Nell'ultimo video tutorial abbiamo appreso che il grado di una certa base è un'espressione che è il prodotto della base per se stessa, presa in quantità pari all'esponente. Studiamo ora alcune delle più importanti proprietà e operazioni delle potenze.
Ad esempio, moltiplichiamo due potenze diverse con la stessa base:
Diamo un'occhiata a questo pezzo nella sua interezza:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Calcolando il valore di questa espressione, otteniamo il numero 32. D'altra parte, come si può vedere dallo stesso esempio, 32 può essere rappresentato come un prodotto della stessa base (due), preso 5 volte. E infatti, se conti, allora:
Pertanto, si può tranquillamente concludere che:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Questa regola funziona con successo per qualsiasi indicatore e qualsiasi motivo. Questa proprietà di moltiplicazione del grado deriva dalla regola di conservazione del significato delle espressioni durante le trasformazioni nel prodotto. Per ogni base a, il prodotto di due espressioni (a) x e (a) y è uguale a a (x + y). In altre parole, quando si producono espressioni con la stessa base, il monomio finale ha un grado totale formato sommando il grado della prima e della seconda espressione.
La regola presentata funziona alla grande anche quando si moltiplicano diverse espressioni. La condizione principale è che le basi per tutti siano le stesse. Per esempio:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
È impossibile aggiungere gradi, e in generale eseguire azioni congiunte di potere con due elementi dell'espressione, se le loro basi sono diverse.
Come mostra il nostro video, a causa della somiglianza dei processi di moltiplicazione e divisione, le regole per l'aggiunta di poteri durante un prodotto sono perfettamente trasferite alla procedura di divisione. Considera questo esempio:
Facciamo una trasformazione termine per termine dell'espressione in una forma completa e riduciamo gli stessi elementi nel dividendo e nel divisore:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Il risultato finale di questo esempio non è così interessante, perché già nel corso della sua soluzione è chiaro che il valore dell'espressione è uguale al quadrato di due. Ed è il due che si ottiene sottraendo il grado della seconda espressione dal grado della prima.
Per determinare il grado del quoziente occorre sottrarre il grado del divisore dal grado del dividendo. La regola funziona con la stessa base per tutti i suoi valori e per tutti i poteri naturali. In forma astratta abbiamo:
(a) x / (a) y = (a) x - y
La definizione del grado zero segue dalla regola per dividere basi identiche con potenze. Ovviamente la seguente espressione è:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
D'altra parte, se dividiamo in modo più visivo, otteniamo:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Quando si riducono tutti gli elementi visibili di una frazione, si ottiene sempre l'espressione 1/1, cioè uno. Pertanto, è generalmente accettato che qualsiasi base elevata alla potenza zero sia uguale a uno:
Indipendentemente dal valore di a.
Tuttavia, sarebbe assurdo se 0 (che dà ancora 0 per qualsiasi moltiplicazione) fosse in qualche modo uguale a uno, quindi un'espressione come (0) 0 (zero al grado zero) semplicemente non ha senso, e alla formula (a) 0 = 1 aggiungi una condizione: "se a non è uguale a 0".
Facciamo l'esercizio. Troviamo il valore dell'espressione:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Poiché la base è la stessa ovunque ed è uguale a 34, il valore finale avrà la stessa base con un grado (secondo le regole di cui sopra):
In altre parole:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Risposta: L'espressione è uguale a uno.
Lezione sul tema: "Regole per moltiplicare e dividere potenze con esponenti uguali e diversi. Esempi"
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Lo scopo della lezione: imparare a eseguire operazioni con potenze di un numero.
Per cominciare, ricordiamo il concetto di "potenza di un numero". Un'espressione come $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ può essere rappresentata come $a^n$.
È vero anche il contrario: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Questa uguaglianza si chiama "registrazione del titolo come prodotto". Ci aiuterà a determinare come moltiplicare e dividere i poteri.
Ricordare:
UN- la base del titolo di studio.
N- esponente.
Se n=1, che significa il numero UN presi una volta e rispettivamente: $a^n= 1$.
Se n=0, allora $a^0= 1$.
Perché questo accade, possiamo scoprirlo quando conosciamo le regole per moltiplicare e dividere i poteri.
regole di moltiplicazione
a) Se si moltiplicano potenze con la stessa base.A $a^n * a^m$, scriviamo le potenze come prodotto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
La figura mostra che il numero UN hanno preso n+m volte, allora $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Esempio.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Questa proprietà è comoda da usare per semplificare il lavoro quando si eleva un numero a una grande potenza.
Esempio.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Se le potenze sono moltiplicate con una base diversa, ma con lo stesso esponente.
A $a^n * b^n$, scriviamo le potenze come prodotto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Se scambiamo i fattori e contiamo le coppie risultanti, otteniamo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Quindi $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Esempio.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
regole di divisione
a) La base del grado è la stessa, gli esponenti sono diversi.Prendi in considerazione la possibilità di dividere un grado con un esponente più grande dividendo un grado con un esponente più piccolo.
Quindi, è necessario $\frac(a^n)(a^m)$, Dove n> m.
Scriviamo i gradi come frazione:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Per comodità, scriviamo la divisione come frazione semplice.Ora riduciamo la frazione.
Risulta: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Significa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Questa proprietà aiuterà a spiegare la situazione con l'innalzamento di un numero a una potenza di zero. Supponiamo che n=m, allora $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Esempi.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Le basi della laurea sono diverse, gli indicatori sono gli stessi.
Diciamo che hai bisogno di $\frac(a^n)( b^n)$. Scriviamo le potenze dei numeri come frazione:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Immaginiamo per comodità.
Usando la proprietà delle frazioni, dividiamo una grande frazione in un prodotto di piccole frazioni, otteniamo.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Di conseguenza: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Esempio.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Addizione e sottrazione di potenze
Ovviamente, i numeri con potenze possono essere sommati come altre grandezze , aggiungendoli uno ad uno con i loro segni.
Quindi, la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2 .
La somma di a 3 - b n e h 5 -d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4.
Probabilità le stesse potenze delle stesse variabili può essere aggiunto o sottratto.
Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è 5a 2 .
È anche ovvio che se prendiamo due caselle a, o tre caselle a, o cinque caselle a.
Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere aggiunti aggiungendoli ai loro segni.
Quindi, la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3 .
È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non è né il doppio del quadrato di a, ma il doppio del cubo di a.
La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sottrazione le potenze si eseguono nello stesso modo dell'addizione, salvo che i segni del sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Moltiplicazione di potenza
I numeri con potenze possono essere moltiplicati come altre grandezze scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza il segno di moltiplicazione tra di loro.
Quindi, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
un 2 b 3 y 2 ⋅ un 3 b 2 y = un 2 b 3 y 2 un 3 b 2 y
Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo le stesse variabili.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3 .
Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se due di essi vengono moltiplicati, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a somma gradi di termini.
Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2 + 3, la somma delle potenze dei termini.
Quindi, a n .a m = a m+n .
Per an , a è preso come fattore tante volte quanto è la potenza di n;
E a m , si prende per fattore tante volte quanto è uguale il grado m;
Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti.
Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Moltiplicare (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplicare (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono − negativo.
1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Se a + b vengono moltiplicati per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè
Il risultato della moltiplicazione della somma o differenza di due numeri è uguale alla somma o differenza dei loro quadrati.
