Come moltiplicare una frazione con una parte intera. Moltiplicazione delle frazioni

17.10.2019

Contenuto della lezione

Somma di frazioni con denominatori simili

Esistono due tipi di addizione di frazioni:

Somma di frazioni con denominatori simili
Somma di frazioni con denominatori diversi

Innanzitutto, impariamo l'addizione di frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ad esempio, aggiungiamo le frazioni e . Somma i numeratori e lascia invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni la pizza:

Esempio 2. Aggiungi frazioni e .

La risposta risultò essere una frazione impropria. Quando arriva la fine del compito, è consuetudine eliminare le frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria è necessario selezionarne l'intera parte. Nel nostro caso, l'intera parte è facilmente isolabile: due divisi per due equivalgono a uno:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizza alla pizza, ottieni una pizza intera:

Esempio 3. Aggiungi frazioni e .

Ancora una volta sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se aggiungi altra pizza alla pizza, ottieni la pizza:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere aggiunti e il denominatore lasciato invariato:

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizze a una pizza e aggiungi altre pizze, ottieni 1 pizza intera e più pizze.

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nell'addizionare frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore;

Somma di frazioni con denominatori diversi

Ora impariamo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori delle frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.

Ad esempio, le frazioni possono essere sommate perché hanno gli stessi denominatori.

Ma le frazioni non possono essere sommate subito, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne vedremo solo uno, poiché gli altri metodi possono sembrare complicati per un principiante.

L'essenza di questo metodo è che prima viene cercato il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il MCM viene quindi diviso per il denominatore della prima frazione per ottenere il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo.

I numeratori e i denominatori delle frazioni vengono quindi moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni.

Esempio 1. Aggiungiamo le frazioni e

Innanzitutto troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6

LCM (2 e 3) = 6

Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividi il LCM per il denominatore della prima frazione e ottieni il primo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.

Il numero risultante 2 è il primo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla prima frazione. Per fare ciò, traccia una piccola linea obliqua sopra la frazione e scrivi il fattore aggiuntivo che trovi sopra:

Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividi 6 per 2, otteniamo 3.

Il numero risultante 3 è il secondo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla seconda frazione. Ancora una volta, tracciamo una piccola linea obliqua sulla seconda frazione e annotiamo il fattore aggiuntivo che si trova sopra di essa:

Ora abbiamo tutto pronto per l'aggiunta. Resta da moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Guarda attentamente a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:

Questo completa l'esempio. Risulta aggiungere .

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a pizza ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:

La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo le frazioni e ad un denominatore comune, abbiamo ottenuto le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi pezzi di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotti allo stesso denominatore).

Il primo disegno rappresenta una frazione (quattro pezzi su sei), mentre il secondo disegno rappresenta una frazione (tre pezzi su sei). Sommando questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione è impropria, quindi ne abbiamo evidenziato la parte intera. Di conseguenza, abbiamo ottenuto (una pizza intera e un'altra sesta pizza).

Tieni presente che abbiamo descritto questo esempio in modo troppo dettagliato. Nelle istituzioni educative non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM sia dei denominatori che dei fattori aggiuntivi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati per i tuoi numeratori e denominatori. Se fossimo a scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:

Ma c’è anche un’altra faccia della medaglia. Se non prendi appunti dettagliati nelle prime fasi dello studio della matematica, inizieranno ad apparire domande di questo tipo. “Da dove viene quel numero?”, “Perché le frazioni si trasformano improvvisamente in frazioni completamente diverse? «.

Per rendere più semplice la somma di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni passo passo:

Trova il MCM dei denominatori delle frazioni;
Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione;
Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
Aggiungi frazioni che hanno gli stessi denominatori;
Se la risposta risulta essere una frazione impropria, selezionane la parte intera;

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione .

Usiamo le istruzioni fornite sopra.

