Con questo calcolatore online puoi trovare l'angolo tra le linee rette. Viene fornita una soluzione dettagliata con spiegazioni. Per calcolare l'angolo tra le linee, impostare la dimensione (2-se si considera una retta su un piano, 3- se si considera una retta nello spazio), inserire gli elementi dell'equazione nelle celle e cliccare sul pulsante " pulsante Risolvi". Vedere la parte teorica di seguito.
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Istruzioni per l'inserimento dei dati. I numeri vengono inseriti come numeri interi (esempi: 487, 5, -7623, ecc.), numeri decimali (es. 67., 102.54, ecc.) o frazioni. La frazione deve essere digitata nella forma a/b, dove a e b (b>0) sono numeri interi o decimali. Esempi 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ecc.
1. Angolo tra le linee su un piano
Le linee sono date dalle equazioni canoniche
1.1. Determinazione dell'angolo tra le linee
Lasciate le linee nello spazio bidimensionale l 1 e l
Pertanto, dalla formula (1.4) si può trovare l'angolo tra le linee l 1 e l 2. Come si può vedere dalla Fig.1, le linee che si intersecano formano angoli adiacenti φ e φ uno . Se l'angolo trovato è maggiore di 90°, puoi trovare l'angolo minimo tra le linee l 1 e l 2: φ 1 =180-φ .
Dalla formula (1.4) si deducono le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette.
Esempio 1. Determinare l'angolo tra le linee
Semplifichiamo e risolviamo:
1.2. Condizione di rette parallele
Permettere φ =0. Quindi cosφ=1. In questo caso, l'espressione (1.4) assumerà la seguente forma:
| , |
| , |
Esempio 2. Determina se le rette sono parallele
L'uguaglianza (1.9) è soddisfatta, quindi le rette (1.10) e (1.11) sono parallele.
Risposta. Le rette (1.10) e (1.11) sono parallele.
1.3. La condizione di perpendicolarità delle rette
Permettere φ =90°. Quindi cosφ=0. In questo caso, l'espressione (1.4) assumerà la seguente forma:
Esempio 3. Determina se le linee sono perpendicolari
La condizione (1.13) è soddisfatta, quindi le rette (1.14) e (1.15) sono perpendicolari.
Risposta. Le linee (1.14) e (1.15) sono perpendicolari.
Le rette sono date dalle equazioni generali
1.4. Determinazione dell'angolo tra le linee
Lascia due righe l 1 e l 2 sono dati da equazioni generali
Dalla definizione del prodotto scalare di due vettori, abbiamo:
Esempio 4. Trova l'angolo tra le linee
Valori sostitutivi UN 1 , B 1 , UN 2 , B 2 nella (1.23), otteniamo:
Questo angolo è maggiore di 90°. Trova l'angolo minimo tra le linee. Per fare ciò, sottrai questo angolo da 180:
D'altra parte, la condizione delle rette parallele l 1 e l 2 è equivalente alla condizione dei vettori collineari n 1 e n 2 e può essere rappresentato come segue:
L'uguaglianza (1.24) è soddisfatta, quindi le rette (1.26) e (1.27) sono parallele.
Risposta. Le rette (1.26) e (1.27) sono parallele.
1.6. La condizione di perpendicolarità delle rette
La condizione di perpendicolarità delle rette l 1 e l 2 può essere estratto dalla formula (1.20) sostituendo cos(φ )=0. Allora il prodotto scalare ( n 1 ,n 2)=0. Dove
L'uguaglianza (1.28) è soddisfatta, quindi le rette (1.29) e (1.30) sono perpendicolari.
Risposta. Le linee (1.29) e (1.30) sono perpendicolari.
2. Angolo tra le linee nello spazio
2.1. Determinazione dell'angolo tra le linee
Lascia le linee nello spazio l 1 e l 2 sono date dalle equazioni canoniche
dove | q 1 | e | q 2 | moduli del vettore di direzione q 1 e q 2 rispettivamente, φ -angolo tra vettori q 1 e q 2 .
