Naudodami šį internetinį skaičiuotuvą galite rasti kampą tarp tiesių. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami apskaičiuoti kampą tarp eilučių, nustatykite matmenį (2-jei tiesė laikoma plokštumoje, 3- jei tiesė laikoma erdvėje), langeliuose įveskite lygties elementus ir spustelėkite " Išspręsti“ mygtuką. Žiūrėkite žemiau esančią teorinę dalį.
×
Įspėjimas
Išvalyti visas ląsteles?
Uždaryti Išvalyti
Duomenų įvedimo instrukcija. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir kt.), dešimtainiai skaičiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvesta forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.
1. Kampas tarp tiesių plokštumoje
Linijos pateikiamos kanoninėmis lygtimis
1.1. Kampo tarp linijų nustatymas
Tegul linijos yra dvimatėje erdvėje L 1 ir L
Taigi iš (1.4) formulės galima rasti kampą tarp eilučių L 1 ir L 2. Kaip matyti iš 1 pav., susikertančios linijos sudaro gretimus kampus φ ir φ vienas . Jei rastas kampas yra didesnis nei 90°, galite rasti mažiausią kampą tarp linijų L 1 ir L 2: φ 1 =180-φ .
Iš (1.4) formulės galima išvesti dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlygas.
1 pavyzdys. Nustatykite kampą tarp linijų
Supaprastinkime ir išspręskime:
1.2. Lygiagrečių linijų būklė
Leisti φ =0. Tada cosφ=1. Šiuo atveju išraiška (1.4) bus tokia:
| , |
| , |
2 pavyzdys. Nustatykite, ar tiesės lygiagrečios
Tenkinama lygybė (1.9), taigi tiesės (1.10) ir (1.11) yra lygiagrečios.
Atsakymas. Tiesės (1.10) ir (1.11) yra lygiagrečios.
1.3. Linijų statmenumo sąlyga
Leisti φ =90°. Tada cosφ=0. Šiuo atveju išraiška (1.4) bus tokia:
3 pavyzdys. Nustatykite, ar tiesės yra statmenos
Sąlyga (1.13) įvykdyta, taigi tiesės (1.14) ir (1.15) yra statmenos.
Atsakymas. Linijos (1.14) ir (1.15) yra statmenos.
Tiesios linijos pateikiamos pagal bendrąsias lygtis
1.4. Kampo tarp linijų nustatymas
Tegul dvi eilutės L 1 ir L 2 pateikiami bendromis lygtimis
Iš dviejų vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimo turime:
4 pavyzdys. Raskite kampą tarp linijų
Pakeičiančios vertybes A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1,23), gauname:
Šis kampas yra didesnis nei 90°. Raskite mažiausią kampą tarp linijų. Norėdami tai padaryti, atimkite šį kampą iš 180:
Kita vertus, lygiagrečių linijų sąlyga L 1 ir L 2 yra ekvivalentiškas kolinearinių vektorių sąlygai n 1 ir n 2 ir gali būti pavaizduotas taip:
Tenkinama lygybė (1.24), vadinasi, tiesės (1.26) ir (1.27) yra lygiagrečios.
Atsakymas. Tiesės (1.26) ir (1.27) yra lygiagrečios.
1.6. Linijų statmenumo sąlyga
Linijų statmenumo sąlyga L 1 ir L 2 galima išgauti iš (1.20) formulės pakeičiant cos(φ )=0. Tada skaliarinė sandauga ( n 1 ,n 2) = 0. Kur
Lygybė (1.28) yra įvykdyta, taigi tiesės (1.29) ir (1.30) yra statmenos.
Atsakymas. Linijos (1.29) ir (1.30) yra statmenos.
2. Kampas tarp eilučių erdvėje
2.1. Kampo tarp linijų nustatymas
Leiskite linijas į erdvę L 1 ir L 2 pateikiami kanoninėmis lygtimis
kur | q 1 | ir | q 2 | krypties vektorių moduliai q 1 ir q 2 atitinkamai, φ -kampas tarp vektorių q 1 ir q 2 .
Iš (2.3) išraiškos gauname:
 .
|
Supaprastinkime ir išspręskime:
 .
|
Suraskime kampą φ
KAMPAS TARP PLOKTUMU
Panagrinėkime dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai gautas pagal lygtis:
Pagal kampas tarp dviejų plokštumų turime omenyje vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba 
. Štai kodėl 
. Nes 
ir 
, tada
.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.
Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.
Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai ir yra lygiagrečios, taigi 
.
Taigi, dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai koeficientai atitinkamose koordinatėse yra proporcingi:
arba
Plokštumų statmenumo sąlyga.
Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .
Šiuo būdu, .
Pavyzdžiai.
TIESIOGIAI ERDVĖJE.
VEKTORINĖ LYGTIS TIESIOGIAI.
PARAMETRINĖS LYGTYBĖS TIESIOGINĖS
Tiesios linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.
Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vadovaujantisšios linijos vektorius.
Taigi leiskite tiesiai l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) gulėti ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .
Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo matyti, kad 
.
Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. veiksnys t vadinamas parametru. Žymintys taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvieno parametro reikšmė t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M guli ant tiesios linijos.
Šią lygtį užrašome koordinačių forma. Pastebėti, kad , 
ir iš čia
Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesiosios lygtys.
Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y ir z ir taškas M juda tiesia linija.
KANONINĖS LYGTYS TIESIOGIAI
Leisti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - taškas, esantis tiesioje linijoje l, ir 
yra jo krypties vektorius. Vėlgi, paimkite savavališką tašką tiesioje linijoje M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .
Akivaizdu, kad vektoriai ir yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos
– kanoninis tiesiosios lygtys.
1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių lygčių pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname 
arba .
Pavyzdys. Parašykite tiesės lygtį 
parametriniu būdu.
Pažymėti 
, vadinasi x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
2 pastaba. Tegul linija yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, Vadinasi, m=0. Vadinasi, tiesios linijos parametrinės lygtys įgauna formą
Parametro pašalinimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis
Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje 
. Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad linija yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.
Panašiai ir kanoninės lygtys 
atitinka ašims statmeną tiesę Jautis ir Oy arba lygiagreti ašis Ozas.
Pavyzdžiai.
BENDROSIOS LYGTYBĖS TIESIOGINĖ LINIJA KAIP Dviejų PLOKTUČIŲ SUVEŽIMO LINIJA
Per kiekvieną tiesę erdvėje eina begalinis skaičius plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Todėl bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, yra šios linijos lygtys.
Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis
nustatyti jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.
Pavyzdžiai.
Sukurkite tiesę, nurodytą lygtimis 
Norint sukurti tiesę, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių plokštumomis. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:
Išspręsdami šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).
Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:
Iš bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 ant linijos ir linijos krypties vektorius.
Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams 
ir 
. Todėl tiesės krypties vektoriui l galite paimti normaliųjų vektorių kryžminę sandaugą:
.
Pavyzdys. Pateikite bendrąsias tiesės lygtis 
į kanoninę formą.
Raskite tašką tiesioje linijoje. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:
Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates 
Todėl krypties vektorius bus tiesus
. Vadinasi, l: 
.
KAMPAS TARP TEISIŲ
kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.
Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:
Akivaizdu, kad kampas φ tarp linijų gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Kadangi , Tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname
Tegul eilutės pateikiamos erdvėje l ir m. Per tam tikrą erdvės tašką A brėžiame tiesias linijas l 1 || l ir m 1 || m(138 pav.).
Atkreipkite dėmesį, kad taškas A gali būti pasirinktas savavališkai, ypač jis gali būti vienoje iš nurodytų tiesių. Jei tiesiai l ir m susikerta, tada A gali būti laikomas šių tiesių susikirtimo tašku ( l 1 =l ir m 1 = m).
Kampas tarp nelygiagrečių linijų l ir m yra mažiausio iš gretimų kampų, suformuotų susikertant tiesioms linijoms, reikšmė l 1 ir m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Manoma, kad kampas tarp lygiagrečių linijų lygus nuliui.
Kampas tarp eilučių l ir mžymimas \(\widehat((l;m)) \). Iš apibrėžimo matyti, kad jei jis matuojamas laipsniais, tada 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, o jei radianais, tai 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Užduotis. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (139 pav.).
Raskite kampą tarp tiesių AB ir DC 1 .
Tiesi AB ir DC 1 sankryža. Kadangi tiesė DC yra lygiagreti tiesei AB, kampas tarp tiesių AB ir DC 1 pagal apibrėžimą yra lygus \(\widehat(C_(1)DC)\).
Taigi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Tiesioginis l ir m paskambino statmenai, jei \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Pavyzdžiui, kube
Kampo tarp linijų apskaičiavimas.
