Nel corso della matematica scolastica, il bambino sente per la prima volta il termine "equazione". Che cos'è, proviamo a capirlo insieme. In questo articolo considereremo i tipi e i metodi di risoluzione.
Matematica. Equazioni
Per cominciare, proponiamo di affrontare il concetto stesso, che cos'è? Come dicono molti libri di testo di matematica, un'equazione è costituita da alcune espressioni tra le quali c'è sempre un segno di uguale. Queste espressioni contengono lettere, le cosiddette variabili, il cui valore deve essere trovato.
Questo è un attributo di sistema che cambia il suo valore. Un buon esempio di variabili sono:
- temperatura dell'aria;
- altezza del bambino;
- peso e così via.
In matematica, sono indicati da lettere, ad esempio x, a, b, c ... Di solito il compito in matematica è il seguente: trova il valore dell'equazione. Ciò significa che è necessario trovare il valore di queste variabili.
Varietà
L'equazione (che cos'è, abbiamo discusso nel paragrafo precedente) può essere della seguente forma:
- lineare;
- piazza;
- cubo;
- algebrico;
- trascendente.
Per una conoscenza più dettagliata di tutti i tipi, li considereremo separatamente.
Equazione lineare
Questo è il primo tipo con cui gli studenti conoscono. Sono risolti abbastanza rapidamente e facilmente. Quindi, cos'è un'equazione lineare? Questa è un'espressione della forma: ax=s. Non è molto chiaro, quindi facciamo qualche esempio: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Vediamo esempi di equazioni. Per fare questo, abbiamo bisogno di raccogliere tutti i dati noti da un lato e quelli sconosciuti dall'altro: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Qui sono state usate regole elementari della matematica: a*c=e, da questo c=e/a; a=e/s. Per completare la soluzione dell'equazione, eseguiamo un'azione (nel nostro caso, divisione) x=13; x=8; x=5. Questi erano esempi di moltiplicazione, ora diamo un'occhiata alla sottrazione e all'addizione: x + 3 = 9; 10x-5=15. Trasferiamo i dati noti in una direzione: x=9-3; x=20/10. Eseguiamo l'ultima azione: x=6; x=2.
Sono possibili anche varianti di equazioni lineari, dove viene utilizzata più di una variabile: 2x-2y=4. Per risolvere è necessario aggiungere 2y a ciascuna parte, otteniamo 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, come abbiamo notato, sul lato sinistro del segno uguale -2y e +2y sono ridotti, mentre noi avere: 2x \u003d 4 -2u. L'ultimo passo è dividere ogni parte per due, otteniamo la risposta: x è uguale a due meno y.
Problemi con le equazioni si trovano anche sui papiri di Ahmes. Ecco uno dei problemi: la somma del numero e della sua quarta parte dà 15. Per risolverlo, scriviamo la seguente equazione: x più un quarto di x è uguale a quindici. Vediamo un altro esempio come risultato della soluzione, otteniamo la risposta: x=12. Ma questo problema può essere risolto in un altro modo, vale a dire l'egiziano o, come viene chiamato in altro modo, il metodo di assunzione. Il papiro usa la seguente soluzione: prendi quattro e la sua quarta parte, cioè una. In totale danno cinque, ora quindici devono essere divisi per la somma, otteniamo tre, con l'ultima azione moltiplichiamo tre per quattro. Otteniamo la risposta: 12. Perché dividiamo quindici per cinque nella soluzione? Quindi scopriamo quante volte quindici, cioè il risultato che dobbiamo ottenere è meno di cinque. In questo modo, nel Medioevo, i problemi furono risolti, divenne noto come il metodo della falsa posizione.
Equazioni quadratiche
Oltre agli esempi discussi in precedenza, ce ne sono altri. Che cosa esattamente? Cos'è un'equazione quadratica? Sembrano ax 2 +bx+c=0. Per risolverli, devi familiarizzare con alcuni concetti e regole.
Innanzitutto, devi trovare il discriminante usando la formula: b 2 -4ac. Ci sono tre possibili soluzioni:
- il discriminante è maggiore di zero;
- minore di zero;
- uguale a zero.
Nella prima opzione, possiamo ottenere una risposta da due radici, che si trovano dalla formula: -b + - la radice del discriminante divisa per il primo coefficiente raddoppiato, cioè 2a.
Nel secondo caso, l'equazione non ha radici. Nel terzo caso, la radice si trova con la formula: -b / 2a.
Considera un esempio di un'equazione quadratica per una conoscenza più dettagliata: tre x al quadrato meno quattordici x meno cinque è uguale a zero. Per cominciare, come scritto in precedenza, stiamo cercando il discriminante, nel nostro caso è 256. Nota che il numero risultante è maggiore di zero, quindi, dovremmo ottenere una risposta composta da due radici. Sostituiamo il discriminante risultante nella formula per trovare le radici. Di conseguenza, abbiamo: x uguale a cinque e meno un terzo.
Casi particolari nelle equazioni quadratiche
Questi sono esempi in cui alcuni valori sono zero (a, b o c), e possibilmente più di uno.
