Come aprire le parentesi. Risoluzione di semplici equazioni lineari

In questo articolo esamineremo in dettaglio le regole di base di un argomento così importante in un corso di matematica come le parentesi aperte. È necessario conoscere le regole per aprire le parentesi per risolvere correttamente le equazioni in cui vengono utilizzate.

Come aprire correttamente le parentesi durante l'aggiunta

Espandi le parentesi precedute dal segno “+”.

Questo è il caso più semplice, perché se davanti alle parentesi c'è un segno di addizione, i segni al loro interno non cambiano quando si aprono le parentesi. Esempio:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Come espandere le parentesi precedute dal segno "-".

In questo caso, devi riscrivere tutti i termini senza parentesi, ma allo stesso tempo cambiare tutti i segni al loro interno con quelli opposti. I segni cambiano solo per i termini tra parentesi che erano preceduti dal segno “-”. Esempio:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Come aprire le parentesi durante la moltiplicazione

Prima delle parentesi c'è un numero moltiplicatore

In questo caso è necessario moltiplicare ogni termine per un fattore e aprire le parentesi senza cambiare i segni. Se il moltiplicatore ha il segno "-", durante la moltiplicazione i segni dei termini vengono invertiti. Esempio:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Come aprire due parentesi con un segno di moltiplicazione tra di loro

In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Esempio:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Come aprire le parentesi in un quadrato

Se la somma o la differenza di due termini è al quadrato, le parentesi vanno aperte secondo la seguente formula:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Nel caso in cui tra parentesi sia presente un segno meno la formula non cambia. Esempio:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Come espandere le parentesi ad un altro grado

Se la somma o la differenza dei termini viene elevata, ad esempio, alla 3a o 4a potenza, è sufficiente dividere la potenza della parentesi in "quadrati". Si sommano le potenze di fattori identici e, durante la divisione, il potere del divisore viene sottratto dal potere del dividendo. Esempio:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Come aprire 3 parentesi

Ci sono equazioni in cui vengono moltiplicate 3 parentesi contemporaneamente. In questo caso, devi prima moltiplicare insieme i termini delle prime due parentesi, quindi moltiplicare la somma di questa moltiplicazione per i termini della terza parentesi. Esempio:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Queste regole per l'apertura delle parentesi si applicano allo stesso modo alla risoluzione di equazioni sia lineari che trigonometriche.

Passeremo ora all'apertura delle parentesi nelle espressioni in cui l'espressione tra parentesi viene moltiplicata per un numero o un'espressione. Formuliamo una regola per aprire le parentesi precedute da un segno meno: le parentesi insieme al segno meno vengono omesse, e i segni di tutti i termini tra parentesi vengono sostituiti con quelli opposti.

Un tipo di trasformazione dell'espressione è l'espansione delle parentesi. Le espressioni numeriche, letterali e variabili possono essere scritte utilizzando parentesi, che possono indicare l'ordine delle azioni, contenere un numero negativo, ecc. Supponiamo che nelle espressioni sopra descritte, invece di numeri e variabili, possano esserci espressioni.

E prestiamo attenzione a un altro punto riguardante le peculiarità della scrittura di una soluzione quando si aprono le parentesi. Nel paragrafo precedente ci siamo occupati delle cosiddette parentesi aperte. Per fare ciò, esistono regole per l'apertura delle parentesi, che ora esamineremo. Questa regola è dettata dal fatto che i numeri positivi vengono solitamente scritti senza parentesi; in questo caso le parentesi non sono necessarie. L'espressione (−3.7)−(−2)+4+(−9) può essere scritta senza parentesi come −3.7+2+4−9.

Infine, la terza parte della regola è dovuta semplicemente alla particolarità di scrivere i numeri negativi a sinistra nell'espressione (di cui abbiamo parlato nella sezione relativa alle parentesi per scrivere i numeri negativi). Potresti incontrare espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. Se apri le parentesi, passando dall'interno all'esterno, la soluzione sarà la seguente: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Come aprire le parentesi?

Ecco una spiegazione: −(−2 x) è +2 x e poiché questa espressione viene prima, +2 x può essere scritto come 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x e −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La prima parte della regola scritta per aprire le parentesi deriva direttamente dalla regola per moltiplicare i numeri negativi. La sua seconda parte è una conseguenza della regola per moltiplicare i numeri con segni diversi. Passiamo agli esempi di apertura di parentesi nei prodotti e quozienti di due numeri con segni diversi.

Parentesi di apertura: regole, esempi, soluzioni.

La regola di cui sopra tiene conto dell'intera catena di queste azioni e accelera notevolmente il processo di apertura delle parentesi. La stessa regola consente di aprire parentesi nelle espressioni che sono prodotti ed espressioni parziali con un segno meno che non sono somme e differenze.

Diamo un'occhiata agli esempi di applicazione di questa regola. Diamo la regola corrispondente. Sopra abbiamo già incontrato espressioni della forma −(a) e −(−a), che senza parentesi si scrivono rispettivamente come −a e a. Ad esempio, −(3)=3 e. Questi sono casi speciali della regola stabilita. Ora diamo un'occhiata agli esempi di apertura delle parentesi quando contengono somme o differenze. Mostriamo esempi di utilizzo di questa regola. Indichiamo l'espressione (b1+b2) come b, dopodiché usiamo la regola di moltiplicare la parentesi per l'espressione del paragrafo precedente, abbiamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Per induzione, questa affermazione può essere estesa a un numero arbitrario di termini in ciascuna parentesi. Resta da aprire le parentesi nell'espressione risultante, utilizzando le regole dei paragrafi precedenti, alla fine otteniamo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

La regola in matematica è aprire le parentesi se ci sono (+) e (-) davanti alle parentesi.

Questa espressione è il prodotto di tre fattori (2+4), 3 e (5+7·8). Dovrai aprire le parentesi in sequenza. Ora usiamo la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, abbiamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con esponenti naturali, possono essere considerati come il prodotto di più parentesi.

