Moltiplicazione dei numeri negativi. Regole per moltiplicare i numeri negativi

29.09.2019

In questo articolo formuleremo la regola per moltiplicare i numeri negativi e ne daremo una spiegazione. Il processo di moltiplicazione dei numeri negativi verrà discusso in dettaglio. Gli esempi mostrano tutti i casi possibili.

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Moltiplicazione dei numeri negativi

Definizione 1

Regola per moltiplicare i numeri negativiè che per moltiplicare due numeri negativi è necessario moltiplicare i loro moduli. Questa regola è scritta come segue: per qualsiasi numero negativo – a, - b, questa uguaglianza è considerata vera.

(- a) · (- b) = a · b.

Sopra è riportata la regola per moltiplicare due numeri negativi. Sulla base di ciò dimostriamo l'espressione: (- a) · (- b) = a · b. L'articolo sulla moltiplicazione dei numeri con segni diversi dice che sono valide le uguaglianze a · (- b) = - a · b, così come (- a) · b = - a · b. Ciò deriva dalla proprietà dei numeri opposti, per cui le uguaglianze verranno scritte come segue:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.

Qui puoi vedere chiaramente la dimostrazione della regola per moltiplicare i numeri negativi. Sulla base degli esempi, è chiaro che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. Quando si moltiplicano i moduli dei numeri, il risultato è sempre un numero positivo.

Questa regola è applicabile alla moltiplicazione di numeri reali, numeri razionali e numeri interi.

Ora diamo un'occhiata in dettaglio agli esempi di moltiplicazione di due numeri negativi. Durante il calcolo, è necessario utilizzare la regola scritta sopra.

Esempio 1

Moltiplica i numeri - 3 e - 5.

Soluzione.

Il valore assoluto dei due numeri moltiplicati è uguale ai numeri positivi 3 e 5. Il loro prodotto risulta in 15. Ne consegue che il prodotto dei numeri dati è 15

Scriviamo brevemente la moltiplicazione dei numeri negativi stessi:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Risposta: (- 3) · (- 5) = 15.

Quando si moltiplicano i numeri razionali negativi, utilizzando la regola discussa, è possibile mobilitarsi per moltiplicare le frazioni, moltiplicare i numeri misti, moltiplicare i decimali.

Esempio 2

Calcola il prodotto (- 0 , 125) · (- 6) .

Soluzione.

Usando la regola per moltiplicare i numeri negativi, otteniamo che (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Per ottenere il risultato è necessario moltiplicare la frazione decimale per il numero naturale di colonne. Sembra questo:

Abbiamo scoperto che l'espressione assumerà la forma (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Risposta: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

Nel caso in cui i fattori siano numeri irrazionali, il loro prodotto può essere scritto come espressione numerica. Il valore viene calcolato solo quando necessario.

Esempio 3

È necessario moltiplicare negativo - 2 per il log non negativo 5 1 3.

Soluzione

Trovare i moduli dei numeri indicati:

2 = 2 e log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Seguendo le regole per moltiplicare i numeri negativi, otteniamo il risultato - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Questa espressione è la risposta.

Risposta: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Per continuare a studiare l'argomento, devi ripetere la sezione sulla moltiplicazione dei numeri reali.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

In questo articolo ci occuperemo di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Qui formuliamo prima la regola per moltiplicare un numero positivo e negativo, la giustifichiamo e quindi consideriamo l'applicazione di questa regola durante la risoluzione degli esempi.

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Regola per moltiplicare numeri con segni diversi

La moltiplicazione di un numero positivo per uno negativo, nonché di un numero negativo per uno positivo, viene eseguita come segue la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi: per moltiplicare numeri con segni diversi, è necessario moltiplicare e anteporre un segno meno al prodotto risultante.

Scriviamo questa regola in forma di lettera. Per ogni numero reale positivo a e ogni numero reale negativo −b, l'uguaglianza a·(−b)=−(|a|·|b|) , e anche per un numero negativo −a e un numero positivo b l'uguaglianza (−a)·b=−(|a|·|b|) .

La regola per moltiplicare numeri con segni diversi è pienamente coerente con proprietà delle operazioni con numeri reali. Infatti, sulla base di essi è facile dimostrare che per i numeri reali e positivi aeb esiste una catena di uguaglianze della forma a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, il che dimostra che a·(−b) e a·b sono numeri opposti, il che implica l'uguaglianza a·(−b)=−(a·b) . E da ciò consegue la validità della regola di moltiplicazione in questione.

Va notato che la regola indicata per moltiplicare numeri con segni diversi è valida sia per i numeri reali che per i numeri razionali e per gli interi. Ciò deriva dal fatto che le operazioni con numeri razionali e interi hanno le stesse proprietà utilizzate nella dimostrazione precedente.

È chiaro che moltiplicare numeri con segni diversi secondo la regola risultante si riduce a moltiplicare numeri positivi.

