Se è noto che a< А, то а называют un valore approssimativo di A con uno svantaggio. Se a > A, allora viene chiamato a valore approssimativo di A con eccesso.
Si chiama la differenza tra il valore esatto e quello approssimativo di una quantità errore di approssimazione ed è indicato con D, cioè
D = UN – un (1)
L'errore di approssimazione D può essere un numero positivo o negativo.
Per caratterizzare la differenza tra un valore approssimativo di una grandezza e uno esatto, spesso è sufficiente indicare il valore assoluto della differenza tra il valore esatto e quello approssimato.
Il valore assoluto della differenza tra l'approssimato UN e accurato UN viene chiamato valori numerici errore assoluto (errore) di approssimazione e indicato con D UN:
D UN = ½ UN – UN½ (2)
Esempio 1. Quando si misura un segmento l utilizzato un righello, la cui divisione della scala è 0,5 cm, abbiamo ottenuto un valore approssimativo della lunghezza del segmento UN= 204cm.
È chiaro che durante la misurazione potrebbero sbagliarsi di non più di 0,5 cm, cioè l'errore di misurazione assoluto non supera 0,5 cm.
Di solito l'errore assoluto è sconosciuto, poiché non si conosce il valore esatto del numero A. Pertanto, qualsiasi valutazione errore assoluto:
D UN <= DUN Prima. (3)
dove D Prima. – errore marginale (numero, Di più zero), che viene impostato tenendo conto della certezza con cui è noto il numero a.
Viene anche chiamato errore assoluto limite margine di errore. Quindi, nell'esempio fornito,
D Prima. = 0,5 cm.
Dalla (3) otteniamo:
D UN = ½ UN – UN½<= DUN Prima. .
UN- D UN Prima. ≤ UN≤ UN+D UN Prima. . (4)
anno Domini UN Prima. sarà un valore approssimativo UN con uno svantaggio
a+D UN Prima – valore approssimativo UN in eccesso. Viene utilizzata anche la notazione breve:
UN= UN±D UN Prima (5)
Dalla definizione di errore massimo assoluto segue che i numeri D UN Prima, soddisfacendo la disuguaglianza (3), ci sarà un insieme infinito. In pratica, cercano di scegliere forse meno dai numeri D Prima, soddisfacendo la disuguaglianza D UN <= DUN Prima.
Esempio 2. Determiniamo l'errore assoluto massimo del numero a=3,14, preso come valore approssimativo del numero π.
È risaputo che 3,14<π<3,15. Ne consegue che
|UN – π |< 0,01.
L'errore assoluto massimo può essere preso come il numero D UN = 0,01.
Tuttavia, se teniamo conto di ciò 3,14<π<3,142 , allora otteniamo una valutazione migliore: D UN= 0,002, quindi π ≈3,14 ±0,002.
4. Errore relativo (errore). Conoscere solo l'errore assoluto non è sufficiente per caratterizzare la qualità della misurazione.
Supponiamo, ad esempio, che pesando due corpi si ottengano i seguenti risultati:
P1 = 240,3 ±0,1 g.
P2 = 3,8 ±0,1 g.
Sebbene gli errori di misurazione assoluti di entrambi i risultati siano gli stessi, la qualità della misurazione nel primo caso sarà migliore che nel secondo. È caratterizzato da un errore relativo.
Errore relativo (errore) approssimazione dei numeri UN chiamato rapporto di errore assoluto D a avvicinandosi al valore assoluto del numero A:
Poiché il valore esatto di una quantità è solitamente sconosciuto, viene sostituito con un valore approssimativo e quindi:
(7)
Errore relativo massimo O limite dell'errore di approssimazione relativo, chiamato il numero d e prima>0, tale che:
D UN<= D e prima(8)
L'errore relativo massimo può ovviamente essere preso come il rapporto tra l'errore massimo assoluto e il valore assoluto del valore approssimato:
(9)
Dalla (9) si ottiene facilmente la seguente importante relazione:
∆e prima = |UN| D e prima(10)
L'errore relativo massimo è solitamente espresso in percentuale:
Esempio. Si presuppone che la base dei logaritmi naturali per il calcolo sia uguale a e=2,72. Abbiamo preso come valore esatto e t = 2,7183. Trova gli errori assoluti e relativi del numero approssimativo.
D e = ½ e – e t½=0,0017;
.
L'entità dell'errore relativo rimane invariata con una variazione proporzionale del numero più approssimativo e del suo errore assoluto. Pertanto, per il numero 634,7, calcolato con un errore assoluto di D = 1,3, e per il numero 6347 con un errore di D = 13, gli errori relativi sono gli stessi: D= 0,2.
L'entità dell'errore relativo può essere giudicata approssimativamente dal numero vero significativo cifre di un numero.
