Che aspetto ha la forma di un cilindro? Abstract di base sulla geometria sul tema "cilindro"

Il cilindro (cilindro circolare) è un corpo costituito da due cerchi, combinati mediante traslazione parallela, e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi cerchi. I cerchi si chiamano basi del cilindro, mentre i segmenti che collegano i punti corrispondenti delle circonferenze dei cerchi si chiamano generatrici del cilindro.

Le basi del cilindro sono uguali e giacciono su piani paralleli, e le generatrici del cilindro sono parallele e uguali. La superficie del cilindro è costituita dalla base e dalla superficie laterale. La superficie laterale è costituita da generatrici.

Un cilindro si dice rettilineo se le sue generatrici sono perpendicolari ai piani della base. Un cilindro può essere considerato un corpo ottenuto facendo ruotare come asse un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Esistono altri tipi di cilindri: ellittico, iperbolico, parabolico. Un prisma è anche considerato un tipo di cilindro.

La Figura 2 mostra un cilindro inclinato. Le circonferenze di centro O e O 1 sono le sue basi.

Il raggio di un cilindro è il raggio della sua base. L'altezza del cilindro è la distanza tra i piani delle basi. L'asse di un cilindro è una retta passante per i centri delle basi. È parallelo ai generatori. La sezione trasversale di un cilindro con un piano passante per l'asse del cilindro è chiamata sezione assiale. Il piano passante per la generatrice di un cilindro rettilineo e perpendicolare alla sezione assiale tracciata attraverso tale generatrice è chiamato piano tangente al cilindro.

Un piano perpendicolare all'asse del cilindro ne interseca la superficie laterale lungo una circonferenza uguale alla circonferenza della base.

Un prisma inscritto in un cilindro è un prisma le cui basi sono poligoni uguali inscritti nelle basi del cilindro. Le sue nervature laterali formano il cilindro. Un prisma si dice circoscritto ad un cilindro se le sue basi sono poligoni uguali circoscritti alle basi del cilindro. I piani delle sue facce toccano la superficie laterale del cilindro.

La superficie laterale di un cilindro può essere calcolata moltiplicando la lunghezza della generatrice per il perimetro della sezione del cilindro mediante un piano perpendicolare alla generatrice.

La superficie laterale di un cilindro rettilineo può essere trovata dal suo sviluppo. Lo sviluppo di un cilindro è un rettangolo di altezza h e lunghezza P, che è uguale al perimetro della base. Pertanto l'area della superficie laterale del cilindro è pari all'area del suo sviluppo e si calcola con la formula:

In particolare, per un cilindro circolare retto:

P = 2πR e Sb = 2πRh.

La superficie totale di un cilindro è pari alla somma delle aree della sua superficie laterale e delle sue basi.

Per un cilindro circolare diritto:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Esistono due formule per trovare il volume di un cilindro inclinato.

Puoi trovare il volume moltiplicando la lunghezza della generatrice per l'area della sezione trasversale del cilindro mediante un piano perpendicolare alla generatrice.

Il volume di un cilindro inclinato è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza (la distanza tra i piani su cui giacciono le basi):

V = Sh = S l sin α,

dove l è la lunghezza della generatrice e α è l'angolo tra la generatrice e il piano della base. Per un cilindro diritto h = l.

La formula per trovare il volume di un cilindro circolare è la seguente:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

dove d è il diametro della base.

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Il nome della scienza “geometria” è tradotto come “misurazione della terra”. Ha avuto origine grazie agli sforzi dei primissimi antichi gestori del territorio. E così avvenne: durante le piene del sacro Nilo, i corsi d’acqua a volte spazzavano via i confini degli appezzamenti contadini, e i nuovi confini potevano non coincidere con quelli vecchi. Le tasse venivano pagate dai contadini al tesoro del faraone in proporzione alla dimensione della terra assegnata. Persone speciali sono state coinvolte nella misurazione delle aree di terreno coltivabile all'interno dei nuovi confini dopo la fuoriuscita. Fu come risultato delle loro attività che nacque una nuova scienza, sviluppata nell'antica Grecia. Lì ricevette il suo nome e acquisì un aspetto quasi moderno. Successivamente il termine divenne un nome internazionale per la scienza delle figure piatte e tridimensionali.