Resta solo da considerare esempi di applicazione della regola di moltiplicazione smontata quando si moltiplicano numeri con segni diversi.

Esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi

Consideriamo diverse soluzioni esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Cominciamo con un caso semplice per concentrarci sui passaggi della regola piuttosto che sulla complessità computazionale.

Esempio.

Moltiplica il numero negativo −4 per il numero positivo 5.

Soluzione.

Secondo la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi, dobbiamo prima moltiplicare i valori assoluti dei fattori originali. Il modulo di −4 è 4, il modulo di 5 è 5 e la moltiplicazione dei numeri naturali 4 e 5 dà 20. Infine, resta da mettere un segno meno davanti al numero risultante, abbiamo −20. Questo completa la moltiplicazione.

In breve, la soluzione può essere scritta come segue: (−4)·5=−(4·5)=−20.

Risposta:

(−4)·5=−20.

Quando si moltiplicano numeri frazionari con segni diversi, è necessario essere in grado di eseguire la moltiplicazione delle frazioni ordinarie, la moltiplicazione delle frazioni decimali e le loro combinazioni con numeri naturali e misti.

Esempio.

Moltiplicare i numeri con segni diversi 0, (2) e .

Soluzione.

Convertendo una frazione decimale periodica in una frazione comune, e anche convertendo da un numero misto a una frazione impropria, dal prodotto originale arriveremo al prodotto delle frazioni ordinarie con diversi segni della forma. Questo prodotto, secondo la regola della moltiplicazione dei numeri con segni diversi, è uguale a . Non resta che moltiplicare le frazioni ordinarie tra parentesi, abbiamo .

In questa lezione esamineremo le regole per sommare numeri positivi e negativi. Impareremo anche come moltiplicare i numeri con segni diversi e apprenderemo le regole dei segni per la moltiplicazione. Diamo un'occhiata ad esempi di moltiplicazione di numeri positivi e negativi.

La proprietà della moltiplicazione per zero rimane vera nel caso dei numeri negativi. Lo zero moltiplicato per qualsiasi numero dà zero.

Bibliografia

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In questo articolo capiremo il processo moltiplicando i numeri negativi. Per prima cosa formuliamo la regola per moltiplicare i numeri negativi e la giustifichiamo. Successivamente passeremo alla risoluzione di esempi tipici.

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Lo annunceremo subito regola per moltiplicare i numeri negativi: Per moltiplicare due numeri negativi, devi moltiplicare i loro valori assoluti.

Scriviamo questa regola usando le lettere: per ogni numero reale negativo −a e −b (in questo caso, i numeri a e b sono positivi), l'uguaglianza (−a)·(−b)=a·b .

Dimostriamo la regola della moltiplicazione dei numeri negativi, ovvero dimostreremo l'uguaglianza (−a)·(−b)=a·b .

Nell'articolo sulla moltiplicazione dei numeri con segni diversi abbiamo giustificato la validità dell'uguaglianza a (−b)=−a b , analogamente si dimostra che (−a) b=−a b . Questi risultati e le proprietà dei numeri opposti ci permettono di scrivere le seguenti uguaglianze (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. Ciò dimostra la regola per moltiplicare i numeri negativi.

Dalla regola di moltiplicazione di cui sopra è chiaro che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. Infatti, poiché il modulo di qualsiasi numero è positivo, anche il prodotto dei moduli è un numero positivo.

Per concludere questo punto, notiamo che la regola discussa può essere utilizzata per moltiplicare numeri reali, razionali e interi.

E' ora di sistemare la cosa esempi di moltiplicazione di due numeri negativi, durante la risoluzione utilizzeremo la regola ottenuta nel paragrafo precedente.

Moltiplica due numeri negativi −3 e −5.

I moduli dei numeri da moltiplicare sono rispettivamente 3 e 5. Il prodotto di questi numeri è 15 (vedi moltiplicazione dei numeri naturali se necessario), quindi il prodotto dei numeri originali è 15.

L'intero processo di moltiplicazione dei numeri negativi iniziali si scrive brevemente come segue: (−3)·(−5)= 3·5=15.

La moltiplicazione dei numeri razionali negativi utilizzando la regola disassemblata può essere ridotta alla moltiplicazione di frazioni ordinarie, moltiplicazione di numeri misti o moltiplicazione di decimali.

Calcola il prodotto (−0,125)·(−6) .

Secondo la regola per moltiplicare i numeri negativi, abbiamo (−0,125)·(−6)=0,125·6. Non resta che finire i calcoli; moltiplicare la frazione decimale per un numero naturale in una colonna:

Infine, si noti che se uno o entrambi i fattori sono numeri irrazionali, espressi sotto forma di radici, logaritmi, potenze, ecc., spesso il loro prodotto deve essere scritto come espressione numerica. Il valore dell'espressione risultante viene calcolato solo quando necessario.