NUMERI APPROSSIMATIVI E OPERAZIONI SU DI ESSI
- Valore approssimativo della quantità. Errori assoluti e relativi
La risoluzione di problemi pratici, di regola, è associata a valori numerici di quantità. Questi valori sono ottenuti mediante misurazione o calcolo. Nella maggior parte dei casi i valori delle grandezze da operare sono approssimativi.
Sia X - il valore esatto di una certa quantità, e X - il valore approssimativo più noto. In questo caso, l'errore (o l'errore) dell'approssimazione X è determinato dalla differenza Xx. Solitamente il segno di questo errore non è determinante, per cui si considera il suo valore assoluto:
Il numero in questo caso viene chiamatoerrore assoluto massimo, O il limite dell'errore assoluto dell'approssimazione x.
Pertanto, l'errore assoluto massimo del numero approssimativo X - è un numero qualsiasi non inferiore all'errore assoluto e x di questo numero.
Esempio: Prendiamo un numero. Se chiamisull'indicatore di un MK a 8 bit otteniamo un'approssimazione di questo numero: proviamo ad esprimere l'errore assoluto del valore. Abbiamo ricevuto una frazione infinita, non adatta ai calcoli pratici. È ovvio però che quindi il numero 0.00000006 = 0.6*10-7 può essere considerato il massimo errore assoluto dell'approssimazione utilizzata da MK al posto del numero
La disuguaglianza (2) ci consente di stabilire approssimazioni al valore esatto X secondo la carenza e l'eccesso:
In molti casi, i valori del limite di errore assolutononché i migliori valori di approssimazione X , si ottengono in pratica come risultato di misurazioni. Consideriamo, ad esempio, il risultato di misurazioni ripetute della stessa quantità X valori ottenuti: 5,2; 5.3; 5.4; 5.3. In questo caso è naturale assumere il valore medio come migliore approssimazione del valore misurato x = 5.3. È anche ovvio che i valori limite della quantità X in questo caso ci sarà NG X = 5,2, VG X = 5.4, e il limite di errore assoluto X può essere definito come metà della lunghezza dell'intervallo formato dai valori limite NG X e VG X,
quelli.
L'errore assoluto non può giudicare completamente l'accuratezza delle misurazioni o dei calcoli. La qualità dell'approssimazione è caratterizzata dal valoreerrore relativo,che è definito come il rapporto di errore es per valorizzare il modulo X (quando è sconosciuto, allora al modulo di approssimazione X ).
Errore relativo massimo(O limite di errore relativo)il numero approssimativo è il rapporto tra l'errore assoluto massimo e il valore assoluto dell'approssimazione X :
L'errore relativo è solitamente espresso in percentuale.
Esempio Determiniamo gli errori massimi del numero x=3,14 come valore approssimato di π. Poiché π=3.1415926…., allora |π-3.14|
- Numeri veri e significativi. Registrazione di valori approssimativi
Viene chiamata la cifra del numero VERO (in senso lato), se il suo errore assoluto non supera una cifra, inche rappresenta questo numero.
Esempio. X=6,328 X=0,0007 X
Esempio: UN). Sia 0 = 2.91385, In numero UN i numeri 2, 9, 1 sono corretti in senso lato.
B) Prendiamo come approssimazione il numero = 3.141592...il numero= 3.142. Quindi (Fig.) ne consegue che nel valore approssimativo = 3.142 tutti i numeri sono corretti.
C) Calcoliamo il quoziente dei numeri esatti 3.2 e 2.3 su un MK a 8 bit, otteniamo la risposta: 1.3913043. La risposta contiene un errore perché
Riso. Approssimazione del numero π
La griglia delle cifre MK non conteneva tutte le cifre del risultato e tutte le cifre a partire dall'ottavo sono state omesse. (È facile verificare che la risposta sia imprecisa controllando la divisione per moltiplicazione: 1.3913043 2.3 = 3.9999998.) Senza conoscere il vero valore dell'errore commesso, la calcolatrice in una situazione del genere può sempre essere sicura che il suo valore non superi uno il più giovane mostrato sull'indicatore della cifra del risultato. Pertanto, nel risultato ottenuto, tutti i numeri sono corretti.
Viene spesso chiamata la prima cifra scartata (errata). dubbioso.
Dicono che il dato approssimativo è scritto Giusto, se tutti i numeri nel suo record sono corretti. Se un numero è scritto correttamente, semplicemente scrivendolo come frazione decimale puoi giudicare la precisione di quel numero. Scriviamo, ad esempio, il numero approssimativo un = 16.784, in cui tutti i numeri sono corretti. Dal fatto che l'ultima cifra 4, che si trova al millesimo posto, è corretta, ne consegue che l'errore assoluto del valore UN non supera 0,001. Ciò significa che puoi accettare ad es. a = 16,784±0,001.