Kampo tarp dviejų tiesių erdvėje apskaičiavimo problema išspręsta taip pat, kaip ir plokštumoje. φ pažymėkite kampą tarp linijų l 1 ir l 2 , o per ψ - kampas tarp krypties vektorių a ir b šios tiesios linijos.
Tada jei
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6 pav.), tada φ = 180° - ψ. Akivaizdu, kad abiem atvejais lygybė cos φ = |cos ψ| yra teisinga. Pagal formulę (kampo tarp nulinių vektorių a ir b kosinusas yra lygus šių vektorių skaliarinei sandaugai, padalintai iš jų ilgių sandaugos)
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
Vadinasi,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Tegul tiesės pateikiamos jų kanoninėmis lygtimis
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; ir \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Tada kampas φ tarp linijų nustatomas pagal formulę
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Jei viena iš tiesių (arba abi) yra pateiktos nekanoninėmis lygtimis, tada norint apskaičiuoti kampą, reikia rasti šių linijų krypties vektorių koordinates ir naudoti formulę (1).
1 užduotis. Apskaičiuokite kampą tarp linijų
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ir\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Tiesių linijų krypties vektoriai turi koordinates:
a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Pagal (1) formulę randame
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Todėl kampas tarp šių linijų yra 60°.
2 užduotis. Apskaičiuokite kampą tarp linijų
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) ir \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\pabaiga(atvejai) $$
Už kreipiamojo vektoriaus a pirmąją tiesę imame normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą n 1 = (3; 0; -12) ir n 2 = (1; 1; -3) plokštumos, apibrėžiančios šią tiesę. Pagal formulę \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) gauname
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Panašiai randame antrosios tiesės krypties vektorių:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Bet formulė (1) apskaičiuoja norimo kampo kosinusą:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Todėl kampas tarp šių linijų yra 90°.
3 užduotis. Trikampėje piramidėje MAVS kraštinės MA, MB ir MC yra viena kitai statmenos, (207 pav.);
jų ilgiai atitinkamai lygūs 4, 3, 6. Taškas D yra vidurys [MA]. Raskite kampą φ tarp tiesių CA ir DB.
Tegul SA ir DB yra tiesių SA ir DB krypties vektoriai.
Laikykime tašką M kaip koordinačių pradžią. Pagal užduoties sąlygą turime A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Todėl \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mes naudojame formulę (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Pagal kosinusų lentelę matome, kad kampas tarp tiesių CA ir DB yra maždaug 72 °.
Oi-oi-oi... na, skarda, lyg sakinį sau perskaitei =) Tačiau tada padės atsipalaidavimas, juolab kad šiandien nusipirkau tinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.
Abipusis dviejų tiesių linijų išdėstymas
Atvejis, kai salė dainuoja kartu choru. Dvi eilutės gali:
1) rungtynės;
2) būti lygiagrečiai: ;
3) arba susikerta viename taške: .
Pagalba manekenams : atsiminkite matematinį sankryžos ženklą , jis pasitaikys labai dažnai. Įrašas reiškia, kad tiesė kertasi su taško linija.
Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?
Pradėkime nuo pirmojo atvejo:
Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra toks skaičius "lambda", kad lygybės
Panagrinėkime tieses ir iš atitinkamų koeficientų sudarykime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.
Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai 
padauginkite iš -1 (pakeiskite ženklus) ir visus lygties koeficientus 
Sumažinkite 2, gausite tą pačią lygtį: .
Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:
Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų koeficientai kintamiesiems yra proporcingi: 
, bet.
Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą: 
Tačiau aišku, kad.
Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:
Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų įvykdytos lygybės 
Taigi tiesioms linijoms sudarysime sistemą: 
Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , o iš antrosios lygties: , taigi, sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi koeficientai ties kintamaisiais nėra proporcingi.
Išvada: linijos susikerta
Praktiniuose uždaviniuose galima naudoti ką tik svarstytą sprendimo schemą. Beje, jis labai panašus į vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį nagrinėjome pamokoje. Vektorių tiesinės (ne) priklausomybės samprata. Vektorinis pagrindas. Tačiau yra labiau civilizuotas paketas:
1 pavyzdys
Sužinokite santykinę linijų padėtį: 
Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:
a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: 
.
, todėl vektoriai nėra kolinearūs, o linijos susikerta.
Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su rodyklėmis sankryžoje:
Likusieji šokinėja per akmenį ir eina tiesiai į Kaščejų Nemirtingą =)
b) Raskite tiesių krypties vektorius: 
Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba vienodos. Čia determinantas nėra būtinas.
Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi, o .
Išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga: 
Šiuo būdu,
c) Raskite tiesių krypties vektorius: 
Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių: 
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.
Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiogiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: 
.
Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:
Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (paprastai ją tenkina bet koks skaičius).
Taigi, linijos sutampa.
Atsakymas:
Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti svarstomą problemą žodžiu pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau jokios priežasties pasiūlyti ką nors savarankiškam sprendimui, geriau į geometrinį pamatą pakloti dar vieną svarbią plytą:
Kaip nubrėžti liniją, lygiagrečią nurodytai?
Už šios paprasčiausios užduoties nežinojimą Lakštingala Plėšikas griežtai nubaudžia.
2 pavyzdys
Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.
Sprendimas: Pažymėkite nežinomą eilutę raide . Ką apie tai sako sąlyga? Linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės „ce“ nukreipiamasis vektorius tinka ir tiesei „te“ statyti.
Iš lygties išimame krypties vektorių:
Atsakymas:
Pavyzdžio geometrija atrodo paprasta: 
Analitinis patikrinimas susideda iš šių žingsnių:
1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).
2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.
Daugeliu atvejų analitinį patikrinimą lengva atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai supras, kaip linijos yra lygiagrečios be jokio piešinio.
Šiandienos savarankiško sprendimo pavyzdžiai bus kūrybingi. Nes vis tiek tenka konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra visokių mįslių mėgėja.
3 pavyzdys
Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį
Yra racionalus ir nelabai racionalus sprendimo būdas. Trumpiausias kelias yra pamokos pabaigoje.
Šiek tiek padirbėjome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime problemą, kuri jums gerai žinoma iš mokyklos programos:
Kaip rasti dviejų linijų susikirtimo tašką?
Jei tiesiai 
susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos 
Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.
Čia tau dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos geometrinė reikšmė yra dvi susikertančios (dažniausiai) tiesės plokštumoje.
4 pavyzdys
Raskite tiesių susikirtimo tašką
Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.
Grafinis būdas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio: 
Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną tiesės lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Tiesą sakant, mes svarstėme grafinį sprendimo būdą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.
Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad septintokai taip nusprendžia, esmė ta, kad taisyklingam ir TIKSLIAM piešiniui padaryti prireiks laiko. Be to, kai kurias linijas ne taip lengva sukonstruoti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už sąsiuvinio lapo.
Todėl sankirtos taško tikslingiau ieškoti analitiniu metodu. Išspręskime sistemą: 
Sistemai išspręsti buvo naudojamas terminų lygčių sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, apsilankykite pamokoje Kaip išspręsti lygčių sistemą?
Atsakymas:
Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.
5 pavyzdys
Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotį patogiai galima suskirstyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Parašykite tiesės lygtį.
2) Parašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.
Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.
Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:
Batų pora dar nenudėvėta, nes patekome į antrą pamokos dalį:
Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp eilučių
Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti lygiagrečią tiesią liniją, o dabar namelis ant vištos kojų pasisuks 90 laipsnių:
Kaip nubrėžti liniją, statmeną duotai linijai?
6 pavyzdys
Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite statmenos tiesės, einančios per tašką, lygtį.
Sprendimas: Darant prielaidą, kad . Būtų malonu rasti tiesės krypties vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:
Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.
Sudarome tiesės lygtį iš taško ir krypties vektoriaus:
Atsakymas: 
Išskleiskite geometrinį eskizą:
Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.
Analitinis tirpalo patikrinimas:
1) Iš lygčių išskirkite krypties vektorius 
ir su pagalba vektorių taškinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .
Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.
2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį 
.
Vėlgi, patvirtinimą lengva atlikti žodžiu.
7 pavyzdys
Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma 
ir taškas.
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotyje yra keli veiksmai, todėl patogu sprendinį išdėstyti taškas po taško.
Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Prieš mus yra tiesi upės juosta ir mūsų užduotis yra ją pasiekti trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėjimas statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.
Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „ro“, pavyzdžiui: - atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.
Atstumas nuo taško iki linijos 
išreiškiamas formule
8 pavyzdys
Raskite atstumą nuo taško iki linijos 
Sprendimas: viskas, ko jums reikia, yra atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:
Atsakymas: 
Atlikime piešinį: 
Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra lygiai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. \u003d 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.
Apsvarstykite kitą užduotį pagal tą patį brėžinį:
Užduotis yra rasti taško koordinates, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu 
. Siūlau veiksmus atlikti savarankiškai, tačiau pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:
1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.