Ad esempio, prendiamo la seguente equazione, che è quadratica: due x al quadrato è uguale a zero, qui vediamo che b e c sono zero. Proviamo a risolverlo, per questo dividiamo entrambe le parti dell'equazione per due, abbiamo: x 2 \u003d 0. Di conseguenza, otteniamo x=0.
Un altro caso è 16x 2 -9=0. Qui solo b=0. Risolviamo l'equazione, trasferiamo il coefficiente libero sul lato destro: 16x 2 \u003d 9, ora dividiamo ogni parte per sedici: x 2 \u003d nove sedicesimi. Poiché abbiamo x al quadrato, la radice di 9/16 può essere negativa o positiva. Scriviamo la risposta come segue: x è uguale a più/meno tre quarti.
Una tale risposta è anche possibile, poiché l'equazione non ha radici. Diamo un'occhiata a questo esempio: 5x 2 +80=0, qui b=0. Per risolvere il membro libero, lancialo sul lato destro, dopo queste azioni otteniamo: 5x 2 \u003d -80, ora dividiamo ogni parte per cinque: x 2 \u003d meno sedici. Se qualsiasi numero è al quadrato, non otterremo un valore negativo. Pertanto, la nostra risposta suona così: l'equazione non ha radici.
Espansione trinomiale
Anche l'assegnazione per le equazioni quadratiche può suonare diversamente: fattorizza un trinomio quadrato. Questo può essere fatto usando la seguente formula: a (x-x 1) (x-x 2). Per questo, come in un'altra versione del compito, è necessario trovare il discriminante.
Considera il seguente esempio: 3x 2 -14x-5, fattorizza il trinomio. Troviamo il discriminante, usando la formula a noi già nota, risulta essere 256. Notiamo subito che 256 è maggiore di zero, quindi l'equazione avrà due radici. Li troviamo, come nel paragrafo precedente, abbiamo: x \u003d cinque e meno un terzo. Usiamo la formula per scomporre il trinomio in fattori: 3(x-5)(x+1/3). Nella seconda parentesi abbiamo un segno uguale, perché la formula contiene un segno meno, e anche la radice è negativa, usando una conoscenza elementare della matematica, nella somma abbiamo un segno più. Per semplificare, moltiplichiamo il primo e il terzo termine dell'equazione per eliminare la frazione: (x-5) (x + 1).
Equazioni quadratiche
In questa sezione impareremo come risolvere equazioni più complesse. Partiamo subito con un esempio:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Possiamo notare gli elementi ripetuti: (x 2 - 2x), ci conviene sostituirlo con un'altra variabile per la soluzione, e quindi risolvi la solita equazione quadratica, subito notiamo che in tale compito otterremo quattro radici, questo non dovrebbe spaventarti. Indichiamo la ripetizione della variabile a. Otteniamo: a 2 -2a-3=0. Il nostro prossimo passo è trovare il discriminante della nuova equazione. Otteniamo 16, troviamo due radici: meno uno e tre. Ricordiamo che abbiamo effettuato la sostituzione, sostituiamo questi valori, di conseguenza abbiamo le equazioni: x 2 - 2x \u003d -1; x2-2x=3. Li risolviamo nella prima risposta: x è uguale a uno, nella seconda: x è uguale a meno uno e tre. Scriviamo la risposta come segue: più / meno uno e tre. Di norma, la risposta è scritta in ordine crescente.
Equazioni cubiche
Consideriamo un'altra possibile opzione. Parliamo di equazioni cubiche. Sembrano: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Considereremo esempi di equazioni di seguito, ma prima una piccola teoria. Possono avere tre radici, c'è anche una formula per trovare il discriminante per un'equazione cubica.
Considera un esempio: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Come risolverlo? Per fare ciò, estraiamo semplicemente x dalle parentesi: x(3x 2 +4x+2)=0. Non resta che calcolare le radici dell'equazione tra parentesi. Il discriminante dell'equazione quadratica tra parentesi è minore di zero, quindi l'espressione ha una radice: x=0.
Algebra. Equazioni
Passiamo al prossimo. Consideriamo ora brevemente le equazioni algebriche. Uno dei compiti è il seguente: fattorizza 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Il modo più conveniente sarebbe il seguente raggruppamento: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Nota che abbiamo rappresentato 8x2 dalla prima espressione come la somma di 3x2 e 5x2. Ora togliamo da ogni parentesi il fattore comune 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Vediamo che abbiamo un divisore comune: x al quadrato più uno, lo estraiamo dalle parentesi: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Un'ulteriore espansione è impossibile, poiché entrambe le equazioni hanno un discriminante negativo.
Equazioni trascendentali
Proponiamo di occuparci del seguente tipo. Queste sono equazioni che contengono funzioni trascendentali, vale a dire logaritmiche, trigonometriche o esponenziali. Esempi: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 e così via. Come vengono risolti imparerai dal corso di trigonometria.
