Equazioni con parametri: metodo di soluzione grafica
8-9 gradi
Nell'articolo viene presentato un metodo grafico per risolvere alcune equazioni con parametri, che risulta molto efficace quando si deve stabilire quante radici ha l'equazione a seconda del parametro UN.
Problema 1. Quante radici ha l'equazione | | x| –2| = UN a seconda del parametro UN?
Soluzione. Nel sistema di coordinate (x; y), tracciamo i grafici delle funzioni y = | | x| –2| e y= UN. Grafico della funzione y = | | x| –2| mostrato nella figura.
Il grafico della funzione y = a è una retta parallela all'asse Ox o coincidente con esso (ad UN = 0).
Dal disegno si può notare che:
Se UN= 0, quindi la linea y = UN coincide con l'asse Ox e ha con il grafico della funzione y = | | x| –2| due punti comuni; ciò significa che l'equazione originale ha due radici (in questo caso le radici possono essere trovate: x 1,2 \u003d q 2).
Se 0< UN < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Se UN= 2, allora la retta y = 2 ha tre punti in comune con il grafico della funzione. Quindi l'equazione originale ha tre radici.
Se UN> 2, quindi la linea y = UN avrà due punti con il grafico della funzione originale, cioè questa equazione avrà due radici.
Se UN < 0, то корней нет;
Se UN = 0, UN> 2, poi due radici;
Se UN= 2, quindi tre radici;
se 0< UN < 2, то четыре корня.
Problema 2. Quante radici ha l'equazione | x2 – 2| x| – 3| = UN a seconda del parametro UN?
Soluzione. Nel sistema di coordinate (x; y), tracciamo i grafici delle funzioni y = | x2 – 2| x| – 3| e y= UN.
Grafico della funzione y = | x2 – 2| x| – 3| mostrato nella figura. Il grafico della funzione y = a è una retta parallela a Ox o coincidente con essa (quando UN = 0).
Dal disegno puoi vedere:
Se UN= 0, quindi la linea y = UN coincide con l'asse Ox e ha con il grafico della funzione y = | x2-2| x| – 3| due punti comuni, nonché una linea y = UN avrà con il grafico della funzione y = | x2 – 2| x| – 3| due punti comuni UN> 4. Quindi, per UN= 0 e UN> 4 l'equazione originale ha due radici.
Se 0< UN < 3, то прямая y = UN ha con il grafico della funzione y = | x2 – 2| x| – 3| quattro punti comuni, nonché una linea y= UN avrà quattro punti in comune con il grafico della funzione costruita in UN= 4. Quindi, a 0< UN < 3, UN= 4 l'equazione originale ha quattro radici.
Se UN= 3, quindi la linea y = UN interseca il grafico della funzione in cinque punti; pertanto, l'equazione ha cinque radici.
Se 3< UN < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Se UN < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
Se UN < 0, то корней нет;
Se UN = 0, UN> 4, poi due radici;
se 0< UN < 3, UN= 4, quindi quattro radici;
Se UN= 3, quindi cinque radici;
se 3< UN < 4, то шесть корней.
Problema 3. Quante radici ha l'equazione
a seconda del parametro UN?
Soluzione. Costruiamo nel sistema di coordinate (x; y) il grafico della funzione 
ma prima mettiamolo nella forma:
Le linee x = 1, y = 1 sono gli asintoti del grafico della funzione. Grafico della funzione y = | x| + UN ottenuto dal grafico della funzione y = | x| sfalsato di a unità lungo l'asse Oy.
Grafici di funzioni 
si intersecano in un punto a UN> – 1; quindi, l'equazione (1) per questi valori del parametro ha una soluzione.
A UN = – 1, UN= – 2 grafici si intersecano in due punti; quindi, per questi valori del parametro, l'equazione (1) ha due radici.
Alle 2< UN < – 1, UN < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
Se UN> – 1, poi una soluzione;
Se UN = – 1, UN= – 2, quindi due soluzioni;
se - 2< UN < – 1, UN < – 1, то три решения.
Commento. Quando si risolve l'equazione (1) del problema 3, è necessario prestare particolare attenzione al caso in cui UN= - 2, poiché il punto (- 1; - 1) non appartiene al grafico della funzione 
ma appartiene al grafico della funzione y = | x| + UN.
Passiamo alla risoluzione di un altro problema.
Problema 4. Quante radici ha l'equazione
x + 2 = UN| x-1| (2)
a seconda del parametro UN?
