияния половину планеты, включая Китай. За годы правления Сталина было перестроено народное хозяйство, ставшее более эффективным, чем у стран лидеров капиталистического мира, создали передовые отрасли промышленности, которые имели только самые передовые державы – самолетостроение, кораблестроение, машиностроение, станкостроение, химпром, ВПК, ракетостроение. Создали ядерное оружие и создали фундамент космической отрасли. Ликвидировали безработицу, образование и здравоохранение стали бесплатными и общедоступными. Дети из бедных крестьянских семей, которые не имели никаких шансов при капитализме, становились при социализме профессорами и маршалами, летчиками-асами и министрами.

Под руководством Сталина была выиграна Вторая мировая война, когда хозяева Запада позволили взять власть в Европе немецким нацистам во главе с Гитлером. Хозяева Запада испугались советского проекта. Россия становилась альтернативным центром нового справедливого мирового порядка. Симпатии значительной части человечества, лучших людей Земли были на стороне «солнечной» советской цивилизации. В результате, по сути, был создан «Евросоюз» во главе с Германией и вся его мощь – военно-техническая, демографическая и экономическая была брошена против советской цивилизации, которая бросила вызов господству Запада над планетой. Однако русская (советская) армия разгромила сильного и жестокого врага. Восточная и часть Центральной Европы, включая Восточную Германию, вошла в сферу влияния Москвы. Советский Союз разгромил милитаристскую Японию, взяв реванш за позор Русско-японской войны 1904-1905 гг. и восстановив своё влияние на Дальнем Востоке. С нашей помощью в Китае победили коммунисты и Поднебесная признала СССР «старшим братом».

Сталин не дрогнул перед атомной угрозой со стороны США, которые провели кровавое «испытание» ядерного оружия в Японии. Москва имела настолько мощные вооруженные силы, что США и Англия с союзниками не решились сразу же после завершения Второй мировой войны, начать «горячую» Третью мировую войну (хотя планы были). Вскоре Москва создала свою атомную бомбу и быстрыми темпами создала первоклассный ядерный арсенал. Запад начал «холодную» Третью мировую войну – информационно-идеологическую, экономическую, тайную войну спецслужб, войну на территории других стран (Корейская война и т. д.).

Поэтому наши враги на Западе и российские западники, предавшие СССР и идеалы социализма, социальной справедливости, и ненавидят Сталина. Они создали массу черных мифов, чтобы оболгать великого народного вождя. Однако правда находит дорогу даже в атмосфере тотальной лжи. Поэтому образ Сталина в настоящее время снова популярен в русском народе. В годы его правления у людей была вера в социальную справедливость, в будущее народа и страны. Был создан мощный хозяйственный, научно-технический, образовательный, культурный и военный фундамент, который позволил России дожить до настоящего дня.

Даже откровенный враг Союза и непримиримый антикоммунист, знаменитый британский премьер-министр У. Черчилль, выступая в палате общин 21 декабря 1959 года, в день 80-летия Сталина, признал его выдающуюся роль в мире: «Он был самой выдающейся личностью, импонирующей нашему изменчивому и жестокому времени того периода, в котором проходила его жизнь. Сталин был человеком необычайной энергии и несгибаемой силы воли, резким, жестоким, беспощадным в беседе, которому даже я, воспитанный здесь, в британском парламенте, не мог ничего противопоставить. Сталин прежде всего обладал большим чувством юмора и сарказма и способностью точно воспринимать мысли. Эта сила была настолько велика в Сталине, что он казался неповторимым среди руководителей всех времен и народов. Сталин произвел на нас величайшее впечатление. Он обладал глубокой, лишенной всякой паники, логически осмысленной мудростью. Он был непревзойдённым мастером находить в трудные моменты пути выход из самого безвыходного положения. Кроме того, Сталин в самые критические моменты, а также в моменты торжества был одинаково сдержан и никогда не поддавался иллюзиям».

