Come trovare una soluzione generale e particolare di un sistema di equazioni lineari. Mucchio articolare e non articolare

12.10.2019

Esempio 1. Trova una soluzione generale e qualche soluzione particolare del sistema

Soluzione farlo con una calcolatrice. Scriviamo le matrici estese e principali:

La matrice principale A è separata da una linea tratteggiata Dall'alto, scriviamo i sistemi incogniti, tenendo presente la possibile permutazione dei termini nelle equazioni del sistema. Determinando il rango della matrice estesa, troviamo contemporaneamente il rango di quella principale. Nella matrice B, la prima e la seconda colonna sono proporzionali. Delle due colonne proporzionali solo una può cadere nella minore di base, quindi spostiamo ad esempio la prima colonna oltre la linea tratteggiata di segno opposto. Per il sistema, ciò significa il trasferimento di termini da x 1 al lato destro delle equazioni.

Portiamo la matrice in forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungere un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema . Lavorando con la prima riga: moltiplica la prima riga della matrice per (-3) e aggiungi a turno la seconda e la terza riga. Quindi moltiplichiamo la prima riga per (-2) e la aggiungiamo alla quarta.

La seconda e la terza riga sono proporzionali, quindi una di esse, ad esempio la seconda, può essere barrata. Ciò equivale a cancellare la seconda equazione del sistema, poiché è una conseguenza della terza.

Ora lavoriamo con la seconda riga: moltiplicala per (-1) e aggiungila alla terza.

Il minore tratteggiato ha l'ordine più alto (di tutti i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale), e questo minore appartiene sia alla matrice principale che a quella estesa, quindi rangA = rangB = 3 .
Minore è basilare. Include i coefficienti per le incognite x 2, x 3, x 4, il che significa che le incognite x 2, x 3, x 4 sono dipendenti e x 1, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo il minore di base (che corrisponde al punto 4 dell'algoritmo risolutivo di cui sopra).

Il sistema con coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma

Con il metodo di eliminazione delle incognite troviamo:
, ,

Abbiamo relazioni che esprimono variabili dipendenti x 2, x 3, x 4 attraverso x 1 e x 5 liberi, cioè abbiamo trovato una soluzione generale:

Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Troviamo due soluzioni particolari:
1) sia x 1 = x 5 = 0, allora x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) metti x 1 = 1, x 5 = -1, quindi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Pertanto, abbiamo trovato due soluzioni: (0.1, -3,3,0) - una soluzione, (1.4, -7.7, -1) - un'altra soluzione.

Esempio 2. Indagare sulla compatibilità, trovare una soluzione generale e una particolare del sistema

Soluzione. Riorganizziamo la prima e la seconda equazione per avere un'unità nella prima equazione e scriviamo la matrice B.

Otteniamo zeri nella quarta colonna, operando sulla prima riga:

Ora ottieni gli zeri nella terza colonna usando la seconda riga:

La terza e la quarta riga sono proporzionali, quindi una di esse può essere cancellata senza modificare il rango:
Moltiplica la terza riga per (-2) e aggiungi alla quarta:

Vediamo che i ranghi delle matrici principale ed estesa sono 4, e il rango coincide con il numero di incognite, quindi il sistema ha un'unica soluzione:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Esempio 3. Esaminare il sistema per verificarne la compatibilità e trovare una soluzione, se esiste.

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema.

Riorganizza le prime due equazioni in modo che ci sia un 1 nell'angolo in alto a sinistra:
Moltiplicando la prima riga per (-1), la aggiungiamo alla terza:

Moltiplica la seconda riga per (-2) e aggiungi alla terza:

Il sistema è incoerente, poiché la matrice principale ha ricevuto una riga composta da zeri, che viene barrata quando viene trovato il rango, e l'ultima riga rimane nella matrice estesa, ovvero r B > r A .

Esercizio. Indaga sulla compatibilità di questo sistema di equazioni e risolvilo mediante il calcolo matriciale.
Soluzione

Esempio. Dimostrare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari e risolverlo in due modi: 1) con il metodo di Gauss; 2) Metodo di Cramer. (inserisci la risposta nella forma: x1,x2,x3)
Soluzione :doc :doc :xls
Risposta: 2,-1,3.

Esempio. È dato un sistema di equazioni lineari. Dimostra la sua compatibilità. Trova una soluzione generale del sistema e una soluzione particolare.
Soluzione
Risposta: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Esercizio. Trova soluzioni generali e particolari per ogni sistema.
Soluzione. Studiamo questo sistema usando il teorema di Kronecker-Capelli.
Scriviamo le matrici estese e principali:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Qui la matrice A è in grassetto.
Portiamo la matrice in forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungere un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema .
Moltiplica la prima riga per (3). Moltiplica la seconda riga per (-1). Aggiungiamo la seconda riga alla prima:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Moltiplica la seconda riga per (2). Moltiplica la terza riga per (-3). Aggiungiamo la terza riga alla seconda:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Moltiplica la seconda riga per (-1). Aggiungiamo la seconda riga alla prima:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Il minore selezionato ha l'ordine più alto (tra i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale reciproca), e questo minore appartiene sia alla matrice principale che a quella estesa, quindi rang( A) = rang(B) = 3 Poiché il rango della matrice principale è uguale al rango di quella estesa, allora il sistema è collaborativo.
Questo minore è di base. Include i coefficienti per le incognite x 1, x 2, x 3, il che significa che le incognite x 1, x 2, x 3 sono dipendenti (di base) e x 4, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo la base minore.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma:
27x3=
- x 2 + 13 x 3 = - 1 + 3 x 4 - 6 x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Con il metodo di eliminazione delle incognite troviamo:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono variabili dipendenti x 1, x 2, x 3 attraverso x 4, x 5 liberi, cioè abbiamo trovato decisione comune:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = -1 + 3x 4 - 8x 5
incerto, Perché ha più di una soluzione.

Esercizio. Risolvi il sistema di equazioni.
Risposta:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Il sistema è incerto

Il sistema è chiamato giunto, O risolvibile se ha almeno una soluzione. Il sistema è chiamato incompatibile, O insolubile se non ha soluzioni

SLAE definito, indefinito.