Passaggio 1. Trova il MCM dei denominatori delle frazioni

Trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4

Passaggio 2. Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione

Dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo ottenuto il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:

Ora dividiamo il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la terza frazione:

Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi

Moltiplichiamo numeratori e denominatori per i loro fattori aggiuntivi:

Passaggio 4. Aggiungi le frazioni con gli stessi denominatori

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). Non resta che sommare queste frazioni. Aggiungilo:

L'aggiunta non rientrava in una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente nella riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non rientra in una riga, viene spostata alla riga successiva ed è necessario inserire un segno uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio della nuova riga. Il segno uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.

Passaggio 5. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, selezionane l'intera parte

La nostra risposta si è rivelata una frazione impropria. Dobbiamo evidenziarne tutta una parte. Evidenziamo:

Abbiamo ricevuto una risposta

Sottrarre frazioni con denominatori simili

Esistono due tipi di sottrazione delle frazioni:

Sottrarre frazioni con denominatori simili
Sottrarre frazioni con denominatori diversi

Innanzitutto, impariamo a sottrarre le frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sottrarne un'altra da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione, ma lasciare lo stesso denominatore.

Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore. Facciamolo:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione.

Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione e lascia invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione bisogna sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

Per sottrarne un'altra da una frazione, è necessario sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore;
Se la risposta risulta essere una frazione impropria, è necessario evidenziarne l'intera parte.

Sottrarre frazioni con denominatori diversi

Ad esempio, puoi sottrarre una frazione da una frazione perché le frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma non puoi sottrarre una frazione da una frazione, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Il denominatore comune si trova utilizzando lo stesso principio che abbiamo utilizzato quando abbiamo sommato frazioni con denominatori diversi. Innanzitutto, trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi il MCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che è scritto sopra la prima frazione. Allo stesso modo, il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sopra la seconda frazione.

Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi vengono convertite in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.

Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi ridurle allo stesso denominatore (comune).

Per prima cosa troviamo il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12

LCM (3 e 4) = 12

Ora torniamo alle frazioni e

Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Scrivi un quattro sopra la prima frazione:

Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi un tre sulla seconda frazione:

Ora siamo pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:

Abbiamo ricevuto una risposta

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se tagli la pizza da una pizza, ottieni la pizza

Questa è la versione dettagliata della soluzione. Se fossimo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in modo più breve. Una soluzione del genere sarebbe simile a questa:

La riduzione delle frazioni a un denominatore comune può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo queste frazioni a un denominatore comune, abbiamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza, ma questa volta saranno divise in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore):

La prima immagine mostra una frazione (otto pezzi su dodici), mentre la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi su dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi prima devi ridurle allo stesso denominatore (comune).

Troviamo il MCM dei denominatori di queste frazioni.

I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore di ciascuna frazione.

Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:

Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la terza frazione. Dividi il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la terza frazione:

Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.

La continuazione dell'esempio non sta in una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno uguale (=) sulla nuova riga:

La risposta si è rivelata una frazione regolare e tutto sembra andarci bene, ma è troppo ingombrante e brutto. Dovremmo renderlo più semplice. Cosa si può fare? Puoi abbreviare questa frazione.

Per ridurre una frazione, devi dividere il suo numeratore e denominatore per (MCD) dei numeri 20 e 30.

Quindi, troviamo il mcd dei numeri 20 e 30:

Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per il mcd trovato, cioè per 10

Abbiamo ricevuto una risposta

Moltiplicare una frazione per un numero

Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione data per quel numero e lasciare lo stesso denominatore.

Esempio 1. Moltiplica una frazione per il numero 1.

Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1

La registrazione può essere intesa come se durasse la metà di 1 volta. Ad esempio, se prendi la pizza una volta, ottieni la pizza

Dalle leggi della moltiplicazione sappiamo che se si scambiano il moltiplicando e il fattore il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Ancora una volta, la regola per moltiplicare un numero intero e una frazione funziona:

Questa notazione può essere intesa come se prendesse la metà di uno. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo la metà, allora avremo la pizza:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplica il numeratore della frazione per 4

La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:

L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi 4 pizze, otterrai due pizze intere

E se invertiamo il moltiplicando e il moltiplicatore, otteniamo l'espressione . Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:

Moltiplicazione delle frazioni

Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta risulta essere una frazione impropria è necessario evidenziarne l'intera parte.

