Funzione esponenziale
Funzione della forma y = a X , dove a è maggiore di zero e a non è uguale a uno è chiamata funzione esponenziale. Le principali proprietà della funzione esponenziale:
1. Il dominio della funzione esponenziale sarà l'insieme dei numeri reali.
2. L'intervallo della funzione esponenziale sarà l'insieme di tutti i numeri reali positivi. A volte questo insieme è indicato come R+ per brevità.
3. Se in una funzione esponenziale la base a è maggiore di uno, allora la funzione sarà crescente nell'intero dominio di definizione. Se la funzione esponenziale per la base a soddisfa la seguente condizione 0
4. Saranno valide tutte le proprietà di base dei gradi. Le principali proprietà dei gradi sono rappresentate dalle seguenti uguaglianze:
UN X *UN si = un (x+y) ;
(UN X )/(UN si ) = A (x-y) ;
(a*b) X = (a X )*(UN si );
(a/b) X = un X /B X ;
(UN X ) si = un (x*y) .
Queste uguaglianze saranno valide per tutti i valori reali di x e y.
5. Il grafico della funzione esponenziale passa sempre per il punto di coordinate (0;1)
6. A seconda che la funzione esponenziale aumenti o diminuisca, il suo grafico avrà uno dei due tipi.
La figura seguente mostra un grafico di una funzione esponenziale crescente: a>0.
La figura seguente è un grafico di una funzione esponenziale decrescente: 0
Sia il grafico della funzione esponenziale crescente che il grafico della funzione esponenziale decrescente, secondo la proprietà descritta nel quinto paragrafo, passano per il punto (0; 1).
7. Una funzione esponenziale non ha punti di estremo, cioè, in altre parole, non ha punti di minimo e massimo della funzione. Se consideriamo la funzione su un particolare segmento, la funzione prenderà i valori minimo e massimo alle estremità di questo intervallo.
8. La funzione non è pari o dispari. Una funzione esponenziale è una funzione generale. Lo si può vedere anche dai grafici, nessuno di essi è simmetrico né rispetto all'asse Oy né rispetto all'origine.
Logaritmo
I logaritmi sono sempre stati considerati un argomento difficile nel corso di matematica della scuola. Esistono molte definizioni diverse del logaritmo, ma per qualche motivo la maggior parte dei libri di testo usa la più complessa e sfortunata di esse.
Definiremo il logaritmo in modo semplice e chiaro. Creiamo una tabella per questo:
Quindi, abbiamo le potenze di due. Se prendi il numero dall'ultima riga, puoi facilmente trovare la potenza a cui devi alzare un due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.
E ora - infatti, la definizione del logaritmo:
Definizione
Logaritmo base a dall'argomento x è la potenza alla quale il numero deve essere elevato UN per ottenere il numero X.
Designazione
logaritmo a x = b
dove a è la base, x è l'argomento, b Cos'è esattamente il logaritmo.
Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Potrebbe anche registrare 2 64 = 6, perché 2 6 = 64.
Viene chiamata l'operazione per trovare il logaritmo di un numero in una data baselogaritmo . Quindi aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:
Sfortunatamente, non tutti i logaritmi sono considerati così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5. Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte sul segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tali numeri sono chiamati irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti indefinitamente e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
È importante capire che il logaritmo è un'espressione con due variabili (base e argomento). All'inizio, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l'argomento. Per evitare fastidiosi fraintendimenti, basta dare un'occhiata alla foto:
Davanti a noi non c'è altro che la definizione del logaritmo. Ricorda: il logaritmo è una potenza , a cui è necessario elevare la base per ottenere l'argomento.È la base che viene elevata a potenza - nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in fondo! Dico questa meravigliosa regola ai miei studenti alla primissima lezione - e non c'è confusione.
Abbiamo capito la definizione: resta da imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, lo notiamo Dalla definizione seguono due fatti importanti:
L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione del grado mediante un esponente razionale, a cui si riduce la definizione del logaritmo.
La base deve essere diversa dall'unità, poiché un'unità per qualsiasi potenza è ancora un'unità. Per questo motivo, la domanda "a quale potenza deve essere elevato uno per ottenere due" è priva di significato. Non esiste un tale grado!
