Come trovare la derivata, come fare la derivata? In questa lezione impareremo come trovare le derivate delle funzioni. Ma prima di studiare questa pagina, ti consiglio vivamente di familiarizzare con il materiale metodologico Formule calde per il corso di matematica scolastica. Il manuale di riferimento può essere aperto o scaricato nella pagina Formule e tabelle matematiche. Anche da lì avremo bisogno Tabella dei derivati, è meglio stamparlo; dovrai consultarlo spesso, non solo adesso, ma anche offline.
Mangiare? Iniziamo. Ho due notizie per voi: buone e molto buone. La buona notizia è questa: per imparare a trovare i derivati, non è necessario sapere e capire cos’è un derivato. Inoltre, è più opportuno digerire in seguito la definizione della derivata di una funzione, il significato matematico, fisico, geometrico della derivata, poiché uno studio di alta qualità della teoria, a mio avviso, richiede lo studio di una serie di altri argomenti, nonché alcune esperienze pratiche.
E ora il nostro compito è padroneggiare tecnicamente questi stessi derivati. La buona notizia è che imparare a fare le derivate non è così difficile; esiste un algoritmo abbastanza chiaro per risolvere (e spiegare) questo compito; gli integrali o i limiti, ad esempio, sono più difficili da padroneggiare.
Raccomando il seguente ordine di studio dell'argomento:: Innanzitutto, questo articolo. Quindi devi leggere la lezione più importante Derivata di una funzione complessa. Queste due lezioni di base miglioreranno le tue abilità da zero. Successivamente puoi conoscere i derivati più complessi nell'articolo Derivati complessi. Derivata logaritmica. Se l'asticella è troppo alta, leggi prima la cosa I problemi tipici più semplici con le derivate. Oltre al nuovo materiale, la lezione copre altri tipi più semplici di derivati e rappresenta una grande opportunità per migliorare la tua tecnica di differenziazione. Inoltre, le prove di prova contengono quasi sempre compiti sulla ricerca di derivate di funzioni specificate in modo implicito o parametrico. C'è anche una lezione del genere: Derivate di funzioni implicite e definite parametricamente.
Cercherò in una forma accessibile, passo dopo passo, di insegnarti come trovare le derivate delle funzioni. Tutte le informazioni sono presentate in dettaglio, in parole semplici.
In realtà, vediamo subito un esempio:
Esempio 1
Trova la derivata di una funzione
Soluzione: 
Questo è un semplice esempio, trovalo nella tabella delle derivate delle funzioni elementari. Ora diamo un'occhiata alla soluzione e analizziamo cosa è successo? Ed è successa la cosa seguente: avevamo una funzione che, come risultato della soluzione, si è trasformata in una funzione.
Per dirla in modo molto semplice, per trovare la derivata di una funzione è necessario trasformarla in un'altra funzione secondo determinate regole. Guarda di nuovo la tabella delle derivate: lì le funzioni si trasformano in altre funzioni. L'unica eccezione è la funzione esponenziale, che si trasforma in se stessa. L'operazione di trovare la derivata si chiama differenziazione .
Designazioni: La derivata è indicata con o .
ATTENZIONE, IMPORTANTE! Dimenticare di mettere un tratto (dove è necessario), o di tracciare un tratto in più (dove non è necessario) - GROSSO ERRORE! Una funzione e la sua derivata sono due funzioni diverse!
Torniamo alla nostra tabella dei derivati. Da questa tabella è desiderabile memorizzare: regole di derivazione e derivate di alcune funzioni elementari, in particolare:
derivata della costante:
, dove è un numero costante;
derivata di una funzione di potenza:
, in particolare: , , .
Perché ricordare? Questa conoscenza è la conoscenza di base sui derivati. E se non puoi rispondere alla domanda dell'insegnante "Qual è la derivata di un numero?", Allora i tuoi studi all'università potrebbero finire per te (conosco personalmente due casi di vita reale). Inoltre, queste sono le formule più comuni che dobbiamo utilizzare quasi ogni volta che ci imbattiamo in derivati.
