Урок математики в 5 классе. (Виленкин)
Тема: Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Цель: 1. Закрепить знания по данной теме при решении задач. Подготовить к контрольной работе. Дать соотношение единиц измерения объема.
2. Повторить свойства умножения, упрощение выражений, части параллелепипеда.
3. Воспитывать экологический аспект, внимание.
Оборудование: на доске: тема, задание для устного счета; раздаточный материал: модели параллелепипеда, куба, спичечный коробок; у детей: шпаргалки, линейки, сигнальные двухцветные круги,
Ход урока.
Организационный момент.
Добрый день, веселый час, математика у нас. На парте: линейки, шпаргалки, тетради, учебники.
Устный счет (разминка) № 806 – по рядам «цепочкой»,
— примени распределительное свойство умножения:
(х + 8) 20 на доске
247 123 – 147 123
— упрости:
20а – 19а 4х + х – 2х
13в — в 27 + 13в – 10в
Сообщение темы и цели.
— С какими геометрическими фигурами познакомились? Сегодня повторим, как найти объем прямоугольного параллелепипеда и единицы измерения объема. Готовимся к контрольной работе.
IV . Повторение изученного. Модели куба,
— Показать верхнюю, заднюю, нижнюю и переднюю грани. параллелепипеда
— Показать две грани, имеющие общее ребро,
— Показать вертикальные ребра.
(показывают одновременно 2, 3 ученика)
Игра «Да — нет»
— Любой куб является прямоугольным параллелепипедом (+) сигнальные
— У прямоугольного параллелепипеда 10 вершин (-, 8) круги
— 6 граней (+) — 12 ребер (+)
— Каждая грань куба – квадрат (+)
— Если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом (+)
— Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (+)
Найди формулу.
— вычисли объем спичечного коробка, куба, параллелепипеда. наглядность
— дополнительный материал «Сколько воздуха необходимо человеку для дыхания»
При каждом вдохе человек вводит в свои легкие за 1 минуту 9 литров воздуха. Это составляет в час 9 * 60, т. е. 540 литров. Округлим до 500 литров или половины кубического метра и узнаем, что за сутки человек вдыхает 12 м³ воздуха. Такой объем равен 14 кг.
За одни сутки человек проводит через свое тело больше воздуха, чем пищи: никто не съедает и 3 кг в сутки, вдыхаем же мы 14 кг. Если учесть, что вдыхаемый воздух состоит на 4/5 из бесполезного для дыхания азота, то кажется, что наше тело потребляет всего 3 кг, т. е. примерно столько же, сколько пищи (твердой и жидкой).
Нужно ли другое доказательство необходимости обновлять воздух в жилой комнате?
— № 804, 801 – на доске,
— Как вычислить объем параллелепипеда, куба?
— В каких единицах измеряется объем?
VI . Соотношение единиц измерения объема. «шпаргалки» Записать в «шпаргалки». форзац
— Игра «Слабое звено» — № 802,
— Задание на карточках.
— Вырази в кубических см:
6 дм³, 287 дм³
5 дм³ 23 см³ 16000 мм³
5 дм³ 635 см³ 2 дм³ 80 см³
— Вырази в кубических дм:
6м³ 580см³ 7м³ 15дм³
VII . Повторение изученного. № 808
VIII . Итог: — Что запомнили с урока?
— Кто поработал на 5? на 4?
IX . Домашнее задание : § 21, № 822 (а, б), № 823.
Математика
5 класс
21. Объёмы.
Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.
Рис. 83
Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго.
Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).
Например: кубический сантиметр - это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).
Рис. 84
Кубический дециметр называют также литром.
Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см3.
Рис. 85
Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
Формулы объемов параллелепипеда и куба
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик - из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя - 4 3 (см3), а всего прямоугольного параллелепипеда - (4 3) 2, то есть 24 см3.
Рис. 86
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид
где V - объём; а, Ь, с - измерения.
Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 4 4 = 43 (см3), то есть 64 см3.
Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a a a = a3.
Значит, формула объёма куба имеет вид
Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а.
Объём куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 103 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л.
Таким же образом находим, что
1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3;
1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. рисунок).