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione.

Abbiamo ricevuto una risposta. È consigliabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la seguente forma:

L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Come prendere due terzi da questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:

E prendine due da questi tre pezzi:

Faremo la pizza. Ricorda come appare la pizza divisa in tre parti:

Un pezzo di questa pizza e i due pezzi che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:

In altre parole, stiamo parlando di pizza della stessa dimensione. Pertanto il valore dell'espressione è

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta si è rivelata una frazione regolare, ma sarebbe opportuno se fosse abbreviata. Per ridurre questa frazione, devi dividere il numeratore e il denominatore di questa frazione per il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 105 e 450.

Quindi, troviamo il MCD dei numeri 105 e 450:

Ora dividiamo numeratore e denominatore della nostra risposta per il mcd che abbiamo ora trovato, cioè per 15

Rappresentare un numero intero come frazione

Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Ciò non cambierà il significato di cinque, poiché l'espressione significa “il numero cinque diviso uno”, e questo, come sappiamo, è uguale a cinque:

Numeri reciproci

Ora faremo conoscenza con un argomento molto interessante in matematica. Si chiama "numeri inversi".

Definizione. Invertire il numeroUN è un numero che, se moltiplicato perUN ne dà uno.

Sostituiamo in questa definizione invece della variabile UN numero 5 e prova a leggere la definizione:

Invertire il numero 5 è un numero che, se moltiplicato per 5 ne dà uno.

È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che è possibile. Immaginiamo cinque come una frazione:

Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplichiamo la frazione per se stessa, solo capovolta:

Cosa accadrà di conseguenza? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:

Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero , poiché moltiplicando 5 per ottieni uno.

Il reciproco di un numero può essere trovato anche per qualsiasi altro numero intero.

Puoi anche trovare il reciproco di qualsiasi altra frazione. Per fare questo, basta capovolgerlo.

Dividere una frazione per un numero

Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Dividiamolo equamente tra due. Quanta pizza riceverà ogni persona?

Si può notare che dopo aver diviso metà della pizza si sono ottenuti due pezzi uguali, ognuno dei quali costituisce una pizza. Quindi tutti prendono una pizza.

La divisione delle frazioni viene eseguita utilizzando i reciproci. I numeri reciproci consentono di sostituire la divisione con la moltiplicazione.

Per dividere una frazione per un numero, devi moltiplicare la frazione per l'inverso del divisore.

Usando questa regola annoteremo la divisione della nostra metà della pizza in due parti.

Quindi devi dividere la frazione per il numero 2. Qui il dividendo è la frazione e il divisore è il numero 2.

Per dividere una frazione per il numero 2, devi moltiplicare questa frazione per il reciproco del divisore 2. Il reciproco del divisore 2 è la frazione. Quindi devi moltiplicare per

Considereremo la moltiplicazione delle frazioni ordinarie in diverse opzioni possibili.

Moltiplicare una frazione comune per una frazione

Questo è il caso più semplice in cui è necessario utilizzare quanto segue regole per moltiplicare le frazioni.

A moltiplicare frazione per frazione, necessario:

moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel numeratore della nuova frazione;
moltiplicare il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel denominatore della nuova frazione;

Prima di moltiplicare numeratori e denominatori, controlla se le frazioni possono essere ridotte. Ridurre le frazioni nei calcoli renderà i tuoi calcoli molto più semplici.

Moltiplicare una frazione per un numero naturale

Per fare una frazione moltiplicare per un numero naturale Devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero e lasciare invariato il denominatore della frazione.

Se il risultato della moltiplicazione è una frazione impropria, non dimenticare di trasformarla in un numero misto, cioè di evidenziare l'intera parte.

