Generatore di dadi: dadi online. Storia del gioco dei dadi Collegamento delle condizioni per un test indipendente

Metodo di composizione musicale con testo audio sciolto; poiché un modo indipendente di comporre musica ha preso forma nel XX secolo. A. significa il rifiuto totale o parziale da parte del compositore di uno stretto controllo sul testo musicale, o addirittura l'eliminazione della categoria stessa di compositore-autore nel senso tradizionale. L'innovazione di A. sta nella correlazione di componenti stabilmente stabiliti di un testo musicale con la casualità deliberatamente introdotta e la mobilità arbitraria della materia musicale. Il concetto di A. può riferirsi sia alla disposizione generale delle parti di un saggio (forma) sia alla struttura del suo tessuto. Secondo E. Denisov, l'interazione tra stabilità e mobilità del tessuto e della forma dà origine a 4 tipi principali di combinazioni, tre delle quali - 2a, 3a e 4a - sono aleatorie: 1. Tessuto stabile - forma stabile (composizione tradizionale usuale, opus Perfectum et absolutum; come, per esempio, la sesta sinfonia di Čajkovskij); 2. Tessuto stabile - forma mobile; secondo V. Lutoslavsky, “A. forme" (P. Boulez, 3a sonata per pianoforte, 1957); 3. Tessuto mobile: forma stabile; o, secondo Lutoslawski, “A. texture" (Lyutoslawski, Quartetto d'archi, 1964, Movimento principale); 4. Tessuto mobile - forma mobile; oppure "A. Gabbia"(durante l'improvvisazione collettiva di diversi artisti). Questi sono i punti nodali del metodo A., attorno ai quali si articolano tipologie e casi specifici di strutture, diversi gradi di immersione in A.; Inoltre, anche i metaboli ("modulazioni") sono naturali: una transizione da un tipo o tipo a un altro, anche da o verso un testo stabile.

A. si è diffuso a partire dagli anni '50, apparendo (insieme a sonoro), in particolare, una reazione all’estrema schiavitù della struttura musicale nel serialismo multiparametrico (vedi: Dodecafonia). Nel frattempo, il principio della libertà di struttura in un modo o nell'altro ha radici antiche. Essenzialmente, la musica popolare è un flusso sonoro e non un'opera strutturata in modo univoco. Da qui l'instabilità, la natura “non opus” della musica popolare, la variazione, la variazione e l'improvvisazione in essa. L'indeterminatezza e l'improvvisazione della forma sono caratteristiche della musica tradizionale dell'India, dei popoli dell'Estremo Oriente e dell'Africa. Pertanto, i rappresentanti di A. si affidano attivamente e consapevolmente ai principi essenziali della musica orientale e popolare. Elementi di A. esistevano anche nella musica classica europea. Ad esempio, tra i classici viennesi, che eliminarono il principio del basso generale e resero il testo musicale completamente stabile (sinfonie e quartetti di I. Haydn), in netto contrasto era la "cadenza" sotto forma di concerto strumentale - un assolo virtuoso, la cui parte non è stata composta dal compositore, ma è stata lasciata alla discrezione dell'esecutore (elemento A. forma). Sono noti metodi umoristici “aleatorici” per comporre brani semplici (minuetti) combinando brani musicali giocando a dadi (Würfelspiel) ai tempi di Haydn e Mozart (trattato di I.F. Kirnberger “In qualsiasi momento un compositore già pronto di polacche e minuetti.” Berlino, 1757).

Nel 20 ° secolo il principio del “progetto individuale” nella forma cominciò a suggerire l’ammissibilità delle versioni testuali dell’opera (cioè A.). Nel 1907 Il compositore americano Charles Ives ha composto il quintetto per pianoforte “Hallwe"en (= “All Hallows’ Eve”), il cui testo, quando viene eseguito in un concerto, deve essere suonato in modo diverso quattro volte di seguito. D. Gabbia composta nel 1951 “Music of Changes” per pianoforte, il cui testo ha composto “manipolando gli incidenti” (parole del compositore), utilizzando per questo il “Libro dei Mutamenti” cinese. Classico

L’esempio classico di A. è “Piano Piece XI” di K. Stockhausen, 1957. Su un foglio di carta ca. 0,5 mq 19 frammenti musicali si trovano in ordine casuale. Il pianista inizia con uno qualsiasi di essi e li suona in qualsiasi ordine, seguendo uno sguardo casuale; alla fine del passaggio precedente è scritto a che tempo e a che volume suonare quello successivo. Quando il pianista ritiene di aver già suonato tutti i frammenti in questo modo, è necessario riprodurli una seconda volta nello stesso ordine casuale, ma con una sonorità più brillante. Dopo il secondo turno il gioco finisce. Per un effetto maggiore, si consiglia di ripetere il lavoro aleatorio in un concerto: all'ascoltatore verrà presentata un'altra composizione dello stesso materiale. Il metodo A. è ampiamente utilizzato dai compositori moderni (Boulez, Stockhausen, Lutoslavskij, A. Volkonskij, Denisov, Schnittke e così via.).