Tali restrizioni chiamato intervallo valido(ODZ). Si scopre che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log ax = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Notare che nessun limite al numero B (valore logaritmico) non si sovrappone. Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0.5 = −1, perché 0.5 = 2−1 .
Tuttavia, ora stiamo considerando solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere l'ODZ del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dai compilatori dei problemi. Ma quando entrano in gioco equazioni e disuguaglianze logaritmiche, i requisiti del DHS diventeranno obbligatori. In effetti, nella base e nell'argomentazione possono esserci costruzioni molto forti, che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.
Ora considerare il generale schema per il calcolo dei logaritmi. Si compone di tre passaggi:
Invia Fondazione a e argomento x come una potenza con la base più piccola possibile maggiore di uno. Lungo la strada, è meglio sbarazzarsi delle frazioni decimali;
Decidi una variabile b equazione: x = a b ;
Numero ricevuto b sarà la risposta.
È tutto! Se il logaritmo risulta essere irrazionale, questo si vedrà già al primo passaggio. Il requisito che la base sia maggiore di uno è molto rilevante: questo riduce la probabilità di errore e semplifica notevolmente i calcoli. Allo stesso modo con le frazioni decimali: se le converti immediatamente in quelle ordinarie, ci saranno molte volte meno errori.
Vediamo come funziona questo schema con esempi specifici:
Calcola il logaritmo: log 5 25
Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Facciamo e risolviamo l'equazione:
logaritmo 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Risposta ricevuta: 2.
Calcola il logaritmo:
Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di tre: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;
Facciamo e risolviamo l'equazione:
Ho ottenuto la risposta: -4.
−4
Calcola il logaritmo: log 4 64
Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Ricevuta una risposta: 3.
Calcola il logaritmo: log 16 1
Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Ha ricevuto una risposta: 0.
Calcola il logaritmo: log 7 14
Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non è rappresentato come una potenza di sette, perché 7 1< 14 < 7 2 ;
Dal paragrafo precedente risulta che il logaritmo non viene considerato;
La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.
registro 7 14
Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come assicurarsi che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? Molto semplice: basta scomporlo in fattori primi. Se ci sono almeno due fattori distinti nell'espansione, il numero non è una potenza esatta.
Scopri se le esatte potenze del numero sono: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - il grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 non è una potenza esatta perché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado esatto;
35 = 7 5 - ancora una volta non un grado esatto;
14 \u003d 7 2 - ancora una volta non un grado esatto;
8, 81 - grado esatto; 48, 35, 14 - n.
Si noti inoltre che gli stessi numeri primi sono sempre esatte potenze di se stessi.
Logaritmo decimale
Alcuni logaritmi sono così comuni da avere un nome e una designazione speciali.
Definizione
Logaritmo decimale dall'argomento x è il logaritmo in base 10, cioè la potenza alla quale è necessario elevare il numero 10 per ottenere il numero X.
Designazione
LG X
Ad esempio, log 10 = 1; logaritmo 100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.
D'ora in poi, quando nel libro di testo appare una frase come "Find lg 0.01", sappi che non si tratta di un errore di battitura. Questo è il logaritmo decimale. Tuttavia, se non sei abituato a tale designazione, puoi sempre riscriverlo:
logaritmo x = logaritmo 10 x
Tutto ciò che è vero per i logaritmi ordinari è vero anche per i decimali.
logaritmo naturale
C'è un altro logaritmo che ha la sua notazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Questo è il logaritmo naturale.
Definizione
logaritmo naturale dall'argomento x è il logaritmo di base e , cioè. la potenza alla quale il numero deve essere elevato e per ottenere il numero X.
Designazione
ln x
Molti chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale, il suo valore esatto non può essere trovato e scritto. Ecco solo i primi numeri:
e = 2,718281828459...
Non approfondiremo cos'è questo numero e perché è necessario. Basta ricordare che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = logaritmo e x
Quindi ln e = 1; ceppo e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, l'unità: ln 1 = 0.
Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.
Proprietà fondamentali dei logaritmi
I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui ci sono delle regole, che sono chiamate proprietà di base.