Soluzione. Si noti che x = 1 non è una radice di questa equazione, poiché l'uguaglianza 3 = UN 0 non può essere vero per alcun valore di parametro UN. Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per | x – 1 |(| x – 1 | N. 0), allora l'equazione (2) assumerà la forma 
Nel sistema di coordinate xOy, tracciamo la funzione 
Il grafico di questa funzione è mostrato in figura. Grafico della funzione y = UNè una linea retta parallela all'asse del Bue o coincidente con esso (per UN = 0).
Se UN J - 1, quindi non ci sono radici;
se - 1< UNЈ 1, quindi una radice;
Se UN> 1, allora ci sono due radici.
Considera l'equazione più complessa.
Compito 5. Per quali valori del parametro UN l'equazione
UN x2 + | x-1| = 0 (3)
ha tre soluzioni?
Soluzione. 1. Il valore di controllo del parametro per questa equazione sarà il numero UN= 0, in cui l'equazione (3) assume la forma 0 + | x-1| = 0, da cui x = 1. Pertanto, per UN= 0 l'equazione (3) ha una radice, che non soddisfa la condizione del problema.
2. Considera il caso in cui UN № 0.
Riscriviamo l'equazione (3) nella seguente forma: UN x2 = - | x-1|. Tieni presente che l'equazione avrà soluzioni solo per UN < 0.
Nel sistema di coordinate xOy tracciamo i grafici delle funzioni y = | x-1| e y= UN x2. Grafico della funzione y = | x-1| mostrato nella figura. Grafico della funzione y = UN x 2 è una parabola i cui rami sono diretti verso il basso, poiché UN < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
L’equazione (3) avrà tre soluzioni solo quando la retta y = – x + 1 è tangente al grafico della funzione y= UN x2.
Sia x 0 l'ascissa del punto di contatto con la retta y = - x + 1 con la parabola y = UN x2. L'equazione della tangente ha la forma
y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).
Scriviamo le condizioni di tocco:
Questa equazione può essere risolta senza utilizzare il concetto di derivata.
Consideriamo un altro modo. Usiamo il fatto che se la retta y = kx + b ha un unico punto in comune con la parabola y = UN x 2 + px + q, quindi l'equazione UN x 2 + px + q = kx + b deve avere un'unica soluzione, cioè il suo discriminante è zero. Nel nostro caso abbiamo l'equazione UN x2 \u003d - x + 1 ( UN N. 0). Discriminante dell'equazione
Compiti per una soluzione indipendente
6. Quante radici ha l'equazione a seconda del parametro UN?
1)| | x| – 3| = UN;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = UN;
3)| x2 – 4| x| +3| = UN;
4)| x2 – 6| x| +5| = UN.
1) se UN<0, то корней нет; если UN=0, UN>3, poi due radici; Se UN=3, quindi tre radici; se 0<UN<3, то четыре корня;
2) se UN<1, то корней нет; если UN=1, allora un insieme infinito di soluzioni del segmento [– 2; - 1]; Se UN> 1, quindi due soluzioni;
3) se UN<0, то корней нет; если UN=0, UN<3, то четыре корня; если 0<UN<1, то восемь корней; если UN=1, quindi sei radici; Se UN=3, quindi tre soluzioni; Se UN>3, quindi due soluzioni;
4) se UN<0, то корней нет; если UN=0, 4<UN<5, то четыре корня; если 0<UN< 4, то восемь корней; если UN=4, quindi sei radici; Se UN=5, quindi tre radici; Se UN>5, poi due radici.
7. Quante radici ha l'equazione | x + 1 | = UN(x – 1) a seconda del parametro UN?
Istruzioni. Poiché x = 1 non è una radice dell'equazione, questa equazione può essere ridotta alla forma 
.
Risposta: se UN J-1, UN > 1, UN=0, quindi una radice; se - 1<UN<0, то два корня; если 0<UNЈ 1, allora non ci sono radici.
8. Quante radici ha l'equazione x + 1 = UN| x – 1 | a seconda del parametro UN?
Costruisci un grafico (vedi figura).
Risposta: se UNЈ –1, allora non ci sono radici; se - 1<UNЈ 1, poi una radice; Se UN>1, allora ci sono due radici.
9. Quante radici ha l'equazione
2| x| – 1 = a(x – 1)
a seconda del parametro UN?
Istruzioni. Riporta l'equazione nel modulo 
Risposta: se UN J-2, UN>2, UN=1, quindi una radice; se -2<UN<1, то два корня; если 1<UNЈ 2, allora non ci sono radici.
10. Quante radici ha l'equazione
a seconda del parametro UN?
Risposta: se UNЈ 0, UN i 2, quindi una radice; se 0<UN<2, то два корня.
11. A quali valori del parametro UN l'equazione
x2+ UN| x-2| = 0
ha tre soluzioni?
