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Tipo di lezione: ripetizione e generalizzazione.
Modulo della lezione: lezione di consultazione.
Obiettivi della lezione:
- educativo: ripetere e generalizzare le conoscenze teoriche sugli argomenti: “Significato geometrico della derivata” e “Applicazione della derivata allo studio delle funzioni”; considerare tutti i tipi di compiti B8 incontrati nell'esame di matematica; fornire agli studenti l'opportunità di testare le proprie conoscenze risolvendo autonomamente i problemi; insegnare come compilare il modulo d'esame delle risposte;
- sviluppando: promuovere lo sviluppo della comunicazione come metodo di conoscenza scientifica, memoria semantica e attenzione volontaria; la formazione di competenze chiave come confronto, confronto, classificazione di oggetti, determinazione di modi adeguati per risolvere un problema di apprendimento basato su determinati algoritmi, capacità di agire in modo indipendente in una situazione di incertezza, controllare e valutare le proprie attività, trovare ed eliminare le cause delle difficoltà sorte;
- educativo: sviluppare le competenze comunicative degli studenti (cultura della comunicazione, capacità di lavorare in gruppo); contribuire allo sviluppo del bisogno di autoeducazione.
Tecnologie: educazione allo sviluppo, ICT.
Metodi di insegnamento: verbale, visivo, pratico, problematico.
Forme di lavoro: individuale, frontale, di gruppo.
Supporto didattico e metodologico:
1. Algebra e inizio dell'analisi matematica Grado 11: libro di testo. Per l'istruzione generale Istituzioni: nozioni di base e profilo. livelli / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); a cura di AB Zhizhchenko. - 4a ed. - M.: Istruzione, 2011.
2. UTILIZZO: 3000 compiti con risposte in matematica. Tutti i compiti del gruppo B/A.L. Semenov, I.V. Yashchenko e altri; a cura di A.L. Semyonova, I.V. Yashchenko. - M.: Casa editrice "Esame", 2011.
3. Apri la banca del lavoro.
Attrezzature e materiali per la lezione: un proiettore, uno schermo, un PC per ogni studente con installata una presentazione, una stampa di un promemoria per tutti gli studenti (Allegato 1) e foglio di valutazione Appendice 2) .
Preparazione preliminare alla lezione: come compito a casa gli studenti sono invitati a ripetere il materiale teorico del libro di testo sugli argomenti: “Il significato geometrico della derivata”, “Applicazione della derivata allo studio delle funzioni”; la classe è divisa in gruppi (4 persone ciascuno), ognuno dei quali è composto da studenti di diverso livello.
Spiegazione della lezione: Questa lezione si svolge al grado 11 nella fase di ripetizione e preparazione all'esame. La lezione è finalizzata alla ripetizione e alla generalizzazione del materiale teorico, alla sua applicazione nella risoluzione dei problemi d'esame. Durata della lezione - 1,5 ore .
Questa lezione non è allegata al libro di testo, quindi può essere svolta lavorando su eventuali materiali didattici. Inoltre, questa lezione può essere divisa in due lezioni separate e svolte come lezioni finali sugli argomenti in esame.
Durante le lezioni
I. Momento organizzativo.
II. Lezione sulla definizione degli obiettivi.
III. Ripetizione sul tema “Significato geometrico della derivata”.
Lavoro frontale orale con utilizzo di proiettore (diapositive n. 3-7)
Lavoro di gruppo: risoluzione dei problemi con suggerimenti, risposte, con consigli dell'insegnante (diapositive n. 8-17)
IV. Lavoro indipendente 1.
Gli studenti lavorano individualmente al PC (diapositive n. 18-26), le loro risposte vengono inserite nella scheda di valutazione. Se necessario puoi seguire il consiglio dell'insegnante, ma in questo caso lo studente perderà 0,5 punti. Se lo studente affronta il lavoro prima, può scegliere di risolvere compiti aggiuntivi dalla raccolta, pp. 242, 306-324 (i compiti aggiuntivi vengono valutati separatamente).
