Metodi per risolvere equazioni logaritmiche con esempi. Risoluzione di equazioni logaritmiche. La guida completa (2019)

13.10.2019

La preparazione per la prova finale di matematica comprende una sezione importante: "Logaritmi". I compiti di questo argomento sono necessariamente contenuti nell'esame di stato unificato. L'esperienza degli anni passati mostra che le equazioni logaritmiche hanno causato difficoltà a molti scolari. Pertanto, gli studenti con diversi livelli di formazione devono capire come trovare la risposta corretta e affrontarla rapidamente.

Supera con successo il test di certificazione utilizzando il portale educativo Shkolkovo!

Quando si preparano per l'Esame di Stato Unificato, i diplomati delle scuole superiori necessitano di una fonte affidabile che fornisca le informazioni più complete e accurate per risolvere con successo i problemi dei test. Tuttavia, un libro di testo non è sempre a portata di mano e la ricerca delle regole e delle formule necessarie su Internet spesso richiede tempo.

Il portale educativo Shkolkovo ti consente di prepararti per l'esame di stato unificato ovunque e in qualsiasi momento. Il nostro sito Web offre l'approccio più conveniente per ripetere e assimilare una grande quantità di informazioni sui logaritmi, nonché su una e più incognite. Inizia con equazioni semplici. Se li affronti senza difficoltà, passa a quelli più complessi. Se hai problemi a risolvere una particolare disuguaglianza, puoi aggiungerla ai tuoi Preferiti in modo da potervi ritornare in seguito.

Puoi trovare le formule necessarie per completare l'attività, ripetere casi speciali e metodi per calcolare la radice di un'equazione logaritmica standard consultando la sezione "Aiuto teorico". Gli insegnanti di Shkolkovo hanno raccolto, sistematizzato e presentato tutti i materiali necessari per passare con successo nella forma più semplice e comprensibile.

Per far fronte facilmente a compiti di qualsiasi complessità, sul nostro portale puoi familiarizzare con la soluzione di alcune equazioni logaritmiche standard. Per farlo accedi alla sezione “Cataloghi”. Abbiamo un gran numero di esempi, comprese le equazioni con il livello di profilo dell'Esame di Stato Unificato in matematica.

Gli studenti delle scuole di tutta la Russia possono utilizzare il nostro portale. Per iniziare le lezioni, registrati semplicemente nel sistema e inizia a risolvere le equazioni. Per consolidare i risultati, ti consigliamo di tornare quotidianamente al sito web di Shkolkovo.

Molti studenti rimangono bloccati su equazioni di questo tipo. Allo stesso tempo, i compiti stessi non sono affatto complessi: è sufficiente eseguire semplicemente una sostituzione di variabili competente, per la quale dovresti imparare a identificare le espressioni stabili.

Oltre a questa lezione, troverai un lavoro indipendente piuttosto voluminoso, composto da due opzioni con 6 problemi ciascuna.

Metodo di raggruppamento

Oggi analizzeremo due equazioni logaritmiche, di cui una non è risolvibile subito e richiede trasformazioni particolari, e la seconda... però non ti dirò tutto subito. Guarda il video, scarica il lavoro indipendente e impara a risolvere problemi complessi.

Quindi, raggruppare e mettere i fattori comuni tra parentesi. Inoltre, ti dirò quali insidie comporta il dominio di definizione dei logaritmi e come piccole osservazioni sul dominio delle definizioni possono cambiare in modo significativo sia le radici che l'intera soluzione.

Partiamo dal raggruppamento. Dobbiamo risolvere la seguente equazione logaritmica:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Innanzitutto notiamo che x 2 − 3x può essere fattorizzato:

logaritmo 2 x (x − 3)

Quindi ricorda la meravigliosa formula:

log a fg = log a f + log a g

Solo una breve nota: questa formula funziona benissimo quando a, f e g sono numeri ordinari. Ma quando vengono sostituite da funzioni, queste espressioni cessano di essere uguali. Immagina questa ipotetica situazione:

F< 0; g < 0

In questo caso, il prodotto fg sarà positivo, quindi log a (fg) esisterà, ma log a fe log a g non esisteranno separatamente e non saremo in grado di eseguire tale trasformazione.

Ignorare questo fatto porterà a restringere il campo della definizione e, di conseguenza, alla perdita delle radici. Pertanto, prima di eseguire tale trasformazione, è necessario assicurarsi in anticipo che le funzioni f e g siano positive.

Nel nostro caso, tutto è semplice. Poiché l'equazione originale contiene la funzione log 2 x, allora x > 0 (dopo tutto, la variabile x è nell'argomento). Esiste anche log 2 (x − 3), quindi x − 3 > 0.

Pertanto, nella funzione log 2 x (x − 3) ogni fattore sarà maggiore di zero. Pertanto, puoi tranquillamente scomporre il prodotto nella quantità:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

A prima vista, può sembrare che le cose non siano diventate affatto più facili. Al contrario: il numero dei termini non ha fatto altro che aumentare! Per capire come procedere, introduciamo nuove variabili:

logaritmo2x = a

logaritmo 2 (x − 3) = b

un · b + 1 − un − b = 0

Ora raggruppiamo il terzo termine con il primo:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

un (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Nota che sia la prima che la seconda parentesi contengono b − 1 (nel secondo caso dovrai togliere il “meno” dalla parentesi). Fattorizziamo la nostra costruzione:

un (1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

E ora ricordiamo la nostra meravigliosa regola: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

un − 1 = 0 ⇒ un = 1.

Ricordiamo cosa sono b e a. Otteniamo due semplici equazioni logaritmiche in cui tutto ciò che resta da fare è eliminare i segni del logaritmo e uguagliare gli argomenti:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Abbiamo due radici, ma queste non sono soluzioni dell'equazione logaritmica originale, ma solo candidate alla risposta. Ora controlliamo il dominio di definizione. Per il primo argomento:

x > 0

Entrambe le radici soddisfano il primo requisito. Passiamo al secondo argomento:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Ma qui x = 2 non ci soddisfa, ma x = 5 ci va abbastanza bene. Pertanto l’unica risposta è x = 5.