Se uno SLAE ha una soluzione ed è unico, viene chiamato certo e se la soluzione non è unica, allora incerto.

EQUAZIONI DI MATRICI

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni in tre incognite:

Considera la matrice del sistema e colonne di matrici di membri sconosciuti e liberi

Troviamo il prodotto

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri di sinistra delle equazioni di questo sistema. Quindi, usando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto come

o più breve UN∙X=B.

Qui matrici UN E B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione è chiamata equazione matriciale.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Perché il LA -1 LA = MI E E∙X=X, quindi otteniamo la soluzione dell'equazione della matrice nella forma X = LA-1 SI .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite.

Le formule di Cramer

Il metodo di Cramer è che troviamo successivamente identificatore del sistema principale, cioè. determinante della matrice A: D = det (a i j) e n determinanti ausiliari D i (i= ), che si ottengono dal determinante D sostituendo la i-esima colonna con una colonna di membri liberi.

Le formule di Cramer sembrano: D × x i = D i (i = ).

Da ciò segue la regola di Cramer, che dà una risposta esaustiva alla questione della compatibilità del sistema: se il determinante principale del sistema è diverso da zero, allora il sistema ha un'unica soluzione, determinata dalle formule: x i = D i / D.

Se il determinante principale del sistema D e tutti i determinanti ausiliari D i = 0 (i= ), allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Se il determinante principale del sistema D = 0, e almeno un determinante ausiliario è diverso da zero, allora il sistema è inconsistente.

Teorema (regola di Cramer): se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema considerato ha una ed una sola soluzione, e

Dimostrazione: Consideriamo un sistema di 3 equazioni in tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per il complemento algebrico Un 11 elemento un 11, 2a equazione - su A21 e 3 ° - acceso UN 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Considera ciascuna delle parentesi e il lato destro di questa equazione. Secondo il teorema sullo sviluppo del determinante in termini degli elementi della 1a colonna.

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Infine, è facile vederlo

Quindi, otteniamo l'uguaglianza: . Quindi, .

Similmente derivano le uguaglianze e, donde segue l'asserzione del teorema.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Un sistema di equazioni lineari è consistente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice aumentata.

Prova: Si scompone in due fasi.

1. Lascia che il sistema abbia una soluzione. Dimostriamolo.

Facciamo l'insieme dei numeri è la soluzione del sistema. Indichiamo con la -esima colonna della matrice , . Allora, cioè, la colonna dei termini liberi è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Permettere . Facciamo finta che . Poi da . Scegliamo nella base minore . Ha ordine. La colonna dei membri liberi deve passare per questo minore, altrimenti sarà la base minore della matrice. La colonna dei termini liberi in minore è una combinazione lineare delle colonne della matrice. In virtù delle proprietà del determinante, dove è il determinante che si ottiene dal minore sostituendo la colonna dei termini liberi con la colonna . Se la colonna è passata per la M minore, allora in , ci saranno due colonne identiche e, quindi, . Se la colonna non è passata per il minore, differirà dal minore di ordine r + 1 della matrice solo per l'ordine delle colonne. Da allora . Quindi, che contraddice la definizione di una base minore. Quindi, l'ipotesi che , è falsa.

2. Lascia . Dimostriamo che il sistema ha una soluzione. Poiché , allora la base minore della matrice è la base minore della matrice . Lascia che le colonne passino per il minore . Allora, per il teorema di base minore in una matrice, la colonna dei termini liberi è una combinazione lineare delle colonne indicate:

(1)

Poniamo , , , , e prendiamo le rimanenti incognite uguali a zero. Quindi per questi valori otteniamo

In virtù dell'uguaglianza (1) . L'ultima uguaglianza significa che l'insieme dei numeri è la soluzione del sistema. L'esistenza di una soluzione è dimostrata.

Nel sistema discusso sopra , e il sistema è coerente. Nel sistema , , e il sistema è incoerente.

Nota: sebbene il teorema di Kronecker-Capelli permetta di determinare se il sistema è coerente, è usato abbastanza raramente, principalmente negli studi teorici. Il motivo è che i calcoli eseguiti per trovare il rango di una matrice sono fondamentalmente gli stessi dei calcoli per trovare una soluzione al sistema. Pertanto, di solito invece di trovare e , si cerca una soluzione al sistema. Se può essere trovato, apprendiamo che il sistema è consistente e contemporaneamente otteniamo la sua soluzione. Se non è possibile trovare una soluzione, allora concludiamo che il sistema è incoerente.

Algoritmo per trovare soluzioni a un sistema arbitrario di equazioni lineari (metodo di Gauss)

Sia dato un sistema di equazioni lineari in incognite. È necessario trovare la sua soluzione generale se è coerente o stabilire la sua incoerenza. Il metodo che verrà presentato in questa sezione è vicino al metodo di calcolo del determinante e al metodo di ricerca del rango di una matrice. Viene chiamato l'algoritmo proposto Metodo di Gauss O metodo di eliminazione successiva delle incognite.

Scriviamo la matrice aumentata del sistema

Chiamiamo le seguenti operazioni con matrici operazioni elementari:

1. permutazione di linee;

2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;

3. somma di una stringa con un'altra stringa moltiplicata per un numero.

Si noti che quando si risolve un sistema di equazioni, a differenza del calcolo del determinante e della ricerca del rango, non si può operare con le colonne. Se il sistema di equazioni viene ripristinato dalla matrice ottenuta eseguendo un'operazione elementare, allora il nuovo sistema sarà equivalente a quello originario.

Lo scopo dell'algoritmo è, applicando una sequenza di operazioni elementari alla matrice, garantire che ogni riga, eccetto forse la prima, inizi con zeri e il numero di zeri fino al primo elemento diverso da zero in ogni elemento successivo riga è maggiore di quella precedente.

Il passo dell'algoritmo è il seguente. Trova la prima colonna diversa da zero nella matrice. Lascia che sia una colonna con numero . Troviamo un elemento diverso da zero in esso e scambiamo la riga con questo elemento con la prima riga. Per non accumulare notazioni aggiuntive, assumeremo che tale modifica di righe nella matrice sia già stata effettuata, ovvero . Poi alla seconda riga aggiungiamo la prima moltiplicata per il numero, alla terza riga aggiungiamo la prima moltiplicata per il numero, ecc. Di conseguenza, otteniamo la matrice

(Di solito mancano le prime colonne nulle.)