Вопросы для самопроверки
- Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1 см каждый; чему равен объём этой фигуры?
- Что такое кубический сантиметр; кубический метр?
- Как ещё называют кубический дециметр?
- Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр?
- Скольким литрам равен кубический метр?
- Сколько кубических метров в кубическом километре?
- Напишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
- Что означает в этой формуле буква V; буквы а, Ь, с?
- Напишите формулу объёма куба.
Выполните упражнения
819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.
Рис. 87
820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:
- а) а = 6 см, b = 10 см, с = 5 см;
- б) а = 30 дм, b = 20 дм, с = 30 дм;
- в) а = 8 дм, b = 6 м, с = 12 м;
- г) a = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см;
- д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.
821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см3.
822. Объём комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.
823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.
824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.
825. Выразите:
- а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3;
- б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3;
- в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.
826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?
827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?
828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.
Рис. 88
829. Вычислите устно:
830. Восстановите цепочку вычислений:
831. Найдите значение выражения:
- а) 23 + З2;
- б) 33 + 52;
- в) 43 + 6;
- г) 103 — 10.
832. Сколько десятков получится в частном:
- а) 1652: 7;
- б) 774: 6;
- в) 1632: 12;
- г) 2105: 5?
833. Согласны ли вы с утверждением:
- а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
- б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
- в) каждая грань куба - квадрат?
834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек?
835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)?
836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):
- а) две грани, имеющие общее ребро;
- б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
- в) вертикальные рёбра.
Рис. 89
837. Решите задачу:
- Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.
- Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.
838. Выполните действия:
- 668 (3076 + 5081);
- 783 (66 161 — 65 752);
- 2 111 022: (5960 — 5646);
- 2 045 639: (6700 — 6279).
839. На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведро (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), гяллон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м3?
840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см3.
Рис. 90
841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).
Рис. 91
842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения - 48 дм, 16 дм и 12 дм.
843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.
844. Выразите в кубических дециметрах:
- 2 м3 350 дм3;
- 3 м3 7 дм3;
- 4 м3 30 дм3;
- 18 000 см3;
- 210 000 см3.
845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.
846. С помощью формулы V = abc вычислите:
- а) V, если а — 3 дм, b = 4 дм, с = 5 дм;
- б) а, если V = 2184 см3, b = 12 см, с = 13 см;
- в) b, если V = 9200 см3, а = 23 см, с = 25 см;
- г) аb, если V = 1088 дм3, с = 17 см.
Каков смысл произведения ab?
847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую - возраст отца - через b - возраст сына. Найдите по этой формуле:
- а) а, если b = 10;
- б) а, если b = 18;
- в) b, если а = 48.
848. Найдите значение выражения:
- а) 700 700 — 6054 (47 923 — 47 884) — 65 548;
- б) 66 509 + 141 400: (39 839 — 39 739) + 1985;
- в) (851 + 2331) : 74 — 34;
- г) (14 084: 28 — 23) 27 — 12 060;
- д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
- е) 2555: (132 + 142) + 35.
849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):
- а) сколько раз встречается цифра 9;
- б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
- в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности).
Рис. 92
Рассказы об истории возникновения и развития математики
200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения.
Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами.
Такая система - её назвали метрической системой мер - была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» - мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм - как массу 1 дм3 чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д.
Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России её введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику.
Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость - узлами (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в каратах (200 мг, то есть пятая часть грамма - масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д.
Это можно осуществить разными способами, все зависит от того, какие величины и предметы мы имеем.
Итак, способ первый, который подходит исключительно для прямоугольного параллелепипеда.
Для определения объема параллелепипеда Вам потребуется его высота, ширина и длина.
Поскольку параллелепипед образуют прямоугольники, давайте отметим длину и ширину их буквами а и b соответственно. Тогда площадь прямоугольника будет рассчитана как а*b.
Высотой параллелепипеда называют высоту бокового ребра, и поскольку высота является величиной постоянной, для нахождения объема нужно площадь основания параллелепипеда умножить на высоту. Это выражается следующей формулой: V = а*b*с = S*с, где с – это высота.