È ovvio che la corretta registrazione dei dati approssimativi non solo consente, ma obbliga anche a scrivere degli zeri nelle ultime cifre, se questi zeri sono espressione dei numeri corretti. Ad esempio, nella voce= 109.070 Lo zero finale significa che la cifra dei millesimi è corretta e uguale a zero. Errore assoluto massimo di valore, come segue dall'immissione si può considerare Per confronto si può notare che il valore c = 109.07 è meno accurato, poiché dalla sua notazione dobbiamo supporre che
Figure significativenella notazione di un numero vengono chiamate tutte le cifre della sua rappresentazione decimale diverse dallo zero, e zeri se si trovano tra cifre significative o compaiono alla fine per esprimere i segni corretti.
Esempio a) 0,2409 - quattro cifre significative; b) 24.09 - quattro cifre significative; c) 100.700 - sei cifre significative.
L'output dei valori numerici in un computer, di regola, è progettato in modo tale che gli zeri alla fine del record numerico, anche se corretti, non vengano riportati. Ciò significa che se, ad esempio, il computer mostra il risultato 247.064 e allo stesso tempo è noto che questo risultato deve contenere otto cifre significative, allora la risposta risultante dovrebbe essere integrata con zeri: 247.06400.
Durante i calcoli, succede spessoarrotondare i numeri,quelli. sostituendo i numeri con il loro significato con cifre meno significative. L'arrotondamento introduce un errore chiamato errore di arrotondamento. Permettere x è un numero dato e x 1 - il risultato dell'arrotondamento. L'errore di arrotondamento è definito come il modulo della differenza tra il valore precedente e quello nuovo del numero:
In alcuni casi, invece di ∆ ok dobbiamo usare il suo limite superiore.
Esempio Eseguiamo l'azione 1/6 su un MK a 8 bit. L'indicatore visualizzerà il numero 0,1666666. La frazione decimale infinita 0.1(6) è stata arrotondata automaticamente al numero di cifre che rientrano nel registro MK. Allo stesso tempo, si può accettare
Viene chiamata la cifra del numerovero in senso strettose l'errore assoluto di questo numero non supera la mezza unità della cifra in cui appare questa cifra.
Regole per scrivere numeri approssimativi.
- I numeri approssimativi sono scritti nella forma x ±x. Registra X = x ± x significa che l'incognita X soddisfa le seguenti disuguaglianze: x-x x
Allo stesso tempo, l'errore Si consiglia di selezionare x in modo che
a) alla voce x non era più di 1-2 cifre significative;
b) cifre di ordine basso nella notazione dei numeri x e x corrispondevano tra loro.
Esempi: 23,4±0,2; 2,730±0,017; -6.970,10.
- Un numero approssimativo può essere scritto senza indicare esplicitamente il suo errore massimo assoluto. In questo caso, la sua notazione (mantissa) deve contenere solo cifre corrette (in senso lato, salvo diversa indicazione). Quindi, registrando il numero stesso, si può giudicare la sua accuratezza.
Esempi. Se nel numero A = 5,83 tutti i numeri sono corretti in senso stretto, allora A=0,005. Scrivere B=3.2 implica questo B=0,1. E dalla notazione C=3.200 possiamo concludere che C=0,001. Pertanto, le voci 3.2 e 3.200 nella teoria dei calcoli approssimati non significano la stessa cosa.
Vengono chiamati i numeri nella registrazione di un numero approssimativo, di cui non sappiamo se siano veri o no dubbioso. I numeri dubbi (uno o due) vengono lasciati nella registrazione dei numeri dei risultati intermedi per mantenere l'accuratezza dei calcoli. Nel risultato finale, i numeri dubbi vengono scartati.
Numeri di arrotondamento.
- regola di arrotondamento. Se la più significativa delle cifre scartate contiene una cifra inferiore a cinque, il contenuto delle cifre memorizzate del numero non cambia. Altrimenti, alla cifra meno significativa memorizzata viene aggiunto un uno con lo stesso segno del numero stesso.
- Quando si arrotonda un numero scritto nella forma x± x, il suo errore assoluto massimo aumenta tenendo conto dell'errore di arrotondamento.
Esempio: Arrotondiamo il numero 4,5371±0,0482 al centesimo più vicino. Sarebbe errato scrivere 4,54±0,05, poiché l'errore del numero arrotondato è la somma dell'errore del numero originale e dell'errore di arrotondamento. In questo caso è pari a 0,0482 + 0,0029 = 0,0511. Gli errori dovrebbero sempre essere arrotondati, quindi la risposta finale è 4,54±0,06.