Passiamo alla seconda equazione logaritmica. A prima vista, è molto più semplice. Tuttavia, nel processo di risoluzione, prenderemo in considerazione i punti sottili relativi all'ambito della definizione, la cui ignoranza complica in modo significativo la vita degli studenti alle prime armi.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x)

Davanti a noi c'è la forma canonica dell'equazione logaritmica. Non è necessario trasformare nulla, anche le basi sono le stesse. Pertanto, equiparamo semplicemente gli argomenti:

x2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x2 − 4x − 5 = 0

Abbiamo davanti a noi l’equazione quadratica seguente, che può essere facilmente risolta utilizzando le formule di Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Ma queste radici non sono la risposta finale. È necessario trovare il dominio di definizione, poiché l'equazione originale contiene due logaritmi, cioè tener conto dell’ambito di definizione è strettamente necessario.

Quindi, scriviamo il dominio di definizione. Da un lato, l'argomento del primo logaritmo deve essere maggiore di zero:

x2 − 6x + 2 > 0

D'altra parte, anche il secondo argomento deve essere maggiore di zero:

7 − 2x > 0

Questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. Ed è qui che inizia il divertimento. Naturalmente possiamo risolvere ciascuna di queste disuguaglianze, poi intersecarle e trovare il dominio dell'intera equazione. Ma perché rendersi la vita così difficile?

Notiamo una sottigliezza. Eliminando i segni di logaritmo uguagliamo gli argomenti. Ne consegue che i requisiti x 2 − 6x + 2 > 0 e 7 − 2x > 0 sono equivalenti. Di conseguenza, entrambe le disuguaglianze possono essere eliminate. Eliminiamo la parte più difficile e lasciamoci alla solita disuguaglianza lineare:

−2x > −7

X< 3,5

Poiché abbiamo diviso entrambi i membri per un numero negativo, il segno della disuguaglianza è cambiato.

Quindi, abbiamo trovato l'ODZ senza disuguaglianze quadratiche, discriminanti e intersezioni. Ora non resta che selezionare semplicemente le radici che giacciono su questo intervallo. Ovviamente solo x = −1 ci andrà bene, perché x = 5 > 3,5.

Possiamo scrivere la risposta: x = 1 è l'unica soluzione dell'equazione logaritmica originale.

Le conclusioni di questa equazione logaritmica sono le seguenti:

Non aver paura di fattorizzare i logaritmi e poi fattorizzarli per la somma dei logaritmi. Tuttavia, ricorda che dividendo il prodotto nella somma di due logaritmi, restringi così l'ambito della definizione. Pertanto, prima di eseguire tale conversione, assicurati di verificare quali sono i requisiti di ambito. Molto spesso non sorgono problemi, ma non fa male andare sul sicuro.
Quando elimini la forma canonica, prova a ottimizzare i calcoli. In particolare, se dobbiamo avere f > 0 e g > 0, ma nell'equazione stessa f = g, allora possiamo tranquillamente eliminare una delle disuguaglianze, lasciando solo quella più semplice. L'ambito delle definizioni e delle risposte non sarà in alcun modo influenzato, ma la quantità di calcoli sarà notevolmente ridotta.

Questo è praticamente tutto ciò che volevo dirti del gruppo. :)

Errori tipici durante la risoluzione

Oggi esamineremo due tipiche equazioni logaritmiche in cui molti studenti inciampano. Utilizzando queste equazioni come esempio, vedremo quali errori vengono commessi più spesso nel processo di risoluzione e trasformazione delle espressioni originali.

Equazioni razionali frazionarie con logaritmi

Va notato subito che questo è un tipo di equazioni piuttosto insidioso, in cui non c'è sempre una frazione con un logaritmo da qualche parte nel denominatore. Tuttavia, nel processo di trasformazione sorgerà sicuramente una tale frazione.

Allo stesso tempo, fai attenzione: durante il processo di trasformazione, il dominio originale di definizione dei logaritmi può cambiare in modo significativo!

Passiamo ad equazioni logaritmiche ancora più stringenti contenenti frazioni e variabili di base. Per fare di più in una breve lezione, non ti dirò la teoria elementare. Andiamo direttamente ai compiti:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Osservando questa equazione qualcuno si chiederà: “Cosa c’entra questo con un’equazione razionale frazionaria? Dov'è la frazione in questa equazione? Prendiamoci il nostro tempo e osserviamo attentamente ogni termine.

Primo termine: 4 log 25 (x − 1). La base del logaritmo è un numero, ma l'argomento è una funzione della variabile x. Non possiamo ancora fare nulla a riguardo. Andare avanti.

Il termine successivo è: log 3 27. Ricorda che 27 = 3 3. Pertanto possiamo riscrivere l’intero logaritmo come segue:

logaritmo 3 27 = 3 3 = 3

Quindi il secondo termine è solo un tre. Il terzo termine: 2 log x − 1 5. Anche qui non tutto è semplice: la base è una funzione, l'argomento è un numero ordinario. Propongo di invertire l'intero logaritmo utilizzando la seguente formula:

logaritmo a b = 1/logaritmo b a

Tale trasformazione può essere eseguita solo se b ≠ 1. Altrimenti, il logaritmo che risulta essere al denominatore della seconda frazione semplicemente non esisterà. Nel nostro caso b = 5, quindi è tutto ok:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Riscriviamo l'equazione originale tenendo conto delle trasformazioni risultanti:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Al denominatore della frazione abbiamo log 5 (x − 1), e nel primo termine abbiamo log 25 (x − 1). Ma 25 = 5 2, quindi prendiamo il quadrato dalla base del logaritmo secondo la regola:

In altre parole, la potenza alla base del logaritmo diventa la frazione in primo piano. E l'espressione verrà riscritta in questo modo:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Alla fine abbiamo ottenuto una lunga equazione con un mucchio di logaritmi identici. Introduciamo una nuova variabile:

logaritmo 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Ma questa è un'equazione razionale frazionaria, che può essere risolta usando l'algebra dell'ottavo-nono grado. Per prima cosa dividiamo tutto per due:

t − 2 + 1/t = 0;

(t2 − 2t + 1)/t = 0

C'è un quadrato esatto tra parentesi. Comprimiamolo:

(t − 1) 2 /t = 0

Una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è zero e il suo denominatore è diverso da zero. Non dimenticare mai questo fatto:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Ricordiamo di cosa si tratta:

logaritmo 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Eliminiamo i segni di registro, uguagliamo i loro argomenti e otteniamo:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Tutto. Il problema è risolto. Ma torniamo all'equazione originale e ricordiamo che c'erano due logaritmi con la variabile x. Pertanto è necessario trascrivere il dominio di definizione. Poiché x − 1 è nell'argomento del logaritmo, questa espressione deve essere maggiore di zero:

x−1 > 0

D'altronde lo stesso x − 1 è presente anche alla base, quindi deve differire dall'unità:

x − 1 ≠ 1

Da qui concludiamo:

x > 1; x ≠ 2

Questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. Il valore x = 6 soddisfa entrambi i requisiti, quindi x = 6 è la soluzione finale dell'equazione logaritmica.

