Come forse ricorderai dal tuo curriculum scolastico di geometria, un triangolo è una figura formata da tre segmenti collegati da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta. Un triangolo forma tre angoli, da qui il nome della figura. La definizione potrebbe essere diversa. Un triangolo può anche essere chiamato poligono con tre angoli, anche la risposta sarà corretta. I triangoli sono divisi in base al numero di lati uguali e alla dimensione degli angoli nelle figure. Pertanto, i triangoli si distinguono rispettivamente in isosceli, equilateri e scaleni, nonché rettangolari, acuti e ottusi.

Esistono molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Scegli come trovare l'area di un triangolo, ad es. Quale formula utilizzare dipende da te. Ma vale la pena notare solo alcune delle notazioni utilizzate in molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Quindi, ricorda:

S è l'area del triangolo,

a, b, c sono i lati del triangolo,

h è l'altezza del triangolo,

R è il raggio del cerchio circoscritto,

p è il semiperimetro.

Ecco le notazioni di base che potrebbero esserti utili se hai completamente dimenticato il corso di geometria. Di seguito sono riportate le opzioni più comprensibili e semplici per calcolare l'area sconosciuta e misteriosa di un triangolo. Non è difficile e sarà utile sia per le vostre necessità domestiche che per aiutare i vostri figli. Ricordiamo come calcolare l'area di un triangolo nel modo più semplice possibile:

Nel nostro caso l'area del triangolo è: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cmq. Ricorda che l'area si misura in centimetri quadrati (cmq).

Triangolo rettangolo e sua area.

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui un angolo è uguale a 90 gradi (da qui chiamato retto). Un angolo retto è formato da due rette perpendicolari (nel caso di un triangolo, due segmenti perpendicolari). In un triangolo rettangolo può esserci un solo angolo retto, perché... la somma di tutti gli angoli di un qualsiasi triangolo è uguale a 180 gradi. Risulta che altri 2 angoli dovrebbero dividere i restanti 90 gradi, ad esempio 70 e 20, 45 e 45, ecc. Quindi, ricordi la cosa principale, non resta che scoprire come trovare l'area di un triangolo rettangolo. Immaginiamo di avere davanti a noi un triangolo rettangolo e di dover trovare la sua area S.

1. Il modo più semplice per determinare l'area di un triangolo rettangolo è calcolato utilizzando la seguente formula:

Nel nostro caso l'area del triangolo rettangolo è: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cmq.

In linea di principio non è più necessario verificare l'area del triangolo in altri modi, perché Solo questo sarà utile e aiuterà nella vita di tutti i giorni. Ma ci sono anche opzioni per misurare l'area di un triangolo attraverso angoli acuti.

2. Per altri metodi di calcolo è necessario disporre di una tabella di coseni, seni e tangenti. Giudica tu stesso, ecco alcune opzioni per calcolare l'area di un triangolo rettangolo che può ancora essere utilizzata:

Abbiamo deciso di utilizzare la prima formula e con qualche piccola macchia (l'abbiamo disegnata su un quaderno e utilizzato un vecchio righello e un goniometro), ma abbiamo ottenuto il calcolo corretto:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Abbiamo ottenuto i seguenti risultati: 3,6=3,7, ma tenendo conto dello spostamento delle celle, possiamo perdonare questa sfumatura.

Triangolo isoscele e sua area.

Se ti trovi di fronte al compito di calcolare la formula per un triangolo isoscele, il modo più semplice è utilizzare la formula principale e quella che è considerata la formula classica per l'area di un triangolo.

Ma prima, prima di trovare l’area di un triangolo isoscele, scopriamo di che figura si tratta. Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati hanno la stessa lunghezza. Questi due lati si chiamano laterali, il terzo lato si chiama base. Non confondere un triangolo isoscele con un triangolo equilatero, cioè un triangolo regolare con tutti e tre i lati uguali. In un triangolo del genere non vi sono particolari tendenze negli angoli, o meglio nella loro dimensione. Tuttavia, gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, ma diversi dall'angolo compreso tra lati uguali. Quindi, conosci già la prima e principale formula, resta da scoprire quali altre formule sono note per determinare l'area di un triangolo isoscele:

Istruzioni

Parti e gli angoli sono considerati elementi base UN. Un triangolo è completamente definito da uno qualsiasi dei suoi seguenti elementi fondamentali: tre lati, oppure un lato e due angoli, oppure due lati e un angolo compreso tra loro. Per l'esistenza triangolo dato da tre lati a, b, c, è necessario e sufficiente a soddisfare le disuguaglianze chiamate disuguaglianze triangolo:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Per costruire triangolo sui tre lati a, b, c, è necessario dal punto C del segmento CB = a tracciare con un compasso una circonferenza di raggio b. Quindi, allo stesso modo, dal punto B traccia una circonferenza con raggio uguale al lato c. Il loro punto di intersezione A è il terzo vertice del desiderato triangolo ABC, dove AB=c, CB=a, CA=b - lati triangolo. Il problema si pone se i lati a, b, c soddisfano le disuguaglianze triangolo specificato al punto 1.

Area S costruita in questo modo triangolo L'ABC con i lati noti a, b, c, si calcola utilizzando la formula di Erone:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
dove a, b, c sono lati triangolo, p – semiperimetro.
p = (a+b+c)/2

Se un triangolo è equilatero, cioè tutti i suoi lati sono uguali (a=b=c).Area triangolo calcolato con la formula:
S=(a^2 v3)/4

Se il triangolo è rettangolo, cioè uno dei suoi angoli è pari a 90°, e i cateti che lo compongono sono cateti, il terzo lato è l'ipotenusa. In questo caso piazzaè uguale al prodotto delle gambe diviso per due.
S=ab/2

Trovare piazza triangolo, puoi utilizzare una delle tante formule. Scegli una formula in base ai dati già noti.

Avrai bisogno

• conoscenza delle formule per trovare l'area di un triangolo

Istruzioni

Se conosci la dimensione di uno dei lati e il valore dell'altezza abbassata su questo lato dall'angolo opposto ad esso, puoi trovare l'area utilizzando quanto segue: S = a*h/2, dove S è l'area del triangolo, a è uno dei lati del triangolo e h è l'altezza del lato a.

Esiste un metodo noto per determinare l'area di un triangolo se si conoscono i suoi tre lati. È la formula di Erone. Per semplificarne la registrazione si introduce un valore intermedio - semiperimetro: p = (a+b+c)/2, dove a, b, c - . Allora la formula di Erone è la seguente: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ esponenziale.

Supponiamo che tu conosca uno dei lati di un triangolo e tre angoli. Quindi è facile trovare l'area del triangolo: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), dove β è l'angolo opposto al lato a, e α e γ sono gli angoli adiacenti al lato.

Video sull'argomento

Nota

La formula più generale adatta a tutti i casi è la formula di Erone.

Fonti:

Suggerimento 3: come trovare l'area di un triangolo basato su tre lati

Trovare l'area di un triangolo è uno dei problemi più comuni nella planimetria scolastica. Conoscere i tre lati di un triangolo è sufficiente per determinare l'area di qualsiasi triangolo. In casi particolari di triangoli equilateri è sufficiente conoscere rispettivamente la lunghezza di due e di un lato.

Avrai bisogno

• lunghezze dei lati dei triangoli, formula di Erone, teorema del coseno

Istruzioni

La formula di Heron per l'area di un triangolo è la seguente: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Se scriviamo il semiperimetro p, otteniamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (quadrato((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Puoi ricavare una formula per l'area di un triangolo da considerazioni, ad esempio, applicando il teorema del coseno.

Per il teorema del coseno, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Usando le notazioni introdotte, queste possono essere scritte anche nella forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Quindi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'area di un triangolo si trova anche con la formula S = a*c*sin(ABC)/2 utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro. Il seno dell'angolo ABC può essere espresso utilizzando l'identità trigonometrica di base: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Sostituendo il seno nella formula per l'area e scrivendolo , puoi arrivare alla formula per l'area del triangolo ABC.

Video sull'argomento

Per eseguire lavori di riparazione, potrebbe essere necessario misurare piazza muri Ciò semplifica il calcolo della quantità richiesta di vernice o carta da parati. Per le misurazioni, è meglio utilizzare un metro a nastro o un metro a nastro. Le misurazioni dovrebbero essere effettuate dopo muri sono stati livellati.