Ad esempio, trasformiamo l'espressione (a+b+c)2. Per prima cosa lo scriviamo come prodotto di due parentesi (a+b+c)·(a+b+c), ora moltiplichiamo una parentesi per una parentesi, otteniamo a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Diremo anche che per elevare a potenza naturale le somme e le differenze di due numeri è consigliabile utilizzare la formula binomiale di Newton. Ad esempio, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Non è meno conveniente sostituire prima la divisione con la moltiplicazione, quindi utilizzare la regola corrispondente per aprire le parentesi nel prodotto.

Resta da capire l'ordine di apertura delle parentesi utilizzando gli esempi. Prendiamo l'espressione (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Sostituiamo questi risultati nell'espressione originale: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Non resta che finire di aprire le parentesi, di conseguenza abbiamo −5+3·2:4+6·7. Ciò significa che quando ci si sposta dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra, si verifica l'apertura delle parentesi.

Nota che in tutti e tre gli esempi abbiamo semplicemente rimosso le parentesi. Per prima cosa aggiungi 445 a 889. Questa azione può essere eseguita mentalmente, ma non è molto semplice. Apriamo le parentesi e vediamo che la procedura modificata semplificherà notevolmente i calcoli.

Come espandere le parentesi ad un altro grado

Esempio e regola illustrativi. Consideriamo un esempio: . Puoi trovare il valore di un'espressione sommando 2 e 5, quindi prendendo il numero risultante con il segno opposto. La regola non cambia se tra parentesi non ci sono due, ma tre o più termini. Commento. I segni sono invertiti solo davanti ai termini. Per aprire le parentesi occorre in questo caso ricordare la proprietà distributiva.

Per i singoli numeri tra parentesi

Il tuo errore non è nei segni, ma nella gestione errata delle frazioni? In prima media abbiamo imparato a conoscere i numeri positivi e negativi. Come risolveremo esempi ed equazioni?

Quanto c'è tra parentesi? Cosa puoi dire di queste espressioni? Naturalmente, il risultato del primo e del secondo esempio è lo stesso, il che significa che possiamo mettere un segno di uguale tra loro: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Cosa abbiamo fatto con le parentesi?

Dimostrazione della diapositiva 6 con regole per l'apertura delle parentesi. Pertanto, le regole per aprire le parentesi ci aiuteranno a risolvere esempi e semplificare le espressioni. Successivamente, agli studenti viene chiesto di lavorare in coppia: devono utilizzare le frecce per collegare l'espressione contenente parentesi con la corrispondente espressione senza parentesi.

Diapositiva 11 Una volta a Sunny City, Znayka e Dunno hanno discusso su chi di loro avesse risolto correttamente l'equazione. Successivamente, gli studenti risolvono l'equazione da soli utilizzando le regole per l'apertura delle parentesi. Risoluzione di equazioni” Obiettivi della lezione: formativi (rafforzamento delle conoscenze sull'argomento: “Apertura di parentesi.

Argomento della lezione: “Apertura di parentesi. In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Per prima cosa vengono presi i primi due fattori, racchiusi in un'altra parentesi, e all'interno di queste parentesi le parentesi vengono aperte secondo una delle regole già note.

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Parentesi di apertura: regole ed esempi (grado 7)

La funzione principale delle parentesi è modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori espressioni numeriche . Per esempio, nell'espressione numerica \(5·3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione e poi l'addizione: \(5·3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\) verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Tuttavia, se abbiamo a che fare con espressione algebrica contenente variabile- ad esempio, in questo modo: \(2(x-3)\) - allora è impossibile calcolare il valore tra parentesi, la variabile è d'intralcio. Pertanto, in questo caso, le parentesi vengono “aperte” utilizzando le apposite regole.

Regole per aprire le parentesi

Se c'è un segno più davanti alla parentesi, la parentesi viene semplicemente rimossa, l'espressione in essa contenuta rimane invariata. In altre parole:

Qui è necessario chiarire che in matematica, per abbreviare le notazioni, è consuetudine non scrivere il segno più se compare per primo nell'espressione. Ad esempio, se sommiamo due numeri positivi, ad esempio sette e tre, allora non scriviamo \(+7+3\), ma semplicemente \(7+3\), nonostante anche sette sia un numero positivo . Allo stesso modo, se vedi, ad esempio, l'espressione \((5+x)\), sappilo prima della parentesi c'è un più, che non è scritto.

Esempio . Apri la parentesi e inserisci termini simili: \((x-11)+(2+3x)\).
Soluzione : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Se c'è un segno meno davanti alla parentesi, quando la parentesi viene rimossa, ogni termine dell'espressione al suo interno cambia segno nel contrario:

Qui è necessario chiarire che mentre a era tra parentesi, c'era un segno più (semplicemente non l'hanno scritto), e dopo aver rimosso la parentesi, questo più è cambiato in meno.

Esempio : Semplifica l'espressione \(2x-(-7+x)\).
Soluzione : all'interno della parentesi ci sono due termini: \(-7\) e \(x\), e prima della parentesi c'è un segno meno. Ciò significa che i segni cambieranno: il sette ora sarà un più e la x sarà un meno. Aprire la staffa e presentiamo termini simili .

Esempio. Apri la parentesi e inserisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Se c'è un fattore davanti alla parentesi, allora ogni membro della parentesi viene moltiplicato per esso, ovvero:

Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
Soluzione : Tra parentesi abbiamo \(3\) e \(-x\), e prima della parentesi c'è un cinque. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \(5\) - te lo ricordo Il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione delle voci.

Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
Soluzione : Come nell'esempio precedente, \(-3x\) e \(5\) tra parentesi vengono moltiplicati per \(-2\).

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
Soluzione : Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi e moltiplica ciascun membro per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti delle parentesi e del fattore come descritto sopra:
- Cominciando dall'inizio...