Se la matrice ha una riga con il numero k, in cui tutti gli elementi sono uguali a zero, e , allora interrompiamo l'esecuzione dell'algoritmo e concludiamo che il sistema è incoerente. Infatti, ripristinando il sistema di equazioni dalla matrice estesa, si ottiene che la -esima equazione avrà la forma

Questa equazione non soddisfa nessun insieme di numeri .

La matrice può essere scritta come

Per quanto riguarda la matrice, eseguiamo il passaggio descritto dell'algoritmo. Ottieni la matrice

Dove , . Questa matrice può ancora essere scritta come

e il passaggio precedente dell'algoritmo viene nuovamente applicato alla matrice.

Il processo si interrompe se dopo l'esecuzione del passo successivo la nuova matrice ridotta è composta da soli zeri o se tutte le righe sono esaurite. Si noti che la conclusione sull'incompatibilità del sistema potrebbe interrompere il processo anche prima.

Se non riducessimo la matrice, alla fine arriveremmo a una matrice della forma

Successivamente, viene eseguito il cosiddetto passaggio inverso del metodo gaussiano. Sulla base della matrice, componiamo un sistema di equazioni. Sul lato sinistro, lasciamo le incognite con i numeri corrispondenti ai primi elementi diversi da zero in ogni riga, cioè . Notare che . Le restanti incognite vengono trasferite sul lato destro. Considerando le incognite sul lato destro come quantità fisse, è facile esprimere le incognite sul lato sinistro in termini di esse.

Ora, dando valori arbitrari alle incognite a destra e calcolando i valori delle variabili a sinistra, troveremo varie soluzioni al sistema originario Ax=b. Per scrivere la soluzione generale, è necessario indicare le incognite sul lato destro in qualsiasi ordine di lettere , comprese quelle incognite che non sono scritte esplicitamente sul lato destro a causa di zero coefficienti, e quindi la colonna delle incognite può essere scritta come una colonna, dove ogni elemento è una combinazione lineare di valori arbitrari (in particolare, solo un valore arbitrario ). Questa voce sarà la soluzione generale del sistema.

Se il sistema è omogeneo, otteniamo la soluzione generale del sistema omogeneo. I coefficienti di , presi in ogni elemento della colonna della soluzione generale, comporranno la prima soluzione del sistema fondamentale di soluzioni, i coefficienti di , la seconda soluzione, e così via.

Metodo 2: Il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo può essere ottenuto in un altro modo. Per fare ciò, a una variabile, trasferita sul lato destro, deve essere assegnato il valore 1 e il resto - zeri. Calcolando i valori delle variabili sul lato sinistro, otteniamo una soluzione dal sistema fondamentale. Assegnando il valore 1 all'altra variabile a destra, e zero alle altre, otteniamo la seconda soluzione del sistema fondamentale, e così via.

Definizione: il sistema è chiamato congiuntamente th, se ha almeno una soluzione e incoerente, altrimenti, cioè nel caso in cui il sistema non ha soluzioni. La questione se un sistema abbia o meno una soluzione è connessa non solo al rapporto tra il numero di equazioni e il numero di incognite. Ad esempio, un sistema di tre equazioni con due incognite

ha una soluzione e ha anche infinite soluzioni, ma un sistema di due equazioni con tre incognite.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Questo sistema è sempre consistente poiché ha una soluzione banale x 1 =…=x n =0

Perché esistano soluzioni non banali è necessario e sufficiente che

condizioni r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Gi L'insieme delle soluzioni SLAE forma uno spazio lineare di dimensione (n-r). Ciò significa che il prodotto della sua soluzione per un numero, così come la somma e la combinazione lineare di un numero finito delle sue soluzioni, sono soluzioni di questo sistema. Lo spazio di soluzione lineare di qualsiasi SLAE è un sottospazio dello spazio R n .

Viene chiamato qualsiasi insieme di (n-r) soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE (che è una base nello spazio delle soluzioni) insieme fondamentale di soluzioni (FSR).

Siano х 1 ,…,х r le incognite di base, х r +1 ,…,х n le incognite libere. Diamo a turno i seguenti valori alle variabili libere:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Forma uno spazio lineare S (spazio delle soluzioni), che è un sottospazio in R n (n è il numero di incognite), e dims=k=n-r, dove r è il rango del sistema. La base nello spazio delle soluzioni (x (1) ,…, x (k) ) è chiamata sistema fondamentale di soluzioni, e la soluzione generale ha la forma:

X=c 1 x (1) + … + c K X (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Sistemi M equazioni lineari con N sconosciuto.
Risoluzione di un sistema di equazioni lineariè un tale insieme di numeri ( x 1 , x 2 , …, x n), sostituendo quale in ciascuna delle equazioni del sistema si ottiene la corretta uguaglianza.
Dove a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n sono i coefficienti del sistema;
b io , io = 1, …, m- membri gratuiti;
x j , j = 1, …, n- sconosciuto.
Il sistema di cui sopra può essere scritto in forma matriciale: LA X = B,

Dove ( UN|B) è la matrice principale del sistema;
UN— matrice estesa del sistema;
X— colonna delle incognite;
Bè una colonna di membri gratuiti.
Se la matrice B non è una matrice nulla ∅, allora questo sistema di equazioni lineari si dice disomogeneo.
Se la matrice B= ∅, allora questo sistema di equazioni lineari è detto omogeneo. Un sistema omogeneo ha sempre una soluzione nulla (banale): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Sistema congiunto di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che ha una soluzione.
Sistema incoerente di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari senza soluzione.
Determinato sistema di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che ha una soluzione unica.
Sistema indefinito di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che ha un numero infinito di soluzioni.
Sistemi di n equazioni lineari con n incognite
Se il numero di incognite è uguale al numero di equazioni, la matrice è quadrata. Il determinante della matrice è chiamato il determinante principale del sistema di equazioni lineari ed è indicato dal simbolo Δ.
Metodo Cramer per risolvere i sistemi N equazioni lineari con N sconosciuto.
Regola di Cramer.
Se il determinante principale di un sistema di equazioni lineari non è uguale a zero, allora il sistema è coerente e definito e l'unica soluzione viene calcolata utilizzando le formule di Cramer:
dove Δ i sono i determinanti ottenuti dal determinante principale del sistema Δ per sostituzione io esima colonna alla colonna dei membri gratuiti. .
Sistemi di m equazioni lineari con n incognite
Teorema di Kronecker-Cappelli.