Funzione
Il passo finale è considerare il concetto di equazione di una funzione. A differenza delle opzioni precedenti, questo tipo non è risolto, ma su di esso viene costruito un grafico. Per fare ciò, l'equazione dovrebbe essere ben analizzata, trovare tutti i punti necessari per la costruzione, calcolare i punti minimo e massimo.
Equazioni lineari. Soluzione, esempi.
Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")
Equazioni lineari.
Le equazioni lineari non sono l'argomento più difficile nella matematica scolastica. Ma ci sono alcuni trucchi che possono confondere anche uno studente esperto. Riusciamo a capirlo?)
Un'equazione lineare è generalmente definita come un'equazione della forma:
ascia + B = 0 Dove a e b- qualsiasi numero.
2x + 7 = 0. Qui un=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Qui un=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Qui un=12, b=1/2
Niente di complicato, vero? Soprattutto se non noti le parole: "dove a e b sono numeri qualsiasi"... E se lo noti, ma ci pensi con noncuranza?) Dopotutto, se a=0, b=0(qualsiasi numero è possibile?), quindi otteniamo un'espressione divertente:
Ma non è tutto! Se, diciamo, a=0, UN b=5, si scopre qualcosa di abbastanza assurdo:
Ciò che mette a dura prova e mina la fiducia in matematica, sì ...) Soprattutto negli esami. Ma di queste strane espressioni, devi trovare anche X! Che non esiste affatto. E, sorprendentemente, questa X è molto facile da trovare. Impareremo come farlo. In questa lezione.
Come riconoscere un'equazione lineare in apparenza? Dipende da quale aspetto.) Il trucco è che le equazioni lineari sono chiamate non solo equazioni della forma ascia + B = 0 , ma anche tutte le equazioni che vengono ridotte a questa forma mediante trasformazioni e semplificazioni. E chissà se è ridotto o no?)
Un'equazione lineare può essere chiaramente riconosciuta in alcuni casi. Diciamo, se abbiamo un'equazione in cui ci sono solo incognite di primo grado, sì numeri. E l'equazione no frazioni divise per sconosciuto , è importante! E divisione per numero, o una frazione numerica - tutto qui! Per esempio:
Questa è un'equazione lineare. Ci sono frazioni qui, ma non ci sono x nel quadrato, nel cubo, ecc., e non ci sono x nei denominatori, cioè NO divisione per x. Ed ecco l'equazione
non può essere definito lineare. Qui le x sono tutte di primo grado, ma c'è divisione per espressione con x. Dopo semplificazioni e trasformazioni, puoi ottenere un'equazione lineare, una quadratica e qualsiasi cosa tu voglia.
Si scopre che è impossibile scoprire un'equazione lineare in un esempio intricato finché non la risolvi quasi. È sconvolgente. Ma negli incarichi, di regola, non chiedono la forma dell'equazione, giusto? Nelle attività, le equazioni sono ordinate decidere. Questo mi rende felice.)
Soluzione di equazioni lineari. Esempi.
L'intera soluzione di equazioni lineari è costituita da trasformazioni identiche di equazioni. A proposito, queste trasformazioni (fino a due!) sono alla base delle soluzioni tutte le equazioni della matematica. In altre parole, la decisione Qualunque L'equazione inizia con queste stesse trasformazioni. Nel caso di equazioni lineari, (la soluzione) su queste trasformazioni termina con una risposta completa. Ha senso seguire il collegamento, giusto?) Inoltre, ci sono anche esempi di risoluzione di equazioni lineari.
Iniziamo con l'esempio più semplice. Senza alcuna trappola. Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione.
x - 3 = 2 - 4x
Questa è un'equazione lineare. Le X sono tutte alla prima potenza, non c'è divisione per X. Ma, in realtà, non ci interessa quale sia l'equazione. Dobbiamo risolverlo. Lo schema qui è semplice. Raccogli tutto ciò che ha x sul lato sinistro dell'equazione, tutto senza x (numeri) sulla destra.
Per fare ciò, è necessario trasferire - 4x a sinistra, con un cambio di segno, ovviamente, ma - 3 - A destra. A proposito, questo è prima trasformazione identica di equazioni. Sorpreso? Quindi, non hanno seguito il collegamento, ma invano ...) Otteniamo:
x + 4 x = 2 + 3
Diamo simili, consideriamo:
Di cosa abbiamo bisogno per essere completamente felici? Sì, in modo che ci sia una X pulita a sinistra! Cinque si intromette. Sbarazzati dei cinque con seconda trasformazione identica di equazioni. Vale a dire, dividiamo entrambe le parti dell'equazione per 5. Otteniamo una risposta pronta:
Un esempio elementare, ovviamente. Questo è per un riscaldamento.) Non è molto chiaro perché ho ricordato trasformazioni identiche qui? OK. Prendiamo il toro per le corna.) Decidiamo qualcosa di più impressionante.
Ad esempio, ecco questa equazione:
Da dove iniziamo? Con X - a sinistra, senza X - a destra? Potrebbe essere così. Piccoli passi lungo la lunga strada. E puoi subito, in modo universale e potente. A meno che, ovviamente, nel tuo arsenale non ci siano trasformazioni identiche di equazioni.
ti pongo una domanda fondamentale: Cosa non ti piace di più di questa equazione?