La planimetria è una branca della geometria che si occupa dello studio delle figure piane. Un'altra branca della scienza è la stereometria, che esamina le proprietà delle figure spaziali (volumetriche). Tali figure includono quella descritta in questo articolo: un cilindro.

Gli esempi della presenza di oggetti cilindrici nella vita di tutti i giorni non mancano. Quasi tutte le parti rotanti - alberi, boccole, perni, assi, ecc. - hanno una forma cilindrica (molto meno spesso conica). Il cilindro trova largo impiego anche in edilizia: torri, colonne di sostegno, colonne decorative. E anche stoviglie, alcune tipologie di imballaggi, tubi di vario diametro. E infine: i famosi cappelli, da tempo diventati un simbolo dell'eleganza maschile. La lista potrebbe continuare all'infinito.

Definizione di cilindro come figura geometrica

Un cilindro (cilindro circolare) viene solitamente chiamato una figura composta da due cerchi che, se lo si desidera, vengono combinati utilizzando la traslazione parallela. Questi cerchi sono le basi del cilindro. Ma le linee (segmenti retti) che collegano i punti corrispondenti sono chiamate “generatori”.

È importante che le basi del cilindro siano sempre uguali (se questa condizione non è soddisfatta, allora abbiamo un tronco di cono, qualcos'altro, ma non un cilindro) e siano su piani paralleli. I segmenti che collegano i punti corrispondenti sui cerchi sono paralleli e uguali.

L'insieme di un numero infinito di elementi formanti non è altro che la superficie laterale del cilindro, uno degli elementi di una determinata figura geometrica. L'altra sua componente importante sono i cerchi discussi sopra. Si chiamano basi.

Tipi di cilindri

Il tipo di cilindro più semplice e più comune è circolare. È formato da due cerchi regolari che fungono da basi. Ma al posto di loro potrebbero esserci altre figure.

Le basi dei cilindri possono formare (oltre ai cerchi) ellissi e altre figure chiuse. Ma il cilindro non può necessariamente avere una forma chiusa. Ad esempio, la base di un cilindro può essere una parabola, un'iperbole o un'altra funzione aperta. Tale cilindro sarà aperto o distribuito.

A seconda dell'angolo di inclinazione i cilindri costituenti le basi possono essere diritti o inclinati. In un cilindro rettilineo le generatrici sono strettamente perpendicolari al piano della base. Se questo angolo è diverso da 90° il cilindro è inclinato.

Cos'è una superficie di rivoluzione

Il cilindro circolare rettilineo è senza dubbio la superficie di rotazione più comunemente utilizzata in ingegneria. A volte, per motivi tecnici, vengono utilizzate superfici coniche, sferiche e altri tipi di superfici, ma il 99% di tutti gli alberi rotanti, assi, ecc. sono realizzati sotto forma di cilindri. Per comprendere meglio cos'è una superficie di rivoluzione, possiamo considerare come è formato il cilindro stesso.

Diciamo che esiste una certa linea retta UN, posizionato verticalmente. ABCD è un rettangolo, uno dei cui lati (segmento AB) giace su una linea UN. Se ruotiamo un rettangolo attorno ad una linea retta, come mostrato in figura, il volume che occuperà ruotando sarà il nostro corpo di rivoluzione: un cilindro circolare retto con altezza H = AB = DC e raggio R = AD = BC.

In questo caso, ruotando la figura - un rettangolo - si ottiene un cilindro. Ruotando un triangolo puoi ottenere un cono, ruotando un semicerchio - una palla, ecc.

Superficie del cilindro

Per calcolare l'area superficiale di un ordinario cilindro circolare retto è necessario calcolare le aree delle basi e delle superfici laterali.

Per prima cosa, vediamo come viene calcolata la superficie laterale. Questo è il prodotto della circonferenza del cilindro per l'altezza del cilindro. La circonferenza, a sua volta, è pari al doppio del prodotto del numero universale P dal raggio del cerchio.

È noto che l'area di un cerchio è uguale al prodotto P per raggio quadrato. Quindi, sommando le formule per l'area della superficie laterale con la doppia espressione per l'area della base (ce ne sono due) ed eseguendo semplici trasformazioni algebriche, otteniamo l'espressione finale per determinare l'area della superficie del cilindro.