Esempio Lascia entrare valore approssimativo un = 16.395 Tutte le cifre sono corrette in senso lato. Facciamo il punto e ai centesimi: a 1 = 16,40. Errore di arrotondamento Per trovare l'errore totale,è necessario aggiungere l'errore del valore originale a 1 che in questo caso può essere trovato a condizione che tutti i numeri nel record UN corretto: = 0,001. Così, . Da ciò ne consegue che in valore a 1 = 16.40 il numero 0 non è corretto in senso stretto.
- Calcolo degli errori delle operazioni aritmetiche
1. Addizione e sottrazione. L'errore assoluto massimo di una somma algebrica è la somma degli errori corrispondenti dei termini:
F.1 (X+Y) = X + Y , (X-Y) = X + Y .
Esempio. Vengono forniti i numeri approssimativi X = 34,38 e Y = 15,23, tutti i numeri sono corretti in senso stretto. Trovare (X-Y) e (X-Y). Secondo la formula F.1 otteniamo:
(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.
Otteniamo l'errore relativo utilizzando la formula di connessione:
2. Moltiplicazione e divisione. Se X Y
F.2 (X Y) = (X/Y) = X + Y.
Esempio. Trova (XY Y) e (X·Y) per i numeri dell'esempio precedente. Innanzitutto, utilizzando la formula F.2, troviamo (X Y):
(X Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048
Adesso (X·Y) verrà trovato utilizzando la formula di connessione:
(X·Y) = |X·Y|· (X Y) = |34,38 -15,23|0,00048 0,26 .
3. Esponenziazione ed estrazione delle radici. Se X
F.Z
4. Funzione di una variabile.
Sia una funzione analitica f(x) e un numero approssimato c± Con. Quindi, denotando con piccolo incremento dell'argomento, puoi scrivere
Se f "(c) 0, quindi l'incremento della funzione f(c+ ) - f(c) può essere stimato mediante il suo differenziale:
f(c+ ) - f(c) f "(c) · .
Se l'errore c è sufficientemente piccolo, otteniamo infine la seguente formula:
F.4 f(c) = |f"(s)|· s.
Esempio. Dato f(x) = arcosen x, c = 0,5, c = 0,05. Calcolaref(c).
Applichiamo la formula F.4:
Eccetera. |
5. Funzione di più variabili.
Per una funzione di più variabili f(x1, ... , xn) con xk= ck ± ck, vale una formula simile a F.4:
Ф.5 f(c1, ... ,ñn) l df(c1, ... ,ñn) | = |f"x1(c1)|· с1+... + |f "xn (сn)|· сn.
Esempio Sia x = 1,5, e cioè tutte le cifre del numero X vero in senso stretto. Calcoliamo il valore di tg X . Usando MK otteniamo: tgl,5= 14.10141994. Per determinare i numeri corretti nel risultato, stimeremo il suo errore assoluto: ne consegue che nel valore risultante di tgl,5 non un singolo numero può essere considerato corretto.
- Metodi per stimare l'errore dei calcoli approssimati
Esistono metodi rigorosi e non rigorosi per valutare l'accuratezza dei risultati dei calcoli.
1. Metodo di valutazione sommativa rigoroso. Se i calcoli approssimativi vengono eseguiti utilizzando una formula relativamente semplice, utilizzando le formule F.1-F.5 e le formule di correlazione degli errori, è possibile derivare la formula per l'errore di calcolo finale. La derivazione della formula e la stima dell'errore di calcolo mediante essa costituiscono l'essenza di questo metodo.
Esempio Valori a = 23,1 e b = 5,24 sono dati in numeri corretti in senso stretto. Calcolare il valore di un'espressione
Con l'aiuto di MC otteniamo B = 0,2921247. Utilizzando le formule per gli errori relativi del quoziente e del prodotto, scriviamo:
Quelli.
Usando MK, otteniamo 5, che dà. Ciò significa che di conseguenza le due cifre dopo la virgola sono corrette in senso stretto: B = 0,29 ± 0,001.
2. Metodo di rigorosa contabilità operativa degli errori. A volte provare a utilizzare il metodo di valutazione sommativa risulta in una formula troppo macchinosa. In questo caso, potrebbe essere più appropriato utilizzare questo metodo. Sta nel fatto che l'accuratezza di ciascuna operazione di calcolo viene valutata separatamente utilizzando le stesse formule F.1-F.5 e formule di connessione.
3. Metodo per contare i numeri corretti. Questo metodo non è rigoroso. La stima dell'accuratezza computazionale fornita non è garantita in linea di principio (a differenza dei metodi rigorosi), ma è abbastanza affidabile nella pratica. L'essenza del metodo è che dopo ogni operazione di calcolo, il numero di cifre corrette nel numero risultante viene determinato utilizzando le seguenti regole.