95 persone su 100 risponderanno: frazioni ! La risposta è corretta. Quindi sbarazziamoci di loro. Quindi iniziamo subito con seconda trasformazione identica. Di cosa hai bisogno per moltiplicare la frazione a sinistra per ridurre completamente il denominatore? Esatto, 3. E a destra? Per 4. Ma la matematica ci permette di moltiplicare entrambi i lati per lo stesso numero. Come usciamo? Moltiplichiamo entrambi i lati per 12! Quelli. a un comune denominatore. Quindi i tre saranno ridotti e i quattro. Non dimenticare che devi moltiplicare ogni parte interamente. Ecco come appare il primo passaggio:
Espandere le parentesi:
Nota! Numeratore (x+2) Ho preso tra parentesi! Questo perché quando si moltiplicano le frazioni, il numeratore viene moltiplicato per l'intero, interamente! E ora puoi ridurre le frazioni e ridurre:
Aprendo le restanti parentesi:
Non un esempio, ma puro piacere!) Ora ricordiamo l'incantesimo dai gradi inferiori: con x - a sinistra, senza x - a destra! E applica questa trasformazione:
Eccone alcuni come:
E dividiamo entrambe le parti per 25, cioè applica nuovamente la seconda trasformazione:
È tutto. Risposta: X=0,16
Prendi nota: per portare la confusa equazione originale in una forma piacevole, abbiamo usato due (solo due!) trasformazioni identiche- traduzione sinistra-destra con cambio di segno e moltiplicazione-divisione dell'equazione per lo stesso numero. Questo è il modo universale! Lavoreremo in questo modo Qualunque equazioni! Assolutamente qualsiasi. Ecco perché continuo a ripetere queste identiche trasformazioni tutto il tempo.)
Come puoi vedere, il principio per risolvere equazioni lineari è semplice. Prendiamo l'equazione e la semplifichiamo con l'aiuto di trasformazioni identiche finché non otteniamo la risposta. I problemi principali qui sono nei calcoli e non nel principio della soluzione.
Ma ... Ci sono tali sorprese nel processo di risoluzione delle equazioni lineari più elementari che possono portare a un forte stupore ...) Fortunatamente, possono esserci solo due di queste sorprese. Chiamiamole casi speciali.
Casi particolari nella risoluzione di equazioni lineari.
Sorpresa prima.
Supponi di imbatterti in un'equazione elementare, qualcosa del tipo:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Leggermente annoiato, trasferiamo con X a sinistra, senza X - a destra ... Con un cambio di segno, tutto è chin-chinar ... Otteniamo:
2x-5x+3x=5-2-3
Noi crediamo, e... oh mio! Noi abbiamo:
Di per sé, questa uguaglianza non è discutibile. Zero è davvero zero. Ma X non c'è più! E dobbiamo scrivere nella risposta, a cosa è uguale x. Altrimenti la soluzione non conta, sì...) Un vicolo cieco?
Calma! In tali casi dubbi, le regole più generali salvano. Come risolvere le equazioni? Cosa significa risolvere un'equazione? Questo significa, trova tutti i valori di x che, una volta sostituiti nell'equazione originale, ci daranno l'uguaglianza corretta.
Ma abbiamo l'uguaglianza corretta Già accaduto! 0=0, dove davvero?! Resta da capire a quali x si ottiene. In quali valori di x possono essere sostituiti originale equazione se queste x ridursi ancora a zero? Dai?)
SÌ!!! Xs può essere sostituito Qualunque! Cosa vuoi. Almeno 5, almeno 0,05, almeno -220. Si restringeranno ancora. Se non mi credi, puoi verificarlo.) Sostituisci qualsiasi valore x in originale equazione e calcolare. Si otterrà sempre la pura verità: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 e così via.
Ecco la tua risposta: x è un numero qualsiasi.
La risposta può essere scritta in diversi simboli matematici, l'essenza non cambia. Questa è una risposta completamente corretta e completa.
Sorpresa secondo.
Prendiamo la stessa equazione lineare elementare e cambiamo solo un numero in essa. Questo è ciò che decideremo:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Dopo le stesse identiche trasformazioni, otteniamo qualcosa di intrigante:
Come questo. Risolto un'equazione lineare, ottenuto una strana uguaglianza. Matematicamente parlando, abbiamo uguaglianza sbagliata. E in termini semplici, questo non è vero. Delirio. Tuttavia, questa assurdità è una buona ragione per la corretta soluzione dell'equazione.)
Ancora una volta, pensiamo sulla base di regole generali. Cosa ci darà x, una volta sostituito nell'equazione originale corretto uguaglianza? Sì, nessuno! Non ci sono tali x. Qualunque cosa tu sostituisca, tutto sarà ridotto, le sciocchezze rimarranno.)
Ecco la tua risposta: non ci sono soluzioni.
Anche questa è una risposta perfettamente valida. In matematica, tali risposte si verificano spesso.