Determinazione del volume di una figura

Il volume di un cilindro si determina secondo lo schema standard: la superficie della base viene moltiplicata per l'altezza.

Pertanto, la formula finale è simile alla seguente: il valore desiderato è definito come il prodotto dell'altezza del corpo per il numero universale P e dal quadrato del raggio della base.

La formula risultante, va detto, è applicabile alla risoluzione dei problemi più inaspettati. Allo stesso modo del volume del cilindro, ad esempio, viene determinato il volume del cablaggio elettrico. Ciò potrebbe essere necessario per calcolare la massa dei fili.

L'unica differenza nella formula è che al posto del raggio di un cilindro c'è il diametro del filo diviso a metà e nell'espressione appare il numero di fili del filo N. Inoltre, invece dell'altezza, viene utilizzata la lunghezza del filo. In questo modo, il volume del “cilindro” viene calcolato non solo da uno, ma dal numero di fili nella treccia.

Tali calcoli sono spesso richiesti nella pratica. Dopotutto, una parte significativa dei contenitori dell'acqua è realizzata sotto forma di tubo. E spesso è necessario calcolare il volume di una bombola anche in ambito domestico.

Tuttavia, come già accennato, la forma del cilindro può essere diversa. E in alcuni casi è necessario calcolare qual è il volume di un cilindro inclinato.

La differenza è che la superficie della base non viene moltiplicata per la lunghezza della generatrice, come nel caso di un cilindro rettilineo, ma per la distanza tra i piani, un segmento perpendicolare costruito tra loro.

Come si può vedere dalla figura, tale segmento è uguale al prodotto della lunghezza della generatrice e del seno dell'angolo di inclinazione della generatrice rispetto al piano.

Come costruire uno sviluppo del cilindro

In alcuni casi è necessario ritagliare una risma dal cilindro. La figura seguente mostra le regole in base alle quali viene costruito un pezzo grezzo per la fabbricazione di un cilindro con una determinata altezza e diametro.

Si prega di notare che il disegno è mostrato senza cuciture.

Differenze tra un cilindro smussato

Immaginiamo un certo cilindro diritto, delimitato su un lato da un piano perpendicolare ai generatori. Ma il piano che delimita il cilindro dall'altra parte non è perpendicolare alle generatrici e non è parallelo al primo piano.

La figura mostra un cilindro smussato. Aereo UN con un certo angolo, diverso da 90° rispetto alle generatrici, interseca la figura.

Questa forma geometrica si trova più spesso nella pratica sotto forma di collegamenti di tubazioni (gomiti). Ma ci sono anche edifici costruiti a forma di cilindro smussato.

Caratteristiche geometriche di un cilindro smussato

L'inclinazione di uno dei piani di un cilindro smussato modifica leggermente la procedura per calcolare sia la superficie di tale figura che il suo volume.

Cilindro

sicuramente Un cilindro è un corpo costituito da due cerchi uniti

traslazione parallela e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti

questi cerchi.

I cerchi sono chiamati basi del cilindro, e i segmenti che collegano i punti corrispondenti dei cerchi di questi cerchi sono chiamati generatori del cilindro (Fig. 1)

riso. 1 foto. 2 fig. 3 fig. 4

Proprietà del cilindro:

1) Le basi del cilindro sono uguali e giacciono su piani paralleli.

2) Le generatrici del cilindro sono uguali e parallele.

sicuramente Il raggio di un cilindro è il raggio della sua base.

sicuramente L'altezza di un cilindro è la distanza tra i piani delle sue basi.

sicuramente La sezione trasversale di un cilindro con un piano passante per l'asse del cilindro è detta sezione assiale.

La sezione assiale del cilindro è un rettangolo con i lati 2R e l(in un cilindro dritto l=N)fig. 2

La sezione trasversale del cilindro, parallela al suo asse, è rettangolare (Fig. 3).

Sezione di un cilindro secondo un piano parallelo alle basi - un cerchio uguale alle basi (Fig. 4)

Area superficiale di un cilindro.

La superficie laterale del cilindro è costituita da generatrici.

La superficie completa del cilindro è costituita dalle basi e dalla superficie laterale.