Queste regole devono essere conosciute: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.
Addizione e sottrazione di logaritmi
Consideriamo due logaritmi con la stessa base: log a x e logaritmo a y . Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:
tronco d'albero ascia +log Ay = registro UN ( X · si );
tronco d'albero ascia -log Ay = registro UN ( X : si ).
COSÌ, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui sono le stesse basi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!
Queste formule ti aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non sono considerate (vedi la lezione " "). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:
Trova il valore dell'espressione: log 6 4 + log 6 9.
Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.
Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.
Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, quel controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.
Rimozione dell'esponente dal logaritmo
Ora complichiamo un po 'il compito. Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Poi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:
È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.
Ovviamente tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.
Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .
Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12
Trova il valore dell'espressione:
Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:
Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".
Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarrà nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.
Passaggio a una nuova fondazione
Parlando delle regole per l'addizione e la sottrazione dei logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?
Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:
Teorema
Sia il logaritmo logaritmico ascia . Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, vale l'uguaglianza:
In particolare, se mettiamo c = x, otteniamo:
Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.
Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.
Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:
Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.
Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Ora invertiamo il secondo logaritmo:
Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.
Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.
La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:
Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:
Identità logaritmica di base
Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:
Nel primo caso, il numero N diventa l'esponente dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.
La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:identità logaritmica di base.
In effetti, cosa accadrà se il numero b viene elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si bloccano" su di esso.
Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.
Compito
Trova il valore dell'espressione:
Soluzione
Nota che log 25 64 = log 5 8 - ho appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:
200
Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dell'esame :)
Unità logaritmica e zero logaritmico
In conclusione, darò due identità difficili da chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".
log a a = 1 è unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo in qualsiasi base UN da questa base stessa è uguale a uno.
log a 1 = 0 è zero logaritmico. Base A può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché uno 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.
Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica!
Concentrazione dell'attenzione:
Definizione. Funzione si chiama specie funzione esponenziale .
Commento. Esclusione di base UN numeri 0; 1 e valori negativi UN spiegato dalle seguenti circostanze:
L'espressione analitica stessa ascia in questi casi conserva il suo significato e si può incontrare nella risoluzione dei problemi. Ad esempio, per l'espressione x a punto x = 1; si = 1 entra nell'intervallo di valori accettabili.
Costruire grafici di funzioni: e .
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| Grafico di una funzione esponenziale | |
| e= UN X, un > 1 | e= UN X , 0< a < 1 |
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Proprietà della funzione esponenziale
| Proprietà della funzione esponenziale | e= UN X, un > 1 | e= UN X , 0< a < 1 |
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||
| 2. Intervallo di valori delle funzioni | ||
| 3. Intervalli di confronto con l'unità | A X> 0, a X > 1 | A X > 0, 0< a X < 1 |
| A X < 0, 0< a X < 1 | A X < 0, a X > 1 | |
| 4. Pari, dispari. | La funzione non è né pari né dispari (funzione generale). | |
| 5. Monotonia. | aumenta monotonicamente di R | diminuisce in modo monotono di R |
| 6. Estremi. | La funzione esponenziale non ha estremi. | |
| 7.Asintoto | Asse O Xè un asintoto orizzontale. | |
| 8. Per qualsiasi valore reale X E si; |  |
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Quando la tabella è piena, le attività vengono risolte parallelamente al riempimento.
Compito numero 1. (Per trovare il dominio della funzione).
Quali valori degli argomenti sono validi per le funzioni:
Attività numero 2. (Per trovare l'intervallo della funzione).
La figura mostra il grafico di una funzione. Specificare l'ambito e l'ambito della funzione:
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Compito numero 3. (Per indicare gli intervalli di confronto con l'unità).
Confronta ciascuno dei seguenti poteri con uno:
Compito numero 4. (Studiare la funzione per la monotonicità).
Confronta i numeri reali per grandezza M E N Se:
Compito numero 5. (Studiare la funzione per la monotonicità).
Fai una conclusione sulla base UN, Se:
y(x) = 10x ; f(x) = 6x ; z(x) - 4x
Come sono i grafici delle funzioni esponenziali l'uno rispetto all'altro per x > 0, x = 0, x< 0?