Se la somma e la differenza di due numeri elevati a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto grado.
Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Divisione dei poteri
I numeri con potenze possono essere divisi come altri numeri sottraendo dal divisore o ponendoli sotto forma di frazione.
Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è a 3 .
Scrivere un 5 diviso per un 3 sembra $\frac $. Ma questo è uguale a un 2 . In una serie di numeri
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , uno 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori di numeri divisibili.
Quando si dividono le potenze con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..
Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Cioè, $\frac = y$.
E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè, $\frac = a^n$.
O:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regola è valida anche per i numeri con negativo valori di grado.
Il risultato della divisione di un -5 per un -3 è un -2 .
Inoltre, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono ampiamente utilizzate in algebra.
Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze
1. Ridurre gli esponenti in $\frac $ Risposta: $\frac $.
2. Ridurre gli esponenti in $\frac$. Risposta: $\frac $ o 2x.
3. Riduci gli esponenti a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e portali a un comune denominatore.
a 2 .a -4 è un primo numeratore -2.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .
4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un comune denominatore.
Risposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.
5. Moltiplicare (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.
6. Moltiplicare (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).
7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .
8. Dividi a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.
proprietà di grado
Ti ricordiamo che in questa lezione capiamo proprietà di grado con indicatori naturali e zero. I gradi con indicatori razionali e le loro proprietà saranno discussi nelle lezioni per il grado 8.
Un esponente con un esponente naturale ha diverse proprietà importanti che consentono di semplificare i calcoli negli esempi di esponenti.
Proprietà #1
Prodotto di potenze
Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, la base rimane invariata e gli esponenti vengono sommati.
a m a n \u003d a m + n, dove "a" è un numero qualsiasi e "m", "n" sono numeri naturali.
Questa proprietà delle potenze influisce anche sul prodotto di tre o più potenze.
- Semplifica l'espressione.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Presente come laurea.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Presente come laurea.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Scrivi il quoziente come potenza
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Calcolare.
Si noti che nella proprietà indicata si trattava solo di moltiplicare le potenze con le stesse basi.. Non si applica alla loro aggiunta.
Non puoi sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5 . Questo è comprensibile se
calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243
Proprietà #2
Gradi privati
Quando si dividono poteri con la stessa base, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Esempio. Risolvi l'equazione. Usiamo la proprietà dei gradi parziali.
3 8: t = 3 4
Risposta: t = 3 4 = 81
Usando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.
Esempio. Semplifica l'espressione.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà dei gradi.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Si noti che la proprietà 2 trattava solo della divisione dei poteri con le stesse basi.
Non puoi sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1 . Questo è comprensibile se si calcola (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4
Proprietà #3
Esponenziamento
Quando si eleva una potenza a potenza, la base della potenza rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.
(a n) m \u003d a n m, dove "a" è un numero qualsiasi e "m", "n" sono numeri naturali.
Ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.
Come moltiplicare le potenze
Come moltiplicare i poteri? Quali poteri possono essere moltiplicati e quali no? Come si moltiplica un numero per una potenza?
In algebra, puoi trovare il prodotto delle potenze in due casi:
1) se i gradi hanno la stessa base;
2) se i gradi hanno gli stessi indicatori.
Quando si moltiplicano potenze con la stessa base, la base deve rimanere la stessa e gli esponenti devono essere aggiunti:
Quando si moltiplicano i gradi con gli stessi indicatori, l'indicatore totale può essere tolto dalle parentesi:
Considera come moltiplicare le potenze, con esempi specifici.
L'unità nell'esponente non è scritta, ma quando si moltiplicano i gradi si tiene conto di:
Quando si moltiplica, il numero di gradi può essere qualsiasi. Va ricordato che non puoi scrivere il segno di moltiplicazione prima della lettera:
Nelle espressioni, l'elevazione a potenza viene eseguita per prima.
Se devi moltiplicare un numero per una potenza, devi prima eseguire l'elevazione a potenza e solo allora la moltiplicazione:
Moltiplicare le potenze con la stessa base
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In questa lezione impareremo a moltiplicare le potenze con la stessa base. Innanzitutto, ricordiamo la definizione del grado e formuliamo un teorema sulla validità dell'uguaglianza . Quindi forniamo esempi della sua applicazione a numeri specifici e lo dimostriamo. Applicheremo anche il teorema per risolvere vari problemi.
Argomento: Grado con un indicatore naturale e le sue proprietà
Lezione: Moltiplicare le potenze con le stesse basi (formula)
1. Definizioni di base
Definizioni di base:
N- esponente,
— N-esima potenza di un numero.
2. Enunciato del Teorema 1
Teorema 1. Per qualsiasi numero UN e qualsiasi naturale N E K l'uguaglianza è vera:
In altre parole: se UN- qualsiasi numero; N E K numeri naturali, allora:
Da qui la regola 1:
3. Spiegare i compiti
Conclusione: casi speciali hanno confermato la correttezza del Teorema n. 1. Dimostriamolo nel caso generale, cioè per qualsiasi UN e qualsiasi naturale N E K.
4. Dimostrazione del Teorema 1
Dato un numero UN- Qualunque; numeri N E K- naturale. Dimostrare:
La prova si basa sulla definizione del grado.
5. Soluzione di esempi usando il Teorema 1
Esempio 1: Presente come laurea.
Per risolvere i seguenti esempi, usiamo il Teorema 1.
E) 
6. Generalizzazione del Teorema 1
Ecco una generalizzazione:
7. Soluzione di esempi usando una generalizzazione del Teorema 1
8. Risolvere vari problemi usando il Teorema 1
Esempio 2: Calcola (puoi usare la tabella dei gradi di base).
UN) 
(secondo la tabella)
B) 
Esempio 3: Scrivi come potenza in base 2.
UN) 
Esempio 4: Determina il segno del numero:
, UN - negativo perché l'esponente a -13 è dispari.
Esempio 5: Sostituisci ( ) con un potere con una base R:
Abbiamo, cioè.
9. Riassumendo
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.. Algebra 7. 6a edizione. M.: Illuminazione. 2010
1. Assistente scolastico (Fonte).
1. Esprimere come laurea:
a B C D E) 
3. Scrivi come potenza in base 2:
4. Determina il segno del numero:
UN) 
5. Sostituisci ( ) con una potenza di un numero con una base R:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Moltiplicazione e divisione di potenze con gli stessi esponenti
In questa lezione studieremo la moltiplicazione delle potenze con gli stessi esponenti. Innanzitutto, ricordiamo le definizioni e i teoremi di base sulla moltiplicazione e la divisione di potenze con le stesse basi e l'elevazione di una potenza a potenza. Quindi formuliamo e dimostriamo teoremi sulla moltiplicazione e divisione di potenze con gli stessi esponenti. E poi con il loro aiuto risolveremo una serie di problemi tipici.
Richiamo delle definizioni e dei teoremi di base
Qui UN- base di laurea
— N-esima potenza di un numero.
Teorema 1. Per qualsiasi numero UN e qualsiasi naturale N E K l'uguaglianza è vera:
Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, si sommano gli esponenti, la base rimane invariata.
Teorema 2. Per qualsiasi numero UN e qualsiasi naturale N E K, tale che N > K l'uguaglianza è vera:
Quando si dividono potenze con la stessa base, gli esponenti vengono sottratti e la base rimane invariata.