S pieno = 2 S di base + S lato ; S di base = P ∙ R 2 ; S lato = 2 P ∙ R ∙HS pieno = 2PR ∙(R +N)

Parte pratica:

№1. Il raggio del cilindro è 3 cm e la sua altezza è 5 cm. Trova l'area della sezione assiale e l'area della semi-

sulla superficie del cilindro.

№2. La diagonale della sezione assiale del cilindro è inclinata rispetto al piano di base secondo un angolo
ed è pari a 20 cm Trova l'area della superficie laterale del cilindro.

№3. Il raggio del cilindro è 2 cm e la sua altezza è 3 cm. Trova la diagonale della sezione assiale del cilindro.

№4. La diagonale della sezione assiale del cilindro è uguale a
, forma un angolo con il piano della base
. Trova l'area della superficie laterale del cilindro.

№5. La superficie laterale del cilindro è 15 . Trova l'area della sezione trasversale assiale.

№6. Trova l'altezza del cilindro se l'area della sua base è 1 e lato S =
.

№7. La diagonale della sezione assiale del cilindro ha una lunghezza di 8 cm ed è inclinata rispetto al piano della base secondo un angolo
. Trova la superficie totale del cilindro.

Un camino cilindrico di diametro 65 cm ha un'altezza di 18 m. Quanta lamiera è necessaria per realizzarlo se il 10% del materiale viene speso per il rivetto?

Delimitato da una superficie cilindrica e da due piani paralleli che la intersecano.

Definizioni correlate

Superficie cilindrica- una superficie ottenuta spostando una linea retta (generatrice), parallela ad una qualsiasi data, che interseca una linea curva (direttrice) giacente in un piano retto non parallelo ad un dato piano. Si chiamano figure piane formate dall'intersezione di una superficie cilindrica con due piani paralleli basi dei cilindri. Si chiama la superficie cilindrica compresa tra i piani delle basi superficie laterale cilindro. Se il piano della base e il piano della guida sono paralleli, il confine della base coinciderà nella forma con la guida.

Tipi

Nella maggior parte dei casi per cilindro si intende un cilindro circolare rettilineo, la cui guida è il cerchio e le basi sono perpendicolari alla generatrice. Un tale cilindro ha un asse di simmetria.

Altri tipi di cilindro - (a seconda dell'inclinazione della generatrice) obliquo o inclinato (se la generatrice non tocca la base ad angolo retto); (a seconda della forma della base) ellittica, iperbolica, parabolica.

Un prisma è anche un tipo di cilindro, con una base a forma di poligono.

Superficie del cilindro

Superficie laterale

L'area della superficie laterale del cilindro è uguale alla lunghezza della generatrice, moltiplicata per il perimetro della sezione del cilindro per un piano perpendicolare alla generatrice.

La superficie laterale di un cilindro rettilineo si calcola dal suo sviluppo. Lo sviluppo di un cilindro è un rettangolo con un'altezza $H$ e lunghezza $P$, pari al perimetro della base. Pertanto l'area della superficie laterale del cilindro è pari all'area del suo sviluppo e si calcola con la formula:

$S\_b\; =\; P\; h$

In particolare, per un cilindro circolare retto:

$P\; =\; 2\backslash piR$, E $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h$

Per un cilindro inclinato l'area della superficie laterale è pari alla lunghezza della generatrice moltiplicata per il perimetro della sezione perpendicolare alla generatrice:

$S\_b\; =\; P\_(\backslash perp)\; h$

A differenza del volume, non esiste una formula semplice che esprima l'area della superficie laterale di un cilindro obliquo attraverso i parametri di base e altezza. Per un cilindro circolare inclinato, puoi utilizzare formule approssimative per il perimetro di un'ellisse, quindi moltiplicare il valore risultante per la lunghezza della generatrice.

Superficie totale

La superficie totale di un cilindro è pari alla somma delle aree della sua superficie laterale e delle sue basi.

Per un cilindro circolare diritto: $S\_(p)\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +2\; \backslash pi\; R^2\; =\; 2\backslash pi\; R\; (h+R)$

Volume del cilindro

Per un cilindro inclinato esistono due formule:

• Il volume è uguale alla lunghezza della generatrice moltiplicata per l'area della sezione trasversale del cilindro mediante un piano perpendicolare alla generatrice. $V=S\_(\backslash perp)l$,
• Il volume è uguale all'area della base moltiplicata per l'altezza (la distanza tra i piani in cui giacciono le basi): $V=Sh=Sl\backslash sin(\backslash varphi)$,

Dove $l$è la lunghezza della generatrice e $\backslash varphi$- l'angolo tra la generatrice e il piano della base. Per cilindro dritto $h=l$.