Moltiplicazione di numeri misti

Per moltiplicare i numeri misti, devi prima trasformarli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni ordinarie.

Un altro modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale

A volte, quando si eseguono calcoli, è più conveniente utilizzare un altro metodo per moltiplicare una frazione comune per un numero.

Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.

Come si può vedere dall'esempio, questa versione della regola è più comoda da usare se il denominatore della frazione è divisibile per un numero naturale senza resto.

Operazioni con le frazioni

Somma di frazioni con denominatori simili

Esistono due tipi di addizione di frazioni:

Somma di frazioni con denominatori simili
Somma di frazioni con denominatori diversi

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni la pizza:

Esempio 2. Aggiungi frazioni e .

Ancora una volta sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizza alla pizza, ottieni una pizza intera:

Esempio 3. Aggiungi frazioni e .

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se aggiungi altra pizza alla pizza, ottieni la pizza:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere aggiunti e il denominatore lasciato invariato:

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizze a una pizza e aggiungi altre pizze, ottieni 1 pizza intera e più pizze.

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nell'addizionare frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore;
Se la risposta risulta essere una frazione impropria, è necessario evidenziarne l'intera parte.

Somma di frazioni con denominatori diversi

Ora impariamo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori delle frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.

Ad esempio, le frazioni possono essere sommate perché hanno gli stessi denominatori.

Ma le frazioni non possono essere sommate subito, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne vedremo solo uno, poiché gli altri metodi possono sembrare complicati per un principiante.

L'essenza di questo metodo è che prima cerchiamo il minimo comune multiplo (MCM) dei denominatori di entrambe le frazioni. Il MCM viene quindi diviso per il denominatore della prima frazione per ottenere il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo.

Esempio 1. Aggiungiamo le frazioni e

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi ridurle allo stesso denominatore (comune).

LCM (2 e 3) = 6

Ora abbiamo tutto pronto per l'aggiunta. Resta da moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Questo completa l'esempio. Risulta aggiungere .

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a pizza ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:

Per rendere più semplice la somma di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni passo passo:

Trova il MCM dei denominatori delle frazioni;
Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione;
Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
Aggiungi frazioni che hanno gli stessi denominatori;
Se la risposta risulta essere una frazione impropria, selezionane la parte intera;

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione .

Usiamo il diagramma che abbiamo fornito sopra.

Passaggio 1. Trova il MCM per i denominatori delle frazioni

Trova il MCM per i denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4. Devi trovare il MCM per questi numeri:

Passaggio 2. Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione

Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi

Moltiplichiamo numeratori e denominatori per i loro fattori aggiuntivi:

Passaggio 4. Aggiungi le frazioni con gli stessi denominatori

Passaggio 5. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, evidenziane l'intera parte

La nostra risposta si è rivelata una frazione impropria. Dobbiamo evidenziarne tutta una parte. Evidenziamo:

Abbiamo ricevuto una risposta

Sottrarre frazioni con denominatori simili

Esistono due tipi di sottrazione delle frazioni:

Sottrarre frazioni con denominatori simili
Sottrarre frazioni con denominatori diversi

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione.

Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione e lascia lo stesso denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione bisogna sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:

La risposta era una frazione impropria. Se l'esempio è completo è consuetudine eliminare la frazione impropria. Eliminiamo la frazione impropria nella risposta. Per fare ciò, selezioniamo la sua intera parte:

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore;

Se la risposta risulta essere una frazione impropria, è necessario evidenziarne l'intera parte.

Sottrarre frazioni con denominatori diversi

Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:

LCM (3 e 4) = 12

Ora torniamo alle frazioni e

Ora siamo pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Abbiamo ricevuto una risposta

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se tagli la pizza da una pizza, ottieni la pizza

Questa è la versione dettagliata della soluzione. Se fossimo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in modo più breve. Una soluzione del genere sarebbe simile a questa:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi prima devi ridurle allo stesso denominatore (comune).

