Problemi sulla determinazione classica della probabilità.Esempi di soluzioni. Probabilità di un evento. Determinazione della probabilità di un evento

Probabilità di un evento. Nella pratica della vita, per eventi o fenomeni casuali vengono utilizzati i seguenti termini: impossibile, improbabile, ugualmente probabile, affidabile e altri, che mostrano quanto siamo fiduciosi nel verificarsi di questo evento. Quando diciamo che un evento casuale è improbabile, intendiamo che quando le stesse condizioni si ripetono più volte, questo evento si verifica molto meno spesso di quanto non si verifichi. Al contrario, un evento altamente probabile si verifica il più delle volte. Se, in determinate condizioni, due eventi casuali diversi si verificano con la stessa frequenza, allora sono considerati ugualmente probabili. Se siamo sicuri che in determinate condizioni un dato evento si verificherà sicuramente, allora diciamo che è certo. Se al contrario siamo sicuri che un evento non si verificherà in determinate condizioni, allora diciamo che questo evento è impossibile.

Tuttavia, determinando in questo modo la possibilità che si verifichi un evento casuale, non possiamo introdurre rigide leggi statistiche, poiché ciò è spesso associato alla nostra valutazione soggettiva di questo evento, limitata dall'insufficienza delle nostre conoscenze.

Per introdurre rigide leggi statistiche, è necessaria anche una rigorosa definizione matematica di probabilità come grado di possibilità oggettiva di un evento casuale.

Per dare una definizione matematica di probabilità è necessario considerare qualche semplice esempio del verificarsi di eventi di massa. Gli esempi più semplici di tali eventi sono solitamente considerati la perdita di un lato o dell'altro di una moneta quando la si lancia, o di qualche numero quando si lancia un dado. Qui, un evento separato è considerato la perdita dell'uno o dell'altro volto (numero).

Dalla pratica è noto che è impossibile indicare in anticipo esattamente quale numero (quanti punti) apparirà in un lancio di dadi (un singolo evento). Pertanto, ottenere un certo numero di punti sarà un evento casuale.

Tuttavia, se consideriamo tutta una serie di eventi simili - ripetuti lanci di dadi, allora ogni lato apparirà un gran numero di volte e gli eventi casuali saranno già enormi. A loro si applicano alcune leggi.

È noto dalla pratica che quando si lancia un dado, sarà possibile ottenere lo stesso numero, ad esempio, due volte di seguito, tre volte di seguito - già improbabile, quattro volte di seguito - ancora meno probabile, e ad esempio, dieci volte di seguito: quasi impossibile.

Inoltre, se effettui solo sei lanci di dadi, alcuni numeri potrebbero apparire due volte e alcuni - nessuno. Qui è difficile notare uno schema nell'aspetto di un certo numero. Tuttavia, se il numero di lanci viene aumentato a 60, risulta che ciascun numero apparirà circa dieci volte. È qui che emerge un certo schema. Tuttavia, a causa della casualità nel lancio di un dado (posizione iniziale, velocità, traiettoria di volo), il numero di numeri diversi in diverse serie di esperimenti sarà diverso. Ciò è dovuto al numero insufficiente di esperimenti stessi.

Se aumentiamo il numero di lanci a seimila, risulta che circa un sesto di tutti i lanci porterà alla comparsa di ciascun numero. E maggiore è il numero di lanci, più vicino sarà il numero di gocce di un determinato numero

Il rapporto tra il numero di occorrenze di un dato numero durante i lanci ripetuti di un dado e il numero totale di lanci è chiamato frequenza di ripetizione di questo evento in una serie di prove omogenee. All'aumentare del numero totale di prove, la frequenza di ripetizione tenderà ad un certo limite costante determinato da una data serie di esperimenti.

Questo limite è chiamato probabilità di un dato evento. Tuttavia, la tendenza a limitare il tasso di ripetizione si osserverà solo con un aumento illimitato del numero di test.

In generale, se qualche evento si verifica volte Hz sul numero totale di prove, allora matematicamente la probabilità è definita come il limite del rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero totale di eventi (di un gruppo omogeneo di prove), a condizione che il numero di prove in questo gruppo tenda all'infinito. In altre parole, la probabilità di un evento nel nostro caso sarà scritta come segue:

In fisica, una variabile casuale spesso cambia nel tempo. Quindi, ad esempio, la probabilità di un determinato stato del sistema può essere determinata dalla formula

dove è il tempo in cui il sistema rimane in questo stato, il tempo totale di osservazione.

Ne consegue che per determinare sperimentalmente la probabilità di un certo evento è necessario effettuare, se non un infinito, un numero molto elevato di prove, per trovare il numero di eventi favorevoli e, in base al loro rapporto, trovare la probabilità di questo evento.

In molti casi pratici, questo è esattamente ciò che viene fatto per determinare la probabilità. In questo caso, la probabilità

sarà determinato tanto più accuratamente quanto maggiore è il numero di test che vengono eseguiti, o quanto più lungo è il periodo di tempo durante il quale gli eventi vengono considerati.

Tuttavia, in molti casi, la probabilità di un particolare evento (soprattutto fisico) può essere determinata senza effettuare alcun test. Questa è la cosiddetta probabilità a priori. Ciò può essere verificato, ovviamente, sperimentalmente.

Per trovarlo nel caso del lancio di un dado, ragioneremo come segue. Poiché il dado è uniforme e lanciato in modo diverso, ciascuna delle sei parti avrà la stessa probabilità di uscire (nessuna parte avrà un vantaggio sulle altre). Pertanto, poiché le facce sono solo sei, possiamo dire che la probabilità di ottenerne una è pari a . In questo caso, per determinare la probabilità, non è possibile eseguire alcun test, ma trovare la probabilità sulla base di considerazioni generali.

Funzione di distribuzione. Negli esempi forniti, la variabile casuale potrebbe assumere solo pochi valori diversi (un numero molto specifico). Abbiamo chiamato eventi quando una variabile casuale assumeva uno di questi valori e abbiamo assegnato una certa probabilità a questi eventi.