Passiamo al secondo compito:

Prendiamoci di nuovo il nostro tempo e guardiamo ogni termine:

log 4 (x + 1) - la base è quattro. È un numero normale e non devi toccarlo. Ma l'ultima volta ci siamo imbattuti in un quadrato esatto alla base, che doveva essere tolto da sotto il segno del logaritmo. Facciamo lo stesso adesso:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Il trucco è che abbiamo già un logaritmo con la variabile x, anche se in base - è l'inverso del logaritmo che abbiamo appena trovato:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Il termine successivo è log 2 8. Questa è una costante, poiché sia l'argomento che la base contengono numeri ordinari. Troviamo il valore:

logaritmo 2 8 = logaritmo 2 2 3 = 3

Possiamo fare lo stesso con l'ultimo logaritmo:

Ora riscriviamo l'equazione originale:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Portiamo tutto ad un denominatore comune:

Ancora una volta abbiamo un'equazione razionale frazionaria. Introduciamo una nuova variabile:

t = log2 (x + 1)

Riscriviamo l'equazione tenendo conto della nuova variabile:

Attenzione: in questo passaggio ho invertito i termini. Il numeratore della frazione contiene il quadrato della differenza:

Come prima, una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è zero e il suo denominatore è diverso da zero:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Abbiamo ricevuto una radice che soddisfa tutti i requisiti, quindi torniamo alla variabile x:

logaritmo 2 (x + 1) = 4;

logaritmo 2 (x + 1) = logaritmo 2 2 4;

x+1 = 16;

x = 15

Questo è tutto, abbiamo risolto l'equazione. Ma poiché nell’equazione originale c’erano diversi logaritmi, è necessario trascrivere il dominio di definizione.

Quindi, l'espressione x + 1 è nell'argomento del logaritmo. Quindi x + 1 > 0. D'altra parte x + 1 è presente anche nella base, cioè x + 1 ≠ 1. Totale:

0 ≠ x > −1

La radice trovata soddisfa questi requisiti? Indubbiamente. Pertanto, x = 15 è una soluzione dell'equazione logaritmica originale.

Infine, vorrei dire quanto segue: se guardi un'equazione e capisci che devi risolvere qualcosa di complesso e non standard, prova a identificare strutture stabili che verranno successivamente designate da un'altra variabile. Se alcuni termini non contengono affatto la variabile x, spesso possono essere semplicemente calcolati.

Questo è tutto ciò di cui volevo parlare oggi. Spero che questa lezione ti aiuti a risolvere equazioni logaritmiche complesse. Guarda altri tutorial video, scarica e risolvi i tuoi problemi e ci vediamo al prossimo video!

Oggi impareremo come risolvere le equazioni logaritmiche più semplici, dove non sono richieste trasformazioni preliminari o selezione di radici. Ma se impari a risolvere tali equazioni, sarà molto più semplice.

L'equazione logaritmica più semplice è un'equazione della forma log a f (x) = b, dove a, b sono numeri (a > 0, a ≠ 1), f (x) è una certa funzione.

Una caratteristica distintiva di tutte le equazioni logaritmiche è la presenza della variabile x sotto il segno del logaritmo. Se questa è l'equazione inizialmente fornita nel problema, è detta la più semplice. Qualsiasi altra equazione logaritmica viene ridotta alla più semplice mediante trasformazioni speciali (vedi “Proprietà di base dei logaritmi”). Tuttavia, è necessario tenere conto di numerose sottigliezze: potrebbero formarsi radici extra, quindi le equazioni logaritmiche complesse verranno considerate separatamente.

Come risolvere tali equazioni? È sufficiente sostituire il numero a destra del segno uguale con un logaritmo nella stessa base di quello a sinistra. Quindi puoi sbarazzarti del segno del logaritmo. Noi abbiamo:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Abbiamo la solita equazione. Le sue radici sono le radici dell'equazione originale.

Conseguire lauree

Spesso le equazioni logaritmiche, che esteriormente sembrano complesse e minacciose, vengono risolte in solo un paio di righe senza ricorrere a formule complesse. Oggi esamineremo proprio questi problemi, in cui tutto ciò che ti viene richiesto è ridurre attentamente la formula alla forma canonica e non confonderti durante la ricerca del dominio di definizione dei logaritmi.

Oggi, come probabilmente avrai intuito dal titolo, risolveremo le equazioni logaritmiche utilizzando formule per il passaggio alla forma canonica. Il “trucco” principale di questa video lezione sarà lavorare con i gradi, o meglio, dedurre il grado dalla base e dall’argomentazione. Diamo un'occhiata alla regola:

Allo stesso modo, puoi derivare il grado dalla base:

Come possiamo vedere, se quando togliamo il grado dall'argomento del logaritmo abbiamo semplicemente un fattore aggiuntivo davanti, allora quando togliamo il grado dalla base otteniamo non solo un fattore, ma un fattore invertito. Questo deve essere ricordato.

