1.
Материальная точка прошла
половину окружности. Найти отношение
средней путевой скорости
Решение . Из определения средних значений путевой и векторной скоростей с учетом того, что путь, пройденный материальной точкой за время движенияt , равенR , а величина перемещения 2R , гдеR - радиус окружности, получим:
2.
Автомобиль проехал первую треть
пути со скоростью v 1 = 30 км/ч,
а оставшуюся часть пути - со скоростью
v 2 = 40 км/ч. Найти среднюю
скорость
Решение
. По определению 
гдеS
- путь, пройденный за времяt
.
Очевидно, что
Поэтому искомая средняя скорость равна
3.
Студент проехал половину пути
на велосипеде со скоростьюv 1 = 12 км/ч.
Далее половину оставшегося времени он
ехал со скоростьюv 2 = 10 км/ч,
а оставшуюся часть пути шел пешком со
скоростьюv 3 = 6 км/ч.
Определить среднюю скорость движения
студента
Решение
. По определению
гдеS –
путь, аt
- время движения.
Ясно, чтоt
=t
1 +t
2 +t
3 .
Здесь
-
время движения на первой половине пути,t
2 – время движения на втором
участке пути иt
3 - на третьем.
По условию задачиt
2 =t
3 .
Кроме того,S
/2 =v 2 t
2 + v 3 t
3 = (v 2 +v 3)t
2 .
Отсюда следует:
Подставив t 1 и t 2 +t 3 = 2t 2 в выражение для средней скорости, получим:
4.
Расстояние между двумя станциями
поезд прошел за времяt
1 = 30 мин.
Разгон и торможение длилисьt
2 = 8 мин,
а остальное время
поезд двигался
равномерно со скоростью v = 90 км/ч.
Определить среднюю скорость поезда
Р
Задачи и упражнения
1.1.
Мяч упал с высотыh
1 = 4 м,
отскочил от пола и был пойман на
высотеh
2 = 1 м. Чему равен путьS
и величина перемещения
?
1.2. Материальная точка переместилась на плоскости из точки с координатамиx 1 = 1 см иy 1 = 4cм в точку с координатамиx 2 = 5 см иy 2 = 1 см. Построить вектор перемещения и с помощью линейки определить модуль вектора перемещения и проекции вектора перемещения на осиx иy . Найти эти же величины аналитически и сравнить результаты.
1.3.
Первую половину пути поезд
шел со скоростью вn
= 1,5 раза
большей, чем вторую половину пути.
Средняя скорость поезда на всем
пути
1.4. Первую половину времени своего движения велосипедист проехал со скоростью v 1 = 18 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью v 2 = 12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.
1.5.
Движение двух автомобилей
описывается уравнениями
и
,
где все величины измеряются в системе
СИ. Запишите закон изменения расстояния
между автомобилями от времени и найдите
через время
с.
после начала движения.
В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.
Определение средней скорости
Средней скоростью движения тела называется отношение пути , пройденного телом, ко времени , в течение которого двигалось тело:
Научимся ее находить на примере следующей задачи:
Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей и , которое равно:
м/с.
Частные случаи нахождения средней скорости
1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью , а вторую половину пути — со скоростью . Требуется найти среднюю скорость движения тела.
2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.
Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей и на двух участках пути.
Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике, прошедшей в прошлом году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.
| Тело двигалось с, и средняя скорость движения составила 4 м/с. Известно, что за последние с движения средняя скорость этого же тела составила 10 м/с. Определите среднюю скорость тела за первые с движения. |
Пройденный телом путь составляет: 
м. Можно найти также путь, который прошло тело за последние с своего движения: м. Тогда за первые с своего движения тело преодолело путь в м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
м/с.
Задачи на нахождение средней скорости движения очень любят предлагать на ЕГЭ и ОГЭ по физике, вступительных экзаменах, а также олимпиадах. Научиться решать эти задачи должен каждый школьник, если он планирует продолжить свое обучение в вузе. Помочь справиться с этой задачей может знающий товарищ, школьный учитель или репетитор по математике и физике. Удачи вам в изучении физики!
