Tabella 5
Tabella 6
Con un po' di forza, la stessa spiegazione è adatta per il prodotto 1-5, se assumiamo che la "somma" di un singolo
termine è uguale a questo termine. Ma il prodotto 0 5 o (-3) 5 non può essere spiegato in questo modo: cosa significa la somma di zero o meno tre termini?
È possibile, tuttavia, riorganizzare i fattori
Se vogliamo che il prodotto non cambi quando i fattori vengono riorganizzati - come accadeva per i numeri positivi - allora dobbiamo assumere che
Ora passiamo al prodotto (-3) (-5). Quanto è uguale a: -15 o +15? Entrambe le opzioni hanno senso. Da un lato, un fattore negativo in un fattore rende già il prodotto negativo, tanto più dovrebbe essere negativo se entrambi i fattori sono negativi. D'altra parte, nella Tav. 7 ha già due meno, ma solo un più, e "abbastanza" (-3)-(-5) dovrebbe essere uguale a +15. Quindi cosa preferisci?
Tabella 7
Certo, non sarai confuso da tali conversazioni: da un corso di matematica scolastica, hai imparato con fermezza che un meno per un meno dà un vantaggio. Ma immagina che tuo fratello o tua sorella minore ti chieda: perché? Che cos'è: il capriccio di un insegnante, un'indicazione di autorità superiori o un teorema che può essere dimostrato?
Di solito, la regola per moltiplicare i numeri negativi viene spiegata usando esempi come quello presentato in Tabella. 8.
Tabella 8
Si può spiegare in un altro modo. Scriviamo i numeri di seguito
Ora scriviamo gli stessi numeri moltiplicati per 3:
È facile vedere che ogni numero è 3 in più del precedente, ora scriviamo gli stessi numeri in ordine inverso (iniziando, ad esempio, con 5 e 15):
Allo stesso tempo, il numero -15 si è rivelato sotto il numero -5, quindi 3 (-5) \u003d -15: più per meno dà meno.
Ora ripetiamo la stessa procedura, moltiplicando i numeri 1,2,3,4,5... per -3 (sappiamo già che un più per un meno è uguale a un meno):
Ogni numero successivo della riga in basso è inferiore al precedente di 3. Scriviamo i numeri in ordine inverso
e continua:
Il numero -5 è risultato essere 15, quindi (-3) (-5) = 15.
Forse queste spiegazioni soddisferebbero tuo fratello o tua sorella minore. Ma hai il diritto di chiedere come stanno realmente le cose ed è possibile dimostrare che (-3) (-5) = 15?
La risposta qui è che si può dimostrare che (-3) (-5) deve essere uguale a 15, se solo vogliamo che le solite proprietà di addizione, sottrazione e moltiplicazione rimangano vere per tutti i numeri, inclusi quelli negativi. Lo schema di questa dimostrazione è il seguente.
Dimostriamo prima che 3 (-5) = -15. Cos'è -15? Questo è l'opposto di 15, cioè il numero che somma 15 a 0. Quindi dobbiamo dimostrare che
In questo articolo ci occuperemo di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Qui formuliamo prima la regola per moltiplicare un numero positivo e negativo, giustificarla e quindi considerare l'applicazione di questa regola durante la risoluzione degli esempi.
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Regola per moltiplicare i numeri con segni diversi
La moltiplicazione di un numero positivo per uno negativo, così come un numero negativo per uno positivo, viene eseguita secondo quanto segue regola per moltiplicare i numeri con segni diversi: per moltiplicare numeri con segni diversi, devi moltiplicare e mettere un segno meno davanti al prodotto risultante.
Scriviamo questa regola in forma letterale. Per ogni numero reale positivo a e qualsiasi numero reale negativo −b, l'uguaglianza a(−b)=−(|a|·|b|) , e per il numero negativo −a e il numero positivo b, l'uguaglianza (−a)b=−(|a|·|b|) .
La regola per moltiplicare i numeri con segni diversi è pienamente coerente con proprietà delle azioni con numeri reali. In effetti, sulla base di essi, è facile dimostrare che per i numeri reali e positivi a e b, una catena di uguaglianze della forma a (−b)+a b=a ((−b)+b)=a 0=0, il che dimostra che a (−b) e a b sono numeri opposti, il che implica l'uguaglianza a (−b)=−(a b) . E da ciò segue la validità della regola di moltiplicazione in esame.
Va notato che la regola annunciata per moltiplicare i numeri con segni diversi è valida sia per i numeri reali, sia per i numeri razionali e per i numeri interi. Ciò deriva dal fatto che le operazioni su razionali e numeri interi hanno le stesse proprietà utilizzate nella dimostrazione precedente.
È chiaro che la moltiplicazione di numeri con segni diversi secondo la regola ottenuta si riduce alla moltiplicazione di numeri positivi.
Resta solo da considerare esempi di applicazione della regola di moltiplicazione analizzata quando si moltiplicano numeri con segni diversi.
Esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi
Diamo un'occhiata a diverse soluzioni esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Iniziamo con un caso semplice per concentrarci sui passaggi delle regole piuttosto che sulla complessità computazionale.
Moltiplica il numero negativo −4 per il numero positivo 5 .
Secondo la regola di moltiplicazione per i numeri con segni diversi, dobbiamo prima moltiplicare i moduli dei fattori originali. Il modulo di −4 è 4, e il modulo di 5 è 5, e la moltiplicazione dei numeri naturali 4 e 5 dà 20. Infine, resta da mettere un segno meno davanti al numero risultante, abbiamo -20. Questo completa la moltiplicazione.
In breve, la soluzione può essere scritta come segue: (−4) 5=−(4 5)=−20 .
(−4) 5=−20 .
Quando si moltiplicano numeri frazionari con segni diversi, è necessario essere in grado di eseguire la moltiplicazione di frazioni ordinarie, la moltiplicazione di frazioni decimali e le loro combinazioni con numeri naturali e misti.
Esegui la moltiplicazione di numeri con segni diversi 0, (2) e.
Dopo aver tradotto una frazione decimale periodica in una frazione ordinaria, oltre ad aver completato il passaggio da un numero misto a una frazione impropria, si passerà dal prodotto originario al prodotto di frazioni ordinarie con segni di forma diversi. Questo prodotto è uguale alla regola di moltiplicazione per i numeri con segni diversi. Resta solo da moltiplicare le frazioni ordinarie tra parentesi, che abbiamo 
.
.
Separatamente, vale la pena menzionare la moltiplicazione di numeri con segni diversi, quando uno o entrambi i fattori sono
Ora affrontiamo moltiplicazione e divisione.
Supponiamo di dover moltiplicare +3 per -4. Come farlo?
Consideriamo un caso del genere. Tre persone si sono indebitate e ciascuna ha un debito di $ 4. Qual è il debito totale? Per trovarlo, devi sommare tutti e tre i debiti: $4 + $4 + $4 = $12. Abbiamo deciso che la somma di tre numeri 4 è indicata come 3 × 4. Poiché in questo caso stiamo parlando di debito, c'è un segno "-" davanti al 4. Sappiamo che il debito totale è di $12, quindi ora il nostro problema è 3x(-4)=-12.
Otterremo lo stesso risultato se, secondo la condizione del problema, ciascuna delle quattro persone ha un debito di 3 dollari. In altre parole, (+4)x(-3)=-12. E poiché l'ordine dei fattori non ha importanza, otteniamo (-4)x(+3)=-12 e (+4)x(-3)=-12.
Riassumiamo i risultati. Quando si moltiplicano un numero positivo e uno negativo, il risultato sarà sempre un numero negativo. Il valore numerico della risposta sarà lo stesso del caso di numeri positivi. Prodotto (+4)x(+3)=+12. La presenza del segno "-" influisce solo sul segno, ma non sul valore numerico.
Come si moltiplicano due numeri negativi?
Sfortunatamente, è molto difficile trovare un esempio adatto dalla vita su questo argomento. È facile immaginare un debito di $ 3 o $ 4, ma è del tutto impossibile immaginare che -4 o -3 persone si indebitino.
Forse andremo dall'altra parte. Nella moltiplicazione, cambiando il segno di uno dei fattori cambia il segno del prodotto. Se cambiamo i segni di entrambi i fattori, dobbiamo cambiare i segni due volte marchio del prodotto, prima da positivo a negativo, e poi viceversa, da negativo a positivo, cioè il prodotto avrà il suo segno originario.
Pertanto, è abbastanza logico, anche se un po' strano, che (-3)x(-4)=+12.
Posizione del segno quando moltiplicato cambia in questo modo:
- numero positivo x numero positivo = numero positivo;
- numero negativo x numero positivo = numero negativo;
- numero positivo x numero negativo = numero negativo;
- numero negativo x numero negativo = numero positivo.
In altre parole, moltiplicando due numeri con lo stesso segno, otteniamo un numero positivo. Moltiplicando due numeri con segni diversi, otteniamo un numero negativo.
La stessa regola vale per l'opposto della moltiplicazione - per.
Puoi verificarlo facilmente eseguendo operazioni di moltiplicazione inversa. Se in ciascuno degli esempi precedenti moltiplichi il quoziente per il divisore, ottieni il dividendo e assicurati che abbia lo stesso segno, come (-3)x(-4)=(+12).
Dato che l'inverno sta arrivando, è tempo di pensare a cosa indossare per cambiare il tuo cavallo di ferro, per non scivolare sul ghiaccio e sentirti sicuro sulle strade invernali. Puoi, ad esempio, prendere pneumatici Yokohama sul sito: mvo.ru o altri, l'importante è che siano di alta qualità, puoi trovare maggiori informazioni e prezzi sul sito Mvo.ru.