Ma insieme a tali quantità (lancio di dadi, monete, ecc.) Ci sono quantità casuali che possono assumere innumerevoli valori diversi infinitamente vicini (spettro continuo). In questo caso, la seguente caratteristica è caratteristica: la probabilità di un singolo evento, che consiste nel fatto che una variabile casuale assume un valore rigorosamente definito, è pari a zero. Pertanto, ha senso parlare solo della probabilità che una variabile casuale assuma valori situati in un certo intervallo di valori da a

La probabilità di trovare un valore nell'intervallo è indicata come Quando ci si sposta su un intervallo infinitesimo di valori, la probabilità sarà già e le icone indicano che la variabile casuale può assumere valori negli intervalli o, cioè da a o

La nostra risposta

La scelta della scommessa giusta dipende non solo dall'intuizione, dalla conoscenza dello sport, dalle quote del bookmaker, ma anche dal coefficiente di probabilità dell'evento. La capacità di calcolare tale indicatore nelle scommesse è la chiave del successo nel prevedere l'evento imminente su cui si dovrebbe piazzare una scommessa.
Nei bookmaker esistono tre tipi di quote (maggiori dettagli nell'articolo), il cui tipo determina come calcolare la probabilità di un evento per un giocatore.

Quote decimali

In questo caso la probabilità di un evento si calcola utilizzando la formula: 1/coefficiente. = v.i, dove coefficiente. è il coefficiente dell'evento e v.i è la probabilità del risultato. Ad esempio, prendiamo una quota evento di 1,80 con una scommessa di un dollaro, eseguendo un'operazione matematica secondo la formula, il giocatore riceve che la probabilità del risultato dell'evento secondo il bookmaker è dello 0,55%.

Quote frazionarie

Quando si utilizzano quote frazionarie, la formula per calcolare la probabilità sarà diversa. Quindi, con un coefficiente di 7/2, dove la prima cifra indica il possibile ammontare del profitto netto e la seconda l'entità della scommessa richiesta per ottenere questo profitto, l'equazione sarà simile a questa: zn.od/ per la somma di zn.od e chs.od = v.i . Qui zn.coef è il denominatore del coefficiente, chs.coef è il numeratore del coefficiente, v.i è la probabilità del risultato. Pertanto, per una quota frazionaria di 7/2, l'equazione appare come 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, quindi, secondo il bookmaker, la probabilità del risultato dell'evento è dello 0,22%.

Probabilità americane

Le quote americane non sono molto popolari tra i giocatori e, di regola, vengono utilizzate esclusivamente negli Stati Uniti, avendo una struttura complessa e confusa. Per rispondere alla domanda: "Come calcolare la probabilità di un evento in questo modo?", è necessario sapere che tali coefficienti possono essere negativi e positivi.

Un coefficiente con il segno "-", ad esempio -150, mostra che il giocatore deve piazzare una scommessa di $150 per ricevere un profitto netto di $100. La probabilità di un evento viene calcolata in base alla formula in cui è necessario dividere il coefficiente negativo per la somma del coefficiente negativo e 100. Sembra di usare l'esempio di una scommessa di -150, quindi (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, dove 0,6 è moltiplicato per 100 e la probabilità di esito dell'evento è del 60%. La stessa formula è adatta anche per le quote americane positive.

“Gli incidenti non sono casuali”… Sembra una frase di un filosofo, ma in realtà lo studio della casualità è il destino della grande scienza della matematica. In matematica il caso è trattato dalla teoria della probabilità. Formule ed esempi di compiti, nonché le principali definizioni di questa scienza saranno presentati nell'articolo.

Cos'è la teoria della probabilità?

La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia gli eventi casuali.

Per renderlo un po' più chiaro, facciamo un piccolo esempio: se lanci una moneta, questa può cadere su testa o croce. Mentre la moneta è in aria, entrambe queste probabilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze è 1:1. Se ne viene estratta una da un mazzo di 36 carte, la probabilità sarà indicata come 1:36. Sembrerebbe che qui non ci sia nulla da esplorare e prevedere, soprattutto con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se ripeti una determinata azione molte volte, puoi identificare un determinato schema e, in base ad esso, prevedere l'esito degli eventi in altre condizioni.

Per riassumere tutto quanto sopra, la teoria della probabilità in senso classico studia la possibilità che si verifichi uno dei possibili eventi in un valore numerico.

Dalle pagine della storia

La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei primi compiti apparvero nel lontano Medioevo, quando sorsero i primi tentativi di prevedere l'esito dei giochi di carte.

Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla a che fare con la matematica. Era giustificato da fatti empirici o proprietà di un evento che poteva essere riprodotto nella pratica. I primi lavori in quest'area come disciplina matematica apparvero nel XVII secolo. I fondatori furono Blaise Pascal e Pierre Fermat. Hanno studiato a lungo il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni schemi, di cui hanno deciso di parlare al pubblico.

La stessa tecnica fu inventata da Christiaan Huygens, sebbene non avesse familiarità con i risultati delle ricerche di Pascal e Fermat. Da lui furono introdotti il ​​concetto di “teoria della probabilità”, formule ed esempi considerati i primi nella storia della disciplina.

Di non poca importanza sono anche i lavori di Jacob Bernoulli, i teoremi di Laplace e di Poisson. Hanno reso la teoria della probabilità più simile a una disciplina matematica. La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei compiti fondamentali hanno ricevuto la loro forma attuale grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutti i cambiamenti, la teoria della probabilità divenne uno dei rami della matematica.

Concetti di base della teoria della probabilità. Eventi

Il concetto principale di questa disciplina è “evento”. Esistono tre tipologie di eventi:

• Affidabile. Quelle che accadranno comunque (la moneta cadrà).
• Impossibile. Eventi che non accadranno in nessun caso (la moneta resterà sospesa in aria).
• Casuale. Quelli che accadranno o non accadranno. Possono essere influenzati da vari fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora ci sono fattori casuali che possono influenzare il risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la sua posizione originale, la forza del lancio, ecc.

