Scrivere le radici di un'equazione quadratica. Equazioni quadratiche. Risoluzione di equazioni quadratiche

Digitare l'equazione

Espressione D= b 2 - 4ac chiamato discriminante equazione quadrata. SeD = 0, allora l'equazione ha una radice reale; se d> 0, allora l'equazione ha due radici reali.
Nel caso in cui D = 0 , a volte si dice che un'equazione quadratica ha due radici identiche.
Utilizzando la notazione D= b 2 - 4ac, la formula (2) può essere riscritta come

Se B= 2k, allora la formula (2) assume la forma:

Dove K= b / 2 .
L'ultima formula è particolarmente conveniente quando B / 2 è un numero intero, cioè coefficiente B- numero pari.
Esempio 1: risolvere l'equazione 2 X 2 - 5 volte + 2 = 0 . Qui a=2, b=-5, c=2. Abbiamo D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Perché D > 0 , allora l'equazione ha due radici. Troviamoli con la formula (2)

COSÌ X 1 =(5 + 3) / 4 = 2,x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
questo è X 1 = 2 E X 2 = 1 / 2 sono le radici dell'equazione data.
Esempio 2: risolvere l'equazione 2 X 2 - 3 volte + 5 = 0 . Qui a=2, b=-3, c=5. Trovare il discriminante D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Perché D 0 , allora l'equazione non ha radici reali.

Equazioni quadratiche incomplete. Se in un'equazione quadratica ascia 2 +bx+c =0 secondo coefficiente B o membro gratuito Cè uguale a zero, viene chiamata l'equazione quadratica incompleto. Le equazioni incomplete si distinguono perché per trovare le loro radici, non è possibile utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica: è più facile risolvere l'equazione fattorizzando il suo lato sinistro in fattori.
Esempio 1: risolvere l'equazione 2 X 2 - 5 volte = 0 .
Abbiamo X(2 volte - 5) = 0 . Quindi neanche X = 0 , O 2 X - 5 = 0 , questo è X = 2.5 . Quindi l'equazione ha due radici: 0 E 2.5
Esempio 2: risolvere l'equazione 3 X 2 - 27 = 0 .
Abbiamo 3 X 2 = 27 . Pertanto, le radici di questa equazione sono 3 E -3 .

Il teorema di Vieta. Se l'equazione quadratica data X 2 +px+q =0 ha radici reali, allora la loro somma è uguale a - P, e il prodotto è Q, questo è

x1 + x2 \u003d -p,
x1x2 = q

(la somma delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero).

Continuiamo a studiare l'argomento soluzione di equazioni". Abbiamo già conosciuto le equazioni lineari e ora le faremo conoscere equazioni quadratiche.

Per prima cosa discuteremo cos'è un'equazione quadratica, come è scritta in forma generale e forniremo le relative definizioni. Successivamente, utilizzando esempi, analizzeremo in dettaglio come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Successivamente, passiamo alla risoluzione di equazioni complete, otteniamo la formula per le radici, conosciamo il discriminante di un'equazione quadratica e consideriamo le soluzioni di esempi tipici. Infine, tracciamo le connessioni tra radici e coefficienti.

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Cos'è un'equazione quadratica? I loro tipi

Per prima cosa devi capire chiaramente cos'è un'equazione quadratica. Pertanto, è logico iniziare a parlare di equazioni quadratiche con la definizione di equazione quadratica, nonché le definizioni ad essa correlate. Successivamente, puoi considerare i principali tipi di equazioni quadratiche: equazioni ridotte e non ridotte, nonché equazioni complete e incomplete.

Definizione ed esempi di equazioni quadratiche

Definizione.

Equazione quadrataè un'equazione della forma ax2+bx+c=0, dove x è una variabile, a , b e c sono alcuni numeri e a è diverso da zero.

Diciamo subito che le equazioni quadratiche sono spesso chiamate equazioni di secondo grado. Questo perché l'equazione quadratica lo è equazione algebrica secondo grado.

La definizione suonata ci consente di fornire esempi di equazioni quadratiche. Quindi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione.

Numeri si chiamano a, b e c coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, e il coefficiente a è chiamato il primo, o senior, o coefficiente in x 2, b è il secondo coefficiente, o coefficiente in x, e c è un membro libero.

Ad esempio, prendiamo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0, qui il coefficiente principale è 5, il secondo coefficiente è −2 e il termine libero è −3. Si noti che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, come nell'esempio appena fornito, viene utilizzata la forma abbreviata dell'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0, non 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vale la pena notare che quando i coefficienti a e / o b sono uguali a 1 o −1, di solito non sono esplicitamente presenti nella notazione dell'equazione quadratica, il che è dovuto alle peculiarità della notazione di tale . Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 −y+3=0, il coefficiente principale è uno e il coefficiente in y è −1.