P.1 . Quando si sommano e sottraggono numeri approssimativi, i numeri risultanti dovrebbero essere considerati corretti se le loro cifre decimali corrispondono ai numeri corretti in tutti i termini. Le cifre di tutte le altre cifre tranne quella più significativa devono essere arrotondate in tutti i termini prima di aggiungere o sottrarre.
P.2. Quando si moltiplicano e si dividono numeri approssimativi, il risultato deve essere considerato corretto con tante cifre significative quante sono i dati approssimativi con il minor numero di cifre significative corrette. Prima di eseguire questi passaggi, è necessario selezionare il numero con il minor numero di cifre significative dai dati approssimativi e arrotondare i numeri rimanenti in modo che abbiano solo una cifra significativa in più.
P.Z. Quando si eleva al quadrato o al cubo, così come quando si estrae una radice quadrata o cubica, il risultato deve essere considerato corretto tante cifre significative quante erano le cifre significative corrette nel numero originale.
P.4. Il numero di cifre corrette come risultato del calcolo di una funzione dipende dalla grandezza del modulo derivativo e dal numero di cifre corrette nell'argomento. Se il modulo della derivata è vicino al numero 10k (k è un numero intero), di conseguenza il numero di cifre corrette rispetto al punto decimale è k inferiore (se k è negativo, allora maggiore) di quanto ce n'erano nel discussione. In questo lavoro di laboratorio, per chiarezza, accetteremo l'accordo di considerare il modulo della derivata prossimo a 10k se vale la disuguaglianza:
0,2·10K 2·10k .
P.5. Nei risultati intermedi, oltre alle cifre corrette, dovrebbe essere lasciata una cifra dubbia (le restanti cifre dubbie possono essere arrotondate) per mantenere l'accuratezza dei calcoli. Nel risultato finale rimangono solo i numeri corretti.
Calcoli utilizzando il metodo del contorno
Se è necessario avere limiti assolutamente garantiti dei possibili valori di un valore calcolato, utilizzare un metodo di calcolo speciale: il metodo dei limiti.
Sia f(x, y) - una funzione che è continua e monotona in un certo intervallo di valori di argomento ammissibili x e y. Dobbiamo coglierne il valore f(a, b), dove a e b sono valori approssimativi degli argomenti, ed è noto in modo affidabile
NG a UN UN; NG b VG b. |
Qui NG, VG sono rispettivamente le designazioni dei limiti inferiore e superiore dei valori dei parametri. Quindi la questione è trovare limiti rigorosi al valore f(a, b), a limiti di valori noti aeb.
Supponiamo che la funzione f(x, y) aumenta per ogni argomento x e y. Poi
f (NG a, NG b f(a, b) f (VG a VG b ).
Sia f(x, y) aumenta in discussione X e diminuisce rispetto all'argomentazione A . Allora la disuguaglianza sarà rigorosamente garantita
Regione di Sachalin
"Scuola professionale n. 13"
Linee guida per il lavoro indipendente degli studenti
Alexandrovsk-Sakhalinsky
Valori approssimativi delle quantità ed errori di approssimazione: Metodo spec. /Comp.
GBOU NPO "Scuola professionale n. 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012
Le linee guida sono destinate agli studenti di tutte le professioni che studiano corsi di matematica
Presidente del MK
Valore approssimato delle quantità ed errori di approssimazione.
In pratica non conosciamo quasi mai i valori esatti delle quantità. Nessuna bilancia, per quanto accurata possa essere, mostra il peso in modo assolutamente accurato; qualsiasi termometro mostra la temperatura con un errore o con l'altro; nessun amperometro può fornire letture accurate della corrente, ecc. Inoltre, il nostro occhio non è in grado di leggere in modo assolutamente corretto le letture degli strumenti di misura. Pertanto, invece di occuparci dei valori reali delle quantità, siamo costretti a operare con i loro valori approssimativi.
Il fatto che UN" è il valore approssimativo del numero UN , si scrive così:
un ≈ un" .
Se UN" è un valore approssimativo della quantità UN , quindi la differenza Δ = aa" chiamato errore di approssimazione*.
* Δ - Lettera greca; leggi: delta. Poi arriva un'altra lettera greca ε (leggi: epsilon).