Teorema 3. Per qualsiasi numero UN e qualsiasi naturale N E K l'uguaglianza è vera:
Tutti i teoremi di cui sopra riguardavano i poteri con lo stesso motivi, questa lezione considererà i gradi con lo stesso indicatori.
Esempi di moltiplicazione di potenze con gli stessi esponenti
Considera i seguenti esempi:
Scriviamo le espressioni per determinare il grado.
Conclusione: Dagli esempi, puoi vederlo 
, ma questo deve ancora essere dimostrato. Formuliamo il teorema e lo dimostriamo nel caso generale, cioè per qualsiasi UN E B e qualsiasi naturale N.
Enunciato e dimostrazione del Teorema 4
Per qualsiasi numero UN E B e qualsiasi naturale N l'uguaglianza è vera:
Prova Teorema 4 .
Per definizione di grado:
Quindi lo abbiamo dimostrato .
Per moltiplicare le potenze con lo stesso esponente basta moltiplicare le basi e lasciare invariato l'esponente.
Enunciato e dimostrazione del Teorema 5
Formuliamo un teorema per dividere potenze con gli stessi esponenti.
Per qualsiasi numero UN E B() e qualsiasi naturale N l'uguaglianza è vera:
Prova Teorema 5 .
Scriviamo e per definizione di grado:
Enunciazione di teoremi in parole
Quindi lo abbiamo dimostrato.
Per dividere tra loro i gradi con gli stessi esponenti, è sufficiente dividere una base per un'altra e lasciare invariato l'esponente.
Soluzione di problemi tipici usando il Teorema 4
Esempio 1: Esprimi come prodotto di potenze.
Per risolvere i seguenti esempi, usiamo il Teorema 4.
Per risolvere il seguente esempio, ricorda le formule:
Generalizzazione del Teorema 4
Generalizzazione del Teorema 4:
Risolvere esempi usando il teorema generalizzato 4
Continua a risolvere i problemi tipici
Esempio 2: Scrivi come un grado di prodotto.
Esempio 3: Scrivi come potenza con esponente 2.
Esempi di calcolo
Esempio 4: Calcola nel modo più razionale.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. e altri Algebra 7 .M .: Istruzione. 2006
2. Assistente scolastico (Fonte).
1. Presente come prodotto di potenze:
UN) ; B) ; V); G) ;
2. Scrivi come grado del prodotto:
3. Scrivi sotto forma di laurea con un indicatore di 2:
4. Calcola nel modo più razionale.
Lezione di matematica sul tema "Moltiplicazione e divisione dei poteri"
Sezioni: Matematica
Obiettivo pedagogico:
Compiti:
Unità di attività della dottrina: determinazione del titolo con indicatore naturale; componenti di laurea; definizione di privato; legge associativa della moltiplicazione.
I. Organizzazione di una dimostrazione di padronanza delle conoscenze esistenti da parte degli studenti. (passo 1)
a) Aggiornamento delle conoscenze:
2) Formulare una definizione del grado con un indicatore naturale.
a n \u003d a a a a ... a (n volte)
b k \u003d b b b b a ... b (k volte) Giustifica la tua risposta.
II. Organizzazione dell'autovalutazione del tirocinante in base al grado di possesso dell'esperienza rilevante. (passo 2)
Test per l'autoesame: (lavoro individuale in due versioni.)
A1) Esprimi il prodotto 7 7 7 7 x x x come potenza:
A2) Esprimi come prodotto il grado (-3) 3 x 2
A3) Calcola: -2 3 2 + 4 5 3
Seleziono il numero di compiti nel test in base alla preparazione del livello di classe.
Per il test, do una chiave per l'autotest. Criteri: superato-fallito.
III. Compito didattico e pratico (passo 3) + passo 4. (gli studenti stessi formuleranno le proprietà)
Nel corso della risoluzione dei problemi 1) e 2), gli studenti propongono una soluzione, e io, come insegnante, organizzo una classe per trovare un modo per semplificare le potenze quando si moltiplicano con le stesse basi.
Insegnante: trova un modo per semplificare le potenze quando si moltiplicano con la stessa base.
Sul cluster viene visualizzata una voce:
Il tema della lezione è formulato. Moltiplicazione dei poteri.
Insegnante: trova una regola per dividere i gradi con le stesse basi.
Ragionamento: quale azione controlla la divisione? un 5: un 3 = ? che a 2 a 3 = a 5
Torno allo schema - un cluster e integro la voce - ..quando dividi, sottrai e aggiungi l'argomento della lezione. ...e divisione dei gradi.
IV. Comunicazione agli studenti dei limiti della conoscenza (come minimo e come massimo).
Insegnante: il compito del minimo per la lezione di oggi è imparare ad applicare le proprietà della moltiplicazione e della divisione dei poteri con le stesse basi, e del massimo: applicare insieme la moltiplicazione e la divisione.
Scrivi sulla lavagna : un m un n = un m + n ; a m: a n = a m-n
V. Organizzazione dello studio di nuovo materiale. (passaggio 5)
a) Secondo il libro di testo: n. 403 (a, c, e) compiti con formulazione diversa
N. 404 (a, e, f) lavoro autonomo, poi organizzo un controllo reciproco, consegno le chiavi.
b) Per quale valore di m vale l'uguaglianza? a 16 am \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Compito: trovare esempi simili per la divisione.
c) N. 417(a), N. 418 (a) Trappole per studenti: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. Riassumendo ciò che è stato appreso, conducendo un lavoro diagnostico (che incoraggia gli studenti, non gli insegnanti, a studiare questo argomento) (fase 6)
lavoro diagnostico.
Test(posizionare le chiavi sul retro del test).
Opzioni del compito: presentare come grado il quoziente x 15: x 3; rappresentare come potenza il prodotto (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; per cui m è vera l'uguaglianza a 16 a m = a 32; trova il valore dell'espressione h 0: h 2 con h = 0.2; calcolare il valore dell'espressione (5 2 5 0) : 5 2 .
Riassunto della lezione. Riflessione. Divido la classe in due gruppi.
Trova gli argomenti del gruppo I: a favore della conoscenza delle proprietà del grado e del gruppo II - argomenti che diranno che puoi fare a meno delle proprietà. Ascoltiamo tutte le risposte, traiamo conclusioni. Nelle lezioni successive, puoi offrire dati statistici e nominare la rubrica "Non mi entra in testa!"
VII. Compiti a casa.
Riferimento storico. Quali numeri sono chiamati numeri di Fermat.
P.19. #403, #408, #417
Libri usati:
Proprietà dei gradi, formulazioni, dimostrazioni, esempi.
Dopo aver determinato il grado del numero, è logico parlarne proprietà di grado. In questo articolo daremo le proprietà di base del grado di un numero, toccando tutti i possibili esponenti. Qui daremo prove di tutte le proprietà del grado e mostreremo anche come queste proprietà vengono applicate durante la risoluzione degli esempi.
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Proprietà dei gradi con indicatori naturali
Per definizione di potenza con esponente naturale, la potenza di a n è il prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale a a . Sulla base di questa definizione e utilizzando proprietà di moltiplicazione di numeri reali, possiamo ottenere e giustificare quanto segue proprietà di grado con esponente naturale:
- se a>0 , allora an >0 per ogni n naturale ;
- se a=0 , allora a n =0 ;
- se a 2 m >0 , se a 2 m−1 n ;
- se m ed n sono numeri naturali tali che m>n , allora per 0m n , e per a>0 la disuguaglianza a m >a n è vera.