Infine, la cosa più interessante. Combinando queste formule otteniamo:

Naturalmente, quando si effettuano queste transizioni, ci sono alcune insidie associate alla possibile espansione dell’ambito della definizione o, al contrario, al restringimento dell’ambito della definizione. Giudica tu stesso:

logaritmo 3 x 2 = 2 ∙ logaritmo 3 x

Se nel primo caso x potesse essere un numero qualsiasi diverso da 0, cioè il requisito x ≠ 0, allora nel secondo caso ci accontenteremo solo di x, che non solo non sono uguali, ma strettamente maggiori di 0, perché il dominio di La definizione del logaritmo è che l'argomento sia strettamente maggiore di 0. Pertanto, ti ricorderò una meravigliosa formula del corso di algebra di 8a-9a elementare:

Cioè, dobbiamo scrivere la nostra formula come segue:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

In tal modo non si verificherà alcuna restrizione del campo di applicazione della definizione.

Tuttavia, nel video tutorial di oggi non ci saranno quadrati. Se guardi i nostri compiti, vedrai solo le radici. Pertanto non applicheremo questa regola, ma devi comunque tenerla a mente in modo che al momento giusto, quando vedi una funzione quadratica in un argomento o la base di un logaritmo, ricordi questa regola ed esegui tutte le operazioni trasformazioni correttamente.

Quindi la prima equazione è:

Per risolvere questo problema, propongo di esaminare attentamente ciascuno dei termini presenti nella formula.

Riscriviamo il primo termine come potenza con esponente razionale:

Consideriamo il secondo termine: log 3 (1 − x). Qui non c'è bisogno di fare nulla, qui tutto è già trasformato.

Infine, 0, 5. Come ho detto nelle lezioni precedenti, quando risolvi equazioni e formule logaritmiche, consiglio vivamente di passare dalle frazioni decimali a quelle comuni. Facciamolo:

0,5 = 5/10 = 1/2

Riscriviamo la nostra formula originale tenendo conto dei termini risultanti:

logaritmo 3 (1 − x ) = 1

Passiamo ora alla forma canonica:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Ci liberiamo del segno del logaritmo uguagliando gli argomenti:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Questo è tutto, abbiamo risolto l'equazione. Tuttavia, andiamo ancora sul sicuro e troviamo il dominio di definizione. Per fare ciò, torniamo alla formula originale e vediamo:

1 − x > 0

−x > −1

X< 1

La nostra radice x = −2 soddisfa questo requisito, quindi x = −2 è una soluzione dell'equazione originale. Ora abbiamo ricevuto una giustificazione rigorosa e chiara. Questo è tutto, problema risolto.

Passiamo al secondo compito:

Diamo un'occhiata a ciascun termine separatamente.

Scriviamo il primo:

Abbiamo trasformato il primo termine. Lavoriamo con il secondo termine:

Infine, l'ultimo termine, che si trova a destra del segno uguale:

Sostituiamo le espressioni risultanti invece dei termini nella formula risultante:

logaritmo 3 x = 1

Passiamo alla forma canonica:

logaritmo 3 x = logaritmo 3 3

Eliminiamo il segno del logaritmo, uguagliando gli argomenti, e otteniamo:

x = 3

Ancora una volta, giusto per essere sicuri, torniamo all'equazione originale e diamo un'occhiata. Nella formula originale, la variabile x è presente solo nell'argomento, quindi,

x > 0

Nel secondo logaritmo, x è sotto la radice, ma anche in questo caso, quindi, la radice deve essere maggiore di 0, cioè l'espressione radicale deve essere maggiore di 0. Osserviamo la nostra radice x = 3. Ovviamente, esso soddisfa questo requisito. Pertanto, x = 3 è una soluzione dell'equazione logaritmica originale. Questo è tutto, problema risolto.

Ci sono due punti chiave nel video tutorial di oggi:

1) non aver paura di trasformare i logaritmi e, in particolare, non aver paura di togliere potenze dal segno del logaritmo, ricordando la nostra formula base: quando si toglie una potenza da un argomento, questa viene semplicemente tolta senza modifiche come moltiplicatore e quando si rimuove un potere dalla base, questo potere viene invertito.

2) il secondo punto è relativo alla forma canonica stessa. Abbiamo effettuato il passaggio alla forma canonica proprio alla fine della trasformazione della formula dell'equazione logaritmica. Permettimi di ricordarti la seguente formula:

a = logaritmo b b a

Naturalmente con l'espressione “qualsiasi numero b” intendo quei numeri che soddisfano i requisiti imposti sulla base del logaritmo, cioè

1 ≠ b > 0

Per tale b, e poiché conosciamo già la base, questo requisito sarà soddisfatto automaticamente. Ma per b - qualunque cosa soddisfi questo requisito - questa transizione può essere eseguita e otterremo una forma canonica in cui possiamo eliminare il segno del logaritmo.

Espansione del dominio della definizione e delle radici extra

Nel processo di trasformazione delle equazioni logaritmiche può verificarsi un'espansione implicita del dominio di definizione. Spesso gli studenti non se ne accorgono nemmeno, il che porta a errori e risposte errate.

Cominciamo con i disegni più semplici. L’equazione logaritmica più semplice è la seguente:

log af(x) = b

Nota che x è presente in un solo argomento di un logaritmo. Come risolviamo tali equazioni? Usiamo la forma canonica. Per fare ciò, immagina il numero b = log a a b e la nostra equazione verrà riscritta come segue:

logaritmo a f (x) = logaritmo a a b

Questa voce è chiamata forma canonica. È a questo che dovresti ridurre qualsiasi equazione logaritmica che incontrerai non solo nella lezione di oggi, ma anche in qualsiasi lavoro indipendente e di prova.

Come arrivare alla forma canonica e quali tecniche utilizzare è questione di pratica. La cosa principale da capire è che non appena riceverai tale record, potrai considerare il problema risolto. Perché il passo successivo è scrivere:

f(x) = ab

In altre parole, eliminiamo il segno del logaritmo e uguagliamo semplicemente gli argomenti.

Perché tutto questo parlare? Il fatto è che la forma canonica è applicabile non solo ai problemi più semplici, ma anche a tutti gli altri. In particolare quelli che decideremo oggi. Diamo un'occhiata.