Moltiplicare un numero negativo per un numero negativo.

Troviamo prima i moduli dei numeri da moltiplicare: e (vedi proprietà del logaritmo). Quindi, secondo la regola della moltiplicazione dei numeri negativi, abbiamo. Il prodotto risultante è la risposta.

Puoi continuare a studiare l'argomento facendo riferimento alla sezione moltiplicando numeri reali.

Con un po' di forzatura, la stessa spiegazione è valida per il prodotto 1-5, se assumiamo che la “somma” provenga da un singolo

il termine è uguale a questo termine. Ma il prodotto 0 5 o (-3) 5 non può essere spiegato in questo modo: cosa significa la somma di zero o meno tre termini?

Tuttavia, puoi riorganizzare i fattori

Se vogliamo che il prodotto non cambi quando i fattori vengono riorganizzati - come nel caso dei numeri positivi - allora dobbiamo supporre che

Passiamo ora al prodotto (-3) (-5). Quanto equivale a: -15 o +15? Entrambe le opzioni hanno una ragione. Da un lato, il segno meno di un fattore rende già il prodotto negativo, tanto più che dovrebbe essere negativo se entrambi i fattori sono negativi. D'altra parte, nella tabella. 7 ha già due meno, ma solo un più, e “in tutta onestà” (-3)-(-5) dovrebbe essere uguale a +15. Quindi quale dovresti preferire?

Naturalmente non rimarrete confusi da questi discorsi: dal vostro corso di matematica a scuola avete fermamente imparato che meno con meno dà un più. Ma immagina che tuo fratello o tua sorella minore ti chieda: perché? Cos'è questo: il capriccio di un insegnante, un ordine delle autorità superiori o un teorema che può essere dimostrato?

Di solito la regola per moltiplicare i numeri negativi viene spiegata con esempi come quello presentato nella tabella. 8.

Può essere spiegato diversamente. Scriviamo i numeri in fila

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Ora scriviamo gli stessi numeri moltiplicati per 3:

È facile vedere che ogni numero è 3 in più del precedente, scriviamo ora gli stessi numeri in ordine inverso (iniziando, ad esempio, con 5 e 15):

Allo stesso tempo, il numero -15 si è rivelato sotto il numero -5, quindi 3 (-5) \u003d -15: più per meno dà meno.

Adesso ripetiamo lo stesso procedimento, moltiplicando i numeri 1,2,3,4,5. per -3 (sappiamo già che più per meno dà meno):

Ogni numero successivo della riga inferiore è inferiore a quello precedente di 3. Scriviamo i numeri in ordine inverso

Sotto il numero -5 ce ne sono 15, quindi (-3) (-5) = 15.

Forse queste spiegazioni soddisferebbero tuo fratello o tua sorella minore. Ma hai il diritto di chiederti come stanno realmente le cose ed è possibile dimostrare che (-3) (-5) = 15?

La risposta qui è che si può dimostrare che (-3) (-5) deve essere uguale a 15, se solo vogliamo che le consuete proprietà di addizione, sottrazione e moltiplicazione rimangano vere per tutti i numeri, compresi quelli negativi. Lo schema di questa dimostrazione è il seguente.

Dimostriamo innanzitutto che 3 (-5) = -15. Cos'è -15? Questo è l'opposto di 15, cioè il numero che somma 15 a 0. Dobbiamo quindi dimostrarlo

(Mettendo tra parentesi 3, abbiamo usato la legge distributiva ab + ac = a(b + c) per - dopo tutto, assumiamo che rimanga vera per tutti i numeri, compresi quelli negativi.) Quindi, (Il lettore meticoloso ci chiederà perché? Ammettiamo onestamente: la prova di questo fatto - come la discussione su cosa sia lo zero in generale - la saltiamo.)

Dimostriamo ora che (-3) (-5) = 15. Per fare ciò scriviamo

e moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza per -5:

Apriamo le parentesi sul lato sinistro:

cioè (-3) (-5) + (-15) = 0. Quindi il numero è opposto al numero -15, cioè uguale a 15. (Ci sono anche delle lacune in questo ragionamento: sarebbe necessario dimostrare che e che esiste un solo numero, l'opposto di -15.)

Regole per moltiplicare i numeri negativi

Comprendiamo correttamente la moltiplicazione?

“A e B erano seduti sul tubo. A è caduto, B è scomparso, cosa resta sul tubo?
"La tua lettera I rimane."

(Dal film “Giovani nell’Universo”)

Perché moltiplicando un numero per zero si ottiene zero?

Perché moltiplicando due numeri negativi ottieni un numero positivo?

Gli insegnanti fanno di tutto per dare risposte a queste due domande.

Ma nessuno ha il coraggio di ammettere che ci sono tre errori semantici nella formulazione della moltiplicazione!

