Nell'attuale fase di sviluppo dell'istruzione, uno dei suoi compiti principali è la formazione di una personalità che pensa in modo creativo. La capacità di creatività negli studenti può essere sviluppata solo se sono sistematicamente coinvolti nelle basi delle attività di ricerca. La base affinché gli studenti possano utilizzare le loro forze creative, abilità e talenti è costituita da conoscenze e abilità a tutti gli effetti. A questo proposito, non ha poca importanza il problema della formazione di un sistema di conoscenze e abilità di base per ciascun argomento del corso di matematica scolastica. Allo stesso tempo, le competenze a tutti gli effetti non dovrebbero essere l'obiettivo didattico dei compiti individuali, ma del loro sistema attentamente studiato. Nel senso più ampio, un sistema è inteso come un insieme di elementi interagenti tra loro correlati che presentano integrità e una struttura stabile.
Considera una metodologia per insegnare agli studenti come elaborare un'equazione di una tangente al grafico di una funzione. In sostanza, tutti i compiti per trovare l'equazione tangente si riducono alla necessità di selezionare dall'insieme (fascio, famiglia) di linee quelle che soddisfano un determinato requisito: sono tangenti al grafico di una determinata funzione. In questo caso l'insieme delle linee da cui effettuare la selezione può essere specificato in due modi:
a) un punto giacente sul piano xOy (matita centrale delle linee);
b) coefficiente angolare (fascio parallelo di linee).
A questo proposito, studiando l'argomento "Tangente al grafico di una funzione" per isolare gli elementi del sistema, abbiamo individuato due tipi di compiti:
1) compiti su una tangente data da un punto per cui passa;
2) compiti su una tangente data dalla sua pendenza.
L'apprendimento della risoluzione dei problemi su una tangente è stato effettuato utilizzando l'algoritmo proposto da A.G. Mordkovich. La sua differenza fondamentale rispetto a quelle già note è che l'ascissa del punto tangente è denotata dalla lettera a (invece di x0), in relazione alla quale l'equazione tangente assume la forma
y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)
(confronta con y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Questa tecnica metodologica, a nostro avviso, consente agli studenti di realizzare rapidamente e facilmente dove sono scritte le coordinate del punto corrente nell'equazione generale della tangente e dove sono i punti di contatto.
Algoritmo per compilare l'equazione della tangente al grafico della funzione y = f(x)
1. Designare con la lettera a l'ascissa del punto di contatto.
2. Trova f(a).
3. Trova f "(x) e f "(a).
4. Sostituisci i numeri trovati a, f (a), f "(a) nell'equazione generale della tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).
Questo algoritmo può essere compilato sulla base della selezione indipendente delle operazioni da parte degli studenti e della sequenza della loro esecuzione.
La pratica ha dimostrato che la soluzione coerente di ciascuno dei compiti chiave utilizzando l'algoritmo consente di formare la capacità di scrivere l'equazione della tangente al grafico della funzione in più fasi e i passaggi dell'algoritmo servono come punti di forza per le azioni . Questo approccio corrisponde alla teoria della formazione graduale delle azioni mentali sviluppata da P.Ya. Galperin e N.F. Talisina.
Nel primo tipo di compiti, sono stati individuati due compiti chiave:
- la tangente passa per un punto giacente sulla curva (problema 1);
- la tangente passa per un punto che non giace sulla curva (Problema 2).
Compito 1. Uguagliare la tangente al grafico della funzione 
nel punto M(3; – 2).
Soluzione. Il punto M(3; – 2) è il punto di contatto, poiché
1. a = 3 - ascissa del punto di contatto.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 è l'equazione della tangente.
Compito 2. Scrivi le equazioni di tutte le tangenti al grafico della funzione y = - x 2 - 4x + 2, passando per il punto M(- 3; 6).
Soluzione. Il punto M(– 3; 6) non è un punto tangente, poiché f(– 3) 6 (Fig. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - equazione tangente.
La tangente passa per il punto M(– 3; 6), quindi le sue coordinate soddisfano l'equazione della tangente.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.
Se a = – 4, allora l'equazione della tangente è y = 4x + 18.
Se a \u003d - 2, l'equazione della tangente ha la forma y \u003d 6.
Nel secondo tipo, i compiti chiave saranno i seguenti:
- la tangente è parallela ad una retta (problema 3);
- la tangente passa con un certo angolo rispetto alla linea data (problema 4).
Compito 3. Scrivi le equazioni di tutte le tangenti sul grafico della funzione y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallela alla linea y \u003d 9x + 1.