Come questo. Ora, spero, la perdita di X nel processo di risoluzione di qualsiasi equazione (non solo lineare) non ti disturberà affatto. La faccenda è nota.)
Ora che abbiamo affrontato tutte le insidie delle equazioni lineari, ha senso risolverle.
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
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In questo video analizzeremo un'intera serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.
Per cominciare, definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale di esse dovrebbe essere chiamata la più semplice?
Un'equazione lineare è quella in cui c'è solo una variabile, e solo nel primo grado.
L'equazione più semplice significa la costruzione:
Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte a quelle più semplici usando l'algoritmo:
- Parentesi aperte, se presenti;
- Sposta i termini contenenti una variabile da una parte del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altra;
- Porta termini simili a sinistra ea destra del segno uguale;
- Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$ .
Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte, dopo tutte queste macchinazioni, il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:
- L'equazione non ha soluzioni. Ad esempio, quando ottieni qualcosa come $0\cdot x=8$, i.e. a sinistra è zero ea destra è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto, esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
- La soluzione è tutta numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, indipendentemente da quanto $x$ sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", ad es. corretta uguaglianza numerica.
E ora vediamo come funziona tutto sull'esempio di problemi reali.
Esempi di risoluzione di equazioni
Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.
Tali costruzioni sono risolte approssimativamente nello stesso modo:
- Prima di tutto, devi aprire le eventuali parentesi (come nel nostro ultimo esempio);
- Quindi porta simili
- Infine, isolare la variabile, ad es. tutto ciò che è connesso con la variabile - i termini in cui è contenuta - viene trasferito da una parte e tutto ciò che rimane senza di essa viene trasferito dall'altra.
Quindi, di norma, devi portare simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente in "x", e otterremo la risposta finale.
In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti delle scuole superiori esperti possono commettere errori offensivi in equazioni lineari abbastanza semplici. Di solito, gli errori vengono commessi sia quando si aprono le parentesi, sia quando si contano "più" e "meno".
Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera linea numerica, ad es. qualsiasi numero. Analizzeremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con i compiti più semplici.
Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari
Per cominciare, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:
- Espandere le parentesi, se presenti.
- Seclude variabili, ad es. tutto ciò che contiene "x" viene trasferito da una parte e senza "x" - dall'altra.
- Presentiamo termini simili.
- Dividiamo tutto per il coefficiente in "x".
Certo, questo schema non sempre funziona, ha alcune sottigliezze e trucchi, e ora li conosceremo.
Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari
Compito n. 1
Nella prima fase, ci viene richiesto di aprire le parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase, dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di singoli termini. Scriviamo:
Diamo termini simili a sinistra ea destra, ma questo è già stato fatto qui. Pertanto, procediamo al quarto passaggio: dividere per un fattore:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Qui abbiamo la risposta.
Compito n. 2
In questa attività, possiamo osservare le parentesi, quindi espandiamole:
Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente la stessa costruzione, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. variabili di sequestro:
Eccone alcuni come:
A quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.
Compito n. 3
La terza equazione lineare è già più interessante:
\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]
Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, hanno solo segni diversi davanti a loro. Analizziamoli:
Eseguiamo il secondo passaggio a noi già noto:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Calcoliamo:
Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente in "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari
Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:
- Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione - a volte semplicemente non ci sono radici;
- Anche se ci sono radici, zero può entrare in mezzo a loro - non c'è niente di sbagliato in questo.
Zero è lo stesso numero del resto, non dovresti in qualche modo discriminarlo o presumere che se ottieni zero, allora hai fatto qualcosa di sbagliato.
Un'altra caratteristica è legata all'espansione delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo secondo algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.
Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando compiere tali azioni è dato per scontato.
Risoluzione di equazioni lineari complesse
Passiamo a equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complicate e apparirà una funzione quadratica durante l'esecuzione di varie trasformazioni. Tuttavia, non dovresti aver paura di questo, perché se, secondo l'intenzione dell'autore, risolviamo un'equazione lineare, allora nel processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica saranno necessariamente ridotti.
Esempio 1
Ovviamente, il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:
Ora prendiamo la privacy:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Eccone alcuni come:
Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi nella risposta scriviamo quanto segue:
\[\varietà \]
o senza radici.
Esempio #2
Eseguiamo gli stessi passaggi. Primo passo:
Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:
Eccone alcuni come:
Ovviamente, questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriviamo così:
\[\varnothing\],
o senza radici.
Sfumature della soluzione
Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Sull'esempio di queste due espressioni, ancora una volta ci siamo assicurati che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto possa non essere così semplice: può essercene uno, o nessuno, o infiniti. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, in entrambe semplicemente non ci sono radici.
Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come espanderle se c'è un segno meno davanti a loro. Considera questa espressione:
Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per "x". Attenzione: moltiplicare ogni singolo termine. Dentro ci sono due termini - rispettivamente, due termini e viene moltiplicato.
E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, la parentesi può essere aperta dal punto di vista che c'è un segno meno dopo di essa. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono terminate, ricordiamo che c'è un segno meno davanti alle parentesi, il che significa che tutto sotto cambia solo segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.
