In questa lezione tutti potranno studiare l'argomento “Pallellelepipedo rettangolare”. All'inizio della lezione ripeteremo cosa sono i parallelepipedi arbitrari e diritti, ricorderemo le proprietà delle loro facce opposte e delle diagonali del parallelepipedo. Poi vedremo cos'è un cuboide e ne discuteremo le proprietà di base.
Argomento: Perpendicolarità di rette e piani
Lezione: Cuboide
Si chiama una superficie composta da due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quattro parallelogrammi ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelepipedo(Fig. 1).
Riso. 1 Parallelepipedo
Cioè: abbiamo due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (basi), giacciono su piani paralleli in modo che i bordi laterali AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 siano paralleli. Pertanto, viene chiamata una superficie composta da parallelogrammi parallelepipedo.
Pertanto la superficie di un parallelepipedo è la somma di tutti i parallelogrammi che compongono il parallelepipedo.
1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.
(le forme sono uguali, cioè si possono unire sovrapponendole)
Per esempio:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallelogrammi uguali per definizione),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (poiché AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (poiché AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo).
2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto sono divise in due.
Le diagonali del parallelepipedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B si intersecano in un punto O, e ciascuna diagonale è divisa a metà da questo punto (Fig. 2).
Riso. 2 Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione.
3. Ci sono tre quadrupli di lati uguali e paralleli di un parallelepipedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definizione. Un parallelepipedo si dice diritto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari alle basi.
Lasciare che il bordo laterale AA 1 sia perpendicolare alla base (Fig. 3). Ciò significa che la retta AA 1 è perpendicolare alle rette AD e AB, che giacciono nel piano della base. Ciò significa che le facce laterali contengono rettangoli. E le basi contengono parallelogrammi arbitrari. Indichiamo ∠BAD = φ, l'angolo φ può essere qualsiasi.
Riso. 3 Parallelepipedo destro
Quindi un parallelepipedo retto è un parallelepipedo in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi del parallelepipedo.
Definizione. Il parallelepipedo si dice rettangolare, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alla base. Le basi sono rettangoli.
Il parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è rettangolare (Fig. 4), se:
1. AA 1 ⊥ ABCD (spigolo laterale perpendicolare al piano della base, cioè un parallelepipedo rettilineo).
2. ∠BAD = 90°, cioè la base è un rettangolo.
Riso. 4 Parallelepipedo rettangolare
Un parallelepipedo rettangolare ha tutte le proprietà di un parallelepipedo arbitrario. Ma ci sono ulteriori proprietà che derivano dalla definizione di cuboide.
COSÌ, cuboideè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alla base. La base di un cuboide è un rettangolo.
1. In un parallelepipedo rettangolare tutte e sei le facce sono rettangoli.
ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono rettangoli per definizione.
2. Le nervature laterali sono perpendicolari alla base. Ciò significa che tutte le facce laterali di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.
3. Tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolo sono retti.
Consideriamo, ad esempio, l'angolo diedro di un parallelepipedo rettangolo con lo spigolo AB, cioè l'angolo diedro tra i piani ABC 1 e ABC.
AB è un bordo, il punto A 1 si trova su un piano - nel piano ABB 1, e il punto D nell'altro - nel piano A 1 B 1 C 1 D 1. Allora l'angolo diedro in esame può essere indicato anche come segue: ∠A 1 ABD.
Prendiamo il punto A sul bordo AB. AA 1 è perpendicolare allo spigolo AB nel piano АВВ-1, AD è perpendicolare allo spigolo AB nel piano ABC. Ciò significa che ∠A 1 AD è l'angolo lineare di un dato angolo diedro. ∠A 1 AD = 90°, il che significa che l'angolo diedro sul bordo AB è 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Allo stesso modo, è dimostrato che qualsiasi angolo diedro di un parallelepipedo rettangolare è retto.
Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.
Nota. Le lunghezze dei tre bordi che partono da un vertice di un cuboide sono le misure del cuboide. A volte sono chiamati lunghezza, larghezza, altezza.
Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepipedo rettangolare (Fig. 5).
Dimostrare: .
Riso. 5 Parallelepipedo rettangolare
Prova:
La retta CC 1 è perpendicolare al piano ABC, e quindi alla retta AC. Ciò significa che il triangolo CC 1 A è rettangolo. Secondo il teorema di Pitagora:
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC. Secondo il teorema di Pitagora:
Ma BC e AD sono lati opposti del rettangolo. Quindi a.C. = d.C. Poi:
Perché , UN , Quello. Poiché CC 1 = AA 1, questo è ciò che doveva essere dimostrato.
Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.
Indichiamo le dimensioni del parallelepipedo ABC come a, b, c (vedi Fig. 6), quindi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi. In questo caso, tutti i bordi saranno parallelogrammi.
Ogni parallelepipedo può essere considerato come un prisma in tre modi diversi, poiché ogni due facce opposte possono essere prese come basi (in Fig. 5, facce ABCD e A"B"C"D", oppure ABA"B" e CDC"D ", o BCB "C" e ADA"D").
Il corpo in questione presenta dodici spigoli, quattro uguali e paralleli tra loro.
Teorema 3
. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto, coincidente con il centro di ciascuna di esse.
Il parallelepipedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) ha quattro diagonali AC", BD", CA", DB". Dobbiamo dimostrare che i punti medi di due qualsiasi di essi, ad esempio AC e BD", coincidono. Ciò deriva dal fatto che la figura ABC"D", avente i lati uguali e paralleli AB e C"D", è un parallelogramma.
Definizione 7
. Un parallelepipedo retto è un parallelepipedo che è anche un prisma rettilineo, cioè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari al piano della base.
Definizione 8
. Un parallelepipedo rettangolare è un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo. In questo caso, tutte le sue facce saranno rettangoli.
Un parallelepipedo rettangolo è un prisma retto, qualunque delle sue facce prendiamo come base, poiché ciascuno dei suoi spigoli è perpendicolare agli spigoli emergenti dallo stesso vertice, e sarà, quindi, perpendicolare ai piani delle facce definite da questi bordi. Al contrario, un parallelepipedo diritto, ma non rettangolare, può essere visto come un prisma retto in un solo modo.
Definizione 9
. Le lunghezze di tre spigoli di un parallelepipedo rettangolare, di cui non ci siano due paralleli tra loro (ad esempio, tre spigoli emergenti dallo stesso vertice), sono chiamate sue dimensioni. Due parallelepipedi rettangolari aventi dimensioni corrispondentemente uguali sono ovviamente uguali tra loro.
Definizione 10
.Un cubo è un parallelepipedo rettangolare, le cui tre dimensioni sono uguali tra loro, per cui tutte le sue facce sono quadrate. Due cubi i cui bordi sono uguali sono uguali. 
Definizione 11
. Un parallelepipedo inclinato in cui tutti gli spigoli sono uguali tra loro e gli angoli di tutte le facce sono uguali o complementari si chiama romboedro.
Tutte le facce di un romboedro sono rombi uguali. (Alcuni cristalli di grande importanza hanno una forma romboedrica, ad esempio i cristalli di spato islandese.) In un romboedro puoi trovare un vertice (e anche due vertici opposti) tali che tutti gli angoli adiacenti ad esso siano uguali tra loro.
Teorema 4
. Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali tra loro. Il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle tre dimensioni.
Nel parallelepipedo rettangolare ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), le diagonali AC" e BD" sono uguali, poiché il quadrilatero ABC"D" è un rettangolo (la retta AB è perpendicolare al piano ECB" C", in cui si trova BC") .