Questo articolo fornisce una panoramica dettagliata numeri che dividono con segni diversi. Innanzitutto, viene data la regola per dividere i numeri con segni diversi. Di seguito sono riportati esempi di divisione di numeri positivi per numeri negativi e negativi per positivi.
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Regola per dividere i numeri con segni diversi
Nell'articolo divisione di numeri interi è stata ottenuta la regola per dividere numeri interi con segni diversi. Può essere esteso sia ai numeri razionali che ai numeri reali ripetendo tutti gli argomenti dell'articolo specificato.
COSÌ, regola per dividere i numeri con segni diversi ha la seguente formulazione: per dividere un numero positivo per un numero negativo o un numero negativo per uno positivo, è necessario dividere il dividendo per il modulo del divisore e mettere un segno meno davanti al numero risultante.
Scriviamo questa regola di divisione usando le lettere. Se i numeri a e b hanno segni diversi, allora la formula è valida a:b=−|a|:|b| .
Dalla regola sonora, è chiaro che il risultato della divisione di numeri con segni diversi è un numero negativo. Infatti, poiché il modulo del dividendo e il modulo del divisore sono più positivi del numero, allora il loro quoziente è un numero positivo e il segno meno rende questo numero negativo.
Si noti che la regola considerata riduce la divisione di numeri con segni diversi alla divisione di numeri positivi.
Puoi dare un'altra formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi: per dividere il numero a per il numero b, devi moltiplicare il numero a per il numero b −1, il reciproco del numero b. Questo è, a:b=a b−1 .
Questa regola può essere utilizzata quando è possibile andare oltre l'insieme degli interi (poiché non tutti gli interi hanno un inverso). In altre parole, è applicabile sia all'insieme dei numeri razionali che all'insieme dei numeri reali.
È chiaro che questa regola per dividere i numeri con segni diversi permette di passare dalla divisione alla moltiplicazione.
La stessa regola viene utilizzata quando si dividono i numeri negativi.
Resta da considerare come viene applicata questa regola per dividere i numeri con segni diversi nella risoluzione degli esempi.
Esempi di divisione di numeri con segni diversi
Consideriamo soluzioni di diverse caratteristiche esempi di divisione di numeri con segni diversi cogliere il principio di applicazione delle regole del paragrafo precedente.
Dividi il numero negativo −35 per il numero positivo 7 .
La regola per dividere i numeri con segni diversi prescrive prima di trovare i moduli del dividendo e del divisore. Il modulo di −35 è 35 e il modulo di 7 è 7. Ora dobbiamo dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore, cioè dobbiamo dividere 35 per 7. Ricordando come viene eseguita la divisione dei numeri naturali, otteniamo 35:7=5. Rimane l'ultimo passaggio della regola per dividere i numeri con segni diversi: metti un segno meno davanti al numero risultante, abbiamo -5.
Ecco l'intera soluzione: .
Si potrebbe procedere da una diversa formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi. In questo caso, troviamo prima il numero che è il reciproco del divisore 7. Questo numero è la frazione comune 1/7. Così, . Resta da eseguire la moltiplicazione dei numeri con segni diversi: . Ovviamente, siamo arrivati allo stesso risultato.
(−35):7=−5 .
Calcola il quoziente 8:(−60) .
Con la regola di dividere i numeri con segni diversi, abbiamo 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. L'espressione risultante corrisponde a una frazione ordinaria negativa (vedi il segno di divisione come una barra di frazione), puoi ridurre la frazione di 4, otteniamo 
.
Scriviamo brevemente l'intera soluzione: .
.
Quando si dividono numeri razionali frazionari con segni diversi, il loro dividendo e divisore sono solitamente rappresentati come frazioni ordinarie. Ciò è dovuto al fatto che non è sempre conveniente eseguire la divisione con numeri in una notazione diversa (ad esempio, in decimale).
Il modulo del dividendo è e il modulo del divisore è 0,(23) . Per dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore, passiamo alle frazioni ordinarie.
In questo articolo, formuliamo la regola per moltiplicare i numeri negativi e ne diamo una spiegazione. Il processo di moltiplicazione dei numeri negativi sarà considerato in dettaglio. Gli esempi mostrano tutti i casi possibili.
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Moltiplicazione di numeri negativi
Definizione 1Regola per moltiplicare i numeri negativiè che per moltiplicare due numeri negativi è necessario moltiplicare il loro modulo. Questa regola è scritta come segue: per qualsiasi numero negativo - a, - b, questa uguaglianza è considerata vera.
(- a) (- b) = a b .
Sopra è la regola per moltiplicare due numeri negativi. Procedendo da esso, dimostreremo l'espressione: (- a) · (- b) = a · b. L'articolo moltiplicazione di numeri con segni diversi dice che le uguaglianze a · (- b) = - a · b sono discrete, così come (- a) · b = - a · b. Ciò deriva dalla proprietà dei numeri opposti, per cui le uguaglianze saranno scritte come segue:
(- a) (- b) = (- a (- b)) = - (- (a b)) = a b .