Troviamo il MCM dei denominatori di queste frazioni.

I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore di ciascuna frazione.

Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

La continuazione dell'esempio non sta in una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno uguale (=) sulla nuova riga:

La risposta si è rivelata una frazione regolare e tutto sembra andarci bene, ma è troppo ingombrante e brutto. Sarebbe necessario renderlo più semplice ed esteticamente gradevole. Cosa si può fare? Puoi abbreviare questa frazione. Ricordiamo che ridurre una frazione è la divisione del numeratore e del denominatore per il massimo comun divisore del numeratore e del denominatore.

Per ridurre correttamente una frazione, devi dividerne il numeratore e il denominatore per il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 20 e 30.

GCD non deve essere confuso con NOC. L'errore più comune di molti principianti. MCD è il massimo comun divisore. Lo troviamo per ridurre una frazione.

E LCM è il minimo comune multiplo. Lo troviamo per portare le frazioni allo stesso denominatore (comune).

Ora troveremo il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 20 e 30.

Quindi, troviamo MCD per i numeri 20 e 30:

MCD (20 e 30) = 10

Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per 10:

Abbiamo ricevuto una bellissima risposta

Moltiplicare una frazione per un numero

Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione data per quel numero e lasciare lo stesso denominatore.

Esempio 1. Moltiplica una frazione per il numero 1.

Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1

La registrazione può essere intesa come se durasse la metà di 1 volta. Ad esempio, se prendi la pizza una volta, ottieni la pizza

Questa notazione può essere intesa come se prendesse la metà di uno. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo la metà, allora avremo la pizza:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplica il numeratore della frazione per 4

L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi 4 pizze, otterrai due pizze intere

E se invertiamo il moltiplicando e il moltiplicatore, otteniamo l'espressione . Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:

Moltiplicazione delle frazioni

Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta risulta essere una frazione impropria è necessario evidenziarne l'intera parte.

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione.

Abbiamo ricevuto una risposta. È consigliabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la seguente forma:

L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Come prendere due terzi da questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:

E prendine due da questi tre pezzi:

Faremo la pizza. Ricorda come appare la pizza divisa in tre parti:

Un pezzo di questa pizza e i due pezzi che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:

In altre parole, stiamo parlando di pizza della stessa dimensione. Pertanto il valore dell'espressione è

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

La risposta si è rivelata una frazione regolare, ma sarebbe opportuno se fosse abbreviata. Per ridurre questa frazione, deve essere divisa per il mcd del numeratore e del denominatore. Quindi, troviamo il MCD dei numeri 105 e 450:

GCD per (105 e 150) è 15

Ora dividiamo il numeratore e il denominatore della nostra risposta per mcd:

Rappresentare un numero intero come frazione

Numeri reciproci

Ora faremo conoscenza con un argomento molto interessante in matematica. Si chiama "numeri inversi".

Definizione. Invertire il numero UN è un numero che, se moltiplicato per UN ne dà uno.

Sostituiamo in questa definizione invece della variabile UN numero 5 e prova a leggere la definizione:

Invertire il numero 5 è un numero che, se moltiplicato per 5 ne dà uno.

È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che è possibile. Immaginiamo cinque come una frazione:

Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplica una frazione per se stessa, solo capovolta:

Cosa accadrà di conseguenza? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:

Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero , poiché moltiplicando 5 per ottieni uno.

Il reciproco di un numero può essere trovato anche per qualsiasi altro numero intero.

il reciproco di 3 è una frazione
il reciproco di 4 è una frazione

Puoi anche trovare il reciproco di qualsiasi altra frazione. Per fare questo, basta capovolgerlo.

Moltiplicare un numero intero per una frazione non è un compito difficile. Ma ci sono sottigliezze che probabilmente hai capito a scuola, ma da allora hai dimenticato.