In realtà, gli esempi tabulari semplici sono rari; di solito, quando si trovano le derivate, si utilizzano prima le regole di differenziazione e poi una tabella delle derivate delle funzioni elementari.
A questo proposito passiamo alle considerazioni regole di differenziazione:
1) Un numero costante può (e dovrebbe) essere tolto dal segno della derivata
Dov'è un numero costante (costante)
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione
Diamo un'occhiata alla tabella dei derivati. La derivata del coseno c'è, ma abbiamo .
È ora di usare la regola, togliamo il fattore costante dal segno della derivata:
Ora convertiamo il nostro coseno secondo la tabella:
Bene, è consigliabile "pettinare" un po 'il risultato: metti il segno meno al primo posto, eliminando allo stesso tempo le parentesi:
2) La derivata della somma è uguale alla somma delle derivate
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione
Decidiamo. Come probabilmente avrai già notato, il primo passo che viene sempre eseguito quando si trova una derivata è racchiudere l'intera espressione tra parentesi e inserire un numero primo in alto a destra:
Applichiamo la seconda regola:
Tieni presente che per la differenziazione, tutte le radici e i gradi devono essere rappresentati nella forma e, se sono al denominatore, spostali verso l'alto. Come farlo è discusso nel mio materiale didattico.
Ora ricordiamo la prima regola di differenziazione: prendiamo i fattori costanti (numeri) al di fuori del segno della derivata:
Di solito, durante la soluzione, queste due regole vengono applicate contemporaneamente (per non riscrivere nuovamente un'espressione lunga).
Tutte le funzioni situate sotto i tratti sono funzioni elementari della tabella; utilizzando la tabella effettuiamo la trasformazione:
Puoi lasciare tutto così com'è, poiché non ci sono più tratti e la derivata è stata trovata. Tuttavia, espressioni come questa solitamente semplificano:
È consigliabile rappresentare nuovamente tutte le potenze del tipo sotto forma di radici; le potenze con esponente negativo devono essere riportate al denominatore. Anche se non sei obbligato a farlo, non sarà un errore.
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione 
Prova a risolvere tu stesso questo esempio (risposta alla fine della lezione). Chi è interessato può anche utilizzare corso intensivo in formato pdf, particolarmente utile se hai poco tempo a disposizione.
3) Derivato del prodotto di funzioni
Sembra che l'analogia suggerisca la formula...., ma la sorpresa è che:
Questa è una regola insolita (come del resto altri) segue da definizioni di derivati. Ma per ora tratterremo la teoria: ora è più importante imparare come risolvere:
Esempio 5
Trova la derivata di una funzione
Qui abbiamo il prodotto di due funzioni dipendenti da .
Per prima cosa applichiamo la nostra strana regola, e poi trasformiamo le funzioni utilizzando la tabella delle derivate:
Difficile? Niente affatto, abbastanza accessibile anche per una teiera.
Esempio 6
Trova la derivata di una funzione 
Questa funzione contiene la somma e il prodotto di due funzioni: trinomio quadratico e logaritmo. Dalla scuola ricordiamo che la moltiplicazione e la divisione hanno la precedenza sull'addizione e sulla sottrazione.
È lo stesso qui. ALL'INIZIO utilizziamo la regola di differenziazione del prodotto:
Ora per la staffa usiamo le prime due regole:
Come risultato dell'applicazione delle regole di differenziazione sotto i tratti, ci rimangono solo funzioni elementari; utilizzando la tabella delle derivate, le trasformiamo in altre funzioni:
Pronto.
Con una certa esperienza nella ricerca di derivati, non sembra che sia necessario descrivere i derivati semplici in modo così dettagliato. In generale, di solito vengono decisi oralmente e ciò viene immediatamente scritto 
.
Esempio 7
Trova la derivata di una funzione 
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione)
4) Derivata delle funzioni quoziente
Si è aperta una botola nel soffitto, non allarmatevi, è un problema tecnico.