Inoltre AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 in base al teorema del quadrato dell'ipotenusa. Ma in base allo stesso teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; quindi noi Avere:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
In geometria i concetti chiave sono piano, punto, retta e angolo. Usando questi termini, puoi descrivere qualsiasi figura geometrica. I poliedri sono solitamente descritti in termini di figure più semplici che giacciono sullo stesso piano, come un cerchio, un triangolo, un quadrato, un rettangolo, ecc. In questo articolo vedremo cos'è un parallelepipedo, descriveremo i tipi di parallelepipedi, le sue proprietà, di quali elementi è composto e forniremo anche le formule di base per il calcolo dell'area e del volume per ciascun tipo di parallelepipedo.
Definizione
Un parallelepipedo nello spazio tridimensionale è un prisma, i cui lati sono tutti parallelogrammi. Di conseguenza, può avere solo tre paia di parallelogrammi paralleli o sei facce.
Per visualizzare un parallelepipedo, immagina un normale mattone standard. Un mattone è un buon esempio di parallelepipedo rettangolare che anche un bambino può immaginare. Altri esempi includono case a pannelli a più piani, armadi, contenitori per la conservazione degli alimenti di forma appropriata, ecc.
Varietà di figura
Esistono solo due tipi di parallelepipedi:
- Rettangolare, le cui facce laterali formano un angolo di 90° rispetto alla base e sono rettangolari.
- Inclinato, i cui bordi laterali si trovano ad un certo angolo rispetto alla base.
In quali elementi è possibile suddividere questa figura?
- Come in ogni altra figura geometrica, in un parallelepipedo 2 facce qualsiasi con un bordo comune sono chiamate adiacenti, e quelle che non lo hanno sono parallele (in base alla proprietà del parallelogramma, che ha coppie di lati opposti paralleli).
- I vertici di un parallelepipedo che non giacciono sulla stessa faccia si dicono opposti.
- Il segmento che collega tali vertici è una diagonale.
- Le lunghezze dei tre bordi di un cuboide che si incontrano in un vertice sono le sue dimensioni (cioè lunghezza, larghezza e altezza).
Proprietà della forma
- È sempre costruito simmetricamente rispetto al centro della diagonale.
- Il punto di intersezione di tutte le diagonali divide ciascuna diagonale in due segmenti uguali.
- Le facce opposte hanno la stessa lunghezza e giacciono su linee parallele.
- Se sommi i quadrati di tutte le dimensioni di un parallelepipedo, il valore risultante sarà uguale al quadrato della lunghezza della diagonale.
Formule di calcolo
Le formule per ogni caso particolare di parallelepipedo saranno diverse.
Per un parallelepipedo arbitrario, è vero che il suo volume è uguale al valore assoluto del triplo prodotto scalare dei vettori dei tre lati provenienti da un vertice. Tuttavia, non esiste una formula per calcolare il volume di un parallelepipedo arbitrario.
Per un parallelepipedo rettangolare valgono le seguenti formule:
- V=a*b*c;
- Sb=2*c*(a+b);
- Sp=2*(a*b+b*c+a*c).
- V - volume della figura;
- Sb - superficie laterale;
- Sp - superficie totale;
- a - lunghezza;
- b - larghezza;
- c - altezza.
Un altro caso particolare di parallelepipedo in cui tutti i lati sono quadrati è il cubo. Se uno qualsiasi dei lati del quadrato è indicato dalla lettera a, è possibile utilizzare le seguenti formule per la superficie e il volume di questa figura:
- S=6*a*2;
- V=3*a.
- S - area della figura,
- V è il volume della figura,
- a è la lunghezza del volto della figura.
L'ultimo tipo di parallelepipedo che consideriamo è il parallelepipedo dritto. Qual è la differenza tra un parallelepipedo retto e un cuboide, chiedi. Il fatto è che la base di un parallelepipedo rettangolare può essere qualsiasi parallelogramma, ma la base di un parallelepipedo dritto può essere solo un rettangolo. Se indichiamo il perimetro della base, uguale alla somma delle lunghezze di tutti i lati, come Po, e indichiamo l'altezza con la lettera h, abbiamo il diritto di utilizzare le seguenti formule per calcolare il volume e le aree del totale e superfici laterali.