Affinché questo sistema di equazioni lineari sia consistente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice del sistema sia uguale al rango della matrice estesa del sistema, rango(Α) = rango(Α|B).
Se suonò(Α) ≠ suonò(Α|B), allora il sistema ovviamente non ha soluzioni.
Se rango(Α) = rango(Α|B), allora sono possibili due casi:
1) suonò(Α) = n(al numero di incognite) - la soluzione è unica e può essere ottenuta con le formule di Cramer;
2) rango (Α)< n − ci sono infinite soluzioni.
Metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni lineari

Componiamo la matrice aumentata ( UN|B) del dato sistema di coefficienti all'incognita ea destra.
Il metodo gaussiano o metodo di eliminazione delle incognite consiste nel ridurre la matrice aumentata ( UN|B) con l'aiuto di trasformazioni elementari sulle sue file in una forma diagonale (in una forma triangolare superiore). Tornando al sistema di equazioni, vengono determinate tutte le incognite.
Le trasformazioni elementari sulle stringhe includono quanto segue:
1) scambiare due linee;
2) moltiplicare una stringa per un numero diverso da 0;
3) aggiungere alla stringa un'altra stringa moltiplicata per un numero arbitrario;
4) scartando una stringa nulla.
Una matrice estesa ridotta ad una forma diagonale corrisponde ad un sistema lineare equivalente a quello dato, la cui soluzione non pone difficoltà. .
Sistema di equazioni lineari omogenee.
Il sistema omogeneo ha la forma:

corrisponde all'equazione della matrice A X = 0.
1) Un sistema omogeneo è sempre consistente, poiché r(A) = r(A|B), c'è sempre una soluzione nulla (0, 0, …, 0).
2) Affinché un sistema omogeneo abbia una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che r = r(A)< n , che equivale a Δ = 0.
3) Se R< n , allora Δ = 0, allora ci sono incognite libere c 1 , c 2 , …, c n-r, il sistema ha soluzioni non banali e ce ne sono infinite.
4) Soluzione generale X A R< n può essere scritto in forma matriciale come segue:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
dove sono le soluzioni X 1 , X 2 , …, X n-r formare un sistema fondamentale di soluzioni.
5) Il sistema fondamentale di soluzioni può essere ottenuto dalla soluzione generale del sistema omogeneo:

,
se in sequenza assumiamo che i valori dei parametri siano (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Scomposizione della soluzione generale in termini del sistema fondamentale di soluzioniè una registrazione della soluzione generale come combinazione lineare di soluzioni appartenenti al sistema fondamentale.
Teorema. Affinché un sistema di equazioni lineari omogenee abbia soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che Δ ≠ 0.
Quindi, se il determinante è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione.
Se Δ ≠ 0, allora il sistema di equazioni lineari omogenee ha un numero infinito di soluzioni.
Teorema. Affinché un sistema omogeneo abbia una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che RA)< n .
Prova:
1) R non può essere di più N(il rango della matrice non supera il numero di colonne o righe);
2) R< n , Perché Se r=n, quindi il determinante principale del sistema Δ ≠ 0, e, secondo le formule di Cramer, esiste un'unica soluzione banale x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, che contraddice la condizione. Significa, RA)< n .
Conseguenza. Per un sistema omogeneo N equazioni lineari con N incognite ha soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che Δ = 0.

I sistemi di equazioni sono ampiamente utilizzati nell'industria economica nella modellazione matematica di vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.

I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi per trovare la dimensione della popolazione.

Un sistema di equazioni lineari è un termine per due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.

Equazione lineare

Le equazioni della forma ax+by=c sono chiamate lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvendo l'equazione tracciando il suo grafico sembrerà una linea retta, i cui punti sono la soluzione del polinomio.

Tipi di sistemi di equazioni lineari

I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.

Risolvere un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) per i quali il sistema diventa una vera uguaglianza, oppure stabilire che non esistono valori adatti di x e y.

Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate di punti, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.

Se i sistemi hanno una soluzione comune o non c'è soluzione, sono chiamati equivalenti.

I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.

Il numero di variabili può essere molto più di due, allora dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.

Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente elevato.

Metodi semplici e complessi per la risoluzione di sistemi di equazioni

Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. Il corso scolastico di matematica descrive in dettaglio metodi come permutazione, addizione algebrica, sostituzione, nonché il metodo grafico e matriciale, la soluzione con il metodo Gauss.

Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ogni esempio. L'importante non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un particolare metodo.

La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari del 7 ° grado del programma scolastico di istruzione generale è abbastanza semplice ed è spiegata in modo molto dettagliato. In qualsiasi libro di testo sulla matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi delle istituzioni educative superiori.

Soluzione di sistemi con il metodo della sostituzione

Le azioni del metodo di sostituzione mirano a esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a una singola forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema

Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:

Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa attraverso F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . La soluzione di questo esempio non causa difficoltà e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio consiste nel verificare i valori ottenuti.

Non sempre è possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo scomoda per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.

Soluzione di un esempio di un sistema di equazioni lineari disomogenee:

Soluzione usando l'addizione algebrica

Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, vengono eseguite l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.

Le applicazioni di questo metodo richiedono pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari usando il metodo dell'addizione con il numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.

Algoritmo di azione della soluzione:

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per un numero. Come risultato dell'operazione aritmetica, uno dei coefficienti della variabile deve diventare uguale a 1.
Aggiungi l'espressione risultante termine per termine e trova una delle incognite.
Sostituisci il valore risultante nella seconda equazione del sistema per trovare la variabile rimanente.

Metodo di soluzione introducendo una nuova variabile

Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non dovrebbe essere superiore a due.

Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita immessa e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.