Tutti gli eventi negli esempi sono indicati in lettere latine maiuscole, ad eccezione della P, che ha un ruolo diverso. Per esempio:

• A = “gli studenti sono venuti a lezione”.
• Ā = “gli studenti non sono venuti alla lezione”.

Nei compiti pratici, gli eventi vengono solitamente scritti in parole.

Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è la loro pari possibilità. Cioè, se lanci una moneta, tutte le varianti della caduta iniziale sono possibili finché non cade. Ma anche gli eventi non sono ugualmente possibili. Ciò accade quando qualcuno influenza deliberatamente un risultato. Ad esempio, carte da gioco o dadi “segnati”, in cui il baricentro viene spostato.

Gli eventi possono anche essere compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non si escludono a vicenda. Per esempio:

• A = “lo studente è venuto alla lezione”.
• B = “lo studente è venuto a lezione”.

Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e il verificarsi di uno di essi non influisce sul verificarsi dell'altro. Gli eventi incompatibili sono definiti dal fatto che il verificarsi di uno esclude il verificarsi di un altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita di "croce" rende impossibile la comparsa di "teste" nello stesso esperimento.

Azioni sugli eventi

Gli eventi possono essere moltiplicati e sommati; di conseguenza nella disciplina vengono introdotti i connettivi logici “AND” e “OR”.

L'importo è determinato dal fatto che l'evento A o B, o due, possono verificarsi contemporaneamente. Se sono incompatibili, l’ultima opzione è impossibile; verrà lanciato A o B.

La moltiplicazione degli eventi consiste nella comparsa contemporanea di A e B.

Ora possiamo fare diversi esempi per ricordare meglio le nozioni di base, la teoria della probabilità e le formule. Esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Esercizio 1: L'impresa partecipa ad un concorso per aggiudicarsi appalti per tre tipologie di lavori. Possibili eventi che potrebbero verificarsi:

• A = “l’impresa riceverà il primo contratto”.
• A 1 = “l’impresa non riceverà il primo contratto”.
• B = “l’impresa riceverà un secondo contratto”.
• B 1 = “l’impresa non riceverà un secondo contratto”
• C = “l’impresa riceverà un terzo contratto”.
• C 1 = “l’impresa non riceverà un terzo contratto”.

Utilizzando le azioni sugli eventi, proveremo a esprimere le seguenti situazioni:

• K = “l’azienda riceverà tutti i contratti”.

In forma matematica, l'equazione avrà la seguente forma: K = ABC.

• M = “l’azienda non riceverà un solo contratto”.

M = UN1B1C1.

Complichiamo il compito: H = “l’azienda riceverà un contratto”. Poiché non è noto quale contratto riceverà l’impresa (primo, secondo o terzo), è necessario registrare tutta la serie di eventi possibili:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

E 1 BC 1 è una serie di eventi in cui l'impresa non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Altri possibili eventi sono stati registrati utilizzando la metodologia appropriata. Il simbolo υ nella disciplina denota il connettivo “OR”. Se traduciamo l'esempio sopra in linguaggio umano, l'azienda riceverà il terzo contratto, oppure il secondo, oppure il primo. In modo simile potete annotare altre condizioni nella disciplina “Teoria della probabilità”. Le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi presentati sopra ti aiuteranno a farlo da solo.

Anzi, la probabilità

Forse, in questa disciplina matematica, la probabilità di un evento è il concetto centrale. Esistono 3 definizioni di probabilità:

• classico;
• statistico;
• geometrico.

Ciascuno ha il suo posto nello studio della probabilità. Teoria della probabilità, formule ed esempi (9° grado) utilizzano principalmente la definizione classica, che suona così:

• La probabilità della situazione A è uguale al rapporto tra il numero di risultati che favoriscono il suo verificarsi e il numero di tutti i possibili risultati.

La formula è questa: P(A)=m/n.

A è in realtà un evento. Se appare un caso opposto ad A, può essere scritto come  o A 1 .

m è il numero di possibili casi favorevoli.

n - tutti gli eventi che possono accadere.

Ad esempio, A = “pesca una carta del seme di cuore”. Ci sono 36 carte in un mazzo standard, 9 delle quali sono di cuori. Di conseguenza, la formula per risolvere il problema sarà simile a:

P(A)=9/36=0,25.

Di conseguenza, la probabilità che una carta del seme di cuore venga estratta dal mazzo sarà 0,25.

Verso la matematica superiore

Ora è diventato poco noto quale sia la teoria della probabilità, formule ed esempi di risoluzione dei problemi che si incontrano nel curriculum scolastico. Tuttavia, la teoria della probabilità si trova anche nella matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso operano con definizioni geometriche e statistiche della teoria e formule complesse.

La teoria della probabilità è molto interessante. È meglio iniziare a studiare formule ed esempi (matematica superiore) in piccolo - con la definizione statistica (o frequenza) di probabilità.

L’approccio statistico non contraddice quello classico, ma lo amplia leggermente. Se nel primo caso era necessario determinare con quale probabilità si verificherà un evento, in questo metodo è necessario indicare quanto spesso si verificherà. Qui viene introdotto un nuovo concetto di “frequenza relativa”, che può essere denotato con W n (A). La formula non è diversa da quella classica:

Se per la previsione viene calcolata la formula classica, quella statistica viene calcolata in base ai risultati dell'esperimento. Prendiamo ad esempio un piccolo compito.

Il reparto di controllo tecnologico controlla la qualità dei prodotti. Su 100 prodotti, 3 sono risultati di scarsa qualità. Come trovare la probabilità di frequenza di un prodotto di qualità?

A = “l’aspetto di un prodotto di qualità”.