Come moltiplicare un numero intero per una frazione - alcuni termini

Se ricordi cosa sono un numeratore e un denominatore e in che cosa differisce una frazione propria da una frazione impropria, salta questo paragrafo. È per coloro che hanno completamente dimenticato la teoria.

Il numeratore è la parte superiore della frazione, ovvero ciò che stiamo dividendo. Il denominatore è più basso. Questo è ciò per cui dividiamo.
Una frazione propria è quella il cui numeratore è minore del denominatore. Una frazione impropria è quella il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore.

Come moltiplicare un numero intero per una frazione

La regola per moltiplicare un numero intero per una frazione è molto semplice: moltiplichiamo il numeratore per il numero intero, ma non tocchiamo il denominatore. Ad esempio: due moltiplicati per un quinto: otteniamo due quinti. Quattro moltiplicato per tre sedicesimi fa dodici sedicesimi.

Riduzione

Nel secondo esempio, la frazione risultante può essere ridotta.
Cosa significa? Tieni presente che sia il numeratore che il denominatore di questa frazione sono divisibili per quattro. Dividere entrambi i numeri per un divisore comune si chiama riduzione della frazione. Otteniamo tre quarti.

Frazioni improprie

Ma supponiamo di moltiplicare quattro per due quinti. Risultò essere otto quinti. Questa è una frazione impropria.
Ha sicuramente bisogno di essere portato nella forma corretta. Per fare ciò, è necessario selezionare un'intera parte da esso.
Qui devi usare la divisione con resto. Otteniamo uno e tre come resto.
Un intero e tre quinti è la nostra frazione propria.

Riportare trentacinque ottavi nella forma corretta è un po' più difficile: il numero più vicino a trentasette che è divisibile per otto è trentadue. Divisi ne otteniamo quattro. Sottraiamo trentadue da trentacinque e otteniamo tre. Risultato: quattro interi e tre ottavi.

Uguaglianza tra numeratore e denominatore. E qui tutto è molto semplice e bello. Se il numeratore e il denominatore sono uguali, il risultato è semplicemente uno.

Per moltiplicare correttamente una frazione per una frazione o una frazione per un numero, è necessario conoscere semplici regole. Analizzeremo ora queste regole nel dettaglio.

Moltiplicare una frazione comune per una frazione.

Per moltiplicare una frazione per una frazione, è necessario calcolare il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni.

$\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\$

Diamo un'occhiata ad un esempio:
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e moltiplichiamo anche il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione.

$\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ volte 3)(7 \volte 3) = \frac(4)(7)\\$

La frazione $\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$ è stata ridotta di 3.

Moltiplicare una frazione per un numero.

Per prima cosa ricordiamo la regola: qualsiasi numero può essere rappresentato come una frazione $\bf n = \frac(n)(1)$ .

Usiamo questa regola quando moltiplichiamo.

$5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\$

Frazione impropria $\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\$ convertito in una frazione mista.

In altre parole, Quando moltiplichiamo un numero per una frazione, moltiplichiamo il numero per il numeratore e lasciamo invariato il denominatore. Esempio:

$\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\$ $\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\$

Moltiplicazione di frazioni miste.

Per moltiplicare le frazioni miste, devi prima rappresentare ciascuna frazione mista come frazione impropria, quindi utilizzare la regola della moltiplicazione. Moltiplichiamo il numeratore per il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il denominatore.

Esempio:
$2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\$

Moltiplicazione di frazioni e numeri reciproci.

La frazione $\bf \frac(a)(b)$ è l'inverso della frazione $\bf \frac(b)(a)$, purché a≠0,b≠0.
Le frazioni $\bf \frac(a)(b)$ e $\bf \frac(b)(a)$ sono chiamate frazioni reciproche. Il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1.
$\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\$

Esempio:
$\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\$

Domande correlate:
Come moltiplicare una frazione per una frazione?
Risposta: Il prodotto delle frazioni ordinarie è la moltiplicazione di un numeratore per un numeratore, di un denominatore per un denominatore. Per ottenere il prodotto di frazioni miste, è necessario convertirle in una frazione impropria e moltiplicarle secondo le regole.