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

A seconda del valore del coefficiente principale, si distinguono equazioni quadratiche ridotte e non ridotte. Diamo le definizioni corrispondenti.

Definizione.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 equazione quadratica ridotta. Altrimenti, l'equazione quadratica è non ridotto.

Secondo questa definizione, le equazioni quadratiche x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, ecc. - ridotto, in ciascuno di essi il primo coefficiente è pari a uno. E 5 x 2 −x−1=0 , ecc. - equazioni quadratiche non ridotte, i loro coefficienti direttivi sono diversi da 1 .

Da qualsiasi equazione quadratica non ridotta, dividendo entrambe le sue parti per il coefficiente principale, si può passare a quella ridotta. Questa azione è una trasformazione equivalente, cioè l'equazione quadratica ridotta ottenuta in questo modo ha le stesse radici dell'equazione quadratica non ridotta originale, o, come questa, non ha radici.

Facciamo un esempio di come viene eseguita la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio.

Dall'equazione 3 x 2 +12 x−7=0, vai alla corrispondente equazione quadratica ridotta.

Soluzione.

Ci basta eseguire la divisione di entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 3, è diverso da zero, quindi possiamo eseguire questa azione. Abbiamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , che è uguale a (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , e così via (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , da cui . Quindi abbiamo ottenuto l'equazione quadratica ridotta, che è equivalente a quella originale.

Risposta:

Equazioni quadratiche complete e incomplete

C'è una condizione a≠0 nella definizione di un'equazione quadratica. Questa condizione è necessaria affinché l'equazione a x 2 +b x+c=0 sia esattamente quadrata, poiché con a=0 diventa effettivamente un'equazione lineare della forma b x+c=0 .

Per quanto riguarda i coefficienti b e c, essi possono essere pari a zero, sia separatamente che insieme. In questi casi, l'equazione quadratica è detta incompleta.

Definizione.

Si chiama l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0 incompleto, se almeno uno dei coefficienti b , c è uguale a zero.

Nel suo turno

Definizione.

Equazione quadratica completaè un'equazione in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero.

Questi nomi non sono dati per caso. Ciò risulterà chiaro dalla discussione seguente.

Se il coefficiente b è uguale a zero, allora l'equazione quadratica assume la forma a x 2 +0 x+c=0 ed è equivalente all'equazione a x 2 +c=0 . Se c=0 , cioè l'equazione quadratica ha la forma a x 2 +b x+0=0 , allora può essere riscritta come a x 2 +b x=0 . E con b=0 e c=0 otteniamo l'equazione quadratica a·x 2 =0. Le equazioni risultanti differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. Da qui il loro nome: equazioni quadratiche incomplete.

Quindi le equazioni x 2 +x+1=0 e −2 x 2 −5 x+0,2=0 sono esempi di equazioni quadratiche complete e x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Dalle informazioni del paragrafo precedente risulta che esiste tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a x 2 =0 , ad esso corrispondono i coefficienti b=0 e c=0;
• ax2 +c=0 quando b=0 ;
• e a x 2 +b x=0 quando c=0 .

Analizziamo in ordine come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete di ciascuno di questi tipi.

ax2 \u003d 0

Cominciamo risolvendo equazioni quadratiche incomplete in cui i coefficienti b e c sono uguali a zero, cioè con equazioni della forma a x 2 =0. L'equazione a·x 2 =0 è equivalente all'equazione x 2 =0, che si ottiene dall'originale dividendone entrambe le parti per un numero a diverso da zero. Ovviamente, la radice dell'equazione x 2 \u003d 0 è zero, poiché 0 2 \u003d 0. Questa equazione non ha altre radici, il che si spiega, infatti, per ogni numero p diverso da zero si verifica la disuguaglianza p 2 >0, il che implica che per p≠0 l'uguaglianza p 2 =0 non si raggiunge mai.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 \u003d 0 ha una radice singola x \u003d 0.

Ad esempio, diamo la soluzione di un'equazione quadratica incompleta −4·x 2 =0. È equivalente all'equazione x 2 \u003d 0, la sua unica radice è x \u003d 0, quindi l'equazione originale ha una singola radice zero.

