Come risolvere un sistema di equazioni. Sistemi di equazioni lineari. Come risolvere i sistemi

13.10.2019

Più affidabile del metodo grafico discusso nel paragrafo precedente.

Metodo di sostituzione

Abbiamo usato questo metodo in seconda media per risolvere sistemi di equazioni lineari. L'algoritmo sviluppato in seconda media è abbastanza adatto per risolvere sistemi di due equazioni qualsiasi (non necessariamente lineari) con due variabili xey (ovviamente le variabili possono essere designate con altre lettere, il che non ha importanza). In effetti, abbiamo utilizzato questo algoritmo nel paragrafo precedente, quando il problema di un numero a due cifre ha portato a un modello matematico, ovvero un sistema di equazioni. Abbiamo risolto questo sistema di equazioni sopra usando il metodo di sostituzione (vedi esempio 1 del § 4).

Un algoritmo per utilizzare il metodo di sostituzione quando si risolve un sistema di due equazioni con due variabili x, y.

1. Esprimi y in termini di x da un'equazione del sistema.
2. Sostituisci l'espressione risultante invece di y in un'altra equazione del sistema.
3. Risolvi l'equazione risultante per x.
4. Sostituisci a turno ciascuna delle radici dell'equazione trovata nel terzo passaggio invece di x nell'espressione da y a x ottenuta nel primo passaggio.
5. Scrivi la risposta sotto forma di coppie di valori (x; y), che sono state trovate rispettivamente nel terzo e quarto passaggio.

4) Sostituisci uno per uno ciascuno dei valori trovati di y nella formula x = 5 - 3. Se poi
5) Coppie (2; 1) e soluzioni di un dato sistema di equazioni.

Risposta: (2; 1);

Metodo dell'addizione algebrica

Questo metodo, come il metodo di sostituzione, ti è familiare dal corso di algebra di 7a elementare, dove veniva utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari. Ricordiamo l'essenza del metodo utilizzando il seguente esempio.

Esempio 2. Risolvere il sistema di equazioni

Moltiplichiamo tutti i termini della prima equazione del sistema per 3 e lasciamo invariata la seconda equazione:
Sottrai la seconda equazione del sistema dalla sua prima equazione:

Come risultato della somma algebrica di due equazioni del sistema originale, è stata ottenuta un'equazione più semplice della prima e della seconda equazione del sistema dato. Con questa equazione più semplice abbiamo il diritto di sostituire qualsiasi equazione di un dato sistema, ad esempio la seconda. Quindi il sistema di equazioni dato verrà sostituito da un sistema più semplice:

Questo sistema può essere risolto utilizzando il metodo di sostituzione. Dalla seconda equazione troviamo: Sostituendo questa espressione invece di y nella prima equazione del sistema, otteniamo

Resta da sostituire i valori trovati di x nella formula

Se x = 2 allora

Pertanto, abbiamo trovato due soluzioni al sistema:

Metodo per introdurre nuove variabili

Ti è stato presentato il metodo per introdurre una nuova variabile durante la risoluzione di equazioni razionali con una variabile nel corso di algebra di 8a elementare. L'essenza di questo metodo per risolvere i sistemi di equazioni è la stessa, ma da un punto di vista tecnico ci sono alcune caratteristiche di cui parleremo nei seguenti esempi.

Esempio 3. Risolvere il sistema di equazioni

Introduciamo una nuova variabile, quindi la prima equazione del sistema può essere riscritta in una forma più semplice: risolviamo questa equazione rispetto alla variabile t:

Entrambi questi valori soddisfano la condizione e quindi sono le radici di un'equazione razionale con variabile t. Ma questo significa o dove troviamo che x = 2y, oppure
Pertanto, utilizzando il metodo dell'introduzione di una nuova variabile, siamo riusciti a “stratificare” la prima equazione del sistema, apparentemente piuttosto complessa, in due equazioni più semplici:

x = 2y; y - 2x.