Avrai bisogno

• -roulette;
• -scala.

Istruzioni

Contare piazza pareti, è necessario conoscere l'altezza esatta dei soffitti e misurare anche la lunghezza lungo il pavimento. Questo viene fatto come segue: prendi un centimetro e adagialo sul battiscopa. Di solito un centimetro non è sufficiente per tutta la lunghezza, quindi fissatelo nell'angolo, quindi svolgetelo alla massima lunghezza. A questo punto tracciate un segno con una matita, annotate il risultato ottenuto ed effettuate ulteriori misurazioni allo stesso modo, partendo dall'ultimo punto di misurazione.

I soffitti standard sono 2 metri e 80 centimetri, 3 metri e 3 metri e 20 centimetri, a seconda della casa. Se la casa è stata costruita prima degli anni '50, molto probabilmente l'altezza effettiva è leggermente inferiore a quella indicata. Se stai calcolando piazza per i lavori di riparazione, una piccola fornitura non farà male: considerare in base allo standard. Se hai ancora bisogno di conoscere l'altezza reale, prendi le misure. Il principio è simile alla misurazione della lunghezza, ma avrai bisogno di una scala a pioli.

Moltiplica gli indicatori risultanti: questo è piazza il tuo muri. È vero, quando si dipinge o si dipinge è necessario sottrarre piazza aperture di porte e finestre. Per fare questo, stendi un centimetro lungo l'apertura. Se stiamo parlando di una porta che cambierai successivamente, procedi con la rimozione del telaio della porta, tenendo conto solo piazza direttamente all'apertura stessa. L'area della finestra è calcolata lungo il perimetro del suo telaio. Dopo piazza finestra e porta calcolate, sottrarre il risultato dall'area totale risultante della stanza.

Si prega di notare che la misurazione della lunghezza e della larghezza della stanza viene eseguita da due persone, ciò rende più semplice fissare un centimetro o un metro a nastro e, di conseguenza, ottenere un risultato più accurato. Prendi la stessa misura più volte per assicurarti che i numeri ottenuti siano accurati.

Video sull'argomento

Trovare il volume di un triangolo è davvero un compito non banale. Il fatto è che un triangolo è una figura bidimensionale, cioè giace interamente su un piano, il che significa che semplicemente non ha volume. Naturalmente non è possibile trovare qualcosa che non esiste. Ma non molliamo! Possiamo accettare il seguente presupposto: il volume di una figura bidimensionale è la sua area. Cercheremo l'area del triangolo.

Avrai bisogno

• foglio di carta, matita, righello, calcolatrice

Istruzioni

Disegna su un pezzo di carta usando un righello e una matita. Esaminando attentamente il triangolo, puoi assicurarti che in realtà non ha un triangolo, poiché è disegnato su un piano. Etichetta i lati del triangolo: lascia che un lato sia il lato "a", l'altro lato "b" e il terzo lato "c". Etichetta i vertici del triangolo con le lettere "A", "B" e "C".

Misura qualsiasi lato del triangolo con un righello e annota il risultato. Successivamente, ripristinare una perpendicolare al lato misurato dal vertice opposto ad esso, tale perpendicolare sarà l'altezza del triangolo. Nel caso rappresentato in figura, la perpendicolare “h” viene ripristinata al lato “c” dal vertice “A”. Misura l'altezza risultante con un righello e annota il risultato della misurazione.

Potrebbe essere difficile per te ripristinare la perpendicolare esatta. In questo caso dovresti usare una formula diversa. Misura tutti i lati del triangolo con un righello. Successivamente, calcola il semiperimetro del triangolo “p” sommando le lunghezze risultanti dei lati e dividendo la loro somma a metà. Avendo a disposizione il valore del semiperimetro, puoi utilizzare la formula di Erone. Per fare ciò, devi prendere la radice quadrata di quanto segue: p(p-a)(p-b)(p-c).

Hai ottenuto l'area richiesta del triangolo. Il problema di trovare il volume di un triangolo non è stato risolto ma, come accennato in precedenza, il volume no. Puoi trovare un volume che è essenzialmente un triangolo nel mondo tridimensionale. Se immaginiamo che il nostro triangolo originale sia diventato una piramide tridimensionale, il volume di tale piramide sarà il prodotto della lunghezza della sua base per l'area del triangolo che abbiamo ottenuto.