Ma questa è la dura realtà: 
Esempio 8
Trova la derivata di una funzione
Cosa manca qui: somma, differenza, prodotto, frazione…. Con cosa dovrei iniziare?! Ci sono dubbi, non ci sono dubbi, ma, COMUNQUE Innanzitutto, disegna parentesi e metti un tratto in alto a destra:
Ora guardiamo l'espressione tra parentesi, come possiamo semplificarla? In questo caso notiamo un fattore che, secondo la prima regola, è opportuno porre fuori dal segno della derivata.
Dato che sei venuto qui, probabilmente hai già visto questa formula nel libro di testo
e fai una faccia così:
Amico, non preoccuparti! In effetti, tutto è semplicemente scandaloso. Capirai sicuramente tutto. Solo una richiesta: leggi l'articolo lentamente, cerca di capire ogni passaggio. Ho scritto nel modo più semplice e chiaro possibile, ma devi comunque capire l'idea. E assicurati di risolvere i compiti dell'articolo.
Cos'è una funzione complessa?
Immagina di trasferirti in un altro appartamento e quindi di imballare le cose in grandi scatole. Supponiamo che tu debba raccogliere alcuni piccoli oggetti, ad esempio materiale per scrivere a scuola. Se li getti semplicemente in una scatola enorme, si perderanno tra le altre cose. Per evitare ciò, li metti prima, ad esempio, in un sacchetto, che poi metti in una grande scatola, dopodiché la sigilli. Questo processo “complesso” è presentato nel diagramma seguente:
Sembrerebbe, cosa c'entra la matematica? Sì, nonostante il fatto che una funzione complessa sia formata ESATTAMENTE NELLO STESSO modo! Solo che noi “impacchettamo” non quaderni e penne, ma \(x\), mentre i “pacchetti” e le “scatole” sono diversi.
Ad esempio, prendiamo x e “impacchettatelo” in una funzione:
Di conseguenza, otteniamo, ovviamente, \(\cosx\). Questa è la nostra “borsa delle cose”. Ora inseriamolo in una "scatola": impacchettalo, ad esempio, in una funzione cubica.
Cosa accadrà alla fine? Sì, è vero, ci sarà un "sacchetto di cose in una scatola", cioè "coseno di X al cubo".
Il design risultante è una funzione complessa. Si differenzia da quello semplice in questo DIVERSE “influenze” (pacchetti) vengono applicate a una X di seguito e risulta come se "funzione da funzione" - "imballaggio nell'imballaggio".
Nel percorso scolastico esistono pochissime tipologie di questi “pacchetti”, solo quattro:
Ora “impacchettamo” X prima in una funzione esponenziale con base 7, e poi in una funzione trigonometrica. Noi abbiamo:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Adesso “impacchettamo” x due volte in funzioni trigonometriche, prima in e poi in:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Semplice, vero?
Ora scrivi tu stesso le funzioni, dove x:
- prima viene “impacchettato” in un coseno, e poi in una funzione esponenziale con base \(3\);
- prima alla quinta potenza e poi alla tangente;
- prima al logaritmo in base \(4\)
, poi alla potenza \(-2\).
Trova le risposte a questa attività alla fine dell'articolo.
Possiamo “impacchettare” X non due, ma tre volte? Nessun problema! E quattro, cinque e venticinque volte. Ecco, ad esempio, una funzione in cui x è “compresso” \(4\) volte:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Ma tali formule non si trovano nella pratica scolastica (gli studenti sono più fortunati, la loro potrebbe essere più complicata☺).
"Unpacking" una funzione complessa
Guarda di nuovo la funzione precedente. Riesci a capire la sequenza di "imballaggio"? In cosa è stato inserito X prima, in cosa poi e così via fino alla fine. Cioè, quale funzione è annidata all'interno di quale? Prendi un pezzo di carta e scrivi cosa ne pensi. Puoi farlo con una catena con frecce come abbiamo scritto sopra o in qualsiasi altro modo.
Ora la risposta corretta è: prima x è stato “compresso” alla \(4\)esima potenza, poi il risultato è stato compresso in un seno e, a sua volta, è stato inserito nel logaritmo in base \(2\) , e alla fine l'intera costruzione è stata inserita in un power five.