Qual è il prossimo? E poi ciascuna delle due semplici equazioni ottenute deve essere considerata a sua volta in un sistema con l'equazione x 2 - y 2 = 3, che non abbiamo ancora ricordato. In altre parole, il problema si riduce a risolvere due sistemi di equazioni:

Dobbiamo trovare soluzioni al primo sistema, al secondo sistema e includere nella risposta tutte le coppie di valori risultanti. Risolviamo il primo sistema di equazioni:

Usiamo il metodo di sostituzione, soprattutto perché qui è tutto pronto: sostituiamo l'espressione 2y invece di x nella seconda equazione del sistema. Noi abbiamo

Poiché x = 2y, troviamo rispettivamente x 1 = 2, x 2 = 2. Si ottengono così due soluzioni del sistema dato: (2; 1) e (-2; -1). Risolviamo il secondo sistema di equazioni:

Usiamo ancora il metodo di sostituzione: sostituiamo l'espressione 2x invece di y nella seconda equazione del sistema. Noi abbiamo

Questa equazione non ha radici, il che significa che il sistema di equazioni non ha soluzioni. Pertanto è necessario includere nella risposta solo le soluzioni del primo sistema.

Risposta: (2; 1); (-2;-1).

Il metodo per introdurre nuove variabili quando si risolvono sistemi di due equazioni con due variabili viene utilizzato in due versioni. Prima opzione: una nuova variabile viene introdotta e utilizzata in una sola equazione del sistema. Questo è esattamente quello che è successo nell'esempio 3. Seconda opzione: due nuove variabili vengono introdotte e utilizzate contemporaneamente in entrambe le equazioni del sistema. Questo sarà il caso dell’esempio 4.

Esempio 4. Risolvere il sistema di equazioni

Introduciamo due nuove variabili:

Teniamone conto allora

Questo ti permetterà di riscrivere il sistema dato in una forma molto più semplice, ma rispetto alle nuove variabili a e b:

Poiché a = 1, allora dall'equazione a + 6 = 2 troviamo: 1 + 6 = 2; 6=1. Quindi, per quanto riguarda le variabili a e b, abbiamo una soluzione:

Ritornando alle variabili xey, otteniamo un sistema di equazioni

Applichiamo il metodo dell'addizione algebrica per risolvere questo sistema:

Da allora dall'equazione 2x + y = 3 troviamo:
Quindi, per quanto riguarda le variabili xey, abbiamo una soluzione:

Concludiamo questo paragrafo con una conversazione teorica breve ma piuttosto seria. Hai già acquisito una certa esperienza nella risoluzione di varie equazioni: lineari, quadratiche, razionali, irrazionali. Sai che l'idea principale per risolvere un'equazione è passare gradualmente da un'equazione all'altra, più semplice, ma equivalente a quella data. Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto il concetto di equivalenza per equazioni a due variabili. Questo concetto viene utilizzato anche per i sistemi di equazioni.

Definizione.

Due sistemi di equazioni con variabili xey si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni o se entrambi i sistemi non hanno soluzioni.

Tutti e tre i metodi (sostituzione, addizione algebrica e introduzione di nuove variabili) discussi in questa sezione sono assolutamente corretti dal punto di vista dell'equivalenza. In altre parole, utilizzando questi metodi, sostituiamo un sistema di equazioni con un altro, più semplice, ma equivalente al sistema originale.

Metodo grafico per la risoluzione di sistemi di equazioni

Abbiamo già imparato come risolvere sistemi di equazioni in modi comuni e affidabili come il metodo di sostituzione, l'addizione algebrica e l'introduzione di nuove variabili. Ora ricordiamo il metodo che hai già studiato nella lezione precedente. Cioè, ripetiamo ciò che sai sul metodo di soluzione grafica.

Il metodo per risolvere graficamente i sistemi di equazioni prevede la costruzione di un grafico per ciascuna delle equazioni specifiche che sono incluse in un dato sistema e si trovano nello stesso piano di coordinate, nonché dove è necessario trovare le intersezioni dei punti di questi grafici. Per risolvere questo sistema di equazioni servono le coordinate di questo punto (x; y).