- a m a n \u003d a m + n;
- un m: un n = un m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (un m) n = un m n ;
- se n è un numero intero positivo, a e b sono numeri positivi e a n n e a−n>b−n ;
- se m ed n sono numeri interi, e m>n , allora per 0m n , e per a>1, la disuguaglianza a m >a n è soddisfatta.
Notiamo subito che tutte le uguaglianze scritte lo sono identico nelle condizioni specificate e le loro parti destra e sinistra possono essere scambiate. Ad esempio, la proprietà principale della frazione a m a n = a m + n con semplificazione delle espressioni spesso usato nella forma a m+n = a m a n .
Ora diamo un'occhiata a ciascuno di essi in dettaglio.
Cominciamo con la proprietà del prodotto di due potenze con le stesse basi, che si chiama la proprietà principale del grado: per ogni numero reale a e per ogni numero naturale m ed n, l'uguaglianza a m ·a n =a m+n è vera.
Dimostriamo la proprietà principale del grado. Per definizione di grado con esponente naturale, il prodotto di potenze con le stesse basi della forma a m a n può essere scritto come prodotto 
. A causa delle proprietà della moltiplicazione, l'espressione risultante può essere scritta come 
, e questo prodotto è la potenza di a con esponente naturale m+n , cioè a m+n . Questo completa la dimostrazione.
Facciamo un esempio che conferma la principale proprietà del grado. Prendiamo gradi con le stesse basi 2 e potenze naturali 2 e 3, secondo la proprietà principale del grado, possiamo scrivere l'uguaglianza 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Verifichiamone la validità, per la quale calcoliamo i valori delle espressioni 2 2 ·2 3 e 2 5 . Eseguendo l'elevamento a potenza, abbiamo 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 e 2 5 =2 2 2 2 2=32 , dato che otteniamo valori uguali, allora l'uguaglianza 2 2 2 3 = 2 5 è vero, e conferma la proprietà principale del grado.
La proprietà principale di un grado basata sulle proprietà della moltiplicazione può essere generalizzata al prodotto di tre o più gradi con le stesse basi ed esponenti naturali. Quindi per ogni numero k di numeri naturali n 1 , n 2 , …, n k l'uguaglianza a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k è vera.
Ad esempio, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Puoi passare alla proprietà successiva dei gradi con un indicatore naturale: la proprietà dei poteri parziali con le stesse basi: per ogni numero reale diverso da zero a e numeri naturali arbitrari m e n che soddisfano la condizione m>n , l'uguaglianza a m:a n =a m−n è vera.
Prima di dare la dimostrazione di questa proprietà, discutiamo il significato delle condizioni aggiuntive nella formulazione. La condizione a≠0 è necessaria per evitare la divisione per zero, poiché 0 n =0, e quando abbiamo preso confidenza con la divisione, abbiamo convenuto che è impossibile dividere per zero. La condizione m>n è introdotta in modo da non andare oltre gli esponenti naturali. Infatti, per m>n, l'esponente a m−n è un numero naturale, altrimenti sarà o zero (cosa che accade quando m−n) o un numero negativo (cosa che accade quando m m−n a n =a (m−n) + n = a m Dall'uguaglianza ottenuta a m−n a n = a m e dalla relazione di moltiplicazione con divisione segue che a m−n è una potenza parziale di a m e a n Ciò prova la proprietà delle potenze parziali con le stesse basi.
Facciamo un esempio. Prendiamo due gradi con le stesse basi π ed esponenti naturali 5 e 2, la proprietà considerata del grado corrisponde all'uguaglianza π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Ora considera proprietà del grado di prodotto: il grado naturale n del prodotto di due numeri reali qualsiasi a e b è uguale al prodotto dei gradi an e b n , cioè (a b) n =a n b n .
Infatti, per definizione di laurea con esponente naturale, abbiamo 
. L'ultimo prodotto, basato sulle proprietà della moltiplicazione, può essere riscritto come 
, che è uguale a a n b n .
Ecco un esempio: 
.
Questa proprietà si estende al grado del prodotto di tre o più fattori. Cioè, la proprietà di grado naturale n del prodotto di k fattori è scritta come (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Per chiarezza, mostriamo questa proprietà con un esempio. Per il prodotto di tre fattori alla potenza di 7, abbiamo .
La prossima proprietà è proprietà naturale: il quoziente dei numeri reali a e b , b≠0 alla potenza naturale n è uguale al quoziente delle potenze a n e b n , cioè (a:b) n =a n:b n .
La dimostrazione può essere effettuata utilizzando la proprietà precedente. Quindi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , e dall'uguaglianza (a:b) n b n =a n segue che (a:b) n è un quoziente di a n a b n .
Scriviamo questa proprietà usando l'esempio di numeri specifici: 
.
Ora diamo voce proprietà di esponenziale: per qualsiasi numero reale a e qualsiasi numero naturale m ed n, la potenza di a m alla potenza di n è uguale alla potenza di a con esponente m·n , cioè (a m) n =a m·n .
Ad esempio, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
La dimostrazione della proprietà di potenza in un grado è la seguente catena di uguaglianze: 
.
La proprietà considerata può essere estesa di grado in grado in grado, e così via. Ad esempio, per qualsiasi numero naturale p, q, r e s, l'uguaglianza 
. Per maggiore chiarezza, facciamo un esempio con numeri specifici: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Resta da soffermarsi sulle proprietà di confrontare i gradi con un esponente naturale.
Iniziamo dimostrando la proprietà di confronto di zero e potenza con un esponente naturale.
Innanzitutto, giustifichiamo che a n >0 per ogni a>0 .
Il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo, come segue dalla definizione di moltiplicazione. Questo fatto e le proprietà della moltiplicazione ci consentono di affermare che anche il risultato della moltiplicazione di qualsiasi numero di numeri positivi sarà un numero positivo. E la potenza di a con esponente naturale n è, per definizione, il prodotto di n fattori, ognuno dei quali è uguale ad a. Questi argomenti ci permettono di affermare che per ogni base positiva a il grado di an è un numero positivo. In virtù della proprietà dimostrata 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 e 
.
È abbastanza ovvio che per ogni n naturale con a=0 il grado di an è zero. Infatti, 0 n =0·0·…·0=0 . Ad esempio, 0 3 =0 e 0 762 =0 .
Passiamo alle basi negative.
Cominciamo con il caso in cui l'esponente è un numero pari, indicalo come 2 m , dove m è un numero naturale. Poi 
. Secondo la regola della moltiplicazione dei numeri negativi, ciascuno dei prodotti della forma a a è uguale al prodotto dei moduli dei numeri a e a, il che significa che è un numero positivo. Pertanto, anche il prodotto sarà positivo. 
e grado a 2 m . Ecco alcuni esempi: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 e .
Infine, quando la base di a è un numero negativo e l'esponente è un numero dispari 2 m−1, allora 
. Tutti i prodotti a·a sono numeri positivi, anche il prodotto di questi numeri positivi è positivo e la sua moltiplicazione per il restante numero negativo a risulta in un numero negativo. In virtù di questa proprietà, (−5) 3 17 n n è il prodotto delle parti sinistra e destra di n disuguaglianze vere a proprietà delle disuguaglianze, la disuguaglianza che si sta dimostrando è della forma a n n . Ad esempio, a causa di questa proprietà, le disuguaglianze 3 7 7 e 
.