Сергей Валерьевич
В школе каждому из нас попадалась задача, похожая на следующую. Если автомобиль часть пути двигался с одной скоростью, а следующий отрезок дороги с другой, как найти среднюю скорость?
Что это за величина и зачем она нужна? Давайте попробуем в этом разобраться.
Скорость в физике — это величина, описывающая количество пути, пройденного за единицу времени. То есть когда говорят, что скорость пешехода составляет 5 км/ч, это означает, что он проходит расстояние в 5 км за 1 час.
Формула для нахождения скорости выглядит так:
V=S/t, где S — пройденный путь, t — время.
Единой размерности в этой формуле нет, поскольку с ее помощью описываются и крайне медленные, и очень быстрые процессы.
Например, искусственный спутник Земли преодолевает порядка 8 км за 1 секунду, а тектонические плиты, на которых расположены материки, по измерениям ученых, расходятся всего на несколько миллиметров за год. Поэтому и размерности у скорости могут быть разными — км/ч, м/с, мм/с и т.д.
Принцип заключается в том, что расстояние делится на время, необходимое для преодоления пути. Не стоит забывать о размерности, если проводятся сложные расчеты.
Чтобы не запутаться и не ошибиться в ответе, все величины приводятся в одни и те же единицы измерения. Если длина пути указана в километрах, а какая-то его часть в сантиметрах, то, пока мы не получим единства в размерности, правильного ответа нам не узнать.
Постоянная скорость
Описание формулы.
Самый простой случай в физике — равномерное движение. Скорость постоянна, не меняется на протяжении всего пути. Есть даже скоростные константы, сведенные в таблицы, — неизменные величины. К примеру, звук распространяется в воздухе со скоростью 340,3 м/с.
А свет — абсолютный чемпион в этом плане, он обладает самой большой в нашей Вселенной скоростью — 300 000 км/с. Эти величины не меняются от начальной точки движения до конечной. Они зависят только от среды, в которой движутся (воздух, вакуум, вода и пр.).
Равномерное движение часто встречается нам и в повседневной жизни. Так работает конвейер на заводе или фабрике, фуникулер на горных трассах, лифт (за исключением очень коротких периодов пуска и остановки).
График такого движения очень прост и представляет собой прямую линию. 1 секунда — 1 м, 2 секунды — 2 м, 100 секунд — 100 м. Все точки находятся на одной прямой.
Неравномерная скорость
К сожалению, так идеально и в жизни, и в физике бывает крайне редко. Множество процессов проходят с неравномерной скоростью, то ускоряясь, то замедляясь.
Давайте представим движение обычного междугороднего автобуса. В начале пути он разгоняется, у светофоров тормозит, а то и вовсе останавливается. Затем уже за городом едет быстрее, но на подъемах медленнее, а на спусках вновь ускоряется.
Если изобразить этот процесс в виде графика, то получится весьма замысловатая линия. Определить скорость по графику можно только для какой-то конкретной точки, а общего принципа нет.
Потребуется целый набор формул, каждая из которых подойдет только для своего участка чертежа. Но страшного ничего нет. Для описания перемещения автобуса пользуются усредненным значением.
Найти среднюю скорость движения можно все по той же формуле. Действительно, нам известно расстояние между автовокзалами, измерено время в пути. Поделив одно на другое, найдите искомую величину.
Для чего это нужно?
Такие расчеты полезны всем. Мы все время планируем свой день и перемещения. Имея дачу за городом, есть смысл узнать среднюю путевую скорость при поездках туда.
Это упростит планирование проведения выходных. Научившись находить эту величину, мы сможем быть более пунктуальными, перестанем опаздывать.
Вернемся к примеру, предложенному в самом начале, когда часть пути автомобиль проехал с одной скоростью, а другую — с иной. Такой вид задач очень часто используется в школьной программе. Поэтому, когда ваш ребенок попросит вас помочь ему с решением подобного вопроса, вам будет просто это сделать.