Va ricordato che è comune che un sistema grafico di equazioni abbia un'unica soluzione corretta, oppure un numero infinito di soluzioni, oppure non abbia alcuna soluzione.

Ora esaminiamo ciascuna di queste soluzioni in modo più dettagliato. E quindi, un sistema di equazioni può avere un’unica soluzione se le linee che costituiscono i grafici delle equazioni del sistema si intersecano. Se queste rette sono parallele, allora un tale sistema di equazioni non ha assolutamente soluzioni. Se i grafici diretti delle equazioni del sistema coincidono, allora un tale sistema consente di trovare molte soluzioni.

Bene, ora diamo un'occhiata all'algoritmo per risolvere un sistema di due equazioni in 2 incognite utilizzando un metodo grafico:

Per prima cosa costruiamo un grafico della prima equazione;
Il secondo passo sarà costruire un grafico relativo alla seconda equazione;
In terzo luogo, dobbiamo trovare i punti di intersezione dei grafici.
Di conseguenza, otteniamo le coordinate di ciascun punto di intersezione, che sarà la soluzione al sistema di equazioni.

Diamo un'occhiata a questo metodo in modo più dettagliato utilizzando un esempio. Ci viene dato un sistema di equazioni che deve essere risolto:

Risoluzione di equazioni

1. Innanzitutto, costruiremo un grafico di questa equazione: x2+y2=9.

Ma va notato che questo grafico delle equazioni sarà un cerchio con un centro nell'origine e il suo raggio sarà uguale a tre.

2. Il prossimo passo sarà rappresentare graficamente un'equazione come: y = x – 3.

In questo caso dobbiamo costruire una retta e trovare i punti (0;−3) e (3;0).

3. Vediamo cosa abbiamo ottenuto. Vediamo che la retta interseca il cerchio in due dei suoi punti A e B.

Ora cerchiamo le coordinate di questi punti. Vediamo che le coordinate (3;0) corrispondono al punto A e le coordinate (0;−3) corrispondono al punto B.

E cosa otteniamo di conseguenza?

I numeri (3;0) e (0;−3) ottenuti quando la retta interseca il cerchio sono proprio le soluzioni di entrambe le equazioni del sistema. E da ciò ne consegue che questi numeri sono anche soluzioni di questo sistema di equazioni.

Cioè, la risposta a questa soluzione sono i numeri: (3;0) e (0;−3).

In questa lezione esamineremo i metodi per risolvere un sistema di equazioni lineari. In un corso di matematica superiore, i sistemi di equazioni lineari devono essere risolti sia sotto forma di compiti separati, ad esempio "Risolvi il sistema usando le formule di Cramer", sia nel corso della risoluzione di altri problemi. I sistemi di equazioni lineari devono essere trattati in quasi tutti i rami della matematica superiore.

Innanzitutto, una piccola teoria. Cosa significa la parola matematica “lineare” in questo caso? Ciò significa che le equazioni del sistema Tutto variabili incluse nel primo grado: senza cose fantasiose come ecc., di cui sono entusiasti solo i partecipanti alle Olimpiadi della matematica.

Nella matematica superiore, per denotare variabili non vengono utilizzate solo le lettere familiari fin dall'infanzia.
Un'opzione abbastanza popolare sono le variabili con indici: .
Oppure le lettere iniziali dell'alfabeto latino, piccole e grandi:
Non è così raro trovare lettere greche: – note a molti come “alfa, beta, gamma”. E anche un insieme con indici, diciamo, con la lettera “mu”:

L'uso dell'uno o dell'altro insieme di lettere dipende dalla sezione della matematica superiore in cui ci troviamo di fronte a un sistema di equazioni lineari. Quindi, ad esempio, nei sistemi di equazioni lineari incontrati quando si risolvono integrali ed equazioni differenziali, è tradizionale utilizzare la notazione

Ma non importa come vengono designate le variabili, i principi, i metodi e i metodi per risolvere un sistema di equazioni lineari non cambiano. Quindi, se ti imbatti in qualcosa di spaventoso come , non affrettarti a chiudere il libro dei problemi per la paura, dopo tutto, puoi invece disegnare il sole, un uccello e una faccia (l'insegnante). E, per quanto possa sembrare strano, è possibile risolvere anche un sistema di equazioni lineari con queste notazioni.