Come moltiplicare frazioni con denominatori diversi?
Risposta: non importa se le frazioni hanno denominatori uguali o diversi, la moltiplicazione avviene secondo la regola di trovare il prodotto di un numeratore con un numeratore, un denominatore con un denominatore.

Come moltiplicare le frazioni miste?
Risposta: prima di tutto bisogna convertire la frazione mista in frazione impropria e poi trovare il prodotto utilizzando le regole della moltiplicazione.

Come moltiplicare un numero per una frazione?
Risposta: moltiplichiamo il numero per il numeratore, ma lasciamo lo stesso denominatore.

Esempio 1:
Calcolare il prodotto: a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)$ b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) $

Soluzione:
a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ $
b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rosso) (5))(3 \times \color(rosso) (5) \times 13) = \frac(4)(39)$

Esempio n.2:
Calcolare i prodotti di un numero e di una frazione: a) $3 \times \frac(17)(23)$ b) $\frac(2)(3) \times 11$

Soluzione:
a) $3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\$
b) $\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)$

Esempio n.3:
Scrivere il reciproco della frazione $\frac(1)(3)$?
Risposta: $\frac(3)(1) = 3$

Esempio n.4:
Calcolare il prodotto di due frazioni reciprocamente inverse: a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)$

Soluzione:
a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1$

Esempio n.5:
Le frazioni reciproche possono essere:
a) contemporaneamente alle frazioni proprie;
b) frazioni contemporaneamente improprie;
c) numeri naturali contemporaneamente?

Soluzione:
a) per rispondere alla prima domanda facciamo un esempio. La frazione $\frac(2)(3)$ è propria, la sua frazione inversa sarà uguale a $\frac(3)(2)$ - una frazione impropria. Risposta: no.

b) in quasi tutte le enumerazioni di frazioni questa condizione non è soddisfatta, ma ci sono alcuni numeri che soddisfano la condizione di essere contemporaneamente una frazione impropria. Ad esempio, la frazione impropria è $\frac(3)(3)$, la sua frazione inversa è uguale a $\frac(3)(3)$. Otteniamo due frazioni improprie. Risposta: non sempre in determinate condizioni quando numeratore e denominatore sono uguali.

c) i numeri naturali sono numeri che usiamo quando contiamo, ad esempio 1, 2, 3, …. Se prendiamo il numero $3 = \frac(3)(1)$, la sua frazione inversa sarà $\frac(1)(3)$. La frazione $\frac(1)(3)$ non è un numero naturale. Se esaminiamo tutti i numeri, il reciproco del numero è sempre una frazione, tranne 1. Se prendiamo il numero 1, la sua frazione reciproca sarà $\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1$. Il numero 1 è un numero naturale. Risposta: possono essere contemporaneamente numeri naturali solo in un caso, se questo è il numero 1.

Esempio n.6:
Calcola il prodotto di frazioni miste: a) $4 \times 2\frac(4)(5)$ b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Soluzione:
a) $4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ $
b) $1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)$

Esempio n.7:
Due reciproci possono essere numeri misti contemporaneamente?

Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo una frazione mista $1\frac(1)(2)$, troviamo la sua frazione inversa, per fare questo la convertiamo in una frazione impropria $1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) $ . La sua frazione inversa sarà uguale a $\frac(2)(3)$ . La frazione $\frac(2)(3)$ è una frazione propria. Risposta: Due frazioni reciprocamente inverse non possono essere numeri mescolati contemporaneamente.

Moltiplicazione delle frazioni comuni

Diamo un'occhiata a un esempio.

Sia presente una parte $\frac(1)(3)$ di una mela su un piatto. Dobbiamo trovare la parte $\frac(1)(2)$. La parte richiesta è il risultato della moltiplicazione delle frazioni $\frac(1)(3)$ e $\frac(1)(2)$. Il risultato della moltiplicazione di due frazioni comuni è una frazione comune.