Primo compito:

Qual è il problema con questa equazione? Il fatto è che la funzione è in due logaritmi contemporaneamente. Il problema può essere ridotto al minimo semplicemente sottraendo un logaritmo da un altro. Ma sorgono problemi con l'area di definizione: potrebbero apparire radici extra. Quindi spostiamo semplicemente uno dei logaritmi a destra:

Questa voce è molto più simile alla forma canonica. Ma c'è un'altra sfumatura: nella forma canonica gli argomenti devono essere gli stessi. E a sinistra abbiamo il logaritmo in base 3, e a destra in base 1/3. Sa che queste basi devono essere portate allo stesso numero. Ad esempio, ricordiamo quali sono i poteri negativi:

Quindi utilizzeremo l'esponente "-1" al di fuori di log come moltiplicatore:

Nota: il grado che era alla base viene ribaltato e diventa una frazione. Abbiamo ottenuto una notazione quasi canonica eliminando le diverse basi, ma in cambio abbiamo ottenuto il fattore “−1” a destra. Consideriamo questo fattore nell'argomentazione trasformandolo in un potere:

Naturalmente, dopo aver ricevuto la forma canonica, cancelliamo coraggiosamente il segno del logaritmo e equiparamo gli argomenti. Allo stesso tempo, lascia che ti ricordi che quando viene elevata alla potenza “-1”, la frazione viene semplicemente capovolta: si ottiene una proporzione.

Usiamo la proprietà base della proporzione e moltiplichiamola trasversalmente:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x2 − 9x + 4 = 3x2 − 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

Abbiamo davanti a noi l'equazione quadratica sopra, quindi la risolviamo utilizzando le formule di Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8; x2 = 2

È tutto. Pensi che l'equazione sia risolta? NO! Per tale soluzione riceveremo 0 punti, perché l'equazione originale contiene due logaritmi con la variabile x. Pertanto, è necessario tenere conto del dominio di definizione.

Ed è qui che inizia il divertimento. La maggior parte degli studenti è confusa: qual è il dominio di definizione di un logaritmo? Naturalmente, tutti gli argomenti (ne abbiamo due) devono essere maggiori di zero:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Ognuna di queste disuguaglianze deve essere risolta, segnata su una linea retta, intersecata e solo allora vedere quali radici si trovano all'intersezione.

Sarò onesto: questa tecnica ha il diritto di esistere, è affidabile e otterrai la risposta corretta, ma ci sono troppi passaggi non necessari. Quindi esaminiamo nuovamente la nostra soluzione e vediamo: dove dobbiamo applicare esattamente l'ambito? In altre parole, devi capire chiaramente quando compaiono esattamente le radici extra.

Inizialmente avevamo due logaritmi. Poi ne abbiamo spostato uno a destra, ma questo non ha influito sull'area di definizione.
Quindi togliamo la potenza dalla base, ma ci sono ancora due logaritmi e in ognuno di essi c'è una variabile x.
Infine, cancelliamo i segni di log e otteniamo la classica equazione razionale frazionaria.

È nell'ultima fase che l'ambito della definizione viene ampliato! Non appena siamo passati a un’equazione razionale frazionaria, eliminando i segni di logaritmo, i requisiti per la variabile x sono cambiati radicalmente!

Di conseguenza, il campo di definizione può essere considerato non all'inizio della soluzione, ma solo nel passaggio menzionato, prima di equiparare direttamente gli argomenti.

È qui che risiede l’opportunità di ottimizzazione. Da un lato, ci viene richiesto che entrambi gli argomenti siano maggiori di zero. D'altra parte, equiparamo ulteriormente questi argomenti. Pertanto, se almeno uno di essi è positivo, allora anche il secondo sarà positivo!

Risulta quindi che richiedere che due disuguaglianze siano soddisfatte contemporaneamente è eccessivo. È sufficiente considerare solo una di queste frazioni. Quale? Quello più semplice. Consideriamo ad esempio la frazione di destra:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Questa è una tipica disuguaglianza razionale frazionaria; la risolviamo utilizzando il metodo degli intervalli:

Come posizionare i cartelli? Prendiamo un numero che ovviamente è più grande di tutte le nostre radici. Ad esempio, 1 miliardo e sostituiamo la sua frazione. Otteniamo un numero positivo, cioè a destra della radice x = 5 ci sarà un segno più.

Poi i segni si alternano, perché non ci sono radici nemmeno della molteplicità da nessuna parte. Siamo interessati agli intervalli in cui la funzione è positiva. Pertanto, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Ora ricordiamo le risposte: x = 8 e x = 2. A rigor di termini, queste non sono ancora risposte, ma solo candidati alla risposta. Quale appartiene all'insieme specificato? Naturalmente x = 8. Ma x = 2 non ci soddisfa in termini di dominio di definizione.

In totale, la risposta alla prima equazione logaritmica sarà x = 8. Ora abbiamo una soluzione competente e ben fondata, tenendo conto del dominio di definizione.

Passiamo alla seconda equazione:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Lascia che ti ricordi che se c'è una frazione decimale nell'equazione, dovresti sbarazzartene. In altre parole, riscriviamo 0,5 come frazione comune. Notiamo subito che il logaritmo contenente questa base si calcola facilmente:

Questo è un momento molto importante! Quando abbiamo gradi sia nella base che nell'argomento, possiamo ricavare gli indicatori di questi gradi utilizzando la formula:

Torniamo alla nostra equazione logaritmica originale e riscriviamola:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Abbiamo ottenuto un disegno abbastanza vicino alla forma canonica. Tuttavia, siamo confusi dai termini e dal segno meno a destra del segno uguale. Rappresentiamo uno come logaritmo in base 5:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Sottrai i logaritmi a destra (in questo caso i loro argomenti sono divisi):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Meraviglioso. Quindi abbiamo ottenuto la forma canonica! Cancelliamo i segni di registro e equiparamo gli argomenti:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Questa è una proporzione che può essere facilmente risolta moltiplicando trasversalmente:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x2 − 9x − 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

Ovviamente abbiamo un’equazione quadratica ridotta. Può essere facilmente risolto utilizzando le formule di Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x1 = 10

x2 = 4

Abbiamo due radici. Ma queste non sono risposte definitive, ma solo candidate, perché l'equazione logaritmica richiede anche la verifica del dominio di definizione.

Ti ricordo: non è necessario cercare quando ogni degli argomenti sarà maggiore di zero. È sufficiente richiedere che un argomento – x − 9 o 5/(x − 5) – sia maggiore di zero. Consideriamo il primo argomento:

x-9 > 0

x > 9

Ovviamente solo x = 10 soddisfa questo requisito e questa è la risposta definitiva. L'intero problema è risolto.