Istruzioni. Porta l'equazione alla forma x 2 = - UN| x - 2 |.
Risposta: quando UNÀ -8.
12. A quali valori del parametro UN l'equazione
UN x2 + | x + 1 | = 0
ha tre soluzioni?
Istruzioni. Usa il problema 5. Questa equazione ha tre soluzioni solo se l'equazione UN x 2 + x + 1 = 0 ha una soluzione, e il caso UN= 0 non soddisfa la condizione del problema, cioè rimane il caso quando 
13. Quante radici ha l'equazione
x| x-2| = 1- UN
a seconda del parametro UN?
Istruzioni. Porta l'equazione alla forma –x |x – 2| +1 = UN
a seconda del parametro UN?
Istruzioni. Costruisci i grafici delle parti sinistra e destra di questa equazione.
Risposta: se UN<0, UN>2, poi due radici; se 0Ј UNÀ 2, poi una radice.
16. Quante radici ha l'equazione
a seconda del parametro UN?
Istruzioni. Costruisci i grafici delle parti sinistra e destra di questa equazione. Per tracciare una funzione 
trova gli intervalli di costanza delle espressioni x + 2 e x:
Risposta: se UN>– 1, poi una soluzione; Se UN= – 1, quindi due soluzioni; se - 3<UN<–1, то четыре решения; если UNЈ –3, quindi tre soluzioni.
2. Determinazione dei parametri di distribuzione sconosciuti.
Con l'aiuto di un istogramma possiamo costruire approssimativamente un grafico della densità di distribuzione di una variabile casuale. L'aspetto di questo grafico spesso consente di formulare un'ipotesi sulla densità della distribuzione di probabilità di una variabile casuale. L'espressione per questa densità di distribuzione solitamente include alcuni parametri che devono essere determinati da dati sperimentali.
Soffermiamoci sul caso particolare in cui la densità di distribuzione dipende da due parametri.
Quindi lasciamo x 1 , x 2 , ..., x n sono i valori osservati di una variabile casuale continua, e lascia che la sua densità di distribuzione di probabilità dipenda da due parametri sconosciuti UN E B, cioè. sembra . Uno dei metodi per trovare parametri sconosciuti UN E Bè che sono scelti in modo tale che l'aspettativa matematica e la varianza della distribuzione teorica coincidano con la media e la varianza campionaria:
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Dalle due equazioni ottenute () trovi i parametri sconosciuti UN E B. Quindi, ad esempio, se una variabile casuale obbedisce alla normale legge della distribuzione di probabilità, allora la sua densità di distribuzione di probabilità
dipende da due parametri UN E . Tali parametri, come sappiamo, sono rispettivamente l'aspettativa matematica e la deviazione standard della variabile casuale; quindi equals () verrà scritto in questo modo:
 |
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Pertanto, la densità della distribuzione di probabilità ha la forma
Osservazione 1. Abbiamo già risolto questo problema in . Il risultato della misurazione è una variabile casuale che obbedisce alla legge di distribuzione normale con parametri UN E . Per un'approssimazione UN abbiamo scelto il valore e, per il valore approssimativo, il valore.
Osservazione 2. Con un gran numero di esperimenti, trovare i valori e utilizzare le formule () è associato a calcoli complicati. Pertanto, agiscono come segue: ciascuno dei valori osservati della quantità , che è caduta in io-esimo intervallo ] X io-1 , X io [ serie statistica, è considerata approssimativamente uguale alla metà c io questo intervallo, cioè c io \u003d (X i-1 + X i) / 2. Consideriamo il primo intervallo ] X 0 , X 1 [. È stato colpito m1 valori osservati della variabile casuale, ognuno dei quali sostituiamo con un numero da 1. Pertanto, la somma di questi valori è approssimativamente uguale a m1s1. Allo stesso modo, la somma dei valori che rientrano nel secondo intervallo è approssimativamente uguale a m2s2 eccetera. Ecco perché
In modo simile otteniamo l’uguaglianza approssimata
Quindi mostriamolo
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(71) |
Le equazioni con parametri sono giustamente considerate uno dei compiti più difficili nel corso della matematica scolastica. Sono questi compiti che rientrano di anno in anno nell'elenco dei compiti di tipo B e C all'esame di stato unificato dell'Esame di Stato unificato. Tuttavia, tra il gran numero di equazioni parametriche, ci sono quelle che possono essere facilmente risolte graficamente. Consideriamo questo metodo sull'esempio della risoluzione di diversi problemi.
Trovare la somma dei valori interi di a per cui risulta l'equazione |x 2 – 2x – 3| = a ha quattro radici.
