- Questo è un poliedro, formato dalla base della piramide e da una sezione parallela ad essa. Possiamo dire che una piramide tronca è una piramide con la parte superiore tagliata. Questa figura ha molte proprietà uniche:

• Le facce laterali della piramide sono trapezi;
• Le nervature laterali di una piramide regolare tronca sono della stessa lunghezza e inclinate rispetto alla base con lo stesso angolo;
• Le basi sono poligoni simili;
• In una piramide tronca regolare, le facce sono trapezi isosceli identici, la cui area è uguale. Sono anche inclinati rispetto alla base ad un angolo.

La formula per l'area della superficie laterale di una piramide tronca è la somma delle aree dei suoi lati:

Poiché i lati della piramide tronca sono trapezi, dovrai utilizzare la formula per calcolare i parametri zona trapezoidale. Per una piramide tronca regolare si può applicare un'altra formula per il calcolo dell'area. Poiché tutti i suoi lati, facce e angoli alla base sono uguali, è possibile applicare i perimetri della base e dell'apotema, e anche ricavare l'area attraverso l'angolo alla base.

Se, secondo le condizioni di una piramide regolare tronca, sono dati l'apotema (altezza del lato) e le lunghezze dei lati della base, allora l'area può essere calcolata tramite il semiprodotto della somma dei perimetri di le basi e l'apotema:

Consideriamo un esempio di calcolo della superficie laterale di una piramide tronca.
Data una piramide pentagonale regolare. Apotema l\u003d 5 cm, la lunghezza del viso nella base grande è UN\u003d 6 cm e la faccia è alla base più piccola B\u003d 4 cm Calcola l'area della piramide troncata.

Per prima cosa troviamo i perimetri delle basi. Poiché ci viene data una piramide pentagonale, comprendiamo che le basi sono pentagoni. Ciò significa che le basi sono una figura con cinque lati identici. Trova il perimetro della base maggiore:

Allo stesso modo troviamo il perimetro della base minore:

Ora possiamo calcolare l'area di una piramide regolare troncata. Sostituiamo i dati nella formula:

Pertanto, abbiamo calcolato l'area di una piramide tronca regolare attraverso i perimetri e l'apotema.

Un altro modo per calcolare la superficie laterale di una piramide regolare è la formula attraverso gli angoli alla base e l'area di queste stesse basi.

Consideriamo un esempio di calcolo. Ricorda che questa formula si applica solo a una piramide tronca regolare.

Sia data una piramide quadrangolare regolare. La faccia della base inferiore è a = 6 cm, la faccia della base superiore b = 4 cm L'angolo diedro alla base è β = 60°. Trova l'area della superficie laterale di una piramide tronca regolare.

Per prima cosa calcoliamo l'area delle basi. Poiché la piramide è regolare, tutte le facce delle basi sono uguali tra loro. Dato che la base è un quadrilatero, capiamo che sarà necessario calcolare area quadrata. È il prodotto di larghezza e lunghezza, ma al quadrato questi valori sono gli stessi. Trova l'area della base più grande:


Ora utilizziamo i valori trovati per calcolare l'area della superficie laterale.

Conoscendo alcune semplici formule, possiamo facilmente calcolare l'area del trapezio laterale di un tronco di piramide attraverso vari valori.

• 09.10.2014

  Il preamplificatore mostrato in figura è progettato per l'uso con 4 tipi di sorgenti sonore, come microfono, lettore CD, radioregistratore, ecc. Allo stesso tempo, il preamplificatore ha un ingresso che può modificare la sensibilità da 50 mV a 500 mV . la tensione di uscita dell'amplificatore è 1000 mV. Collegando diverse sorgenti di segnale quando si commuta l'interruttore SA1, otterremo sempre...

• 20.09.2014

  L'alimentatore è progettato per un carico con una potenza di 15 ... 20 watt. La sorgente è realizzata secondo lo schema di un convertitore ad alta frequenza pulsato a ciclo singolo. Sul transistor è assemblato un oscillatore operante ad una frequenza di 20 ... 40 kHz. La frequenza è regolata dalla capacità C5. Gli elementi VD5, VD6 e C6 formano un circuito per l'avvio di un oscillatore. Nel circuito secondario, dopo il raddrizzatore a ponte, è presente uno stabilizzatore lineare convenzionale su un microcircuito, che consente di avere ...