Qui puoi vedere chiaramente la dimostrazione della regola per la moltiplicazione dei numeri negativi. Sulla base degli esempi, è chiaro che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. Quando si moltiplicano moduli di numeri, il risultato è sempre un numero positivo.
Questa regola si applica alla moltiplicazione di numeri reali, numeri razionali, numeri interi.
Consideriamo ora in dettaglio esempi di moltiplicazione di due numeri negativi. Durante il calcolo, è necessario utilizzare la regola scritta sopra.
Esempio 1
Moltiplica i numeri - 3 e - 5.
Soluzione.
Il modulo moltiplicato dati due numeri è uguale ai numeri positivi 3 e 5 . Il loro prodotto dà 15 come risultato. Ne consegue che il prodotto dei numeri dati è 15
Scriviamo brevemente la moltiplicazione dei numeri negativi stessa:
(- 3) (- 5) = 3 5 = 15
Risposta: (- 3) · (- 5) = 15 .
Quando si moltiplicano numeri razionali negativi, applicando la regola analizzata, ci si può mobilitare per la moltiplicazione di frazioni, la moltiplicazione di numeri misti, la moltiplicazione di frazioni decimali.
Esempio 2
Calcolare il prodotto (- 0 , 125) · (- 6) .
Soluzione.
Usando la regola della moltiplicazione per i numeri negativi, otteniamo che (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Per ottenere il risultato, devi moltiplicare la frazione decimale per il numero naturale di barre. Sembra così:
Abbiamo ottenuto che l'espressione assumerà la forma (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 125 6 = 0 , 75 .
Risposta: (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 75 .
Nel caso in cui i fattori siano numeri irrazionali, il loro prodotto può essere scritto come espressione numerica. Il valore viene calcolato solo se necessario.
Esempio 3
È necessario moltiplicare negativo - 2 per log non negativo 5 1 3 .
Soluzione
Trova moduli di numeri dati:
2 = 2 e log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .
Seguendo le regole per la moltiplicazione dei numeri negativi, otteniamo il risultato - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 . Questa espressione è la risposta.
Risposta: - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 .
Per continuare a studiare l'argomento, è necessario ripetere la sezione sulla moltiplicazione dei numeri reali.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
Argomento della lezione aperta: "Moltiplicazione di numeri negativi e positivi"
Data di: 17/03/2017
Insegnante: Kuts V.V.
Classe: 6 gr
Lo scopo e gli obiettivi della lezione:
introdurre regole per moltiplicare due numeri negativi e numeri con segni diversi;
promuovere lo sviluppo del linguaggio matematico, della memoria di lavoro, dell'attenzione volontaria, del pensiero visivamente efficace;
formazione di processi interni di sviluppo intellettuale, personale, emotivo.
coltivare una cultura del comportamento nel lavoro frontale, individuale e di gruppo.
Tipo di lezione: lezione di presentazione primaria di nuove conoscenze
Forme di studio: frontale, lavoro in coppia, lavoro in gruppo, lavoro individuale.
Metodi di insegnamento: verbale (conversazione, dialogo); visivo (lavoro con materiale didattico); deduttivo (analisi, applicazione delle conoscenze, generalizzazione, attività progettuali).
Concetti e termini : modulo del numero, numeri positivi e negativi, moltiplicazione.
Risultati pianificati apprendimento
- saper moltiplicare numeri con segni diversi, moltiplicare numeri negativi;Applica la regola per moltiplicare i numeri positivi e negativi quando risolvi gli esercizi, fissa le regole per moltiplicare le frazioni decimali e ordinarie.
Normativa - essere in grado di determinare e formulare l'obiettivo nella lezione con l'aiuto di un insegnante; pronunciare la sequenza di azioni nella lezione; lavorare secondo un piano collettivo; valutare la correttezza dell'azione. Pianifica la tua azione in accordo con il compito; apportare le modifiche necessarie all'azione dopo il suo completamento sulla base della sua valutazione e tenendo conto degli errori commessi; esprimi la tua ipotesi.Comunicativo - essere in grado di formulare oralmente i propri pensieri; ascoltare e comprendere il discorso degli altri; concordare congiuntamente le regole di comportamento e comunicazione a scuola e seguirle.
cognitivo - essere in grado di navigare nel proprio sistema di conoscenze, distinguere nuove conoscenze da già conosciute con l'aiuto di un insegnante; acquisire nuove conoscenze; trova le risposte alle domande usando il libro di testo, la tua esperienza di vita e le informazioni ricevute durante la lezione.
Formazione di un atteggiamento responsabile nei confronti dell'apprendimento basato sulla motivazione per l'apprendimento di cose nuove;
Formazione della competenza comunicativa nel processo di comunicazione e cooperazione con i pari nelle attività educative;
Essere in grado di effettuare un'autovalutazione basata sul criterio di successo delle attività educative; concentrarsi sul successo dell'apprendimento.