Soluzione.
Per rispondere alla domanda del problema, costruiamo grafici di funzioni su un piano di coordinate
y = |x 2 – 2x – 3| e y = a.
Grafico della prima funzione y = |x 2 – 2x – 3| si otterrà dal grafico della parabola y = x 2 - 2x - 3 visualizzando simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse la parte del grafico che si trova al di sotto dell'asse Ox. La parte del grafico sopra l'asse x rimarrà invariata.
Facciamolo passo dopo passo. Il grafico della funzione y \u003d x 2 - 2x - 3 è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto. Per costruire il suo grafico, troviamo le coordinate del vertice. Questo può essere fatto usando la formula x 0 = -b / 2a. Pertanto, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Per trovare la coordinata della parte superiore della parabola lungo l'asse y, sostituiamo il valore ottenuto per x 0 nell'equazione della funzione in esame. Otteniamo che y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Quindi, il vertice della parabola ha coordinate (1; -4).
Successivamente, è necessario trovare i punti di intersezione dei rami della parabola con gli assi delle coordinate. Nei punti di intersezione dei rami della parabola con l'asse delle ascisse il valore della funzione è zero. Pertanto, risolviamo l'equazione quadratica x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Le sue radici saranno i punti desiderati. Per il teorema di Vieta abbiamo x 1 = -1, x 2 = 3.
Nei punti di intersezione dei rami della parabola con l'asse y, il valore dell'argomento è zero. Quindi il punto y = -3 è il punto di intersezione dei rami della parabola con l'asse y. Il grafico risultante è mostrato nella Figura 1.
Per ottenere il grafico della funzione y = |x 2 - 2x - 3|, visualizzeremo la parte del grafico che è sotto l'asse x, simmetricamente rispetto all'asse x. Il grafico risultante è mostrato nella Figura 2.
Il grafico della funzione y = a è una retta parallela all'asse x. È mostrato nella Figura 3. Usando la figura e scopriamo che i grafici hanno quattro punti comuni (e l'equazione ha quattro radici) se a appartiene all'intervallo (0; 4).
Valori interi del numero a dall'intervallo ricevuto: 1; 2; 3. Per rispondere alla domanda del problema, troviamo la somma di questi numeri: 1 + 2 + 3 = 6.
Risposta: 6.
Trova la media aritmetica dei valori interi del numero a, per cui l'equazione |x 2 – 4|x| – 1| = a ha sei radici.
Iniziamo tracciando la funzione y = |x 2 – 4|x| – 1|. Per fare ciò usiamo l'uguaglianza a 2 = |a| 2 e seleziona il quadrato intero nell'espressione del sottomodulo scritta sul lato destro della funzione:
x2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.
Quindi la funzione originale sarà simile a y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
Per costruire un grafico di questa funzione, costruiamo successivamente i grafici delle funzioni:
1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - una parabola con un vertice in un punto con coordinate (2; -5); (Fig. 1).
2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - la parte della parabola costruita al paragrafo 1, che si trova a destra dell'asse delle ordinate, viene visualizzata simmetricamente a sinistra dell'asse Oy; (Fig. 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - la parte del grafico costruita al paragrafo 2, che si trova sotto l'asse x, viene visualizzata simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse verso l'alto. (Fig. 3).
Considera i disegni risultanti:
Il grafico della funzione y = a è una retta parallela all'asse x.
Utilizzando la figura, concludiamo che i grafici delle funzioni hanno sei punti comuni (l'equazione ha sei radici) se a appartiene all'intervallo (1; 5).
Questo può essere visto nella figura seguente:
Trova la media aritmetica dei valori interi del parametro a:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Risposta: 3.
sito, con la copia totale o parziale del materiale, è richiesto un collegamento alla fonte.
Per rivelare pienamente le possibilità di questo metodo, considereremo i principali tipi di problemi.
Attività di esempio per sviluppare conoscenze e abilità nella risoluzione di problemi con i parametri utilizzando un metodo grafico (piano di coordinate)
Esercizio 1.
A quali valoriUNequazione = ha due radici?
Soluzione.
Passiamo al sistema equivalente:
Questo sistema definisce una curva sul piano delle coordinate (;). È chiaro che tutti i punti di questo arco di parabola (e solo loro) hanno coordinate che soddisfano l'equazione originale. Pertanto, il numero di soluzioni dell'equazione per ciascun valore fisso del parametro, è uguale al numero di punti di intersezione della curva con la linea orizzontale corrispondente al valore di questo parametro.
Ovviamente, in , queste linee intersecano il grafico in due punti, il che equivale all'equazione originale con due radici.
Risposta: A.