V. Verifica reciproca.
Gli studenti si scambiano le schede di valutazione, controllano il lavoro di un amico, assegnano punti (slide n. 27)
VI. Correzione della conoscenza.
VII. Ripetizione sul tema “Applicazione della derivata allo studio delle funzioni”
Lavoro frontale orale con l'utilizzo di proiettore (diapositive n. 28-30)
Lavoro di gruppo: risolvere problemi con suggerimenti, risposte, con consigli dell'insegnante (diapositive n. 31-33)
VIII. Lavoro indipendente 2.
Gli studenti lavorano individualmente al PC (diapositive n. 34-46), inseriscono le risposte nel foglio risposte. Se necessario puoi seguire il consiglio dell'insegnante, ma in questo caso lo studente perderà 0,5 punti. Se lo studente affronta il lavoro prima, può scegliere di risolvere compiti aggiuntivi dalla raccolta, pp. 243-305 (i compiti aggiuntivi vengono valutati separatamente).
IX. Verifica reciproca.
Gli studenti si scambiano schede di valutazione, controllano il lavoro di un amico, assegnano punti (diapositiva n. 47).
X. Correzione della conoscenza.
Gli studenti lavorano nuovamente nei loro gruppi, discutono la soluzione, correggono gli errori.
XI. Riassumendo.
Ogni studente calcola il proprio punteggio e mette un voto sulla scheda di valutazione.
Gli studenti consegnano al docente la scheda di valutazione e la soluzione di ulteriori problemi.
Ogni studente riceve un promemoria (diapositiva n. 53-54).
XII. Riflessione.
Agli studenti viene chiesto di valutare le proprie conoscenze scegliendo una delle frasi:
- ho capito tutto!!!
- Dobbiamo risolvere un altro paio di esempi.
- Chi ha inventato questi calcoli?
XIII. Compiti a casa.
Per i compiti a casa, gli studenti sono invitati a scegliere di risolvere i compiti dalla raccolta, pp. 242-334, nonché da una serie aperta di compiti.
La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f (x) nel punto x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title=" Nella figura il grafico della funzione y \u003d f (x ) e viene mostrata la sua tangente nel punto con l'ascissa x 0. Trovare il valore della derivata della funzione f (x) nel punto x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f (x) nel punto x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
La figura mostra un grafico della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo (-1; 17). Trova gli intervalli della funzione decrescente f(x). Nella tua risposta, scrivi la lunghezza del più grande di essi. f(x) 
0 sull'intervallo, poi la funzione f (x) "title=" In figura è mostrato il grafico della funzione y = f (x). Trovare tra i punti x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 e x 7 sono i punti in cui la derivata della funzione f (x) è positiva. In risposta, annotare il numero di punti trovati. Se f (x) > 0 sull'intervallo, allora il funzione f(x)" class="link_thumb"> 8 !} La figura mostra il grafico della funzione y = f(x). Trova tra i punti x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 e x 7 i punti in cui la derivata della funzione f (x) è positiva. In risposta, annota il numero di punti trovati. Se f (x) > 0 su un intervallo, allora la funzione f(x) aumenta su questo intervallo Risposta: 2 0 sull'intervallo, quindi la funzione f(x)"> 0 sull'intervallo, quindi la funzione f(x) aumenta su questo intervallo Risposta: 2"> 0 sull'intervallo, quindi la funzione f(x)" title= "On La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x).Trova tra i punti x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 e x 7 quei punti in cui la derivata della funzione f (x) è positiva Scrivere nella risposta il numero di punti trovati Se f (x) > 0 sull'intervallo, allora la funzione f(x)"> title="La figura mostra il grafico della funzione y = f(x). Trova tra i punti x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 e x 7 i punti in cui la derivata della funzione f (x) è positiva. In risposta, annota il numero di punti trovati. Se f (x) > 0 nell'intervallo, allora la funzione f(x)"> !}
La figura mostra un grafico della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo (-9; 2). A che punto del segmento -8; -4 la funzione f(x) assume il valore più grande? Sul segmento -8; -4f(x) 
La funzione y = f(x) è definita sull'intervallo (-5; 6). La figura mostra il grafico della funzione y = f(x). Trova tra i punti x 1, x 2, ..., x 7 quei punti in cui la derivata della funzione f (x) è uguale a zero. In risposta, annota il numero di punti trovati. Risposta: 3 I punti x 1, x 4, x 6 e x 7 sono punti estremi. Nel punto x 4 non esiste f(x)
Letteratura 4 Algebra e inizio del corso di analisi. Libro di testo per istituti scolastici livello base / Sh. A. Alimov e altri, - M.: Istruzione, Semenov A. L. Esame di stato unificato: 3000 compiti in matematica. - M.: Casa editrice "Exam", Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Una guida visiva all'algebra e agli inizi dell'analisi con esempi per i gradi 7-11. - M.: Ileksa, Risorsa elettronica Banca aperta di incarichi USE.