Durante le lezioni
Elementi strutturali della lezione
Compiti didattici
Attività prevista dell'insegnante
Attività studentesca prevista
Risultato
1. Momento organizzativo
Motivazione per attività di successo
Controlla la prontezza per la lezione.
- Buon pomeriggio ragazzi! Siediti! Controlla se hai tutto pronto per la lezione: quaderno e libro di testo, diario e materiale per scrivere.
Sono felice di vederti alla lezione oggi di buon umore.
Guardatevi negli occhi, sorridete, augurate al vostro compagno buon umore lavorativo con i vostri occhi.
Auguro anche a te buon lavoro oggi.
Ragazzi, il motto della lezione di oggi sarà una citazione dello scrittore francese Anatole France:
“L'apprendimento può essere solo divertente. Per digerire la conoscenza, bisogna assorbirla con gusto.
Ragazzi, chi mi dirà cosa significa assorbire la conoscenza con appetito?
Quindi oggi assorbiremo la conoscenza con grande piacere durante la lezione, perché ci saranno utili in futuro.
Pertanto, preferiamo aprire i taccuini e annotare il numero, ottimo lavoro.
Stato d'animo emotivo
- Con interesse, con piacere.
Pronto per iniziare la lezione
Motivazione positiva per imparare un nuovo argomento
2. Attivazione dell'attività cognitiva
Preparali ad apprendere nuove conoscenze e modi di fare le cose.
Organizzare un sondaggio faccia a faccia sul materiale trattato.
Ragazzi, chi mi dirà qual è l'abilità più importante in matematica? ( Controllo). Giusto.
Quindi ti metterò alla prova ora, quanto bene sai contare.
Ora faremo un esercizio di matematica.
Lavoriamo come al solito, contiamo oralmente e annotiamo la risposta per iscritto. Ti do 1 min.
5,2-6,7=-1,52,9+0,3=-2,6
9+0,3=9,3
6+7,21=13,21
15,22-3,34=-18,56
Controlliamo le risposte.
Controlleremo le risposte, se sei d'accordo con la risposta, poi batti le mani, se non sei d'accordo, allora batti i piedi.
Bravi ragazzi.
Dimmi, quali azioni abbiamo eseguito con i numeri?
Quale regola abbiamo usato per contare?
Formula queste regole.
Rispondi alle domande risolvendo piccoli esempi.
Addizione e sottrazione.
Somma di numeri con segni diversi, somma di numeri con segno negativo e sottrazione di numeri positivi e negativi.
La prontezza degli studenti a formulare un problema problematico, a trovare modi per risolvere il problema.
3. Motivazione per impostare l'argomento e lo scopo della lezione
Incoraggia gli studenti a definire l'argomento e lo scopo della lezione.
Organizzare il lavoro in coppia.
Bene, è ora di passare allo studio di nuovo materiale, ma prima ripetiamo il materiale delle lezioni precedenti. Un cruciverba matematico ci aiuterà in questo.
Ma questo cruciverba non è ordinario, contiene una parola chiave che ci dirà l'argomento della lezione di oggi.
Il cruciverba si trova sui tuoi tavoli, ci lavoreremo in coppia. E una volta in coppia, ricordami com'è in coppia?
Abbiamo ricordato la regola del lavoro in coppia, ma ora iniziamo a risolvere il cruciverba, ti do 1,5 minuti. Chi fa tutto, metta le penne così posso vedere.
(Allegato 1)
1. Quali numeri vengono utilizzati nel conteggio?
2. Si chiama la distanza dall'origine a qualsiasi punto?
3. I numeri rappresentati da una frazione sono chiamati?
4. Due numeri che differiscono l'uno dall'altro solo nei segni sono chiamati?
5. Quali numeri si trovano a destra dello zero sulla linea delle coordinate?
6. Vengono chiamati i numeri naturali, i loro numeri opposti e lo zero?
7. Quale numero è chiamato neutro?
8. Un numero che indica la posizione di un punto su una retta?
9. Quali numeri si trovano a sinistra dello zero sulla linea delle coordinate?
Quindi, il tempo è scaduto. Controlliamo.
Abbiamo risolto l'intero cruciverba e quindi ripetuto il materiale delle lezioni precedenti. Alzi la mano, chi ha commesso un solo errore e chi ne ha fatti due? (Quindi ragazzi siete fantastici).
Bene, ora torniamo al nostro cruciverba. All'inizio ho detto che conteneva una parola che ci avrebbe detto l'argomento della lezione.
Allora qual è l'argomento della nostra lezione?
E cosa moltiplicheremo oggi?
Pensiamo, per questo ricordiamo i tipi di numeri che già conosciamo.
Pensiamo a quali numeri sappiamo già come moltiplicare?
Quali numeri impareremo a moltiplicare oggi?
Scrivi sul tuo quaderno l'argomento della lezione: "Moltiplicazione di numeri positivi e negativi".
Quindi, ragazzi, ho capito di cosa parleremo oggi nella lezione.