Ad esempio, se il numero 3.756 viene sostituito con un valore approssimativo di 3.7, l'errore sarà pari a: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Se prendiamo 3,8 come valore approssimativo, l'errore sarà uguale a: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
In pratica, viene spesso utilizzato l'errore di approssimazione Δ
e il valore assoluto di questo errore | Δ
|. Nel seguito ci riferiremo semplicemente a questo valore assoluto dell'errore come errore assoluto. Un'approssimazione è considerata migliore di un'altra se l'errore assoluto della prima approssimazione è inferiore all'errore assoluto della seconda approssimazione. Ad esempio, l'approssimazione 3.8 per il numero 3.756 è migliore dell'approssimazione 3.7 perché per la prima approssimazione
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, e per il secondo | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Numero UN" UN fino aε , se l'errore assoluto di questa approssimazione è inferiore aε :
|aa" | < ε .
Ad esempio, 3.6 è un'approssimazione del numero 3.671 con una precisione di 0,1, poiché |3.671 - 3.6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Allo stesso modo, - 3/2 può essere considerato un'approssimazione del numero - 8/5 con un'approssimazione di 1/5, poiché
< UN , Quello UN" chiamato valore approssimativo del numero UN con uno svantaggio.
Se UN" > UN , Quello UN" chiamato valore approssimativo del numero UN in abbondanza.
Ad esempio, 3.6 è un valore approssimativo del numero 3.671 con uno svantaggio, poiché 3.6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Se invece dei numeri noi UN E B sommare i loro valori approssimativi UN" E B" , quindi il risultato a"+b" sarà un valore approssimativo della somma a+b . Sorge la domanda: come valutare l'accuratezza di questo risultato se si conosce l'accuratezza dell'approssimazione di ciascun termine? La soluzione a questo e ad altri problemi simili si basa sulla seguente proprietà di valore assoluto:
|a+b | < |UN | + |B |.
Il valore assoluto della somma di due numeri qualsiasi non supera la somma dei loro valori assoluti.
Errori
La differenza tra il numero esatto x e il suo valore approssimativo a è chiamata errore di questo numero approssimativo. Se è noto che | x - un |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Il rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto del valore approssimato è chiamato errore relativo del valore approssimato. L'errore relativo è solitamente espresso in percentuale.
Esempio. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
Veramente,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Esercizi per il lavoro autonomo.
1. Con quale precisione si possono misurare le lunghezze utilizzando un comune righello?
2. Quanto è preciso l'orologio?
3. Sapete con quale precisione è possibile misurare il peso corporeo sulle moderne bilance elettriche?
4. a) Entro quali limiti è contenuto il numero? UN , se il suo valore approssimativo con una precisione di 0,01 è 0,99?
b) Entro quali limiti è contenuto il numero? UN , se il suo valore approssimativo con uno svantaggio accurato di 0,01 è 0,99?
c) Quali sono i limiti del numero? UN , se il suo valore approssimato con eccesso di 0,01 è pari a 0,99?
5 . Qual è l'approssimazione del numero π ≈ 3.1415 è meglio: 3.1 o 3.2?
6. Un valore approssimativo di un certo numero con una precisione di 0,01 può essere considerato un valore approssimativo dello stesso numero con una precisione di 0,1? E il contrario?
7. Sulla linea numerica viene specificata la posizione del punto corrispondente al numero UN . Indicare su questa riga:
a) la posizione di tutti i punti che corrispondono a valori approssimativi del numero UN con uno svantaggio con una precisione di 0,1;
b) la posizione di tutti i punti che corrispondono a valori approssimativi del numero UN con eccesso con una precisione di 0,1;
c) la posizione di tutti i punti che corrispondono a valori approssimativi del numero UN con una precisione di 0,1.
8. In tal caso è il valore assoluto della somma di due numeri:
a) inferiore alla somma dei valori assoluti di questi numeri;
b) uguale alla somma dei valori assoluti di questi numeri?
9. Dimostrare le disuguaglianze:
a) | a-b | < |UN| + |B |; b)* | un-b | > ||UN | - | B ||.
Quando ricorre il segno uguale in queste formule?
Letteratura:
1. Bashmakov (livello base) 10-11 gradi. – M., 2012
2. Bashmakov, 10a elementare. Raccolta di problemi. - M: Centro editoriale “Academy”, 2008
3., Mordkovich: Materiali di riferimento: Libro per studenti - 2a edizione - M.: Education, 1990
4. Dizionario enciclopedico di un giovane matematico / Comp. .-M.: Pedagogia, 1989
Nelle attività pratiche, una persona deve misurare varie quantità, tenere conto dei materiali e dei prodotti del lavoro ed effettuare vari calcoli. I risultati di varie misurazioni, calcoli e calcoli sono numeri. I numeri ottenuti a seguito delle misurazioni solo approssimativamente, con un certo grado di precisione, caratterizzano le quantità desiderate. Misurazioni accurate sono impossibili a causa dell'imprecisione degli strumenti di misura, dell'imperfezione dei nostri organi visivi e gli stessi oggetti misurati a volte non ci consentono di determinarne le dimensioni con precisione.