Una breve soluzione in questo caso può essere emessa come segue:
−4 x 2 \u003d 0,
x2 \u003d 0,
x=0.

ax2+c=0

Consideriamo ora come si risolvono le equazioni quadratiche incomplete, in cui il coefficiente b è uguale a zero, e c≠0, cioè equazioni della forma a x 2 +c=0. Sappiamo che il trasferimento di un termine da un lato all'altro dell'equazione con il segno opposto, così come la divisione di entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero, danno un'equazione equivalente. Pertanto si possono effettuare le seguenti trasformazioni equivalenti dell’equazione quadratica incompleta a x 2 +c=0:

• sposta c a destra, ottenendo l'equazione a x 2 =−c,
• e dividiamo entrambe le sue parti per a , otteniamo .

L'equazione risultante ci consente di trarre conclusioni sulle sue radici. A seconda dei valori di a e c, il valore dell'espressione può essere negativo (ad esempio, se a=1 e c=2 , allora ) o positivo (ad esempio, se a=−2 e c=6 , quindi ), non è uguale a zero , perché per la condizione c≠0 . Analizzeremo separatamente i casi e .

Se , allora l'equazione non ha radici. Questa affermazione deriva dal fatto che il quadrato di qualsiasi numero è un numero non negativo. Ne consegue che quando , allora per qualsiasi numero p l'uguaglianza non può essere vera.

Se , allora la situazione con le radici dell'equazione è diversa. In questo caso, se ricordiamo, la radice dell'equazione diventa immediatamente ovvia, è il numero, poiché. È facile intuire che il numero è anche la radice dell'equazione, infatti, . Questa equazione non ha altre radici, il che può essere dimostrato, ad esempio, per contraddizione. Facciamolo.

Indichiamo le radici appena espresse dell'equazione come x 1 e −x 1 . Supponiamo che l'equazione abbia un'altra radice x 2 diversa dalle radici x 1 e −x 1 indicate. È noto che la sostituzione nell'equazione al posto di x delle sue radici trasforma l'equazione in una vera uguaglianza numerica. Per x 1 e −x 1 abbiamo , e per x 2 abbiamo . Le proprietà delle uguaglianze numeriche ci permettono di eseguire una sottrazione termine per termine delle uguaglianze numeriche corrette, quindi la sottrazione delle parti corrispondenti delle uguaglianze dà x 1 2 − x 2 2 =0. Le proprietà delle operazioni con i numeri ci permettono di riscrivere l'uguaglianza risultante come (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Sappiamo che il prodotto di due numeri è uguale a zero se e solo se almeno uno di essi è uguale a zero. Pertanto, dall'uguaglianza ottenuta segue che x 1 −x 2 =0 e/o x 1 +x 2 =0 , che è la stessa cosa, x 2 =x 1 e/o x 2 = −x 1 . Siamo quindi arrivati ​​ad una contraddizione, poiché all'inizio abbiamo detto che la radice dell'equazione x 2 è diversa da x 1 e −x 1 . Ciò dimostra che l'equazione non ha altre radici oltre a e .

Riassumiamo le informazioni in questo paragrafo. L'equazione quadratica incompleta a x 2 +c=0 è equivalente all'equazione , che

• non ha radici se,
• ha due radici e se .

Considera esempi di risoluzione di equazioni quadratiche incomplete della forma a·x 2 +c=0 .

Cominciamo con l'equazione quadratica 9 x 2 +7=0 . Dopo aver trasferito il termine libero sul lato destro dell'equazione, assumerà la forma 9·x 2 =−7. Dividendo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a . Poiché a destra si ottiene un numero negativo, questa equazione non ha radici, quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 +7=0 non ha radici.

Risolviamo un'altra equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0. Trasferiamo i nove sul lato destro: -x 2 \u003d -9. Ora dividiamo entrambe le parti per −1, otteniamo x 2 =9. Il lato destro contiene un numero positivo, dal quale concludiamo che o . Dopo aver scritto la risposta finale: l'equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0 ha due radici x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Resta da affrontare la soluzione dell'ultimo tipo di equazioni quadratiche incomplete per c=0 . Le equazioni quadratiche incomplete della forma a x 2 +b x=0 ti permettono di risolverle metodo di fattorizzazione. Ovviamente possiamo, situato sul lato sinistro dell'equazione, per cui è sufficiente togliere il fattore comune x tra parentesi. Ciò ci consente di passare dall'equazione quadratica incompleta originale a un'equazione equivalente della forma x·(a·x+b)=0 . E questa equazione è equivalente all'insieme di due equazioni x=0 e a x+b=0 , l'ultima delle quali è lineare e ha radice x=−b/a .

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x=0 ha due radici x=0 e x=−b/a.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione di un esempio specifico.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Soluzione.