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e presentiamo termini simili:

Non è necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato, puoi moltiplicarle subito. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi, a scrivere in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere errori.

Nota per l'intera sezione. Infatti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, basta ricordarne solo una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Perché? Perché se ne sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Parentesi all'interno di una parentesi

A volte nella pratica ci sono problemi con le parentesi annidate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi: quale è in quale;
— aprire le parentesi in sequenza, iniziando, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, semplicemente riscrivendolo così com'è.
Diamo un'occhiata all'attività scritta sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluzione:

Iniziamo l'attività aprendo la staffa interna (quella all'interno). Espandendolo, abbiamo a che fare solo con ciò che è direttamente correlato ad esso: questa è la parentesi stessa e il segno meno davanti ad essa (evidenziato in verde). Riscriviamo tutto il resto (non evidenziato) nello stesso modo in cui era.

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Prodotto di un monomio e di un polinomio. Il concetto di polinomio

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:

La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini di un polinomio si chiamano termini del polinomio. I monomi sono anche classificati come polinomi, considerando che un monomio è un polinomio costituito da un membro.

Rappresentiamo tutti i termini sotto forma di monomi della forma standard:

Presentiamo termini simili nel polinomio risultante:

Il risultato è un polinomio, i cui termini sono tutti monomi della forma standard e tra questi non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Dietro grado del polinomio di una forma standard assumono i più alti poteri dei suoi membri. Quindi un binomio ha il terzo grado e un trinomio il secondo.

Tipicamente, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente di esponenti. Per esempio:

La somma di più polinomi può essere trasformata (semplificata) in un polinomio di forma standard.

A volte i termini di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché racchiudere parentesi è la trasformazione inversa dell'apertura di parentesi, è facile da formulare regole per l'apertura delle parentesi:

Se prima delle parentesi si mette il segno “+”, i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.

Se prima delle parentesi si mette il segno "-", i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, puoi trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato di regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, devi moltiplicare il monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo già utilizzato più volte questa regola per moltiplicare per una somma.

Prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ciascun termine dell'altro.

Di solito viene utilizzata la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma dei quadrati, differenze e differenza dei quadrati

Devi avere a che fare con alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono u, cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e la differenza dei quadrati. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano essere incompleti, ad esempio, questo non è, ovviamente, solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di aeb. Tuttavia, il quadrato della somma di aeb non si trova molto spesso; di regola, invece delle lettere aeb, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.

Le espressioni possono essere facilmente convertite (semplificate) in polinomi della forma standard; infatti, hai già riscontrato un compito simile moltiplicando i polinomi:

È utile ricordare le identità risultanti e applicarle senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

- il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e del doppio prodotto.

— il quadrato della differenza è uguale alla somma dei quadrati senza il doppio prodotto.

- la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza e della somma.

Queste tre identità consentono di sostituire le parti di sinistra con quelle di destra nelle trasformazioni e viceversa: le parti di destra con quelle di sinistra. La cosa più difficile è vedere le espressioni corrispondenti e capire come in esse vengono sostituite le variabili a e b. Diamo un'occhiata a diversi esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.

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Parentesi espandibili

Continuiamo a studiare le basi dell'algebra. In questa lezione impareremo come espandere le parentesi nelle espressioni. Espandere le parentesi significa rimuovere le parentesi da un'espressione.

Per aprire le parentesi, devi memorizzare solo due regole. Con la pratica regolare, puoi aprire le parentesi con gli occhi chiusi e quelle regole che dovevano essere apprese a memoria possono essere tranquillamente dimenticate.

La prima regola per aprire le parentesi

Consideriamo la seguente espressione:

Il valore di questa espressione è 2 . Apriamo le parentesi in questa espressione. Espandere le parentesi significa eliminarle senza alterare il significato dell'espressione. Cioè, dopo aver eliminato le parentesi, il valore dell'espressione 8+(−9+3) dovrebbe essere ancora uguale a due.

La prima regola per aprire le parentesi è la seguente:

Quando si aprono le parentesi, se c'è un segno più davanti alle parentesi, questo segno più viene omesso insieme alle parentesi.

Quindi, lo vediamo nell'espressione 8+(−9+3) C'è un segno più prima delle parentesi. Questo più deve essere omesso insieme alle parentesi. In altre parole, le parentesi scompariranno insieme al segno più che si trovava davanti a loro. E ciò che era tra parentesi verrà scritto senza modifiche:

8−9+3 . Questa espressione è uguale a 2 , come l'espressione precedente tra parentesi, era uguale a 2 .

8+(−9+3) E 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Esempio 2. Espandi le parentesi nell'espressione 3 + (−1 − 4)

C'è un segno più davanti alle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi rimarrà invariato:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 2 + (−1)

In questo esempio, aprire le parentesi è diventata una sorta di operazione inversa che consiste nel sostituire la sottrazione con l'addizione. Cosa significa?

Nell'espressione 2−1 avviene la sottrazione, ma può essere sostituita dall'addizione. Quindi otteniamo l'espressione 2+(−1) . Ma se nell'espressione 2+(−1) apri le parentesi e ottieni l'originale 2−1 .

Pertanto, la prima regola per l'apertura delle parentesi può essere utilizzata per semplificare le espressioni dopo alcune trasformazioni. Cioè, liberalo dalle parentesi e rendilo più semplice.

Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2a+a−5b+b .

Per semplificare questa espressione si possono usare termini simili. Ricordiamo che per ridurre i termini simili è necessario sommare i coefficienti dei termini simili e moltiplicare il risultato per la parte comune della lettera:

Ho un'espressione 3a+(−4b). Rimuoviamo le parentesi in questa espressione. C'è un segno più davanti alle parentesi, quindi usiamo la prima regola per aprire le parentesi, cioè omettiamo le parentesi insieme al segno più che precede queste parentesi:

Quindi l'espressione 2a+a−5b+b semplifica a 3a-4b .