Cioè, devi svolgere la sequenza IN ORDINE INVERSO. Ed ecco un suggerimento su come farlo più facilmente: guarda immediatamente la X: dovresti ballare da lì. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Ad esempio, ecco la seguente funzione: \(y=tg(\log_2x)\). Guardiamo X: cosa gli succede prima? Preso da lui. Poi? Viene presa la tangente del risultato. La sequenza sarà la stessa:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Un altro esempio: \(y=\cos((x^3))\). Analizziamo: prima abbiamo cubato X e poi abbiamo preso il coseno del risultato. Ciò significa che la sequenza sarà: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Fai attenzione, la funzione sembra essere simile alla prima (dove ci sono le immagini). Ma questa è una funzione completamente diversa: qui nel cubo c'è x (cioè \(\cos((x·x·x)))\), e lì nel cubo c'è il coseno \(x\) ( cioè \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Questa differenza deriva da diverse sequenze di "impacchettamento".
L'ultimo esempio (con informazioni importanti al suo interno): \(y=\sin((2x+5))\). È chiaro che qui prima hanno fatto operazioni aritmetiche con x, poi hanno preso il seno del risultato: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). E questo è un punto importante: nonostante le operazioni aritmetiche non siano funzioni in sé, qui fungono anche da modalità di “imballaggio”. Approfondiamo un po' più a fondo questa sottigliezza.
Come ho detto sopra, nelle funzioni semplici x viene "compresso" una volta e nelle funzioni complesse due o più. Inoltre, anche qualsiasi combinazione di funzioni semplici (cioè la loro somma, differenza, moltiplicazione o divisione) è una funzione semplice. Ad esempio, \(x^7\) è una funzione semplice e lo è anche \(ctg x\). Ciò significa che tutte le loro combinazioni sono funzioni semplici:
\(x^7+ ctg x\) - semplice,
\(x^7· lettino x\) – semplice,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – semplice, ecc.
Tuttavia, se a tale combinazione viene applicata un'altra funzione, questa diventerà una funzione complessa, poiché ci saranno due “pacchetti”. Vedi diagramma:
Ok, vai avanti adesso. Scrivi la sequenza delle funzioni di “wrapping”:
\(y=cos((senx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Le risposte sono ancora una volta alla fine dell'articolo.
Funzioni interne ed esterne
Perché dobbiamo comprendere l'annidamento delle funzioni? Cosa ci dà questo? Il fatto è che senza tale analisi non saremo in grado di trovare in modo affidabile i derivati delle funzioni discusse sopra.
E per andare avanti avremo bisogno di altri due concetti: funzioni interne ed esterne. Questa è una cosa molto semplice, del resto, le abbiamo già analizzate sopra: se ricordiamo la nostra analogia all'inizio, allora la funzione interna è un “pacchetto”, e la funzione esterna è una “scatola”. Quelli. ciò in cui X è “avvolto” per primo è una funzione interna, e ciò in cui è “avvolto” la funzione interna è già esterno. Bene, il motivo è chiaro: è fuori, significa esterna.
In questo esempio: \(y=tg(log_2x)\), la funzione \(\log_2x\) è interna e 
- esterno.
E in questo: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) è interno, e 
- esterno.
Completa l'ultima pratica di analisi delle funzioni complesse e passiamo finalmente a ciò per cui siamo partiti: troveremo i derivati di funzioni complesse:
Compila gli spazi vuoti nella tabella:
Derivata di una funzione complessa
Bravi per noi, siamo finalmente arrivati al "capo" di questo argomento - in effetti, la derivata di una funzione complessa, e in particolare, a quella terribile formula dall'inizio dell'articolo.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Questa formula si legge così:
La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna rispetto ad una funzione interna costante e della derivata della funzione interna.