Si può vedere dall'esempio che introducendo una nuova variabile t, è stato possibile ridurre la prima equazione del sistema ad un trinomio quadrato standard. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.

È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Nell'esempio dato, a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.

La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.

Un metodo visivo per risolvere i sistemi

Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo consiste nel tracciare i grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema sull'asse delle coordinate. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve saranno la soluzione generale del sistema.

Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.

Come si può vedere dall'esempio, per ogni linea sono stati costruiti due punti, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. In base ai valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.

I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.

Nell'esempio seguente, è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.

Come si vede dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafi sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.

I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.

Matrix e le sue varietà

Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.

Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e di righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinitamente possibile di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri elementi nulli si chiama identità.

Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in un'unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.

Regole per trasformare un sistema di equazioni in una matrice

Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.

Una riga della matrice è detta diversa da zero se almeno un elemento della riga è diverso da zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.

Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'ignoto y - solo nella seconda.

Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono moltiplicati in sequenza per un numero.

Opzioni per trovare la matrice inversa

La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 è la matrice inversa e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.

Il determinante è facilmente calcolato per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.

Soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo matriciale

Il metodo a matrice per trovare una soluzione consente di ridurre le voci ingombranti quando si risolvono sistemi con un gran numero di variabili ed equazioni.

Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.

Soluzione di sistemi con il metodo di Gauss

Nella matematica superiore, il metodo Gauss viene studiato insieme al metodo Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo di risoluzione Gauss-Cramer. Questi metodi sono usati per trovare le variabili di sistemi con un gran numero di equazioni lineari.

Il metodo gaussiano è molto simile alle soluzioni di sostituzione e addizione algebrica, ma è più sistematico. Nel corso scolastico, la soluzione gaussiana viene utilizzata per sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 rispettivamente con 3 e 4 variabili.

Dopo aver portato il sistema alla forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.

Nei libri di testo scolastici per la settima elementare, un esempio di soluzione gaussiana è descritto come segue:

Come si vede dall'esempio, al passo (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.

Il teorema 5, citato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originario.

Il metodo gaussiano è difficile da capire per gli studenti delle scuole medie, ma è uno dei modi più interessanti per sviluppare l'ingegnosità dei bambini che studiano nel programma di studio avanzato nelle lezioni di matematica e fisica.

Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine eseguire le seguenti operazioni:

I coefficienti di equazione ei termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, dove ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.

Prima annotano la matrice con cui lavorare, poi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.

Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice è ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.

Questa notazione è meno macchinosa e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.

L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi sono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.

La risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) è senza dubbio l'argomento più importante del corso di algebra lineare. Un numero enorme di problemi di tutti i rami della matematica è ridotto alla risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questi fattori spiegano il motivo per la creazione di questo articolo. Il materiale dell'articolo è selezionato e strutturato in modo che con il suo aiuto tu possa farlo

scegli il metodo ottimale per risolvere il tuo sistema di equazioni algebriche lineari,
studiare la teoria del metodo scelto,
risolvi il tuo sistema di equazioni lineari, avendo considerato in dettaglio le soluzioni di esempi e problemi tipici.

Breve descrizione del materiale dell'articolo.

Innanzitutto, diamo tutte le definizioni e i concetti necessari e introduciamo alcune notazioni.

Successivamente, consideriamo metodi per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari in cui il numero di equazioni è uguale al numero di variabili sconosciute e che hanno una soluzione unica. Innanzitutto, concentriamoci sul metodo Cramer, in secondo luogo, mostreremo il metodo matriciale per risolvere tali sistemi di equazioni e, in terzo luogo, analizzeremo il metodo Gauss (il metodo di eliminazione successiva di variabili sconosciute). Per consolidare la teoria, risolveremo sicuramente diversi SLAE in vari modi.

Successivamente, passiamo alla risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale, in cui il numero di equazioni non coincide con il numero di variabili sconosciute o la matrice principale del sistema è degenere. Formuliamo il teorema di Kronecker-Capelli, che ci permette di stabilire la compatibilità degli SLAE. Analizziamo la soluzione dei sistemi (nel caso della loro compatibilità) utilizzando il concetto di base minore di una matrice. Considereremo anche il metodo di Gauss e descriveremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.

Assicurati di soffermarti sulla struttura della soluzione generale di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari. Diamo il concetto di un sistema fondamentale di soluzioni e mostriamo come la soluzione generale dello SLAE è scritta usando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni. Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

In conclusione, consideriamo sistemi di equazioni ridotti a quelli lineari, nonché vari problemi, nella soluzione dei quali sorgono SLAE.

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Definizioni, concetti, designazioni.

Considereremo sistemi di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite (p può essere uguale ad n ) della forma

Variabili sconosciute, - coefficienti (alcuni numeri reali o complessi), - membri liberi (anche numeri reali o complessi).

Questa forma di SLAE è chiamata coordinata.

IN forma matriciale questo sistema di equazioni ha la forma ,
Dove - la matrice principale del sistema, - la matrice-colonna delle variabili incognite, - la matrice-colonna dei membri liberi.

Se aggiungiamo alla matrice A come colonna (n + 1)-esima la colonna-matrice dei termini liberi, otteniamo la cosiddetta matrice espansa sistemi di equazioni lineari. Di solito, la matrice aumentata è indicata dalla lettera T e la colonna dei membri liberi è separata da una linea verticale dal resto delle colonne, ovvero,

Risolvendo un sistema di equazioni algebriche lineari chiamato un insieme di valori di variabili sconosciute, che trasforma tutte le equazioni del sistema in identità. Anche l'equazione della matrice per i valori dati delle variabili sconosciute si trasforma in un'identità.

Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, viene chiamato giunto.

Se il sistema di equazioni non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.

Se uno SLAE ha una soluzione univoca, viene richiamato certo; se c'è più di una soluzione, allora - incerto.

Se i termini liberi di tutte le equazioni del sistema sono uguali a zero , quindi viene chiamato il sistema omogeneo, Altrimenti - eterogeneo.

Soluzione di sistemi elementari di equazioni algebriche lineari.