Facciamo lo stesso con la seconda equazione:
Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.
Naturalmente, verrà il giorno in cui affinerai queste abilità all'automatismo. Non dovrai più eseguire così tante trasformazioni ogni volta, scriverai tutto in una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.
Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse
Quello che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.
Compito n. 1
\[\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(3x-1 \destra)-21((x)^(2))=3\]
Moltiplichiamo tutti gli elementi nella prima parte:
Facciamo un ritiro:
Eccone alcuni come:
Facciamo l'ultimo passaggio:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, tuttavia, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione esattamente lineare, non quadrata.
Compito n. 2
\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]
Facciamo il primo passo con attenzione: moltiplichiamo ogni elemento nella prima parentesi per ogni elemento nella seconda. In totale, quattro nuovi termini dovrebbero essere ottenuti dopo le trasformazioni:
E ora esegui attentamente la moltiplicazione in ogni termine:
Spostiamo i termini con "x" a sinistra e senza - a destra:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Ecco termini simili:
Abbiamo ricevuto una risposta definitiva.
Sfumature della soluzione
L'osservazione più importante su queste due equazioni è questa: non appena iniziamo a moltiplicare le parentesi in cui c'è più di un termine, allora questo viene fatto secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo per ogni elemento dal secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e similmente moltiplichiamo con ogni elemento dal secondo. Di conseguenza, otteniamo quattro termini.
Sulla somma algebrica
Con l'ultimo esempio, vorrei ricordare agli studenti cos'è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ intendiamo una costruzione semplice: sottraiamo sette da uno. In algebra intendiamo con questo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, cioè "meno sette". Questa somma algebrica differisce dalla solita somma aritmetica.
Non appena esegui tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizi a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi di algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.
In conclusione, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli che abbiamo appena visto e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.
Risolvere equazioni con una frazione
Per risolvere tali compiti, sarà necessario aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, ricorderò il nostro algoritmo:
- Parentesi aperte.
- Variabili separate.
- Porta simili.
- Dividi per un fattore.
Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficienza, non è del tutto appropriato quando abbiamo davanti a noi delle frazioni. E in quello che vedremo sotto, abbiamo una frazione a sinistra ea destra in entrambe le equazioni.
Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero per eliminare le frazioni. L'algoritmo sarà quindi il seguente:
- Sbarazzati delle frazioni.
- Parentesi aperte.
- Variabili separate.
- Porta simili.
- Dividi per un fattore.
Cosa significa "sbarazzarsi delle frazioni"? E perché è possibile farlo sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche in termini di denominatore, cioè ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambe le parti dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.
Esempio 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Liberiamoci delle frazioni in questa equazione:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, ad es. solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicare ciascuna di esse per "quattro". Scriviamo:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ora apriamolo:
Eseguiamo l'isolamento di una variabile:
Effettuiamo la riduzione di termini simili:
\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.
Esempio #2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problema risolto.
Questo, infatti, è tutto ciò che volevo dire oggi.
Punti chiave
I risultati principali sono i seguenti:
- Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
- Possibilità di aprire le parentesi.
- Non preoccuparti se hai funzioni quadratiche da qualche parte, molto probabilmente, nel processo di ulteriori trasformazioni, verranno ridotte.
- Le radici nelle equazioni lineari, anche le più semplici, sono di tre tipi: una sola radice, l'intera retta dei numeri è una radice, non ci sono affatto radici.
Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito, risolvi gli esempi presentati lì. Resta sintonizzato, ci sono molte altre cose interessanti che ti aspettano!
Generalmente, equazioni appaiono in problemi in cui è richiesto di trovare un certo valore. L'equazione ci permette di formulare il problema nel linguaggio dell'algebra. Risolvendo l'equazione, otteniamo il valore della quantità desiderata, che è chiamata l'incognita. “Andrey ha qualche rublo nel portafoglio. Se moltiplichi questo numero per 2 e poi sottrai 5, ottieni 10. Quanti soldi ha Andrey? Indichiamo l'importo sconosciuto di denaro come x e scriviamo l'equazione: 2x-5=10.
Per parlare di modi per risolvere le equazioni, devi prima definire i concetti di base e familiarizzare con la notazione generalmente accettata. Per diversi tipi di equazioni, esistono diversi algoritmi per risolverli. Le equazioni di primo grado con un'incognita sono le più facili da risolvere. Molti a scuola hanno familiarità con la formula per risolvere equazioni quadratiche. Le tecniche della matematica superiore aiuteranno a risolvere equazioni di ordine superiore. L'insieme di numeri su cui è definita un'equazione è strettamente correlato alle sue soluzioni. Interessante è anche la relazione tra equazioni e grafici di funzioni, poiché la rappresentazione delle equazioni in forma grafica è di grande aiuto in esse.
Descrizione. Un'equazione è un'equazione matematica con una o più incognite, come 2x+3y=0.
Vengono chiamate le espressioni su entrambi i lati del segno di uguale lati sinistro e destro dell'equazione. Le lettere dell'alfabeto latino denotano sconosciuti. Sebbene ci possa essere un numero qualsiasi di incognite, nel seguito parleremo solo di equazioni con una sola incognita, che indicheremo con x.