Dopo aver aperto alcune parentesi, potresti incontrarne altre lungo il percorso. Ad essi applichiamo le stesse regole che ai primi. Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione:

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. In questo caso si applica la prima regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al segno più che le precede:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 6+(−3)+(−2)

In entrambi i punti in cui sono presenti parentesi, queste sono precedute da un segno più. Anche in questo caso vale la prima regola dell'apertura delle parentesi:

A volte il primo termine tra parentesi è scritto senza segno. Ad esempio, nell'espressione 1+(2+3−4) primo termine tra parentesi 2 scritto senza segno. Sorge la domanda: quale segno apparirà davanti ai due dopo che le parentesi e il segno più davanti alle parentesi sono stati omessi? La risposta suggerisce se stessa: ci sarà un vantaggio tra i due.

Infatti anche essendo tra parentesi c’è un più davanti ai due, ma non lo vediamo perché non è scritto. Abbiamo già detto come appare la notazione completa dei numeri positivi +1, +2, +3. Ma secondo la tradizione, i vantaggi non vengono scritti, motivo per cui vediamo i numeri positivi che ci sono familiari 1, 2, 3 .

Pertanto, per espandere le parentesi nell'espressione 1+(2+3−4) , come al solito, devi omettere le parentesi insieme al segno più davanti a queste parentesi, ma scrivi il primo termine tra parentesi con un segno più:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Esempio 4. Espandi le parentesi nell'espressione −5 + (2 − 3)

C'è un più davanti alle parentesi, quindi applichiamo la prima regola per l'apertura delle parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al più che precede queste parentesi. Ma il primo termine, che scriviamo tra parentesi con il segno più:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Esempio 5. Espandi le parentesi nell'espressione (−5)

C'è un più davanti alle parentesi, ma non è scritto perché prima non c'erano altri numeri o espressioni. Il nostro compito è rimuovere le parentesi applicando la prima regola di apertura delle parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme a questo più (anche se è invisibile)

Esempio 6. Espandi le parentesi nell'espressione 2a + (-6a + b)

C'è un segno più davanti alle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Esempio 7. Espandi le parentesi nell'espressione 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Ci sono due punti in questa espressione in cui è necessario espandere le parentesi. In entrambe le sezioni c'è un segno più prima delle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

La seconda regola per aprire le parentesi

Ora diamo un'occhiata alla seconda regola per aprire le parentesi. Si usa quando c'è un segno meno prima delle parentesi.

Se c'è un segno meno prima delle parentesi, questo segno meno viene omesso insieme alle parentesi, ma i termini che erano tra parentesi cambiano il loro segno al contrario.

Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione

Vediamo che c'è un segno meno prima delle parentesi. Ciò significa che è necessario applicare la seconda regola di espansione, ovvero omettere le parentesi insieme al segno meno davanti a queste parentesi. In questo caso, i termini tra parentesi cambieranno il loro segno in quello opposto:

Abbiamo un'espressione senza parentesi 5+2+3 . Questa espressione è uguale a 10, proprio come l'espressione precedente tra parentesi era uguale a 10.

Quindi, tra le espressioni 5−(−2−3) E 5+2+3 puoi mettere un segno di uguale, poiché sono uguali allo stesso valore:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Esempio 2. Espandi le parentesi nell'espressione 6 − (−2 − 5)

C'è un meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al meno che precede queste parentesi. In questo caso scriviamo i termini che erano tra parentesi con segni opposti:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 2 − (7 + 3)

C'è un segno meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per aprire le parentesi:

Esempio 4. Espandi le parentesi nell'espressione −(−3 + 4)

Esempio 5. Espandi le parentesi nell'espressione −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. Nel primo caso, è necessario applicare la seconda regola per l'apertura delle parentesi e per l'espressione +(−9−2) devi applicare la prima regola:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Esempio 6. Espandi le parentesi nell'espressione −(−a − 1)

Esempio 7. Espandi le parentesi nell'espressione −(4a + 3)

Esempio 8. Espandi le parentesi nell'espressione UN − (4b + 3) + 15

Esempio 9. Espandi le parentesi nell'espressione 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. Nel primo caso, è necessario applicare la prima regola per l'apertura delle parentesi e per l'espressione −(3c+5) devi applicare la seconda regola:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Esempio 10. Espandi le parentesi nell'espressione −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Ci sono tre punti in cui è necessario aprire le parentesi. Per prima cosa devi applicare la seconda regola per aprire le parentesi, poi la prima e poi ancora la seconda:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a+ 4a − 6b + 8c − 15

Meccanismo di apertura della staffa

Le regole per aprire le parentesi che abbiamo ora esaminato si basano sulla legge distributiva della moltiplicazione:

Infatti parentesi aperteè la procedura in cui il fattore comune viene moltiplicato per ciascun termine tra parentesi. Come risultato di questa moltiplicazione, le parentesi scompaiono. Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Pertanto, se devi moltiplicare un numero per un'espressione tra parentesi (o moltiplicare un'espressione tra parentesi per un numero), devi dire apriamo le parentesi.

Ma in che modo la legge distributiva della moltiplicazione è collegata alle regole per aprire le parentesi che abbiamo esaminato in precedenza?

Il fatto è che prima di ogni parentesi c'è un fattore comune. Nell'esempio 3×(4+5) il fattore comune è 3 . E nell'esempio un(b+c) il fattore comune è una variabile UN.

Se non ci sono numeri o variabili prima delle parentesi, allora lo è il fattore comune 1 O −1 , a seconda del segno che si trova davanti alle parentesi. Se c'è un più davanti alle parentesi, allora il fattore comune è 1 . Se c'è un segno meno prima delle parentesi, allora il fattore comune è −1 .