Il prerequisito per A. nel XX secolo. apparvero nuove leggi armonia e le conseguenti tendenze alla ricerca di nuove forme corrispondenti al nuovo stato del materiale musicale e caratteristico di avanguardia. La consistenza aleatoria era del tutto impensabile prima dell’emancipazione dissonanza, sviluppo della musica atonale (vedi: Dodecafonia). Un sostenitore del “limitato e controllato” A. Lutoslavsky vede in esso un indubbio valore: “A. mi ha aperto prospettive nuove e inaspettate. Innanzitutto c’è un’enorme ricchezza di ritmo, irraggiungibile con l’aiuto di altre tecniche”. Denisov, giustificando "l'introduzione di elementi casuali nella musica", afferma che "ci dà maggiore libertà nell'operare con la materia musicale e ci consente di ottenere nuovi effetti sonori<...>, ma le idee sulla mobilità possono dare buoni risultati solo se<... >, se le tendenze distruttive nascoste nella mobilità non distruggono la costruttività necessaria all’esistenza di qualsiasi forma d’arte”.

Alcuni altri metodi e forme di musica si sovrappongono a quelli di A. Innanzitutto questo: 1. improvvisazione - esecuzione di un'opera composta durante il gioco; 2. musica grafica, che l'esecutore improvvisa secondo le immagini visive del disegno posto davanti a lui (ad esempio, I. Brown, Folio", 1952), traducendole in immagini sonore, oppure secondo grafiche aleatorie musicali realizzate dal compositore a partire da brani di testo musicale su foglio di carta (S. Bussotti, "Passione per il giardino", 1966); 3. accadendo- azione improvvisata (in questo senso aleatoria). (Promozione) con la partecipazione di musica con una trama arbitraria (quasi-) (ad esempio, l'happening di A. Volkonsky “Replica” dell'ensemble “Madrigal” nella stagione 1970/71); 4. forme di musica aperte, cioè quelle il cui testo non è fissato stabilmente, ma si ottiene sempre nel processo di esecuzione. Si tratta di tipi di composizione che non sono fondamentalmente chiusi e consentono una continuazione infinita (ad esempio, con ogni nuova rappresentazione), inglese. Lavori in corso. Per P. Boulez, uno degli stimoli che lo hanno indirizzato verso una forma aperta è stato il lavoro di J. Joyce(“Ulisse”) e S. Mallarmé (“Le Livre”). Un esempio di composizione aperta è "Available Forms II" di Earl Brown per 98 strumenti e due direttori (1962). Lo stesso Brown sottolinea la connessione della sua forma aperta con i “mobili” nelle arti visive (vedi: Arte cinetica), in particolare da A. Calder (“Calder Piece” per 4 batteristi e Calder mobile, 1965). Infine, l’azione “Gesamtkunst” è permeata di principi aleatori (vedi: Gesamtkunstwerk). 5. Multimedia, la cui specificità è la sincronizzazione installazioni diverse arti (ad esempio: un concerto + una mostra di pittura e scultura + una serata di poesia in qualsiasi combinazione di arti, ecc.). Pertanto, l'essenza dell'arte è la riconciliazione tra l'ordine artistico tradizionalmente stabilito e l'enzima rinfrescante dell'imprevedibilità, del caso - una tendenza caratteristica dell'arte. cultura artistica del XX secolo. in generale e estetica non classica.

Lett.: Denisov E.V. Elementi stabili e mobili della forma musicale e loro interazione // Problemi teorici di forme e generi musicali. M., 1971; Kohoutek C. Tecnica compositiva nella musica del XX secolo. M., 1976; Lutoslawski V. Articoli, be-

capelli grigi, ricordi. M., 1995; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Magonza, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schaffer B. Adesso muzyka (1958). Cracovia, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Cracovia, 1975; Stockhausen K. Musica e grafica (1960) // Texte, Bd.l, Colonia, 1963; Böhmer K. Teoria della forma offensiva nella musica. Darmstadt, 1967.

Scritto dal designer Tyler Sigman, su Gamasutra. Lo chiamo affettuosamente l'articolo “i peli nelle narici dell'orco”, ma fa un ottimo lavoro nel definire le basi delle probabilità nei giochi.