1. a - ascissa del punto di contatto.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.
Ma, d'altra parte, f "(a) \u003d 9 (condizione di parallelismo). Quindi, dobbiamo risolvere l'equazione 3a 2 - 6a \u003d 9. Le sue radici a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig .3).
4.1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 è l'equazione tangente;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);
y = 9x – 24 è l'equazione della tangente.
Compito 4. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y = 0,5x 2 - 3x + 1, passando con un angolo di 45 ° rispetto alla linea retta y = 0 (Fig. 4).
Soluzione. Dalla condizione f "(a) \u003d tg 45 ° troviamo a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.
1. a = 4 - ascissa del punto di contatto.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).
y \u003d x - 7 - l'equazione della tangente.
È facile dimostrare che la soluzione di qualsiasi altro problema si riduce alla soluzione di uno o più problemi chiave. Consideriamo come esempio i due problemi seguenti.
1. Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola y = 2x 2 - 5x - 2, se le tangenti si intersecano ad angolo retto e una di esse tocca la parabola nel punto con l'ascissa 3 (Fig. 5).
Soluzione. Dato che l'ascissa del punto di contatto è data, la prima parte della soluzione si riduce al problema chiave 1.
1. a \u003d 3 - l'ascissa del punto di contatto di uno dei lati dell'angolo retto.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - l'equazione della prima tangente.
Sia a la pendenza della prima tangente. Poiché le tangenti sono perpendicolari, allora lo è l'angolo di inclinazione della seconda tangente. Dall'equazione y = 7x – 20 della prima tangente abbiamo tg a = 7. Trova
Ciò significa che la pendenza della seconda tangente è .
L'ulteriore soluzione si riduce al compito chiave 3.
Sia allora B(c; f(c)) il punto tangente della seconda retta
1. - ascissa del secondo punto di contatto.
2. 
3. 
4. 
è l'equazione della seconda tangente.
Nota. Il coefficiente angolare della tangente può essere trovato più facilmente se gli studenti conoscono il rapporto dei coefficienti delle rette perpendicolari k 1 k 2 = - 1.
2. Scrivi le equazioni di tutte le tangenti comuni nei grafici delle funzioni
Soluzione. Il compito si riduce a trovare le ascisse dei punti di contatto delle tangenti comuni, cioè a risolvere il problema chiave 1 in forma generale, compilare un sistema di equazioni e quindi risolverlo (Fig. 6).
1. Sia a l'ascissa del punto di contatto che giace sul grafico della funzione y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.
1. Sia c l'ascissa del punto tangente che giace sul grafico della funzione 
2. 
3. f "(c) = c.
4.
Poiché le tangenti sono comuni, allora
Quindi y = x + 1 e y = - 3x - 3 sono tangenti comuni.
L'obiettivo principale dei compiti considerati è preparare gli studenti all'autoriconoscimento del tipo di compito chiave quando risolvono compiti più complessi che richiedono determinate capacità di ricerca (capacità di analizzare, confrontare, generalizzare, avanzare un'ipotesi, ecc.). Tali attività includono qualsiasi attività in cui l'attività chiave è inclusa come componente. Consideriamo come esempio il problema (inverso al problema 1) di trovare una funzione dalla famiglia delle sue tangenti.
3. Per quali b e c sono le linee y \u003d xey \u003d - 2x tangenti al grafico della funzione y \u003d x 2 + bx + c?
Sia t l'ascissa del punto di contatto della retta y = x con la parabola y = x 2 + bx + c; p è l'ascissa del punto di contatto della retta y = - 2x con la parabola y = x 2 + bx + c. Quindi l'equazione tangente y = x assumerà la forma y = (2t + b)x + c - t 2 , e l'equazione tangente y = - 2x assumerà la forma y = (2p + b)x + c - p 2 .
Comporre e risolvere un sistema di equazioni
Risposta: 
Tangenteè una retta passante per un punto della curva e coincidente con esso in questo punto fino al primo ordine (Fig. 1).
Altra definizione: questa è la posizione limite della secante a Δ X→0.
Spiegazione: prendi una linea che interseca la curva in due punti: UN E B(Guarda l'immagine). Questa è una secante. Lo ruoteremo in senso orario finché non avrà un solo punto in comune con la curva. Quindi otteniamo una tangente.
Definizione rigorosa di tangente:
Tangente al grafico della funzione F, differenziabile in un punto XO, è una retta passante per il punto ( XO; F(XO)) e avere una pendenza F′( XO).