Ancora una volta, i pensieri chiave della lezione di oggi:

Non appena la variabile x appare in più logaritmi, l'equazione cessa di essere elementare e per essa bisognerà calcolare il dominio di definizione. Altrimenti puoi facilmente scrivere radici extra nella risposta.
Il lavoro con il dominio stesso può essere notevolmente semplificato se scriviamo la disuguaglianza non immediatamente, ma esattamente nel momento in cui ci liberiamo dei segni di registro. Dopotutto, quando gli argomenti sono equiparati tra loro, è sufficiente richiedere che solo uno di essi sia maggiore di zero.

Naturalmente siamo noi stessi a scegliere quale argomento utilizzare per formare una disuguaglianza, quindi è logico scegliere quello più semplice. Ad esempio, nella seconda equazione abbiamo scelto l'argomento (x − 9), una funzione lineare, in contrapposizione al secondo argomento razionale frazionario. D'accordo, risolvere la disuguaglianza x − 9 > 0 è molto più semplice di 5/(x − 5) > 0. Anche se il risultato è lo stesso.

Questa osservazione semplifica molto la ricerca di ODZ, ma attenzione: puoi usare una disuguaglianza invece di due solo se gli argomenti sono esattamente sono uguali tra loro!

Certo, qualcuno adesso si chiederà: cosa succede di diverso? Si Qualche volta. Ad esempio, nel passaggio stesso, quando moltiplichiamo due argomenti contenenti una variabile, c'è il pericolo che appaiano radici non necessarie.

Giudicate voi stessi: prima è necessario che ciascuno degli argomenti sia maggiore di zero, ma dopo la moltiplicazione è sufficiente che il loro prodotto sia maggiore di zero. Di conseguenza, non viene considerato il caso in cui ciascuna di queste frazioni è negativa.

Pertanto, se stai appena iniziando a comprendere equazioni logaritmiche complesse, in nessun caso moltiplicare i logaritmi contenenti la variabile x: questo porterà troppo spesso alla comparsa di radici non necessarie. È meglio fare un passo in più, spostare un termine dall’altra parte e creare una forma canonica.

Bene, cosa fare se non puoi fare a meno di moltiplicare tali logaritmi, ne parleremo nella prossima lezione video. :)

Ancora una volta sulle potenze nell'equazione

Oggi esamineremo un argomento piuttosto sfuggente che riguarda le equazioni logaritmiche, o più precisamente, la rimozione delle potenze dagli argomenti e dalle basi dei logaritmi.

Direi addirittura che parleremo della rimozione delle potenze pari, perché è con le potenze pari che sorgono la maggior parte delle difficoltà quando si risolvono equazioni logaritmiche reali.

Cominciamo con la forma canonica. Diciamo di avere un'equazione della forma log a f (x) = b. In questo caso riscriviamo il numero b utilizzando la formula b = log a a b . Risulta quanto segue:

logaritmo a f (x) = logaritmo a a b

Quindi equiparamo gli argomenti:

f(x) = ab

La penultima formula è chiamata forma canonica. È a questo che cercano di ridurre qualsiasi equazione logaritmica, non importa quanto possa sembrare complessa e spaventosa a prima vista.

Quindi proviamolo. Cominciamo con il primo compito:

Nota preliminare: come ho già detto, tutte le frazioni decimali in un'equazione logaritmica sono meglio convertite in frazioni ordinarie:

0,5 = 5/10 = 1/2

Riscriviamo la nostra equazione tenendo conto di questo fatto. Nota che sia 1/1000 che 100 sono potenze di dieci, quindi eliminiamo le potenze ovunque si trovino: da argomenti e anche dalla base dei logaritmi:

E qui molti studenti hanno una domanda: "Da dove viene il modulo a destra?" Infatti, perché non scrivere semplicemente (x − 1)? Naturalmente ora scriveremo (x − 1), ma tenere conto del dominio di definizione ci dà diritto a tale notazione. Dopotutto, un altro logaritmo contiene già (x − 1) e questa espressione deve essere maggiore di zero.

Ma quando togliamo il quadrato dalla base del logaritmo, dobbiamo lasciare esattamente il modulo alla base. Lasciatemi spiegare perché.

Il fatto è che, da un punto di vista matematico, prendere una laurea equivale a mettere le radici. In particolare, quando eleviamo al quadrato l'espressione (x − 1) 2, stiamo essenzialmente prendendo la seconda radice. Ma la radice quadrata non è altro che un modulo. Esattamente modulo, perché anche se l'espressione x − 1 è negativa, una volta al quadrato, il “meno” si esaurirà comunque. L'ulteriore estrazione della radice ci darà un numero positivo, senza svantaggi.

In generale, per evitare di commettere errori offensivi, ricorda una volta per tutte:

La radice di una potenza pari di qualsiasi funzione elevata alla stessa potenza non è uguale alla funzione stessa, ma al suo modulo:

Torniamo alla nostra equazione logaritmica. Parlando del modulo, ho sostenuto che possiamo rimuoverlo senza dolore. Questo è vero. Ora spiegherò perché. A rigor di termini, dovevamo considerare due opzioni:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| =x-1
x-1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Ognuna di queste opzioni dovrebbe essere affrontata. Ma c'è un problema: la formula originale contiene già la funzione (x − 1) senza alcun modulo. E seguendo il dominio di definizione dei logaritmi abbiamo il diritto di scrivere subito che x − 1 > 0.

Questo requisito deve essere soddisfatto indipendentemente da eventuali moduli e altre trasformazioni che eseguiamo nel processo di soluzione. Pertanto, non ha senso considerare la seconda opzione: non si presenterà mai. Anche se otteniamo dei numeri quando risolviamo questo ramo della disuguaglianza, questi non verranno comunque inclusi nella risposta finale.