Рассмотри м на примере. Допустим, у нас имеется параллелепипед с длиной и шириной основания 5 и 8 см, а его высота составляет 11 см. Необходимо вычислить объем.
Находим площадь основания: 5*8=40 кв. см. Теперь полученное значение умножаем на высоту 40*11=440 куб. см – это объем фигуры.
Второй способ.
Поскольку основанием параллелепипеда является геометрическая фигура параллелограмм, нужно определить его площадь. Для нахождения площади параллелограмма в зависимости от известных данных можно использовать следующие формулы:
- S = а*h, где а является стороной параллелограмма, h – высотой проведенной к а.
- S = а*b*sinα, где а и b это сторона фигуры, α – угол между этими сторонами.
После того. как Вы разобрались. Как найти площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема нашего параллелепипеда. Для этого используем формулу:
V = S*h, где S – это полученная ранее площадь основания, h – высота нашего параллелепипеда.
Рассмотрим пример.
Нам дан параллелепипед с высотой 50см, основание (параллелограмм) которого имеет сторону равную 23 см и высоту, проведенную именно к этой стороне – 8 см. Подставляем вышеуказанную формулу:
S = 23*8 = 184 кв. cм.
Теперь подставляем формулу для нахождения объема параллелепипеда:
V = 184*50 = 9 200 куб.
Урок математики ‘Объём прямоугольного параллелепипеда’ (5 класс)
Ответ: объем данного параллелепипеда 9200 кубических сантиметров.
Третий способ.
Этот вариант подойдет только для прямоугольного типа параллелепипеда, стороны, основания которого будут равны. Для этого Вам потребуется всего лишь возвести в куб данные стороны.
V = а3, т.е. возведенное в куб.
Дан параллелепипед со стороной основания 12. Значит, объем данной фигуры вычисляется по следующей формуле V = 123 = 1728 куб. см.
Любой из способов является очень простым. Главное вооружиться калькулятором и правильно выполнить все расчеты. Удачи!
объём прямоугольного параллелепипеда
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
Основание параллелепипеда
Калькулятор вычислит и распишет решение подробно и с комментариями. Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.
Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов!
Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда
Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.
прямоугольный параллелограмм
Формула используемая в нашем калькуляторе найдёт объём прямоугольного параллелепипеда . А если ваш параллелепипед имеет косые грани, вместо длины соответствующего косого ребра — необходимо ввести значение высоты этой части фигуры.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда
Чтобы его найти, необходимо знать размеры рёбер: высоту, ширину и длину. По формуле, размеры граней параллелепипеда необходимо перемножить в произвольном порядке.
Объём можно представить в литрах или куб.см., кубических миллиметрах.
Формула площади поверхности параллелепипеда
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
По формуле площади параллелепипеда необходимо найти площади всех сторон параллелепипеда, а затем их сложить. Противоположные стороны, грани, и рёбра параллелепипеда равны между собой, по этому при вычислении площадей можно применять умножение на два.
Основание параллелепипеда
В некоторых случаях бывает известна площадь основания параллелепипеда, тогда для того, что бы найти объём достаточно площадь основания умножить на высоту. ! ВАЖНО! — это верно, только для прямоугольного параллелепипеда.
Как найти объём параллелепипеда?
Проще всего найти объём введя три известных значения в графы онлайн калькулятора объёма! Затем — нажми на кнопу — получишь результат)!
Калькулятор вычислит объём параллелепипеда abcda1b1c1d1 и распишет решение подробно и с комментариями.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.
Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов! Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.
Параллелограмм это объёмная геометрическая фигура, имеющая шесть сторон, каждая из сторон при этом параллелограмм. Стороны параллелограмма обычно называются гранями. Если все грани параллелепипеда имеют форму прямоугольника — то это уже прямоугольный параллелограмм ! Обозначается эта фигура буквами abcda1b1c1d1.
Параллелепипед - это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.
Геометрия параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы. Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями. Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.
Параллелепипеды в реальной жизни
Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда. Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров. Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.
Объем параллелепипеда
Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем - это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:
где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.
Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист - это плоскость. Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда. Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.
Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:
Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:
V = a × b × h,
где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.
Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их. Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.
Примеры из жизни
Аквариум
К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума - важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей. Вычислить данную характеристику несложно - достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина - 50 см, а высота - 70 см. Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.
V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35
Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.
Строительство
Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент - это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания. Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача - это стандартный домик 6 на 6 метров. Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см. Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:
V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2
Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.
Заключение
Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.
Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.
Так же похожи, как круг и шар.
Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед
Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.
Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.
Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)
Рис. 2. Фигура
Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам
Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.
Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.
То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.
Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.
Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).
Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов
Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.
Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов
Давайте немного вспомним.
Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.
Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.
Рис. 6. Квадрат и прямоугольник
Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)
Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.
В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.
Итого площадь равна .
Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.
Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.
Или в общем виде:
Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.
Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.
Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед
Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.
Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:
Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?
Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:
А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.
Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 140
Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.
Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).
Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).
Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.
Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .
Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
Длина стороны .
Посчитаем объем в дм 3 .
Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.
Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
Ответ: 1 т.
Рис. 10. Холодильник
Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.
Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
Мы можем перевести все в сантиметры.
Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.
Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.
Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.
Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.
Всего помещается 100 слоев.
Таким образом,
То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.
Часто ученики возмущенно спрашивают: «Как мне в жизни это пригодится?». На любую тему каждого предмета. Не становится исключением и тема про объем параллелепипеда. И вот здесь как раз можно сказать: «Пригодится».
Как, например, узнать, поместится ли в почтовую коробку посылка? Конечно, можно методом проб и ошибок выбрать подходящую. А если такой возможности нет? Тогда на выручку придут вычисления. Зная вместимость коробки, можно рассчитать объем посылки (хотя бы приблизительно) и ответить на поставленный вопрос.
Параллелепипед и его виды
Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:
- призма с основанием в виде параллелограмма;
- многогранник, каждая грань которого - параллелограмм.
Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде , у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым . А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.
Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.
О введенных обозначениях
В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.
Формулы для наклонного параллелепипеда
Первая и вторая для площадей:
Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:
Так как основание - параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.
Формулы для прямоугольного параллелепипеда
Аналогично первому пункту - две формулы для площадей:
И еще одна для объема:
Первая задача
Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см - и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.
Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.
Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».
Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.
с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).
В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную - «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:
х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).
Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:
в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).
Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).
Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см 3 .
Вторая задача
Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.
Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.
Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.
S о = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).
Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.
н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Теперь все значения известны и можно вычислить объем:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).
Ответ: объем равен 18 √2 см 3 .
Третья задача
Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.
Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.
Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов :
d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120º,
х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º.
Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:
н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.
Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).
Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.
S о = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).
Объединив все в формулу объема, получаем:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).
Ответ: V = 18 см 3 .
Четвертая задача
Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.
Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.
Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.
S о = 5 2 = 25 (см 2).
Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.
Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота - она же и медиана). А диагональ основания найти просто:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).
Высоту нужно будет сосчитать как разность второй степени ребра и квадрата половины диагонали и не забыть потом извлечь квадратный корень :
н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).
Ответ: 62,5 √2 (см 3).
Введение:
Как вы ду-ма-е-те, что тя-же-лее: 1 кг пуха или 1 кг гвоз-дей? А что за-ни-ма-ет боль-ше места? Вот об этом мы се-год-ня будем го-во-рить. Будем раз-би-рать-ся, в чем же раз-ни-ца между объ-е-мом и мас-сой.
Определение объема
Объем - это то, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект, а масса - это то, сколь-ко он весит. Вот литр - это объем или масса? И как он свя-зан с ки-ло-грам-мом? В ма-га-зине мо-ло-ко про-да-ет-ся в лит-ро-вых бу-тыл-ках, вода про-да-ет-ся 1,5-2-лит-ро-вых бу-тыл-ках, сме-та-на про-да-ет-ся в бан-ках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?
Измерение объема
Итак, да-вай-те возь-мем весы, бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм масла. Потом возь-мем дру-гую такую же бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм воды. А те-перь мы возь-мем тесто для блин-чи-ков и на-льем в такую же бу-тыл-ку 600 грамм. По-смот-ри-те, мы везде на-ли-ва-ли 600 грамм - одну и ту же массу, а уро-вень жид-ко-стей по-лу-чил-ся раз-ный, но масса не из-ме-ни-лась (см. рис. 1).