Dall'espressione (2.3) otteniamo:
 .
|
Semplifichiamo e risolviamo:
 .
|
Troviamo l'angolo φ
ANGOLO TRA I PIANI
Consideriamo due piani α 1 e α 2 dati rispettivamente dalle equazioni:
Sotto angolo tra due piani si intende uno degli angoli diedri formati da questi piani. È ovvio che l'angolo tra i vettori normali e i piani α 1 e α 2 è uguale a uno degli angoli diedri adiacenti indicati o 
. Ecco perchè 
. Perché 
e 
, poi
.
Esempio. Determina l'angolo tra i piani X+2si-3z.z+4=0 e 2 X+3si+z.z+8=0.
Condizione di parallelismo di due piani.
Due piani α 1 e α 2 sono paralleli se e solo se i loro vettori normali e sono paralleli, e quindi 
.
Quindi, due piani sono paralleli tra loro se e solo se i coefficienti alle coordinate corrispondenti sono proporzionali:
o
Condizione di perpendicolarità dei piani.
È chiaro che due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono perpendicolari, e quindi, o .
In questo modo, .
Esempi.
DIRETTO NELLO SPAZIO.
EQUAZIONE VETTORIALE DIRETTA.
EQUAZIONI PARAMETRICHE DIRETTE
La posizione di una linea retta nello spazio è completamente determinata specificando uno qualsiasi dei suoi punti fissi M 1 e un vettore parallelo a questa retta.
Si chiama vettore parallelo a una retta guida il vettore di questa retta.
Quindi andiamo dritti l passa per un punto M 1 (X 1 , si 1 , z.z 1) giacente su una retta parallela al vettore .
Considera un punto arbitrario M(x,y,z) su una linea retta. Si può vedere dalla figura che 
.
I vettori e sono collineari, quindi esiste un tale numero t, cosa , dov'è il moltiplicatore t può assumere qualsiasi valore numerico a seconda della posizione del punto M su una linea retta. Fattore t si chiama parametro. Denotando i vettori del raggio dei punti M 1 e M rispettivamente, tramite e , otteniamo . Questa equazione è chiamata vettore equazione della retta. Mostra che ogni valore di parametro t corrisponde al raggio vettore di un punto M sdraiato su una linea retta.
Scriviamo questa equazione in forma di coordinate. Notare che , 
e da qui
Le equazioni risultanti sono chiamate parametrico equazioni in linea retta.
Quando si modifica il parametro t cambiano le coordinate X, si e z.z e punto M si muove in linea retta.
EQUAZIONI CANONICHE DIRETTE
Permettere M 1 (X 1 , si 1 , z.z 1) - un punto che giace su una linea retta l, e 
è il suo vettore di direzione. Ancora una volta, prendi un punto arbitrario su una linea retta M(x,y,z) e consideriamo il vettore .
È chiaro che i vettori e sono collineari, quindi le rispettive coordinate devono essere proporzionali, quindi
– canonico equazioni in linea retta.
Osservazione 1. Si noti che le equazioni canoniche della retta potrebbero essere ottenute dalle equazioni parametriche eliminando il parametro t. Infatti, dalle equazioni parametriche che otteniamo 
o .
Esempio. Scrivi l'equazione di una retta 
in modo parametrico.
Denota 
, quindi X = 2 + 3t, si = –1 + 2t, z.z = 1 –t.
Osservazione 2. Lascia che la linea sia perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue. Allora il vettore direzione della retta è perpendicolare Bue, Di conseguenza, m=0. Di conseguenza, le equazioni parametriche della retta assumono la forma
Eliminare il parametro dalle equazioni t, otteniamo le equazioni della retta nella forma
Tuttavia, anche in questo caso, concordiamo di scrivere formalmente nella forma le equazioni canoniche della retta 
. Pertanto, se il denominatore di una delle frazioni è zero, ciò significa che la linea è perpendicolare all'asse delle coordinate corrispondente.
Allo stesso modo, le equazioni canoniche 
corrisponde a una retta perpendicolare agli assi Bue e Ehi o asse parallelo Oncia.
Esempi.
