Espansione di una funzione in una serie di Taylor, Maclaurin e Laurent su un sito per la formazione di abilità pratiche. Questa espansione in serie di una funzione consente ai matematici di stimare il valore approssimativo della funzione in un punto qualsiasi del suo dominio di definizione. Calcolare un valore di tale funzione è molto più semplice rispetto all'utilizzo della tabella Bredis, che è così irrilevante nell'era della tecnologia informatica. Sviluppare una funzione in una serie di Taylor significa calcolare i coefficienti delle funzioni lineari di questa serie e scriverli nella forma corretta. Gli studenti confondono queste due serie, non capendo quale sia il caso generale e quale sia il caso speciale della seconda. Ricordiamo una volta per tutte che la serie di Maclaurin è un caso speciale della serie di Taylor, cioè questa è la serie di Taylor, ma nel punto x = 0. Tutte le brevi voci per l'espansione di funzioni ben note, come e^x, Sin(x), Cos(x) e altri, questi sono sviluppi in serie di Taylor, ma al punto 0 per l'argomento. Per le funzioni con argomento complesso, la serie di Laurent è il problema più comune in TFCT, poiché rappresenta una serie infinita a due lati. È la somma di due serie. Ti consigliamo di guardare un esempio di scomposizione direttamente sul sito; questo è molto semplice da fare cliccando su “Esempio” con un numero qualsiasi e poi sul pulsante “Soluzione”. È proprio questa espansione di una funzione in una serie associata a una serie maggiorante che limita la funzione originaria in una certa regione lungo l'asse delle ordinate se la variabile appartiene alla regione delle ascisse. L'analisi vettoriale viene paragonata a un'altra interessante disciplina della matematica. Poiché ogni termine deve essere esaminato, il processo richiede molto tempo. Qualsiasi serie di Taylor può essere associata a una serie di Maclaurin sostituendo x0 con zero, ma per una serie di Maclaurin a volte non è ovvio rappresentare la serie di Taylor al contrario. Come se non fosse necessario farlo nella sua forma pura, è interessante per l'autosviluppo generale. Ad ogni serie di Laurent corrisponde una serie di potenze infinite bilaterale in potenze intere di z-a, cioè una serie dello stesso tipo di Taylor, ma leggermente diversa nel calcolo dei coefficienti. Della regione di convergenza della serie di Laurent parleremo più avanti, dopo alcuni calcoli teorici. Come nel secolo scorso, l'espansione graduale di una funzione in una serie difficilmente può essere ottenuta semplicemente portando i termini a un denominatore comune, poiché le funzioni nei denominatori non sono lineari. Un calcolo approssimativo del valore funzionale è richiesto dalla formulazione dei problemi. Si pensi al fatto che quando l'argomento di una serie di Taylor è una variabile lineare, l'espansione avviene in più passaggi, ma il quadro è completamente diverso quando l'argomento della funzione da espandere è una funzione complessa o non lineare, quindi il processo di rappresentare tale funzione in una serie di potenze è ovvio, poiché, in questo modo, è facile calcolare, sia pure un valore approssimato, in qualsiasi punto della regione di definizione, con un errore minimo che ha poco effetto sui calcoli successivi. Questo vale anche per la serie Maclaurin. quando è necessario calcolare la funzione al punto zero. Tuttavia, la stessa serie Laurent è qui rappresentata da un'espansione sul piano con unità immaginarie. Inoltre, la corretta soluzione del problema durante l'intero processo non sarà priva di successo. Questo approccio non è conosciuto in matematica, ma oggettivamente esiste. Di conseguenza, è possibile giungere alla conclusione dei cosiddetti sottoinsiemi puntuali e nell'espansione di una funzione in una serie è necessario utilizzare metodi noti per questo processo, come l'applicazione della teoria delle derivate. Ancora una volta siamo convinti che avesse ragione l'insegnante che ha formulato le sue ipotesi sui risultati dei calcoli post-computazionali. Notiamo che la serie di Taylor, ottenuta secondo tutti i canoni della matematica, esiste ed è definita su tutto l'asse numerico, però, cari utenti del servizio del sito, non dimenticate il tipo della funzione originale, perché potrebbe risultare che inizialmente è necessario stabilire il dominio di definizione della funzione, cioè scrivere ed escludere da ulteriori considerazioni quei punti in cui la funzione non è definita nel dominio dei numeri reali. Per così dire, questo mostrerà la tua efficienza nel risolvere il problema. La costruzione di una serie di Maclaurin con valore di argomento pari a zero non costituirà un'eccezione a quanto detto. Il processo di ricerca del dominio di definizione di una funzione non è stato annullato e devi affrontare questa operazione matematica con tutta serietà. Nel caso di una serie di Laurent contenente la parte principale, il parametro "a" sarà chiamato punto singolare isolato e la serie di Laurent verrà espansa in un anello - questa è l'intersezione delle aree di convergenza delle sue parti, quindi seguirà il teorema corrispondente. Ma non tutto è così complicato come potrebbe sembrare a prima vista a uno studente inesperto. Dopo aver studiato la serie di Taylor, puoi facilmente comprendere la serie di Laurent, un caso generalizzato per espandere lo spazio dei numeri. Qualsiasi sviluppo in serie di una funzione può essere eseguito solo in un punto nel dominio di definizione della funzione. Dovrebbero essere prese in considerazione le proprietà delle funzioni come la periodicità o la differenziabilità infinita. Ti consigliamo inoltre di utilizzare la tabella già pronta degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari, poiché una funzione può essere rappresentata fino a dozzine di diverse serie di potenze, come puoi vedere utilizzando il nostro calcolatore online. Determinare la serie Maclaurin online è facilissimo, se utilizzi l'esclusivo servizio del sito web, devi solo inserire la funzione scritta corretta e riceverai la risposta presentata in pochi secondi, è garantito che sia accurata e in linea una forma scritta standard. Puoi copiare il risultato direttamente in una copia pulita da inviare all'insegnante. Sarebbe corretto determinare prima l'analiticità della funzione in questione negli anelli, e poi affermare inequivocabilmente che è espandibile in una serie di Laurent in tutti questi anelli. È importante non perdere di vista i termini della serie di Laurent contenenti poteri negativi. Concentrati su questo il più possibile. Fare buon uso del teorema di Laurent sullo sviluppo di una funzione in potenze intere.
Se la funzione f(x) ha derivate di tutti gli ordini su un certo intervallo contenente il punto a, allora ad essa può essere applicata la formula di Taylor:
,
Dove r n– il cosiddetto termine resto o resto della serie, può essere stimato utilizzando la formula di Lagrange:
, dove il numero x è compreso tra x e a.
f(x)=
Nel punto x 0 =
Numero di elementi della riga 3 4 5 6 7
Utilizzare lo sviluppo delle funzioni elementari e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m
Regole per l'immissione delle funzioni:
Se per qualche valore X r n→0 a N→∞, allora nel limite la formula di Taylor diventa convergente per questo valore Serie di Taylor:
,
Pertanto, la funzione f(x) può essere sviluppata in una serie di Taylor nel punto x in esame se:
1) ha derivati di tutti gli ordini;
2) la serie costruita converge in questo punto.
Quando a = 0 otteniamo una serie chiamata serie di Maclaurin:
,
Espansione delle funzioni più semplici (elementari) della serie Maclaurin:
Funzioni esponenziali
, R=∞
Funzioni trigonometriche 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
La funzione actgx non si espande in potenze di x, perché ctg0=∞
Funzioni iperboliche
Funzioni logaritmiche
, -1