Se il numero di equazioni di sistema è uguale al numero di variabili sconosciute e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, allora chiameremo tali SLAE elementare. Tali sistemi di equazioni hanno una soluzione unica e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte le variabili sconosciute sono uguali a zero.

Abbiamo iniziato a studiare tale SLAE al liceo. Nel risolverle, abbiamo preso un'equazione, espresso una variabile sconosciuta in termini di altre e l'abbiamo sostituita nelle restanti equazioni, poi abbiamo preso l'equazione successiva, espresso la successiva variabile sconosciuta e l'abbiamo sostituita in altre equazioni, e così via. Oppure usavano il metodo dell'addizione, cioè aggiungevano due o più equazioni per eliminare alcune variabili sconosciute. Non ci soffermeremo su questi metodi in dettaglio, poiché sono essenzialmente modifiche del metodo di Gauss.

I metodi principali per risolvere sistemi elementari di equazioni lineari sono il metodo di Cramer, il metodo delle matrici e il metodo di Gauss. Risolviamoli.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Cramer.

Dobbiamo risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari

in cui il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite e il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, cioè .

Sia il determinante della matrice principale del sistema, e sono determinanti di matrici ottenute da A mediante sostituzione 1°, 2°, …, ennesima colonna rispettivamente alla colonna dei membri liberi:

Con tale notazione, le variabili incognite sono calcolate con le formule del metodo di Cramer as . Ecco come si trova la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari con il metodo di Cramer.

Esempio.

Metodo Cramer .

Soluzione.

La matrice principale del sistema ha la forma . Calcola il suo determinante (se necessario, vedi l'articolo):

Poiché il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, il sistema ha un'unica soluzione che può essere trovata con il metodo di Cramer.

Componi e calcola i determinanti necessari (il determinante si ottiene sostituendo la prima colonna della matrice A con una colonna di membri liberi, il determinante - sostituendo la seconda colonna con una colonna di membri liberi, - sostituendo la terza colonna della matrice A con una colonna di membri liberi ):

Trovare variabili sconosciute utilizzando formule :

Risposta:

Il principale svantaggio del metodo di Cramer (se può essere definito uno svantaggio) è la complessità del calcolo dei determinanti quando il numero di equazioni di sistema è superiore a tre.

Risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari con il metodo matriciale (utilizzando la matrice inversa).

Sia dato il sistema di equazioni algebriche lineari in forma matriciale , dove la matrice A ha dimensione n per n e il suo determinante è diverso da zero.

Poiché , allora la matrice A è invertibile, cioè esiste una matrice inversa . Se moltiplichiamo entrambe le parti dell'uguaglianza per a sinistra, otteniamo una formula per trovare la matrice di colonna delle variabili sconosciute. Quindi abbiamo ottenuto la soluzione del sistema di equazioni algebriche lineari con il metodo della matrice.

Esempio.

Risolvere il sistema di equazioni lineari metodo matriciale.

Soluzione.

Riscriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale:

Perché

quindi lo SLAE può essere risolto con il metodo della matrice. Usando la matrice inversa, la soluzione di questo sistema può essere trovata come .

Costruiamo una matrice inversa utilizzando una matrice di complementi algebrici degli elementi della matrice A (se necessario, vedi l'articolo):

Resta da calcolare: la matrice delle variabili sconosciute moltiplicando la matrice inversa sulla colonna-matrice dei membri liberi (se necessario, vedere l'articolo):

Risposta:

o in un'altra notazione x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Il problema principale nel trovare soluzioni a sistemi di equazioni algebriche lineari con il metodo matriciale è la complessità di trovare la matrice inversa, specialmente per matrici quadrate di ordine superiore al terzo.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss.

Supponiamo di dover trovare una soluzione a un sistema di n equazioni lineari con n variabili incognite
il cui determinante della matrice principale è diverso da zero.

L'essenza del metodo Gauss consiste nella successiva esclusione delle incognite: prima, x 1 è escluso da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda, poi x 2 è escluso da tutte le equazioni, a partire dalla terza, e così via, fino a quando solo l'incognita x n rimane nell'ultima equazione. Viene chiamato un tale processo di trasformazione delle equazioni del sistema per la successiva eliminazione di variabili sconosciute Metodo di Gauss diretto. Dopo il completamento della corsa in avanti del metodo gaussiano, x n viene trovato dall'ultima equazione, x n-1 viene calcolato dalla penultima equazione utilizzando questo valore e così via, x 1 viene trovato dalla prima equazione. Viene chiamato il processo di calcolo delle variabili sconosciute quando si passa dall'ultima equazione del sistema alla prima metodo di Gauss inverso.

Descriviamo brevemente l'algoritmo per eliminare le variabili sconosciute.

Assumeremo che , poiché possiamo sempre ottenere ciò riorganizzando le equazioni del sistema. Escludiamo la variabile incognita x 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda. Per fare ciò, aggiungi la prima equazione moltiplicata per alla seconda equazione del sistema, aggiungi la prima moltiplicata per alla terza equazione e così via, aggiungi la prima moltiplicata per all'ennesima equazione. Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove un .

Arriveremmo allo stesso risultato se esprimessimo x 1 in termini di altre variabili sconosciute nella prima equazione del sistema e sostituissimo l'espressione risultante in tutte le altre equazioni. Pertanto, la variabile x 1 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla seconda.

Successivamente, agiamo in modo simile, ma solo con una parte del sistema risultante, che è contrassegnato nella figura

Per fare ciò, aggiungi il secondo moltiplicato per alla terza equazione del sistema, aggiungi il secondo moltiplicato per alla quarta equazione e così via, aggiungi il secondo moltiplicato per all'ennesima equazione. Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove un . Pertanto, la variabile x 2 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla terza.

Successivamente, si procede all'eliminazione dell'incognita x 3, agendo allo stesso modo con la parte del sistema segnata in figura

Quindi continuiamo il corso diretto del metodo di Gauss finché il sistema non assume la forma

Da questo momento, iniziamo il corso inverso del metodo di Gauss: calcoliamo x n dall'ultima equazione come , utilizzando il valore ottenuto x n troviamo x n-1 dalla penultima equazione, e così via, troviamo x 1 dalla prima equazione.

Esempio.