La pendenza ha una linea retta y=kx+B. Coefficiente K ed è fattore di pendenza questa linea retta.
Il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell'angolo acuto formato da questa retta con l'asse x:
|
Qui l'angolo α è l'angolo tra la linea y=kx+B e la direzione positiva (cioè in senso antiorario) dell'asse x. È chiamato angolo di inclinazione rettilineo(Fig.1 e 2). 
Se l'angolo di inclinazione è dritto y=kx+B acuto, allora la pendenza è un numero positivo. Il grafico aumenta (Fig. 1).
Se l'angolo di inclinazione è dritto y=kx+B ottuso, allora la pendenza è un numero negativo. Il grafico è decrescente (Fig. 2).
Se la retta è parallela all'asse x, la pendenza della retta è zero. In questo caso, anche la pendenza della retta è zero (poiché la tangente di zero è zero). L'equazione della linea retta sarà simile a y = b (Fig. 3).
Se l'angolo di inclinazione di una retta è 90º (π/2), cioè è perpendicolare all'asse x, allora la retta è data dall'uguaglianza x=C, Dove C- qualche numero reale (Fig. 4).
L'equazione della tangente al grafico della funzionesì = F(X) al punto XO:
Esempio: Troviamo l'equazione della tangente al grafico della funzione F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 nel punto con ascissa 2.
Soluzione.
Seguiamo l'algoritmo.
1) Punto di contatto XOè uguale a 2. Calcola F(XO):
F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Trova F′( X). Per fare ciò, utilizziamo le formule di differenziazione delineate nella sezione precedente. Secondo queste formule, X 2 = 2X, UN X 3 = 3X 2. Significa:
F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Ora, utilizzando il valore risultante F′( X), calcolare F′( XO):
F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Quindi, abbiamo tutti i dati necessari: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Sostituiamo questi numeri nell'equazione della tangente e troviamo la soluzione finale:
y= F(XO) + F′( XO) (x-xo) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.
Risposta: y \u003d 4x - 7.
Tipo di lavoro: 7
Condizione
La retta y=3x+2 è tangente al grafico della funzione y=-12x^2+bx-10. Trova b , dato che l'ascissa del punto di contatto è inferiore a zero.
Mostra soluzioneSoluzione
Sia x_0 l'ascissa del punto sul grafico della funzione y=-12x^2+bx-10 attraverso il quale passa la tangente a questo grafico.
Il valore della derivata nel punto x_0 è uguale alla pendenza della tangente, cioè y"(x_0)=-24x_0+b=3. D'altra parte, il punto tangente appartiene sia al grafico della funzione che al tangente, cioè -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Otteniamo un sistema di equazioni \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casi)
Risolvendo questo sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 o x_0=1. Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di contatto sono inferiori a zero, quindi x_0=-1, quindi b=3+24x_0=-21.
Risposta
Tipo di lavoro: 7
Argomento: Il significato geometrico della derivata. Tangente al grafico della funzione
Condizione
La retta y=-3x+4 è parallela alla tangente al grafico della funzione y=-x^2+5x-7. Trova l'ascissa del punto di contatto.
Mostra soluzioneSoluzione
La pendenza della linea del grafico della funzione y=-x^2+5x-7 in un punto arbitrario x_0 è y"(x_0). Ma y"=-2x+5, quindi y"(x_0)=- 2x_0+5.Angolare il coefficiente della linea y=-3x+4 specificato nella condizione è -3.Le linee parallele hanno le stesse pendenze.Pertanto, troviamo un valore x_0 tale che =-2x_0 +5=-3.
Otteniamo: x_0 = 4.
Risposta
Fonte: "Matematica. Preparazione per l'esame-2017. livello di profilo. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipo di lavoro: 7
Argomento: Il significato geometrico della derivata. Tangente al grafico della funzione
Condizione
Mostra soluzioneSoluzione
Dalla figura determiniamo che la tangente passa per i punti A(-6; 2) e B(-1; 1). Indichiamo con C(-6; 1) il punto di intersezione delle rette x=-6 e y=1, e con \alpha l'angolo ABC (si vede nella figura che è acuto). Allora la linea AB forma un angolo ottuso \pi -\alpha con la direzione positiva dell'asse del Bue.
Come sai, tg(\pi -\alpha) sarà il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x_0. notare che tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Da qui, mediante le formule di riduzione, otteniamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.