Nota

Quanto più attentamente misuri, tanto più accurati saranno i tuoi calcoli.

Fonti:

• Calcolatrice "Tutto a tutto" - un portale per valori di riferimento
• volume del triangolo nel 2019

I tre punti che definiscono univocamente un triangolo nel sistema di coordinate cartesiane sono i suoi vertici. Conoscendo la loro posizione rispetto a ciascuno degli assi delle coordinate, puoi calcolare qualsiasi parametro di questa figura piatta, compresi quelli limitati dal suo perimetro piazza. Questo può essere fatto in diversi modi.

Istruzioni

Utilizza la formula di Erone per calcolare l'area triangolo. Implica le dimensioni dei tre lati della figura, quindi inizia i calcoli con . La lunghezza di ciascun lato deve essere uguale alla radice della somma dei quadrati delle lunghezze delle sue proiezioni sugli assi coordinati. Se indichiamo le coordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) e C(X₃,Y₃,Z₃), le lunghezze dei loro lati possono essere espresse come segue: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Per semplificare i calcoli, introdurre una variabile ausiliaria: semiperimetro (P). Dal fatto che questa è la metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Un triangolo è la figura geometrica più semplice, composta da tre lati e tre vertici. Per la sua semplicità, il triangolo è stato utilizzato fin dall'antichità per effettuare varie misurazioni, e oggi la figura può essere utile per risolvere problemi pratici e quotidiani.

Caratteristiche di un triangolo

La figura è stata utilizzata per i calcoli fin dall'antichità, ad esempio agrimensori e astronomi utilizzano le proprietà dei triangoli per calcolare aree e distanze. È facile esprimere l'area di qualsiasi n-gon attraverso l'area di questa figura, e questa proprietà veniva utilizzata dagli antichi scienziati per ricavare formule per le aree dei poligoni. Il lavoro costante con i triangoli, in particolare il triangolo rettangolo, divenne la base per un intero ramo della matematica: la trigonometria.

Geometria del triangolo

Le proprietà della figura geometrica sono state studiate fin dall'antichità: le prime informazioni sul triangolo sono state trovate nei papiri egiziani di 4.000 anni fa. Poi la figura fu studiata nell'antica Grecia e i maggiori contributi alla geometria del triangolo furono dati da Euclide, Pitagora e Airone. Lo studio del triangolo non cessò mai e nel XVIII secolo Leonhard Euler introdusse il concetto di ortocentro di una figura e il cerchio di Eulero. A cavallo tra il XIX e il XX secolo, quando sembrava che si sapesse assolutamente tutto sul triangolo, Frank Morley formulò il teorema sui trisettori angolari e Waclaw Sierpinski propose il triangolo frattale.

Esistono diversi tipi di triangoli piatti che ci sono familiari dai corsi di geometria scolastica:

• acuto: tutti gli angoli della figura sono acuti;
• ottuso: la figura ha un angolo ottuso (più di 90 gradi);
• rettangolare: la figura contiene un angolo retto pari a 90 gradi;
• isoscele: un triangolo con due lati uguali;
• equilatero: un triangolo con tutti i lati uguali.
• Nella vita reale esistono tutti i tipi di triangoli e in alcuni casi potrebbe essere necessario calcolare l'area di una figura geometrica.

Area di un triangolo

L'area è una stima della porzione di piano racchiusa da una figura. L'area di un triangolo può essere trovata in sei modi, utilizzando i lati, l'altezza, gli angoli, il raggio del cerchio inscritto o circoscritto, nonché utilizzando la formula di Erone o calcolando l'integrale doppio lungo le linee che delimitano il piano. La formula più semplice per calcolare l'area di un triangolo è:

dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.

Tuttavia, nella pratica non è sempre conveniente per noi trovare l'altezza di una figura geometrica. L'algoritmo del nostro calcolatore permette di calcolare l'area conoscendo:

• tre lati;
• due lati e l'angolo compreso tra loro;
• un lato e due angoli.

Per determinare l'area dei tre lati utilizziamo la formula di Erone:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

dove p è il semiperimetro del triangolo.

L'area su due lati e un angolo viene calcolata utilizzando la formula classica:

S = a × b × peccato(alfa),

dove alfa è l'angolo formato dai lati a e b.