Wn(A)=97/100=0,97

Pertanto, la frequenza di un prodotto di qualità è 0,97. Da dove hai preso 97? Su 100 prodotti controllati, 3 sono risultati di scarsa qualità. Sottraiamo 3 da 100 e otteniamo 97, questa è la quantità di beni di qualità.

Un po' di combinatoria

Un altro metodo della teoria della probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio di base è che se una certa scelta A può essere fatta in m modi diversi, e una scelta B può essere fatta in n modi diversi, allora la scelta di A e B può essere fatta mediante moltiplicazione.

Ad esempio, ci sono 5 strade che portano dalla città A alla città B. Ci sono 4 percorsi dalla città B alla città C. In quanti modi è possibile andare dalla città A alla città C?

È semplice: 5x4=20, cioè in venti modi diversi puoi andare dal punto A al punto C.

Complichiamo il compito. Quanti modi ci sono per disporre le carte in solitario? Ci sono 36 carte nel mazzo: questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di percorsi è necessario “sottrarre” una carta alla volta dal punto di partenza e moltiplicare.

Cioè, 36x35x34x33x32...x2x1= il risultato non entra nello schermo della calcolatrice, quindi può essere semplicemente designato 36!. Cartello "!" accanto al numero indica che l'intera serie di numeri viene moltiplicata insieme.

In combinatoria ci sono concetti come permutazione, posizionamento e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.

Un insieme ordinato di elementi di un insieme è detto disposizione. I posizionamenti possono essere ripetuti, ovvero un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizione, quando gli elementi non si ripetono. n sono tutti gli elementi, m sono gli elementi che partecipano al posizionamento. La formula per il posizionamento senza ripetizione sarà simile a:

Anm =n!/(nm)!

Le connessioni di n elementi che differiscono solo nell'ordine di posizionamento si chiamano permutazioni. In matematica sembra: P n = n!

Le combinazioni di n elementi di m sono quei composti in cui è importante quali elementi fossero e quale sia il loro numero totale. La formula sarà simile a:

A n m = n!/m!(n-m)!

La formula di Bernoulli

Nella teoria della probabilità, come in ogni disciplina, ci sono lavori di ricercatori eccezionali nel loro campo che l'hanno portata a un nuovo livello. Uno di questi lavori è la formula di Bernoulli, che consente di determinare la probabilità che un determinato evento si verifichi in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che il verificarsi di A in un esperimento non dipende dal verificarsi o meno dello stesso evento in prove precedenti o successive.

Equazione di Bernoulli:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

La probabilità (p) del verificarsi dell'evento (A) è costante per ciascuna prova. La probabilità che la situazione si verifichi esattamente m volte in n numero di esperimenti sarà calcolata con la formula presentata sopra. Di conseguenza, sorge la domanda su come scoprire il numero q.

Se l'evento A si verifica p numero di volte, di conseguenza, potrebbe non verificarsi. L'unità è un numero utilizzato per designare tutti i risultati di una situazione in una disciplina. Pertanto, q è un numero che denota la possibilità che un evento non si verifichi.

Ora conosci la formula di Bernoulli (teoria della probabilità). Considereremo di seguito esempi di risoluzione dei problemi (primo livello).

Compito 2: Un visitatore del negozio effettuerà un acquisto con probabilità 0,2. 6 visitatori sono entrati in modo indipendente nel negozio. Qual è la probabilità che un visitatore effettui un acquisto?

Soluzione: poiché non è noto quanti visitatori dovrebbero effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.

A = “il visitatore effettuerà un acquisto”.

In questo caso: p = 0,2 (come indicato nel compito). Di conseguenza, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (poiché ci sono 6 clienti nel negozio). Il numero m varierà da 0 (nessun singolo cliente effettuerà un acquisto) a 6 (tutti i visitatori del negozio acquisteranno qualcosa). Di conseguenza, otteniamo la soluzione:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nessuno degli acquirenti effettuerà un acquisto con probabilità 0,2621.

In quale altro modo viene utilizzata la formula di Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di risoluzione dei problemi (secondo livello) di seguito.

Dopo l'esempio sopra, sorgono domande su dove sono finiti C e r. Rispetto a p, un numero elevato a 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato con la formula:

Cnm = n! /m!(nm)!

Poiché nel primo esempio m = 0, rispettivamente, C = 1, il che in linea di principio non influisce sul risultato. Utilizzando la nuova formula, proviamo a scoprire qual è la probabilità che due visitatori acquistino beni.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoria della probabilità non è così complicata. La formula di Bernoulli, di cui sopra sono presentati esempi, ne è una prova diretta.

La formula di Poisson

L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni casuali a bassa probabilità.

Formula di base:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

In questo caso λ = n x p. Ecco una semplice formula di Poisson (teoria della probabilità). Considereremo esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Compito 3: La fabbrica ha prodotto 100.000 parti. Presenza di una parte difettosa = 0,0001. Qual è la probabilità che ci siano 5 parti difettose in un lotto?

Come puoi vedere, il matrimonio è un evento improbabile e quindi per il calcolo viene utilizzata la formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione di problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina; sostituiamo i dati necessari nella formula data:

A = “una parte selezionata a caso sarà difettosa”.

p = 0,0001 (in base alle condizioni del compito).

n = 100000 (numero di parti).

m = 5 (parti difettose). Sostituiamo i dati nella formula e otteniamo:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Proprio come la formula di Bernoulli (teoria della probabilità), di cui sopra sono scritti esempi di soluzioni, l'equazione di Poisson ha un'incognita e, infatti può essere trovata con la formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tuttavia, esistono tabelle speciali che contengono quasi tutti i valori di e.

Teorema di De Moivre-Laplace

Se nello schema Bernoulli il numero di prove è sufficientemente grande, e la probabilità che si verifichi l’evento A in tutti gli schemi è la stessa, allora la probabilità che l’evento A si verifichi un certo numero di volte in una serie di prove può essere trovata da Formula di Laplace:

Ð n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Per ricordare meglio la formula di Laplace (teoria della probabilità), di seguito sono riportati esempi di problemi per aiutare.