Получил широкую известность благодаря участию в сериале "Большая любовь". Однако актера также можно увидеть в еще нескольких известных проектах, таких как сериал "Секретные материалы", "Место преступления: Майами".

Интересно, что такой миловидный актер не употребляет никаких продуктов животного происхождения. Он - абсолютный вегетарианец.

Ранние годы и путь к актерству

Маленький Дуглас родился в Канаде, в провинции Онтарио. Мальчик появился в семье учительницы и продюсера низкобюджетных фильмов. Симпатяга Дуглас обрадовал родителей своим появлением 22 июня 1985 года. У парня есть два брата и сестра: Грегори, Андре и Саманта Смит. Грегори, как и Дуглас, является актером.

Братья родились в семье продюсера, и наверняка это определило их судьбу. С 11 лет маленький, но целеустремленный актер Дуглас Смит вплотную занялся актерским мастерством. Кстати, у парня есть опыт игры на сцене, например в комедии Шекспира "Двенадцатая ночь" в роли Мальволио.

Первым фильмом, в котором принял участие Дуглас, стал "Смертельный вызов" (1996), где он исполнил крохотную роль.

Фильмы

Дуглас Смит получил свою первую роль в большом кино в киноленте "Взрыв из прошлого" (1999), где ему удалось поработать с такими известными актерами, как и Брендан Фрейзер. Далее молодой и амбициозный актер не уставал много работать и хватался за разные проекты. Так он снимался и в кино, и в телесериалах, которые принесли ему особую популярность.

Сериалы, с участием актера Дугласа Смита:

В кинопортфолио Смита входит также ряд фильмов. Где-то он играет маленькие эпизодические роли, а некоторые фильмы достаточно популярны и на слуху у многих киноманов:

Личная жизнь

Если человек талантлив, то он имеет как минимум еще один талант. Актер Дуглас Смит участвует в группе Alaskan Summer, где, кстати, также трудится и девушка актера - Эштон Лансфорд. Похоже, у ребят все серьезно, ведь не каждый выдержит партнера круглые сутки - дома и на работе.

Кстати, парень сам пишет песни и исполняет их в своей группе.

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

Конгруэнтные основания.
Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

Тетраэдр.
Гексаэдр.
Октаэдр.
Додекаэдр.
Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
Все межгранные углы равны 90.
Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

В каждой вершине пересекаются по три грани.
Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, многоэтажный дом (с горизонтальной крышей) – прямоугольные параллелепипеды; молочные пакеты-тетраэдры или тоже параллелепипеды; граненый карандаш, гайка дают представление о призмах (впрочем, параллелепипед – это тоже четырехугольная призма). Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды или усеченные пирамиды – такие формы имеют знаменитые египетские пирамиды или башни Кремля. Многие многогранные формы, например «домик» на рис. 1 и «круглый дом» на рис. 2, не имеют специальных названий. С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. Чтобы исключить из рассмотрения многогранные фигуры типа изображенных на рис. 3, которые не принято называть многогранниками, на многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:

1) каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными;

2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;

3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это условие эквивалентно каждому из двух других: 1) отрезок с концами в любых двух точках многогранника целиком лежит в многограннике, 2) многогранник можно представить как пересечение нескольких полупространств.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера (см. Топология), устанавливающая связь между числом вершин В, ребер Р и граней Г:

Для невыпуклых многогранников это соотношение, вообще говоря, неверно, например для многогранной поверхности, изображенной на рис. 2; , , поэтому . Число называется эйлеровой характеристикой многогранника и может равняться . Эйлерова характеристика показывает, грубо говоря, сколько «дырок» имеет многогранник. Число дырок (или ).