È possibile commettere errori nell'aritmetica di base? Dopotutto, la matematica si posiziona come una scienza esatta.

I libri di testo scolastici di matematica non forniscono risposte a queste domande, sostituendo le spiegazioni con una serie di regole da ricordare. Forse questo argomento è considerato difficile da spiegare alle scuole medie? Proviamo a comprendere questi problemi.

7 è il moltiplicando. 3 è il moltiplicatore. 21-lavoro.

Secondo la formulazione ufficiale:

moltiplicare un numero per un altro numero significa aggiungere tanti moltiplicandi quanti ne prescrive il moltiplicatore.

Secondo la formulazione accettata, il fattore 3 ci dice che dovrebbero esserci tre sette sul lato destro dell'uguaglianza.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ma questa formulazione della moltiplicazione non può spiegare le domande poste sopra.

Correggiamo la formulazione della moltiplicazione

Di solito in matematica c'è molto di cui si parla, ma non se ne parla né si scrive.

Questo si riferisce al segno più prima dei primi sette sul lato destro dell'equazione. Scriviamo questo vantaggio.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ma a cosa vengono aggiunti i primi sette? Questo significa zero, ovviamente. Scriviamo zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

E se moltiplichiamo per tre meno sette?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Scriviamo l'addizione del moltiplicando -7, ma in realtà sottraiamo da zero più volte. Apriamo le parentesi.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Ora possiamo dare una formulazione raffinata della moltiplicazione.

La moltiplicazione è il processo di aggiunta ripetuta (o sottrazione da zero) al moltiplicando (-7) tante volte quanto indicato dal moltiplicatore. Il moltiplicatore (3) e il suo segno (+ o -) indicano il numero di operazioni che vengono aggiunte o sottratte da zero.

Utilizzando questa formulazione della moltiplicazione chiarita e leggermente modificata, le “regole dei segni” per la moltiplicazione quando il moltiplicatore è negativo sono facilmente spiegate.

7 * (-3) - devono esserci tre segni meno dopo lo zero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - ancora una volta dovrebbero esserci tre segni meno dopo lo zero =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Moltiplicare per zero

7 * 0 = 0 + . non ci sono operazioni di addizione a zero.

Se la moltiplicazione è un'addizione a zero e il moltiplicatore mostra il numero di operazioni di addizione a zero, allora il moltiplicatore zero mostra che nulla viene aggiunto a zero. Ecco perché rimane zero.

Quindi, nella formulazione esistente della moltiplicazione, abbiamo trovato tre errori semantici che impediscono la comprensione delle due “regole dei segni” (quando il moltiplicatore è negativo) e la moltiplicazione di un numero per zero.

Non è necessario sommare il moltiplicando, ma sommarlo a zero.
La moltiplicazione non è solo sommare a zero, ma anche sottrarre da zero.
Il moltiplicatore e il suo segno non mostrano il numero di termini, ma il numero di segni più o meno quando si scompone la moltiplicazione in termini (o sottratti).

Avendo un po' chiarito la formulazione, siamo riusciti a spiegare le regole dei segni per la moltiplicazione e la moltiplicazione di un numero per zero senza l'aiuto della legge commutativa della moltiplicazione, senza la legge distributiva, senza implicare analogie con la linea numerica, senza equazioni , senza prova dell'inverso, ecc.

Le regole dei segni per la formulazione raffinata della moltiplicazione si ottengono in modo molto semplice.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Il moltiplicatore e il suo segno (+3 o -3) indicano il numero di segni “+” o “-” sul lato destro dell'equazione.

La formulazione modificata della moltiplicazione corrisponde all'operazione di elevare un numero a potenza.

2^0 = 1 (uno non viene moltiplicato o diviso per nulla, quindi rimane uno)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

I matematici concordano sul fatto che elevare un numero a una potenza positiva significa moltiplicarne uno ancora e ancora. Elevare un numero a una potenza negativa equivale a dividere uno più volte.

L'operazione di moltiplicazione dovrebbe essere simile all'operazione di esponenziazione.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (nulla viene aggiunto a zero e nulla viene sottratto da zero)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

La formulazione modificata della moltiplicazione non cambia nulla in matematica, ma restituisce il significato originale dell'operazione di moltiplicazione, spiega le “regole dei segni”, moltiplicando un numero per zero, e riconcilia la moltiplicazione con l'elevamento a potenza.

Controlliamo se la nostra formulazione della moltiplicazione è coerente con l'operazione di divisione.

15: 5 = 3 (inverso della moltiplicazione 5 * 3 = 15)

Il quoziente (3) corrisponde al numero di operazioni di addizione a zero (+3) durante la moltiplicazione.

Dividere il numero 15 per 5 significa trovare quante volte devi sottrarre 5 da 15. Questo viene fatto mediante sottrazione sequenziale fino a ottenere un risultato pari a zero.