EQUAZIONI GENERALI UNA LINEA DIRETTA COME LINEA DI INTERCETTAZIONE DI DUE PIANI
Attraverso ogni linea retta nello spazio passa un numero infinito di piani. Due qualsiasi di loro, intersecandosi, lo definiscono nello spazio. Pertanto, le equazioni di due di tali piani, considerate insieme, sono le equazioni di questa linea.
In generale, due piani qualsiasi non paralleli dati dalle equazioni generali
determinare la loro linea di intersezione. Queste equazioni sono chiamate equazioni generali dritto.
Esempi.
Costruisci una retta data da equazioni 
Per costruire una retta basta trovare due dei suoi punti. Il modo più semplice è scegliere i punti di intersezione della linea con i piani coordinati. Ad esempio, il punto di intersezione con il piano xOy otteniamo dalle equazioni di una retta, assumendo z.z= 0:
Risolvendo questo sistema, troviamo il punto M 1 (1;2;0).
Allo stesso modo, supponendo si= 0, otteniamo il punto di intersezione della retta con il piano xOz:
Dalle equazioni generali di una retta si può procedere alle sue equazioni canoniche o parametriche. Per fare questo, devi trovare un punto M 1 sulla retta e il vettore di direzione della retta.
Coordinate punto M 1 si ottiene da questo sistema di equazioni, dando ad una delle coordinate un valore arbitrario. Per trovare il vettore di direzione, nota che questo vettore deve essere perpendicolare a entrambi i vettori normali 
e 
. Pertanto, per il vettore di direzione della retta l puoi prendere il prodotto incrociato di vettori normali:
.
Esempio. Fornisci le equazioni generali della retta 
alla forma canonica.
Trova un punto su una linea retta. Per fare ciò, scegliamo arbitrariamente una delle coordinate, ad esempio, si= 0 e risolvi il sistema di equazioni:
I vettori normali dei piani che definiscono la linea hanno coordinate 
Pertanto, il vettore di direzione sarà rettilineo
. Di conseguenza, l: 
.
ANGOLO TRA I DIRITTI
angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.
Siano date nello spazio due rette:
Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo
Si diano le linee nello spazio l e m. Attraverso un punto A dello spazio tracciamo linee rette l 1 || l e m 1 || m(figura 138).
Si noti che il punto A può essere scelto arbitrariamente, in particolare può trovarsi su una delle linee date. Se dritto l e m si intersecano, allora A può essere considerato il punto di intersezione di queste linee ( l 1 = l e m 1 = m).
Angolo tra rette non parallele l e mè il valore del più piccolo degli angoli adiacenti formati dall'intersezione di rette l 1 e m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Si presume che l'angolo tra le rette parallele sia nullo.
Angolo tra le linee l e m denotato da \(\widehat((l;m)) \). Dalla definizione segue che se è misurato in gradi, allora 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, e se in radianti, allora 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Un compito. Viene dato il cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).
Trova l'angolo tra le rette AB e DC 1 .
Rettilineo incrocio AB e DC 1. Poiché la retta DC è parallela alla retta AB, l'angolo tra le rette AB e DC 1, secondo la definizione, è uguale a \(\widehat(C_(1)DC)\).
Quindi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Diretto l e m chiamato perpendicolare, se \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Ad esempio, in un cubo
Calcolo dell'angolo tra le linee.
Il problema del calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio è risolto allo stesso modo del piano. Indichiamo con φ l'angolo tra le linee l 1 e l 2 , e attraverso ψ - l'angolo tra i vettori di direzione un e b queste linee rette.
Allora se
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), quindi φ = 180° - ψ. È ovvio che in entrambi i casi vale l'uguaglianza cos φ = |cos ψ|. Secondo la formula (il coseno dell'angolo tra i vettori diversi da zero a e b è uguale al prodotto scalare di questi vettori diviso per il prodotto delle loro lunghezze) abbiamo
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
Di conseguenza,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Siano date le rette dalle loro equazioni canoniche
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; e \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Quindi l'angolo φ tra le linee viene determinato utilizzando la formula
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Se una delle linee (o entrambe) è data da equazioni non canoniche, per calcolare l'angolo è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione di queste linee, quindi utilizzare la formula (1).