Grado di equazioneè la potenza massima alla quale l'incognita è elevata. Per esempio,
$3x^4+6x-1=0$ è un'equazione di quarto grado, $x-4x^2+6x=8$ è un'equazione di secondo grado.
Vengono chiamati i numeri per i quali viene moltiplicato l'ignoto coefficienti. Nell'esempio precedente, l'incognita alla quarta potenza ha un coefficiente di 3. Se, quando x è sostituito da questo numero, l'uguaglianza data è soddisfatta, si dice che questo numero soddisfa l'equazione. È chiamato soluzione dell'equazione, o la sua radice. Ad esempio, 3 è la radice, o soluzione, dell'equazione 2x+8=14, poiché 2*3+8=6+8=14.
Risoluzione di equazioni. Diciamo che vogliamo risolvere l'equazione 2x+5=11.
Puoi sostituire qualsiasi valore x in esso, ad esempio x = 2. Sostituiamo x con 2 e otteniamo: 2*2+5=4+5=9.
C'è qualcosa che non va, perché sul lato destro dell'equazione avremmo dovuto ottenere 11. Proviamo x=3: 2*3+5=6+5=11.
La risposta è corretta. Si scopre che se l'ignoto assume il valore 3, allora vale l'uguaglianza. Pertanto, abbiamo dimostrato che il numero 3 è la soluzione dell'equazione.
Si chiama il modo in cui abbiamo usato per risolvere questa equazione metodo di selezione. Ovviamente, è scomodo da usare. Inoltre, non può nemmeno essere definito un metodo. Per verificarlo basta provare ad applicarlo ad un'equazione della forma $x^4-5x^2+16=2365$.
Metodi di soluzione. Quando ci sono le cosiddette "regole del gioco", con le quali sarà utile familiarizzare. Il nostro obiettivo è determinare il valore dell'incognita che soddisfa l'equazione. Pertanto, è necessario isolare in qualche modo l'ignoto. Per fare ciò, è necessario trasferire i termini dell'equazione da una parte all'altra di essa. La prima regola per risolvere le equazioni è...
1. Quando si trasferisce un termine di un'equazione da una parte all'altra, il suo segno cambia nell'opposto: più cambia in meno e viceversa. Considera l'equazione 2x+5=11 come esempio. Sposta 5 da sinistra a destra: 2x=11-5. L'equazione assumerà la forma 2x=6.
Passiamo alla seconda regola.
2. Entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati e divisi per un numero diverso da zero. Applichiamo questa regola alla nostra equazione: $x=\frac62=3$. Sul lato sinistro dell'uguaglianza rimaneva solo l'incognita x, quindi abbiamo trovato il suo valore e risolto l'equazione.
Abbiamo appena considerato il problema più semplice: equazione lineare con una incognita. Equazioni di questo tipo hanno sempre una soluzione, inoltre, possono sempre essere risolte utilizzando le operazioni più semplici: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Ahimè, non tutte le equazioni sono così semplici. Inoltre, il grado della loro complessità aumenta molto rapidamente. Ad esempio, le equazioni di secondo grado possono essere facilmente risolte da qualsiasi studente delle scuole superiori, ma i metodi per risolvere sistemi di equazioni lineari o equazioni di grado superiore vengono studiati solo al liceo.
Le equazioni matematiche non sono solo utili, possono anche essere belle. E molti scienziati ammettono di amare spesso certe formule non solo per la loro funzionalità, ma anche per la loro forma, una certa poesia speciale. Ci sono quelle equazioni conosciute in tutto il mondo, come, ad esempio, E = mc ^ 2. Altri non sono così diffusi, ma la bellezza dell'equazione non dipende dalla sua popolarità.
Teoria generale della relatività
L'equazione sopra descritta fu formulata da Albert Einstein nel 1915 come parte dell'innovativa teoria generale della relatività. La teoria ha effettivamente rivoluzionato il mondo della scienza. È incredibile come un'equazione possa descrivere assolutamente tutto ciò che è intorno, inclusi spazio e tempo. Tutto il vero genio di Einstein è incarnato in lui. Questa è un'equazione molto elegante che descrive brevemente come tutto ciò che ti circonda è connesso, ad esempio come la presenza del Sole in una galassia deforma lo spazio e il tempo in modo che la Terra ruoti attorno ad esso.
modello standard
Il Modello Standard è un'altra delle più importanti teorie della fisica, descrive tutte le particelle elementari che compongono l'universo. Ci sono varie equazioni che possono descrivere questa teoria, ma quella più usata è quella di Lagrange, un matematico e astronomo francese del XVIII secolo. Ha descritto con successo assolutamente tutte le particelle e le forze che agiscono su di esse, ad eccezione della gravità. Ciò include anche il bosone di Higgs recentemente scoperto. È pienamente compatibile con la meccanica quantistica e la relatività generale.