Per trovare il risultato della divisione, devi contare il numero di segni meno. Ce ne sono tre.

15: 5 = 3 operazioni per sottrarre cinque da 15 per ottenere zero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (divisione 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (moltiplicando 5 * 3)

Divisione con resto.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 e 2 resto

Se c'è divisione con resto, perché non moltiplicazione con appendice?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Diamo un'occhiata alla differenza nella dicitura sulla calcolatrice

Formulazione esistente della moltiplicazione (tre termini).

10 + 10 + 10 = 30

Formulazione della moltiplicazione corretta (tre addizioni alle operazioni zero).

0 + 10 = = = 30

(Premere “uguale” tre volte.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Un moltiplicatore pari a 3 indica che il moltiplicando 10 deve essere sommato a zero tre volte.

Prova a moltiplicare (-10) * (-3) aggiungendo il termine (-10) meno tre volte!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Cosa significa il segno meno per tre? Può darsi?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Op. Non è possibile scomporre il prodotto nella somma (o differenza) di termini (-10).

La formulazione rivista lo fa correttamente.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Il moltiplicatore (-3) indica che il moltiplicando (-10) deve essere sottratto da zero tre volte.

Regole dei segni per addizioni e sottrazioni

Sopra abbiamo mostrato un modo semplice per ricavare le regole dei segni per la moltiplicazione cambiando il significato della formulazione della moltiplicazione.

Ma per la conclusione abbiamo utilizzato le regole dei segni per addizione e sottrazione. Sono quasi gli stessi della moltiplicazione. Creiamo una visualizzazione delle regole dei segni per addizione e sottrazione, in modo che anche un alunno di prima elementare possa capirlo.

Cos'è "meno", "negativo"?

Non c'è nulla di negativo in natura. Nessuna temperatura negativa, nessuna direzione negativa, nessuna massa negativa, nessuna carica negativa. Anche il seno per sua natura non può che essere positivo.

Ma i matematici hanno trovato i numeri negativi. Per quello? Cosa significa "meno"?

Un segno meno indica la direzione opposta. Sinistra destra. In alto in basso. In senso orario - antiorario. Avanti e indietro. Freddo caldo. Leggero e pesante. Piano veloce. Se ci pensi, puoi fare molti altri esempi in cui è conveniente utilizzare valori negativi.

Nel mondo che conosciamo, l'infinito parte da zero e arriva a più infinito.

Il “meno infinito” non esiste nel mondo reale. Questa è la stessa convenzione matematica del concetto di “meno”.

Quindi "meno" significa la direzione opposta: movimento, rotazione, processo, moltiplicazione, addizione. Analizziamo le diverse direzioni quando si sommano e sottraggono numeri positivi e negativi (aumentando nell'altra direzione).

La complessità della comprensione delle regole dei segni per l'addizione e la sottrazione è dovuta al fatto che queste regole di solito cercano di spiegare su una linea numerica. Sulla linea numerica si mescolano tre diversi componenti, da cui derivano le regole. E a causa della mescolanza, a causa dello scarico di concetti diversi in un unico mucchio, si creano difficoltà di comprensione.

Per comprendere le regole dobbiamo dividere:

il primo termine e la somma (saranno sull'asse orizzontale);
il secondo termine (sarà sull'asse verticale);
direzione delle operazioni di addizione e sottrazione.

Questa divisione è chiaramente mostrata nella figura. Immagina mentalmente che l'asse verticale possa ruotare, sovrapponendosi all'asse orizzontale.

L'operazione di addizione si esegue sempre ruotando l'asse verticale in senso orario (segno più). L'operazione di sottrazione si esegue sempre ruotando l'asse verticale in senso antiorario (segno meno).

Esempio. Diagramma nell'angolo in basso a destra.

Si può vedere che due segni meno adiacenti (il segno dell'operazione di sottrazione e il segno del numero 3) hanno significati diversi. Il primo meno mostra la direzione della sottrazione. Il secondo meno è il segno del numero sull'asse verticale.

Trova il primo termine (-2) sull'asse orizzontale. Trova il secondo termine (-3) sull'asse verticale. Ruota mentalmente l'asse verticale in senso antiorario finché (-3) non si allinea con il numero (+1) sull'asse orizzontale. Il numero (+1) è il risultato dell'addizione.

dà lo stesso risultato dell'operazione di addizione nel diagramma nell'angolo in alto a destra.

Pertanto, due segni meno adiacenti possono essere sostituiti con un segno più.

Siamo tutti abituati a utilizzare regole aritmetiche già pronte senza pensare al loro significato. Pertanto, spesso non notiamo nemmeno come le regole dei segni di addizione (sottrazione) differiscono dalle regole dei segni di moltiplicazione (divisione). Sembrano uguali? Quasi. Una leggera differenza può essere vista nella seguente illustrazione.

