Come trovare la radice di un numero grande. Contare senza calcolatrice

19.10.2019

Come estrarre la radice dal numero. In questo articolo impareremo come calcolare la radice quadrata dei numeri a quattro e cinque cifre.

Prendiamo come esempio la radice quadrata del 1936.

Quindi, .

L'ultima cifra del numero 1936 è il numero 6. Il quadrato del numero 4 e del numero 6 termina con 6. Pertanto, 1936 può essere il quadrato del numero 44 o del numero 46. Resta da verificare utilizzando la moltiplicazione.

Significa,

Prendiamo la radice quadrata del numero 15129.

Quindi, .

L'ultima cifra del numero 15129 è il numero 9. Il quadrato del numero 3 e del numero 7 termina con 9. Pertanto, 15129 può essere il quadrato del numero 123 o del numero 127. Controlliamo utilizzando la moltiplicazione.

Significa,

Come estrarre la radice - video

E ora vi consiglio di guardare il video di Anna Denisova - "Come estrarre la radice ", autore del sito" Fisica semplice", in cui spiega come trovare radici quadrate e cubiche senza calcolatrice.

Il video illustra diversi modi per estrarre le radici:

1. Il modo più semplice per estrarre la radice quadrata.

2. Per selezione utilizzando il quadrato della somma.

3. Metodo babilonese.

4. Metodo per estrarre la radice quadrata di una colonna.

5. Un modo rapido per estrarre la radice cubica.

6. Metodo per estrarre la radice cubica in una colonna.

Gli studenti si chiedono sempre: “Perché non posso usare la calcolatrice nell’esame di matematica? Come estrarre la radice quadrata di un numero senza calcolatrice? Proviamo a rispondere a questa domanda.

Come estrarre la radice quadrata di un numero senza l'aiuto di una calcolatrice?

Azione radice quadrata inversa all'azione di quadratura.

√81= 9 9 2 =81

Se prendi la radice quadrata di un numero positivo e eleva il risultato al quadrato, ottieni lo stesso numero.

Dai piccoli numeri che sono quadrati esatti dei numeri naturali, ad esempio 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, si possono estrarre oralmente le radici quadrate. Di solito a scuola insegnano una tavola di quadrati di numeri naturali fino a venti. Conoscendo questa tabella, è facile estrarre radici quadrate dai numeri 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dai numeri maggiori di 400 puoi estrarle utilizzando il metodo di selezione utilizzando alcuni suggerimenti. Proviamo a vedere questo metodo con un esempio.

Esempio: Estrai la radice del numero 676.

Notiamo che 20 2 = 400 e 30 2 = 900, che significa 20< √676 < 900.

I quadrati esatti dei numeri naturali terminano con 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Il numero 6 è dato da 4 2 e 6 2.
Ciò significa che se la radice viene presa da 676, allora sarà 24 o 26.

Resta da verificare: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Risposta: √676 = 26 .

Di più esempio: √6889 .

Poiché 80 2 = 6400 e 90 2 = 8100, allora 80< √6889 < 90.
Il numero 9 è dato da 3 2 e 7 2, quindi √6889 è uguale a 83 o 87.

Controlliamo: 83 2 = 6889.

Risposta: √6889 = 83 .

Se trovi difficile risolverlo utilizzando il metodo di selezione, puoi fattorizzare l'espressione radicale.

Per esempio, trova √893025.

Prendiamo in considerazione il numero 893025, ricorda, l'hai fatto in prima media.

Otteniamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Di più esempio: √20736. Consideriamo il numero 20736:

Otteniamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naturalmente, la fattorizzazione richiede la conoscenza dei segni di divisibilità e capacità di fattorizzazione.

E finalmente c'è regola per l'estrazione delle radici quadrate. Facciamo conoscenza con questa regola con esempi.

Calcola √279841.