In un piano di coordinate, vengono tracciati i grafici delle funzioni:
y(x) = (0,1)x ; f(x) = (0.5)x ; z(x) = (0,8) x .
Come sono i grafici delle funzioni esponenziali l'uno rispetto all'altro per x > 0, x = 0, x< 0?
| Numero
una delle costanti più importanti in matematica. Per definizione, esso uguale al limite della successione
con illimitato
crescente nm
. Designazione e introdotto Leonardo Eulero
nel 1736. Calcolò le prime 23 cifre di questo numero in notazione decimale, e il numero stesso prese il nome da Napier "il numero non pari".
Numero e gioca un ruolo speciale nell'analisi matematica. Funzione esponenziale con basamento e, chiamato l'esponente e denotato y = ex. Primi segni numeri e facile da ricordare: due, una virgola, sette, l'anno di nascita di Leo Tolstoy - due volte, quarantacinque, novanta, quarantacinque. |
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Compiti a casa:
Kolmogorov pagina 35; N. 445-447; 451; 453.
Ripeti l'algoritmo per la costruzione di grafici di funzioni contenenti una variabile sotto il segno del modulo.
1. Una funzione esponenziale è una funzione della forma y(x) \u003d a x, a seconda dell'esponente x, con un valore costante della base del grado a, dove a > 0, a ≠ 0, xϵR (R è l'insieme dei numeri reali).
Prendere in considerazione grafico della funzione se la base non soddisfa la condizione: a>0
aa< 0
Se un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
un = -2
Se a = 0 - la funzione y = è definita e ha un valore costante 0
c) a \u003d 1
Se a = 1 - la funzione y = è definita e ha un valore costante pari a 1
Dominio delle funzioni (OOF) Area dei valori di funzione consentiti (ODZ) 3. Zeri della funzione (y = 0) 4. Punti di intersezione con l'asse y (x = 0) 5. Funzione crescente, decrescente Se , allora la funzione f(x) aumenta 6. Funzioni pari e dispari La funzione y = non è simmetrica rispetto all'asse 0y e rispetto all'origine, quindi non è né pari né dispari. (funzione generale) 7. La funzione y \u003d non ha estremi 8. Proprietà di un grado con esponente reale: Sia a > 0; a≠1 Allora per xϵR; yϵR: Proprietà di monotonicità del grado: se poi Se a> 0, allora . 9. Posizione relativa della funzione Maggiore è la base a, più vicino agli assi x e y a > 1, a = 20 Esempio 1
Lezione n.2
Argomento: Una funzione esponenziale, sue proprietà e grafico. Bersaglio: Verificare la qualità di assimilazione del concetto di "funzione esponenziale"; formare abilità nel riconoscere una funzione esponenziale, nell'usare le sue proprietà e grafici, insegnare agli studenti a usare le forme analitiche e grafiche di registrazione di una funzione esponenziale; fornire un ambiente di lavoro in classe. Attrezzatura: bacheca, manifesti Modulo lezione: aula Tipo di lezione: lezione pratica Tipo di lezione: lezione di formazione sulle abilità Piano della lezione 1. Momento organizzativo 2. Lavoro indipendente e controllo dei compiti 3. Risoluzione dei problemi 4. Riassumendo 5. Compiti a casa Durante le lezioni. 1. Momento organizzativo
: Ciao. Apri i taccuini, annota la data odierna e l'argomento della lezione "Funzione esponenziale". Oggi continueremo a studiare la funzione esponenziale, le sue proprietà e il grafico. 2. Lavoro indipendente e controllo dei compiti
.