Risposta
Fonte: "Matematica. Preparazione per l'esame-2017. livello di profilo. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipo di lavoro: 7
Argomento: Il significato geometrico della derivata. Tangente al grafico della funzione
Condizione
La retta y=-2x-4 è tangente al grafico della funzione y=16x^2+bx+12. Trova b , dato che l'ascissa del punto di contatto è maggiore di zero.
Mostra soluzioneSoluzione
Sia x_0 l'ascissa del punto sul grafico della funzione y=16x^2+bx+12 attraverso il quale
è tangente a questo grafico.
Il valore della derivata nel punto x_0 è uguale alla pendenza della tangente, cioè y "(x_0)=32x_0+b=-2. D'altra parte, il punto tangente appartiene sia al grafico della funzione e la tangente, cioè 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Otteniamo un sistema di equazioni \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(casi)
Risolvendo il sistema, otteniamo x_0^2=1, che significa x_0=-1 oppure x_0=1. Secondo la condizione dell'ascissa, i punti di contatto sono maggiori di zero, quindi x_0=1, quindi b=-2-32x_0=-34.
Risposta
Fonte: "Matematica. Preparazione per l'esame-2017. livello di profilo. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipo di lavoro: 7
Argomento: Il significato geometrico della derivata. Tangente al grafico della funzione
Condizione
La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) definita sull'intervallo (-2; 8). Determina il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y=6.
Soluzione
La linea y=6 è parallela all'asse del Bue. Pertanto, troviamo punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse Ox. Su questo grafico, tali punti sono punti estremi (punti massimi o minimi). Come puoi vedere, ci sono 4 punti estremi.
Risposta
Fonte: "Matematica. Preparazione per l'esame-2017. livello di profilo. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipo di lavoro: 7
Argomento: Il significato geometrico della derivata. Tangente al grafico della funzione
Condizione
La retta y=4x-6 è parallela alla tangente al grafico della funzione y=x^2-4x+9. Trova l'ascissa del punto di contatto.
Mostra soluzioneSoluzione
La pendenza della tangente al grafico della funzione y \u003d x ^ 2-4x + 9 in un punto arbitrario x_0 è y "(x_0). Ma y" \u003d 2x-4, che significa y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. La pendenza della tangente y \u003d 4x-7 specificata nella condizione è uguale a 4. Le linee parallele hanno le stesse pendenze. Pertanto, troviamo un valore x_0 tale che 2x_0-4 \u003d 4. Otteniamo : x_0 \u003d 4.
Risposta
Fonte: "Matematica. Preparazione per l'esame-2017. livello di profilo. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipo di lavoro: 7
Argomento: Il significato geometrico della derivata. Tangente al grafico della funzione
Condizione
La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con ascissa x_0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x_0.
Soluzione
Dalla figura determiniamo che la tangente passa per i punti A(1; 1) e B(5; 4). Indichiamo con C(5; 1) il punto di intersezione delle rette x=5 e y=1, e con \alpha l'angolo BAC (si vede nella figura che è acuto). Allora la linea AB forma un angolo \alfa con la direzione positiva dell'asse del Bue.
Y \u003d f (x) e se a questo punto è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione che non è perpendicolare all'asse x, allora la pendenza della tangente è f "(a). L'abbiamo già usata diversi Ad esempio, nel § 33 è stato stabilito che il grafico della funzione y \u003d sin x (sinusoide) nell'origine forma un angolo di 45 ° con l'asse delle ascisse (più precisamente, la tangente al grafico nel punto l'origine forma un angolo di 45° con la direzione positiva dell'asse x), e nell'esempio 5 del § 33 sono stati trovati punti secondo la pianificazione data funzioni, in cui la tangente è parallela all'asse x. Nell'esempio 2 del § 33, è stata redatta un'equazione per la tangente al grafico della funzione y \u003d x 2 nel punto x \u003d 1 (più precisamente, nel punto (1; 1), ma più spesso solo viene indicato il valore dell'ascissa, assumendo che, noto il valore dell'ascissa, allora il valore dell'ordinata si ricava dall'equazione y = f(x)). In questa sezione svilupperemo un algoritmo per compilare l'equazione della tangente al grafico di qualsiasi funzione.
Sia data la funzione y \u003d f (x) e il punto M (a; f (a)), ed è anche noto che f "(a) esiste. Componiamo l'equazione della tangente al grafico di la funzione data in un dato punto. Questa equazione è come l'equazione di una qualsiasi retta, non parallela all'asse y, ha la forma y = kx + m, quindi il problema è trovare i valori dei coefficienti k e m.