Per estrarre la radice di un numero intero a più cifre, lo dividiamo da destra a sinistra in facce contenenti 2 cifre (il bordo più a sinistra può contenere una cifra). Lo scriviamo così: 27’98’41

Per ottenere la prima cifra della radice (5), prendiamo la radice quadrata del quadrato perfetto più grande contenuto nella prima faccia a sinistra (27).
Quindi il quadrato della prima cifra della radice (25) viene sottratto dalla prima faccia e la faccia successiva (98) viene aggiunta alla differenza (sottratta).
A sinistra del numero risultante 298, scrivi la doppia cifra della radice (10), dividi per essa il numero di tutte le decine del numero precedentemente ottenuto (29/2 ≈ 2), verifica il quoziente (102 ∙ 2 = 204 non dovrebbe essere superiore a 298) e scrivere (2) dopo la prima cifra della radice.
Quindi il quoziente risultante 204 viene sottratto da 298 e il bordo successivo (41) viene aggiunto alla differenza (94).
A sinistra del numero risultante 9441, scrivi il doppio prodotto delle cifre della radice (52 ∙2 = 104), dividi il numero di tutte le decine del numero 9441 (944/104 ≈ 9) per questo prodotto, prova la il quoziente (1049 ∙9 = 9441) dovrebbe essere 9441 e scriverlo (9) dopo la seconda cifra della radice.

Abbiamo ricevuto la risposta √279841 = 529.

Estrarre in modo simile radici delle frazioni decimali. Solo il numero radicale deve essere diviso in facce in modo che la virgola sia tra le facce.

Esempio. Trova il valore √0.00956484.

Ricorda solo che se una frazione decimale ha un numero dispari di cifre decimali, non è possibile estrarne la radice quadrata.

Quindi ora hai visto tre modi per estrarre la radice. Scegli quello più adatto a te e fai pratica. Per imparare a risolvere i problemi, è necessario risolverli. E se hai qualche domanda, .

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Formule di radice. Proprietà delle radici quadrate.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Nella lezione precedente abbiamo capito cos'è una radice quadrata. È ora di capire quali esistono formule per le radici cosa sono proprietà delle radici, e cosa si può fare con tutto questo.

Formule delle radici, proprietà delle radici e regole per lavorare con le radici- questa è essenzialmente la stessa cosa. Esistono sorprendentemente poche formule per le radici quadrate. Il che sicuramente mi rende felice! O meglio, puoi scrivere tante formule diverse, ma per un lavoro pratico e sicuro con le radici ne bastano solo tre. Tutto il resto scaturisce da questi tre. Anche se molte persone si confondono con le tre formule radicali, sì...

Cominciamo con quello più semplice. Eccola qui:

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

E tu l'hai fatto dipendenza dalla calcolatrice? Oppure pensi che sia molto difficile calcolare, ad esempio, se non con una calcolatrice o utilizzando una tabella dei quadrati.

Succede che gli scolari siano legati a una calcolatrice e addirittura moltiplichino 0,7 per 0,5 premendo i pulsanti preziosi. Dicono che so ancora fare i conti, ma ora risparmierò tempo... Quando arriverà l'esame... allora mi sforzerò...

Quindi il fatto è che ci saranno già molti “momenti di stress” durante l'esame... Come si suol dire, l'acqua corrode le pietre. Quindi in un esame le piccole cose, se sono tante, possono rovinarti...

Riduciamo al minimo il numero di possibili problemi.

Prendere la radice quadrata di un numero grande

Parleremo ora solo del caso in cui il risultato dell'estrazione della radice quadrata è un numero intero.

Caso 1.

Quindi, ad ogni costo (ad esempio, quando si calcola il discriminante) dobbiamo calcolare la radice quadrata di 86436.

Considereremo il numero 86436 in fattori primi. Dividendo per 2, otteniamo 43218; dividendo ancora per 2, otteniamo 21609. Un numero non può essere divisibile per 2. Ma poiché la somma delle cifre è divisibile per 3, allora il numero stesso è divisibile per 3 (in generale è chiaro che è divisibile anche per 9). . Dividiamo nuovamente per 3 e otteniamo 2401. 2401 non è completamente divisibile per 3. Non divisibile per cinque (non termina con 0 o 5).