2) Raskite linijų susikirtimo tašką: 
.
Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.
3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio koordinačių formulės rasti.
Nebus nereikalinga patikrinti, ar atstumas taip pat lygus 2,2 vieneto.
Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte labai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti paprastas trupmenas. Daug kartų patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.
Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?
9 pavyzdys
Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių
Tai dar vienas nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Maža užuomina: sprendimo būdų yra be galo daug. Aprašymas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandykite atspėti patys, manau, kad jums pavyko gerai išsklaidyti savo išradingumą.
Kampas tarp dviejų linijų
Kad ir koks kampas, tada stakta: 
Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nėra laikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jos „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties tamsiai raudonas kampas.
Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.
Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kampo „slinkimo“ kryptis. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .
Kodėl aš tai pasakiau? Atrodo, kad galite apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulėse, pagal kurias rasime kampus, galima lengvai gauti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Neigiamojo kampo brėžinyje būtina rodykle nurodyti jo orientaciją (pagal laikrodžio rodyklę).
Kaip rasti kampą tarp dviejų linijų? Yra dvi darbo formulės:
10 pavyzdys
Raskite kampą tarp eilučių
Sprendimas ir Pirmasis metodas
Apsvarstykite dvi tiesias linijas, pateiktas lygtimis bendra forma: 
Jei tiesiai ne statmenai, tada orientuotas kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę: 
Atidžiai atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas Tiesių linijų krypties vektoriai:
Jei , tada formulės vardiklis išnyksta, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos - statmenos. Štai kodėl buvo padaryta išlyga dėl formuluotės linijų nestatumo.
Remiantis tuo, kas išdėstyta, sprendimas yra patogiai įforminamas dviem etapais:
1) Apskaičiuokite tiesių nukreipimo vektorių skaliarinę sandaugą:
todėl linijos nėra statmenos.
2) Kampą tarp linijų randame pagal formulę:
Naudojant atvirkštinę funkciją, lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame lanko liestinės nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):
Atsakymas: 
Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.
Na, minusas, taigi minusas, viskas gerai. Čia yra geometrinė iliustracija: 
Nenuostabu, kad kampas pasirodė neigiamos orientacijos, nes problemos sąlygoje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „sukimas“ prasidėjo būtent nuo jos.
Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti tiesias linijas, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties 
, ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties . Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio 
.
Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 , smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2 . Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2 .
Teorema. Tiesės Ax + Vy + C \u003d 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB yra proporcingi. Jei taip pat С 1 = λС, tai linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis
Statmenai šiai linijai
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y \u003d kx + b, pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Teorema. Jei nurodytas taškas M(x 0, y 0), atstumas iki linijos Ax + Vy + C \u003d 0 apibrėžiamas kaip
.
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, numesto iš taško M į duotąją tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:
(1)
Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.
Sprendimas. Randame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, todėl linijos yra statmenos.
Pavyzdys. Pateikiamos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.
Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3m + 3 = 0;
Norima aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: 
iš kur b = 17. Iš viso: . 
Atsakymas: 3x + 2m - 34 = 0.
Linijos, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų linijų. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas
1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.
2. Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) parašyta taip:
Tiesės, einančios per du duotus taškus, nuolydis nustatomas pagal formulę
3. Kampas tarp tiesių linijų A ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos nuolydžio lygtimis
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
tada kampas tarp jų nustatomas pagal formulę
Reikia pažymėti, kad trupmenos skaitiklyje pirmosios tiesės nuolydis atimamas iš antrosios tiesės nuolydžio.
Jei tiesės lygtys pateiktos bendra forma
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
kampas tarp jų nustatomas pagal formulę
4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:
a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, tai būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų nuolydžių lygybė:
k 1 = k 2 . (8)
b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos bendrosios formos (6) lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamose srovės koordinatėse jų lygtyse būtų proporcingi, t.y.
5. Dviejų linijų statmenumo sąlygos:
a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jų nuolydžiai būtų abipusio dydžio ir priešingi pagal ženklą, t.y.
Šią sąlygą taip pat galima įrašyti formoje
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendra forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra įvykdyti lygybę
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos sprendžiant (6) lygčių sistemą. Linijos (6) susikerta tada ir tik tada
1. Parašykite per tašką M einančių tiesių, kurių viena lygiagreti, o kita statmena duotai tiesei l, lygtis.