Adesso siamo letteralmente a un passo dalla forma canonica dell’equazione logaritmica. Rappresentiamo l'unità come segue:

1 = logaritmo x − 1 (x − 1) 1

Inoltre, introduciamo nell’argomentazione il fattore −4, che si trova a destra:

logaritmo x − 1 10 −4 = logaritmo x − 1 (x − 1)

Davanti a noi c'è la forma canonica dell'equazione logaritmica. Eliminiamo il segno del logaritmo:

10 −4 = x − 1

Ma poiché la base era una funzione (e non un numero primo), richiediamo inoltre che questa funzione sia maggiore di zero e non uguale a uno. Il sistema risultante sarà:

Poiché il requisito x − 1 > 0 è soddisfatto automaticamente (dopo tutto x − 1 = 10 −4), una delle disuguaglianze può essere eliminata dal nostro sistema. Anche la seconda condizione può essere cancellata, perché x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Questa è l'unica radice che soddisfa automaticamente tutti i requisiti del dominio di definizione del logaritmo (tuttavia, tutti i requisiti sono stati eliminati poiché ovviamente soddisfatti nelle condizioni del nostro problema).

Quindi la seconda equazione:

3 logaritmo 3 x x = 2 logaritmo 9 x x 2

In che modo questa equazione è fondamentalmente diversa dalla precedente? Se non altro perché le basi dei logaritmi - 3x e 9x - non sono potenze naturali l'una dell'altra. Pertanto, la transizione utilizzata nella soluzione precedente non è possibile.

Eliminiamo almeno le lauree. Nel nostro caso, l’unico grado è nel secondo argomento:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Tuttavia, il segno del modulo può essere rimosso, perché anche la variabile x è alla base, cioè x > 0 ⇒ |x| =x. Riscriviamo la nostra equazione logaritmica:

3 logaritmo 3 x x = 4 logaritmo 9 x x

Abbiamo ottenuto logaritmi in cui gli argomenti sono gli stessi, ma le basi sono diverse. Cosa fare dopo? Ci sono molte opzioni qui, ma ne prenderemo in considerazione solo due, che sono le più logiche e, soprattutto, si tratta di tecniche rapide e comprensibili per la maggior parte degli studenti.

Abbiamo già considerato la prima opzione: in qualsiasi situazione poco chiara, convertire i logaritmi con base variabile in una base costante. Ad esempio, a un diavolo. La formula di transizione è semplice:

Naturalmente, il ruolo della variabile c dovrebbe essere un numero normale: 1 ≠ c > 0. Sia nel nostro caso c = 2. Ora abbiamo davanti a noi un'equazione razionale frazionaria ordinaria. Raccogliamo tutti gli elementi a sinistra:

Ovviamente è meglio togliere il fattore log 2 x, poiché è presente sia nella prima che nella seconda frazione.

logaritmo2 x = 0;

3 logaritmo 2 9x = 4 logaritmo 2 3x

Suddividiamo ogni log in due termini:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

logaritmo 2 3x = logaritmo 2 3 + logaritmo 2 x

Riscriviamo entrambi i lati dell'uguaglianza tenendo conto di questi fatti:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 logaritmo 2 3 = logaritmo 2 x

Ora non resta che inserire un due sotto il segno del logaritmo (si trasformerà in una potenza: 3 2 = 9):

ceppo 2 9 = ceppo 2 x

Davanti a noi c'è la classica forma canonica, ci liberiamo del segno del logaritmo e otteniamo:

Come previsto, questa radice si è rivelata maggiore di zero. Resta da verificare il dominio di definizione. Vediamo i motivi:

Ma la radice x = 9 soddisfa questi requisiti. Pertanto, è la decisione finale.

La conclusione di questa soluzione è semplice: non aver paura dei lunghi calcoli! È solo che all'inizio abbiamo scelto una nuova base in modo casuale e questo ha complicato notevolmente il processo.

Ma poi sorge la domanda: quale base è ottimale? Ne parlerò nel secondo metodo.

Torniamo alla nostra equazione originale:

3 logaritmo 3x x = 2 logaritmo 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| =x

3 logaritmo 3 x x = 4 logaritmo 9 x x

Ora riflettiamo un po': quale numero o funzione sarebbe la base ottimale? Ovviamente, l'opzione migliore sarebbe c = x - ciò che è già presente negli argomenti. In questo caso, la formula log a b = log c b /log c a assumerà la forma:

In altre parole, l’espressione è semplicemente invertita. In questo caso, l'argomento e la base cambiano di posto.

Questa formula è molto utile e viene utilizzata molto spesso per risolvere equazioni logaritmiche complesse. Tuttavia, c’è una trappola molto seria quando si utilizza questa formula. Se sostituiamo la variabile x al posto della base, le vengono imposte restrizioni che prima non erano state osservate:

Non c’era tale limitazione nell’equazione originale. Pertanto, dovremmo verificare separatamente il caso in cui x = 1. Sostituiamo questo valore nella nostra equazione:

3 logaritmo 3 1 = 4 logaritmo 9 1

Otteniamo l'uguaglianza numerica corretta. Quindi x = 1 è una radice. Abbiamo trovato esattamente la stessa radice nel metodo precedente proprio all'inizio della soluzione.

Ma ora che abbiamo considerato separatamente questo caso particolare, assumiamo con sicurezza che x ≠ 1. Quindi la nostra equazione logaritmica verrà riscritta nella seguente forma:

3 logaritmo x 9x = 4 logaritmo x 3x

Espandiamo entrambi i logaritmi utilizzando la stessa formula di prima. Si noti che log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 logaritmo x 9 + 3 = 4 logaritmo x 3 + 4

3 logaritmo x 3 2 − 4 logaritmo x 3 = 4 − 3

2 logaritmo x 3 = 1

Siamo quindi arrivati alla forma canonica:

logaritmo x 9 = logaritmo x x 1

x=9

Abbiamo la seconda radice. Soddisfa il requisito x ≠ 1. Pertanto, x = 9 insieme a x = 1 è la risposta finale.

Come puoi vedere, il volume dei calcoli è leggermente diminuito. Ma quando si risolve un'equazione logaritmica reale, il numero di passaggi sarà molto inferiore anche perché non è necessario descrivere ogni passaggio in modo così dettagliato.

La regola fondamentale della lezione di oggi è la seguente: se il problema contiene un grado pari, da cui si estrae la radice dello stesso grado, allora il risultato sarà un modulo. Tuttavia, questo modulo può essere rimosso se si presta attenzione al dominio di definizione dei logaritmi.