Рис. 1. Срав-не-ние уров-ней жид-ко-стей: масла, воды и теста для блин-чи-ков
Что же ме-ня-лось? Ме-ня-лось ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места. Как раз это - ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места - на-зы-ва-ют объ-е-мом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем по-лу-чил-ся раз-ный.
Так что же такое, спро-си-те вы, литр? Возь-мем колбу и на-льем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, ко-то-рое за-ни-ма-ет 1 кг воды, до-го-во-ри-лись на-зы-вать лит-ром.
Да-вай-те еще раз сфор-му-ли-ру-ем. Объем - это число, по-ка-зы-ва-ю-щее, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект. А чем же, кроме лит-ров, ме-ря-ют объ-ект? Так же, как и у длины, и у пло-ща-ди су-ще-ству-ет много раз-ных спе-ци-аль-ных ве-ли-чин из-ме-ре-ния. На-при-мер, бар-рель. Бар-рель - это ко-ли-че-ство нефти, ко-то-рое по-ме-ща-ет-ся в бочку, опре-де-лен-но-го раз-ме-ра (см. рис. 2).
Рис. 2. Бар-рель
Или есть такая ве-ли-чи-на как гал-лон. Гал-лон - это ве-ли-чи-на, ко-то-рой поль-зу-ют-ся для из-ме-ре-ния в Ан-глии и в Аме-ри-ке. Но обыч-но объ-е-мы ме-ря-ют ку-би-че-ски-ми де-ци-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми сан-ти-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми мет-ра-ми. А как же со-от-но-сит-ся литр с ку-би-че-ским де-ци-мет-ром или мет-ром? На самом деле литр - это один ку-би-че-ский де-ци-метр (см. рис. 3).
Рис. 3. Литр - ку-би-че-ский де-ци-метр
То есть внутрь этого ку-би-ка по-ме-ща-ет-ся ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы ко-роб-ка, а сколь-ко туда по-ме-ща-ет-ся. Да-вай-те по-про-бу-ем в ку-би-че-ский де-ци-метр на-сы-пать муки. Или можно пе-ре-сы-пать муку в пакет - и все равно по-лу-чит-ся 1 литр (или 1 ку-би-че-ский де-ци-метр). То, что там внут-ри, будет литр или ку-би-че-ский де-ци-метр, по-то-му что не важно, какой формы, - важно, сколь-ко за-ни-ма-ет места.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Очень по-хо-же об-сто-ят дела с объ-е-мом пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Объем куба со сто-ро-ной 1 еди-ни-ца - это 1 ку-би-че-ская еди-ни-ца. Опять же, ис-ход-ные ли-ней-ные ве-ли-чи-ны могут быть лю-бы-ми: мил-ли-мет-ры, сан-ти-мет-ры, дюймы.
На-при-мер, 1 см3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 см, а 1 км3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 км.
Най-дем объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Пря-мо-уголь-ный па-рал-ле-ле-пи-пед
Ре-ше-ние
Объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да - это ко-ли-че-ство еди-нич-ных кубов, по-ме-ща-ю-щих-ся в него.
Уло-жим на дно ряд еди-нич-ных ку-би-ков со сто-ро-ной 1 см вдоль длин-ной сто-ро-ны. По-ме-сти-лось 7 штук. Уже по опыту ра-бо-ты с пря-мо-уголь-ни-ком мы знаем, что на дно по-ме-стит-ся всего 5 таких рядов, по 7 штук в каж-дом. То есть всего:
На-зо-вем это слой. Сколь-ко таких слоев мы можем уло-жить друг на друга?
Это за-ви-сит от вы-со-ты. Она равна 4 см. Зна-чит, укла-ды-ва-ет-ся 4 слоя в каж-дом по 35 штук. Всего:
А от-ку-да у нас по-яви-лось число 35? Это 75. То есть ко-ли-че-ство ку-би-ков мы по-лу-чи-ли пе-ре-мно-же-ни-ем длин всех трех сто-рон.