Resta da dimostrare l'ultima delle proprietà elencate dei poteri con esponenti naturali. Formuliamolo. Dei due gradi con indicatori naturali e le stesse basi positive, meno di uno, il grado è maggiore, il cui indicatore è minore; e di due gradi con indicatori naturali e le stesse basi maggiori di uno, il grado il cui indicatore è maggiore è maggiore. Veniamo alla dimostrazione di questa proprietà.
Dimostriamolo per m>n e 0m n . Per fare ciò, scriviamo la differenza a m − an e la confrontiamo con zero. La differenza scritta dopo aver preso una n tra parentesi assumerà la forma a n ·(a m−n −1) . Il prodotto risultante è negativo come prodotto di un numero positivo an e un numero negativo a m−n −1 (a n è positivo come potenza naturale di un numero positivo, e la differenza a m−n −1 è negativa, poiché m−n >0 per la condizione iniziale m>n , da cui segue che per 0m−n è minore di uno). Quindi a m − a n m n , che doveva essere dimostrato. Ad esempio, diamo la disuguaglianza corretta.
Resta da dimostrare la seconda parte della proprietà. Dimostriamo che per m>n e a>1, a m >a n è vero. La differenza a m −a n dopo aver tolto a n dalle parentesi assume la forma a n ·(a m−n −1) . Questo prodotto è positivo, poiché per a>1 il grado di an è un numero positivo, e la differenza a m−n −1 è un numero positivo, poiché m−n>0 per la condizione iniziale, e per a>1, il grado di a m−n è maggiore di uno . Quindi a m − a n >0 e a m >a n , che doveva essere dimostrato. Questa proprietà è illustrata dalla disuguaglianza 3 7 >3 2 .
Proprietà dei gradi con esponenti interi
Poiché gli interi positivi sono numeri naturali, allora tutte le proprietà delle potenze con esponente intero positivo coincidono esattamente con le proprietà delle potenze con esponente naturale elencate e dimostrate nel paragrafo precedente.
Abbiamo definito un grado con esponente intero negativo, così come un grado con esponente zero, in modo che tutte le proprietà dei gradi con esponente naturale espresse da uguaglianze rimangano valide. Pertanto tutte queste proprietà valgono sia per esponente nullo che per esponente negativo, mentre, ovviamente, le basi dei gradi sono diverse da zero.
Quindi, per qualsiasi numero reale e diverso da zero a e b, così come per qualsiasi numero intero m e n, vale quanto segue proprietà dei gradi con esponenti interi:
Per a=0, le potenze a m e an hanno senso solo quando sia m che n sono numeri interi positivi, cioè numeri naturali. Pertanto, le proprietà appena scritte sono valide anche per i casi in cui a=0 ei numeri m e n sono interi positivi.
Non è difficile dimostrare ciascuna di queste proprietà, per questo è sufficiente utilizzare le definizioni del grado con esponente naturale e intero, nonché le proprietà delle azioni con numeri reali. Ad esempio, dimostriamo che la proprietà power vale sia per interi positivi che per interi non positivi. Per fare questo, dobbiamo dimostrare che se p è zero o un numero naturale e q è zero o un numero naturale, allora le uguaglianze (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) e (a −p) −q =a (−p) (−q) . Facciamolo.
Per p e q positivi, l'uguaglianza (a p) q =a p·q è stata dimostrata nella sottosezione precedente. Se p=0 , allora abbiamo (a 0) q =1 q =1 e a 0 q =a 0 =1 , da cui (a 0) q =a 0 q . Analogamente, se q=0 , allora (a p) 0 =1 e a p 0 =a 0 =1 , da cui (a p) 0 =a p 0 . Se sia p=0 che q=0 , allora (a 0) 0 =1 0 =1 e a 0 0 =a 0 =1 , da cui (a 0) 0 =a 0 0 .
Dimostriamo ora che (a −p) q =a (−p) q . Per definizione di grado con esponente intero negativo, quindi 
. Per la proprietà del quoziente nel grado, abbiamo 
. Poiché 1 p =1·1·…·1=1 e , allora . L'ultima espressione è, per definizione, una potenza della forma a −(p q) , che, in virtù delle regole di moltiplicazione, può essere scritta come a (−p) q .
Allo stesso modo 
.
E 
.
Con lo stesso principio si possono dimostrare tutte le altre proprietà di un grado con un esponente intero, scritto sotto forma di uguaglianze.
Nella penultima delle proprietà registrate vale la pena soffermarsi sulla dimostrazione della disuguaglianza a −n >b −n , che vale per ogni intero negativo −n e per ogni a e b positivi per i quali vale la condizione a . Scriviamo e trasformiamo la differenza tra le parti sinistra e destra di questa disuguaglianza: 
. Poiché per la condizione a n n , quindi, b n − a n >0 . Il prodotto an ·b n è positivo anche come prodotto di numeri positivi an e b n . Allora la frazione risultante è positiva come quoziente di numeri positivi b n − an e an b n . Donde dunque a −n >b −n , che doveva essere dimostrato.
L'ultima proprietà dei gradi con esponenti interi si dimostra allo stesso modo dell'analoga proprietà dei gradi con esponenti naturali.
Proprietà delle potenze con esponenti razionali
Abbiamo definito il grado con un esponente frazionario estendendo ad esso le proprietà di un grado con un esponente intero. In altre parole, i gradi con esponenti frazionari hanno le stesse proprietà dei gradi con esponenti interi. Vale a dire:
- proprietà del prodotto di potenze con la stessa base
per a>0 , e se e , allora per a≥0 ; - proprietà dei poteri parziali con le stesse basi
per a>0 ; - proprietà del prodotto frazionario
per a>0 e b>0 , e se e , allora per a≥0 e (o) b≥0 ; - proprietà quoziente a una potenza frazionaria
per a>0 e b>0 , e se , allora per a≥0 e b>0 ; - proprietà del grado in grado
per a>0 , e se e , allora per a≥0 ; - la proprietà di confrontare potenze con esponenti razionali uguali: per ogni numero positivo a e b, a 0 vale la disuguaglianza a p p, e per p p >b p ;
- la proprietà di confrontare potenze con esponenti razionali e basi uguali: per numeri razionali p e q, p>q per 0p q, e per a>0, la disuguaglianza a p >a q .
- un p un q = un p + q ;
- un p:un q = un p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- per ogni numero positivo a e b , a 0 vale la disuguaglianza a p p, e per p p >b p ;
- per i numeri irrazionali p e q , p>q per 0p q , e per a>0 la disuguaglianza a p >a q .
La dimostrazione delle proprietà dei gradi con esponente frazionario si basa sulla definizione di un grado con esponente frazionario, sulle proprietà della radice aritmetica dell'ennesimo grado e sulle proprietà di un grado con esponente intero. Diamo una prova.
Per definizione del grado con esponente frazionario e , quindi 
. Le proprietà della radice aritmetica ci permettono di scrivere le seguenti uguaglianze. Inoltre, utilizzando la proprietà del grado con esponente intero, si ottiene , da cui, per definizione di grado con esponente frazionario, si ha 
, e l'esponente del titolo di studio conseguito può essere convertito come segue: . Questo completa la dimostrazione.