Ora abbiamo tutto ciò che ci serve per ricavare le regole dei segni per la moltiplicazione. La sequenza di output è la seguente.

Mostriamo chiaramente come si ottengono le regole dei segni per l'addizione e la sottrazione.
Apportiamo modifiche semantiche alla formulazione esistente della moltiplicazione.
Sulla base della formulazione modificata della moltiplicazione e delle regole dei segni per l'addizione, deriviamo le regole dei segni per la moltiplicazione.

Di seguito sono scritti Regole dei segni per addizioni e sottrazioni, ottenuto dalla visualizzazione. E in rosso, per confronto, le stesse regole dei segni del libro di testo di matematica. Il più grigio tra parentesi è un più invisibile, che non è scritto per un numero positivo.

Ci sono sempre due segni tra i termini: il segno dell'operazione e il segno del numero (non scriviamo più, ma lo intendiamo). Le regole dei segni prescrivono la sostituzione di una coppia di caratteri con un'altra coppia senza modificare il risultato dell'addizione (sottrazione). In realtà, ci sono solo due regole.

Regole 1 e 3 (per la visualizzazione) - duplicare le regole 4 e 2.. Le regole 1 e 3 nell'interpretazione scolastica non coincidono con lo schema visivo, pertanto non si applicano alle regole dei segni per l'addizione. Queste sono alcune altre regole.

La regola scolastica 1. (rossa) ti consente di sostituire due più di fila con un più. La regola non si applica alla sostituzione dei segni di addizione e sottrazione.

La regola scolastica 3. (rossa) ti consente di non scrivere un segno più per un numero positivo dopo un'operazione di sottrazione. La regola non si applica alla sostituzione dei segni di addizione e sottrazione.

Il significato delle regole dei segni per l'addizione è la sostituzione di una COPPIA di caratteri con un'altra COPPIA di caratteri senza modificare il risultato dell'addizione.

I metodologi scolastici hanno mescolato due regole in un'unica regola:

— due regole di segni quando si sommano e sottraggono numeri positivi e negativi (sostituendo una coppia di segni con un'altra coppia di segni);

- due regole secondo le quali non è possibile scrivere un segno più per un numero positivo.

Due regole diverse mescolate in una sono simili alle regole dei segni nella moltiplicazione, dove due segni danno come risultato un terzo. Sembrano esattamente uguali.

Grande confusione! Ancora la stessa cosa, per districare meglio. Evidenziamo in rosso i segni di operazione per distinguerli dai segni numerici.

1. Addizione e sottrazione. Due regole di segni secondo le quali vengono scambiate coppie di segni tra termini. Segno di operazione e segno numerico.

2. Due regole secondo le quali è consentito non scrivere il segno più di un numero positivo. Queste sono le regole per il modulo di iscrizione. Non si applica all'addizione. Per un numero positivo viene scritto solo il segno dell'operazione.

3. Quattro regole di segni per la moltiplicazione. Quando due segni di fattori danno luogo a un terzo segno del prodotto. Le regole dei segni di moltiplicazione contengono solo segni numerici.

Ora che abbiamo separato le regole della forma, dovrebbe essere chiaro che le regole dei segni per l'addizione e la sottrazione non sono affatto simili alle regole dei segni per la moltiplicazione.

"La regola per moltiplicare i numeri negativi e i numeri con segni diversi." 6a elementare

Presentazione della lezione

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Obiettivi della lezione.

Soggetto:

formulare una regola per moltiplicare i numeri negativi e i numeri con segni diversi,
insegnare agli studenti come applicare questa regola.

Metasoggetto:

sviluppare la capacità di lavorare secondo l'algoritmo proposto, elaborare un piano per le tue azioni,
sviluppare capacità di autocontrollo.

Personale:

sviluppare abilità comunicative,
sviluppare la curiosità degli studenti.

Attrezzatura: computer, schermo, proiettore multimediale, presentazione PowerPoint, dispense: tabella per regole di registrazione, test.

(Libro di testo di N.Ya. Vilenkin “Mathematics. Grade 6”, M: “Mnemosyne”, 2013.)

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Riportare l'argomento della lezione e registrare l'argomento su quaderni da parte degli studenti.

II. Motivazione.

Diapositiva numero 2. (Obiettivo della lezione. Piano della lezione).

Oggi continueremo a studiare un'importante proprietà aritmetica: la moltiplicazione.

Sai già come moltiplicare i numeri naturali - verbalmente e in colonna,

Imparato a moltiplicare i decimali e le frazioni ordinarie. Oggi dovrai formulare la regola della moltiplicazione per i numeri negativi e per i numeri con segni diversi. E non solo formularlo, ma anche imparare ad applicarlo.

III. Aggiornamento della conoscenza.

Risolvi le equazioni: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Studente alla lavagna)

Conclusione: per risolvere tali equazioni devi essere in grado di moltiplicare diversi numeri.