Per prima cosa troviamo X m, sostituiamo i dati (sono tutti elencati sopra) nella formula e otteniamo 0,025. Utilizzando le tabelle, troviamo il numero ϕ(0,025), il cui valore è 0,3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:

P800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pertanto, la probabilità che il volantino funzioni esattamente 267 volte è 0,03.

Formula di Bayes

La formula di Bayes (teoria della probabilità), esempi di risoluzione dei problemi con l'aiuto dei quali verranno forniti di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento in base alle circostanze che potrebbero essere associate ad esso. La formula di base è la seguente:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A e B sono eventi definiti.

P(A|B) è una probabilità condizionata, ovvero l'evento A può verificarsi a condizione che l'evento B sia vero.

P (B|A) - probabilità condizionata dell'evento B.

Quindi, la parte finale del breve corso "Teoria della probabilità" è la formula di Bayes, esempi di soluzioni ai problemi con i quali sono riportati di seguito.

Compito 5: Sono stati portati al magazzino i telefoni di tre società. Allo stesso tempo, la quota di telefoni prodotti nel primo stabilimento è del 25%, nel secondo - 60%, nel terzo - 15%. È anche noto che la percentuale media di prodotti difettosi nel primo stabilimento è del 2%, nel secondo del 4% e nel terzo dell'1%. Devi trovare la probabilità che un telefono selezionato a caso sia difettoso.

A = "telefono scelto a caso".

B 1 - il telefono prodotto dalla prima fabbrica. Di conseguenza, appariranno le introduzioni B 2 e B 3 (per la seconda e la terza fabbrica).

Di conseguenza otteniamo:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - quindi abbiamo trovato la probabilità di ciascuna opzione.

Ora devi trovare le probabilità condizionali dell'evento desiderato, ovvero la probabilità di prodotti difettosi nelle aziende:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Ora sostituiamo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:

P(A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

L'articolo presenta la teoria della probabilità, formule ed esempi di problem solving, ma questa è solo la punta dell'iceberg di una vasta disciplina. E dopo tutto quello che è stato scritto, sarà logico chiedersi se la teoria della probabilità sia necessaria nella vita. È difficile rispondere per una persona comune; è meglio chiedere a qualcuno che lo ha utilizzato per vincere il jackpot più di una volta.

Probabilità L'evento è il rapporto tra il numero di risultati elementari favorevoli a un dato evento e il numero di tutti i risultati ugualmente possibili dell'esperienza in cui questo evento può verificarsi. La probabilità dell'evento A è indicata con P(A) (qui P è la prima lettera della parola francese probabilite - probabilità). Secondo la definizione
(1.2.1)
dove è il numero di esiti elementari favorevoli all'evento A; - il numero di tutti i risultati elementari ugualmente possibili dell'esperimento, formando un gruppo completo di eventi.
Questa definizione di probabilità è chiamata classica. È sorto nella fase iniziale dello sviluppo della teoria della probabilità.

La probabilità di un evento ha le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno. Indichiamo un evento affidabile con la lettera . Per un certo evento, quindi
(1.2.2)
2. La probabilità di un evento impossibile è zero. Indichiamo un evento impossibile con la lettera . Per un evento impossibile, quindi
(1.2.3)
3. La probabilità di un evento casuale è espressa come un numero positivo inferiore a uno. Poiché per un evento casuale le disuguaglianze , o , sono allora soddisfatte
(1.2.4)
4. La probabilità di qualsiasi evento soddisfa le disuguaglianze
(1.2.5)
Ciò segue dalle relazioni (1.2.2) - (1.2.4).

Esempio 1. Un'urna contiene 10 palline di uguale dimensione e peso, di cui 4 rosse e 6 blu. Si estrae una pallina dall'urna. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia blu?

Soluzione. Indichiamo con la lettera A l'evento “la pallina estratta si è rivelata blu”. Questo test ha 10 esiti elementari ugualmente possibili, di cui 6 favoriscono l'evento A. Secondo la formula (1.2.1), otteniamo

Esempio 2. Tutti i numeri naturali da 1 a 30 vengono scritti su carte identiche e posti in un'urna. Dopo aver mescolato accuratamente le carte, una carta viene rimossa dall'urna. Qual è la probabilità che il numero sulla carta presa sia un multiplo di 5?

Soluzione. Indichiamo con A l'evento “il numero sulla carta presa è un multiplo di 5”. In questo test ci sono 30 esiti elementari ugualmente possibili, di cui l'evento A è favorito da 6 esiti (i numeri 5, 10, 15, 20, 25, 30). Quindi,

Esempio 3. Si lanciano due dadi e si calcola la somma dei punti sulle facce superiori. Trova la probabilità dell'evento B tale che le facce superiori del dado abbiano un totale di 9 punti.

Soluzione. In questo test ci sono solo 6 2 = 36 risultati elementari ugualmente possibili. L'evento B è favorito da 4 esiti: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), quindi

Esempio 4. Si sceglie a caso un numero naturale non maggiore di 10. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?

Soluzione. Indichiamo con la lettera C l'evento “il numero scelto è primo”. In questo caso, n = 10, m = 4 (numeri primi 2, 3, 5, 7). Pertanto, la probabilità richiesta

Esempio 5. Vengono lanciate due monete simmetriche. Qual è la probabilità che sul lato superiore di entrambe le monete ci siano dei numeri?

Soluzione. Indichiamo con la lettera D l'evento “c'è un numero sul lato superiore di ogni moneta”. In questo test ci sono 4 risultati elementari ugualmente possibili: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notazione (G, C) significa che la prima moneta ha uno stemma, la seconda un numero). L'evento D è favorito da un risultato elementare (C, C). Poiché m = 1, n = 4, allora

Esempio 6. Qual è la probabilità che un numero di due cifre scelto a caso abbia le stesse cifre?