Ad esempio, è noto che la lunghezza del Canale di Suez è di 160 km, la distanza in treno da Mosca a Leningrado è di 651 km. Qui abbiamo i risultati delle misurazioni effettuate con una precisione fino a un chilometro. Se, ad esempio, la lunghezza di una sezione rettangolare è di 29 m, la larghezza è di 12 m, allora le misurazioni sono state probabilmente effettuate con l'approssimazione del metro e le frazioni di metro sono state trascurate,
Prima di effettuare qualsiasi misurazione, è necessario decidere con quale precisione deve essere eseguita, ad es. quali frazioni dell'unità di misura tenere in considerazione e quali trascurare.
Se c'è una certa quantità UN, il cui vero valore è sconosciuto e il valore approssimativo (approssimazione) di questa quantità è uguale a X, poi scrivono ascia.
Con misurazioni diverse della stessa quantità otterremo approssimazioni diverse. Ognuna di queste approssimazioni differirà dal valore reale della grandezza misurata, pari, ad esempio, a UN, di un certo importo, che chiameremo errore. Definizione. Se il numero x è un'approssimazione (approssimazione) di una quantità il cui vero valore è uguale al numero UN, quindi il modulo della differenza di numeri, UN E X chiamato errore assoluto di questa approssimazione e si denota UN X: o semplicemente UN. Quindi, per definizione,
UN x = ax (1)
Da questa definizione ne consegue che
un = x UN X (2)
Se è noto di quale quantità stiamo parlando, nella notazione UN X indice UN viene omesso e l'uguaglianza (2) viene scritta come segue:
a = x x (3)
Poiché il valore reale della quantità desiderata è molto spesso sconosciuto, è impossibile trovare l'errore assoluto nell'approssimazione di questa quantità. Puoi indicare in ogni caso specifico solo un numero positivo, maggiore del quale questo errore assoluto non può essere. Questo numero è chiamato limite dell'errore assoluto dell'approssimazione del valore UN ed è designato H UN. Quindi, se X-- un'approssimazione arbitraria del valore a per una determinata procedura per ottenere approssimazioni, quindi
UN x = a-x h UN (4)
Da quanto sopra segue che se H UNè il limite dell'errore assoluto nell'approssimazione del valore UN, quindi qualsiasi numero maggiore H UN, sarà anche il limite dell'errore assoluto nell'approssimazione del valore UN.
In pratica, è consuetudine scegliere come limite di errore assoluto il numero più piccolo possibile che soddisfi la disuguaglianza (4).
Risolvere la disuguaglianza ax h UN lo capiamo UN contenuta entro i confini
x-h UN ax+h UN (5)
Un concetto più rigoroso del limite di errore assoluto può essere dato come segue.
Permettere X- molte possibili approssimazioni X le quantità UN per una determinata procedura per ottenere un'approssimazione. Quindi qualsiasi numero H, soddisfacendo la condizione ax h UN a qualsiasi xX, è chiamato limite dell'errore assoluto delle approssimazioni dall'insieme X. Indichiamo con H UN numero più piccolo conosciuto H. Questo numero H UN e viene scelto in pratica come limite di errore assoluto.
L'errore di approssimazione assoluto non caratterizza la qualità delle misurazioni. In effetti, se misuriamo qualsiasi lunghezza con una precisione di 1 cm, quando si tratta di determinare la lunghezza di una matita, la precisione sarà scarsa. Se determini la lunghezza o la larghezza di un campo da pallavolo con una precisione di 1 cm, la precisione sarà elevata.
Per caratterizzare l'accuratezza della misurazione, viene introdotto il concetto di errore relativo.
Definizione. Se UN X: c'è un errore di approssimazione assoluto X una quantità il cui vero valore è uguale al numero UN, quindi la relazione UN X al modulo di un numero Xè chiamato errore di approssimazione relativo e si denota UN X O X.
Quindi, per definizione,
L'errore relativo è solitamente espresso in percentuale.
A differenza dell’errore assoluto, che molto spesso è una quantità dimensionale, l’errore relativo è una quantità adimensionale.
In pratica non viene considerato l'errore relativo, ma il cosiddetto limite dell'errore relativo: tale numero E UN, maggiore del quale non può essere l'errore relativo nell'approssimazione del valore desiderato.
Così, UN xE UN .
Se H UN-- limite dell'errore assoluto delle approssimazioni del valore UN, Quello UN x h UN e quindi
Ovviamente, qualsiasi numero E, soddisfacendo la condizione, sarà il relativo limite di errore. In pratica, di solito è nota una certa approssimazione X le quantità UN e il limite di errore assoluto. Quindi si assume che il limite di errore relativo sia il numero
Valori esatti e approssimati delle quantità
Nella maggior parte dei casi, i dati numerici nei problemi sono approssimativi. Nelle condizioni del compito possono verificarsi anche valori esatti, ad esempio i risultati del conteggio di un piccolo numero di oggetti, alcune costanti, ecc.
