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Aggiunta della formula delle radici cubiche. Di nuovo a scuola. Aggiunta di radici

Contenuto:

Puoi sommare e sottrarre radici quadrate solo se hanno la stessa espressione radicale, ovvero puoi sommare o sottrarre 2√3 e 4√3, ma non 2√3 e 2√5. Puoi semplificare le espressioni radicali per ridurle alle radici con le stesse espressioni radicali (e poi aggiungerle o sottrarle).

Passi

Parte 1 Comprendere le nozioni di base

  1. 1 (espressione sotto il segno della radice). Per fare ciò, scomponi il numero radicale in due fattori, uno dei quali è un numero quadrato (un numero da cui puoi ricavare una radice intera, ad esempio 25 o 9). Dopodiché estrai la radice del numero quadrato e scrivi il valore trovato davanti al segno della radice (il secondo fattore rimarrà sotto il segno della radice). Ad esempio, 6√50 - 2√8 + 5√12. I numeri davanti al segno della radice sono i fattori delle radici corrispondenti, mentre i numeri sotto il segno della radice sono i numeri radicali (espressioni). Ecco come risolvere questo problema:
    • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Qui fattorizzi 50 in fattori di 25 e 2; poi da 25 estrai la radice uguale a 5, e togli 5 da sotto la radice. Quindi moltiplica 5 per 6 (il moltiplicatore alla radice) e ottieni 30√2.
    • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Qui fattorizzi 8 in fattori di 4 e 2; poi da 4 prendi la radice uguale a 2, e togli 2 da sotto la radice. Quindi moltiplica 2 per 2 (il moltiplicatore alla radice) e ottieni 4√2.
    • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Qui fattorizzi 12 in fattori di 4 e 3; poi da 4 prendi la radice uguale a 2, e togli 2 da sotto la radice. Quindi moltiplica 2 per 5 (il moltiplicatore alla radice) e ottieni 10√3.
  2. 2 Sottolinea le radici le cui espressioni radicali sono le stesse. Nel nostro esempio, l'espressione semplificata è: 30√2 - 4√2 + 10√3. In esso devi sottolineare il primo e il secondo termine ( 30√2 E 4√2 ), poiché hanno lo stesso numero radicale 2. Solo tali radici possono essere aggiunte e sottratte.
  3. 3 Se ti viene fornita un'espressione con un gran numero di termini, molti dei quali hanno le stesse espressioni radicali, utilizza trattini bassi singoli, doppi o tripli per denotare tali termini per facilitare la risoluzione dell'espressione.
  4. 4 Per le radici le cui espressioni radicali sono le stesse, aggiungi o sottrai i fattori davanti al segno della radice e lascia l'espressione radicale invariata (non aggiungere o sottrarre i numeri radicali!). L'idea è mostrare quante radici con una certa espressione radicale sono contenute in una data espressione.
    • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
    • (30 - 4)√2 + 10√3 =
    • 26√2 + 10√3