Definizione
Poliedro chiameremo una superficie chiusa composta da poligoni e che delimita una certa parte dello spazio.
Vengono chiamati i segmenti che costituiscono i lati di questi poligoni costolette poliedro e i poligoni stessi lo sono bordi. I vertici dei poligoni sono chiamati vertici dei poliedri.
Considereremo solo i poliedri convessi (questo è un poliedro che si trova su un lato di ciascun piano contenente la sua faccia).
I poligoni che compongono un poliedro ne formano la superficie. La parte di spazio delimitata da un dato poliedro si chiama interno.
Definizione: prisma
Consideriamo due poligoni uguali \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) situati su piani paralleli in modo che i segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallelo. Un poliedro formato dai poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , nonché dai parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), è chiamato (\(n\)-gonale) prisma.
I poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) sono chiamati basi prismatiche, parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– facce laterali, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- nervature laterali.
Pertanto, i bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali tra loro.
Consideriamo un esempio: un prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), alla cui base si trova un pentagono convesso.
Altezza I prismi sono una perpendicolare lasciata cadere da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra base.
Se i bordi laterali non sono perpendicolari alla base, viene chiamato tale prisma inclinato(Fig. 1), altrimenti – Dritto. In un prisma rettilineo, i bordi laterali sono altezze e le facce laterali sono rettangoli uguali.
Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora si chiama prisma corretto.
Definizione: concetto di volume
L'unità di misura del volume è un cubo unitario (un cubo che misura \(1\times1\times1\) unità\(^3\), dove unità è una determinata unità di misura).
Possiamo dire che il volume di un poliedro è la quantità di spazio che questo poliedro limita. Altrimenti: si tratta di una quantità il cui valore numerico indica quante volte un cubo unitario e le sue parti rientrano in un dato poliedro.
Il volume ha le stesse proprietà dell'area:
1. I volumi di cifre uguali sono uguali.
2. Se un poliedro è composto da più poliedri non intersecanti, il suo volume è uguale alla somma dei volumi di questi poliedri.
3. Il volume è una quantità non negativa.
4. Il volume è misurato in cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), ecc.
Teorema
1. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.
L'area della superficie laterale è la somma delle aree delle facce laterali del prisma.
2. Il volume del prisma è uguale al prodotto dell'area di base e dell'altezza del prisma: \
Definizione: parallelepipedo
Parallelepipedoè un prisma con alla base un parallelogramma.
Tutte le facce del parallelepipedo (ci sono \(6\) : \(4\) facce laterali e \(2\) basi) sono parallelogrammi, e le facce opposte (parallele tra loro) sono parallelogrammi uguali (Fig. 2) .
Diagonale di un parallelepipedoè un segmento che collega due vertici di un parallelepipedo che non giacciono sulla stessa faccia (ce ne sono \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) eccetera.).
Parallelepipedo rettangolareè un parallelepipedo retto con alla base un rettangolo.
Perché Poiché questo è un parallelepipedo retto, le facce laterali sono rettangoli. Ciò significa che in generale tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.
Tutte le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali (questo deriva dall'uguaglianza dei triangoli \(\triangolo ACC_1=\triangolo AA_1C=\triangolo BDD_1=\triangolo BB_1D\) eccetera.).
Commento
Quindi un parallelepipedo ha tutte le proprietà di un prisma.
Teorema
La superficie laterale di un parallelepipedo rettangolare è \
La superficie totale di un parallelepipedo rettangolare è \
Teorema
Il volume di un cuboide è uguale al prodotto dei suoi tre bordi che emergono da un vertice (tre dimensioni del cuboide): \
Prova
Perché In un parallelepipedo rettangolare gli spigoli laterali sono perpendicolari alla base, quindi sono anche le sue altezze, cioè \(h=AA_1=c\) Poiché la base è un rettangolo, quindi \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ecco da dove viene questa formula.