Soluzione. I numeri a due cifre sono i numeri da 10 a 99; In totale ce ne sono 90. 9 numeri hanno cifre identiche (questi sono i numeri 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Poiché in questo caso m = 9, n = 90, allora
,
dove A è l'evento “numero con cifre identiche”.

Esempio 7. Dalle lettere della parola differenziale Una lettera viene scelta a caso. Qual è la probabilità che questa lettera sia: a) una vocale, b) una consonante, c) una lettera H?

Soluzione. La parola differenziale ha 12 lettere, di cui 5 vocali e 7 consonanti. Lettere H non c'è nulla in questa parola. Denotiamo gli eventi: A - "lettera vocale", B - "lettera consonante", C - "lettera". H". Il numero di esiti elementari favorevoli: - per l'evento A, - per l'evento B, - per l'evento C. Poiché n = 12, allora
, E .

Esempio 8. Vengono lanciati due dadi e viene annotato il numero di punti sulla parte superiore di ciascun dado. Trova la probabilità che entrambi i dadi mostrino lo stesso numero di punti.

Soluzione. Indichiamo questo evento con la lettera A. L'evento A è favorito da 6 esiti elementari: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Il numero totale di risultati elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi, in questo caso n=6 2 =36. Ciò significa che la probabilità richiesta

Esempio 9. Il libro ha 300 pagine. Qual è la probabilità che una pagina aperta a caso abbia un numero seriale divisibile per 5?

Soluzione. Dalle condizioni del problema segue che tutti i risultati elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi saranno n = 300. Di questi, m = 60 favoriscono il verificarsi dell'evento specificato. Infatti, un numero multiplo di 5 ha la forma 5k, dove k è un numero naturale, e , da cui . Quindi,
, dove A - l'evento “pagina” ha un numero di sequenza che è un multiplo di 5".

Esempio 10. Si lanciano due dadi e si calcola la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 7 o 8?

Soluzione. Indichiamo gli eventi: A - “7 punti vengono lanciati”, B – “8 punti vengono lanciati”. L'evento A è favorito da 6 esiti elementari: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), e l'evento B è favorito per 5 esiti: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Tutti i risultati elementari ugualmente possibili sono n = 6 2 = 36. Quindi, E .

Quindi, P(A)>P(B), cioè ottenere un totale di 7 punti è un evento più probabile che ottenere un totale di 8 punti.

Compiti

1. Si sceglie a caso un numero naturale non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia multiplo di 3?
2. Nell'urna UN rosso e B palline blu, identiche per dimensioni e peso. Qual è la probabilità che la pallina estratta a caso da questa urna sia blu?
3. Si sceglie a caso un numero non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia un divisore di 30?
4. Nell'urna UN blu e B palline rosse, identiche per dimensioni e peso. Si prende una pallina da questa urna e la si mette da parte. Questa palla si è rivelata rossa. Successivamente si estrae un'altra pallina dall'urna. Trova la probabilità che anche la seconda pallina sia rossa.
5. Viene scelto a caso un numero nazionale non superiore a 50. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?
6. Si lanciano tre dadi e si calcola la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 9 o 10 punti?
7. Si lanciano tre dadi e si calcola la somma dei punti ottenuti. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 11 (evento A) o 12 punti (evento B)?

Risposte

1. 1/3. 2 . B/(UN+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(UN+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilità di ottenere 9 punti in totale; p 2 = 27/216 - probabilità di ottenere 10 punti in totale; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Domande

1. Come si chiama la probabilità di un evento?
2. Qual è la probabilità di un evento affidabile?
3. Qual è la probabilità di un evento impossibile?
4. Quali sono i limiti della probabilità di un evento casuale?
5. Quali sono i limiti della probabilità di qualsiasi evento?
6. Quale definizione di probabilità è chiamata classica?

Molti, di fronte al concetto di “teoria della probabilità”, si spaventano, pensando che si tratti di qualcosa di travolgente, di molto complesso. Ma in realtà tutto non è così tragico. Oggi esamineremo i concetti di base e impareremo come risolvere i problemi utilizzando esempi specifici.

La scienza

Che cosa studia una branca della matematica come la “teoria della probabilità”? Nota modelli e quantità. Gli scienziati si interessarono per la prima volta a questo problema già nel diciottesimo secolo, quando studiavano il gioco d'azzardo. Il concetto base della teoria della probabilità è un evento. È qualsiasi fatto stabilito dall'esperienza o dall'osservazione. Ma cos’è l’esperienza? Un altro concetto base della teoria della probabilità. Ciò significa che questo insieme di circostanze non è stato creato per caso, ma per uno scopo specifico. Per quanto riguarda l'osservazione, qui il ricercatore stesso non partecipa all'esperimento, ma è semplicemente un testimone di questi eventi, non influenza in alcun modo ciò che sta accadendo.

Eventi

Abbiamo imparato che il concetto base della teoria della probabilità è un evento, ma non ne abbiamo considerato la classificazione. Tutti loro sono suddivisi nelle seguenti categorie:

• Affidabile.
• Impossibile.
• Casuale.

Indipendentemente dal tipo di eventi osservati o creati durante l'esperienza, sono tutti soggetti a questa classificazione. Ti invitiamo a conoscere ciascun tipo separatamente.

Evento affidabile

Questa è una circostanza per la quale è stata adottata la serie di misure necessarie. Per comprenderne meglio l'essenza, è meglio fornire alcuni esempi. La fisica, la chimica, l'economia e la matematica superiore sono soggette a questa legge. La teoria della probabilità include un concetto così importante come un evento affidabile. Ecco alcuni esempi:

• Lavoriamo e riceviamo un compenso sotto forma di salario.
• Abbiamo superato bene gli esami, superato il concorso e per questo riceviamo una ricompensa sotto forma di ammissione a un istituto scolastico.
• Abbiamo investito denaro in banca e, se necessario, lo recupereremo.