Per determinare l'area in termini di un lato e due angoli, utilizziamo la relazione che:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Utilizzando una proporzione semplice, determiniamo la lunghezza del secondo lato, dopodiché calcoliamo l'area utilizzando la formula S = a × b × sin(alfa). Questo algoritmo è completamente automatizzato e devi solo inserire le variabili specificate e ottenere il risultato. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.

Esempi dalla vita

Lastre di pavimentazione

Supponiamo che tu voglia pavimentare il pavimento con piastrelle triangolari e per determinare la quantità di materiale necessario, devi conoscere l'area di una piastrella e l'area del pavimento. Supponiamo di dover lavorare 6 mq di superficie utilizzando una piastrella le cui dimensioni sono a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Ovviamente per calcolare l'area di un triangolo la calcolatrice utilizza la formula di Erone e dà il risultato:

Pertanto, l'area di un elemento della piastrella sarà di 0,021 metri quadrati e per il miglioramento del pavimento saranno necessari 6/0,021 = 285 triangoli. I numeri 20, 21 e 29 formano una tripla pitagorica che soddisfa . Ed è vero, la nostra calcolatrice ha calcolato anche tutti gli angoli del triangolo e l'angolo gamma è esattamente 90 gradi.

Compito scolastico

In un problema scolastico, devi trovare l'area di un triangolo, sapendo che il lato a = 5 cm e gli angoli alfa e beta sono rispettivamente di 30 e 50 gradi. Per risolvere questo problema manualmente, dovremmo prima trovare il valore del lato b utilizzando la proporzione tra le proporzioni e i seni degli angoli opposti, quindi determinare l'area utilizzando la semplice formula S = a × b × sin(alfa). Risparmiamo tempo, inseriamo i dati nel modulo della calcolatrice e otteniamo una risposta immediata

Quando si utilizza la calcolatrice è importante indicare correttamente gli angoli e i lati, altrimenti il ​​risultato sarà errato.

Conclusione

Il triangolo è una figura unica che si trova sia nella vita reale che nei calcoli astratti. Utilizza il nostro calcolatore online per determinare l'area dei triangoli di qualsiasi tipo.

Area di un triangolo: formule ed esempi di risoluzione dei problemi

Sotto ci sono formule per trovare l'area di un triangolo arbitrario che sono adatti per trovare l'area di qualsiasi triangolo, indipendentemente dalle sue proprietà, angoli o dimensioni. Le formule sono presentate sotto forma di immagine, con spiegazioni per la loro applicazione o giustificazione della loro correttezza. Inoltre, una figura separata mostra la corrispondenza tra i simboli delle lettere nelle formule e i simboli grafici nel disegno.

Nota . Se il triangolo ha proprietà speciali (isoscele, rettangolare, equilatero), puoi utilizzare le formule riportate di seguito, oltre ad ulteriori formule speciali valide solo per i triangoli con queste proprietà:

• "Formula per l'area di un triangolo equilatero"

Formule dell'area del triangolo

Spiegazioni per le formule:
a, b, c- le lunghezze dei lati del triangolo di cui vogliamo trovare l'area
R- raggio del cerchio inscritto nel triangolo
R- raggio del cerchio circoscritto al triangolo
H- altezza del triangolo abbassato di lato
P- semiperimetro di un triangolo, 1/2 la somma dei suoi lati (perimetro)
α - angolo opposto al lato a del triangolo
β - angolo opposto al lato b del triangolo
γ - angolo opposto al lato c del triangolo
H UN, H B , H C- altezza del triangolo abbassato ai lati a, b, c

Tieni presente che le notazioni fornite corrispondono alla figura sopra, in modo che quando risolvi un problema di geometria reale, sarà visivamente più semplice per te sostituire i valori corretti nei posti giusti nella formula.