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione −(3b−1). C'è un segno meno davanti alle parentesi, quindi è necessario utilizzare la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al segno meno davanti alle parentesi. E scrivi l'espressione tra parentesi con i segni opposti:

Abbiamo espanso le parentesi utilizzando la regola per espandere le parentesi. Ma queste stesse parentesi possono essere aperte utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. Per fare ciò, scrivi prima tra parentesi il fattore comune 1, che non è stato scritto:

Il segno meno che prima stava prima delle parentesi si riferiva a questa unità. Ora puoi aprire le parentesi utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. A questo scopo il fattore comune −1 devi moltiplicare per ciascun termine tra parentesi e aggiungere i risultati.

Per comodità, sostituiamo la differenza tra parentesi con l'importo:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Come l'ultima volta che abbiamo ricevuto l'espressione −3b+1. Tutti concorderanno sul fatto che questa volta è stato dedicato più tempo alla risoluzione di un esempio così semplice. Pertanto, è più saggio utilizzare le regole già pronte per l'apertura delle parentesi, di cui abbiamo discusso in questa lezione:

Ma non fa male sapere come funzionano queste regole.

In questa lezione abbiamo imparato un'altra trasformazione identica. Insieme all'apertura delle parentesi, alla messa tra parentesi del generale e all'introduzione di termini simili, è possibile ampliare leggermente la gamma dei problemi da risolvere. Per esempio:

Qui devi eseguire due azioni: prima aprire le parentesi e quindi inserire termini simili. Quindi, in ordine:

1) Apri le parentesi:

2) Presentiamo termini simili:

Nell'espressione risultante −10b+(−1) puoi espandere le parentesi:

Esempio 2. Apri le parentesi e aggiungi termini simili nella seguente espressione:

1) Apriamo le parentesi:

2) Presentiamo termini simili. Questa volta, per risparmiare tempo e spazio, non scriveremo come vengono moltiplicati i coefficienti per la parte comune della lettera

Esempio 3. Semplificare un'espressione 8m+3m e trovarne il valore m=−4

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione. Per semplificare l'espressione 8m+3m, puoi eliminare il fattore comune in esso M fuori parentesi:

2) Trova il valore dell'espressione m(8+3) A m=−4. Per fare questo, nell'espressione m(8+3) invece di una variabile M sostituire il numero −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

“Parentesi di apertura” - Libro di testo di matematica, grado 6 (Vilenkin)

Breve descrizione:

In questa sezione imparerai come espandere le parentesi negli esempi. Cosa serve? Tutto è per la stessa cosa di prima: per renderti più facile e più semplice contare, per fare meno errori e, idealmente (il sogno del tuo insegnante di matematica) per risolvere tutto senza errori.
Sapete già che nella notazione matematica vengono poste le parentesi se due segni matematici compaiono in fila, se vogliamo mostrare la combinazione di numeri, il loro raggruppamento. Espandere le parentesi significa eliminare i caratteri non necessari. Ad esempio: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Ricordi la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione? In effetti, in quell'esempio abbiamo eliminato anche le parentesi per semplificare i calcoli. La proprietà della moltiplicazione menzionata può essere applicata anche a quattro, tre, cinque o più termini. Ad esempio: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Hai notato che quando apri le parentesi, i numeri al loro interno non cambiano segno se il numero davanti alle parentesi è positivo? Dopotutto, quindici è un numero positivo. E se risolvi questo esempio: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Avevamo un numero negativo meno quindici davanti alle parentesi, quando abbiamo aperto le parentesi tutti i numeri hanno cominciato a cambiare segno in un altro - il contrario - da più a meno.
Sulla base degli esempi precedenti, si possono stabilire due regole fondamentali per l'apertura delle parentesi:
1. Se hai un numero positivo davanti alle parentesi, dopo aver aperto le parentesi tutti i segni dei numeri tra parentesi non cambiano, ma rimangono esattamente gli stessi di prima.
2. Se davanti alle parentesi c'è un numero negativo, dopo aver aperto le parentesi il segno meno non viene più scritto e i segni di tutti i numeri assoluti tra parentesi cambiano improvvisamente nel contrario.
Ad esempio: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Complichiamo un po' i nostri esempi: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Hai notato che aprendo la seconda parentesi abbiamo moltiplicato per 2, ma i segni sono rimasti gli stessi di prima. Ecco un esempio: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, in questo esempio il numero due è negativo, è prima di Le parentesi stanno con un segno meno, quindi quando le apriamo, abbiamo cambiato i segni dei numeri con quelli opposti (nove era con un più, è diventato un meno, otto era con un meno, è diventato un più).

L'espansione delle parentesi è un tipo di trasformazione dell'espressione. In questa sezione descriveremo le regole per aprire le parentesi e vedremo anche gli esempi di problemi più comuni.

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Cos'è l'apertura delle parentesi?

Le parentesi vengono utilizzate per indicare l'ordine in cui le azioni vengono eseguite nelle espressioni numeriche, letterali e variabili. È conveniente passare da un'espressione con parentesi a un'espressione identicamente uguale senza parentesi. Ad esempio, sostituisci l'espressione 2 · (3 + 4) con un'espressione della forma 23+24 senza parentesi. Questa tecnica è chiamata parentesi aperte.

Definizione 1

L'espansione delle parentesi si riferisce alle tecniche per eliminare le parentesi e viene solitamente considerata in relazione alle espressioni che possono contenere:

• i segni “+” o “-” prima delle parentesi contenenti somme o differenze;
• il prodotto di un numero, lettera o più lettere e una somma o differenza, che viene posto tra parentesi.

È così che siamo abituati a vedere il processo di apertura delle parentesi nel curriculum scolastico. Tuttavia, nessuno ci impedisce di considerare questa azione in modo più ampio. Possiamo chiamare parentesi aprendo la transizione da un'espressione che contiene numeri negativi tra parentesi a un'espressione che non ha parentesi. Ad esempio, possiamo andare da 5 + (− 3) − (− 7) a 5 − 3 + 7. In effetti anche questa è un'apertura di parentesi.