Ho la sensazione che l'articolo risulterà piuttosto lungo, quindi un piccolo sommario. Quindi, il “debriefing” sequenziale sarà così:

– Risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione (“metodo scolastico”);
– Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema;
– Soluzione del sistema utilizzando le formule di Cramer;
– Risolvere il sistema utilizzando una matrice inversa;
– Risoluzione del sistema utilizzando il metodo gaussiano.

Tutti hanno familiarità con i sistemi di equazioni lineari dei corsi di matematica scolastica. In sostanza, iniziamo con la ripetizione.

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione

Questo metodo può anche essere chiamato “metodo scolastico” o metodo per eliminare le incognite. In senso figurato, può anche essere chiamato “un metodo gaussiano incompiuto”.

Esempio 1

Qui abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite. Nota che i termini liberi (numeri 5 e 7) si trovano sul lato sinistro dell'equazione. In generale non importa dove sono, a sinistra o a destra, è solo che nei problemi di matematica superiore spesso si trovano così. E una tale registrazione non dovrebbe creare confusione; se necessario, il sistema può sempre essere scritto “come al solito”: . Non dimenticare che quando si sposta un termine da una parte all’altra è necessario cambiare segno.

Cosa significa risolvere un sistema di equazioni lineari? Risolvere un sistema di equazioni significa trovare molte delle sue soluzioni. La soluzione di un sistema è un insieme di valori di tutte le variabili in esso incluse, che trasforma OGNI equazione del sistema in una vera uguaglianza. Inoltre, il sistema può essere non congiunto (non ho soluzioni).Non essere timido, questa è una definizione generale =) Avremo solo un valore “x” e un valore “y”, che soddisfano ciascuna equazione c-we.

Esiste un metodo grafico per risolvere il sistema, con il quale potrai familiarizzare in classe. I problemi più semplici con una linea. Là ne ho parlato senso geometrico sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Ma ora questa è l’era dell’algebra, dei numeri-numeri, delle azioni-azioni.

Decidiamo: dalla prima equazione esprimiamo:
Sostituiamo l'espressione risultante nella seconda equazione:

Apriamo le parentesi, aggiungiamo termini simili e troviamo il valore:

Successivamente, ricordiamo per cosa abbiamo ballato:
Conosciamo già il valore, non resta che trovare:

Risposta:

Dopo che QUALSIASI sistema di equazioni è stato risolto in QUALSIASI modo, consiglio vivamente di verificare (oralmente, su una bozza o su una calcolatrice). Fortunatamente, questo viene fatto facilmente e rapidamente.

1) Sostituisci la risposta trovata nella prima equazione:

– si ottiene l’uguaglianza corretta.

2) Sostituisci la risposta trovata nella seconda equazione:

– si ottiene l’uguaglianza corretta.

O, per dirla più semplicemente, “tutto è andato per il verso giusto”

Il metodo di soluzione considerato non è l'unico; dalla prima equazione era possibile esprimere , e non .
Puoi fare il contrario: esprimere qualcosa dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima equazione. A proposito, nota che il più svantaggioso dei quattro metodi è esprimere dalla seconda equazione:

Il risultato sono frazioni, ma perché? Esiste una soluzione più razionale.

Tuttavia, in alcuni casi non puoi ancora fare a meno delle frazioni. A questo proposito vorrei attirare la vostra attenzione su COME ho scritto l'espressione. Non così: e in nessun caso così: .

Se nella matematica superiore hai a che fare con numeri frazionari, prova a eseguire tutti i calcoli con frazioni improprie ordinarie.

Esatto, e no o!

Una virgola può essere utilizzata solo occasionalmente, in particolare se è la risposta definitiva a qualche problema, e non è necessario eseguire ulteriori azioni con questo numero.