E guarda immediatamente il diagramma di analisi, secondo le parole, in modo da capire cosa fare con cosa:
Spero che i termini “derivato” e “prodotto” non causino alcuna difficoltà. "Funzione complessa": l'abbiamo già risolta. Il problema sta nella “derivata di una funzione esterna rispetto a una funzione interna costante”. Cos'è?
Risposta: Questa è la derivata abituale di una funzione esterna, in cui cambia solo la funzione esterna e quella interna rimane la stessa. Ancora non è chiaro? Ok, usiamo un esempio.
Consideriamo una funzione \(y=\sin(x^3)\). È chiaro che la funzione interna qui è \(x^3\), mentre quella esterna 
. Troviamo ora la derivata dell'esterno rispetto alla costante interna.
Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza (x elevato a a). Vengono considerate le derivate dalle radici di x. Formula per la derivata di una funzione potenza di ordine superiore. Esempi di calcolo delle derivate.
La derivata di x elevato a a è uguale a a moltiplicato x elevato a meno uno:
(1)
.
La derivata della radice n-esima di x elevata alla potenza m-esima è:
(2)
.
Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza
Caso x > 0
Consideriamo una funzione potenza della variabile x con esponente a:
(3)
.
Qui a è un numero reale arbitrario. Consideriamo innanzitutto il caso.
Per trovare la derivata della funzione (3), utilizziamo le proprietà di una funzione potenza e la trasformiamo nella seguente forma:
.
Ora troviamo la derivata utilizzando:
;
.
Qui .
La formula (1) è stata dimostrata.
Derivazione della formula per la derivata di una radice di grado n di x nel grado di m
Consideriamo ora una funzione che sia la radice della seguente forma:
(4)
.
Per trovare la derivata trasformiamo la radice in una funzione potenza:
.
Confrontando con la formula (3) lo vediamo
.
Poi
.
Usando la formula (1) troviamo la derivata:
(1)
;
;
(2)
.
In pratica non è necessario memorizzare la formula (2). È molto più conveniente trasformare prima le radici in funzioni potenza e poi trovare le loro derivate utilizzando la formula (1) (vedi esempi a fine pagina).
Caso x = 0
Se , allora la funzione potenza è definita per il valore della variabile x = 0
. Troviamo la derivata della funzione (3) in x = 0
. Per fare ciò usiamo la definizione di derivata:
.
Sostituiamo x = 0
:
.
In questo caso per derivata si intende il limite destro per il quale .
Quindi abbiamo trovato:
.
Da ciò è chiaro che per , .
A , .
A , .
Questo risultato si ottiene anche dalla formula (1):
(1)
.
Pertanto la formula (1) vale anche per x = 0
.
Caso X< 0
Consideriamo nuovamente la funzione (3):
(3)
.
Per determinati valori della costante a è definito anche per valori negativi della variabile x. Cioè, sia a un numero razionale. Quindi può essere rappresentata come una frazione irriducibile:
,
dove m e n sono numeri interi che non hanno un divisore comune.
Se n è dispari, allora la funzione potenza è definita anche per valori negativi della variabile x. Ad esempio, quando n = 3
e m = 1
abbiamo la radice cubica di x:
.
È definito anche per valori negativi della variabile x.
Troviamo la derivata della funzione potenza (3) per e per valori razionali della costante a per la quale è definita. Per fare ciò, rappresentiamo x nella seguente forma:
.
Poi ,
.
Troviamo la derivata ponendo la costante fuori dal segno della derivata e applicando la regola per derivare una funzione complessa:
.
Qui . Ma
.
Da allora
.
Poi
.
La formula (1) vale cioè anche per:
(1)
.
Derivate di ordine superiore
Ora troviamo le derivate di ordine superiore della funzione potenza
(3)
.
Abbiamo già trovato la derivata del primo ordine:
.
Prendendo la costante a fuori dal segno della derivata, troviamo la derivata del secondo ordine:
.
Allo stesso modo, troviamo le derivate del terzo e del quarto ordine:
;
.
Da questo è chiaro che derivata di ordine n-esimo arbitrario ha la seguente forma:
.
notare che se a è un numero naturale, allora la derivata n-esima è costante:
.