Ma attenzione: dopo questa lezione, la maggior parte degli studenti pensa di aver capito tutto. Ma quando risolvono problemi reali, non possono riprodurre l’intera catena logica. Di conseguenza, l'equazione acquisisce radici non necessarie e la risposta risulta essere errata.

Risoluzione di equazioni logaritmiche. Parte 1.

Equazione logaritmicaè un'equazione in cui l'incognita è contenuta sotto il segno del logaritmo (in particolare, nella base del logaritmo).

Il più semplice equazione logaritmica ha la forma:

Risoluzione di qualsiasi equazione logaritmica comporta una transizione dai logaritmi alle espressioni sotto il segno dei logaritmi. Tuttavia, questa azione amplia la gamma dei valori consentiti dell'equazione e può portare alla comparsa di radici estranee. Per evitare la comparsa di radici straniere, puoi procedere in tre modi:

1. Effettua una transizione equivalente dall'equazione originale a un sistema comprendente

a seconda di quale disuguaglianza o più semplice.

Se l'equazione contiene un'incognita nella base del logaritmo:

poi andiamo al sistema:

2. Trova separatamente l'intervallo di valori accettabili dell'equazione, quindi risolvi l'equazione e verifica se le soluzioni trovate soddisfano l'equazione.

3. Risolvi l'equazione, e poi controllo: sostituisci le soluzioni trovate nell'equazione originale e controlla se otteniamo l'uguaglianza corretta.

Un'equazione logaritmica di qualsiasi livello di complessità alla fine si riduce sempre all'equazione logaritmica più semplice.

Tutte le equazioni logaritmiche possono essere divise in quattro tipi:

1 . Equazioni che contengono logaritmi solo alla prima potenza. Con l'aiuto delle trasformazioni e dell'uso, prendono forma

Esempio. Risolviamo l'equazione:

Uguagliamo le espressioni sotto il segno del logaritmo:

Controlliamo se la nostra radice dell'equazione soddisfa:

Sì, soddisfa.

Risposta: x=5

2 . Equazioni che contengono logaritmi a potenze diverse da 1 (in particolare nel denominatore di una frazione). Tali equazioni possono essere risolte utilizzando introducendo un cambio di variabile.

Esempio. Risolviamo l'equazione:

Troviamo l'equazione ODZ:

L'equazione contiene logaritmi quadrati, quindi può essere risolta utilizzando un cambio di variabile.

Importante! Prima di introdurre una sostituzione, è necessario "smontare" i logaritmi che fanno parte dell'equazione in "mattoni", utilizzando le proprietà dei logaritmi.

Quando si "smontano" i logaritmi, è importante utilizzare le proprietà dei logaritmi con molta attenzione:

Inoltre, qui c'è un altro punto sottile e, per evitare un errore comune, utilizzeremo un'uguaglianza intermedia: scriveremo il grado del logaritmo in questa forma:

Allo stesso modo,

Sostituiamo le espressioni risultanti nell'equazione originale. Noi abbiamo:

Ora vediamo che l'incognita è contenuta nell'equazione come parte di . Presentiamo la sostituzione: . Poiché può assumere qualsiasi valore reale, non imponiamo alcuna restrizione alla variabile.

principali proprietà.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

motivi identici

Log64 + log69.

Ora complichiamo un po' il compito.

Esempi di risoluzione dei logaritmi

Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l’ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Transizione ad una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo logax. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà fondamentali del logaritmo

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è pari a 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Nikolaevich Tolstoy.

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

Esempi di logaritmi

Espressioni logaritmiche

Esempio 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Utilizzando le proprietà 3.5 calcoliamo

4. Dove .

Esempio 2. Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi iniziamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa , cioè. Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Si noti che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore.

Formule logaritmiche. Soluzioni di esempi di logaritmi.

Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è semplicemente un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: .

Infatti, cosa succede se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dà il numero a? Esatto: il risultato è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a di quella base stessa è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché a0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo di b in base a denota l'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una potenza x() in cui l'uguaglianza è soddisfatta

Proprietà fondamentali del logaritmo

È necessario conoscere le proprietà di cui sopra, poiché quasi tutti i problemi e gli esempi relativi ai logaritmi vengono risolti sulla base. Il resto delle proprietà esotiche può essere derivato attraverso manipolazioni matematiche con queste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Quando si calcola la formula per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4), ci si imbatte abbastanza spesso. Gli altri sono piuttosto complessi, ma in una serie di compiti sono indispensabili per semplificare espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è anche dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo decimale ed è semplicemente indicato con lg(x).

È chiaro dalla registrazione che le basi non sono scritte nella registrazione. Per esempio

Un logaritmo naturale è un logaritmo la cui base è un esponente (indicato con ln(x)).

L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è pari a 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Nikolaevich Tolstoy. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

E un altro importante logaritmo in base due è indicato con

La derivata del logaritmo di una funzione è uguale a uno diviso per la variabile

Il logaritmo integrale o antiderivativo è determinato dalla relazione

Il materiale fornito è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi ai logaritmi e ai logaritmi. Per aiutarti a comprendere il materiale, fornirò solo alcuni esempi comuni tratti dal curriculum scolastico e dalle università.

Esempi di logaritmi

Espressioni logaritmiche

Esempio 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Utilizzando le proprietà 3.5 calcoliamo

2.
Per la proprietà della differenza dei logaritmi abbiamo

3.
Usando le proprietà 3.5 troviamo

4. Dove .

Un'espressione apparentemente complessa viene semplificata per formare utilizzando una serie di regole

Trovare i valori dei logaritmi

Esempio 2. Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo all'ultimo termine le proprietà 5 e 13

Lo mettiamo agli atti e piangiamo

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Soluzione: prendiamo un logaritmo della variabile e scriviamo il logaritmo attraverso la somma dei suoi termini

Questo è solo l'inizio della nostra conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati nei calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno delle conoscenze acquisite per risolvere equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, espanderemo le tue conoscenze su un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche...

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Si noti che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Transizione ad una nuova fondazione

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è semplicemente un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: .

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a di quella base stessa è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché a0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.