• 28.09.2014

  La figura mostra un generatore su un chip K174XA11, la cui frequenza è controllata dalla tensione. Modificando la capacità C1 da 560 a 4700pF si può ottenere un'ampia gamma di frequenza, mentre la frequenza viene regolata modificando la resistenza R4. Ad esempio, l'autore ha scoperto che, a C1 \u003d 560pF, la frequenza del generatore può essere modificata utilizzando R4 da 600Hz a 200kHz, ...

• 03.10.2014

  L'unità è progettata per alimentare un potente ULF, è progettata per una tensione di uscita di ± 27 V e quindi carica fino a 3 A su ciascun braccio. L'alimentatore è bipolare, realizzato su transistor compositi completi KT825-KT827. Entrambi i bracci dello stabilizzatore sono realizzati secondo lo stesso schema, ma nell'altro braccio (non è mostrato) la polarità dei condensatori viene cambiata e vengono utilizzati i transistor dell'altro ...

La capacità di calcolare il volume delle figure spaziali è importante per risolvere una serie di problemi pratici di geometria. Una delle forme più comuni è la piramide. In questo articolo considereremo le piramidi, sia piene che troncate.

Piramide come figura tridimensionale

Tutti conoscono le piramidi egiziane, quindi hanno una buona idea di quale figura verrà discussa. Tuttavia, le strutture in pietra egiziane sono solo un caso speciale di un'enorme classe di piramidi.

L'oggetto geometrico considerato nel caso generale è una base poligonale, ciascun vertice della quale è collegato a un punto dello spazio che non appartiene al piano di base. Questa definizione porta a una figura composta da un n-gon e n triangoli.

Ogni piramide è composta da n+1 facce, 2*n spigoli e n+1 vertici. Poiché la figura in esame è un poliedro perfetto, i numeri degli elementi contrassegnati obbediscono all'equazione di Eulero:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Il poligono situato alla base dà il nome alla piramide, ad esempio triangolare, pentagonale e così via. Una serie di piramidi con basi diverse è mostrata nella foto sotto.

Il punto in cui sono collegati n triangoli della figura è chiamato vertice della piramide. Se da essa si abbassa una perpendicolare alla base e la si interseca nel centro geometrico, tale figura verrà chiamata linea retta. Se questa condizione non è soddisfatta, allora c'è una piramide inclinata.

Una figura retta, la cui base è formata da un n-gon equilatero (equiangolo), è detta regolare.

Formula del volume piramidale

Per calcolare il volume della piramide utilizziamo il calcolo integrale. Per fare ciò, dividiamo la figura per piani secanti paralleli alla base in un numero infinito di strati sottili. La figura seguente mostra una piramide quadrangolare con altezza h e lunghezza del lato L, in cui uno strato di sezione sottile è contrassegnato da un quadrilatero.

L'area di ciascuno di questi strati può essere calcolata con la formula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Qui A 0 è l'area della base, z è il valore della coordinata verticale. Si può vedere che se z = 0, allora la formula dà il valore A 0 .

Per ottenere la formula del volume della piramide, dovresti calcolare l'integrale su tutta l'altezza della figura, cioè:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Sostituendo la dipendenza A(z) e calcolando la primitiva si ottiene l'espressione:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Abbiamo ottenuto la formula per il volume di una piramide. Per trovare il valore di V è sufficiente moltiplicare l'altezza della figura per l'area della base, quindi dividere il risultato per tre.

Si noti che l'espressione risultante è valida per il calcolo del volume di una piramide di tipo arbitrario. Cioè, può essere inclinato e la sua base può essere un n-gon arbitrario.

e il suo volume

La formula generale del volume ottenuta nel paragrafo precedente può essere perfezionata nel caso di una piramide a base regolare. L'area di tale base è calcolata con la seguente formula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Dove L è la lunghezza del lato di un poligono regolare con n vertici. Il simbolo pi è il numero pi.