Allo stesso modo possiamo sostituire il prodotto delle espressioni tra parentesi della forma (a + b) · (c + d) con la somma a · c + a · d + b · c + b · d. Anche questa tecnica non contraddice il significato di aprire parentesi.

Ecco un altro esempio. Possiamo supporre che qualsiasi espressione possa essere utilizzata al posto di numeri e variabili nelle espressioni. Ad esempio, l'espressione x 2 · 1 a - x + sin (b) corrisponderà a un'espressione senza parentesi della forma x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Un altro punto merita un'attenzione speciale, che riguarda le peculiarità della registrazione delle decisioni all'apertura delle parentesi. Possiamo scrivere l'espressione iniziale tra parentesi e il risultato ottenuto dopo aver aperto le parentesi come un'uguaglianza. Ad esempio, dopo aver espanso le parentesi invece dell'espressione 3 − (5 − 7) otteniamo l'espressione 3 − 5 + 7 . Possiamo scrivere entrambe queste espressioni come l'uguaglianza 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

L'esecuzione di azioni con espressioni complesse può richiedere la registrazione di risultati intermedi. Allora la soluzione avrà la forma di una catena di uguaglianze. Per esempio, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 O 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Regole per aprire le parentesi, esempi

Cominciamo a guardare le regole per aprire le parentesi.

Per i singoli numeri tra parentesi

I numeri negativi tra parentesi si trovano spesso nelle espressioni. Ad esempio, (- 4) e 3 + (- 4) . Anche i numeri positivi tra parentesi hanno un posto.

Formuliamo una regola per aprire parentesi contenenti singoli numeri positivi. Supponiamo che a sia un numero positivo qualsiasi. Quindi possiamo sostituire (a) con a, + (a) con + a, - (a) con – a. Se invece di a prendiamo un numero specifico, secondo la regola: il numero (5) verrà scritto come 5 , l'espressione 3 + (5) senza parentesi assumerà la forma 3 + 5 , poiché + (5) è sostituito da + 5 e l'espressione 3 + (− 5) è equivalente all'espressione 3 − 5 , Perché + (− 5) è sostituito da − 5 .

I numeri positivi vengono solitamente scritti senza l'uso delle parentesi, poiché in questo caso le parentesi non sono necessarie.

Consideriamo ora la regola per aprire parentesi che contengono un singolo numero negativo. + (- un) sostituiamo con − a, − (− a) è sostituito da + a. Se l'espressione inizia con un numero negativo (-a), che è scritto tra parentesi, quindi le parentesi vengono omesse e invece (-a) resti − a.

Ecco alcuni esempi: (− 5) può essere scritto come − 5, (− 3) + 0, 5 diventa − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) diventa 4 − 3 , e − (− 4) − (− 3) dopo aver aperto le parentesi assume la forma 4 + 3, poiché − (− 4) e − (− 3) è sostituito da + 4 e + 3 .

Dovrebbe essere chiaro che l'espressione 3 · (− 5) non può essere scritta come 3 · − 5. Questo sarà discusso nei paragrafi seguenti.

Vediamo su cosa si basano le regole per l'apertura delle parentesi.

Secondo la regola, la differenza a − b è uguale a a + (− b) . Sulla base delle proprietà delle azioni con i numeri, possiamo creare una catena di uguaglianze (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a il che sarà giusto. Questa catena di uguaglianze, in virtù del significato di sottrazione, dimostra che l'espressione a + (− b) è la differenza un - b.

Basandoci sulle proprietà dei numeri opposti e sulle regole per sottrarre i numeri negativi, possiamo affermare che − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Esistono espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. L'utilizzo delle regole di cui sopra consente di eliminare in sequenza le parentesi, spostandosi dalle parentesi interne a quelle esterne o nella direzione opposta. Un esempio di tale espressione sarebbe − (− ((− (5)))) . Apriamo le parentesi, spostandoci dall'interno verso l'esterno: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Questo esempio può essere analizzato anche nella direzione opposta: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Sotto UN e b possono essere intesi non solo come numeri, ma anche come espressioni numeriche o alfabetiche arbitrarie con un segno "+" davanti che non sono somme o differenze. In tutti questi casi, puoi applicare le regole nello stesso modo in cui abbiamo fatto per i singoli numeri tra parentesi.

Ad esempio, dopo aver aperto le parentesi l'espressione − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) assumerà la forma 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Come lo abbiamo fatto? Sappiamo che − (− 2 x) è + 2 x, e poiché questa espressione viene prima, allora + 2 x può essere scritto come 2 x, − (x2) = − x2, + (− 1 x) = − 1 x e − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Nei prodotti di due numeri

Cominciamo con la regola per aprire le parentesi nel prodotto di due numeri.

Facciamo finta che UN e b sono due numeri positivi. In questo caso, il prodotto di due numeri negativi − a e − b della forma (− a) · (− b) possiamo sostituire con (a · b) , e i prodotti di due numeri con segni opposti della forma (− a) · b e a · (− b) può essere sostituito con (- a b). Moltiplicare un meno per un meno dà un più, e moltiplicare un meno per un più, come moltiplicare un più per un meno dà un meno.

La correttezza della prima parte della regola scritta è confermata dalla regola per moltiplicare i numeri negativi. Per confermare la seconda parte della regola, possiamo utilizzare le regole per moltiplicare i numeri con segni diversi.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1

Consideriamo un algoritmo per aprire parentesi nel prodotto di due numeri negativi - 4 3 5 e - 2, della forma (- 2) · - 4 3 5. Per fare ciò, sostituisci l'espressione originale con 2 · 4 3 5 . Apriamo le parentesi e otteniamo 2 · 4 3 5 .

E se prendiamo il quoziente dei numeri negativi (- 4): (- 2), la voce dopo l'apertura delle parentesi sarà simile a 4: 2

Al posto dei numeri negativi − a e − b può essere qualsiasi espressione preceduta da un segno meno che non sia somma o differenza. Ad esempio, possono essere prodotti, quozienti, frazioni, potenze, radici, logaritmi, funzioni trigonometriche, ecc.