2) Controllare i compiti in modo indipendente. Rivedi le regole per moltiplicare decimali, frazioni e numeri misti. (Diapositive n. 4 e n. 5).

IV. Formulazione di regole.

Considera l'attività 1 (diapositiva numero 6).

Considera l'attività 2 (diapositiva numero 7).

Nel processo di risoluzione dei problemi, abbiamo dovuto moltiplicare numeri con segni diversi e numeri negativi. Diamo uno sguardo più da vicino a questa moltiplicazione e ai suoi risultati.

Moltiplicando numeri con segni diversi otteniamo un numero negativo.

Consideriamo un altro esempio. Trova il prodotto (–2) * 3, sostituendo la moltiplicazione con la somma dei termini identici. Allo stesso modo, trova il prodotto 3 * (–2). (Controlla - diapositiva numero 8).

Domande:

1) Qual è il segno del risultato quando si moltiplicano numeri con segni diversi?

2) Come si ottiene il modulo dei risultati? Formuliamo una regola per moltiplicare numeri con segni diversi e scriviamo la regola nella colonna di sinistra della tabella. (Diapositiva numero 9 e Appendice 1).

Regola per moltiplicare i numeri negativi e i numeri con segni diversi.

Torniamo al secondo problema, in cui abbiamo moltiplicato due numeri negativi. È abbastanza difficile spiegare tale moltiplicazione in un altro modo.

Usiamo la spiegazione data nel XVIII secolo dal grande scienziato russo (nato in Svizzera), matematico e meccanico Leonhard Euler. (Leonard Euler ha lasciato non solo lavori scientifici, ma ha anche scritto una serie di libri di testo di matematica destinati agli studenti della palestra accademica).

Quindi Eulero spiegò il risultato più o meno come segue. (Diapositiva numero 10).

È chiaro che –2 · 3 = – 6. Pertanto, il prodotto (–2) · (–3) non può essere uguale a –6. Tuttavia deve essere in qualche modo correlato al numero 6. Rimane una possibilità: (–2) · (–3) = 6. .

Domande:

1) Qual è la sigla del prodotto?

2) Come si ottiene il modulo prodotto?

Formuliamo la regola per moltiplicare i numeri negativi e compiliamo la colonna di destra della tabella. (Diapositiva n. 11).

Per rendere più facile ricordare la regola dei segni durante la moltiplicazione, puoi usare la sua formulazione in versi. (Diapositiva n. 12).

Più per meno, moltiplicando,
Mettiamo un segno meno senza sbadigliare.
Moltiplica meno per meno
In risposta, metteremo un vantaggio!

V. Formazione di competenze.

Impariamo come applicare questa regola per i calcoli. Oggi nella lezione eseguiremo calcoli solo con numeri interi e frazioni decimali.

1) Elaborazione di un piano d'azione.

Viene redatto uno schema per l'applicazione della norma. Le registrazioni vengono effettuate sulla scheda. Diagramma approssimativo sulla diapositiva n. 13.

2) Esecuzione di azioni secondo lo schema.

Risolviamo dal libro di testo n. 1121 (b, c, i, j, p, p). Eseguiamo la soluzione secondo lo schema redatto. Ogni esempio è spiegato da uno degli studenti. Allo stesso tempo, la soluzione è mostrata nella diapositiva n. 14.

3) Lavorare in coppia.

Compito sulla diapositiva numero 15.

Gli studenti lavorano sulle opzioni. Innanzitutto, lo studente dell'opzione 1 risolve e spiega la soluzione dell'opzione 2, lo studente dell'opzione 2 ascolta attentamente, aiuta e corregge se necessario, quindi gli studenti cambiano i ruoli.

Compito aggiuntivo per le coppie che finiscono il lavoro prima: n. 1125.

Alla fine del lavoro, la verifica viene eseguita utilizzando una soluzione già pronta situata sulla diapositiva n. 15 (viene utilizzata l'animazione).

Se molte persone sono riuscite a risolvere il n. 1125, si giunge alla conclusione che il segno del numero cambia quando moltiplicato per (?1).

4) Sollievo psicologico.

5) Lavoro indipendente.

Lavoro indipendente - testo sulla diapositiva n. 17. Dopo aver completato il lavoro - autotest utilizzando una soluzione già pronta (diapositiva n. 17 - animazione, collegamento ipertestuale alla diapositiva n. 18).

VI. Controllo del livello di assimilazione del materiale studiato. Riflessione.

Gli studenti fanno un test. Sullo stesso foglio di carta valuta il tuo lavoro in classe compilando la tabella.

Prova la "Regola di moltiplicazione". Opzione 1.