Molti lettori probabilmente hanno pensato “perché con una spiegazione così dettagliata come per una lezione di correzione, tutto è chiaro”. Niente del genere, sembra un esempio scolastico così semplice, ma ci sono così tante conclusioni MOLTO importanti! Eccone un altro:

Dovresti sforzarti di completare qualsiasi attività nel modo più razionale. Se non altro perché fa risparmiare tempo e nervi e riduce anche la probabilità di commettere un errore.

Se in un problema di matematica superiore ti imbatti in un sistema di due equazioni lineari in due incognite, puoi sempre utilizzare il metodo di sostituzione (a meno che non sia indicato che il sistema deve essere risolto con un altro metodo). pensi di essere un idiota e ridurrai il tuo voto per aver utilizzato il “metodo scolastico” "
Inoltre in alcuni casi è consigliabile utilizzare il metodo di sostituzione con un numero maggiore di variabili.

Esempio 2

Risolvere un sistema di equazioni lineari in tre incognite

Un sistema simile di equazioni si presenta spesso quando si utilizza il cosiddetto metodo dei coefficienti indefiniti, quando troviamo l'integrale di una funzione razionale frazionaria. Il sistema in questione è stato preso da lì da me.

Quando si trova l'integrale, l'obiettivo è veloce trovare i valori dei coefficienti, anziché utilizzare le formule di Cramer, il metodo della matrice inversa, ecc. Pertanto, in questo caso, il metodo di sostituzione è appropriato.

Quando viene fornito un sistema di equazioni, prima di tutto è auspicabile scoprire se è possibile in qualche modo semplificarlo IMMEDIATAMENTE? Analizzando le equazioni del sistema notiamo che la seconda equazione del sistema può essere divisa per 2, ovvero ciò che facciamo:

Riferimento: il segno matematico significa “da questo segue quello” ed è spesso utilizzato nella risoluzione dei problemi.

Ora analizziamo le equazioni; dobbiamo esprimere alcune variabili in termini delle altre. Quale equazione dovrei scegliere? Probabilmente hai già intuito che il modo più semplice per questo scopo è prendere la prima equazione del sistema:

Qui, non importa quale variabile esprimere, si potrebbe altrettanto facilmente esprimere o .

Successivamente, sostituiamo l'espressione for nella seconda e terza equazione del sistema:

Apriamo le parentesi e presentiamo termini simili:

Dividi la terza equazione per 2:

Dalla seconda equazione esprimiamo e sostituiamo nella terza equazione:

Quasi tutto è pronto, dalla terza equazione troviamo:
Dalla seconda equazione:
Dalla prima equazione:

Verifica: sostituisci i valori trovati delle variabili nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:

1)
2)
3)

Si ottengono i corrispondenti membri destri delle equazioni, quindi la soluzione viene trovata correttamente.

Esempio 3

Risolvi un sistema di equazioni lineari con 4 incognite

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema

Quando risolvi sistemi di equazioni lineari, dovresti provare a utilizzare non il "metodo scolastico", ma il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema. Perché? Ciò fa risparmiare tempo e semplifica i calcoli, tuttavia ora tutto diventerà più chiaro.

Esempio 4

Risolvere un sistema di equazioni lineari:

Ho preso lo stesso sistema del primo esempio.
Analizzando il sistema di equazioni, notiamo che i coefficienti della variabile sono identici in grandezza e opposti in segno (–1 e 1). In una situazione del genere, le equazioni possono essere aggiunte termine per termine:

Le azioni cerchiate in rosso vengono eseguite MENTALMENTE.
Come puoi vedere, come risultato dell'addizione termine per termine, abbiamo perso la variabile. Questo, in effetti, è cosa l'essenza del metodo è eliminare una delle variabili.

Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:

1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.

Risolvere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine bisogno di:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.

La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.

Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.

Esempio 1:

Risolviamo con il metodo di sostituzione

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione

2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)

1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y

2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1

3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è formato da xey.Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso sostituiamo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)

Esempio n.2:

Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione

3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)

1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x. Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)

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Sistemi di equazioni lineari.