Moltiplicazione di due frazioni ordinarie

Regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:

Il risultato della moltiplicazione di una frazione per una frazione è una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto dei numeratori delle frazioni da moltiplicare e il denominatore è uguale al prodotto dei denominatori:

Esempio 1

Esegui la moltiplicazione delle frazioni comuni $\frac(3)(7)$ e $\frac(5)(11)$.

Soluzione.

Usiamo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Risposta:$\frac(15)(77)$

Se moltiplicando le frazioni si ottiene una frazione riducibile o impropria, è necessario semplificarla.

Esempio 2

Moltiplica le frazioni $\frac(3)(8)$ e $\frac(1)(9)$.

Soluzione.

Usiamo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Di conseguenza, abbiamo ottenuto una frazione riducibile (basata sulla divisione per $ 3 $. Dividendo il numeratore e il denominatore della frazione per $ 3 $, otteniamo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Soluzione breve:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Risposta:$\frac(1)(24).$

Quando moltiplichi le frazioni, puoi ridurre i numeratori e i denominatori finché non trovi il loro prodotto. In questo caso, il numeratore e il denominatore della frazione vengono scomposti in fattori semplici, dopodiché i fattori ripetitivi vengono cancellati e si trova il risultato.

Esempio 3

Calcola il prodotto delle frazioni $\frac(6)(75)$ e $\frac(15)(24)$.

Soluzione.

Usiamo la formula per moltiplicare le frazioni ordinarie:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Ovviamente, il numeratore e il denominatore contengono numeri che possono essere ridotti a coppie ai numeri $2$, $3$ e $5$. Fattorizziamo il numeratore e il denominatore in fattori semplici e facciamo una riduzione:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Risposta:$\frac(1)(20).$

Quando si moltiplicano le frazioni, è possibile applicare la legge commutativa:

Moltiplicare una frazione comune per un numero naturale

La regola per moltiplicare una frazione comune per un numero naturale:

Il risultato della moltiplicazione di una frazione per un numero naturale è una frazione in cui il numeratore è uguale al prodotto del numeratore della frazione moltiplicata per il numero naturale e il denominatore è uguale al denominatore della frazione moltiplicata:

dove $\frac(a)(b)$ è una frazione ordinaria, $n$ è un numero naturale.

Esempio 4

Moltiplica la frazione $\frac(3)(17)$ per $4$.

Soluzione.

Usiamo la regola per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero naturale:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Risposta:$\frac(12)(17).$

Non dimenticare di controllare il risultato della moltiplicazione per la riducibilità di una frazione o per una frazione impropria.

Esempio 5

Moltiplica la frazione $\frac(7)(15)$ per il numero $3$.

Soluzione.

Usiamo la formula per moltiplicare una frazione per un numero naturale:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Dividendo per il numero $3$) possiamo determinare che la frazione risultante può essere ridotta:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Il risultato era una frazione errata. Selezioniamo l'intera parte:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Soluzione breve:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Le frazioni potrebbero anche essere ridotte sostituendo i numeri al numeratore e al denominatore con le loro fattorizzazioni in fattori primi. In questo caso la soluzione potrebbe essere scritta così:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Risposta:$1\frac(2)(5).$

Quando si moltiplica una frazione per un numero naturale, è possibile utilizzare la legge commutativa:

Dividere le frazioni

L'operazione di divisione è l'inverso della moltiplicazione e il suo risultato è una frazione per la quale occorre moltiplicare una frazione nota per ottenere il prodotto noto di due frazioni.

Dividere due frazioni ordinarie

Regola per dividere le frazioni ordinarie: Ovviamente, il numeratore e il denominatore della frazione risultante possono essere fattorizzati e ridotti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Di conseguenza, otteniamo una frazione impropria, dalla quale selezioniamo l'intera parte:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Risposta:$1\frac(5)(9).$