Moltiplicazione dei numeri negativi: regola, esempi

Moltiplicazione dei numeri negativi

Sopra è riportata la regola per moltiplicare due numeri negativi. Sulla base di ciò dimostriamo l'espressione: (— a) · (— b) = a · b. L'articolo sulla moltiplicazione dei numeri con segni diversi dice che sono valide le uguaglianze a · (- b) = - a · b, così come (- a) · b = - a · b. Ciò deriva dalla proprietà dei numeri opposti, per cui le uguaglianze verranno scritte come segue:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Questa regola è applicabile alla moltiplicazione di numeri reali, numeri razionali e numeri interi.

Esempi di moltiplicazione di numeri negativi

Ora diamo un'occhiata in dettaglio agli esempi di moltiplicazione di due numeri negativi. Durante il calcolo, è necessario utilizzare la regola scritta sopra.

Moltiplica i numeri - 3 e - 5.

Soluzione.

Il valore assoluto dei due numeri moltiplicati è uguale ai numeri positivi 3 e 5. Il loro prodotto risulta in 15. Ne consegue che il prodotto dei numeri dati è 15

Scriviamo brevemente la moltiplicazione dei numeri negativi stessi:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Risposta: (- 3) · (- 5) = 15.

Quando si moltiplicano i numeri razionali negativi, utilizzando la regola discussa, è possibile mobilitarsi per moltiplicare le frazioni, moltiplicare i numeri misti, moltiplicare i decimali.

Calcola il prodotto (— 0 , 125) · (— 6) .

Abbiamo scoperto che l'espressione assumerà la forma (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Risposta: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

Nel caso in cui i fattori siano numeri irrazionali, il loro prodotto può essere scritto come espressione numerica. Il valore viene calcolato solo quando necessario.

È necessario moltiplicare il negativo - 2 per il logaritmo non negativo 5 1 3 .

Trovare i moduli dei numeri indicati:

- 2 = 2 e log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Seguendo le regole per moltiplicare i numeri negativi, otteniamo il risultato - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Questa espressione è la risposta.

Risposta: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Per continuare a studiare l'argomento, devi ripetere la sezione sulla moltiplicazione dei numeri reali.

Ora occupiamoci di moltiplicazione e divisione.

Diciamo che dobbiamo moltiplicare +3 per -4. Come farlo?

Consideriamo un caso del genere. Tre persone sono in debito e ciascuna ha 4$ di debito. Qual è il debito totale? Per trovarlo devi sommare tutti e tre i debiti: 4 dollari + 4 dollari + 4 dollari = 12 dollari. Abbiamo deciso che la somma dei tre numeri 4 viene indicata come 3x4. Poiché in questo caso si tratta di debito, prima del 4 è presente il segno “-”. Sappiamo che il debito totale è pari a 12$, quindi il nostro problema ora diventa 3x(-4)=-12.

Otterremo lo stesso risultato se, secondo il problema, ciascuna delle quattro persone ha un debito di 3$. In altre parole, (+4)x(-3)=-12. E poiché l'ordine dei fattori non ha importanza, otteniamo (-4)x(+3)=-12 e (+4)x(-3)=-12.

Riassumiamo i risultati. Quando moltiplichi un numero positivo e un numero negativo, il risultato sarà sempre un numero negativo. Il valore numerico della risposta sarà lo stesso del caso dei numeri positivi. Prodotto (+4)x(+3)=+12. La presenza del segno “-” influisce solo sul segno, ma non influisce sul valore numerico.

Come moltiplicare due numeri negativi?

Sfortunatamente, è molto difficile trovare un esempio di vita reale adeguato su questo argomento. È facile immaginare un debito di 3 o 4 dollari, ma è assolutamente impossibile immaginare -4 o -3 persone che si siano indebitate.

Forse andremo in una direzione diversa. Nella moltiplicazione, quando cambia il segno di uno dei fattori, cambia il segno del prodotto. Se cambiamo i segni di entrambi i fattori, dobbiamo cambiare due volte marchio di lavoro, prima da positivo a negativo, e poi viceversa, da negativo a positivo, cioè il prodotto avrà un segno iniziale.

Pertanto è abbastanza logico, anche se un po' strano, che (-3) x (-4) = +12.

Posizione del segno una volta moltiplicato cambia in questo modo:

numero positivo x numero positivo = numero positivo;
numero negativo x numero positivo = numero negativo;
numero positivo x numero negativo = numero negativo;
numero negativo x numero negativo = numero positivo.

In altre parole, moltiplicando due numeri con lo stesso segno otteniamo un numero positivo. Moltiplicando due numeri con segni diversi otteniamo un numero negativo.

La stessa regola vale per l'azione opposta alla moltiplicazione - per.

Puoi verificarlo facilmente eseguendo operazioni di moltiplicazione inversa. In ciascuno degli esempi precedenti, se moltiplichi il quoziente per il divisore, otterrai il dividendo e ti assicurerai che abbia lo stesso segno, ad esempio (-3)x(-4)=(+12).

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