Parte 2 Facciamo pratica con gli esempi

  1. 1 Esempio 1: √(45) + 4√5.
    • Semplifica √(45). Fattore 45: √(45) = √(9 x 5).
    • Togli 3 da sotto la radice (√9 = 3): √(45) = 3√5.
    • Ora aggiungi i fattori alle radici: 3√5 + 4√5 = 7√5
  2. 2 Esempio 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
    • Semplifica 6√(40). Fattore 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
    • Togli 2 da sotto la radice (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
    • Moltiplica i fattori prima della radice e ottieni 12√10.
    • Ora l'espressione può essere scritta come 12√10 - 3√(10) + √5. Poiché i primi due termini hanno lo stesso radicale, puoi sottrarre il secondo termine dal primo e lasciare invariato il primo.
    • Otterrai: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
  3. 3 Esempio 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Qui nessuna delle espressioni radicali può essere fattorizzata, quindi questa espressione non può essere semplificata. Puoi sottrarre il terzo termine dal primo (poiché hanno gli stessi radicali) e lasciare invariato il secondo termine. Otterrai: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
  4. 4 Esempio 4. √9 + √4 - 3√2.
    • √9 = √(3 x 3) = 3.
    • √4 = √(2 x 2) = 2.
    • Ora puoi semplicemente sommare 3 + 2 per ottenere 5.
    • Risposta finale: 5 - 3√2.
  5. 5 Esempio 5. Risolvi un'espressione contenente radici e frazioni. Puoi sommare e calcolare solo frazioni che hanno un denominatore comune (stesso). È data l'espressione (√2)/4 + (√2)/2.
    • Trova il minimo comune denominatore di queste frazioni. Questo è un numero uniformemente divisibile per ciascun denominatore. Nel nostro esempio, il numero 4 è divisibile per 4 e 2.
    • Ora moltiplica la seconda frazione per 2/2 (per portarla a un denominatore comune; la prima frazione è già stata ridotta a esso): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
    • Somma i numeratori delle frazioni e lascia invariato il denominatore: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .
  • Prima di sommare o sottrarre le radici, assicurati di semplificare (se possibile) le espressioni radicali.

Avvertenze

  • Non aggiungere o sottrarre mai radici con espressioni radicali diverse.
  • Non sommare o sottrarre mai un numero intero e una radice, ad es. 3 + (2x) 1/2 .
    • Nota: "x" elevato alla seconda e la radice quadrata di "x" sono la stessa cosa (cioè x 1/2 = √x).

Estrarre la radice del quadrante di un numero non è l'unica operazione che si può eseguire con questo fenomeno matematico. Proprio come i numeri normali, le radici quadrate aggiungono e sottraggono.

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Regole per aggiungere e sottrarre radici quadrate

Definizione 1

Operazioni come addizione e sottrazione di radici quadrate sono possibili solo se l'espressione radicale è la stessa.

Esempio 1

Puoi aggiungere o sottrarre espressioni 2 3 e 63, ma non 5 6 E 94. Se è possibile semplificare l'espressione e ridurla alle radici con lo stesso radicale, allora semplifica e poi aggiungi o sottrai.

Azioni con radici: nozioni di base

Esempio 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritmo di azione:

  1. Semplifica l'espressione radicale. Per fare ciò è necessario scomporre l'espressione radicale in 2 fattori, uno dei quali è un numero quadrato (il numero da cui si estrae l'intera radice quadrata, ad esempio 25 o 9).
  2. Quindi devi prendere la radice del numero quadrato e scrivi il valore risultante prima del segno della radice. Si tenga presente che il secondo fattore va inserito sotto il segno della radice.
  3. Dopo il processo di semplificazione, è necessario enfatizzare le radici con le stesse espressioni radicali, solo che possono essere aggiunte e sottratte.
  4. Per radici con le stesse espressioni radicali è necessario aggiungere o sottrarre i fattori che compaiono prima del segno di radice. L'espressione radicale rimane invariata. Non è possibile aggiungere o sottrarre numeri radicali!

Suggerimento 1

Se hai un esempio con un gran numero di espressioni radicali identiche, sottolinea tali espressioni con linee singole, doppie e triple per facilitare il processo di calcolo.

Esempio 3

Proviamo a risolvere questo esempio:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Per prima cosa devi scomporre 50 in 2 fattori 25 e 2, quindi prendere la radice di 25, che è uguale a 5, ed estrarre 5 da sotto la radice. Dopodiché devi moltiplicare 5 per 6 (il fattore alla radice) e ottenere 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Per prima cosa devi scomporre 8 in 2 fattori: 4 e 2. Quindi prendi la radice da 4, che è uguale a 2, ed estrai 2 da sotto la radice. Successivamente, devi moltiplicare 2 per 2 (il fattore alla radice) e ottenere 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Per prima cosa devi scomporre 12 in 2 fattori: 4 e 3. Quindi estrai la radice di 4, che è uguale a 2, e rimuovila da sotto la radice. Successivamente, devi moltiplicare 2 per 5 (il fattore alla radice) e ottenere 10 3.