La seconda proprietà delle potenze con esponenti frazionari si dimostra esattamente nello stesso modo: 
Il resto delle uguaglianze sono dimostrate da principi simili: 
Passiamo alla dimostrazione della prossima proprietà. Dimostriamo che per ogni positivo a e b , a 0 vale la disuguaglianza a p p, e per p p >b p . Scriviamo il numero razionale p come m/n , dove m è un numero intero e n è un numero naturale. Le condizioni p 0 in questo caso saranno equivalenti rispettivamente alle condizioni m 0. Per m>0 e am m . Da questa disuguaglianza, per la proprietà delle radici, abbiamo , e poiché a e b sono numeri positivi, quindi, in base alla definizione del grado con un esponente frazionario, la disuguaglianza risultante può essere riscritta come , cioè a p p .
Allo stesso modo, quando m m >b m , donde , cioè, e a p >b p .
Resta da dimostrare l'ultima delle proprietà elencate. Proviamo che per i numeri razionali p e q , p>q per 0p q , e per a>0 la disuguaglianza a p >a q . Possiamo sempre ridurre i numeri razionali p e q a un denominatore comune, otteniamo frazioni ordinarie e , dove m 1 e m 2 sono numeri interi e n è un numero naturale. In questo caso, la condizione p>q corrisponderà alla condizione m 1 >m 2, che segue dalla regola per confrontare frazioni ordinarie con gli stessi denominatori. Quindi, per la proprietà di confrontare potenze con le stesse basi ed esponenti naturali, per 0m 1 m 2 , e per a>1, la disuguaglianza a m 1 >a m 2 . Queste disuguaglianze in termini di proprietà delle radici possono essere riscritte, rispettivamente, come 
E 
. E la definizione di un grado con esponente razionale ci permette di passare alle disuguaglianze e, rispettivamente. Da qui traiamo la conclusione finale: per p>q e 0p q , e per a>0, la disuguaglianza a p >a q .
Proprietà dei gradi con esponenti irrazionali
Da come viene definito un grado con esponente irrazionale, possiamo concludere che ha tutte le proprietà dei gradi con esponente razionale. Quindi per ogni a>0 , b>0 e numeri irrazionali p e q vale quanto segue proprietà dei gradi con esponenti irrazionali:
Da ciò possiamo concludere che le potenze con qualsiasi esponente reale p e q per a>0 hanno le stesse proprietà.
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Articoli su scienze naturali e matematica
Proprietà delle potenze con la stessa base
Ci sono tre proprietà di potenze con le stesse basi e gli stessi esponenti naturali. Questo
Stai attento! Regole in merito addizione e sottrazione potenze con la stessa base non esiste.
Scriviamo queste regole di proprietà sotto forma di formule:
Ora considerali su esempi specifici e prova a dimostrare.
5 2 × 5 3 = 5 5 - qui abbiamo applicato la regola; e ora immagina come risolveremmo questo esempio se non conoscessimo le regole:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - cinque al quadrato è cinque volte cinque e al cubo è il prodotto di tre cinque. Il risultato è un prodotto di cinque cinque, ma questo è qualcosa di diverso da cinque alla quinta potenza: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Scriviamo la divisione come frazione:
Può essere abbreviato: 
Di conseguenza, otteniamo: 
Pertanto, abbiamo dimostrato che quando si dividono due poteri con le stesse basi, i loro indicatori devono essere sottratti.
Tuttavia, durante la divisione, è impossibile che il divisore sia uguale a zero (poiché non è possibile dividere per zero). Inoltre, poiché consideriamo i gradi solo con indicatori naturali, non possiamo ottenere come risultato della sottrazione di indicatori un numero inferiore a 1. Pertanto, vengono imposte restrizioni alla formula a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 e m > n .
Passiamo alla terza proprietà:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Scriviamo in forma estesa:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Puoi arrivare a questa conclusione e ragionare logicamente. Devi moltiplicare due al quadrato quattro volte. Ma ci sono due due in ogni quadrato, quindi ci saranno otto due in totale.
scienceland.info
proprietà di grado
Ti ricordiamo che in questa lezione capiamo proprietà di grado con indicatori naturali e zero. I gradi con indicatori razionali e le loro proprietà saranno discussi nelle lezioni per il grado 8.
Un esponente con un esponente naturale ha diverse proprietà importanti che consentono di semplificare i calcoli negli esempi di esponenti.
Proprietà #1
Prodotto di potenze
Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, la base rimane invariata e gli esponenti vengono sommati.
a m a n \u003d a m + n, dove "a" è un numero qualsiasi e "m", "n" sono numeri naturali.
Questa proprietà delle potenze influisce anche sul prodotto di tre o più potenze.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Si noti che nella proprietà indicata si trattava solo di moltiplicare le potenze con le stesse basi.. Non si applica alla loro aggiunta.
Non puoi sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5 . Questo è comprensibile se
calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243
Proprietà #2
Gradi privati
Quando si dividono poteri con la stessa base, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Esempio. Risolvi l'equazione. Usiamo la proprietà dei gradi parziali.
3 8: t = 3 4
Risposta: t = 3 4 = 81
Usando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.
- Esempio. Semplifica l'espressione.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà dei gradi.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Si noti che la proprietà 2 trattava solo della divisione dei poteri con le stesse basi.
Non puoi sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1 . Questo è comprensibile se si calcola (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4
Proprietà #3
Esponenziamento
Quando si eleva una potenza a potenza, la base della potenza rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.
(a n) m \u003d a n m, dove "a" è un numero qualsiasi e "m", "n" sono numeri naturali.
Si noti che la proprietà n. 4, come altre proprietà dei gradi, viene applicata anche in ordine inverso.
(a n b n)= (a b) n
Cioè, per moltiplicare i gradi con gli stessi esponenti, puoi moltiplicare le basi e lasciare invariato l'esponente.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
In esempi più complessi, ci possono essere casi in cui la moltiplicazione e la divisione devono essere eseguite su potenze con basi diverse e diversi esponenti. In questo caso, ti consigliamo di fare quanto segue.
Ad esempio, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Esempio di elevazione a potenza di una frazione decimale.
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Proprietà 5
Potenza del quoziente (frazioni)
Per elevare un quoziente a una potenza, puoi elevare il dividendo e il divisore separatamente a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo.
(a: b) n \u003d a n: b n, dove "a", "b" sono numeri razionali, b ≠ 0, n è qualsiasi numero naturale.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.
Moltiplicazione e divisione di numeri con potenze
Se devi elevare un numero specifico a una potenza, puoi utilizzare la tabella delle potenze dei numeri naturali da 2 a 25 in algebra. Ora daremo un'occhiata più da vicino proprietà dei gradi.
Numeri esponenziali aprono grandi possibilità, ci permettono di convertire la moltiplicazione in addizione, e l'addizione è molto più facile della moltiplicazione. 
Ad esempio, dobbiamo moltiplicare 16 per 64. Il prodotto della moltiplicazione di questi due numeri è 1024. Ma 16 è 4x4 e 64 è 4x4x4. Quindi 16 volte 64=4x4x4x4x4 che è anche 1024.
Il numero 16 può anche essere rappresentato come 2x2x2x2, e 64 come 2x2x2x2x2x2, e se moltiplichiamo, otteniamo di nuovo 1024.
E ora usiamo la regola per elevare un numero a potenza. 16=4 2 , o 2 4 , 64=4 3 , o 2 6 , mentre 1024=6 4 =4 5 , o 2 10 .