Sospettiamo la divisibilità per 7. Infatti, e ,

Quindi, completa l'ordine!

Caso 2.

Dobbiamo calcolare . È scomodo agire nello stesso modo descritto sopra. Cerchiamo di fattorizzare...

Il numero 1849 non è divisibile per 2 (non è nemmeno)…

Non è completamente divisibile per 3 (la somma delle cifre non è un multiplo di 3)...

Non è completamente divisibile per 5 (l’ultima cifra non è né 5 né 0)…

Non è completamente divisibile per 7, non è divisibile per 11, non è divisibile per 13... Ebbene, quanto tempo ci vorrà per mettere in ordine tutti i numeri primi?

Pensiamo in modo leggermente diverso.

Lo capiamo

Abbiamo ristretto la ricerca. Ora esaminiamo i numeri da 41 a 49. Inoltre, è chiaro che poiché l'ultima cifra del numero è 9, dovremmo fermarci alle opzioni 43 o 47 - solo questi numeri, una volta quadrati, daranno l'ultima cifra 9 .

Bene, qui, ovviamente, ci fermiamo a 43. Infatti,

PS Come diavolo moltiplichiamo 0,7 per 0,5?

Dovresti moltiplicare 5 per 7, ignorando zeri e segni, e poi separare, procedendo da destra a sinistra, due cifre decimali. Otteniamo 0,35.

Prima delle calcolatrici, gli studenti e gli insegnanti calcolavano le radici quadrate a mano. Esistono diversi modi per calcolare manualmente la radice quadrata di un numero. Alcuni offrono solo una soluzione approssimativa, altri danno una risposta esatta.

Passi

fattorizzazione in numeri primi

Fattorizza il numero radicale in fattori che sono numeri quadrati. A seconda del numero radicale otterrai una risposta approssimativa o esatta. I numeri quadrati sono numeri da cui si può ricavare l'intera radice quadrata. I fattori sono numeri che, moltiplicati, danno il numero originale. Ad esempio, i divisori del numero 8 sono 2 e 4, poiché 2 x 4 = 8, i numeri 25, 36, 49 sono numeri quadrati, poiché √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Fattori quadrati sono fattori, che sono numeri quadrati. Innanzitutto, prova a scomporre il numero radicale in fattori quadrati.

Ad esempio, calcola la radice quadrata di 400 (a mano). Per prima cosa prova a scomporre 400 in fattori quadrati. 400 è un multiplo di 100, cioè divisibile per 25: questo è un numero quadrato. Dividendo 400 per 25 ottieni 16. Anche il numero 16 è un numero quadrato. Pertanto, 400 può essere scomposto nei fattori quadrati di 25 e 16, ovvero 25 x 16 = 400.
Questo può essere scritto come segue: √400 = √(25 x 16).