Risultato della semplificazione: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Di conseguenza, abbiamo visto quante espressioni radicali identiche sono contenute in questo esempio. Ora facciamo pratica con altri esempi.

Esempio 4

  • Semplifichiamo (45). Fattore 45: (45) = (9 × 5) ;
  • Togliamo 3 da sotto la radice (9 = 3): 45 = 3 5 ;
  • Somma i fattori alle radici: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Esempio 5

6 40 - 3 10 + 5:

  • Semplifichiamo 6 40. Fattorizziamo 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
  • Togliamo 2 da sotto la radice (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
  • Moltiplichiamo i fattori che compaiono davanti alla radice: 12 10 ;
  • Scriviamo l'espressione in forma semplificata: 12 10 - 3 10 + 5 ;
  • Poiché i primi due termini hanno gli stessi numeri radicali, possiamo sottrarli: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Esempio 6

Come possiamo vedere, non è possibile semplificare i numeri radicali, quindi cerchiamo nell'esempio i termini con gli stessi numeri radicali, svolgiamo operazioni matematiche (addizione, sottrazione, ecc.) e scriviamo il risultato:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Consiglio:

  • Prima di aggiungere o sottrarre è necessario semplificare (se possibile) le espressioni radicali.
  • È severamente vietato aggiungere e sottrarre radici con espressioni radicali diverse.
  • Non dovresti aggiungere o sottrarre un numero intero o una radice: 3 + (2 x) 1 / 2 .
  • Quando esegui operazioni con le frazioni, devi trovare un numero divisibile per ciascun denominatore, quindi portare le frazioni a un denominatore comune, quindi aggiungere i numeratori e lasciare invariati i denominatori.

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Contenuto:

In matematica, le radici possono essere quadrate, cubiche o avere qualsiasi altro esponente (potenza), che è scritto a sinistra sopra il segno della radice. Un'espressione sotto il segno della radice è chiamata espressione radicale. L'aggiunta di radici è simile all'aggiunta di termini di un'espressione algebrica, ovvero richiede la determinazione di radici simili.

Passi

Parte 1 Determinazione delle radici

  1. 1 Designazione delle radici. Un'espressione sotto il segno della radice (√) significa che è necessario estrarre la radice di un certo grado da questa espressione.
    • La radice è indicata con il segno √.
    • L'esponente (grado) della radice è scritto a sinistra sopra il segno della radice. Ad esempio, la radice cubica di 27 si scrive come: 3 √(27)
    • Se manca l'indice (grado) della radice, l'esponente è considerato uguale a 2, cioè è una radice quadrata (o radice di secondo grado).
    • Il numero scritto prima del segno di radice è chiamato moltiplicatore (cioè questo numero viene moltiplicato per la radice), ad esempio 5√(2)
    • Se non c'è nessun fattore davanti alla radice, allora è uguale a 1 (ricorda che qualsiasi numero moltiplicato per 1 è uguale a se stesso).
    • Se è la prima volta che lavori con le radici, prendi appunti appropriati sul moltiplicatore e sull'esponente della radice per evitare confusione e comprenderne meglio lo scopo.
  2. 2 Ricorda quali radici possono essere piegate e quali no. Proprio come non puoi aggiungere termini diversi di un'espressione, ad esempio 2a + 2b ≠ 4ab, non puoi aggiungere radici diverse.
    • Non è possibile aggiungere radici con espressioni radicali diverse, ad esempio √(2) + √(3) ≠ √(5). Ma puoi sommare numeri sotto la stessa radice, ad esempio, √(2 + 3) = √(5) (la radice quadrata di 2 è circa 1,414, la radice quadrata di 3 è circa 1,732 e la radice quadrata di 5 è circa 2.236).
    • Non è possibile sommare radici con le stesse espressioni radicali, ma esponenti diversi, ad esempio √(64) + 3 √(64) (questa somma non è uguale a 5 √(64), poiché la radice quadrata di 64 è 8, la radice cubica di 64 è 4 , 8 + 4 = 12, che è molto più grande della radice quinta di 64, che è circa 2,297).