Pertanto, il nostro problema può essere scritto in un altro modo: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, e ogni volta otteniamo 1024.
Possiamo risolvere un numero di esempi simili e vedere che la moltiplicazione di numeri con potenze si riduce a addizione di esponenti, o un esponente, ovviamente, purché le basi dei fattori siano uguali.
Quindi, senza moltiplicare, possiamo dire immediatamente che 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Questa regola vale anche quando si dividono numeri con potenze, ma in questo caso, e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo. Quindi, 2 5:2 3 =2 2 , che in numeri ordinari è uguale a 32:8=4, cioè 2 2 . Riassumiamo:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, dove m e n sono numeri interi.
A prima vista potrebbe sembrare così moltiplicazione e divisione di numeri con potenze non molto conveniente, perché prima devi rappresentare il numero in forma esponenziale. Non è difficile rappresentare i numeri 8 e 16 in questa forma, cioè 2 3 e 2 4, ma come si fa con i numeri 7 e 17? O cosa fare in quei casi in cui il numero può essere rappresentato in forma esponenziale, ma le basi delle espressioni esponenziali dei numeri sono molto diverse. Ad esempio, 8×9 è 2 3 x 3 2 , nel qual caso non possiamo sommare gli esponenti. Né 2 5 né 3 5 è la risposta, né è la risposta tra i due.
Allora vale la pena preoccuparsi di questo metodo? Sicuramente ne vale la pena. Offre enormi vantaggi, soprattutto per calcoli complessi e che richiedono tempo.
Finora abbiamo assunto che l'esponente sia il numero di fattori identici. In questo caso, il valore minimo dell'esponente è 2. Tuttavia, se eseguiamo l'operazione di divisione di numeri o sottrazione di esponenti, possiamo anche ottenere un numero inferiore a 2, il che significa che la vecchia definizione non può più essere adatta a noi. Leggi di più nel prossimo articolo.
Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di potenze
Addizione e sottrazione di potenze
Ovviamente, i numeri con potenze possono essere sommati come altre grandezze , aggiungendoli uno ad uno con i loro segni.
Quindi, la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2 .
La somma di a 3 - b n e h 5 -d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4.
Probabilità le stesse potenze delle stesse variabili può essere aggiunto o sottratto.
Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è 5a 2 .
È anche ovvio che se prendiamo due caselle a, o tre caselle a, o cinque caselle a.
Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere aggiunti aggiungendoli ai loro segni.
Quindi, la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3 .
È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non è né il doppio del quadrato di a, ma il doppio del cubo di a.
La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sottrazione le potenze si eseguono nello stesso modo dell'addizione, salvo che i segni del sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Moltiplicazione di potenza
I numeri con potenze possono essere moltiplicati come altre grandezze scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza il segno di moltiplicazione tra di loro.
Quindi, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
un 2 b 3 y 2 ⋅ un 3 b 2 y = un 2 b 3 y 2 un 3 b 2 y
Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo le stesse variabili.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3 .
Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se due di essi vengono moltiplicati, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a somma gradi di termini.
Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2 + 3, la somma delle potenze dei termini.
Quindi, a n .a m = a m+n .
Per an , a è preso come fattore tante volte quanto è la potenza di n;
E a m , si prende per fattore tante volte quanto è uguale il grado m;
Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti.
Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Moltiplicare (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplicare (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono − negativo.
1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Se a + b vengono moltiplicati per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè
Il risultato della moltiplicazione della somma o differenza di due numeri è uguale alla somma o differenza dei loro quadrati.
Se la somma e la differenza di due numeri elevati a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto grado.
Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Divisione dei poteri
I numeri con potenze possono essere divisi come altri numeri sottraendo dal divisore o ponendoli sotto forma di frazione.
Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è a 3 .
Scrivere un 5 diviso per un 3 sembra $\frac $. Ma questo è uguale a un 2 . In una serie di numeri
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , uno 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori di numeri divisibili.
Quando si dividono le potenze con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..
Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Cioè, $\frac = y$.
E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè, $\frac = a^n$.
O:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regola è valida anche per i numeri con negativo valori di grado.
Il risultato della divisione di un -5 per un -3 è un -2 .
Inoltre, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono ampiamente utilizzate in algebra.
Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze
1. Ridurre gli esponenti in $\frac $ Risposta: $\frac $.
2. Ridurre gli esponenti in $\frac$. Risposta: $\frac $ o 2x.
3. Riduci gli esponenti a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e portali a un comune denominatore.
a 2 .a -4 è un primo numeratore -2.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .
4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un comune denominatore.
Risposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.
5. Moltiplicare (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.
6. Moltiplicare (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).
7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .
8. Dividi a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.
Grado e sue proprietà. Livello medio.
Vuoi mettere alla prova la tua forza e scoprire il risultato di quanto sei pronto per l'Unified State Examination o l'OGE?
Gradoè chiamata un'espressione della forma: , dove: 
Grado con esponente intero
grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).
Grado con esponente razionale
grado, il cui indicatore è numeri negativi e frazionari.
Grado con esponente irrazionale
un grado il cui esponente è una frazione o radice decimale infinita.
Proprietà dei gradi
Caratteristiche dei gradi.
Qual è il grado di un numero?
L'elevazione a potenza è la stessa operazione matematica di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione.
Ora spiegherò tutto in linguaggio umano usando esempi molto semplici. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.
Iniziamo con l'addizione.
Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola? Esatto: 16 bottiglie.
Ora moltiplicazione.
Lo stesso esempio con cola può essere scritto in modo diverso: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi escogitano un modo per "contarli" più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.
Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabellina. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più duramente e con errori! Ma…
Ecco la tavola pitagorica. Ripetere.
E un altro, più carino:
E quali altri ingannevoli trucchi di conteggio hanno escogitato i matematici pigri? Giusto - elevare un numero a potenza.
Elevare un numero a potenza.
Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi elevare questo numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è. E risolvono tali problemi nella loro mente: più velocemente, più facilmente e senza errori.
Per fare questo, hai solo bisogno ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, ti semplificherà la vita.
A proposito, perché si chiama il secondo grado piazza numeri e il terzo cubo? Cosa significa? Un'ottima domanda. Ora avrai sia quadrati che cubi.
Esempio di vita reale n. 1.
Iniziamo con un quadrato o la seconda potenza di un numero.
Immagina una piscina quadrata che misura metri per metri. La piscina è nel tuo cortile. Fa caldo e ho tanta voglia di nuotare. Ma... una piscina senza fondo! È necessario ricoprire il fondo della piscina con piastrelle. Di quante piastrelle hai bisogno? Per determinarlo, è necessario conoscere l'area del fondo della piscina.
Puoi semplicemente contare colpendo il dito che il fondo della piscina è costituito da cubi metro per metro. Se le tue piastrelle sono metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto una piastrella del genere? La tessera sarà piuttosto cm per cm, e poi sarai tormentato dal "contare con il dito". Quindi devi moltiplicare. Quindi, su un lato del fondo della piscina, inseriremo le piastrelle (pezzi) e anche sull'altro le piastrelle. Moltiplicando per, ottieni tessere ().
Hai notato che abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso per determinare l'area del fondo della piscina? Cosa significa? Poiché lo stesso numero viene moltiplicato, possiamo usare la tecnica dell'elevamento a potenza. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a potenza. Ma se ne hai molti, elevare a potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli Per l'esame, questo è molto importante).