Risolvere il sistema di equazioni lineari Metodo gaussiano.

Soluzione.

Escludiamo la variabile incognita x 1 dalla seconda e terza equazione del sistema. Per fare ciò, ad entrambe le parti della seconda e della terza equazione, aggiungiamo le parti corrispondenti della prima equazione, moltiplicate rispettivamente per e per:

Ora escludiamo x 2 dalla terza equazione aggiungendo alle sue parti sinistra e destra le parti sinistra e destra della seconda equazione, moltiplicate per:

Su questo, il corso in avanti del metodo di Gauss è completato, iniziamo il corso inverso.

Dall'ultima equazione del sistema di equazioni risultante, troviamo x 3:

Dalla seconda equazione otteniamo .

Dalla prima equazione troviamo la variabile incognita rimanente e questo completa il corso inverso del metodo di Gauss.

Risposta:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Nel caso generale, il numero di equazioni del sistema p non coincide con il numero di incognite n:

Tali SLAE possono non avere soluzioni, avere un'unica soluzione o avere infinite soluzioni. Questa affermazione vale anche per i sistemi di equazioni la cui matrice principale è quadrata e degenere.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Prima di trovare una soluzione a un sistema di equazioni lineari, è necessario stabilirne la compatibilità. La risposta alla domanda quando SLAE è compatibile e quando è incompatibile, dà Teorema di Kronecker-Capelli:
perché un sistema di p equazioni con n incognite (p può essere uguale a n ) sia consistente è necessario e sufficiente che il rango della matrice principale del sistema sia uguale al rango della matrice estesa, cioè Rank( A)=Rango(T) .

Consideriamo come esempio l'applicazione del teorema di Kronecker-Cappelli per determinare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari.

Esempio.

Scopri se il sistema di equazioni lineari ha soluzioni.

Soluzione.

. Usiamo il metodo del confine con i minori. Minori di secondo ordine diverso da zero. Esaminiamo i minori di terzo ordine che lo circondano:

Poiché tutti i minori di terzo ordine confinanti sono uguali a zero, il rango della matrice principale è due.

A sua volta, il rango della matrice aumentata è uguale a tre, essendo la minore del terzo ordine

diverso da zero.

Così, Rang(A) , quindi, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, possiamo concludere che il sistema originario di equazioni lineari è inconsistente.

Risposta:

Non esiste un sistema risolutivo.

Quindi, abbiamo imparato a stabilire l'incoerenza del sistema usando il teorema di Kronecker-Capelli.

Ma come trovare la soluzione dello SLAE se ne viene stabilita la compatibilità?

Per fare questo abbiamo bisogno del concetto di base minore di una matrice e del teorema sul rango di una matrice.

Viene chiamato il minore di ordine più alto della matrice A, diverso da zero di base.

Dalla definizione della base minore segue che il suo ordine è uguale al rango della matrice. Per una matrice A diversa da zero, possono esserci diversi minori di base; c'è sempre un minore di base.

Consideriamo ad esempio la matrice .

Tutti i minori di terzo ordine di questa matrice sono uguali a zero, poiché gli elementi della terza riga di questa matrice sono la somma dei corrispondenti elementi della prima e della seconda riga.

I seguenti minori del secondo ordine sono fondamentali, in quanto diversi da zero

Minori non sono fondamentali, poiché sono uguali a zero.

Teorema del rango di matrice.

Se il rango di una matrice di ordine p per n è r, allora tutti gli elementi delle righe (e colonne) della matrice che non formano la base minore scelta sono espressi linearmente in termini dei corrispondenti elementi delle righe (e colonne ) che formano la base minor.

Cosa ci dà il teorema del rango di matrice?

Se, per il teorema di Kronecker-Capelli, abbiamo stabilito la compatibilità del sistema, allora scegliamo qualsiasi minore di base della matrice principale del sistema (il suo ordine è uguale a r), ed escludiamo dal sistema tutte le equazioni che non formare il minore di base prescelto. Lo SLAE così ottenuto sarà equivalente a quello originale, poiché le equazioni scartate sono ancora ridondanti (secondo il teorema del rango di matrice, sono una combinazione lineare delle restanti equazioni).

Di conseguenza, dopo aver scartato le equazioni eccessive del sistema, sono possibili due casi.

Se il numero di equazioni r nel sistema risultante è uguale al numero di variabili incognite, allora sarà definito e l'unica soluzione può essere trovata con il metodo di Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Esempio.

Soluzione.

Rango della matrice principale del sistema è uguale a due, essendo la minore di secondo ordine diverso da zero. Rango di matrice esteso è anche uguale a due, poiché l'unico minore del terzo ordine è uguale a zero

e il minore del secondo ordine sopra considerato è diverso da zero. Sulla base del teorema di Kronecker-Capelli, si può affermare la compatibilità del sistema originario di equazioni lineari, poiché Rank(A)=Rank(T)=2 .

Come base minore, prendiamo . È formato dai coefficienti della prima e della seconda equazione:

La terza equazione del sistema non partecipa alla formazione del minore di base, quindi la escludiamo dal sistema basato sul teorema del rango di matrice:

Abbiamo così ottenuto un sistema elementare di equazioni algebriche lineari. Risolviamo con il metodo di Cramer:

Risposta:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Se il numero di equazioni r nello SLAE risultante è inferiore al numero di variabili sconosciute n , allora lasciamo i termini che formano il minore di base nelle parti di sinistra delle equazioni e trasferiamo i termini rimanenti nelle parti di destra delle equazioni del sistema con segno opposto.

Vengono chiamate le variabili incognite (ce ne sono r) che rimangono sul lato sinistro delle equazioni principale.

Vengono chiamate le variabili sconosciute (ce ne sono n - r) che sono finite sul lato destro gratuito.

Assumiamo ora che le variabili incognite libere possano assumere valori arbitrari, mentre le r variabili incognite principali saranno espresse in termini di variabili incognite libere in modo univoco. La loro espressione può essere trovata risolvendo lo SLAE risultante con il metodo di Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Facciamo un esempio.

Esempio.