Apriamo le parentesi nell'espressione - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Secondo la regola possiamo effettuare le seguenti trasformazioni: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Espressione (-3) 2 può essere convertito nell'espressione (− 3 2) . Successivamente puoi espandere le parentesi: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

La divisione dei numeri con segni diversi può anche richiedere l'espansione preliminare delle parentesi: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 e 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

La regola può essere utilizzata per eseguire moltiplicazioni e divisioni di espressioni con segni diversi. Facciamo due esempi.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

peccato (x) (- x 2) = (- peccato (x) x 2) = - peccato (x) x 2

Nei prodotti di tre o più numeri

Passiamo ai prodotti e ai quozienti, che contengono un numero maggiore di numeri. Per aprire le parentesi, qui verrà applicata la seguente regola. Se è presente un numero pari di numeri negativi, puoi omettere le parentesi e sostituire i numeri con i loro opposti. Successivamente, è necessario racchiudere l'espressione risultante tra nuove parentesi. Se c'è un numero dispari di numeri negativi, ometti le parentesi e sostituisci i numeri con i loro opposti. Successivamente l'espressione risultante deve essere racchiusa tra nuove parentesi e preceduta da un segno meno.

Esempio 2

Prendiamo ad esempio l'espressione 5 · (− 3) · (− 2) , che è il prodotto di tre numeri. Ci sono due numeri negativi, quindi possiamo scrivere l'espressione come (5 · 3 · 2) e infine aprire le parentesi, ottenendo l'espressione 5 · 3 · 2.

Nel prodotto (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) cinque numeri sono negativi. quindi (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Dopo aver finalmente aperto le parentesi, otteniamo −2,5 3:2 4:1,25:1.

La regola di cui sopra può essere giustificata come segue. In primo luogo, possiamo riscrivere tali espressioni come un prodotto, sostituendo la divisione con la moltiplicazione per il numero reciproco. Rappresentiamo ciascun numero negativo come il prodotto di un numero moltiplicativo e - 1 o - 1 viene sostituito da (-1) a.

Usando la proprietà commutativa della moltiplicazione, scambiamo i fattori e trasferiamo tutti i fattori uguali a − 1 , all'inizio dell'espressione. Il prodotto di un numero pari meno uno è uguale a 1, mentre il prodotto di un numero dispari è uguale a − 1 , che ci permette di usare il segno meno.

Se non utilizzassimo la regola, la catena di azioni per aprire le parentesi nell'espressione - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 sarebbe simile a questa:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

La regola precedente può essere utilizzata quando si aprono parentesi in espressioni che rappresentano prodotti e quozienti con un segno meno che non sono somme o differenze. Prendiamo ad esempio l'espressione

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Si può ridurre all'espressione senza parentesi x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Parentesi espandibili precedute da un segno +

Considera una regola che può essere applicata per espandere le parentesi precedute da un segno più e il "contenuto" di tali parentesi non viene moltiplicato o diviso per alcun numero o espressione.

Secondo la regola, le parentesi, insieme al segno che le precede, vengono omesse, mentre vengono conservati i segni di tutti i termini tra parentesi. Se non c'è alcun segno prima del primo termine tra parentesi, è necessario inserire un segno più.

Esempio 3

Ad esempio, diamo l'espressione (12 − 3 , 5) − 7 . Omettendo le parentesi, manteniamo i segni dei termini tra parentesi e mettiamo il segno più davanti al primo termine. La voce sarà simile a (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Nell'esempio riportato non è necessario anteporre il segno al primo termine, poiché + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Esempio 4

Diamo un'occhiata a un altro esempio. Prendiamo l'espressione x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ed eseguiamo con essa le azioni x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ecco un altro esempio di espansione delle parentesi:

Esempio 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Come si espandono le parentesi precedute dal segno meno?

Consideriamo i casi in cui è presente un segno meno davanti alle parentesi e che non vengono moltiplicate (o divise) per alcun numero o espressione. Secondo la regola per aprire le parentesi precedute dal segno “-”, le parentesi con il segno “-” vengono omesse e i segni di tutti i termini all’interno delle parentesi vengono invertiti.

Esempio 6

Per esempio:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Le espressioni con variabili possono essere convertite utilizzando la stessa regola:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

otteniamo x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Apertura di parentesi quando si moltiplica un numero per una parentesi, espressioni per parentesi

Qui esamineremo i casi in cui è necessario espandere le parentesi moltiplicate o divise per un numero o un'espressione. Formule della forma (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) oppure b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Dove un 1, un 2, …, un n e b sono alcuni numeri o espressioni.

Esempio 7

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione (3-7)2. Secondo la regola possiamo effettuare le seguenti trasformazioni: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Otteniamo 3 · 2 − 7 · 2 .

Aprendo le parentesi nell'espressione 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, otteniamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Moltiplicazione parentesi per parentesi

Consideriamo il prodotto di due parentesi della forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Questo ci aiuterà a ottenere una regola per l'apertura delle parentesi quando si esegue la moltiplicazione parentesi per parentesi.

Per risolvere l'esempio fornito, denotiamo l'espressione (b1 + b2) come b. Questo ci permetterà di usare la regola per moltiplicare una parentesi per un'espressione. Otteniamo (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Eseguendo una sostituzione inversa B per (b 1 + b 2), applica nuovamente la regola di moltiplicare un'espressione per una parentesi: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Grazie ad alcune semplici tecniche possiamo arrivare alla somma dei prodotti di ciascuno dei termini della prima parentesi per ciascuno dei termini della seconda parentesi. La regola può essere estesa a qualsiasi numero di termini all'interno delle parentesi.

Formuliamo le regole per moltiplicare parentesi per parentesi: per moltiplicare due somme insieme, è necessario moltiplicare ciascuno dei termini della prima somma per ciascuno dei termini della seconda somma e sommare i risultati.