Dimmi, per favore, lo scopo della nostra lezione, cosa dovrebbe imparare ognuno di voi e cosa dovrebbe cercare di imparare entro la fine della lezione?
Ragazzi, beh, per raggiungere questo obiettivo, quali compiti dovremo risolvere con voi?
Giusto. Questi sono i due compiti che dovremo risolvere con te oggi.
Lavora in coppia, imposta l'argomento e lo scopo della lezione.
1.Naturale
2.Modulo
3. Razionale
4.Opposto
5.Positivo
6. Intero
7.Zero
8.Coordinate
9.Negativo
-"Moltiplicazione"
Numeri positivi e negativi
"Moltiplicazione di numeri positivi e negativi"
Lo scopo della lezione:
Impara a moltiplicare numeri positivi e negativi
Innanzitutto, per imparare a moltiplicare numeri positivi e negativi, devi ottenere una regola.
In secondo luogo, quando avremo la regola, cosa dovremmo fare? (impara ad applicarlo quando risolvi esempi).
4. Apprendere nuove conoscenze e modi di agire
Acquisire nuove conoscenze sull'argomento.
- Organizzare il lavoro in gruppo (apprendimento di nuovo materiale)
- Ora, per raggiungere il nostro obiettivo, inizieremo il primo compito, ricaveremo una regola per moltiplicare i numeri positivi e negativi.
E il lavoro di ricerca ci aiuterà in questo. E chi mi dirà perché si chiama ricerca? - In questo lavoro esploreremo per scoprire le regole "Moltiplicazione di numeri positivi e negativi".
Il tuo lavoro di ricerca si svolgerà in gruppi, in totale avremo 5 gruppi di ricerca.
Abbiamo ripetuto nella nostra testa come dovremmo lavorare in gruppo. Se qualcuno ha dimenticato, le regole sono davanti a te sullo schermo.
Lo scopo del tuo lavoro di ricerca: esplorando i compiti, deriva gradualmente la regola "Moltiplicazione di numeri negativi e positivi" nell'attività n. 2, nell'attività n. 1 hai 4 compiti in totale. E per risolvere questi problemi, il nostro termometro ti aiuterà, ogni gruppo ne ha uno.
Tutte le voci sono fatte su un pezzo di carta.
Una volta che il gruppo ha una soluzione per il primo problema, la mostri alla lavagna.
Ti vengono dati 5-7 minuti per lavorare.
(Appendice 2 )
Lavorare in gruppi (compilare la tabella, condurre ricerche)
Regole per lavorare in gruppo.Lavorare in gruppo è molto semplice
Conoscere cinque regole da seguire:
primo: non interrompere,
quando racconta
amico, dovrebbe esserci silenzio intorno;
secondo: non gridare forte,
e dare argomenti;
e la terza regola è semplicemente:
decidere cosa è importante per te;
quarto: non basta sapere oralmente
deve essere registrato;
e quinto: riassumere, pensare,
cosa potresti fare.
Padronanza
le conoscenze e i metodi di azione che sono determinati dagli obiettivi della lezione
5.Fizminutka
Stabilire la correttezza dell'assimilazione del nuovo materiale in questa fase, identificare i malintesi e la loro correzione
Ok, ho messo tutte le tue risposte nella tabella, ora diamo un'occhiata a ogni riga nella nostra tabella (vedi presentazione)
Quali conclusioni possiamo trarre dallo studio del tavolo.
1 riga. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?
2 righe. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?
3 righe. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?
4 righe. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?
E così hai analizzato gli esempi e sei pronto a formulare le regole, per questo hai dovuto colmare le lacune nel secondo compito.
Come moltiplicare un numero negativo per uno positivo?
- Come moltiplicare due numeri negativi?
Riposiamoci un po'.
Risposta positiva - siediti, negativa - alzati.
5*6
2*2
7*(-4)
2*(-3)
8*(-8)
7*(-2)
5*3
4*(-9)
5*(-5)
9*(-8)
15*(-3)
7*(-6)
Moltiplicando numeri positivi si ottiene sempre un numero positivo.
Moltiplicando un numero negativo per un numero positivo si ottiene sempre un numero negativo.
Moltiplicando i numeri negativi si ottiene sempre un numero positivo.
Moltiplicando un numero positivo per un numero negativo si ottiene un numero negativo.
Per moltiplicare due numeri con segni diversi,moltiplicare moduli di questi numeri e metti un segno "-" davanti al numero risultante.
- Per moltiplicare due numeri negativi, è necessariomoltiplicare i loro moduli e metti un segno davanti al numero risultante «+».
Gli studenti eseguono esercizi fisici, rafforzando le regole.
Prevenire l'affaticamento
7. Fissaggio primario di nuovo materiale
Padroneggiare la capacità di applicare nella pratica le conoscenze acquisite.
Organizzare il lavoro frontale e indipendente sul materiale trattato.
Fisseremo le regole e ci diremo a coppie queste stesse regole. Ti do un minuto per questo.