Compito 1. Calcola l'angolo tra le linee
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;e\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
I vettori di direzione delle rette hanno coordinate:
a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Dalla formula (1) troviamo
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Pertanto, l'angolo tra queste linee è di 60°.
Compito 2. Calcola l'angolo tra le linee
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) and \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(casi) $$
Dietro il vettore guida un la prima retta prendiamo il prodotto vettoriale dei vettori normali n 1 = (3; 0; -12) e n 2 = (1; 1; -3) piani che definiscono questa linea. Con la formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) otteniamo
$$ a==\begin(vmatrice) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrice)=12i-3i+3k $$
Allo stesso modo, troviamo il vettore direzione della seconda retta:
$$ b=\begin(vmatrice) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrice)=-2i-4i+4k $$
Ma la formula (1) calcola il coseno dell'angolo desiderato:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Pertanto, l'angolo tra queste linee è di 90°.
Compito 3. Nella piramide triangolare MAVS, gli spigoli MA, MB e MC sono tra loro perpendicolari, (fig. 207);
le loro lunghezze sono rispettivamente pari a 4, 3, 6. Il punto D è il mezzo [MA]. Trova l'angolo φ tra le linee CA e DB.
Siano SA e DB i vettori di direzione delle rette SA e DB.
Prendiamo il punto M come origine delle coordinate. Per la condizione del compito, abbiamo A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Pertanto \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Usiamo la formula (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Secondo la tabella dei coseni, troviamo che l'angolo tra le rette CA e DB è di circa 72 °.
Oh-oh-oh-oh-oh ... beh, è metallico, come se leggessi la frase a te stesso =) Tuttavia, il rilassamento aiuterà, soprattutto perché oggi ho comprato accessori adatti. Passiamo quindi alla prima sezione, spero, entro la fine dell'articolo manterrò uno stato d'animo allegro.
Disposizione reciproca di due rette
Il caso in cui la sala canta in coro. Due linee possono:
1) partita;
2) essere parallelo: ;
3) o si intersecano in un unico punto: .
Aiuto per i manichini : per favore ricorda il segno matematico dell'intersezione , si verificherà molto spesso. La voce significa che la linea si interseca con la linea nel punto.
Come determinare la posizione relativa di due linee?
Partiamo dal primo caso:
Due rette coincidono se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè esiste un tale numero "lambda" che le uguaglianze
Consideriamo le rette e componiamo tre equazioni dai corrispondenti coefficienti: . Da ogni equazione segue che, quindi, queste rette coincidono.
Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione 
moltiplicare per -1 (cambiare segno), e tutti i coefficienti dell'equazione 
riduci di 2, ottieni la stessa equazione: .
Il secondo caso quando le linee sono parallele:
Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti alle variabili sono proporzionali: 
, ma.
Ad esempio, considera due linee rette. Controlliamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili: 
Tuttavia, è chiaro che.
E il terzo caso, quando le linee si intersecano:
Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, cioè NON esiste un tale valore di "lambda" che le uguaglianze siano soddisfatte 
Quindi, per le linee rette comporremo un sistema: 
Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , quindi, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti alle variabili non sono proporzionali.
Conclusione: le linee si intersecano
Nei problemi pratici può essere utilizzato lo schema di soluzione appena considerato. A proposito, è molto simile all'algoritmo per il controllo della collinearità dei vettori, che abbiamo considerato nella lezione. Il concetto di (non)dipendenza lineare dei vettori. Base vettoriale. Ma c'è un pacchetto più civile:
Esempio 1
Scopri la posizione relativa delle linee: 
Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi di rette:
a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle linee: 
.
, quindi i vettori non sono collineari e le rette si intersecano.
Per ogni evenienza, metterò una pietra con i puntatori all'incrocio:
Gli altri saltano oltre la pietra e proseguono, dritti a Kashchei l'Immortale =)
b) Trova i vettori di direzione delle linee: 
Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o uguali. Qui il determinante non è necessario.
Ovviamente i coefficienti delle incognite sono proporzionali, mentre .