Per indicare il valore approssimativo di un numero si usa il segno di uguaglianza approssimata; leggi così: “approssimativamente uguale” (non dovrebbe leggere: “approssimativamente uguale”).
Scoprire la natura dei dati numerici è un'importante fase preparatoria quando si risolve qualsiasi problema.
Le seguenti linee guida possono aiutarti a riconoscere i numeri esatti e approssimativi:
| Valori esatti | Valori approssimativi |
| 1. Valori di più fattori di conversione per il passaggio da un'unità di misura all'altra (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Molti fattori di conversione sono stati misurati e calcolati con una precisione (metrologica) così elevata da essere ora praticamente considerato accurato. | 1. La maggior parte dei valori delle quantità matematiche riportati nelle tabelle (radici, logaritmi, valori delle funzioni trigonometriche, nonché valori pratici del numero e della base dei logaritmi naturali (numero e)) |
| 2. Fattori di scala. Se, ad esempio, è noto che la scala è 1:10000, allora i numeri 1 e 10000 sono considerati esatti. Se è indicato che 1 cm equivale a 4 m, allora 1 e 4 sono i valori esatti della lunghezza | 2. Risultati della misurazione. (Alcune costanti di base: la velocità della luce nel vuoto, la costante gravitazionale, la carica e la massa di un elettrone, ecc.) Valori tabulati delle quantità fisiche (densità della materia, punti di fusione e di ebollizione, ecc.) |
| 3. Tariffe e prezzi. (costo di 1 kWh di elettricità – prezzo esatto) | 3. Anche i dati di progettazione sono approssimativi, perché sono specificati con alcune deviazioni, che sono standardizzate dai GOST. (Ad esempio, secondo lo standard, le dimensioni di un mattone sono: lunghezza 250 6 mm, larghezza 120 4 mm, spessore 65 3 mm) Lo stesso gruppo di numeri approssimativi comprende dimensioni prese dal disegno |
| 4. Valori convenzionali delle quantità (Esempi: temperatura zero assoluto -273,15 C, pressione atmosferica normale 101325 Pa) | |
| 5. Coefficienti ed esponenti presenti nelle formule fisiche e matematiche (;%; ecc.). | |
| 6. Risultati del conteggio degli articoli (numero di batterie nella batteria; numero di cartoni di latte prodotti dalla fabbrica e conteggiati dal contatore fotoelettrico) | |
| 7. Dati i valoridelle quantità (ad esempio, nel compito “Trova i periodi di oscillazione dei pendoli di 1 e 4 m di lunghezza”, i numeri 1 e 4 possono essere considerati i valori esattidella lunghezza del pendolo) |
Eseguire le seguenti attività, formatta la risposta sotto forma di tabella:
1. Indicare quali dei valori indicati sono esatti e quali approssimativi:
1) Densità dell'acqua (4 C)………..……………..………………1000kg/m3
2) Velocità del suono (0 C)…………………………….332 m/s
3) Capacità termica specifica dell'aria….………………1,0 kJ/(kg∙K)
4) Punto di ebollizione dell'acqua…………….…………….100 C
5) Costante di Avogadro….……………..…..6.02∙10 23 mol -1
6) Massa atomica relativa dell'ossigeno……………..16
2. Trova valori esatti e approssimativi nei seguenti problemi:
1) In una macchina a vapore, una bobina di bronzo, la cui lunghezza e larghezza sono rispettivamente 200 e 120 mm, è sottoposta ad una pressione di 12 MPa. Trova la forza necessaria per spostare la bobina sulla superficie in ghisa del cilindro. Il coefficiente di attrito è 0,10.
2) Determinare la resistenza del filamento della lampada elettrica in base ai seguenti dati di marcatura: "220 V, 60 W".
3. Quali risposte – esatte o approssimative – otterremo risolvendo i seguenti problemi?
1) Qual è la velocità di un corpo in caduta libera alla fine del quindicesimo secondo, considerando esattamente l'intervallo di tempo specificato?
2) Qual è la velocità della puleggia se il suo diametro è 300 mm e la velocità di rotazione è 10 rps? I dati sono considerati accurati.
3) Determinare il modulo di forza. Scala 1 cm - 50N.
4) Determinare il coefficiente di attrito statico per un corpo situato su un piano inclinato, se il corpo inizia a scivolare uniformemente lungo il pendio a = 0,675, dove è l'angolo di inclinazione del piano.