Compito 2.
Trova tutti i valori di a per i quali il sistema ha una soluzione unica.
Soluzione.
Riscriviamo il sistema originale in questa forma:
Tutte le soluzioni di questo sistema (coppie di viste) formano l'area mostrata in figura mediante tratteggio. Il requisito dell'unicità della soluzione di questo sistema in un linguaggio grafico si traduce come segue: le linee orizzontali devono avere un solo punto comune con l'area risultante. È facile vedere che solo linee rettee soddisfare il requisito indicato.
Risposta: O.
I due problemi appena analizzati ci permettono di dare raccomandazioni più specifiche rispetto a quelle fornite in precedenza:
prova ad esprimere il parametro attraverso una variabile, cioè ottieni le uguaglianze della forma, quindi
rappresentare graficamente una funzione su un piano.
Compito 3.
A quali valoriUN l'equazione ha esattamente tre radici?
Soluzione.
Abbiamo
Il grafico di questo insieme è l'unione dell'“angolo” e della parabola. Ovviamente solo la linea interseca l'unione risultante in tre punti.
Risposta: .
Commento: Il parametro viene solitamente considerato come numero fisso ma sconosciuto. Intanto, da un punto di vista formale, un parametro è una variabile, inoltre, “uguale nei diritti” con gli altri presenti nel compito. Con questa visione del parametro del modulo, le funzioni vengono definite non con una, ma con due variabili.
Compito 4.
Trova tutti i valori dei parametri, per cui l'equazione ha una soluzione.
Soluzione.
Una frazione è zero se e solo se il numeratore della frazione è zero e il denominatore è diverso da zero.
Trovare le radici di un trinomio quadrato:
Utilizzando il sistema risultante, è facile tracciare l'equazione originale. È la presenza di "forature" in questo grafico che consente a e = di avere un'unica soluzione dell'equazione. Questo è il fattore determinante nella decisione.
Risposta: E.
Compito 5.
A quali valori del parametro,UN l'equazione ha un'unica soluzione.
Soluzione.
Scriviamo un sistema equivalente all'equazione originale
Da qui otteniamo
Costruiamo un grafico e disegneremo delle linee rette perpendicolari all'asseUN .
Le prime due disuguaglianze del sistema definiscono un insieme di punti mostrati mediante tratteggio, e questo insieme non include iperboli e.
Quindi un segmento e una semiretta, un segmento e una semiretta, giacenti rispettivamente sulle rette e , sono il grafico dell'equazione originale. Una soluzione sarà se 2< < или < или = .
Risposta : 2 < < или < или = .
Compito 6.
Trova tutti i valori dei parametriUN , per cui l'equazione
ha esattamente due soluzioni diverse
Soluzione.
Consideriamo l'insieme dei due sistemi
Se , Quello.
Se < , Quello.
Da qui
O
Le parabole e la retta hanno due punti in comune:UN (-2; - 2), IN(-1; -1), inoltre, IN è il vertice della prima parabola,D - superiore del secondo. Quindi, il grafico dell'equazione originale è mostrato nella figura.
Devono esserci esattamente due soluzioni diverse. Questo viene fatto con o.
Risposta: O.
Compito 7.
Trova l'insieme di tutti i numeri, per ciascuno dei quali l'equazione
ha solo due radici distinte.
Soluzione.
Riscriviamo questa equazione nella forma
Le radici dell'equazione, a condizione che.
Costruiamo un grafico di questa equazione. In questo caso è conveniente costruire un grafico assegnando alla variabile l'asse y. Qui “leggiamo” la risposta con le linee verticali, otteniamo che questa equazione ha solo due radici diverse in = -1 oppure oppure.
Le linee tratteggiate lo dicono.
Risposta: a = -1 o o.
Compito 8.
Per cui l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza contiene una lacuna.
Soluzione.
Scriviamo l'insieme dei due sistemi, che equivale all'equazione originale:
O
Poiché nemmeno nella soluzione del primo sistemaUN non è possibile includere il segmento, effettueremo gli studi necessari per il secondo sistema.
Abbiamo
Denota . Allora si forma la seconda disuguaglianza del sistema< - e definisce sul piano delle coordinate l'insieme mostrato in figura.
Con l'aiuto della figura, stabiliamo che l'insieme risultante contiene tutti i punti, le ascisse in cui corrono tutti i valori dell'intervallo
Poi, da qui.
Risposta : .
Compito 9.
Trova tutti i numeri non negativi per i quali esiste un singolo numero che soddisfa il sistema
Soluzione.