Bersaglio: verificare la qualità dell'assimilazione del concetto di "funzione esponenziale" e verificare l'adempimento della parte teorica del compito a casa Metodo: compito di prova, indagine frontale Come compito a casa, ti venivano dati i numeri del libro dei problemi e un paragrafo del libro di testo. Non controlleremo ora l'esecuzione dei numeri dal libro di testo, ma consegnerai i tuoi quaderni alla fine della lezione. Ora la teoria sarà testata sotto forma di un piccolo test. Il compito è uguale per tutti: ti viene fornito un elenco di funzioni, devi scoprire quali di esse sono indicative (sottolineale). E accanto alla funzione esponenziale, devi scrivere se sta aumentando o diminuendo. opzione 1 Risposta B)
D) - esponenziale, decrescente opzione 2 Risposta D) - esponenziale, decrescente D)
- indicativo, crescente Opzione 3 Risposta UN)
- indicativo, crescente B)
- esponenziale, decrescente Opzione 4 Risposta UN)
- esponenziale, decrescente IN)
- indicativo, crescente Ora ricordiamo insieme quale funzione si chiama esponenziale? Una funzione della forma , dove e , è detta funzione esponenziale. Qual è lo scopo di questa funzione? Tutti numeri reali. Qual è l'intervallo della funzione esponenziale? Tutti i numeri reali positivi. Diminuisce se la base è maggiore di zero ma minore di uno. Quando una funzione esponenziale diminuisce nel suo dominio? Aumenta se la base è maggiore di uno. 3. Risoluzione dei problemi
Bersaglio: formare abilità nel riconoscere una funzione esponenziale, nell'usare le sue proprietà e grafici, insegnare agli studenti a usare le forme analitiche e grafiche di registrazione di una funzione esponenziale Metodo: dimostrazione da parte dell'insegnante di risoluzione di problemi tipici, lavoro orale, lavoro alla lavagna, lavoro su un quaderno, conversazione dell'insegnante con gli studenti. Le proprietà della funzione esponenziale possono essere utilizzate quando si confrontano 2 o più numeri. Ad esempio: n. 000. Confronta i valori e se a) - IN) - G) - - N. 000. Confronta i numeri: a) e Pertanto, la funzione è crescente, quindi Perché ? Funzione crescente e Pertanto, la funzione è decrescente, quindi Entrambe le funzioni crescono su tutto il loro dominio di definizione, poiché sono esponenziali con una base maggiore di uno. Qual è il significato? Costruiamo grafici: Quale funzione cresce più velocemente quando ci si sforza https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> Quale funzione diminuisce più velocemente quando ci si sforza https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> Sull'intervallo, quale delle funzioni ha il maggior valore in un punto particolare? D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Innanzitutto, scopriamo l'ambito di queste funzioni. coincidere? Sì, il dominio di queste funzioni è costituito da tutti i numeri reali. Assegna un nome all'ambito di ciascuna di queste funzioni. Gli intervalli di queste funzioni coincidono: tutti i numeri reali positivi. Determina il tipo di monotonia di ciascuna delle funzioni. Tutte e tre le funzioni decrescenti su tutto il loro dominio di definizione, poiché sono esponenziali con base minore di uno e maggiore di zero. Qual è il punto singolare del grafico di una funzione esponenziale? Qual è il significato? Qualunque sia la base del grado di una funzione esponenziale, se l'esponente è 0, allora il valore di questa funzione è 1. Costruiamo grafici: Analizziamo i grafici. Quanti punti di intersezione hanno i grafici delle funzioni? Quale funzione diminuisce più velocemente quando ci si sforza? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Quale funzione cresce più velocemente quando ci si sforza? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Sull'intervallo, quale delle funzioni ha il maggior valore in un punto particolare? Sull'intervallo, quale delle funzioni ha il maggior valore in un punto particolare? Perché le funzioni esponenziali con basi diverse hanno un solo punto di intersezione? Le funzioni esponenziali sono strettamente monotone nel loro intero dominio di definizione, quindi possono intersecarsi solo in un punto. L'attività successiva si concentrerà sull'utilizzo di questa proprietà. № 000. Trova il valore più grande e più piccolo di una data funzione su un dato intervallo a). Ricordiamo che una funzione strettamente monotona assume i suoi valori minimo e massimo alle estremità di un dato intervallo. E se la funzione è crescente, il suo valore più grande sarà all'estremità destra del segmento e il più piccolo all'estremità sinistra del segmento (dimostrazione sul poster, usando la funzione esponenziale come esempio). Se la funzione è decrescente, il suo valore più grande sarà all'estremità sinistra del segmento e il più piccolo all'estremità destra del segmento (dimostrazione sul poster, usando la funzione esponenziale come esempio). La funzione è crescente, perché, quindi, il valore più piccolo della funzione sarà nel punto https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Punti b ) Gli studenti risolvono il problema nel loro quaderno Funzione decrescente Funzione decrescente Funzione crescente - № 000. Trova il valore più grande e più piccolo di una data funzione su un dato intervallo a) 
2. Considera la funzione esponenziale in modo più dettagliato:
0
Se , allora la funzione f(x) diminuisce
Funzione y= , a 0
Ciò deriva dalle proprietà di monotonicità di un grado con un esponente reale.
b > 0; b≠1
Per esempio:
La funzione esponenziale è continua in ogni punto ϵ R.