Scopriamo se l'uguaglianza è vera: 
In questo modo,
c) Trova i vettori di direzione delle linee: 
Calcoliamo il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori: 
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le rette o sono parallele o coincidono.
Il fattore di proporzionalità "lambda" è facile da vedere direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può anche essere trovato attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: 
.
Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini liberi sono zero, quindi:
Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero generalmente la soddisfa).
Pertanto, le linee coincidono.
Risposta:
Molto presto imparerai (o addirittura hai già imparato) a risolvere verbalmente il problema considerato letteralmente in pochi secondi. A questo proposito, non vedo alcun motivo per offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio porre un mattone più importante nelle fondamenta geometriche:
Come disegnare una linea parallela a una data?
Per l'ignoranza di questo compito semplicissimo, l'usignolo il ladro punisce severamente.
Esempio 2
La retta è data dall'equazione . Scrivi un'equazione per una retta parallela che passa per il punto.
Soluzione: Denota la riga sconosciuta con la lettera . Cosa dice la condizione al riguardo? La retta passa per il punto. E se le rette sono parallele, allora è ovvio che il vettore direttivo della retta "ce" è adatto anche per costruire la retta "de".
Prendiamo il vettore di direzione dall'equazione:
Risposta:
La geometria dell'esempio sembra semplice: 
La verifica analitica consiste nelle seguenti fasi:
1) Verifichiamo che le rette abbiano lo stesso vettore direzione (se l'equazione della retta non è opportunamente semplificata, allora i vettori saranno collineari).
2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante.
La verifica analitica nella maggior parte dei casi è facile da eseguire oralmente. Guarda le due equazioni e molti di voi capiranno rapidamente come le linee sono parallele senza alcun disegno.
Gli esempi per l'auto-risoluzione oggi saranno creativi. Perché devi ancora competere con Baba Yaga e lei, sai, è un'amante di tutti i tipi di enigmi.
Esempio 3
Scrivi un'equazione per una retta passante per un punto parallelo alla retta if
C'è un modo razionale e poco razionale per risolvere. La via più breve è alla fine della lezione.
Abbiamo lavorato un po' con le linee parallele e ci ritorneremo in seguito. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi consideriamo un problema che ti è ben noto dal curriculum scolastico:
Come trovare il punto di intersezione di due rette?
Se dritto 
intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari 
Come trovare il punto di intersezione delle linee? Risolvi il sistema.
Ecco a voi significato geometrico di un sistema di due equazioni lineari in due incognite sono due linee rette che si intersecano (il più delle volte) su un piano.
Esempio 4
Trova il punto di intersezione delle linee
Soluzione: Esistono due modi per risolvere: grafico e analitico.
Il modo grafico è semplicemente disegnare le linee date e scoprire il punto di intersezione direttamente dal disegno: 
Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ogni equazione di una linea retta, dovrebbero adattarsi sia lì che lì. In altre parole, le coordinate di un punto sono la soluzione del sistema . In effetti, abbiamo considerato un modo grafico per risolvere sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.
Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma ci sono notevoli svantaggi. No, il punto non è che i ragazzi di seconda media decidono in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per fare un disegno corretto ed ESATTO. Inoltre, alcune linee non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso può trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno al di fuori del foglio del taccuino.
Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione con il metodo analitico. Risolviamo il sistema: 
Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell'addizione termwise di equazioni. Per sviluppare le competenze pertinenti, visita la lezione Come risolvere un sistema di equazioni?
Risposta:
La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ogni equazione del sistema.
Esempio 5
Trova il punto di intersezione delle linee se si intersecano.
Questo è un esempio fai da te. L'attività può essere convenientemente suddivisa in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione di una retta.
2) Scrivi l'equazione di una retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.
Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico di molti problemi geometrici e mi concentrerò ripetutamente su questo.
Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial:
Un paio di scarpe non è ancora stato consumato, poiché siamo arrivati alla seconda sezione della lezione:
Linee perpendicolari. La distanza da un punto a una linea.
Angolo tra le linee
Iniziamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte abbiamo imparato a costruire una linea retta parallela a quella data, e ora la capanna su cosce di pollo girerà di 90 gradi:
Come disegnare una linea perpendicolare a una data?