Teorema
La diagonale \(d\) di un parallelepipedo rettangolo si trova utilizzando la formula (dove \(a,b,c\) sono le dimensioni del parallelepipedo) \
Prova
Diamo un'occhiata alla Fig. 3. Perché la base è un rettangolo, quindi \(\triangolo ABD\) è rettangolare, quindi per il teorema di Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Perché tutti gli spigoli laterali sono quindi perpendicolari alle basi \(BB_1\perp (ABC) \Freccia destra BB_1\) perpendicolare a qualsiasi linea retta in questo piano, cioè \(BB_1\perpBD\) . Ciò significa che \(\triangolo BB_1D\) è rettangolare. Quindi, per il teorema di Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Definizione: cubo
Cuboè un parallelepipedo rettangolare le cui facce sono tutte quadrate uguali.
Pertanto, le tre dimensioni sono uguali tra loro: \(a=b=c\) . Quindi è vero quanto segue
Teoremi
1. Il volume di un cubo con bordo \(a\) è uguale a \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. La diagonale del cubo si trova utilizzando la formula \(d=a\sqrt3\) .
3. Superficie totale di un cubo \(S_(\text(cubo intero))=6a^2\).
Tradotto dal greco, parallelogramma significa piano. Un parallelepipedo è un prisma con alla base un parallelogramma. Esistono cinque tipi di parallelogramma: obliquo, dritto e cuboide. Anche il cubo e il romboedro appartengono al parallelepipedo e ne sono la varietà.
Prima di passare ai concetti base diamo alcune definizioni:
- La diagonale di un parallelepipedo è un segmento che unisce i vertici del parallelepipedo opposti tra loro.
- Se due facce hanno uno spigolo in comune allora possiamo chiamarle spigoli adiacenti. Se non esiste un bordo comune, le facce si chiamano opposte.
- Due vertici che non giacciono sulla stessa faccia si dicono opposti.
Quali proprietà ha un parallelepipedo?
- Le facce di un parallelepipedo giacente su lati opposti sono parallele tra loro e uguali tra loro.
- Se disegni diagonali da un vertice all'altro, il punto di intersezione di queste diagonali le dividerà a metà.
- I lati del parallelepipedo che formano lo stesso angolo rispetto alla base saranno uguali. In altre parole, gli angoli dei lati co-diretti saranno uguali tra loro.
Quali tipi di parallelepipedo esistono?
Ora scopriamo che tipo di parallelepipedi ci sono. Come accennato in precedenza, esistono diversi tipi di questa figura: parallelepipedo dritto, rettangolare, inclinato, nonché cubo e romboedro. In cosa differiscono l'uno dall'altro? Riguarda i piani che li formano e gli angoli che formano.
Diamo un'occhiata più in dettaglio a ciascuno dei tipi di parallelepipedo elencati.
- Come si evince già dal nome, un parallelepipedo inclinato ha le facce inclinate, cioè quelle facce che non formano un angolo di 90 gradi rispetto alla base.
- Ma per un parallelepipedo retto l'angolo tra la base e il bordo è esattamente di novanta gradi. È per questo motivo che questo tipo di parallelepipedo ha questo nome.
- Se tutte le facce del parallelepipedo sono quadrati identici, questa figura può essere considerata un cubo.
- Un parallelepipedo rettangolare riceve questo nome a causa dei piani che lo compongono. Se sono tutti rettangoli (inclusa la base), allora questo è un cuboide. Questo tipo di parallelepipedo non si trova molto spesso. Tradotto dal greco, romboedro significa faccia o base. Questo è il nome dato a una figura tridimensionale le cui facce sono rombi.
Formule fondamentali per un parallelepipedo
Il volume di un parallelepipedo è uguale al prodotto dell'area della base per la sua altezza perpendicolare alla base.
L'area della superficie laterale sarà uguale al prodotto del perimetro della base e dell'altezza.
Conoscendo le definizioni e le formule di base, puoi calcolare l'area di base e il volume. La base può essere scelta a tua discrezione. Tuttavia, di norma, come base viene utilizzato un rettangolo.