Se a0, la funzione esponenziale assume una forma vicina a y = 0.
Se a1, quindi più lontano dagli assi xey e il grafico assume la forma vicino alla funzione y \u003d 1.
Grafico y=
..gif" width="37" height="20 src=">, allora questo è un lavoro piuttosto complicato: dovremmo prendere la radice cubica di 3 e 9 e confrontarle. Ma sappiamo che aumenta, questo è nella propria coda significa che quando l'argomento aumenta, il valore della funzione aumenta, cioè ci basta confrontare i valori dell'argomento tra loro e, ovviamente, quello 
(può essere dimostrato su un poster con una funzione esponenziale crescente). E sempre quando risolvi tali esempi, determina prima la base della funzione esponenziale, confronta con 1, determina la monotonia e procedi al confronto degli argomenti. Nel caso di una funzione decrescente: all'aumentare dell'argomento, il valore della funzione diminuisce, quindi il segno di disuguaglianza viene modificato quando si passa dalla disuguaglianza degli argomenti alla disuguaglianza delle funzioni. Quindi risolviamo oralmente: b) 
, V) 
d) risolvi i quaderni da solo, lo verificheremo oralmente.
il valore più grande della funzione sull'intervallo
il valore più piccolo della funzione sull'intervallo
il valore più piccolo della funzione sull'intervallo
il valore più grande della funzione sull'intervallo
. Questo compito è quasi lo stesso del precedente. Ma qui non viene dato un segmento, ma un raggio. Sappiamo che la funzione è crescente e non ha né il valore più grande né quello più piccolo sull'intera linea numerica https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, e tende a a , cioè, sulla semiretta, la funzione a tende a 0, ma non ha il valore più piccolo, ma ha il valore più grande nel punto 
. Punti b) 
, V) 
, G) 
Risolvi i tuoi quaderni, lo controlleremo oralmente.
Trova il valore dell'espressione per vari valori razionali della variabile x=2; 0; -3; -
Nota, non importa quale numero sostituiamo al posto della variabile x, puoi sempre trovare il valore di questa espressione. Quindi, stiamo considerando una funzione esponenziale (y uguale a tre alla x potenza), definita sull'insieme dei numeri razionali: .
Costruiamo un grafico di questa funzione creando una tabella dei suoi valori.
Tracciamo una linea liscia che passa per questi punti (Fig. 1)
Usando il grafico di questa funzione, considera le sue proprietà:
3. Aumenta su tutta l'area di definizione.
- va da zero a più infinito.
8. La funzione è convessa verso il basso.
Se in un sistema di coordinate per costruire grafici di funzioni; y=(y è uguale a due alla potenza x, y è uguale a cinque alla potenza x, y è uguale a sette alla potenza x), puoi vedere che hanno le stesse proprietà di y=(y è uguale a tre alla potenza x) ( Fig. .2), cioè tutte le funzioni della forma y = (y è uguale ad a elevato alla potenza di x, con a maggiore di uno) avranno tali proprietà
Tracciamo la funzione:
1. Compilazione di una tabella dei suoi valori.
Contrassegniamo i punti ottenuti sul piano delle coordinate.
Tracciamo una linea liscia che passa attraverso questi punti (Fig. 3).
Usando il grafico di questa funzione, indichiamo le sue proprietà:
1. Il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali.
2. Non è né pari né dispari.
3. Diminuisce sull'intero dominio di definizione.
4. Non ha né il valore più grande né quello più piccolo.
5. Limitato dal basso, ma non limitato dall'alto.
6. Continuo su tutto il dominio di definizione.
7. intervallo di valori da zero a più infinito.