Risolvi il sistema di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Trova il rango della matrice principale del sistema con il metodo dei minori confinanti. Prendiamo un 1 1 = 1 come minore di primo ordine diverso da zero. Iniziamo a cercare un minore di secondo ordine diverso da zero che circonda questo minore:

Quindi abbiamo trovato un minore diverso da zero di secondo ordine. Iniziamo la ricerca di un minore confinante diverso da zero del terzo ordine:

Pertanto, il rango della matrice principale è tre. Anche il rango della matrice aumentata è uguale a tre, cioè il sistema è consistente.

Il minore diverso da zero di terzo ordine trovato sarà preso come fondamentale.

Per chiarezza, mostriamo gli elementi che formano la base minore:

Lasciamo i termini che partecipano al minore di base sul lato sinistro delle equazioni del sistema e trasferiamo il resto con segni opposti sul lato destro:

Diamo variabili sconosciute libere x 2 e x 5 valori arbitrari, cioè prendiamo , dove sono numeri arbitrari. In questo caso assume la forma lo SLAE

Risolviamo il sistema elementare ottenuto di equazioni algebriche lineari con il metodo Cramer:

Quindi, .

Nella risposta, non dimenticare di indicare variabili sconosciute libere.

Risposta:

Dove sono i numeri arbitrari.

Riassumere.

Per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari di una forma generale, scopriamo prima la sua compatibilità usando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il rango della matrice principale non è uguale al rango della matrice estesa, concludiamo che il sistema è incoerente.

Se il rango della matrice principale è uguale al rango della matrice estesa, scegliamo il minore di base e scartiamo le equazioni del sistema che non partecipano alla formazione del minore di base scelto.

Se l'ordine della base minore è uguale al numero di variabili sconosciute, allora lo SLAE ha una soluzione unica, che può essere trovata con qualsiasi metodo a noi noto.

Se l'ordine della base minore è inferiore al numero di variabili sconosciute, lasciamo i termini con le principali variabili sconosciute sul lato sinistro delle equazioni del sistema, trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro e assegniamo valori arbitrari alle variabili incognite libere. Dal sistema risultante di equazioni lineari, troviamo le principali variabili incognite con il metodo Cramer, il metodo matriciale o il metodo Gauss.

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Utilizzando il metodo di Gauss, si possono risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di qualsiasi tipo senza la loro indagine preliminare per la compatibilità. Il processo di eliminazione successiva delle variabili sconosciute consente di trarre una conclusione sia sulla compatibilità che sull'incoerenza dello SLAE e, se esiste una soluzione, consente di trovarla.

Dal punto di vista del lavoro computazionale, è preferibile il metodo gaussiano.

Vedere la sua descrizione dettagliata e gli esempi analizzati nell'articolo Metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Registrazione della soluzione generale di sistemi algebrici lineari omogenei e disomogenei utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni.

In questa sezione, ci concentreremo su sistemi congiunti omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari che hanno un numero infinito di soluzioni.

Affrontiamo prima i sistemi omogenei.

Sistema decisionale fondamentale Un sistema omogeneo di p equazioni algebriche lineari con n incognite è un insieme di (n – r) soluzioni linearmente indipendenti di questo sistema, dove r è l'ordine della base minore della matrice principale del sistema.

Se designiamo soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE omogeneo come X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sono matrici colonne di dimensione n da 1 ) , quindi la soluzione generale di questo sistema omogeneo è rappresentata come una combinazione lineare di vettori del sistema fondamentale di soluzioni con coefficienti costanti arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), cioè .

Cosa significa il termine soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (oroslau)?

Il significato è semplice: la formula specifica tutte le possibili soluzioni allo SLAE originale, in altre parole, prendendo qualsiasi insieme di valori di costanti arbitrarie C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , secondo la formula noi otterrà una delle soluzioni dello SLAE omogeneo originale.

Quindi, se troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, allora possiamo impostare tutte le soluzioni di questo SLAE omogeneo come .

Mostriamo il processo di costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per uno SLAE omogeneo.

Scegliamo la minore di base del sistema originario di equazioni lineari, escludiamo tutte le altre equazioni dal sistema e trasferiamo a destra delle equazioni del sistema di segno opposto tutti i termini contenenti variabili incognite libere. Diamo alle variabili incognite libere i valori 1,0,0,…,0 e calcoliamo le incognite principali risolvendo in qualsiasi modo il sistema elementare di equazioni lineari risultante, ad esempio con il metodo Cramer. Si otterrà quindi X (1), la prima soluzione del sistema fondamentale. Se diamo alle incognite libere i valori 0,1,0,0,…,0 e calcoliamo le incognite principali, allora otteniamo X (2) . E così via. Se assegniamo alle variabili incognite libere i valori 0,0,…,0,1 e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (n-r) . In questo modo verrà costruito il sistema fondamentale di soluzioni dello SLAE omogeneo e la sua soluzione generale potrà essere scritta nella forma .

Per sistemi disomogenei di equazioni algebriche lineari, la soluzione generale è rappresentata come

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio.

Trova il sistema fondamentale di soluzioni e la soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Il rango della matrice principale di sistemi omogenei di equazioni lineari è sempre uguale al rango della matrice estesa. Troviamo il rango della matrice principale con il metodo delle frange minori. Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 9 della matrice principale del sistema. Trova il minore diverso da zero confinante del secondo ordine:

Si trova un minore di secondo ordine, diverso da zero. Esaminiamo i minori di terzo ordine che lo confinano alla ricerca di uno diverso da zero:

Tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice principale ed estesa è due. Prendiamo il minore di base. Per chiarezza, notiamo gli elementi del sistema che lo compongono:

La terza equazione dello SLAE originario non partecipa alla formazione del minore di base, pertanto può essere esclusa:

Lasciamo a destra delle equazioni i termini contenenti le incognite principali e trasferiamo a destra i termini con incognite libere:

Costruiamo un sistema fondamentale di soluzioni al sistema omogeneo originale di equazioni lineari. Il sistema fondamentale di soluzioni di questo SLAE è costituito da due soluzioni, poiché lo SLAE originale contiene quattro variabili sconosciute e l'ordine del suo minore di base è due. Per trovare X (1), diamo alle variabili sconosciute libere i valori x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, quindi troviamo le principali incognite dal sistema di equazioni
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