Parte 2 Semplificazione e aggiunta di radici

  1. 1 Identificare e raggruppare radici simili. Radici simili sono radici che hanno gli stessi indicatori e le stesse espressioni radicali. Consideriamo ad esempio l'espressione:
    2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
    • Innanzitutto, riscrivi l'espressione in modo che le radici con lo stesso indice siano posizionate in sequenza.
      2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Quindi riscrivi l'espressione in modo che le radici con lo stesso esponente e con la stessa espressione radicale si trovino in sequenza.
      2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
  2. 2 Semplifica le radici. Per fare ciò, scomporre (ove possibile) le espressioni radicali in due fattori, uno dei quali viene estratto dalla radice. In questo caso, il numero rimosso e il fattore radice vengono moltiplicati.
    • Nell'esempio precedente, fattorizza il numero 50 in 2*25 e il numero 32 in 2*16. Da 25 e 16 puoi prendere le radici quadrate (5 e 4, rispettivamente) e rimuovere 5 e 4 da sotto la radice, moltiplicandoli rispettivamente per i fattori 2 e 1. Quindi, ottieni un'espressione semplificata: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Il numero 81 può essere scomposto 3*27, e dal numero 27 puoi prendere la radice cubica di 3. Questo numero 3 può essere estratto da sotto la radice. Pertanto, ottieni un'espressione ancora più semplificata: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
  3. 3 Aggiungi i fattori di radici simili. Nel nostro esempio, ci sono radici quadrate simili di 2 (possono essere sommate) e radici quadrate simili di 3 (possono anche essere sommate). La radice cubica di 3 non ha tali radici.
    • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
    • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
    • Espressione finale semplificata: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)
  • Non esistono regole generalmente accettate per l'ordine in cui le radici sono scritte in un'espressione. Pertanto, puoi scrivere le radici in ordine crescente dei loro indicatori e in ordine crescente delle espressioni radicali.

Fatto 1.
\(\bullet\) Prendiamo un numero non negativo \(a\) (ovvero \(a\geqslant 0\) ). Quindi (aritmetica) radice quadrata dal numero \(a\) viene chiamato tale numero non negativo \(b\) , al quadrato otteniamo il numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(uguale a )\quad a=b^2\] Dalla definizione ne consegue che \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Queste restrizioni sono una condizione importante per l'esistenza di una radice quadrata e dovrebbero essere ricordate!
Ricorda che qualsiasi numero al quadrato dà un risultato non negativo. Cioè, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) A cosa è uguale \(\sqrt(25)\)? Sappiamo che \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Poiché per definizione dobbiamo trovare un numero non negativo, allora \(-5\) non è adatto, quindi \(\sqrt(25)=5\) (poiché \(25=5^2\) ).
Trovare il valore di \(\sqrt a\) viene chiamato prendendo la radice quadrata del numero \(a\) e il numero \(a\) viene chiamato espressione radicale.
\(\bullet\) In base alla definizione, espressione \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ecc. non ha senso