Dimmi, possiamo ora passare alla risoluzione di esempi? Sì possiamo.
Apriamo pagina 192 n. 1121
Tutti insieme faremo la 1a e la 2a riga a) 5 * (-6) = 30
b) 9*(-3)=-27
g) 0,7*(-8)=-5,6
h) -0,5*6=-3
n) 1,2*(-14)=-16,8
o) -20,5*(-46)=943
tre persone alla lavagna
Hai 5 minuti per risolvere gli esempi.
E controlliamo tutto insieme.
Compito creativo in coppia (Appendice 3)
Inserisci i numeri in modo che su ogni piano il loro prodotto sia uguale al numero sul tetto della casa.
Risolvere esempi utilizzando le conoscenze acquisite
Alzi la mano chi non ha commesso errori, bravo....
Azioni attive degli studenti per applicare la conoscenza nella vita.
9. Riflessione (esito della lezione, valutazione dei risultati delle attività degli studenti)
Fornire agli studenti una riflessione, ad es. loro valutazione delle loro attività
Organizzare un riepilogo della lezione
La nostra lezione è giunta al termine, riassumiamo.
Rivisitiamo l'argomento della nostra lezione, va bene? Qual era il nostro obiettivo? - Abbiamo raggiunto questo obiettivo?
Quali difficoltà ti ha causato questo argomento?
- Ragazzi, beh, per valutare il vostro lavoro durante la lezione, dovete disegnare una faccina sorridente nei cerchi che sono sui vostri tavoli.
Un'emoticon sorridente significa che capisci tutto. Il verde significa che capisci, ma devi esercitarti e una faccina triste, se non capisci proprio niente. (Dammi mezzo minuto)
Bene, ragazzi, siete pronti a mostrare come avete lavorato in classe oggi? Quindi, solleviamo e, alzo anche una faccina per te.
Sono molto contento di te oggi alla lezione! Vedo che tutti hanno capito il materiale. Ragazzi, siete grandi!
Lezione finita, grazie per aver letto!
Rispondi alle domande e valuta il tuo lavoro
Si NOI abbiamo.
L'apertura degli studenti al trasferimento e alla comprensione delle loro azioni, per identificare gli aspetti positivi e negativi della lezione
10 . Informazioni sui compiti
Fornire una comprensione dello scopo, del contenuto e dei metodi per svolgere i compiti
Fornisce la comprensione dello scopo dei compiti.
Compiti a casa:
1.
Impara le regole della moltiplicazione
2. N. 1121 (terza colonna).
3. Compito creativo: componi un test di 5 domande a scelta multipla.
Annota i compiti, cercando di comprendere e capire.
Attuazione della necessità di raggiungere le condizioni per il completamento con successo dei compiti da parte di tutti gli studenti, in conformità con il compito e il livello di sviluppo degli studenti
Compito 1. Un punto si muove in linea retta da sinistra a destra con una velocità di 4 dm. al secondo e sta attualmente attraversando il punto A. Dove sarà il punto in movimento dopo 5 secondi?
È facile capire che il punto sarà a 20 dm. a destra di A. Scriviamo la soluzione di questo problema in numeri relativi. Per fare ciò, siamo d'accordo sui seguenti segni:
1) la velocità a destra sarà indicata dal segno +, e a sinistra dal segno -, 2) la distanza del punto in movimento da A a destra sarà indicata dal segno + e a sinistra dal segno -, 3) l'intervallo di tempo dopo il momento presente dal segno + e fino al momento presente dal segno -. Nel nostro problema sono dati i seguenti numeri: velocità = + 4 dm. al secondo, tempo \u003d + 5 secondi e si è scoperto, come hanno capito aritmeticamente, il numero + 20 dm., Esprimendo la distanza del punto in movimento da A dopo 5 secondi. Dal significato del problema, vediamo che si riferisce alla moltiplicazione. Pertanto, è conveniente scrivere la soluzione del problema:
(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.
Compito 2. Un punto si muove in linea retta da sinistra a destra con una velocità di 4 dm. al secondo e attualmente sta attraversando il punto A. Dov'era questo punto 5 secondi fa?
La risposta è chiara: il punto era a sinistra di A a una distanza di 20 dm.
La soluzione è conveniente, secondo le condizioni relative ai segni, e, tenendo presente che il significato del problema non è cambiato, scrivilo come segue:
(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.
Compito 3. Un punto si muove in linea retta da destra a sinistra con una velocità di 4 dm. al secondo e sta attualmente attraversando il punto A. Dove sarà il punto in movimento dopo 5 secondi?
La risposta è chiara: 20 dm. a sinistra di A. Pertanto, nelle stesse condizioni di segno, possiamo scrivere la soluzione a questo problema come segue:
(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.
Compito 4. Un punto si muove in linea retta da destra a sinistra con una velocità di 4 dm. al secondo e attualmente sta attraversando il punto A. Dov'era il punto in movimento 5 secondi fa?