Togliamo x tra parentesi, questo dà l'equazione. È equivalente a due equazioni x=0 e . Risolviamo l'equazione lineare risultante: , e dopo aver diviso il numero misto per una frazione ordinaria, troviamo . Pertanto, le radici dell'equazione originale sono x=0 e .

Dopo aver acquisito la pratica necessaria, le soluzioni di tali equazioni possono essere scritte brevemente:

Risposta:

x=0, .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per risolvere le equazioni quadratiche, esiste una formula radice. Scriviamo la formula delle radici dell'equazione quadratica: , Dove D=b 2 −4 a c- cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica. La notazione significa essenzialmente che .

È utile sapere come è stata ottenuta la formula della radice e come viene applicata per trovare le radici delle equazioni quadratiche. Affrontiamo questo.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Dobbiamo risolvere l'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0 . Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

• Possiamo dividere entrambe le parti di questa equazione per un numero diverso da zero a, di conseguenza otteniamo l'equazione quadratica ridotta.
• Ora seleziona un quadrato intero sul lato sinistro: . Successivamente l'equazione assumerà la forma .
• A questo punto è possibile effettuare il trasferimento degli ultimi due termini a destra con segno opposto, abbiamo .
• E trasformiamo anche l'espressione a destra: .

Di conseguenza, arriviamo all'equazione , che è equivalente all'equazione quadratica originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Abbiamo già risolto equazioni simili nella forma nei paragrafi precedenti quando abbiamo analizzato . Ciò ci consente di trarre le seguenti conclusioni riguardo alle radici dell’equazione:

• se , allora l'equazione non ha soluzioni reali;
• se , allora l'equazione ha la forma , quindi, , da cui è visibile la sua unica radice;
• se , allora o , che è uguale a o , cioè l'equazione ha due radici.

Pertanto, la presenza o l'assenza delle radici dell'equazione, e quindi dell'equazione quadratica originale, dipende dal segno dell'espressione a destra. A sua volta, il segno di questa espressione è determinato dal segno del numeratore, poiché il denominatore 4 a 2 è sempre positivo, cioè il segno dell'espressione b 2 −4 a c . Questa espressione è chiamata b 2 −4 a c discriminante di un'equazione quadratica e contrassegnato con la lettera D. Da qui, l'essenza del discriminante è chiara: dal suo valore e segno si conclude se l'equazione quadratica ha radici reali e, in tal caso, qual è il loro numero: uno o due.

Torniamo all'equazione , riscrivila utilizzando la notazione del discriminante: . E concludiamo:

• se d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• se D=0, allora questa equazione ha una radice unica;
• infine, se D>0, allora l'equazione ha due radici o , che può essere riscritta nella forma o , e dopo aver espanso e ridotto le frazioni a un denominatore comune, otteniamo .

Quindi abbiamo derivato le formule per le radici dell'equazione quadratica, assomigliano a , dove il discriminante D è calcolato dalla formula D=b 2 −4 a c .

Con il loro aiuto, con un discriminante positivo, puoi calcolare entrambe le radici reali di un'equazione quadratica. Quando il discriminante è uguale a zero, entrambe le formule danno lo stesso valore di radice corrispondente all'unica soluzione dell'equazione quadratica. E con un discriminante negativo, quando proviamo a utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica, ci troviamo di fronte all'estrazione della radice quadrata da un numero negativo, il che ci porta oltre l'ambito del curriculum scolastico. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non ha radici reali, ma ha una coppia complesso coniugato radici, che possono essere trovate utilizzando le stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

In pratica, quando si risolve un'equazione quadratica, si può subito utilizzare la formula della radice, con cui calcolarne i valori. Ma si tratta più di trovare radici complesse.

Tuttavia, in un corso di algebra scolastica, di solito non parliamo di radici complesse, ma di radici reali di un'equazione quadratica. In questo caso, è consigliabile trovare prima il discriminante prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, assicurarsi che sia non negativo (altrimenti possiamo concludere che l'equazione non ha radici reali), e poi calcolare i valori delle radici.

Il ragionamento di cui sopra ci permette di scrivere algoritmo per risolvere un'equazione quadratica. Per risolvere l'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, è necessario:

• utilizzando la formula discriminante D=b 2 −4 a c calcolarne il valore;
• concludere che l'equazione quadratica non ha radici reali se il discriminante è negativo;
• calcolare l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula se D=0 ;
• trova due radici reali di un'equazione quadratica utilizzando la formula della radice se il discriminante è positivo.