L'argomento di questa settimana

Fino ad ora, quasi tutto ciò di cui abbiamo parlato era deterministico e la settimana scorsa abbiamo esaminato più da vicino la meccanica transitiva e l'abbiamo analizzata per quanto riesco a spiegare. Ma finora non abbiamo prestato attenzione ad un aspetto importante di molti giochi, vale a dire gli aspetti non deterministici, in altre parole: la casualità. Comprendere la natura della casualità è molto importante per i game designer perché creiamo sistemi che influenzano l'esperienza del giocatore in un dato gioco, quindi dobbiamo sapere come funzionano questi sistemi. Se c'è casualità nel sistema, devi capirlo natura questa casualità e come cambiarla per ottenere i risultati di cui abbiamo bisogno.

Dado

Cominciamo con qualcosa di semplice: lanciare i dadi. Quando la maggior parte delle persone pensa ai dadi, pensa a un dado a sei facce noto come d6. Ma la maggior parte dei giocatori ha visto molti altri dadi: a quattro facce (d4), ottagonali (d8), a dodici facce (d12), a venti facce (d20)... e se tu vero geek, potresti avere dadi a 30 o 100 facce da qualche parte. Se non hai familiarità con questa terminologia, la "d" sta per dado e il numero successivo indica quanti lati ha. Se Prima"d" è un numero, significa quantità dadi quando si lanciano. Ad esempio, nel gioco del Monopoli tiri 2d6.

Quindi, in questo caso, la frase “dado” è un simbolo. Esistono numerosi altri generatori di numeri casuali che non hanno la forma di un pezzo di plastica ma svolgono la stessa funzione di generare un numero casuale da 1 a n. Una moneta ordinaria può anche essere pensata come un dado diedro d2. Ho visto due disegni di dadi a sette facce: uno sembrava un dado e l'altro sembrava più una matita di legno a sette facce. Il dreidel tetraedrico (noto anche come titotum) è simile all'osso tetraedrico. Il campo di gioco delle frecce rotanti nel gioco “Chutes & Ladders”, dove il risultato può variare da 1 a 6, corrisponde a un dado a sei facce. Un generatore di numeri casuali in un computer può creare qualsiasi numero da 1 a 19 se il progettista specifica tale comando, sebbene il computer non disponga di un dado a 19 facce (in generale, parlerò più della probabilità che i numeri appaiano su un computer dentro Prossimo settimana). Sebbene questi elementi sembrino tutti diversi, in realtà sono gli stessi: hai le stesse possibilità di ottenere uno dei diversi risultati.

I dadi hanno alcune proprietà interessanti che dobbiamo conoscere. Innanzitutto, la probabilità di lanciare entrambe le facce è la stessa (suppongo che tu stia lanciando un dado normale, non uno con una forma geometrica irregolare). Quindi, se vuoi saperlo valore medio lanciare (noto anche tra chi è interessato al tema della probabilità come “valore atteso matematico”), sommare i valori di tutti i lati e dividere questa somma per quantità facce. Il tiro medio per un dado standard a sei facce è 1+2+3+4+5+6 = 21, diviso per il numero di facce (6) e la media è 21/6 = 3,5. Questo è un caso speciale perché presupponiamo che tutti i risultati siano ugualmente probabili.

E se avessi dei dadi speciali? Ad esempio, ho visto un gioco con un dado a sei facce con adesivi speciali sui lati: 1, 1, 1, 2, 2, 3, quindi si comporta come uno strano dado a tre facce che ha maggiori probabilità di lanciare 1 di 2 e 2 di 3. Qual è il tiro medio di questo dado? Quindi, 1+1+1+2+2+3 = 10, diviso per 6, equivale a 5/3 o circa 1,66. Quindi, se hai questo dado speciale e i giocatori lanciano tre dadi e poi sommano i risultati, sai che il totale approssimativo del loro lancio sarà di circa 5, e puoi bilanciare il gioco basandoti su questo presupposto.

Dadi e indipendenza

Come ho già detto, partiamo dal presupposto che ciascuna parte abbia la stessa probabilità di fallire. Questo non dipende da quanti dadi lanci. Ogni lancio dei dadi indipendentemente, ciò significa che i tiri precedenti non influenzano i risultati di quelli successivi. Con abbastanza test lo farai sicuramente avviso una "serie" di numeri, come lanciare per lo più numeri più alti o più bassi, o altre funzionalità, e ne parleremo più avanti, ma ciò non significa che i dadi siano "caldi" o "freddi". Se lanci un dado standard a sei facce e ottieni il numero 6 due volte di seguito, anche la probabilità che il lancio successivo dia un 6 è 1/6. La probabilità non aumenta perché il cubo è “riscaldato”. La probabilità non diminuisce perché il numero 6 è già uscito due volte di seguito, il che significa che ora uscirà un altro lato. (Naturalmente, se lanci un dado venti volte e ottieni un 6 ogni volta, la possibilità che la ventunesima volta tiri un 6 è piuttosto alta... perché questo probabilmente significa che hai il dado sbagliato!) Ma se Se hai i dadi giusti, ciascuna parte ha la stessa probabilità di cadere, indipendentemente dal risultato degli altri lanci. Puoi anche immaginare di cambiare il dado ogni volta, quindi se il numero 6 viene lanciato due volte di seguito, rimuovi il dado caldo dal gioco e sostituiscilo con un nuovo dado a sei facce. Mi scuso se qualcuno di voi lo sapeva già, ma avevo bisogno di chiarire questa cosa prima di andare avanti.