Сложив длины участков пути, вы получите общее расстояние. Поделив же их значения на указанные в исходных данных скорости, можно определить время, потраченное на каждый из участков. Сложив их, получим время, потраченное на весь путь.
Средней скоростью называется скорость, которая получается, если весь путь поделить на время, за которое объект преодолел этот путь. Формула средней скорости:
- V ср = S/t.
- S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
- V ср = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)
Чтобы не путаться с часами и минутами, переводим все минуты в часы: 15 мин. = 0,4 час, 36 мин. = 0,6 час. Подставляем числовые значения в последнюю формулу:
- V ср = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 км/час
Ответ: средняя скорость V ср = 13,3 км/час.
Как найти среднюю скорость движения с ускорением
Если скорость в начале движения отличается от скорости в его конце, такое движение называют ускоренным. Причём далеко не всегда тело действительно двигается всё быстрее и быстрее. Если движение замедляется, всё равно говорят, что оно движется с ускорением, только ускорение будет уже отрицательным.
Иными словами, если автомобиль, трогаясь с места, через секунду разогнался до скорости 10 м/сек, то его ускорение а равно 10 м в секунду за секунду а = 10 м/сек². Если в следующую секунду автомобиль остановился, то его ускорение тоже равно 10 м/сек², только уже со знаком минус: а = -10 м/сек².
Скорость движения с ускорением в конце временного отрезка вычисляется по формуле:
- V = V0 ± at,
где V0 - начальная скорость движения, a - ускорение, t - время, за которое наблюдалось данное ускорение. Плюс или минус в формуле ставится в зависимости от того, увеличивалась скорость или уменьшалась.
Средняя скорость за отрезок времени t вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скорости:
- V ср = (V0 + V) / 2.
Находим среднюю скорость: задача
Шарик толкнули по ровной плоскости с начальной скоростью V0 = 5 м/сек. Через 5 сек. шарик остановился. Чему равны ускорение и средняя скорость?
Конечная скорость шарика V = 0 м/сек. Ускорение из первой формулы равно
- а = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 м/сек².
Средняя скорость V ср = (V0 + V) / 2= 5 /2 = 2,5 м/сек.
Есть средние величины, неправильное определение которых вошло в анекдот или в притчу. Любые неверно произведённые расчёты комментируются расхожей общепонятной ссылкой на такой заведомо абсурдный результат. У каждого, к примеру, вызовет улыбку саркастического понимания фраза "средняя температура по больнице". Однако те же знатоки нередко, не задумываясь, складывают скорости на отдельных отрезках пути и делят подсчитанную сумму на число этих участков, чтобы получить столь же бессмысленный ответ. Напомним из курса механики средней школы, как найти среднюю скорость правильным, а не абсурдным способом.
Аналог "средней температуры" в механике
В каких случаях каверзно сформулированные условия задачи подталкивают нас к поспешному необдуманному ответу? Если говорится о "частях" пути, но не указывается их протяжённость, это настораживает даже мало искушённого в решении подобных примеров человека. А вот если в задаче прямо указывается на равные промежутки, например, "первую половину пути поезд следовал со скоростью...", или "первую треть пути пешеход прошагал соскоростью...", и далее подробно расписывается, как объёкт передвигался на оставшихся равных участках, то есть известно соотношение S 1 = S 2 = ... = S n и точные значения скоростей v 1, v 2, ... v n , наше мышление нередко даёт непростительную осечку. Считается среднее арифметическое скоростей, то есть все известные значения v складываются и делятся на n . В итоге ответ получается неверный.
Простые "формулы" расчёта величин при равномерном движении
И для всего пройденного пути, и для отдельных его участков в случае усреднения скорости справедливы соотношения, написанные для равномерного движения :
- S = vt (1), "формула" пути;
- t=S/v (2), "формула" расчёта времени движения;
- v=S/t (3), "формула" определения средней скорости на участке пути S , пройденном за время t .