Un sistema di equazioni si dice lineare se tutte le equazioni incluse nel sistema sono lineari. È consuetudine scrivere un sistema di equazioni utilizzando parentesi graffe, ad esempio:

Definizione:Viene detta una coppia di valori variabili che rende ogni equazione a due variabili inclusa nel sistema una vera uguaglianza risolvere un sistema di equazioni.

Risolvi il sistema- significa trovare tutte le sue soluzioni o dimostrare che non esistono soluzioni.

Quando si risolve un sistema di equazioni lineari, sono possibili i seguenti tre casi:

il sistema non ha soluzioni;

il sistema ha esattamente una soluzione;

il sistema ha infinite soluzioni.
IO . Risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione.

Questo metodo può anche essere chiamato “metodo di sostituzione” o metodo di eliminazione delle incognite.

Qui abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite. Nota che i termini liberi (numeri -5 e -7) si trovano sul lato sinistro dell'equazione. Scriviamo il sistema nella forma consueta.

Non dimenticare che quando si sposta un termine da una parte all’altra è necessario cambiare segno.

Cosa significa risolvere un sistema di equazioni lineari? Risolvere un sistema di equazioni significa trovare valori di variabili tali che trasformino ciascuna equazione del sistema in un'uguaglianza corretta. Questa affermazione è vera per qualsiasi sistema di equazioni con un qualsiasi numero di incognite.

Decidiamo.

Dalla prima equazione del sistema esprimiamo:

. Questa è una sostituzione.

Sostituiamo l'espressione risultante nella seconda equazione del sistema al posto della variabile

Risolviamo questa equazione per una variabile.
Apri le parentesi, aggiungi termini simili e trova il valore :

4) Successivamente torniamo alla sostituzione per calcolare il valore .Conosciamo già il valore, non resta che trovare:

5) Coppia
è l’unica soluzione per un dato sistema.

Risposta: (2.4; 2.2).

Dopo aver risolto in qualsiasi modo qualsiasi sistema di equazioni, consiglio vivamente di verificarlo su una bozza. Questo viene fatto facilmente e rapidamente.

1) Sostituisci la risposta trovata alla prima equazione:

– si ottiene l’uguaglianza corretta.

2) Sostituisci la risposta trovata nella seconda equazione:

– si ottiene l’uguaglianza corretta.

Il metodo di soluzione considerato non è l'unico; dalla prima equazione era possibile esprimere , e non .

Puoi fare il contrario: esprimere qualcosa dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima equazione. Tuttavia, è necessario valutare la sostituzione in modo che contenga il minor numero possibile di espressioni frazionarie. Il più svantaggioso dei quattro modi è esprimere dalla seconda o dalla prima equazione:

O

Tuttavia, in alcuni casi non puoi ancora fare a meno delle frazioni. Dovresti sforzarti di completare qualsiasi attività nel modo più razionale. Ciò fa risparmiare tempo e riduce anche la probabilità di commettere errori.
Esempio 2

Risolvere un sistema di equazioni lineari

II. Risolvere il sistema utilizzando il metodo dell'addizione (sottrazione) algebrica delle equazioni del sistema

Quando si risolvono sistemi di equazioni lineari, è possibile utilizzare non il metodo di sostituzione, ma il metodo di addizione (sottrazione) algebrica delle equazioni del sistema. Questo metodo fa risparmiare tempo e semplifica i calcoli, però ora tutto diventerà più chiaro.

Risolvere un sistema di equazioni lineari:

Prendiamo lo stesso sistema del primo esempio.

1) Analizzando il sistema di equazioni, notiamo che i coefficienti della variabile y sono identici in grandezza e opposti in segno (–1 e 1). In una situazione del genere, le equazioni possono essere aggiunte termine per termine:

2) Risolviamo questa equazione per una variabile.

Come puoi vedere, come risultato dell'addizione termine per termine, abbiamo perso la variabile. Questa, in effetti, è l'essenza del metodo: eliminare una delle variabili.