Fatto 2.
Per calcoli rapidi, sarà utile imparare la tabella dei quadrati dei numeri naturali da \(1\) a \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fatto 3.
Quali operazioni si possono fare con le radici quadrate?
\(\proiettile\) Cioè, la somma o la differenza delle radici quadrate NON È UGUALE alla radice quadrata della somma o della differenza \[\quadrato a\pm\quadrato b\ne \quadrato(a\pm b)\] Pertanto, se devi calcolare, ad esempio, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inizialmente devi trovare i valori di \(\sqrt(25)\) e \(\ sqrt(49)\ ) e poi piegarli. Quindi, \[\quadrato(25)+\quadrato(49)=5+7=12\] Se i valori \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) non possono essere trovati aggiungendo \(\sqrt a+\sqrt b\), tale espressione non viene ulteriormente trasformata e rimane così com'è. Ad esempio, nella somma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) possiamo trovare \(\sqrt(49)\) è \(7\) , ma \(\sqrt 2\) non può essere trasformato in comunque, ecco perché \(\quadrato 2+\quadrato(49)=\quadrato 2+7\). Purtroppo questa espressione non può essere ulteriormente semplificata\(\bullet\) Il prodotto/quoziente delle radici quadrate è uguale alla radice quadrata del prodotto/quoziente, cioè \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (a condizione che entrambi i lati delle uguaglianze abbiano senso)
Esempio: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando queste proprietà, è conveniente trovare le radici quadrate di grandi numeri fattorizzandoli.
Diamo un'occhiata a un esempio. Troviamo \(\sqrt(44100)\) . Poiché \(44100:100=441\) , allora \(44100=100\cdot 441\) . Secondo il criterio di divisibilità, il numero \(441\) è divisibile per \(9\) (poiché la somma delle sue cifre è 9 ed è divisibile per 9), quindi, \(441:9=49\), cioè \(441=9\ cdot 49\) .
Così abbiamo ottenuto: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Diamo un'occhiata a un altro esempio: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mostriamo come inserire i numeri sotto il segno della radice quadrata usando l'esempio dell'espressione \(5\sqrt2\) (notazione breve per l'espressione \(5\cdot \sqrt2\)). Poiché \(5=\sqrt(25)\) , allora \ Si noti inoltre che, ad es.
1) \(\quadrato2+3\quadrato2=4\quadrato2\) ,
2) \(5\quadrato3-\quadrato3=4\quadrato3\)
3) \(\quadrato a+\quadrato a=2\quadrato a\) .

Perché? Spieghiamo utilizzando l'esempio 1). Come già capisci, non possiamo in qualche modo trasformare il numero \(\sqrt2\). Immaginiamo che \(\sqrt2\) sia un numero \(a\) . Di conseguenza, l'espressione \(\sqrt2+3\sqrt2\) non è altro che \(a+3a\) (un numero \(a\) più altri tre numeri uguali \(a\)). E sappiamo che questo è uguale a quattro di questi numeri \(a\) , cioè \(4\sqrt2\) .

Fatto 4.
\(\bullet\) Spesso si dice “non puoi estrarre la radice” quando non riesci a eliminare il segno \(\sqrt () \ \) della radice (radicale) quando trovi il valore di un numero . Ad esempio, puoi prendere la radice del numero \(16\) perché \(16=4^2\) , quindi \(\sqrt(16)=4\) . Ma è impossibile estrarre la radice del numero \(3\), cioè trovare \(\sqrt3\), perché non esiste un numero che al quadrato dia \(3\) .
Tali numeri (o espressioni con tali numeri) sono irrazionali. Ad esempio, i numeri \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) e così via. sono irrazionali.
Irrazionali sono anche i numeri \(\pi\) (il numero “pi”, approssimativamente uguale a \(3.14\)), \(e\) (questo numero è chiamato numero di Eulero, è approssimativamente uguale a \(2.7 \)) eccetera.
\(\bullet\) Tieni presente che qualsiasi numero sarà razionale o irrazionale. E insieme tutti i numeri razionali e tutti i numeri irrazionali formano un insieme chiamato un insieme di numeri reali. Questo insieme è indicato dalla lettera \(\mathbb(R)\) .
Ciò significa che tutti i numeri che attualmente conosciamo sono chiamati numeri reali.