Sostituendo l'espressione A 0 nella formula generale, otteniamo il volume di una piramide regolare:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Ad esempio, per una piramide triangolare, questa formula porta alla seguente espressione:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Per una piramide quadrangolare regolare, la formula del volume assume la forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Per determinare il volume delle piramidi regolari è necessario conoscere il lato della base e l'altezza della figura.

Piramide troncata

Supponiamo di aver preso una piramide arbitraria e di aver tagliato una parte della sua superficie laterale contenente il vertice. La figura rimanente è chiamata piramide tronca. È già costituito da due basi n-gonali e da n trapezi che le collegano. Se il piano di taglio era parallelo alla base della figura, si forma una piramide tronca con basi simili parallele. Cioè, le lunghezze dei lati di uno di essi possono essere ottenute moltiplicando le lunghezze dell'altro per un coefficiente k.

La figura sopra ne mostra un esagono regolare troncato, si può notare che la sua base superiore, come quella inferiore, è formata da un esagono regolare.

La formula che può essere derivata utilizzando un calcolo integrale simile al precedente è:

V = 1/3*h*(LA 0 + LA 1 + √(LA 0 *LA 1)).

Dove A 0 e A 1 sono rispettivamente le aree della base inferiore (grande) e superiore (piccola). La variabile h indica l'altezza della piramide tronca.

Il volume della piramide di Cheope

È curioso risolvere il problema della determinazione del volume contenuto nella più grande piramide egizia.

Nel 1984, gli egittologi britannici Mark Lehner e Jon Goodman stabilirono le dimensioni esatte della piramide di Cheope. La sua altezza originaria era di 146,50 metri (attualmente circa 137 metri). La lunghezza media di ciascuno dei quattro lati della struttura era di 230.363 metri. La base della piramide è quadrata con alta precisione.

Usiamo le cifre fornite per determinare il volume di questo gigante di pietra. Poiché la piramide è un quadrangolare regolare, per essa vale la formula:

Inserendo i numeri otteniamo:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Il volume della piramide di Cheope è di quasi 2,6 milioni di m 3. Per confronto, notiamo che la piscina olimpica ha un volume di 2,5 mila m 3. Cioè, per riempire l'intera piramide di Cheope, saranno necessari più di 1000 pool di questo tipo!

Piramide. Piramide tronca

Piramide si chiama poliedro, la cui faccia è un poligono ( base ), e tutte le altre facce sono triangoli con un vertice comune ( facce laterali ) (figura 15). La piramide si chiama corretto , se la sua base è un poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata nel centro della base (Fig. 16). Viene chiamata una piramide triangolare in cui tutti gli spigoli sono uguali tetraedro .

Costola laterale la piramide è chiamata il lato della faccia laterale che non appartiene alla base Altezza la piramide è la distanza dalla sua sommità al piano della base. Tutti gli spigoli laterali di una piramide regolare sono uguali tra loro, tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. Si chiama altezza della faccia laterale di una piramide regolare tracciata dal vertice apotema . sezione diagonale Una sezione di piramide si chiama piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Superficie laterale piramide è chiamata la somma delle aree di tutte le facce laterali. Tutta la superficie è la somma delle aree di tutte le facce laterali e della base.

Teoremi

1. Se in una piramide tutti gli spigoli laterali sono ugualmente inclinati rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

2. Se in una piramide tutti i bordi laterali hanno la stessa lunghezza, allora la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

3. Se nella piramide tutte le facce sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio inscritto nella base.

Per calcolare il volume di una piramide arbitraria, la formula è corretta:

Dove V- volume;

S principale- superficie della base;

Hè l'altezza della piramide.

Per una piramide regolare valgono le seguenti formule:

Dove P- il perimetro della base;

h a- apotema;

H- altezza;

S pieno

Lato S

S principale- superficie della base;

Vè il volume di una piramide regolare.

piramide tronca chiamata la parte della piramide racchiusa tra la base e il piano di taglio parallelo alla base della piramide (Fig. 17). Piramide troncata corretta chiamata la parte di piramide regolare, racchiusa tra la base e un piano di taglio parallelo alla base della piramide.