• L'area del triangolo è metà del prodotto dell'altezza del triangolo per la lunghezza del lato di cui tale altezza viene abbassata(Formula 1). La correttezza di questa formula può essere compresa logicamente. L'altezza abbassata alla base dividerà un triangolo arbitrario in due rettangolari. Se costruisci ciascuno di essi in un rettangolo con le dimensioni b e h, ovviamente l'area di questi triangoli sarà uguale esattamente alla metà dell'area del rettangolo (Spr = bh)
• L'area del triangolo è metà del prodotto dei suoi due lati per il seno dell'angolo formato da essi(Formula 2) (vedere di seguito un esempio di risoluzione di un problema utilizzando questa formula). Anche se sembra diverso dal precedente, può facilmente trasformarsi in esso. Se abbassiamo l'altezza dall'angolo B al lato b, risulta che il prodotto del lato a e del seno dell'angolo γ, secondo le proprietà del seno in un triangolo rettangolo, è uguale all'altezza del triangolo che abbiamo disegnato , che ci dà la formula precedente
• È possibile trovare l'area di un triangolo arbitrario Attraverso lavoro metà del raggio del cerchio inscritto in esso dalla somma delle lunghezze di tutti i suoi lati(Formula 3), in poche parole, devi moltiplicare il semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto (questo è più facile da ricordare)
• L'area di un triangolo arbitrario può essere trovata dividendo il prodotto di tutti i suoi lati per 4 raggi del cerchio circoscritto attorno ad esso (Formula 4)
• La formula 5 calcola l'area di un triangolo attraverso le lunghezze dei suoi lati e del suo semiperimetro (metà della somma di tutti i suoi lati)
• La formula di Erone(6) è una rappresentazione della stessa formula senza utilizzare il concetto di semiperimetro, solo attraverso le lunghezze dei lati
• L'area di un triangolo arbitrario è uguale al prodotto del quadrato del lato del triangolo e dei seni degli angoli adiacenti a questo lato diviso per il doppio seno dell'angolo opposto a questo lato (Formula 7)
• L'area di un triangolo arbitrario può essere trovata come il prodotto di due quadrati del cerchio circoscritto attorno ad esso dai seni di ciascuno dei suoi angoli. (Formula 8)
• Se si conoscono la lunghezza di un lato e i valori di due angoli adiacenti, l'area del triangolo può essere trovata come il quadrato di questo lato diviso per la doppia somma delle cotangenti di questi angoli (Formula 9)
• Se è nota solo la lunghezza di ciascuna delle altezze del triangolo (Formula 10), allora l'area di tale triangolo è inversamente proporzionale alle lunghezze di queste altezze, come secondo la Formula di Erone
• La Formula 11 ti consente di calcolare area di un triangolo in base alle coordinate dei suoi vertici, che sono specificati come valori (x;y) per ciascuno dei vertici. Si prega di notare che il valore risultante deve essere preso modulo, poiché le coordinate dei singoli vertici (o anche di tutti) potrebbero trovarsi nella regione dei valori negativi

Nota. I seguenti sono esempi di risoluzione di problemi di geometria per trovare l'area di un triangolo. Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria che non è simile qui, scrivilo nel forum. Nelle soluzioni, al posto del simbolo "radice quadrata", è possibile utilizzare la funzione sqrt(), in cui sqrt è il simbolo della radice quadrata e l'espressione radicale è indicata tra parentesi.A volte per semplici espressioni radicali si può usare il simbolo √

Compito. Trova l'area dati i due lati e l'angolo formato da essi

I lati del triangolo misurano 5 e 6 cm e l'angolo tra loro è di 60 gradi. Trova l'area del triangolo.

Soluzione.

Per risolvere questo problema, utilizziamo la formula numero due della parte teorica della lezione.
L'area di un triangolo può essere trovata attraverso le lunghezze di due lati e il seno dell'angolo compreso tra loro e sarà uguale a
S=1/2 ab sin γ

Poiché disponiamo di tutti i dati necessari per la soluzione (secondo la formula), possiamo solo sostituire nella formula solo i valori delle condizioni del problema:
S = 1/2 * 5 * 6 * peccato 60

Nella tabella dei valori delle funzioni trigonometriche, troveremo e sostituiremo nell'espressione il valore del seno 60 gradi. Sarà uguale alla radice di tre per due.
S = 15√3/2

Risposta: 7,5 √3 (a seconda delle esigenze dell'insegnante, probabilmente puoi lasciare 15 √3/2)

Compito. Trova l'area di un triangolo equilatero

Trova l'area di un triangolo equilatero con lato 3 cm.

Soluzione.