Allora tutte le derivate successive sono uguali a zero:
,
A .
Esempi di calcolo delle derivate
Esempio
Trova la derivata della funzione:
.
Soluzione
Convertiamo le radici in potenze:
;
.
Quindi la funzione originale assume la forma:
.
Trovare le derivate delle potenze:
;
.
La derivata della costante è zero:
.
Definizione. Sia definita la funzione \(y = f(x) \) in un certo intervallo contenente al suo interno il punto \(x_0\). Diamo all'argomento un incremento \(\Delta x \) tale che non lasci questo intervallo. Troviamo l'incremento corrispondente della funzione \(\Delta y \) (quando ci si sposta dal punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) e componiamo la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Se esiste un limite a questo rapporto in \(\Delta x \rightarrow 0\), viene chiamato il limite specificato derivata di una funzione\(y=f(x) \) nel punto \(x_0 \) e denotiamo \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Nota che y" = f(x) è una nuova funzione, ma naturalmente correlata alla funzione y = f(x), definita in tutti i punti x in cui esiste il limite di cui sopra. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y = f(x).
Significato geometrico della derivataè come segue. Se è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto con ascissa x=a, che non è parallelo all'asse y, allora f(a) esprime la pendenza della tangente :
\(k = f"(a)\)
Poiché \(k = tg(a) \), allora l'uguaglianza \(f"(a) = tan(a) \) è vera.
Ora interpretiamo la definizione di derivata dal punto di vista delle uguaglianze approssimate. Sia la funzione \(y = f(x)\) una derivata in un punto specifico \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che in prossimità del punto x l'uguaglianza approssimata \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \about f"(x)\), ovvero \(\Delta y \about f"(x) \cdot\ Deltax\). Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa risultante è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in un dato punto x. Ad esempio, per la funzione \(y = x^2\) è valida l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \about 2x \cdot \Delta x \). Se analizziamo attentamente la definizione di derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.
Formuliamolo.
Come trovare la derivata della funzione y = f(x)?
1. Correggi il valore di \(x\), trova \(f(x)\)
2. Assegna all'argomento \(x\) un incremento \(\Delta x\), vai a un nuovo punto \(x+ \Delta x \), trova \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trova l'incremento della funzione: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Crea la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione nel punto x.
Se una funzione y = f(x) ha una derivata in un punto x, allora si dice differenziabile in un punto x. Viene richiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y = f(x). differenziazione funzioni y = f(x).
Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate tra loro la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?
Sia la funzione y = f(x) differenziabile nel punto x. Quindi è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M(x; f(x)) e, ricordiamo, il coefficiente angolare della tangente è uguale a f "(x). Tale grafico non può "spezzarsi" nel punto M, cioè la funzione deve essere continua nel punto x.
Questi erano argomenti “pratici”. Facciamo un ragionamento più rigoroso. Se la funzione y = f(x) è differenziabile nel punto x, allora vale l'uguaglianza approssimata \(\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x \). Se in questa uguaglianza \(\Delta x \) tende a zero, allora \(\Delta y \) tenderà a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.
COSÌ, se una funzione è differenziabile in un punto x allora è continua in quel punto.
L’affermazione inversa non è vera. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di giunzione” (0; 0) non esiste. Se ad un certo punto non è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione, in quel punto la derivata non esiste.
Un altro esempio. La funzione \(y=\sqrt(x)\) è continua su tutta la linea numerica, incluso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, incluso nel punto x = 0 Ma in questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x = 0. Una tale retta non ha un coefficiente angolare, il che significa che \(f "(0)\) non esiste.
Quindi, abbiamo conosciuto una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può concludere dal grafico di una funzione che è differenziabile?
La risposta in realtà è data sopra. Se ad un certo punto è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora a questo punto la funzione è differenziabile. Se ad un certo punto la tangente al grafico di una funzione non esiste o è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora in questo punto la funzione non è differenziabile.
Regole di differenziazione
L'operazione di trovare la derivata si chiama differenziazione. Quando si esegue questa operazione, spesso è necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione di derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$