Tali eventi sono affidabili. Se avremo soddisfatto tutte le condizioni necessarie, otterremo sicuramente il risultato atteso.

Eventi impossibili

Consideriamo ora gli elementi della teoria della probabilità. Proponiamo di passare alla spiegazione del prossimo tipo di evento, vale a dire l'impossibile. Per prima cosa stabiliamo la regola più importante: la probabilità di un evento impossibile è zero.

Non si può discostarsi da questa formulazione quando si risolvono i problemi. Per chiarimenti, ecco alcuni esempi di tali eventi:

• L'acqua si è congelata a una temperatura di più dieci (questo è impossibile).
• La mancanza di energia elettrica non pregiudica in alcun modo la produzione (cosa altrettanto impossibile come nell'esempio precedente).

Non vale la pena fornire ulteriori esempi, poiché quelli sopra descritti riflettono molto chiaramente l'essenza di questa categoria. Durante un esperimento non si verificherà mai un evento impossibile in nessuna circostanza.

Eventi casuali

Nello studio degli elementi della teoria della probabilità, particolare attenzione dovrebbe essere prestata a questo particolare tipo di evento. Questo è ciò che studia la scienza. Come risultato dell'esperienza, qualcosa può accadere o meno. Inoltre il test può essere effettuato un numero illimitato di volte. Esempi vividi includono:

• Il lancio di una moneta è un'esperienza o una prova, l'atterraggio di testa è un evento.
• Estrarre alla cieca una pallina dal sacchetto è una prova; prendere una pallina rossa è un evento e così via.

Potrebbe esserci un numero illimitato di tali esempi, ma, in generale, l'essenza dovrebbe essere chiara. Per riassumere e sistematizzare le conoscenze acquisite sugli eventi, viene fornita una tabella. La teoria della probabilità studia solo l'ultimo tipo di tutti quelli presentati.

Legislazione

La teoria della probabilità è una scienza che studia la possibilità che un evento si verifichi. Come gli altri, ha alcune regole. Esistono le seguenti leggi della teoria della probabilità:

• Convergenza di successioni di variabili casuali.
• Legge dei grandi numeri.

Quando calcoli la possibilità di qualcosa di complesso, puoi utilizzare una serie di eventi semplici per ottenere un risultato in modo più semplice e veloce. Si noti che le leggi della teoria della probabilità possono essere facilmente dimostrate utilizzando alcuni teoremi. Ti suggeriamo di conoscere prima la prima legge.

Convergenza di successioni di variabili casuali

Si noti che esistono diversi tipi di convergenza:

• La sequenza di variabili casuali converge in probabilità.
• Quasi impossibile.
• Convergenza quadrata media.
• Convergenza distributiva.

Quindi, a prima vista, è molto difficile capirne l’essenza. Ecco le definizioni che ti aiuteranno a comprendere questo argomento. Cominciamo con la prima vista. La sequenza viene chiamata convergente in probabilità, se è soddisfatta la seguente condizione: n tende all'infinito, il numero a cui tende la sequenza è maggiore di zero e prossimo a uno.

Passiamo alla visualizzazione successiva, quasi certamente. Si dice che la successione converge quasi certamente ad una variabile casuale con n tendente all'infinito e P tendente ad un valore prossimo all'unità.

Il tipo successivo è convergenza quadrata media. Quando si utilizza la convergenza SC, lo studio dei processi casuali vettoriali si riduce allo studio dei loro processi casuali coordinati.

Rimane l'ultima tipologia, vediamola brevemente in modo da poter passare direttamente alla risoluzione dei problemi. La convergenza nella distribuzione ha un altro nome: “debole”, e spiegheremo il perché in seguito. Convergenza deboleè la convergenza delle funzioni di distribuzione in tutti i punti di continuità della funzione di distribuzione limitante.

Manterremo sicuramente la nostra promessa: la convergenza debole differisce da tutto quanto sopra in quanto la variabile casuale non è definita nello spazio delle probabilità. Ciò è possibile perché la condizione si forma esclusivamente utilizzando le funzioni di distribuzione.

Legge dei grandi numeri

Teoremi della teoria della probabilità, come:

• La disuguaglianza di Chebyshev.
• Il teorema di Chebyshev.
• Teorema generalizzato di Chebyshev.
• Il teorema di Markov.

Se consideriamo tutti questi teoremi, questa domanda potrebbe trascinarsi per diverse dozzine di fogli. Il nostro compito principale è applicare la teoria della probabilità nella pratica. Ti suggeriamo di farlo adesso. Ma prima diamo un’occhiata agli assiomi della teoria della probabilità: saranno i principali assistenti nella risoluzione dei problemi.

Assiomi

Il primo lo abbiamo già incontrato parlando di un evento impossibile. Ricordiamolo: la probabilità di un evento impossibile è zero. Abbiamo fornito un esempio molto vivido e memorabile: la neve cadeva ad una temperatura dell'aria di trenta gradi Celsius.

La seconda è la seguente: un evento affidabile si verifica con una probabilità pari a uno. Ora mostreremo come scriverlo usando il linguaggio matematico: P(B)=1.

Terzo: un evento casuale può verificarsi o meno, ma la possibilità varia sempre da zero a uno. Più il valore è vicino a uno, maggiori sono le possibilità; se il valore si avvicina allo zero, la probabilità è molto bassa. Scriviamolo in linguaggio matematico: 0<Р(С)<1.

Consideriamo l'ultimo, quarto assioma, che suona così: la probabilità della somma di due eventi è uguale alla somma delle loro probabilità. Lo scriviamo in linguaggio matematico: P(A+B)=P(A)+P(B).

Gli assiomi della teoria della probabilità sono le regole più semplici che non sono difficili da ricordare. Proviamo a risolvere alcuni problemi basandoci sulle conoscenze che abbiamo già acquisito.