Abbiamo
La prima equazione sul piano delle coordinate definisce una famiglia di linee verticali. Le linee rette e dividono i piani in quattro regioni. Alcuni di essi sono soluzioni alla disuguaglianza del sistema. Nello specifico quali potranno essere stabiliti prendendo un punto prova da ciascuna zona. L'area il cui punto soddisfa la disuguaglianza è la sua soluzione (questa tecnica è associata al metodo degli intervalli quando si risolvono le disuguaglianze con una variabile). Costruiamo linee rette
Ad esempio, prendiamo un punto e lo sostituiamo in Le coordinate del punto soddisfano la disuguaglianza.
Otteniamo due aree (IO) E ( II), ma, dato che per condizione, prendiamo solo l'area (IO). Costruiamo linee rette , K .
Quindi, il sistema originale è soddisfatto da tutti i punti (e solo loro) che giacciono sui raggi ed evidenziati nel disegno da linee in grassetto (cioè costruiamo punti in una data area).
Ora dobbiamo trovare l'unico per il fisso. Disegna linee parallele che intersecano l'asse. e trova dove ci sarà un punto di intersezione con la linea.
Dalla figura troviamo che il requisito di unicità della soluzione è raggiunto se (per già 2 punti),
dove è l'ordinata del punto di intersezione delle rette e,
dove è l'ordinata del punto di intersezione delle linee e.
Quindi otteniamo< .
Risposta: < .
Compito 10.
A quali valori del parametro a il sistema ha soluzioni?
Soluzione.
Fattorizziamo il lato sinistro della disuguaglianza del sistema
Costruiamo linee rette e Mostriamo in figura ombreggiando l'insieme dei punti del piano che soddisfa la disuguaglianza del sistema.
Costruiamo un'iperbole = .
Allora le ascisse degli archi distinti dell'iperbole sono soluzioni del sistema originario.M , P , N , Q - punti nodali. Troviamo le loro ascisse.
Per punti P , Q abbiamo
Resta da scrivere la risposta: o.
Risposta: O.
Compito 11.
Trova tutti i valori per i quali qualsiasi soluzione alla disuguaglianza non supera due in valore assoluto ().
Soluzione .
Riscriviamo questa disuguaglianza in questa forma. Costruiamo grafici di equazioni e =.
Utilizzando il “metodo dell’intervallo”, stabiliamo che le aree ombreggiate saranno la soluzione alla disuguaglianza originaria.
Ora costruiamo l'area e vedi quale parte cade nell'area ombreggiata.
Quelli. ora, se per un certo valore fisso, la retta all'intersezione con l'area risultante dà solo punti le cui ascisse soddisfano la condizione < 2, allora è uno dei valori richiesti del parametro.
Quindi lo vediamo.
Risposta: .
Compito 12.
Per quali valori del parametro l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza contiene al massimo quattro valori interi?
Soluzione.
Trasformiamo questa disuguaglianza nella forma Questa disuguaglianza equivale alla combinazione di due sistemi
O
Usando questo insieme, descriviamo la soluzione della disuguaglianza originale.
Disegniamo linee rette, dove. Quindi il valore per il quale la linea interseca le linee al massimo in quattro punti dall'insieme contrassegnato sarà quello desiderato. Quindi vediamo che o o.
Risposta: o o.
Compito 13.
A quali valori del parametroUN ha un sistema di soluzione
Soluzione.
Le radici del trinomio quadrato i.
Poi
Costruiamo linee rette e
Utilizzando il metodo degli “intervalli”, troviamo la soluzione alla disuguaglianza del sistema (area ombreggiata).
Quella parte del cerchio con centro nell'origine e raggio 2, che cade nella zona ombreggiata e sarà la soluzione di questo sistema. .
Valori e trovare dal sistema
Valori e - dal sistema.
Risposta:
Compito 14.
A seconda dei valori dei parametriUN risolvere la disuguaglianza > .
Soluzione.
Riscriviamo questa disuguaglianza nella forma e consideriamo la funzione, che, espandendo i moduli, scriviamo così:
Costruiamo un grafico. Il grafico divide il piano delle coordinate in due regioni. Prendendo m.(0; 0) e sostituendo e nella disuguaglianza originale, otteniamo che 0 > 1, e quindi la disuguaglianza originale è soddisfatta nell'area situata sopra il grafico.
Direttamente dalla figura otteniamo:
nessuna soluzione;
A ;
A.
Risposta: nessuna soluzione;
A ;
A.
Compito 15.
Trova tutti i valori del parametro per cui vale il sistema di disuguaglianze
solo uno è soddisfatto.
Soluzione.
Riscriviamo questo sistema nella seguente forma:
Costruiamo l'area specificata da questo sistema.