То есть для нахождения искомой величины v с использованием соотношения (3) нам нужно точно знать две другие. Именно решая вопрос, как найти среднюю скорость движения, мы прежде всего должны определить, каков весь пройденный путь S и каково всё время движения t .
Математическое обнаружение скрытой ошибки
В решаемом нами примере пройденный телом (поездом или пешеходом) путь будет равен произведению nS n (так как мы n раз складываем равные участки пути, в приведённых примерах - половинки, n = 2 , или трети, n = 3 ). О полном же времени движения нам ничего не известно. Как определить среднюю скорость, если знаменатель дроби (3) явно не задан? Воспользуемся соотношением (2), для каждого участка пути определим t n = S n: v n . Сумму рассчитанных таким образом промежутков времени запишем под чертой дроби (3). Ясно, что, для того чтобы избавиться от знаков "+", нужно приводить все S n: v n к общему знаменателю. В результате получается "двухэтажная дробь". Далее пользуемся правилом: знаменатель знаменателя идёт в числитель. В итоге, для задачи с поездом после сокращения на S n имеем v ср = nv 1 v 2: v 1 + v 2 , n = 2 (4) . Для случая с пешеходом вопрос -, как найти среднюю скорость, решается ещё сложнее: v ср = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1 , n = 3 (5).
Явное подтверждение ошибки "в числах"
Для того чтобы "на пальцах" подтвердить, что определение среднего арифметического - ошибочный путь при расчёте v ср , конкретизируем пример, заменив абстрактные буквы числами. Для поезда возьмём скорости 40 км/ч и 60 км/ч (ошибочный ответ - 50 км/ч ). Для пешехода - 5 , 6 и 4 км/ч (среднее арифметическое - 5 км/ч ). Нетрудно убедиться, подставив значения в соотношения (4) и (5), что верными ответами будут для локомотива 48 км/ч и для человека - 4,(864) км/ч (периодическая десятичная дробь, результат математически не слишком красивый).
Когда среднее арифметическое "не подводит"
Если задача формулируется так: "За равные промежутки времени тело двигалось сначала со скоростью v 1 , затем v 2 , v 3 и так далее", быстрый ответ на вопрос, как найти среднюю скорость, может быть найден неправильным способом. Предоставим читателю самостоятельно в этом убедиться, просуммировав в знаменателе равные промежутки времени и воспользовавшись в числителе v ср соотношением (1). Это, пожалуй, единственный случай, когда ошибочный метод приводит к получению корректного результата. Но для гарантированно точных расчётов нужно пользоваться единственно правильным алгоритмом, неизменно обращаясь к дроби v ср = S: t .
Алгоритм на все случаи жизни
Для того чтобы наверняка избежать ошибки, при решении вопроса, как найти среднюю скорость, достаточно запомнить и выполнить простую последовательность действий:
- определить весь путь, просуммировав длины отдельных его участков;
- установить всё время пути;
- поделить первый результат на второй, неизвестные, не заданные в задаче величины при этом (при условии корректной формулировки условий) сокращаются.
В статье рассмотрены простейшие случаи, когда исходные данные приводятся для равных долей времени или равных участков пути. В общем случае соотношение хронологических промежутков либо пройденных телом расстояний может быть самым произвольным (но при этом математически определённым, выраженным конкретным целым числом или дробью). Правило обращения к соотношению v ср = S: t абсолютно универсально и никогда не подводит, сколь бы сложные на первый взгляд алгебраические преобразования ни приходилось выполнять.
Напоследок отметим: для наблюдательных читателей не осталась незамеченной практическая значимость использования верного алгоритма. Правильно рассчитанная средняя скорость в приведённых примерах оказалась несколько ниже "средней температуры" на трассе. Поэтому ложный алгоритм для систем, фиксирующих превышения скорости, означал бы большее число ошибочных постановлений ГИБДД, высылаемых в "письмах счастья" водителям.