8. La funzione è convessa verso il basso.
Allo stesso modo, se in un sistema di coordinate per costruire grafici di funzioni; y=(y è uguale a un secondo alla potenza x, y è uguale a un quinto alla potenza x, y è uguale a un settimo alla potenza x), puoi vedere che hanno le stesse proprietà di y=(y è uguale a un terzo alla potenza potenza di x).x) (Fig. 4), ovvero tutte le funzioni della forma y \u003d (y è uguale a uno diviso per a alla potenza di x, con un maggiore di zero ma minore di uno) lo faranno avere tali proprietà
Costruiamo grafici di funzioni in un sistema di coordinate
ciò significa che i grafici delle funzioni y \u003d y \u003d (y è uguale a a alla potenza di x e y è uguale a uno diviso a alla potenza di x) saranno anche simmetrici per lo stesso valore di a .
Riassumiamo quanto detto dando una definizione di funzione esponenziale e indicandone le principali proprietà:
Definizione: Una funzione della forma y \u003d, dove (y è uguale a a alla potenza di x, dove a è positivo e diverso da uno), è chiamata funzione esponenziale.
È necessario ricordare le differenze tra la funzione esponenziale y= e la funzione potenza y=, a=2,3,4,…. sia uditivamente che visivamente. La funzione esponenziale Xè un grado e per una funzione di potenza Xè la base.
Esempio 1: Risolvi l'equazione (tre alla potenza di x è uguale a nove)
(y è uguale a tre alla potenza di x e y è uguale a nove) fig.7
Nota che hanno un punto comune M (2; 9) (em con coordinate due; nove), il che significa che l'ascissa del punto sarà la radice di questa equazione. Cioè, l'equazione ha una singola radice x = 2.
Esempio 2: Risolvi l'equazione
In un sistema di coordinate, costruiremo due grafici della funzione y \u003d (y è uguale a cinque alla potenza di x e y è uguale a un venticinquesimo) Fig.8. I grafici si intersecano in un punto T (-2; (te con coordinate meno due; un venticinquesimo). Quindi, la radice dell'equazione è x \u003d -2 (numero meno due).
Esempio 3: Risolvi la disuguaglianza
In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d
(y è uguale a tre alla potenza di x e y è uguale a ventisette).
Fig.9 Il grafico della funzione si trova sopra il grafico della funzione y=quando
x Pertanto, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo (da meno infinito a tre)
Esempio 4: Risolvi la disuguaglianza
In un sistema di coordinate, costruiremo due grafici della funzione y \u003d (y è uguale a un quarto della potenza di x e y è uguale a sedici). (figura 10). I grafici si intersecano in un punto K (-2;16). Ciò significa che la soluzione alla disuguaglianza è l'intervallo (-2; (da meno due a più infinito), perché il grafico della funzione y \u003d si trova sotto il grafico della funzione in x
Il nostro ragionamento ci permette di verificare la validità dei seguenti teoremi:
Terem 1: If è vero se e solo se m=n.
Teorema 2: Se è vera se e solo se, allora la disuguaglianza è vera se e solo se (Fig. *)
Teorema 4: If è vera se e solo se (Fig.**), la disuguaglianza è vera se e solo se Teorema 3: If è vera se e solo se m=n.
Esempio 5: tracciare la funzione y=
Modifichiamo la funzione applicando la proprietà degree y=
Costruiamo un ulteriore sistema di coordinate e nel nuovo sistema di coordinate tracceremo la funzione y = (y è uguale a due alla x potenza) Fig.11.
Esempio 6: Risolvi l'equazione
In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d
(Y è uguale a sette alla potenza di x e Y è uguale a otto meno x) Fig.12.
I grafici si intersecano in un punto E (1; (e con coordinate uno; sette). Quindi, la radice dell'equazione è x = 1 (x uguale a uno).
Esempio 7: Risolvi la disuguaglianza
In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d
(Y è uguale a un quarto della potenza di x e Y è uguale a x più cinque). Il grafico della funzione y= si trova sotto il grafico della funzione y=x+5 in, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo x (da meno uno a più infinito).