Но это и есть объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Ответ: 140
Те-перь мы можем за-пи-сать фор-му-лу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем па-рал-ле-ле-пи-пе-да
Объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми , , равен про-из-ве-де-нию всех трех сто-рон.
Если длины сто-рон даны в сан-ти-мет-рах, то объем по-лу-чит-ся в ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах (см3).
Если в мет-рах, то объем в ку-би-че-ских мет-рах (м3).
Ана-ло-гич-но объем может быть из-ме-рен в ку-би-че-ских мил-ли-мет-рах, ки-ло-мет-рах и т. д.
Задача 1
Стек-лян-ный куб со сто-ро-ной 1 м на-пол-нен водой це-ли-ком. Ка-ко-ва масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Ре-ше-ние
Куб яв-ля-ет-ся еди-нич-ным. Сто-ро-на - 1 м. Объем - 1 м3.
Если мы знаем, сколь-ко весит 1 ку-би-че-ский метр воды (со-кра-щен-но го-во-рят ку-бо-метр), то за-да-ча ре-ше-на.
Но если мы этого не знаем, то нетруд-но по-счи-тать.
Длина сто-ро-ны .
По-счи-та-ем объем в дм3.
Но 1 дм3 имеет от-дель-ное на-зва-ние, 1 литр. То есть у нас 1000 лит-ров воды.
Нам всем из-вест-но, что масса од-но-го литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
По-нят-но, что такой куб, на-пол-нен-ный водой, не под силу пе-ре-дви-нуть ни од-но-му обыч-но-му че-ло-ве-ку.
Ответ: 1 т.
Задача 2
Рис. 10. Хо-ло-диль-ник
Хо-ло-диль-ник имеет вы-со-ту 2 метра, ши-ри-ну 60 см и глу-би-ну 50 см. Найти его объем.
Ре-ше-ние
Пре-жде чем мы вос-поль-зу-ем-ся фор-му-лой объ-е-ма - про-из-ве-де-ние длин всех сто-рон - необ-хо-ди-мо пе-ре-ве-сти длины в оди-на-ко-вые еди-ни-цы из-ме-ре-ния.
Мы можем пе-ре-ве-сти все в метры или все в сан-ти-мет-ры.
Со-от-вет-ствен-но, и объем мы по-лу-чим или в ку-би-че-ских мет-рах, или ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах.
Сде-ла-ем и так, и так.
Ответ: или
Думаю, вы со-гла-си-тесь, что в ку-би-че-ских мет-рах объем более по-ня-тен.
Че-ло-век на глаз плохо от-ли-ча-ет число с пятью ну-ля-ми от числа с ше-стью ну-ля-ми, а ведь одно в 10 раз боль-ше, чем дру-гое.
Перевод единиц объема
Часто нам нужно пе-ре-ве-сти одну еди-ни-цу объ-е-ма в дру-гую. На-при-мер, ку-бо-мет-ры в ку-би-че-ские де-ци-мет-ры. Тя-же-ло за-пом-нить все эти со-от-но-ше-ния. Но этого и не нужно де-лать. До-ста-точ-но по-нять общий прин-цип.
На-при-мер, сколь-ко ку-би-че-ских сан-ти-мет-ров в ку-би-че-ском метре?
Да-вай-те по-смот-рим, сколь-ко ку-би-ков со сто-ро-ной 1 сан-ти-метр по-ме-стит-ся в куб со сто-ро-ной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укла-ды-ва-ет-ся 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укла-ды-ва-ет-ся 100 рядов или ку-би-ков.
Всего по-ме-ща-ет-ся 100 слоев.
Таким об-ра-зом,
То есть если ли-ней-ные ве-ли-чи-ны свя-за-ны со-от-но-ше-ни-ем «в одном метре 100 см», то чтобы по-лу-чить со-от-но-ше-ние для ку-би-че-ских ве-ли-чин, нужно воз-ве-сти 100 в 3 сте-пень (). И не нужно каж-дый раз чер-тить кубы.