Fatto 5.
\(\bullet\) Il modulo di un numero reale \(a\) è un numero non negativo \(|a|\) uguale alla distanza dal punto \(a\) a \(0\) sul linea reale. Ad esempio, \(|3|\) e \(|-3|\) sono uguali a 3, poiché le distanze dai punti \(3\) e \(-3\) a \(0\) sono le uguale e uguale a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) è un numero non negativo, allora \(|a|=a\) .
Esempio: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Se \(a\) è un numero negativo, allora \(|a|=-a\) .
Esempio: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Si dice che per i numeri negativi il modulo “mangia” il meno, mentre i numeri positivi, così come il numero \(0\), vengono lasciati invariati dal modulo.
MA Questa regola si applica solo ai numeri. Se sotto il segno del modulo c'è uno sconosciuto \(x\) (o qualche altro sconosciuto), ad esempio \(|x|\) , di cui non sappiamo se sia positivo, zero o negativo, allora sbarazzati del modulo non possiamo. In questo caso, questa espressione rimane la stessa: \(|x|\) . \(\bullet\) Valgono le seguenti formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornito ) a\geqslant 0\] Molto spesso si commette il seguente errore: si dice che \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) sono la stessa cosa. Questo è vero solo se \(a\) è un numero positivo o zero. Ma se \(a\) è un numero negativo, allora è falso. Basti considerare questo esempio. Prendiamo al posto di \(a\) il numero \(-1\) . Quindi \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ma l'espressione \((\sqrt (-1))^2\) non esiste affatto (dopotutto, è impossibile usare il segno di radice e mettere numeri negativi!).
Pertanto, attiriamo la vostra attenzione sul fatto che \(\sqrt(a^2)\) non è uguale a \((\sqrt a)^2\) ! Esempio 1) \(\quadrato(\sinistra(-\quadrato2\destra)^2)=|-\quadrato2|=\quadrato2\), Perché \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \(((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Poiché \(\sqrt(a^2)=|a|\) , allora \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'espressione \(2n\) denota un numero pari)
Cioè, quando si prende la radice di un numero che è di un certo grado, questo grado viene dimezzato.
Esempio:
1) \(\quadrato(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notare che se il modulo non viene fornito, risulta che la radice del numero è uguale a \(-25\ ); ma ricordiamo, che per definizione di radice questo non può accadere: quando si estrae una radice, dovremmo sempre ottenere un numero positivo o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (poiché qualsiasi numero elevato a una potenza pari è non negativo)

Fatto 6.
Come confrontare due radici quadrate?
\(\bullet\) Per le radici quadrate è vero: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsempio:
1) confrontare \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Innanzitutto, trasformiamo la seconda espressione in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Pertanto, poiché \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tra quali numeri interi si trova \(\sqrt(50)\)?
Poiché \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , e \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Confrontiamo \(\sqrt 2-1\) e \(0.5\) . Supponiamo che \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((aggiungi uno ad entrambi i lati))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadratura di entrambi i lati))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Vediamo che abbiamo ottenuto una disuguaglianza errata. Pertanto, la nostra ipotesi era errata e \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Si noti che l'aggiunta di un certo numero a entrambi i membri della disuguaglianza non influisce sul suo segno. Anche moltiplicare/dividere entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo non ne influenza il segno, ma moltiplicare/dividere per un numero negativo inverte il segno della disuguaglianza!
Puoi elevare al quadrato entrambi i lati di un'equazione/disuguaglianza SOLO SE entrambi i lati sono non negativi. Ad esempio, nella disuguaglianza dell'esempio precedente puoi elevare al quadrato entrambi i lati, nella disuguaglianza \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) È bene ricordarlo \[\begin(aligned) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(aligned)\] Conoscere il significato approssimativo di questi numeri ti aiuterà a confrontare i numeri! \(\bullet\) Per estrarre la radice (se è possibile estrarla) da un numero grande che non si trova nella tabella dei quadrati, è necessario prima determinare tra quali “centinaia” si trova, quindi – tra quale “ decine", quindi determinare l'ultima cifra di questo numero. Mostriamo come funziona con un esempio.
Prendiamo \(\sqrt(28224)\) . Sappiamo che \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), ecc. Tieni presente che \(28224\) è compreso tra \(10\,000\) e \(40\,000\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(100\) e \(200\) .
Ora determiniamo tra quali “decine” si trova il nostro numero (cioè, ad esempio, tra \(120\) e \(130\)). Inoltre dalla tavola dei quadrati sappiamo che \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ecc., quindi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Quindi vediamo che \(28224\) è compreso tra \(160^2\) e \(170^2\) . Pertanto, il numero \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(160\) e \(170\) .
Proviamo a determinare l'ultima cifra. Ricordiamo quali numeri a una cifra, al quadrato, danno \(4\) alla fine? Questi sono \(2^2\) e \(8^2\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) terminerà con 2 o 8. Controlliamolo. Troviamo \(162^2\) e \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Pertanto, \(\sqrt(28224)=168\) . Ecco!