3) Adesso è tutto semplice:
– sostituisci nella prima equazione del sistema (puoi anche nella seconda):

La soluzione finale dovrebbe assomigliare a questa:

Risposta: (2.4; 2.2).

Esempio 4

Risolvere un sistema di equazioni lineari:

In questo esempio possiamo utilizzare il metodo di sostituzione, ma il grande svantaggio è che quando esprimiamo una variabile da qualsiasi equazione, otterremo una soluzione in frazioni ordinarie. A poche persone piace lavorare con le frazioni, il che significa che è una perdita di tempo e c’è un’alta probabilità di commettere un errore.

Pertanto, è consigliabile utilizzare l'addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni. Analizziamo i coefficienti per le variabili corrispondenti:

Come vediamo, i numeri nelle coppie (14 e 7), (-9 e –2) sono diversi, quindi, se aggiungiamo (sottraiamo) le equazioni in questo momento, non elimineremo la variabile. Pertanto, vorrei vedere in una delle coppie numeri identici in valore assoluto, ad esempio 14 e -14 o 18 e –18.

Considereremo i coefficienti della variabile.

14x – 9y = 24;

7x – 2y = 17.
Selezioniamo un numero divisibile sia per 14 che per 7 e dovrebbe essere il più piccolo possibile. In matematica, questo numero è chiamato minimo comune multiplo. Se trovi difficile selezionare, puoi semplicemente moltiplicare i coefficienti.

Moltiplichiamo la seconda equazione per 14: 7 =2.

Di conseguenza:

Ora sottraiamo la seconda dalla prima equazione termine per termine.

Va notato che si potrebbe fare il contrario: sottrarre la prima dalla seconda equazione, questo non cambia nulla.

Ora sostituiamo il valore trovato in una delle equazioni del sistema, ad esempio nella prima:

Risposta: (3:2)

Risolviamo il sistema in un modo diverso. Consideriamo i coefficienti della variabile.

14x – 9y = 24;

7x – 2y = 17.

Ovviamente, invece di una coppia di coefficienti (-9 e –3), dobbiamo ottenere 18 e –18.

Per fare ciò, moltiplica la prima equazione per (-2), moltiplica la seconda equazione per 9:

Sommiamo le equazioni termine per termine e troviamo i valori delle variabili:

Ora sostituiamo il valore trovato di x in una delle equazioni del sistema, ad esempio nella prima:

Risposta: (3:2)

Il secondo metodo è in qualche modo più razionale del primo, poiché aggiungere è più facile e più piacevole che sottrarre. Molto spesso, quando si risolvono i sistemi, si tende ad aggiungere e moltiplicare piuttosto che a sottrarre e dividere.
Esempio 5

Risolvere un sistema di equazioni lineari:

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).
Esempio 6.

Risolvere il sistema di equazioni

Soluzione. Il sistema non ha soluzioni, poiché due equazioni del sistema non possono essere soddisfatte contemporaneamente (dalla prima equazione
e dal secondo

Risposta: Non ci sono soluzioni.
Esempio 7.

risolvere il sistema di equazioni

Soluzione. Il sistema ha infinite soluzioni, poiché la seconda equazione si ottiene dalla prima moltiplicando per 2 (vale a dire, infatti, esiste una sola equazione con due incognite).

Risposta: Esistono infinite soluzioni.
III. Risoluzione del sistema mediante matrici.

Il determinante di questo sistema è un determinante composto da coefficienti per le incognite. Questo determinante

Un sistema di equazioni lineari è un'unione di n equazioni lineari, ciascuna contenente k variabili. E' scritto così:

Molti, quando incontrano per la prima volta l'algebra superiore, credono erroneamente che il numero di equazioni debba necessariamente coincidere con il numero di variabili. Nell'algebra scolastica questo di solito accade, ma per l'algebra superiore generalmente non è vero.