La radice quadrata del prodotto di alcuni termini è uguale al prodotto delle radici quadrate di ciascun termine, cioè √(a x b) = √a x √b. Usa questa regola per prendere la radice quadrata di ciascun fattore quadrato e moltiplicare i risultati per trovare la risposta.
- Nel nostro esempio, prendi la radice di 25 e 16.
  - √(25x16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Se il numero radicale non viene scomposto in due fattori quadrati (e ciò accade nella maggior parte dei casi), non sarai in grado di trovare la risposta esatta sotto forma di numero intero. Ma puoi semplificare il problema scomponendo il numero radicale in un fattore quadrato e un fattore ordinario (un numero da cui non si può ricavare l'intera radice quadrata). Quindi prenderai la radice quadrata del fattore quadrato e prenderai la radice del fattore comune.
- Ad esempio, calcola la radice quadrata del numero 147. Il numero 147 non può essere scomposto in due fattori quadrati, ma può essere scomposto nei seguenti fattori: 49 e 3. Risolvi il problema come segue:
  - = √(49x3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Se necessario, stimare il valore della radice. Ora puoi stimare il valore della radice (trova un valore approssimativo) confrontandolo con i valori delle radici dei numeri quadrati più vicini (su entrambi i lati della linea numerica) al numero radicale. Riceverai il valore della radice come frazione decimale, che deve essere moltiplicata per il numero dietro il segno della radice.
- Torniamo al nostro esempio. Il numero radicale è 3. I numeri quadrati più vicini ad esso saranno i numeri 1 (√1 = 1) e 4 (√4 = 2). Pertanto, il valore di √3 si trova tra 1 e 2. Poiché il valore di √3 è probabilmente più vicino a 2 che a 1, la nostra stima è: √3 = 1,7. Moltiplichiamo questo valore per il numero al segno della radice: 7 x 1,7 = 11,9. Se fai i conti con la calcolatrice, otterrai 12,13, che è abbastanza vicino alla nostra risposta.
  - Questo metodo funziona anche con numeri grandi. Ad esempio, considera √35. Il numero radicale è 35. I numeri quadrati più vicini ad esso saranno i numeri 25 (√25 = 5) e 36 (√36 = 6). Pertanto, il valore di √35 si trova tra 5 e 6. Poiché il valore di √35 è molto più vicino a 6 che a 5 (perché 35 è solo 1 inferiore a 36), possiamo dire che √35 è leggermente inferiore a 6 Il controllo sulla calcolatrice ci dà la risposta 5.92 - avevamo ragione.
Un altro modo è scomporre il numero radicale in fattori primi. I fattori primi sono numeri divisibili solo per 1 e per se stessi. Scrivi i fattori primi di una serie e trova le coppie di fattori identici. Tali fattori possono essere eliminati dal segno radice.
- Ad esempio, calcola la radice quadrata di 45. Scomponiamo il numero radicale in fattori primi: 45 = 9 x 5 e 9 = 3 x 3. Pertanto, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 può essere tolto come segno di radice: √45 = 3√5. Ora possiamo stimare √5.
- Consideriamo un altro esempio: √88.
  - = √(2x44)
  - = √ (2x4x11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Hai ricevuto tre moltiplicatori di 2; prendine un paio e spostali oltre il segno della radice.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ora puoi valutare √2 e √11 e trovare una risposta approssimativa.
Calcolo manuale della radice quadrata