Non ci sono problemi con la pendenza k: sappiamo che k \u003d f "(a). Per calcolare il valore di m, utilizziamo il fatto che la linea desiderata passa per il punto M (a; f (a)). Ciò significa che se sostituiamo i punti di coordinata M nell'equazione di una linea retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: f (a) \u003d ka + m, da dove troviamo che m \u003d f (a) - ka.
Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti della balena in l'equazione Dritto:
Abbiamo ottenuto l'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d f (x) nel punto x \u003d a.
Se, diciamo,
Sostituendo nell'equazione (1) i valori trovati a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, otteniamo: y \u003d 1 + 2 (x-f), cioè y \u003d 2x -1.
Confrontate questo risultato con quello ottenuto nell'Esempio 2 del § 33. Naturalmente è avvenuta la stessa cosa.
Componiamo l'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d tg x all'origine. Abbiamo: 
quindi cos x f "(0) = 1. Sostituendo i valori trovati a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 nell'equazione (1), otteniamo: y \u003d x .
Per questo motivo nel § 15 (vedi Fig. 62) abbiamo tracciato la tangente attraverso l'origine delle coordinate con un angolo di 45° rispetto all'asse delle ascisse.
Risolvendo questi esempi piuttosto semplici, abbiamo effettivamente utilizzato un certo algoritmo, incorporato nella formula (1). Rendiamo esplicito questo algoritmo.
ALGORITMO PER LA COMPOSIZIONE DELL'EQUAZIONE DELLA FUNZIONE TANGENTE AL GRAFICO y \u003d f (x)
1) Designare l'ascissa del punto di contatto con la lettera a.
2) Calcolare 1 (a).
3) Trova f "(x) e calcola f" (a).
4) Sostituisci i numeri trovati a, f(a), (a) nella formula (1).
Esempio 1 Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione nel punto x = 1.
Usiamo l'algoritmo, considerandolo in questo esempio
Nella fig. 126 mostra un'iperbole, viene costruita una linea retta y \u003d 2x.
Il disegno conferma i calcoli dati: infatti, la linea y \u003d 2-x tocca l'iperbole nel punto (1; 1).
Risposta: y \u003d 2-x.
Esempio 2 Disegna una tangente al grafico della funzione in modo che sia parallela alla linea retta y \u003d 4x - 5.
Perfezioniamo la formulazione del problema. Il requisito di "disegnare una tangente" di solito significa "creare un'equazione per una tangente". Questo è logico, perché se una persona fosse in grado di comporre un'equazione per una tangente, difficilmente incontrerebbe difficoltà nel costruire una linea retta sul piano delle coordinate secondo la sua equazione.
Usiamo l'algoritmo per compilare l'equazione della tangente, considerando che in questo esempio, ma, a differenza dell'esempio precedente, qui c'è ambiguità: l'ascissa del punto tangente non è esplicitamente indicata.
Iniziamo a parlare così. La tangente desiderata deve essere parallela alla linea retta y \u003d 4x-5. Due rette sono parallele se e solo se le loro pendenze sono uguali. Ciò significa che la pendenza della tangente deve essere uguale alla pendenza della retta data: 
Pertanto, possiamo trovare il valore di a dall'equazione f "(a) \u003d 4.
Abbiamo: 
Dall'equazione Quindi, ci sono due tangenti che soddisfano le condizioni del problema: una nel punto con ascissa 2, l'altra nel punto con ascissa -2.
Ora puoi agire secondo l'algoritmo.
Esempio 3 Dal punto (0; 1) traccia una tangente al grafico della funzione
Usiamo l'algoritmo per compilare l'equazione della tangente, dato che in questo esempio si noti che qui, come nell'esempio 2, l'ascissa del punto tangente non è indicata esplicitamente. Tuttavia, agiamo secondo l'algoritmo.
Per condizione, la tangente passa per il punto (0; 1). Sostituendo nell'equazione (2) i valori x = 0, y = 1, otteniamo: 
Come puoi vedere, in questo esempio, solo al quarto passo dell'algoritmo siamo riusciti a trovare l'ascissa del punto di contatto. Sostituendo il valore a \u003d 4 nell'equazione (2), otteniamo:
Nella fig. 127 mostra un'illustrazione geometrica dell'esempio considerato: un grafico della funzione
Nel § 32 abbiamo notato che per una funzione y = f(x), che ha derivata nel punto fisso x, vale l’uguaglianza approssimata:
Per comodità di ulteriore ragionamento, cambiamo la notazione: al posto di x scriveremo a, scriveremo invece x, e di conseguenza scriveremo invece x-a. Allora l’uguaglianza approssimativa scritta sopra assumerà la forma:
Ora diamo un'occhiata alla fig. 128. Una tangente viene tracciata al grafico della funzione y \u003d f (x) nel punto M (a; f (a)). Punto x segnato sull'asse x vicino ad a. È chiaro che f(x) è l'ordinata del grafico della funzione nel punto x specificato. E cos'è f (a) + f "(a) (x-a)? Questa è l'ordinata della tangente corrispondente allo stesso punto x - vedere la formula (1). Qual è il significato di uguaglianza approssimativa (3)? Quello a calcolare il valore approssimativo della funzione, viene preso il valore dell'ordinata tangente.