Qui notiamo solo che se il discriminante è uguale a zero si può usare anche la formula, che darà lo stesso valore di .

Puoi passare agli esempi di applicazione dell'algoritmo per risolvere equazioni quadratiche.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Considera le soluzioni di tre equazioni quadratiche con discriminante positivo, negativo e zero. Dopo aver affrontato la loro soluzione, per analogia sarà possibile risolvere qualsiasi altra equazione quadratica. Iniziamo.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione x 2 +2 x−6=0 .

Soluzione.

In questo caso, abbiamo i seguenti coefficienti dell'equazione quadratica: a=1 , b=2 e c=−6 . Secondo l'algoritmo, devi prima calcolare il discriminante, per questo sostituiamo gli a, b e c indicati nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Poiché 28>0, cioè il discriminante è maggiore di zero, l'equazione quadratica ha due radici reali. Troviamoli con la formula delle radici , otteniamo , qui possiamo semplificare le espressioni ottenute facendo escludendo il segno della radice seguita dalla riduzione della frazione:

Risposta:

Passiamo al prossimo esempio tipico.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluzione.

Iniziamo trovando il discriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Pertanto, questa equazione quadratica ha un'unica radice, che troviamo come , cioè

Risposta:

x=3,5 .

Resta da considerare la soluzione delle equazioni quadratiche con discriminante negativo.

Esempio.

Risolvi l'equazione 5 y 2 +6 y+2=0 .

Soluzione.

Ecco i coefficienti dell'equazione quadratica: a=5 , b=6 e c=2 . Sostituendo questi valori nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Il discriminante è negativo, quindi questa equazione quadratica non ha radici reali.

Se è necessario specificare radici complesse, utilizziamo la nota formula per le radici dell'equazione quadratica ed eseguiamo operazioni con numeri complessi:

Risposta:

non esistono radici vere e proprie, le radici complesse sono: .

Ancora una volta, notiamo che se il discriminante dell'equazione quadratica è negativo, la scuola di solito scrive immediatamente la risposta, in cui indica che non ci sono radici reali e non trova radici complesse.

Formula di radice per coefficienti secondi pari

La formula per le radici di un'equazione quadratica , dove D=b 2 −4 a c consente di ottenere una formula più compatta che consente di risolvere equazioni quadratiche con un coefficiente pari in x (o semplicemente con un coefficiente simile a 2 n , ad esempio, oppure 14 ln5=2 7 ln5 ). Portiamola fuori.

Supponiamo di dover risolvere un'equazione quadratica della forma a x 2 +2 n x + c=0 . Troviamo le sue radici utilizzando la formula a noi nota. Per fare ciò calcoliamo il discriminante D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), e quindi usiamo la formula radice:

Denotiamo l'espressione n 2 −a c come D 1 (a volte è denotato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assume la forma , dove D 1 =n 2 −a c .

È facile vedere che D=4·D 1 , ovvero D 1 =D/4 . In altre parole, D 1 è la quarta parte del discriminante. È chiaro che il segno di D 1 è lo stesso del segno di D . Cioè, il segno D 1 è anche un indicatore della presenza o dell'assenza delle radici dell'equazione quadratica.

Quindi, per risolvere un'equazione quadratica con il secondo coefficiente 2 n, è necessario

• Calcola D 1 =n 2 −a·c ;
• Se D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Se D 1 =0, calcola l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula;
• Se D 1 >0, trova due radici reali utilizzando la formula.

Considera la soluzione dell'esempio utilizzando la formula radice ottenuta in questo paragrafo.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica 5 x 2 −6 x−32=0 .

Soluzione.

Il secondo coefficiente di questa equazione può essere rappresentato come 2·(−3) . Cioè, puoi riscrivere l'equazione quadratica originale nella forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , qui a=5 , n=−3 e c=−32 , e calcolare la quarta parte dell'equazione discriminante: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Poiché il suo valore è positivo, l'equazione ha due radici reali. Li troviamo utilizzando la formula radice corrispondente:

Si noti che era possibile utilizzare la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso sarebbe stato necessario un lavoro computazionale maggiore.

Risposta:

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte, prima di iniziare a calcolare le radici di un'equazione quadratica utilizzando le formule, non fa male porre la domanda: "È possibile semplificare la forma di questa equazione"? Concordo sul fatto che in termini di calcoli sarà più facile risolvere l'equazione quadratica 11 x 2 −4 x −6=0 che 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Di solito, una semplificazione della forma di un'equazione quadratica si ottiene moltiplicando o dividendo entrambi i suoi lati per un certo numero. Ad esempio, nel paragrafo precedente, siamo riusciti a ottenere una semplificazione dell'equazione 1100 x 2 −400 x −600=0 dividendo entrambi i membri per 100 .