Analisi matematica
Mentre le prime due equazioni descrivono aspetti specifici dell'universo, questa equazione può essere utilizzata in tutte le situazioni possibili. Il teorema fondamentale dell'analisi matematica costituisce la base del metodo matematico noto come calcolo e collega le sue due idee principali: il concetto di integrale e il concetto di derivata. L'analisi matematica ha avuto origine nell'antichità, ma tutte le teorie sono state messe insieme da Isaac Newton nel XVII secolo: le ha usate per calcolare e descrivere il movimento dei pianeti attorno al Sole.
teorema di Pitagora
La buona vecchia ben nota equazione esprime il famoso teorema di Pitagora, che viene insegnato da tutti gli scolari nelle lezioni di geometria. Questa formula descrive che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa, il più lungo di tutti i lati (c), è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, gambe (a e b). Di conseguenza, l'equazione si presenta così: a^2 + b^2 = c^2. Questo teorema sorprende molti matematici e fisici alle prime armi quando sono solo a scuola e non sanno ancora cosa sta preparando per loro il nuovo mondo.
1 = 0.999999999….
Questa semplice equazione indica che il numero 0,999 con un numero infinito di nove dopo la virgola è in realtà uguale a uno. Questa equazione è notevole in quanto è estremamente semplice, incredibilmente visiva, ma riesce comunque a sorprendere e stupire molti. Alcune persone non riescono a credere che sia effettivamente così. Inoltre, l'equazione stessa è bellissima: il suo lato sinistro è la base più semplice della matematica e il lato destro nasconde i segreti ei misteri dell'infinito.
Teoria della relatività ristretta
Albert Einstein fa di nuovo l'elenco, questa volta con la sua teoria della relatività speciale, che descrive come il tempo e lo spazio non sono assoluti ma relativi alla velocità dello spettatore. Questa equazione mostra come il tempo "si espande", rallentando di più man mano che la persona si muove più velocemente. In realtà, l'equazione non è così complicata, semplici derivate, algebra lineare. Tuttavia, ciò che incarna è un modo completamente nuovo di guardare il mondo.
Equazione di Eulero
Questa semplice formula include le conoscenze di base sulla natura delle sfere. Dice che se tagli una sfera e ottieni facce, spigoli e vertici, se prendi F per il numero di facce, E per il numero di spigoli e V per il numero di vertici, ottieni sempre la stessa cosa: V - E + F = 2. Questo è esattamente l'aspetto di questa equazione. La cosa sorprendente è che non importa quale forma sferica assumi - che sia un tetraedro, una piramide o qualsiasi altra combinazione di facce, spigoli e vertici, otterrai sempre lo stesso risultato. Questa combinatoria dice alla gente qualcosa di fondamentale sulle forme sferiche.
Equazione di Eulero-Lagrange e teorema di Noether
Questi concetti sono piuttosto astratti, ma molto potenti. La cosa più interessante è che questo nuovo modo di pensare alla fisica è riuscito a sopravvivere a diverse rivoluzioni di questa scienza, come la scoperta della meccanica quantistica, la teoria della relatività e così via. Qui L sta per l'equazione di Lagrange, che è una misura dell'energia in un sistema fisico. E risolvere questa equazione ti dirà come un particolare sistema si evolverà nel tempo. Una variante dell'equazione di Lagrange è il teorema di Noether, che è fondamentale per la fisica e il ruolo della simmetria. L'essenza del teorema è che se il tuo sistema è simmetrico, in esso opera la corrispondente legge di conservazione. In effetti, l'idea principale di questo teorema è che le leggi della fisica si applicano ovunque.
Equazione del gruppo di rinormalizzazione
Questa equazione è anche chiamata con il nome dei suoi creatori, l'equazione di Callan-Simanczyk. È un'equazione di base vitale scritta nel 1970. Serve a dimostrare come le aspettative ingenue crollano nel mondo quantistico. L'equazione ha anche molte applicazioni per stimare la massa e la dimensione del protone e del neutrone che costituiscono il nucleo di un atomo.
Equazione della superficie minima
Questa equazione incredibilmente calcola e codifica quei bellissimi film di sapone che si formano sul filo quando viene immerso nell'acqua saponosa. Questa equazione, tuttavia, è molto diversa dalle solite equazioni lineari dello stesso campo, come le equazioni del calore, della formazione delle onde e così via. Questa equazione non è lineare, include l'influenza di forze esterne e prodotti derivati.
Linea di Eulero
Prendi un triangolo qualsiasi, disegna il cerchio più piccolo che il triangolo può contenere e trova il suo centro. Trova il centro di massa del triangolo, il punto che consentirebbe al triangolo di bilanciarsi, ad esempio, sulla punta di una matita, se potesse essere ritagliato dalla carta. Disegna tre altezze di questo triangolo (linee che sarebbero perpendicolari ai lati del triangolo da cui sono disegnate) e trova il punto della loro intersezione. L'essenza del teorema è che tutti e tre i punti saranno sulla stessa linea retta, questo è esattamente ciò che è la linea di Eulero. Il teorema incarna tutta la bellezza e il potere della matematica, rivelando schemi sorprendenti nelle cose più semplici.