La soluzione di un sistema di equazioni è una sequenza di numeri (k 1, k 2, ..., k n), che è la soluzione di ciascuna equazione del sistema, cioè quando si sostituisce in questa equazione invece delle variabili x 1, x 2, ..., x n si ottiene l'uguaglianza numerica corretta.

Di conseguenza, risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo insieme è vuoto. Poiché il numero di equazioni e il numero di incognite potrebbero non coincidere, sono possibili tre casi:

Il sistema è incoerente, cioè l'insieme di tutte le soluzioni è vuoto. Un caso piuttosto raro che viene facilmente rilevato indipendentemente dal metodo utilizzato per risolvere il sistema.
Il sistema è coerente e determinato, vale a dire ha esattamente una soluzione. La versione classica, conosciuta fin dai tempi della scuola.
Il sistema è coerente e indefinito, vale a dire ha infinite soluzioni. Questa è l'opzione più difficile. Non è sufficiente indicare che “il sistema ha un insieme infinito di soluzioni” – è necessario descrivere come è strutturato questo insieme.

Una variabile x i si dice ammessa se è compresa in una sola equazione del sistema, e con coefficiente pari a 1. In altre parole, in altre equazioni il coefficiente della variabile x i deve essere uguale a zero.

Se selezioniamo una variabile consentita in ciascuna equazione, otteniamo un insieme di variabili consentite per l'intero sistema di equazioni. Anche il sistema stesso, scritto in questa forma, si dirà risolto. In generale, uno stesso sistema originario può essere ridotto a diversi consentiti, ma per ora questo non ci preoccupa. Ecco alcuni esempi di sistemi consentiti:

Entrambi i sistemi sono risolti rispetto alle variabili x 1 , x 3 e x 4 . Tuttavia, con lo stesso successo si può sostenere che il secondo sistema è risolto rispetto a x 1, x 3 e x 5. È sufficiente riscrivere l'ultima equazione nella forma x 5 = x 4.

Consideriamo ora un caso più generale. Abbiamo k variabili in totale, di cui r consentite. Allora sono possibili due casi:

Il numero di variabili consentite r è uguale al numero totale di variabili k: r = k. Otteniamo un sistema di k equazioni in cui r = k variabili ammesse. Un tale sistema è congiunto e definito, perché x1 = b1, x2 = b2, ..., xk = bk;
Il numero di variabili consentite r è inferiore al numero totale di variabili k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Quindi, nei sistemi precedenti, le variabili x 2, x 5, x 6 (per il primo sistema) e x 2, x 5 (per il secondo) sono libere. Il caso in cui ci sono variabili libere è meglio formulato come teorema:

Nota: questo è un punto molto importante! A seconda di come si scrive il sistema risultante, la stessa variabile può essere consentita o libera. La maggior parte degli insegnanti di matematica di livello superiore consiglia di scrivere le variabili in ordine lessicografico, ad es. indice ascendente. Tuttavia, non hai alcun obbligo di seguire questo consiglio.

Teorema. Se in un sistema di n equazioni sono ammesse le variabili x 1, x 2, ..., x r, e x r + 1, x r + 2, ..., x k sono libere, allora:

Se impostiamo i valori delle variabili libere (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), e poi troviamo i valori x 1, x 2, ..., x r, otteniamo una delle decisioni.

Se in due soluzioni coincidono i valori delle variabili libere, allora coincidono anche i valori delle variabili ammesse, cioè le soluzioni sono uguali.

Qual è il significato di questo teorema? Per ottenere tutte le soluzioni di un sistema di equazioni risolto è sufficiente isolare le variabili libere. Quindi, assegnando valori diversi alle variabili libere, otterremo soluzioni già pronte. Questo è tutto: in questo modo puoi ottenere tutte le soluzioni del sistema. Non ci sono altre soluzioni.

Conclusione: il sistema di equazioni risolto è sempre coerente. Se il numero di equazioni in un sistema risolto è uguale al numero di variabili, il sistema sarà definito; se inferiore, sarà indefinito.

E tutto andrebbe bene, ma sorge la domanda: come ottenerne uno risolto dal sistema di equazioni originale? Per questo c'è