Una trasformazione simile viene eseguita con equazioni quadratiche, i cui coefficienti non sono . In questo caso, entrambe le parti dell'equazione vengono solitamente divise per i valori assoluti dei suoi coefficienti. Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 12 x 2 −42 x+48=0. valori assoluti dei suoi coefficienti: mcd(12, 42, 48)= mcd(gcd(12, 42), 48)= mcd(6, 48)=6 . Dividendo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 , arriviamo all'equazione quadratica equivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

E la moltiplicazione di entrambe le parti dell'equazione quadratica viene solitamente eseguita per eliminare i coefficienti frazionari. In questo caso, la moltiplicazione viene effettuata sui denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se entrambe le parti di un'equazione quadratica vengono moltiplicate per LCM(6, 3, 1)=6 , assumerà una forma più semplice x 2 +4 x−18=0 .

In conclusione di questo paragrafo, notiamo che quasi sempre si elimina il meno nel coefficiente iniziale dell'equazione quadratica cambiando i segni di tutti i termini, il che corrisponde a moltiplicare (o dividere) entrambe le parti per −1. Ad esempio, solitamente dall'equazione quadratica −2·x 2 −3·x+7=0 si passa alla soluzione 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relazione tra radici e coefficienti di un'equazione quadratica

La formula per le radici di un'equazione quadratica esprime le radici di un'equazione in termini di coefficienti. In base alla formula delle radici, puoi ottenere altre relazioni tra radici e coefficienti.

Le formule più conosciute e applicabili del teorema Vieta della forma e . In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente con segno opposto, e il prodotto delle radici è il termine libero. Ad esempio, dalla forma dell'equazione quadratica 3 x 2 −7 x+22=0, possiamo immediatamente dire che la somma delle sue radici è 7/3 e il prodotto delle radici è 22/3.

Usando le formule già scritte, puoi ottenere una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti dell'equazione quadratica. Ad esempio, puoi esprimere la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica in termini di coefficienti: .

Bibliografia.

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”, cioè equazioni di primo grado. In questa lezione esploreremo cos'è un'equazione quadratica e come risolverlo.

Che cos'è un'equazione quadratica

Importante!

Il grado di un'equazione è determinato dal grado più alto in cui si trova l'incognita.

Se il grado massimo dell'incognita è “2”, allora hai un'equazione quadratica.

Esempi di equazioni quadratiche

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x2+x+

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x2-8 = 0

Importante! La forma generale dell'equazione quadratica è simile alla seguente:

Ax2 + bx + c = 0

"a", "b" e "c" - numeri indicati.

• "a" - il primo o il coefficiente senior;
• "b" - il secondo coefficiente;
• "c" è un membro gratuito.

Per trovare "a", "b" e "c" devi confrontare la tua equazione con la forma generale dell'equazione quadratica "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Esercitiamoci a determinare i coefficienti "a", "b" e "c" nelle equazioni quadratiche.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x2+x+

L'equazione	Probabilità
a=5 b = −14 c = 17
un = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

x2-8 = 0

• un = 1
• b = 0
• c = −8

Come risolvere le equazioni quadratiche

A differenza delle equazioni lineari, per risolvere le equazioni quadratiche viene utilizzata un'equazione speciale. formula per trovare le radici.

Ricordare!

Per risolvere un'equazione quadratica è necessario:

• portare l'equazione quadratica nella forma generale "ax 2 + bx + c \u003d 0". Cioè, solo lo "0" dovrebbe rimanere sul lato destro;
• usa la formula per le radici:

Usiamo un esempio per capire come applicare la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica. Risolviamo l'equazione quadratica.

X2 - 3x - 4 = 0

L'equazione "x 2 - 3x - 4 = 0" è già stata ridotta alla forma generale "ax 2 + bx + c = 0" e non necessita di ulteriori semplificazioni. Per risolverlo, dobbiamo solo applicare formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Definiamo i coefficienti "a", "b" e "c" per questa equazione.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Con il suo aiuto, qualsiasi equazione quadratica viene risolta.

Nella formula "x 1; 2 \u003d" l'espressione radice viene spesso sostituita
"b 2 − 4ac" alla lettera "D" e chiamato discriminante. Il concetto di discriminante è discusso più in dettaglio nella lezione "Cos'è un discriminante".