Per cilindro dritto $\backslash sin(\backslash varphi)=1$, $l=h$ E $S\_(\backslash perp)=S$ e il volume è pari a:

• $V=Sl=Sh$

Per un cilindro circolare:

$V=\backslash pi\; R^(2)h=\backslash pi\; \backslash frac(d^(2))(4)h$

Dove D- diametro della base.

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Appunti

Estratto che caratterizza il Cilindro

“Paris la capitale du monde... [Parigi è la capitale del mondo...]”, ha detto Pierre, concludendo il suo discorso.
Il capitano guardò Pierre. Aveva l'abitudine di fermarsi nel mezzo di una conversazione e di guardarlo intensamente con occhi ridenti e affettuosi.
- Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce... [Ebbene, se non mi avessi detto che eri russo, avrei scommesso che eri parigino. C'è qualcosa in te, questo...] - e, detto questo complimento, guardò di nuovo in silenzio.
"J"ai ete a Paris, j"y ai passe des annees, [ero a Parigi, ho trascorso lì anni interi", ha detto Pierre.
– Oh ca se voit bien. Parigi!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se sent a deux lieux. Paris, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards", e notando che la conclusione era più debole della precedente, aggiunse in fretta: “Il n"y a qu"un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [Oh, è ovvio. Parigi!... Un uomo che non conosce Parigi è un selvaggio. Un parigino si riconosce a due miglia di distanza. Parigi è Talma, Duchesnois, Potier, La Sorbona, i boulevard... C'è una sola Parigi in tutto il mondo. Tu sei stato a Parigi e sei rimasto russo. Ebbene, non ti rispetto di meno per questo.]
Sotto l'influenza del vino che beveva e dopo giorni trascorsi in solitudine con i suoi pensieri cupi, Pierre provò un piacere involontario nel conversare con quest'uomo allegro e di buon carattere.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d'aller s"enterrer dans les steppes, quand l"armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos mujiks c"est autre choose, mais voua autres gens civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca . Nous avons pris Vienna, Berlino, Madrid, Napoli, Roma, Varsavia, tutte le capitali del mondo... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l'Empereur! [Ma torniamo alle vostre dame: dicono che sono molto belle. Che idea stupida andare a seppellirsi nella steppa quando l'esercito francese è a Mosca! Hanno perso una bellissima occasione. I vostri uomini "Capisco, ma voi siete persone istruite, avreste dovuto conoscerci meglio di così. Abbiamo preso Vienna, Berlino, Madrid, Napoli, Roma, Varsavia, tutte le capitali del mondo. Ci temono, ma ci amano. Non è così" non fa male conoscerci meglio E poi l'imperatore ...] - iniziò, ma Pierre lo interruppe.
“L"Empereur", ripeté Pierre, e il suo viso acquistò improvvisamente un'espressione triste e imbarazzata. “Est ce que que l"Empereur?.. [Imperatore... Cos'è l'imperatore?..]
- L"Empereur? C"est la generosite, la clemence, la Justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m"a empoigne. Je n"ai pas pu resister au spectacle de grandiur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j"ai compris ce qu"il voulait, quand j"ai vu qu"il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oh, oui, mon cher, c"est le plus grand homme des siecles goes et a venir. [Imperatore? Questa è generosità, misericordia, giustizia, ordine, genio: questo è un imperatore! Sono io, Rambal, a dirtelo. Per come mi vedi, ero suo nemico otto anni fa. Mio padre era un conte ed un emigrante. Ma mi ha sconfitto, quest'uomo. Ha preso possesso di me. Non ho potuto resistere allo spettacolo di grandezza e gloria con cui ha ricoperto la Francia. Quando ho capito cosa voleva, quando ho visto che ci preparava un letto di allori, mi sono detto: ecco il sovrano, e mi sono arreso a lui. E così! Oh sì, mio ​​caro, questo è il più grande uomo dei secoli passati e futuri.]