Fondazioni piramide tronca - poligoni simili. Facce laterali - trapezio. Altezza piramide tronca si chiama distanza tra le sue basi. Diagonale Una piramide tronca è un segmento che collega i suoi vertici che non giacciono sulla stessa faccia. sezione diagonale Una sezione di piramide tronca si chiama piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Per una piramide tronca valgono le formule:

(4)

Dove S 1 , S 2 - aree delle basi superiore e inferiore;

S pienoè la superficie totale;

Lato Sè la superficie laterale;

H- altezza;

Vè il volume della piramide tronca.

Per una piramide tronca regolare vale la seguente formula:

Dove P 1 , P 2 - perimetri di base;

h a- l'apotema di una piramide regolare tronca.

Esempio 1 In una piramide triangolare regolare l'angolo diedro alla base è 60º. Trova la tangente dell'angolo di inclinazione del bordo laterale rispetto al piano della base.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 18).

La piramide è regolare, ciò significa che la base è un triangolo equilatero e tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. L'angolo diedro alla base è l'angolo di inclinazione della faccia laterale della piramide rispetto al piano della base. L'angolo lineare sarà l'angolo UN tra due perpendicolari: cioè La sommità della piramide è proiettata al centro del triangolo (centro del cerchio circoscritto e cerchio inscritto nel triangolo ABC). L'angolo di inclinazione della nervatura laterale (ad es SB) è l'angolo tra il bordo stesso e la sua proiezione sul piano di base. Per costola SB questo angolo sarà l'angolo SBD. Per trovare la tangente devi conoscere i cateti COSÌ E OB. Lasciamo la lunghezza del segmento B.Dè 3 UN. punto DI segmento B.Dè diviso in parti: e Da troviamo COSÌ: Da troviamo:

Risposta:

Esempio 2 Trova il volume di una piramide quadrangolare tronca regolare se le diagonali delle sue basi sono cm e cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Per trovare il volume di una piramide tronca, usiamo la formula (4). Per trovare le aree delle basi, devi trovare i lati dei quadrati di base, conoscendone le diagonali. I lati delle basi misurano rispettivamente 2 cm e 8 cm, ovvero le aree delle basi e Sostituendo tutti i dati nella formula, calcoliamo il volume della piramide tronca:

Risposta: 112 cm3.

Esempio 3 Trova l'area della faccia laterale di una piramide tronca triangolare regolare i cui lati delle basi sono 10 cm e 4 cm e l'altezza della piramide è 2 cm.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 19).

La faccia laterale di questa piramide è un trapezio isoscele. Per calcolare l'area di un trapezio è necessario conoscere le basi e l'altezza. Le basi sono date dallo stato, solo l'altezza rimane sconosciuta. Trovalo da dove UN 1 E perpendicolare da un punto UN 1 sul piano della base inferiore, UN 1 D- perpendicolare da UN 1 in poi AC. UN 1 E\u003d 2 cm, poiché questa è l'altezza della piramide. Per trovare DE realizzeremo un disegno aggiuntivo, in cui rappresenteremo una vista dall'alto (Fig. 20). Punto DI- proiezione dei centri delle basi superiore e inferiore. poiché (vedi Fig. 20) e D'altra parte OKè il raggio del cerchio inscritto e OMè il raggio del cerchio inscritto:

MK=DE.

Secondo il teorema di Pitagora di

Zona della faccia laterale:

Risposta:

Esempio 4 Alla base della piramide si trova un trapezio isoscele, le cui basi UN E B (UN> B). Ciascuna faccia laterale forma un angolo uguale al piano della base della piramide J. Trova la superficie totale della piramide.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 21). Superficie totale della piramide SABCDè uguale alla somma delle aree e dell'area del trapezio ABCD.

Usiamo l'affermazione che se tutte le facce della piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora il vertice è proiettato nel centro del cerchio inscritto nella base. Punto DI- proiezione del vertice S alla base della piramide. Triangolo ZOLLA ERBOSAè la proiezione ortogonale del triangolo CSD al piano base. Secondo il teorema sull'area della proiezione ortogonale di una figura piana, otteniamo:

Allo stesso modo, significa Pertanto, il problema si è ridotto a trovare l'area del trapezio ABCD. Disegna un trapezio ABCD separatamente (Fig. 22). Punto DIè il centro di una circonferenza inscritta in un trapezio.

Poiché un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora o Per il teorema di Pitagora abbiamo