Consideriamo un altro esempio di equazione quadratica.

x2 + 9 + x = 7x

In questa forma è piuttosto difficile determinare i coefficienti "a", "b" e "c". Portiamo prima l'equazione alla forma generale "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Ora puoi usare la formula per le radici.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

6

2

x=3
Risposta: x = 3

Ci sono momenti in cui non ci sono radici nelle equazioni quadratiche. Questa situazione si verifica quando nella formula sotto la radice appare un numero negativo.

Equazione quadratica: facile da risolvere! *Più avanti nel testo "KU". Amici, sembrerebbe che in matematica possa essere più semplice che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi diceva che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni fornisce Yandex per richiesta al mese. Ecco cosa è successo, dai un'occhiata:

Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, e questa è l'estate e, cosa accadrà durante l'anno scolastico, ci saranno il doppio delle richieste. Ciò non sorprende, perché queste informazioni sono alla ricerca di quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati da tempo e si stanno preparando per l'esame, e anche gli scolari stanno cercando di rinfrescarsi la memoria.

Nonostante ci siano molti siti che spiegano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, desidero che i visitatori arrivino al mio sito su questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando viene fuori il discorso "KU", fornirò un collegamento a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto solitamente affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

dove i coefficienti a,Be con numeri arbitrari, con a≠0.

Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella seguente forma: la divisione delle equazioni in tre classi viene effettuata in modo condizionale:

1. Avere due radici.

2. * Avere una sola radice.

3. Non hanno radici. Vale la pena notare qui che non hanno radici vere

Come vengono calcolate le radici? Appena!

Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola "terribile" si nasconde una formula molto semplice:

Le formule di radice sono le seguenti:

*Queste formule devono essere conosciute a memoria.

Puoi immediatamente scrivere e risolvere:

Esempio:

1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.

2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Consideriamo l'equazione:

In questa occasione, quando il discriminante è zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è uguale a nove. È vero, lo è, ma...

Questa rappresentazione è alquanto errata. In realtà, ci sono due radici. Sì, sì, non sorprenderti, risultano due radici uguali e, per essere matematicamente accurati, nella risposta dovrebbero essere scritte due radici:

x1 = 3x2 = 3

Ma è così: una piccola digressione. A scuola puoi scrivere e dire che esiste una sola radice.

Ora il seguente esempio:

Come sappiamo, la radice di un numero negativo non viene estratta, quindi in questo caso non c'è soluzione.

Questo è l'intero processo decisionale.

Funzione quadratica.

Ecco come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli, analizzeremo in dettaglio la soluzione di una disuguaglianza quadratica).

Questa è una funzione della forma:

dove x e y sono variabili

a, b, c sono dati numeri, dove a ≠ 0

Il grafico è una parabola:

Cioè si scopre che risolvendo un'equazione quadratica con "y" uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) o nessuno (il discriminante è negativo). Maggiori informazioni sulla funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.

Considera esempi:

Esempio 1: decidere 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Risposta: x 1 = 8 x 2 = -12

* Potresti dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, ovvero semplificarla. I calcoli saranno più facili.

Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Abbiamo ottenuto che x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11

Nella risposta è consentito scrivere x = 11.

Risposta: x = 11

Esempio 3: Decidere x2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Il discriminante è negativo, non esiste soluzione nei numeri reali.

Risposta: nessuna soluzione

Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!

Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa sui numeri complessi? Non entrerò qui nei dettagli sul perché e dove sono sorti e quale sia il loro ruolo e necessità specifici in matematica, questo è un argomento per un ampio articolo separato.

Il concetto di numero complesso.

Un po' di teoria.

Un numero complesso z è un numero della forma

z = a + bi

dove a e b sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.

a+bi è un NUMERO SINGOLO, non un'addizione.

L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:

Consideriamo ora l'equazione:

Ottieni due radici coniugate.

Equazione quadratica incompleta.

Consideriamo casi particolari, ovvero quando il coefficiente "b" o "c" è uguale a zero (o entrambi sono uguali a zero). Si risolvono facilmente senza alcuna discriminante.

Caso 1. Coefficiente b = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasformiamo:

Esempio:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Caso 2. Coefficiente c = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasformare, fattorizzare:

*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Esempio:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oppure x–5 =0

x1 = 0 x2 = 5

Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.

Qui è chiaro che la soluzione dell’equazione sarà sempre x = 0.

Proprietà utili e modelli di coefficienti.

Esistono proprietà che consentono di risolvere equazioni con coefficienti grandi.

UNX 2 + bx+ C=0 uguaglianza

UN + B+ c = 0, Quello

— se per i coefficienti dell'equazione UNX 2 + bx+ C=0 uguaglianza

UN+ con =B, Quello

Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.

Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somma dei coefficienti è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, quindi

Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Uguaglianza UN+ con =B, Significa

Regolarità dei coefficienti.

1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c \u003d 0 il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Se nell'equazione ax 2 - bx + c \u003d 0, il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.

x1 = 15 x2 = 1/15.

3. Se nell'equazione ax 2 + bx - c = 0 coefficiente "b" è uguale a (a 2 – 1), e il coefficiente “c” numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono uguali

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Se nell'equazione ax 2 - bx - c \u003d 0, il coefficiente "b" è uguale a (a 2 - 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Il teorema di Vieta.

Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese François Vieta. Usando il teorema di Vieta, si può esprimere la somma e il prodotto delle radici di una KU arbitraria in termini di coefficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In sintesi, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, utilizzando il teorema presentato, puoi risolvere immediatamente oralmente molte equazioni quadratiche.

Il teorema di Vieta, inoltre. conveniente perché dopo aver risolto l'equazione quadratica nel solito modo (tramite il discriminante), è possibile verificare le radici risultanti. Consiglio di farlo sempre.

METODO DI TRASFERIMENTO

Con questo metodo il coefficiente “a” viene moltiplicato per il termine libero, come se ad esso “trasferito”, per questo motivo viene chiamato metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando le radici di un'equazione possono essere facilmente trovate utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Se UN± b+c≠ 0, allora viene utilizzata la tecnica del trasferimento, ad esempio:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Secondo il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinarlo x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Le radici risultanti dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché le due sono state “lanciate” da x 2), otteniamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Qual è la logica? Guarda cosa sta succedendo.

I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono:

Se guardi le radici delle equazioni, si ottengono solo denominatori diversi e il risultato dipende proprio dal coefficiente in x 2:

Le seconde radici (modificate) sono 2 volte più grandi.

Pertanto dividiamo il risultato per 2.

*Se otteniamo un tris, dividiamo il risultato per 3 e così via.

Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mq. u-cioè e l'esame.

Parlerò brevemente della sua importanza: DOVREI ESSERE IN GRADO DI DECIDERE velocemente e senza pensare, devi conoscere a memoria le formule delle radici e il discriminante. Molti dei compiti che fanno parte dei compiti USE si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (comprese quelle geometriche).

Cosa vale la pena notare!

1. La forma dell'equazione può essere "implicita". Ad esempio è possibile la seguente voce:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Devi portarlo in un modulo standard (in modo da non confonderti durante la risoluzione).

2. Ricorda che x è un valore sconosciuto e può essere indicato con qualsiasi altra lettera: t, q, p, h e altre.

Questo argomento può sembrare complicato a prima vista a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande e poi in ordine discendente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Allora è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente rispetto al grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche si riducono alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia indicata con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché è sempre possibile una delle tre opzioni:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• L'equazione non ha alcuna radice.

E mentre la decisione non viene portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non assomiglieranno sempre alla formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcosa di diverso. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia la numero due e la seconda la numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per poter calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante è necessario utilizzare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà costituita da due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, l'esame di questo problema è già iniziato. Perché prima bisogna trovare il discriminante. Dopo aver chiarito che esistono radici dell'equazione quadratica e che il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare una formula del genere.

Poiché contiene il segno “±”, ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto la formula può essere riscritta in modo diverso.

Formula cinque. Dalla stessa registrazione si vede che se il discriminante è zero allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all’inizio c’è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Qui è tutto molto più semplice. Anche non sono necessarie formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che si tolga il valore sconosciuto dalla parentesi e si risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. La seconda si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a quello destro. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'ignoto. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di scriverla due volte con segni opposti.

Di seguito sono riportate alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti a disattenzione. Queste carenze sono la causa dei voti bassi nello studio dell'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza grado e l'ultimo - solo un numero.

• Se prima del coefficiente "a" appare un segno meno, lo studio delle equazioni quadratiche può complicare il lavoro per un principiante. È meglio liberarsene. A questo scopo tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno in senso opposto.

• Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Moltiplica semplicemente l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il parentesi, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 \u003d 0. La seconda sarà trovata dall'equazione lineare: x - 7 \u003d 0. È facile vedere che x 2 \u003d 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che viene risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ora è il momento di utilizzare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È a numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questa: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, vale a dire: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel fatto che è necessario riportare termini simili, prima di aprire le parentesi. Al posto della prima ci sarà questa espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato i termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x \u003d 0. È diventato incompleto . Simile a questo è già stato considerato un po 'più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.