L'area di un triangolo può essere trovata utilizzando la formula di Heron:

S = 1/4 quadrato((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Poiché a = b = c, la formula per l'area di un triangolo equilatero assume la forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Risposta: 9 √3 / 4.

Compito. Modifica dell'area quando si modifica la lunghezza dei lati

Quante volte aumenterà l'area del triangolo se i lati aumentano di 4 volte?

Soluzione.

Poiché le dimensioni dei lati del triangolo ci sono sconosciute, per risolvere il problema assumeremo che le lunghezze dei lati siano rispettivamente uguali a numeri arbitrari a, b, c. Quindi, per rispondere alla domanda del problema, troveremo l'area del triangolo dato, e poi troveremo l'area del triangolo i cui lati sono quattro volte più grandi. Il rapporto tra le aree di questi triangoli ci darà la risposta al problema.

Di seguito forniamo una spiegazione testuale della soluzione del problema passo dopo passo. Tuttavia, alla fine, la stessa soluzione viene presentata in una forma grafica più comoda. Chi è interessato può subito scorrere le soluzioni.

Per risolvere utilizziamo la formula di Erone (vedi sopra nella parte teorica della lezione). Sembra questo:

S = 1/4 quadrato((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vedi la prima riga dell'immagine qui sotto)

Le lunghezze dei lati di un triangolo arbitrario sono specificate dalle variabili a, b, c.
Se i lati vengono aumentati di 4 volte, l'area del nuovo triangolo c sarà:

S 2 = 1/4 quadrato((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vedi seconda riga nell'immagine qui sotto)

Come puoi vedere, 4 è un fattore comune che può essere estratto tra parentesi da tutte e quattro le espressioni secondo le regole generali della matematica.
Poi

S 2 = 1/4 quadrato(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sulla terza riga dell'immagine
S 2 = 1/4 quadrato(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quarta riga

La radice quadrata del numero 256 è perfettamente estratta, quindi estraiamola da sotto la radice
S 2 = 16 * 1/4 quadrato((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 quadrato((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vedi quinta riga dell'immagine qui sotto)

Per rispondere alla domanda posta nel problema, dobbiamo solo dividere l'area del triangolo risultante per l'area di quello originale.
Determiniamo i rapporti delle aree dividendo le espressioni tra loro e riducendo la frazione risultante.

Concetto di zona

Il concetto di area di qualsiasi figura geometrica, in particolare un triangolo, sarà associato a una figura come un quadrato. Per unità di area di qualsiasi figura geometrica prenderemo l'area di un quadrato il cui lato è uguale a uno. Per completezza ricordiamo due proprietà fondamentali per il concetto di aree delle figure geometriche.

Proprietà 1: Se le figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Proprietà 2: Qualsiasi figura può essere divisa in più figure. Inoltre, l'area della figura originale è uguale alla somma delle aree di tutte le sue figure costituenti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1

Ovviamente, uno dei lati del triangolo è la diagonale di un rettangolo, un lato del quale ha una lunghezza di $5$ (poiché ci sono celle da $5$), e l'altro è $6$ (poiché ci sono celle da $6$). Pertanto, l'area di questo triangolo sarà uguale alla metà di tale rettangolo. L'area del rettangolo è

Quindi l'area del triangolo è uguale a

Risposta: $ 15$.

Successivamente, considereremo diversi metodi per trovare le aree dei triangoli, vale a dire utilizzando l'altezza e la base, utilizzando la formula di Erone e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come la metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza di quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

dove $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza che lo raggiunge.

Prova.

Consideriamo un triangolo $ABC$ in cui $AC=α$. Da questo lato viene disegnata l'altezza $BH$, che è uguale a $h$. Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ come nella Figura 2.

L'area del rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$ e l'area del rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$. Poi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Pertanto, l'area richiesta del triangolo, per la proprietà 2, è uguale a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 2

Trova l'area del triangolo nella figura seguente se la cella ha un'area uguale a uno

La base di questo triangolo è pari a $9$ (poiché $9$ sono $9$ quadrati). Anche l'altezza è $ 9 $. Quindi, per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Risposta: $ 40,5 $.

La formula di Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Prova.

Considera la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ si ottiene

Dal triangolo $CBH$, secondo il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, che significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$