Per risolvere adeguatamente l'esame di stato unificato in matematica, devi prima studiare materiale teorico, che ti introduce a numerosi teoremi, formule, algoritmi, ecc. A prima vista, può sembrare abbastanza semplice. Tuttavia, trovare una fonte in cui la teoria per l'Esame di Stato Unificato di matematica sia presentata in modo semplice e comprensibile per gli studenti di qualsiasi livello di formazione è in realtà un compito piuttosto difficile. I libri di testo scolastici non possono essere sempre tenuti a portata di mano. E trovare le formule base per l'Esame di Stato Unificato di matematica può essere difficile anche su Internet.

Perché è così importante studiare teoria in matematica non solo per chi sostiene l'Esame di Stato Unificato?

  1. Perché allarga i tuoi orizzonti. Lo studio del materiale teorico in matematica è utile per chiunque desideri ottenere risposte a una vasta gamma di domande relative alla conoscenza del mondo che lo circonda. Tutto in natura è ordinato e ha una logica chiara. Questo è proprio ciò che si riflette nella scienza, attraverso la quale è possibile comprendere il mondo.
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Ti invitiamo a valutare personalmente tutti i vantaggi del nostro approccio alla sistematizzazione e alla presentazione dei materiali didattici.

La radice quadrata di un numero x è un numero a, che moltiplicato per se stesso dà il numero x: a * a = a^2 = x, √x = a. Come con qualsiasi numero, puoi eseguire le operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione con radici quadrate.

Istruzioni

  • Innanzitutto, quando aggiungi radici quadrate, prova a estrarre quelle radici. Ciò sarà possibile se i numeri sotto il segno della radice sono quadrati perfetti. Ad esempio, sia data l'espressione √4 + √9. Il primo numero 4 è il quadrato del numero 2. Il secondo numero 9 è il quadrato del numero 3. Quindi risulta che: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
  • Se non ci sono quadrati completi sotto il segno della radice, prova a rimuovere il moltiplicatore del numero da sotto il segno della radice. Ad esempio, sia data l'espressione √24 + √54. Fattorizza i numeri: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Il numero 24 ha un fattore 4, che può essere tolto sotto il segno della radice quadrata. Il numero 54 ha un fattore pari a 9. Pertanto risulta che: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . In questo esempio, rimuovendo il fattore sotto il segno della radice, è stato possibile semplificare l'espressione data.
  • Lascia che la somma di due radici quadrate sia il denominatore di una frazione, ad esempio A / (√a + √b). E lascia che il tuo compito sia “sbarazzarti dell’irrazionalità nel denominatore”. Quindi puoi utilizzare il seguente metodo. Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione √a - √b. Pertanto, al denominatore otteniamo la formula di moltiplicazione abbreviata: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Per analogia, se il denominatore contiene la differenza tra le radici: √a - √b, allora il numeratore e il denominatore della frazione devono essere moltiplicati per l'espressione √a + √b. Ad esempio, sia la frazione 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
  • Considera un esempio più complesso di eliminazione dell'irrazionalità nel denominatore. Sia data la frazione 12 / (√2 + √3 + √5). È necessario moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione √2 + √3 - √5:
    12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
  • Infine, se hai bisogno solo di un valore approssimativo, puoi utilizzare una calcolatrice per calcolare le radici quadrate. Calcola i valori separatamente per ciascun numero e scrivili con la precisione richiesta (ad esempio, due cifre decimali). E poi esegui le operazioni aritmetiche richieste, come con i numeri ordinari. Ad esempio, supponiamo che tu debba conoscere il valore approssimativo dell'espressione √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.