Esempio 6
La retta è data dall'equazione . Scrivi un'equazione per una retta perpendicolare passante per un punto.
Soluzione: Si sa per ipotesi che . Sarebbe bello trovare il vettore di direzione della retta. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:
Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore direttivo della retta.
Componiamo l'equazione di una linea retta da un punto e un vettore di direzione:
Risposta: 
Apriamo lo schizzo geometrico:
Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.
Verifica analitica della soluzione:
1) Estrarre i vettori di direzione dalle equazioni 
e con l'aiuto prodotto scalare di vettori concludiamo che le rette sono effettivamente perpendicolari: .
A proposito, puoi usare vettori normali, è ancora più semplice.
2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante 
.
La verifica, ancora una volta, è facile da eseguire verbalmente.
Esempio 7
Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari, se l'equazione è nota 
e punto.
Questo è un esempio fai da te. Ci sono diverse azioni nell'attività, quindi è conveniente organizzare la soluzione punto per punto.
Il nostro entusiasmante viaggio continua:
Distanza dal punto alla linea
Davanti a noi c'è una striscia diritta del fiume e il nostro compito è raggiungerla nel modo più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso ottimale sarà il movimento lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.
La distanza in geometria è tradizionalmente indicata dalla lettera greca "ro", ad esempio: - la distanza dal punto "em" alla linea retta "de".
Distanza dal punto alla linea 
è espresso dalla formula
Esempio 8
Trova la distanza da un punto a una linea 
Soluzione: tutto ciò di cui hai bisogno è sostituire attentamente i numeri nella formula e fare i calcoli:
Risposta: 
Eseguiamo il disegno: 
La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se fai un disegno su carta a scacchi su una scala di 1 unità. \u003d 1 cm (2 celle), quindi la distanza può essere misurata con un normale righello.
Considera un'altra attività secondo lo stesso disegno:
Il compito è trovare le coordinate del punto , che è simmetrico al punto rispetto alla linea 
. Propongo di eseguire le azioni da solo, tuttavia, delineerò l'algoritmo della soluzione con risultati intermedi:
1) Trova una retta perpendicolare a una retta.
2) Trova il punto di intersezione delle rette: 
.
Entrambe le azioni sono discusse in dettaglio in questa lezione.
3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del centro del segmento trova .
Non sarà superfluo verificare che anche la distanza sia pari a 2,2 unità.
Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre un microcalcolatore aiuta molto, permettendoti di contare le frazioni ordinarie. Ho consigliato molte volte e lo consiglierò di nuovo.
Come trovare la distanza tra due rette parallele?
Esempio 9
Trova la distanza tra due rette parallele
Questo è un altro esempio per una soluzione indipendente. Un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere. Debriefing alla fine della lezione, ma meglio provare a indovinare da solo, penso che tu sia riuscito a disperdere bene la tua ingegnosità.
Angolo tra due linee
Qualunque sia l'angolo, poi lo stipite: 
In geometria, l'angolo tra due rette è preso come l'angolo PICCOLO, da cui automaticamente segue che non può essere ottuso. Nella figura, l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino "verde" o orientato in modo opposto angolo cremisi.
Se le linee sono perpendicolari, uno qualsiasi dei 4 angoli può essere considerato come l'angolo tra di loro.
In che modo gli angoli sono diversi? Orientamento. Innanzitutto, la direzione di "scorrimento" dell'angolo è di fondamentale importanza. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio if .
Perché ho detto questo? Sembra che tu possa cavartela con il solito concetto di angolo. Il fatto è che nelle formule con cui troveremo gli angoli si può facilmente ottenere un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprenderti. Un angolo con un segno meno non è peggio e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno per un angolo negativo, è imperativo indicare il suo orientamento (in senso orario) con una freccia.
Come trovare l'angolo tra due rette? Ci sono due formule di lavoro:
Esempio 10
Trova l'angolo tra le linee
Soluzione e Metodo uno
Consideriamo due rette date da equazioni in forma generale: 
Se dritto non perpendicolare, poi orientati l'angolo tra loro può essere calcolato usando la formula: 
Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori di direzione delle rette:
Se , allora il denominatore della formula si annulla ei vettori saranno ortogonali e le rette perpendicolari. Ecco perché è stata fatta una riserva sulla non perpendicolarità delle linee nella formulazione.