Простейшая классификация по числу вершин (углов, сторон) для многогранников неэффективна. Самые простые многогранники – четырехвершинники или четырехгранники – всегда ограничены четырьмя треугольными гранями. Но уже пятигранники могут быть совершенно разных типов, например: четырехугольная пирамида ограничена четырьмя треугольниками и одним четырехугольником (рис. 4,а), а треугольная призма ограничена двумя треугольниками и тремя четырехугольниками (рис. 4,б). Примеры пятивершинников – четырехугольная пирамида и треугольный диэдр (рис. 4,в).

Самые распространенные в окружающем нас мире многогранники, конечно, имеют специальные названия. Так, -угольная пирамида имеет -угольник в основании и боковых треугольных граней, сходящихся в общей вершине треугольников (рис. 4,а, где ); -угольная призма ограничена двумя равными, параллельными и одинаково расположенными -угольниками – основаниями – и параллелограммами – боковыми гранями, соединяющими соответственные стороны оснований (рис. 4,б, где ).

Промежуточное положение между пирамидами и призмами занимают усеченные пирамиды, получающиеся из пирамид отсечением меньших пирамид параллельными основаниям плоскостями (рис. 5). Среди природных форм кристаллов встречаются диэдры, или бипирамиды, составленные из двух пирамид с общим основанием (рис. 4,в). Архимед рассматривал также -угольные антипризмы, ограниченные двумя параллельными, но повернутыми друг относительно друга -угольниками и соединяющими их, как показано на рис. 6, -треугольниками (при большом антипризма похожа на пионерский барабан - рис. 6).

Как и многоугольники, многогранники классифицируют также по степени их симметричности. Среди пирамид выделяют правильные: в основании у них лежит правильный многоугольник, а высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания,- попадает в центр основания пирамиды.

Аналогом параллелограмма является параллелепипед; так же как параллелограмм, параллелепипед имеет центр симметрии, в котором пересекаются и делятся пополам все четыре диагонали (отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани). Правильные призмы в основаниях имеют правильные многоугольники, расположенные так, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна плоскостям оснований. Так же должны быть расположены и основания правильной -угольной антипризмы, но только одно основание должно быть повернуто на угол относительно другого. Все правильные многогранники имеют довольно много самосовмещений – поворотов и симметрий, переводящих многогранник в себя. Совокупность всех самосовмещений, считая и тождественное, образует так называемую группу симметрий многогранника. По группам симметрий в кристаллографии классифицируют монокристаллы, имеющие, как правило, многогранную форму.

Симметричность, правильность рассмотренных выше многогранников не совсем полные – у них могут существовать неравные грани, разные многогранные углы. Исключение составляют три многогранника: правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками (рис. 7,а); куб, или правильный гексаэдр, - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис. 7,б); наконец, октаэдр – правильный четырехугольный диэдр с равными ребрами, ограниченный восемью правильными треугольниками (рис. 7,в); октаэдр можно определить и как правильную треугольную антипризму с равными ребрами. В отличие от произвольных правильных пирамид, призм, диэдров и антипризм – тетраэдр, куб, октаэдр таковы, что любые их две грани (и любые два многогранных угла) можно совместить с помощью некоторого самосовмещения всего многогранника. Кроме того, их многогранные углы правильные, т.е. имеют равные плоские и равные двугранные углы.

Аналогично правильным многоугольникам на плоскости можно определить и правильные многогранники «вообще»: это выпуклые многогранники, ограниченные равными правильными многоугольниками и имеющие равные правильные многогранные углы. Оказывается, кроме трех названных выше видов правильных многогранников – правильного тетраэдра, куба и октаэдра – существуют еще только два вида правильных многогранников: додекаэдр (двенадцатигранник) и икосаэдр (двадцатигранник), ограниченные соответственно 12 правильными пятиугольниками и 20 правильными треугольниками, - рис. 8,а,б. Эти два многогранника связаны между собой так же, как куб и тетраэдр (см. Куб): центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра – рис. 9, - и наоборот.

Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Эти многогранники часто называют также Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр – воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов . Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: как уже говорилось, его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра – рис. 9.