La formula sarà simile a:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + amb 1 + amb1 + . . . a m b n

Espandiamo le parentesi nell'espressione (1 + x) · (x 2 + x + 6) È il prodotto di due somme. Scriviamo la soluzione: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Vale la pena menzionare separatamente quei casi in cui è presente un segno meno tra parentesi insieme ai segni più. Ad esempio, prendi l'espressione (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Innanzitutto, presentiamo le espressioni tra parentesi come somme: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Ora possiamo applicare la regola: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Apriamo le parentesi: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Parentesi espandibili nei prodotti di più parentesi ed espressioni

Se in un'espressione sono presenti tre o più espressioni tra parentesi, le parentesi devono essere aperte in sequenza. È necessario iniziare la trasformazione mettendo tra parentesi i primi due fattori. All'interno di queste parentesi possiamo effettuare trasformazioni secondo le regole discusse sopra. Ad esempio, le parentesi nell'espressione (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

L'espressione contiene tre fattori contemporaneamente (2 + 4) , 3 e (5 + 7 8) . Apriremo le parentesi in sequenza. Racchiudiamo i primi due fattori in un’altra parentesi, che per chiarezza metteremo in rosso: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Secondo la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, possiamo eseguire le seguenti azioni: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Moltiplica parentesi per parentesi: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Staffa in natura

I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con esponenti naturali, possono essere considerati come il prodotto di più parentesi. Inoltre, secondo le regole dei due paragrafi precedenti, possono essere scritti senza queste parentesi.

Considera il processo di trasformazione dell'espressione (a + b + c) 2 . Può essere scritto come il prodotto di due parentesi (a+b+c) · (a+b+c). Moltiplichiamo parentesi per parentesi e otteniamo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Diamo un'occhiata a un altro esempio:

Esempio 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Dividere parentesi per numero e parentesi per parentesi

La divisione di una parentesi per un numero richiede che tutti i termini racchiusi tra parentesi siano divisi per il numero. Ad esempio, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

La divisione può essere prima sostituita dalla moltiplicazione, dopodiché è possibile utilizzare la regola appropriata per aprire le parentesi in un prodotto. La stessa regola vale quando si divide una parentesi per una parentesi.

Ad esempio, dobbiamo aprire le parentesi nell'espressione (x + 2) : 2 3 . Per fare ciò, sostituisci prima la divisione moltiplicando per il numero reciproco (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Moltiplica la parentesi per il numero (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Ecco un altro esempio di divisione per parentesi:

Esempio 9

1x+x+1: (x+2) .

Sostituiamo la divisione con la moltiplicazione: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Facciamo la moltiplicazione: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Ordine di apertura delle parentesi

Consideriamo ora l'ordine di applicazione delle regole discusse sopra nelle espressioni generali, vale a dire nelle espressioni che contengono somme con differenze, prodotti con quozienti, parentesi al grado naturale.

Procedura:

• il primo passo è elevare le parentesi a potenza naturale;
• nella seconda fase si procede all'apertura delle parentesi in opere e quozienti;
• Il passo finale è aprire le parentesi nelle somme e nelle differenze.

Consideriamo l'ordine delle azioni usando l'esempio dell'espressione (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Trasformiamo dalle espressioni 3 · (− 2) : (− 4) e 6 · (− 7) , che dovrebbero assumere la forma (3 2:4) e (− 6 · 7) . Sostituendo i risultati ottenuti nell'espressione originale, otteniamo: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Apri le parentesi: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Quando si ha a che fare con espressioni che contengono parentesi all'interno di parentesi, è conveniente effettuare le trasformazioni lavorando dall'interno verso l'esterno.

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La funzione principale delle parentesi è modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori. Per esempio, nell'espressione numerica \(5·3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione e poi l'addizione: \(5·3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\) verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Esempio. Espandi la parentesi: \(-(4m+3)\).
Soluzione : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Esempio. Apri la parentesi e inserisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
Soluzione : Tra parentesi abbiamo \(3\) e \(-x\), e prima della parentesi c'è un cinque. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \(5\) - te lo ricordo Il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione delle voci.

Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
Soluzione : Come nell'esempio precedente, \(-3x\) e \(5\) tra parentesi vengono moltiplicati per \(-2\).

Esempio. Semplifica l'espressione: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluzione : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
Soluzione : Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi - moltiplica ciascuno dei suoi termini per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti delle parentesi e del fattore come descritto sopra:
- Cominciando dall'inizio...

Poi il secondo.

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e presentiamo termini simili:

Non è necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato, puoi moltiplicarle subito. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi, a scrivere in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere errori.

Nota per l'intera sezione. Infatti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, basta ricordarne solo una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Perché? Perché se ne sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Parentesi all'interno di una parentesi

A volte nella pratica ci sono problemi con le parentesi annidate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi: quale è in quale;
- aprire le staffe in sequenza, iniziando, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, semplicemente riscrivendolo così com'è.
Diamo un'occhiata all'attività scritta sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluzione:

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluzione :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Qui c'è un triplo annidamento di parentesi. Cominciamo da quello più interno (evidenziato in verde). C'è un vantaggio davanti alla staffa, quindi si stacca semplicemente.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Adesso bisogna aprire la seconda staffa, quella intermedia. Ma prima semplificheremo l’espressione dei termini fantasmatici in questa seconda parentesi.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Ora apriamo la seconda parentesi (evidenziata in blu). Prima della parentesi c'è un fattore, quindi ogni termine nella parentesi viene moltiplicato per esso.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		E apri l'ultima parentesi. C'è un segno meno davanti alla parentesi, quindi tutti i segni sono invertiti.

Espandere le parentesi è un'abilità di base in matematica. Senza questa abilità, è impossibile ottenere un voto superiore al C nei gradi 8 e 9. Pertanto, ti consiglio di comprendere bene questo argomento.