1), è il vertice della parabola.
2) è una retta passante per i punti e.
Il requisito dell'unicità della soluzione si traduce in linguaggio grafico come segue: le linee orizzontali con l'area risultante devono avere un solo punto in comune. Il requisito di cui sopra è soddisfatto dalle linee e, dov'è l'ordinata del punto di intersezione della parabola e della linea.
Troviamo il valore:
= (non si adatta al significato del problema),
Troviamo l'ordinata:
Risposta: ,
Compito 16.
Trova tutti i valori dei parametriUN, in base al quale il sistema delle disuguaglianze
soddisfa solo per uno x.
Soluzione .
Costruiamo delle parabole e mostriamo la soluzione dell'ultimo sistema ombreggiando.
1) , .
2) , .
Dalla figura si può vedere che la condizione del problema è soddisfatta per o.
Risposta: O.
Compito 17.
Per quali valori l'equazione ha esattamente tre radici?
Soluzione.
Questa equazione è equivalente all'insieme
Il grafico della popolazione è l'unione dei grafici della parabola e degli angoli.
Le linee intersecano l'unione risultante in tre punti.
Risposta: A.
Compito 18.
Per quali valori l'equazione ha esattamente tre soluzioni?
Soluzione.
Trasformiamo il lato sinistro di questa equazione. Otteniamo un'equazione quadratica per.
Otteniamo l'equazione
che equivale all'aggregato
L'unione dei grafici delle parabole è la soluzione dell'insieme.
Trova l'ordinata dei punti di intersezione delle parabole:
Leggiamo le informazioni necessarie dalla figura: questa equazione ha tre soluzioni per o
Risposta: a o
Compito 19.
A seconda del parametro, determinare il numero di radici dell'equazione
Soluzione .
Consideriamo questa equazione come quadratica rispetto ad a.
,
.
Prendiamo il set
Costruiamo grafici delle equazioni dell'insieme e rispondiamo alla domanda del problema.
Risposta:: nessuna soluzione;
: una soluzione;
: due soluzioni;
oppure: tre soluzioni;
oppure: quattro soluzioni.
Compito 20.
Quante soluzioni ha il sistema
Soluzione.
È chiaro che il numero di radici della seconda equazione del sistema è pari al numero di soluzioni del sistema stesso.
Abbiamo .
Considerando questa equazione come quadratica, otteniamo l'insieme.
Ora, fare riferimento al piano delle coordinate rende il compito semplice. Troviamo le coordinate dei punti di intersezione risolvendo l'equazione
Da qui
Vertici delle parabole e.
Risposta: : quattro soluzioni;
: due soluzioni;
: una soluzione;
: nessuna soluzione.
Compito 21.
Trova tutti i valori reali del parametro per il quale l'equazione ha solo due radici distinte. Annota queste radici.
Soluzione .
Troviamo tra parentesi le radici del trinomio quadrato:
Rappresentiamo l'insieme delle soluzioni di questa equazione nel piano delle coordinate tracciando i grafici a condizione che
Leggiamo le informazioni necessarie dall'immagine. Quindi, questa equazione ha due radici diverse in (u) e in (u)
Risposta: con (e) e
a (e).
Compito 2 2 .
Risolvi il sistema di diseguaglianze:
Soluzione.
Costruiamo nel piano i grafici di una parabola e di una retta.
Tutti i punti dell'area ombreggiata sono la soluzione del sistema. Dividiamo l'area costruita in due parti.
Se e, allora non ci sono soluzioni.
Se, allora le ascisse dei punti dell'area ombreggiata saranno maggiori delle ascisse dei punti della retta, ma minori delle ascisse (radice maggiore dell'equazione) della parabola.
Esprimiamo attraverso l'equazione di una retta:
Troviamo le radici dell'equazione:
Poi.
Se poi.
Risposta: per e 1 non ci sono soluzioni;
A;
A.
Compito 23.
Risolvere il sistema di diseguaglianze
Soluzione.
– sommità della parabola.
Parte superiore della parabola.
Trova le ascisse dei punti di intersezione delle parabole:
L'area ombreggiata è la soluzione del sistema. Dividiamolo in due parti.
Nelle equazioni delle parabole si esprime mediante:
Scriviamo risposta:
se e, allora non ci sono soluzioni;
se poi< ;
se poi.
Compito 24.
A quali valori e l'equazione non ha soluzioni?
Soluzione.
L'equazione è equivalente al sistema
Costruiamo un insieme di soluzioni del sistema.
Tre pezzi di una parabola sono la soluzione di questa equazione.
Troviamo sotto quale ed escludiamolo.