Sulla base di quanto precede, la soluzione viene opportunamente formalizzata in due fasi:
1) Calcola il prodotto scalare dei vettori direttivi delle rette:
quindi le rette non sono perpendicolari.
2) Troviamo l'angolo tra le linee con la formula:
Usando la funzione inversa, è facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, usiamo la disparità dell'arcotangente (vedi Fig. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):
Risposta: 
Nella risposta indichiamo il valore esatto, nonché il valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti), calcolato utilizzando una calcolatrice.
Bene, meno, quindi meno, va bene. Ecco un'illustrazione geometrica: 
Non sorprende che l'angolo si sia rivelato di orientamento negativo, perché nella condizione del problema il primo numero è una linea retta e proprio da essa è iniziata la “torsione” dell'angolo.
Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi scambiare le linee rette, cioè prendere i coefficienti dalla seconda equazione 
, e prendi i coefficienti dalla prima equazione . Insomma, bisogna iniziare con una diretta 
.
Definizione. Se sono date due linee y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste linee sarà definito come
Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .
Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le rette coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.
Equazione di una retta passante per un dato punto
Perpendicolare a questa linea
Definizione. La linea che passa per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:
Distanza dal punto alla linea
Teorema. Se viene dato un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come
.
Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare calata dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:
(1)
Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione al sistema di equazioni:
La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare a una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
allora, risolvendo, otteniamo:
Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ=p/4.
Esempio. Mostra che le rette 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.
Soluzione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.
Esempio. I vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sono dati. Trova l'equazione per l'altezza tracciata dal vertice C.
Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. K = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: 
da cui b = 17. Totale: . 
Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.
Equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette
1. Equazione di una retta passante per un dato punto UN(X 1 , si 1) in una data direzione, determinata dalla pendenza K,
si - si 1 = K(X - X 1). (1)
Questa equazione definisce una matita di linee che passano per un punto UN(X 1 , si 1), che è chiamato il centro della trave.
2. Equazione di una retta passante per due punti: UN(X 1 , si 1) e B(X 2 , si 2) si scrive così:
La pendenza di una retta passante per due punti dati è determinata dalla formula
3. Angolo tra rette UN e Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN intorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario fino a coincidere con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni di pendenza
si = K 1 X + B 1 ,
si = K 2 X + B 2 , (4)
quindi l'angolo tra loro è determinato dalla formula
Si noti che al numeratore della frazione la pendenza della prima retta viene sottratta dalla pendenza della seconda retta.
Se le equazioni di una retta sono date in forma generale
UN 1 X + B 1 si + C 1 = 0,
UN 2 X + B 2 si + C 2 = 0, (6)
l'angolo tra loro è determinato dalla formula
4. Condizioni per il parallelismo di due rette:
a) Se le rette sono date dalle equazioni (4) con una pendenza, allora la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è l'uguaglianza delle loro pendenze:
K 1 = K 2 . (8)
b) Per il caso in cui le rette sono date da equazioni in forma generale (6), la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è che i coefficienti alle corrispondenti coordinate correnti nelle loro equazioni siano proporzionali, cioè
5. Condizioni per la perpendicolarità di due rette:
a) Nel caso in cui le rette siano date dalle equazioni (4) con una pendenza, la condizione necessaria e sufficiente per la loro perpendicolarità è che le loro pendenze siano reciproche in grandezza e opposte in segno, cioè
Questa condizione può anche essere scritta nella forma
K 1 K 2 = -1. (11)
b) Se le equazioni delle rette sono date nella forma generale (6), allora la condizione per la loro perpendicolarità (necessaria e sufficiente) è soddisfare l'uguaglianza
UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Le coordinate del punto di intersezione di due linee si trovano risolvendo il sistema di equazioni (6). Le linee (6) si intersecano se e solo se
1. Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto M, delle quali una parallela e l'altra perpendicolare alla retta data l.