Quindi, trenta al secondo grado saranno (). Oppure puoi dire che saranno trenta al quadrato. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di un numero. Un quadrato è un'immagine della seconda potenza di un numero.
Esempio di vita reale n. 2.
Ecco un compito per te, conta quanti quadrati ci sono sulla scacchiera usando il quadrato del numero. Da un lato delle celle e anche dall'altro. Per contare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto, oppure ... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi fare il quadrato otto. Ottieni celle. () COSÌ?
Esempio di vita reale n. 3.
Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (Volumi e liquidi, tra l'altro, sono misurati in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: un fondo di un metro e profondo un metro e prova a calcolare quanti cubi che misurano un metro per metro entreranno nel tuo piscina.
Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro... ventidue, ventitré... Quanto è venuto fuori? Non ti sei perso? È difficile contare con il dito? Affinché! Prendiamo un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza l'una per l'altra. Nel nostro caso il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile, vero?
Ora immagina quanto siano pigri e astuti i matematici se lo rendono troppo facile. Ridotto tutto a un'unica azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... E questo cosa significa? Ciò significa che puoi utilizzare la laurea. Quindi, quello che una volta contavi con un dito, lo fanno in un'unica azione: tre in un cubo è uguale. È scritto così:
Rimane solo memorizzare la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, tu non sia pigro e astuto come i matematici. Se ti piace lavorare sodo e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.
Ebbene, per convincerti finalmente che i titoli di studio sono stati inventati da fannulloni e persone astute per risolvere i loro problemi di vita e non per crearti problemi, ecco un altro paio di esempi tratti dalla vita.
Esempio di vita reale n. 4.
Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno, guadagni un altro milione per ogni milione. Cioè, ognuno dei tuoi milioni all'inizio di ogni anno raddoppia. Quanti soldi avrai tra anni? Se ora sei seduto e "conta con il dito", allora sei una persona molto laboriosa e ... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due volte due ... nel secondo anno - cosa è successo, per altri due, nel terzo anno ... Stop! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso una volta. Quindi due alla quinta potenza fa un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi calcola più velocemente otterrà questi milioni ... Vale la pena ricordare i gradi dei numeri, cosa ne pensi?
Esempio dal vero n. 5.
Ne hai un milione. All'inizio di ogni anno, ne guadagni altri due per ogni milione. È fantastico vero? Ogni milione è triplicato. Quanti soldi avrai in un anno? Contiamo. Il primo anno - moltiplica per, poi il risultato per un altro ... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi la quarta potenza è un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.
Ora sai che elevando un numero a una potenza, renderai la tua vita molto più semplice. Diamo un'ulteriore occhiata a cosa puoi fare con le lauree e cosa devi sapere su di esse.
Termini e concetti.
Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Cosa ne pensi, cos'è l'esponente? È molto semplice: questo è il numero che è "in cima" alla potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...
Bene, allo stesso tempo, cosa una tale base di grado? Ancora più semplice è il numero che sta in basso, alla base.
Ecco una foto per te per essere sicuro.
Ebbene, in termini generali, per generalizzare e ricordare meglio... Una laurea con base "" e indicatore "" si legge "nella laurea" e si scrive così:
"Il grado di un numero con un indicatore naturale"
Probabilmente l'hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma cos'è numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quelli che vengono utilizzati nel conteggio quando si elencano gli elementi: uno, due, tre ... Quando contiamo gli elementi, non diciamo: "meno cinque", "meno sei", "meno sette". Non diciamo nemmeno "un terzo" o "zero virgola cinque decimi". Questi non sono numeri naturali. Cosa pensi che siano questi numeri?
Numeri come "meno cinque", "meno sei", "meno sette" si riferiscono a numeri interi. In generale, i numeri interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (ovvero presi con il segno meno) e un numero. Zero è facile da capire: questo è quando non c'è niente. E cosa significano i numeri negativi ("meno")? Ma sono stati inventati principalmente per denotare debiti: se hai un saldo sul tuo telefono in rubli, significa che devi rubli all'operatore.
Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nati, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono di non avere abbastanza numeri naturali per misurare la lunghezza, il peso, l'area, ecc. E hanno inventato numeri razionali… Interessante, vero?
Ci sono anche numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? Insomma, una frazione decimale infinita. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, ottieni un numero irrazionale.
Grado con un indicatore naturale
Definiamo il concetto di grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè un numero intero e positivo).
- Qualsiasi numero alla prima potenza è uguale a se stesso:
- Elevare al quadrato un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
- Cubare un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:
Definizione. Elevare un numero a una potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso volte:
Ovviamente, i numeri con potenze possono essere sommati come altre grandezze , aggiungendoli uno ad uno con i loro segni.
Quindi, la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2 .
La somma di a 3 - b n e h 5 -d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Probabilità le stesse potenze delle stesse variabili può essere aggiunto o sottratto.
Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è 5a 2 .
È anche ovvio che se prendiamo due caselle a, o tre caselle a, o cinque caselle a.
Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere aggiunti aggiungendoli ai loro segni.
Quindi, la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3 .
È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non è né il doppio del quadrato di a, ma il doppio del cubo di a.
La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sottrazione le potenze si eseguono nello stesso modo dell'addizione, salvo che i segni del sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Moltiplicazione di potenza
I numeri con potenze possono essere moltiplicati come altre grandezze scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza il segno di moltiplicazione tra di loro.
Quindi, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
un 2 b 3 y 2 ⋅ un 3 b 2 y = un 2 b 3 y 2 un 3 b 2 y
Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo le stesse variabili.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3 .
Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se due di essi vengono moltiplicati, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a somma gradi di termini.
Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2 + 3, la somma delle potenze dei termini.
Quindi, a n .a m = a m+n .
Per an , a è preso come fattore tante volte quanto è la potenza di n;
E a m , si prende per fattore tante volte quanto è uguale il grado m;
Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti.
Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Moltiplicare (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplicare (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono - negativo.
1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Se a + b vengono moltiplicati per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè
Il risultato della moltiplicazione della somma o differenza di due numeri è uguale alla somma o differenza dei loro quadrati.
Se la somma e la differenza di due numeri elevati a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto grado.
Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Divisione dei poteri
I numeri con potenze possono essere divisi come altri numeri sottraendo dal divisore o ponendoli sotto forma di frazione.
Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è a 3 .
O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Scrivere un 5 diviso per un 3 sembra $\frac(a^5)(a^3)$. Ma questo è uguale a un 2 . In una serie di numeri
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , uno 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori di numeri divisibili.
Quando si dividono le potenze con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..
Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Cioè, $\frac(yyy)(yy) = y$.
E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
O:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regola è valida anche per i numeri con negativo valori di grado.
Il risultato della divisione di un -5 per un -3 è un -2 .
Inoltre, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono ampiamente utilizzate in algebra.
Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze
1. Ridurre gli esponenti in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Risposta: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Ridurre gli esponenti in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Risposta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.
3. Riduci gli esponenti a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e portali a un comune denominatore.
a 2 .a -4 è un primo numeratore -2.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .
4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un comune denominatore.
Risposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.
5. Moltiplicare (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.
6. Moltiplicare (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).
7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .
8. Dividi a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.
9. Dividere (h 3 - 1)/d 4 per (d n + 1)/h.