Esempio 4 Trova il valore approssimativo dell'espressione numerica 1.02 7 .
Stiamo parlando di trovare il valore della funzione y \u003d x 7 nel punto x \u003d 1,02. Usiamo la formula (3), tenendo conto di ciò in questo esempio
Di conseguenza, otteniamo:
Se usiamo una calcolatrice, otteniamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Come puoi vedere, la precisione di approssimazione è abbastanza accettabile.
Risposta: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich Algebra Grado 10
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Il video tutorial utilizza metodi che migliorano la visibilità del materiale. Nella vista vengono inseriti disegni, diagrammi, vengono forniti importanti commenti vocali, vengono applicate animazioni, evidenziazioni a colori e altri strumenti.
La videolezione inizia con la presentazione dell'argomento della lezione e l'immagine di una tangente al grafico di una funzione y=f(x) nel punto M(a;f(a)). È noto che la pendenza della tangente tracciata sul grafico in un dato punto è uguale alla derivata della funzione f΄(a) in un dato punto. Anche dal corso di algebra è nota l'equazione della retta y=kx+m. Viene presentata schematicamente la soluzione del problema di trovare l'equazione tangente in un punto, che si riduce alla ricerca dei coefficienti k, m. Conoscendo le coordinate del punto appartenente al grafico della funzione, possiamo trovare m sostituendo il valore delle coordinate nell'equazione della tangente f(a)=ka+m. Da esso troviamo m=f(a)-ka. Quindi, conoscendo il valore della derivata in un dato punto e le coordinate del punto, possiamo rappresentare l'equazione tangente in questo modo y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Quello che segue è un esempio di elaborazione di un'equazione tangente, seguendo lo schema. Data una funzione y=x 2 , x=-2. Accettato a=-2, troviamo a questo punto il valore della funzione f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determiniamo la derivata della funzione f΄(х)=2х. A questo punto la derivata è pari a f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Per compilare l'equazione si trovano tutti i coefficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, quindi l'equazione tangente y=4+(-4)(x+2). Semplificando l'equazione, otteniamo y \u003d -4-4x.
Nell'esempio seguente si propone di formulare l'equazione della tangente all'origine al grafico della funzione y=tgx. A questo punto a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Quindi l'equazione della tangente assomiglia a y=x.
In generale, il processo di compilazione dell'equazione della tangente al grafico della funzione ad un certo punto viene formalizzato come un algoritmo composto da 4 passaggi:
- Viene introdotta una designazione per l'ascissa del punto di contatto;
- si calcola f(a);
- Viene determinato F΄(х) e viene calcolato f΄(a). I valori trovati a, f(a), f΄(a) vengono sostituiti nella formula dell'equazione tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).
L'esempio 1 considera la compilazione dell'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d 1 / x nel punto x \u003d 1. Utilizziamo un algoritmo per risolvere il problema. Per questa funzione nel punto a=1, il valore della funzione f(a)=-1. Derivato della funzione f΄(х)=1/х 2 . Nel punto a=1 la derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Utilizzando i dati ottenuti, viene compilata l'equazione della tangente y \u003d -1 + (x-1) o y \u003d x-2.
Nell'esempio 2, devi trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2. La condizione principale è il parallelismo della tangente e della retta y \u003d -2x + 1. Innanzitutto, troviamo la pendenza della tangente, uguale alla pendenza della retta y \u003d -2x + 1. Poiché f΄(a)=-2 per questa retta, allora k=-2 per la tangente desiderata. Troviamo la derivata della funzione (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Sapendo che f΄(a)=-2, troviamo le coordinate del punto 3а 2 +6а-2=-2. Risolvendo l'equazione, otteniamo 1 \u003d 0 e 2 \u003d -2. Utilizzando le coordinate trovate, puoi trovare l'equazione della tangente utilizzando un algoritmo noto. Troviamo il valore della funzione nei punti f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Il valore della derivata nel punto f΄(à 1)= f΄(à 2)=-2. Sostituendo i valori trovati nell'equazione della tangente, otteniamo per il primo punto a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2 e per il secondo punto a 2 \u003d -2 l'equazione della tangente y \u003d -2x- 22.