La risposta è chiara: a una distanza di 20 dm. a destra di A. Pertanto, la soluzione a questo problema dovrebbe essere scritta come segue:
(– 4) ∙ (– 5) = + 20.
I problemi considerati indicano come estendere l'azione della moltiplicazione ai numeri relativi. Abbiamo nei problemi 4 casi di moltiplicazione di numeri con tutte le possibili combinazioni di segni:
1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.
In tutti e quattro i casi i valori assoluti di questi numeri vanno moltiplicati, il prodotto deve mettere il segno + quando i fattori hanno lo stesso segno (1° e 4° caso) e segno -, quando i fattori hanno segno diverso(casi 2 e 3).
Da qui vediamo che il prodotto non cambia dalla permutazione del moltiplicando e del moltiplicatore.
Esercizi.
Facciamo un esempio di calcolo, che include sia l'addizione che la sottrazione e la moltiplicazione.
Per non confondere l'ordine delle azioni, prestare attenzione alla formula
Qui viene scritta la somma dei prodotti di due coppie di numeri: quindi, prima il numero a viene moltiplicato per il numero b, quindi il numero c viene moltiplicato per il numero d, quindi vengono sommati i prodotti risultanti. Anche nella formula
devi prima moltiplicare il numero b per c e poi sottrarre il prodotto risultante da a.
Se volessi sommare il prodotto dei numeri a e b per c e moltiplicare la somma risultante per d, dovresti scrivere: (ab + c)d (confronta con la formula ab + cd).
Se fosse necessario moltiplicare la differenza dei numeri aeb per c, scriveremmo (a - b)c (confronta con la formula a - bc).
Pertanto, stabiliamo in generale che se l'ordine delle azioni non è indicato da parentesi, allora dobbiamo prima eseguire la moltiplicazione e quindi l'addizione o la sottrazione.
Procediamo al calcolo della nostra espressione: eseguiamo prima le addizioni scritte all'interno di tutte le parentesi piccole, otteniamo:
Ora dobbiamo eseguire la moltiplicazione all'interno delle parentesi quadre e quindi sottrarre il prodotto risultante da:
Ora eseguiamo le azioni all'interno delle parentesi tonde: prima la moltiplicazione e poi la sottrazione:
Ora resta da eseguire la moltiplicazione e la sottrazione:
16. Il prodotto di diversi fattori. Lascia che sia necessario trovare
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).
Qui è necessario moltiplicare il primo numero per il secondo, il prodotto risultante per il 3 e così via Non è difficile stabilire sulla base del precedente che i valori assoluti di tutti i numeri devono essere moltiplicati tra loro.
Se tutti i fattori erano positivi, allora sulla base del precedente troviamo che anche il prodotto deve avere il segno +. Se uno qualsiasi dei fattori fosse negativo
es., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),
quindi il prodotto di tutti i fattori che lo precedono darebbe un segno + (nel nostro esempio (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, moltiplicando il prodotto risultante per un numero negativo (nel nostro esempio +24 volte -1) otterremmo il segno del nuovo prodotto -; moltiplicandolo per il successivo fattore positivo (nel nostro esempio -24 per +5), otteniamo nuovamente un numero negativo; poiché tutti gli altri fattori sono considerati positivi, allora il segno del prodotto cambierà maggiormente ) non può.
Se ci fossero due fattori negativi, allora, argomentando come sopra, troveremmo che dapprima, fino a quando non si raggiungesse il primo fattore negativo, il prodotto sarebbe positivo, moltiplicandolo per il primo fattore negativo, il nuovo prodotto risulterebbe negativo e tale rimarrebbe fino a quando non si raggiunge il secondo fattore negativo; quindi moltiplicando un numero negativo per uno negativo, il nuovo prodotto risulterebbe positivo, il che rimarrà tale anche in futuro, se gli altri fattori saranno positivi.
Se ci fosse anche un terzo fattore negativo, allora il prodotto positivo ottenuto moltiplicandolo per questo terzo fattore negativo diventerebbe negativo; rimarrebbe tale se gli altri fattori fossero tutti positivi. Ma se c'è anche un quarto fattore negativo, allora moltiplicando per esso il prodotto sarà positivo. Ragionando allo stesso modo, troviamo che in generale:
Per scoprire il segno del prodotto di più fattori, devi guardare quanti di questi fattori sono negativi: se non ce ne sono affatto, o se c'è un numero pari, allora il prodotto è positivo: se c'è un numero dispari di fattori negativi, allora il prodotto è negativo.
Quindi ora possiamo scoprirlo facilmente
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.
(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.
Ora è facile vedere che il segno del prodotto, così come il suo valore assoluto, non dipendono dall'ordine dei fattori.
Conviene, quando si ha a che fare con numeri frazionari, trovare subito il prodotto:
Questo è conveniente perché non devi fare moltiplicazioni inutili, poiché l'espressione frazionaria ottenuta in precedenza viene ridotta il più possibile.