La derivata di una funzione $y = f(x)$ in un dato punto $х_0$ è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e il corrispondente incremento del suo argomento, a condizione che quest'ultimo tenda a zero:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
La differenziazione è l'operazione di trovare una derivata.
Tavola delle derivate di alcune funzioni elementari
| Funzione | Derivato |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(peccato^2x)$ |
Regole fondamentali di differenziazione
1. La derivata della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) dei derivati
$(f(x)± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Trova la derivata della funzione $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
La derivata della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) delle derivate.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivato di un prodotto
$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Trova la derivata $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$
3. Derivata del quoziente
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Trova la derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna e della derivata della funzione interna
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sen(5x) 5= -5sen(5x)$
Il significato fisico del derivato
Se un punto materiale si muove lungo una linea retta e le sue coordinate cambiano in base al tempo secondo la legge $x(t)$, la velocità istantanea di questo punto è uguale alla derivata della funzione.
Il punto si muove lungo la linea delle coordinate secondo la legge $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, dove $x(t)$ è la coordinata al tempo $t$. In quale momento la velocità del punto sarà pari a $12$?
1. La velocità è una derivata di $x(t)$, quindi troviamo la derivata della funzione data
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Per trovare in quale istante $t$ la velocità era pari a $12$, componiamo e risolviamo l'equazione:
Il significato geometrico della derivata
Ricordiamo che l'equazione di una retta non parallela agli assi coordinati può essere scritta come $y = kx + b$, dove $k$ è la pendenza della retta. Il coefficiente $k$ è uguale alla tangente della pendenza tra la retta e la direzione positiva dell'asse $Ox$.
La derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$ è uguale alla pendenza $k$ della tangente al grafico nel punto dato:
Possiamo quindi fare un’uguaglianza generale:
$f"(x_0) = k = tgα$
Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ è crescente, quindi il coefficiente $k > 0$. Poiché $k > 0$, allora $f"(x_0) = tgα > 0$. L'angolo $α$ tra la tangente e la direzione positiva $Ox$ è acuto.
Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ è decrescente, da qui il coefficiente $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ è parallela all'asse $Ох$, da qui il coefficiente $k = 0$, quindi $f"(x_0) = tg α = 0$. Il punto $ x_0$ in cui $f "(x_0) = 0$, chiamato estremo.
La figura mostra il grafico della funzione $y=f(x)$ e la tangente a questo grafico disegnata nel punto con l'ascissa $x_0$. Trova il valore della derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$.
La tangente al grafico aumenta, quindi, $f"(x_0) = tg α > 0$
Per trovare $f"(x_0)$, troviamo la tangente della pendenza tra la tangente e la direzione positiva dell'asse $Ox$. Per fare ciò, completiamo la tangente al triangolo $ABC$.
Trova la tangente dell'angolo $BAC$. (La tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$
$f"(x_0) = tg TU = $0,25
Risposta: $ 0,25
La derivata viene utilizzata anche per trovare gli intervalli delle funzioni crescenti e decrescenti:
Se $f"(x) > 0$ su un intervallo, allora la funzione $f(x)$ è crescente su questo intervallo.
Se $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
La figura mostra il grafico della funzione $y = f(x)$. Trova tra i punti $х_1,х_2,х_3…х_7$ i punti in cui la derivata della funzione è negativa.
In risposta, annota il numero di punti dati.