L'esempio 3 descrive la formulazione dell'equazione tangente per il suo disegno nel punto (0;3) al grafico della funzione y=√x. La decisione viene presa secondo l'algoritmo noto. Il punto di contatto ha coordinate x=a, dove a>0. Il valore della funzione nel punto f(a)=√x. La derivata della funzione f΄(х)=1/2√х, quindi, nel punto dato f΄(а)=1/2√а. Sostituendo tutti i valori ottenuti nell'equazione della tangente, otteniamo y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Trasformando l'equazione, otteniamo y=x/2√a+√a/2. Sapendo che la tangente passa per il punto (0; 3), troviamo il valore di a. Trova a da 3=√a/2. Quindi √a=6, a=36. Troviamo l'equazione della tangente y \u003d x / 12 + 3. La figura mostra il grafico della funzione in esame e la tangente desiderata costruita.
Si ricordano agli studenti le uguaglianze approssimative Δy=≈f΄(x)Δxe f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Prendendo x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, otteniamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), quindi f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Nell'esempio 4 è necessario trovare il valore approssimativo dell'espressione 2.003 6 . Poiché è necessario trovare il valore della funzione f (x) \u003d x 6 nel punto x \u003d 2.003, possiamo utilizzare la formula ben nota, prendendo f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Derivata nel punto f΄(2)=192. Pertanto, 2.003 6 ≈65-192 0.003. Dopo aver calcolato l'espressione, otteniamo 2.003 6 ≈64.576.
La videolezione "L'equazione della tangente al grafico di una funzione" è consigliata per l'utilizzo in una lezione di matematica tradizionale a scuola. Per un insegnante a distanza, il materiale video aiuterà a spiegare l'argomento in modo più chiaro. Il video può essere consigliato per l'autoconsiderazione da parte degli studenti, se necessario, per approfondire la comprensione dell'argomento.
INTERPRETAZIONE DEL TESTO:
Sappiamo che se il punto M (a; f (a)) (em con coordinate a ed eff da a) appartiene al grafico della funzione y \u003d f (x) e se a questo punto si può tracciare una tangente il grafico della funzione, non perpendicolare all'asse delle ascisse, allora la pendenza della tangente è f "(a) (ef tratto da a).
Sia data una funzione y = f(x) e un punto M (a; f(a)), e si sa anche che esiste f´(a). Componiamo l'equazione della tangente al grafico di una data funzione in un dato punto. Questa equazione, come l'equazione di qualsiasi linea retta che non sia parallela all'asse y, ha la forma y = kx + m (y è uguale a ka x più em), quindi il compito è trovare i valori di i coefficienti k e m. (ka ed em)
Pendenza k \u003d f "(a). Per calcolare il valore di m, usiamo il fatto che la retta desiderata passa per il punto M (a; f (a)). Ciò significa che se sostituiamo le coordinate del punto M nell'equazione della retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: f(a) = ka+m, da cui risulta che m = f(a) - ka.
Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti ki e m nell'equazione di una linea retta:
y = kx+(f(a)-ka);
y = f(a)+k(x-a);
sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN). ( Y è uguale a eff da a più ef tratto da a moltiplicato per x meno a).
Abbiamo ottenuto l'equazione della tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto x=a.
Se, diciamo, y \u003d x 2 e x \u003d -2 (cioè a \u003d -2), allora f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, quindi f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (quindi eff da a è uguale a quattro, eff prime da x è uguale a due x, che significa ef corsa da a uguale meno quattro)
Sostituendo i valori trovati a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4 nell'equazione, otteniamo: y \u003d 4 + (-4) (x + 2), cioè y \u003d -4x -4.
(y è uguale a meno quattro x meno quattro)
Componiamo l'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d tgx (y è uguale alla tangente x) all'origine. Abbiamo: a = 0, f(0) = tg0=0;
f"(x)= , quindi f"(0) = l. Sostituendo nell'equazione i valori trovati a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, otteniamo: y=x.
Generalizziamo i nostri passaggi per trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione nel punto x utilizzando l'algoritmo.