Biglietto della lotteria

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'esempio più semplice: una lotteria. Immagina di aver acquistato un biglietto della lotteria come portafortuna. Qual è la probabilità di vincere almeno venti rubli? In totale partecipano alla circolazione un migliaio di biglietti, uno dei quali ha un premio di cinquecento rubli, dieci hanno un premio di cento rubli ciascuno, cinquanta hanno un premio di venti rubli e cento hanno un premio di cinque. I problemi di probabilità si basano sulla ricerca della possibilità di fortuna. Ora insieme analizzeremo la soluzione al compito di cui sopra.

Se usiamo la lettera A per indicare una vincita di cinquecento rubli, la probabilità di ottenere A sarà pari a 0,001. Come abbiamo ottenuto questo? Ti basterà dividere il numero dei biglietti “fortunati” per il loro numero totale (in questo caso: 1/1000).

B è una vincita di cento rubli, la probabilità sarà 0,01. Ora abbiamo agito secondo lo stesso principio dell'azione precedente (10/1000)

C - la vincita è di venti rubli. Troviamo la probabilità, è pari a 0,05.

Non siamo interessati ai biglietti rimanenti, poiché il loro montepremi è inferiore a quello specificato nelle condizioni. Applichiamo il quarto assioma: la probabilità di vincere almeno venti rubli è P(A)+P(B)+P(C). La lettera P indica la probabilità che si verifichi un dato evento; le abbiamo già riscontrate in azioni precedenti. Non resta che sommare i dati necessari e la risposta che otteniamo è 0,061. Questo numero sarà la risposta alla domanda sull'attività.

Mazzo di carte

I problemi nella teoria della probabilità possono essere più complessi; ad esempio, prendiamo il seguente compito. Di fronte a te c'è un mazzo di trentasei carte. Il tuo compito è pescare due carte di seguito senza mescolare la pila, la prima e la seconda carta devono essere assi, il seme non ha importanza.

Per prima cosa troviamo la probabilità che la prima carta sia un asso, per questo dividiamo quattro per trentasei. Lo hanno messo da parte. Tiriamo fuori la seconda carta, sarà un asso con una probabilità di tre trentacinquesimi. La probabilità del secondo evento dipende da quale carta abbiamo pescato per prima, ci chiediamo se fosse un asso oppure no. Ne consegue che l’evento B dipende dall’evento A.

Il passo successivo è trovare la probabilità di accadimento simultaneo, cioè moltiplichiamo A e B. Il loro prodotto si trova come segue: moltiplichiamo la probabilità di un evento per la probabilità condizionata di un altro, che calcoliamo, assumendo che il primo si è verificato l'evento, ovvero abbiamo pescato un asso con la prima carta.

Per rendere tutto più chiaro, diamo una designazione a un elemento come eventi. Viene calcolato assumendo che si sia verificato l'evento A. Si calcola come segue: P(B/A).

Continuiamo a risolvere il nostro problema: P(A * B) = P(A) * P(B/A) oppure P(A * B) = P(B) * P(A/B). La probabilità è pari a (4/36) * ((3/35)/(4/36). Calcoliamo arrotondando al centesimo più vicino. Abbiamo: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 La probabilità che estraiamo due assi di seguito è di nove centesimi, il valore è molto piccolo, ne consegue che la probabilità che l'evento si verifichi è estremamente piccola.

Numero dimenticato

Proponiamo di analizzare molte altre varianti di compiti studiati dalla teoria della probabilità. Hai già visto esempi di risoluzione di alcuni di essi in questo articolo, proviamo a risolvere il seguente problema: il ragazzo ha dimenticato l'ultima cifra del numero di telefono del suo amico, ma poiché la chiamata era molto importante, ha iniziato a comporre tutto uno per uno . Dobbiamo calcolare la probabilità che chiami non più di tre volte. La soluzione al problema è più semplice se si conoscono le regole, le leggi e gli assiomi della teoria della probabilità.

Prima di guardare la soluzione, prova a risolverla da solo. Sappiamo che l'ultima cifra può variare da zero a nove, ovvero dieci valori in totale. La probabilità di ottenere quello giusto è 1/10.

Successivamente, dobbiamo considerare le opzioni per l'origine dell'evento, supponiamo che il ragazzo abbia indovinato e abbia immediatamente digitato quello giusto, la probabilità di un tale evento è 1/10. Seconda opzione: la prima chiamata fallisce e la seconda va a segno. Calcoliamo la probabilità di un tale evento: moltiplichiamo 9/10 per 1/9 e di conseguenza otteniamo anche 1/10. La terza opzione: la prima e la seconda chiamata si sono rivelate all'indirizzo sbagliato, solo con la terza il ragazzo è arrivato dove voleva. Calcoliamo la probabilità di un tale evento: 9/10 moltiplicato per 8/9 e 1/8, ottenendo 1/10. Non ci interessano altre opzioni a seconda delle condizioni del problema, quindi non ci resta che sommare i risultati ottenuti, alla fine abbiamo 3/10. Risposta: la probabilità che il ragazzo chiami non più di tre volte è 0,3.

Carte con numeri

Ci sono nove carte davanti a te, su ciascuna delle quali è scritto un numero da uno a nove, i numeri non si ripetono. Sono stati messi in una scatola e mescolati accuratamente. Devi calcolare la probabilità che

• apparirà un numero pari;
• due cifre.

Prima di passare alla soluzione, stabiliamo che m sia il numero di casi riusciti e n sia il numero totale di opzioni. Troviamo la probabilità che il numero sia pari. Non sarà difficile calcolare che ci sono quattro numeri pari, questo sarà il nostro m, ci sono nove opzioni possibili in totale, cioè m=9. Quindi la probabilità è 0,44 o 4/9.

Consideriamo il secondo caso: il numero di opzioni è nove e non possono esserci risultati positivi, ovvero m è uguale a zero. Anche la probabilità che la carta estratta contenga un numero a due cifre è pari a zero.