Quindi, perché non ci sono soluzioni;
quando non ci sono soluzioni;
(nota: per il restoUNci sono una o due soluzioni).
Risposta: ; .
Compito 25.
Per quali valori reali del parametro ce n'è almeno uno che soddisfa le condizioni:
Soluzione.
Risolviamo graficamente la disuguaglianza utilizzando il "metodo dell'intervallo" e costruiamo un grafico. Vediamo quale parte del grafico rientra nella regione costruita per risolvere la disuguaglianza e troviamo i valori corrispondentiUN.
Costruiamo grafici di linee e
Dividono il piano delle coordinate in 4 regioni.
Risolviamo graficamente l'ultima disuguaglianza utilizzando il "metodo dell'intervallo".
L'area ombreggiata è la sua soluzione. Parte del grafico della parabola rientra in quest'area. Nell'intervallo; (a condizione che la disuguaglianza del sistema sia rigorosa) esistono che soddisfano le condizioni del sistema dato.
Risposta:
Compito 26.
Trova tutti i valori del parametro, per ciascuno dei quali l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza non contiene alcuna soluzione della disuguaglianza.
Soluzione.
Costruiamo un insieme di soluzioni alla disuguaglianza (“con il metodo degli intervalli”). Quindi costruiremo una "banda" con i valori desiderati del parametroQ quelli per i quali nessuno dei punti delle aree indicate appartiene alla “striscia”
Risposta: O.
Compito 27.
Per quali valori del parametro, l'equazione ha una soluzione unica.
Soluzione.
Fattorizziamo il numeratore della frazione.
Questa equazione è equivalente al sistema:
Costruiamo un grafico della popolazione nel piano delle coordinate.
O
– punto di intersezione delle linee e. Un grafico della popolazione è un'unione di linee.
"Tiriamo fuori" i punti del grafico con le ascisse.
Disegniamo linee rette e vediamo dove c'è un punto di intersezione con il grafico.
È ovvio che solo per o questa equazione ha una soluzione unica.
Risposta: O.
Compito 28.
Per quali valori reali del parametro il sistema di disuguaglianze non ha soluzioni.
Soluzione.
L'insieme dei punti nel piano dell'area ombreggiata soddisfa il sistema di disuguaglianze dato.
Costruiamo linee rette. Dalla figura determiniamo che per (- l'ascissa del punto di intersezione dell'iperbole e della retta), le linee non intersecano l'area ombreggiata.
Risposta: A.
Compito 29.
A quali valori del parametroUN il sistema ha una soluzione unica.
Soluzione.
Passiamo ad un sistema equivalente a quello dato.
Nel piano delle coordinate tracciamo i grafici delle parabole e dei Vertici delle parabole, rispettivamente i punti e.
Calcola le ascisse dei punti di intersezione delle parabole risolvendo l'equazione
L'area ombreggiata è la soluzione del sistema di disuguaglianze. Diretto e
ha un punto in comune con l'area ombreggiata.
Risposta: all'i.
Compito 30.
Risolvi la disuguaglianza:
Soluzione.
A seconda del parametro, troviamo il valore.
Risolveremo la disuguaglianza utilizzando il “metodo dell’intervallo”.
Costruiamo parabole
: .
Calcolare le coordinate del punto di intersezione delle parabole:
I punti dell'area ombreggiata soddisfano questa disuguaglianza. Disegnando una linea retta, dividiamo quest'area in tre parti.
1) Se, allora non ci sono soluzioni.
2) Se, allora nell'equazione esprimiamo attraverso:
Quindi, nella zonaIO abbiamo.
Se, allora guarda:
una regione II .
Esprimiamo nell'equazione attraverso.
radice più piccola,
Radice più grande.
Quindi, nella zona II abbiamo.
b) zona III : .
Risposta: quando non ci sono soluzioni;
A
A, .
Letteratura:
Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Raccolta di problemi di algebra per le classi 8-9: Libro di testo per studenti di scuole e classi con studio approfondito della matematica - 2a ed. – M.: Illuminismo, 1994.
P. I. Gorshtein, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Attività con parametri. 3a edizione ampliata e riveduta. - M.: Ileksa, Kharkov: Ginnasio, 2003.
Faddeev D. K. Algebra 6 - 8. - M.: Education, 1983 (b - ka insegnante di matematica).
AH Shakhmeister. Equazioni e disequazioni con parametri. A cura di BG Ziva. C - Pietroburgo. Mosca. 2004.
V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Compiti con parametri Minsk "Asar", 2002.
AH Shakhmeister. Compiti con parametri nell'esame. Casa editrice dell'Università di Mosca, CheRo sulla Neva MCNMO.