ALGORITMO PER LA COMPOSIZIONE DELL'EQUAZIONE DELLA FUNZIONE tangente al GRAFICO y \u003d f (x):
1) Designare l'ascissa del punto di contatto con la lettera a.
2) Calcolare f(a).
3) Trova f´(x) e calcola f´(a).
4) Sostituisci i numeri trovati a, f(a), f´(a) nella formula sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN).
Esempio 1. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d - in
punto x = 1.
Soluzione. Usiamo l'algoritmo, considerandolo in questo esempio
2) f(a)=f(1)=-=-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Sostituisci i tre numeri trovati: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1 nella formula. Otteniamo: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.
Risposta: y = x-2.
Esempio 2. Data una funzione y = x3+3x2 -2x-2. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y \u003d f (x), parallela alla retta y \u003d -2x +1.
Utilizzando l'algoritmo per compilare l'equazione della tangente, teniamo conto che in questo esempio f(x) = x3+3x2 -2x-2, ma qui non è specificata l'ascissa del punto di contatto.
Iniziamo a parlare così. La tangente desiderata deve essere parallela alla linea retta y \u003d -2x + 1. E le rette parallele hanno pendenze uguali. Quindi la pendenza della tangente è uguale alla pendenza della retta data: k cas. = -2. Ok, caso. = f "(a). Pertanto, possiamo trovare il valore di a dall'equazione f ´ (a) \u003d -2.
Troviamo la derivata della funzione y=F(X):
F"(X) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;F"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.
Dall'equazione f "(a) \u003d -2, cioè 3а 2 +6а-2\u003d -2 troviamo a 1 \u003d 0, a 2 \u003d -2. Ciò significa che ci sono due tangenti che soddisfano le condizioni del problema: una in un punto con ascissa 0, l'altra in un punto con ascissa -2.
Ora puoi agire secondo l'algoritmo.
1) a 1 \u003d 0 e 2 \u003d -2.
2) f(a1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;
3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.
4) Sostituendo i valori a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 nella formula, otteniamo:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Sostituendo i valori a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 nella formula, otteniamo:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Risposta: y=-2x-2, y=-2x+2.
Esempio 3. Dal punto (0; 3) traccia una tangente al grafico della funzione y \u003d. Soluzione. Usiamo l'algoritmo per compilare l'equazione della tangente, dato che in questo esempio f(x) = . Si noti che qui, come nell'Esempio 2, l'ascissa del punto di contatto non è esplicitamente indicata. Tuttavia, agiamo secondo l'algoritmo.
1) Sia x = a l'ascissa del punto di contatto; è chiaro che a > 0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Sostituendo i valori a, f(a) = , f "(a) = nella formula
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), noi abbiamo:
Per condizione, la tangente passa per il punto (0; 3). Sostituendo nell'equazione i valori x = 0, y = 3, otteniamo: 3 = , e quindi =6, a =36.
Come puoi vedere, in questo esempio, solo al quarto passo dell'algoritmo siamo riusciti a trovare l'ascissa del punto di contatto. Sostituendo nell'equazione il valore a=36 otteniamo: y=+3
Nella fig. La Figura 1 presenta un'illustrazione geometrica dell'esempio considerato: viene tracciato un grafico della funzione y \u003d, viene disegnata una linea retta y \u003d +3.
Risposta: y = +3.
Sappiamo che per la funzione y = f(x), che ha derivata nel punto x, vale l'uguaglianza approssimata: Δyf´(x)Δx
o, più in dettaglio, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef da x più delta x meno ef da x è approssimativamente uguale a ef corsa da x a delta x).
Per comodità di ulteriore ragionamento, cambiamo la notazione:
invece di x scriveremo UN,
invece di x + Δx scriveremo x
al posto di Δx scriveremo x-a.
Allora l’uguaglianza approssimativa scritta sopra assumerà la forma:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef da x è approssimativamente uguale a eff da a più ef tratto da a, moltiplicato per la differenza tra x e a).
Esempio 4. Trova il valore approssimativo dell'espressione numerica 2.003 6 .
Soluzione. Stiamo parlando di trovare il valore della funzione y \u003d x 6 nel punto x \u003d 2.003. Usiamo la formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), considerando che in questo esempio f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x \u003d 2.003, f "(x) \u003d 6x 5 e, quindi, f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.
Di conseguenza, otteniamo:
2.003 6 64+192 0.003, cioè 2.003 6 = 64.576.
Se usiamo una calcolatrice otteniamo:
2,003 6 = 64,5781643...
Come puoi vedere, la precisione di approssimazione è abbastanza accettabile.