Utilizzando la divisione lunga
1. Questo metodo prevede un processo simile alla divisione lunga e fornisce una risposta accurata. Innanzitutto, traccia una linea verticale che divide il foglio in due metà, quindi a destra e leggermente sotto il bordo superiore del foglio, traccia una linea orizzontale sulla linea verticale. Ora dividi il numero radicale in coppie di numeri, iniziando dalla parte frazionaria dopo la virgola. Quindi il numero 79520789182.47897 si scrive "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Ad esempio, calcoliamo la radice quadrata del numero 780,14. Disegna due linee (come mostrato nell'immagine) e scrivi il numero indicato nella forma “7 80, 14” in alto a sinistra. È normale che la prima cifra da sinistra sia una cifra non accoppiata. Scriverai la risposta (la radice di questo numero) in alto a destra.
2. Per la prima coppia di numeri (o numero singolo) da sinistra, trova il più grande intero n il cui quadrato è minore o uguale alla coppia di numeri (o numero singolo) in questione. In altre parole, trova il numero quadrato più vicino, ma più piccolo, della prima coppia di numeri (o numero singolo) da sinistra e prendi la radice quadrata di quel numero quadrato; otterrai il numero n. Scrivi la n che hai trovato in alto a destra e scrivi il quadrato di n in basso a destra.
  - Nel nostro caso, il primo numero a sinistra sarà 7. Successivamente, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Sottrai il quadrato del numero n che hai appena trovato dalla prima coppia di numeri (o numero singolo) a sinistra. Scrivi il risultato del calcolo sotto il sottraendo (il quadrato del numero n).
  - Nel nostro esempio, sottrai 4 da 7 e ottieni 3.
4. Prendi la seconda coppia di numeri e scrivila accanto al valore ottenuto nel passaggio precedente. Poi raddoppia il numero in alto a destra e scrivi il risultato in basso a destra con l'aggiunta di "_×_=".
  - Nel nostro esempio, la seconda coppia di numeri è "80". Scrivi "80" dopo il 3. Quindi, raddoppiando il numero in alto a destra ottieni 4. Scrivi "4_×_=" in basso a destra.
5. Compila gli spazi vuoti a destra.
  - Nel nostro caso, se al posto dei trattini mettiamo il numero 8, allora 48 x 8 = 384, che è più di 380. Pertanto, 8 è un numero troppo grande, ma 7 andrà bene. Scrivi 7 invece di trattini e ottieni: 47 x 7 = 329. Scrivi 7 in alto a destra: questa è la seconda cifra nella radice quadrata desiderata del numero 780,14.
6. Sottrai il numero risultante dal numero corrente a sinistra. Scrivi il risultato del passaggio precedente sotto il numero corrente a sinistra, trova la differenza e scrivila sotto il sottraendo.
  - Nel nostro esempio, sottrai 329 da 380, che equivale a 51.
7. Ripetere il passaggio 4. Se la coppia di numeri da trasferire è la parte frazionaria del numero originale, inserisci un separatore (virgola) tra la parte intera e quella frazionaria nella radice quadrata richiesta in alto a destra. A sinistra, abbassa la prossima coppia di numeri. Raddoppia il numero in alto a destra e scrivi il risultato in basso a destra con l'aggiunta di "_×_=".
  - Nel nostro esempio, la prossima coppia di numeri da rimuovere sarà la parte frazionaria del numero 780.14, quindi posiziona il separatore delle parti intere e frazionarie nella radice quadrata desiderata in alto a destra. Prendi 14 e scrivilo in basso a sinistra. Il doppio del numero in alto a destra (27) fa 54, quindi scrivi "54_×_=" in basso a destra.
8. Ripetere i passaggi 5 e 6. Trova il numero più grande al posto dei trattini a destra (al posto dei trattini devi sostituire lo stesso numero) in modo che il risultato della moltiplicazione sia inferiore o uguale al numero corrente a sinistra.
  - Nel nostro esempio, 549 x 9 = 4941, che è inferiore al numero attuale a sinistra (5114). Scrivi 9 in alto a destra e sottrai il risultato della moltiplicazione dal numero attuale a sinistra: 5114 - 4941 = 173.
9. Se hai bisogno di trovare più cifre decimali per la radice quadrata, scrivi un paio di zeri a sinistra del numero corrente e ripeti i passaggi 4, 5 e 6. Ripeti i passaggi finché non ottieni la precisione della risposta (numero di cifre decimali) che desideri Bisogno.
Comprendere il processo
1. Considera la prima coppia di cifre Sa del numero S (Sa = 7 nel nostro esempio) e trova la sua radice quadrata. In questo caso, la prima cifra A del valore di radice quadrata desiderato sarà una cifra il cui quadrato è minore o uguale a S a (ovvero, stiamo cercando una A tale che la disuguaglianza A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Diciamo che dobbiamo dividere 88962 per 7; qui il primo passo sarà simile: consideriamo la prima cifra del numero divisibile 88962 (8) e selezioniamo il numero più grande che, moltiplicato per 7, dia un valore minore o uguale a 8. Cerchiamo cioè un numero d per il quale è vera la disuguaglianza: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Immagina mentalmente un quadrato di cui devi calcolare l'area. Stai cercando L, cioè la lunghezza del lato di un quadrato la cui area è uguale a S. A, B, C sono i numeri del numero L. Puoi scriverlo diversamente: 10A + B = L (per un numero a due cifre) oppure 100A + 10B + C = L (per un numero a tre cifre) e così via.
  - Permettere (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ricorda che 10A+B è un numero in cui la cifra B sta per le unità e la cifra A sta per le decine. Ad esempio, se A=1 e B=2, allora 10A+B è uguale al numero 12. (10A+B)²è l'area dell'intero quadrato, 100A²- area della grande piazza interna, B²- area della piazzetta interna, 10A×B- l'area di ciascuno dei due rettangoli. Sommando le aree delle figure descritte, troverai l'area del quadrato originale.