Come far lanciare i dadi in modo più o meno casuale

Parliamo di come ottenere risultati diversi su dadi diversi. Sia che lanci un dado solo una o più volte, il gioco sembrerà più casuale se il dado ha più facce. Più volte lanci un dado, o più dadi lanci, più i risultati si sposteranno verso la media. Ad esempio, se lanci 1d6+4 (ovvero un dado standard a sei facce una volta e aggiungi 4 al risultato), la media sarà un numero compreso tra 5 e 10. Se tiri 5d2, anche la media sarà un numero compreso tra 5 e 10. Ma quando si lancia un dado a sei facce, la probabilità di ottenere i numeri 5, 8 o 10 è la stessa. Il risultato del lancio di 5d2 saranno principalmente i numeri 7 e 8, meno spesso altri valori. Stessa serie, anche stesso valore medio (7,5 in entrambi i casi), ma la natura della casualità è diversa.

Apetta un minuto. Non ho appena detto che i dadi non si riscaldano né si raffreddano? Ora sto dicendo che se lanci molti dadi, i risultati dei tiri tendono ad essere più vicini alla media? Perché?

Lasciatemi spiegare. Se smetti uno dadi, la probabilità che ciascuna faccia cada è la stessa. Ciò significa che se lanci molti dadi, in un periodo di tempo ciascun lato apparirà all'incirca lo stesso numero di volte. Più dadi lanci, più il risultato totale si avvicinerà alla media. Questo non è perché il numero estratto “forza” l'estrazione di un altro numero che non è stato ancora estratto. E poiché una piccola serie di risultati di 6 (o 20, o qualunque numero) alla fine non avrà importanza se lanci i dadi altre diecimila volte e per lo più ottieni la media... ora potresti avere alcuni numeri con valore elevato, ma forse in seguito alcuni numeri di valore basso e col tempo si avvicineranno al valore medio. Non perché i tiri precedenti influenzino i dadi (sul serio, i dadi sono fatti di plastica, non ha il cervello per pensare: "Oh, è da un po' che non lancio un 2"), ma perché è quello che di solito accade quando si lanciano molti dadi. Una piccola serie di numeri ripetuti sarà quasi invisibile in un gran numero di risultati.

Pertanto, eseguire i calcoli per un lancio casuale di un dado è abbastanza semplice, almeno per quanto riguarda il calcolo del valore medio del lancio. Ci sono anche modi per calcolare "quanto casuale" è qualcosa, un modo per dire che i risultati del lancio di 1d6+4 saranno "più casuali" di 5d2, per 5d2 la distribuzione dei tiri sarà più uniforme, di solito per questo si calcola la deviazione standard, e maggiore è il valore, più casuali saranno i risultati, ma questo richiede più calcoli di quelli che vorrei fornire oggi (spiegherò questo argomento più avanti). L'unica cosa che ti chiedo di sapere è che, come regola generale, meno dadi si lanciano, maggiore è la casualità. Un'altra aggiunta a questo argomento: più facce ha un dado, maggiore è la casualità, poiché hai più opzioni.

Come calcolare la probabilità utilizzando il conteggio

Forse ti starai chiedendo: come possiamo calcolare l'esatta probabilità di ottenere un determinato risultato? Questo è in realtà molto importante per molti giochi, perché se lanci un dado, è probabile che inizialmente ci sia una sorta di risultato ottimale. La risposta è che dobbiamo contare due valori. Innanzitutto, conta il numero massimo di risultati quando lanci un dado (indipendentemente da quale sia il risultato). Quindi contare il numero di risultati favorevoli. Dividendo il secondo valore per il primo otterrai la probabilità desiderata. Per ottenere la percentuale, moltiplica il risultato per 100.

Esempi:

Ecco un esempio molto semplice. Vuoi che venga lanciato il numero 4 o superiore e lancia il dado a sei facce una volta. Il numero massimo di risultati è 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Di questi, 3 esiti (4, 5, 6) sono favorevoli. Ciò significa che per calcolare la probabilità dividiamo 3 per 6 e otteniamo 0,5 o 50%.

Ecco un esempio un po' più complicato. Vuoi un numero pari quando lanci 2d6. Il numero massimo di risultati è 36 (6 per ogni dado, e poiché un dado non influenza l'altro, moltiplichiamo 6 risultati per 6 e otteniamo 36). La difficoltà con questo tipo di domande è che è facile contare due volte. Ad esempio, ci sono in realtà due opzioni per ottenere un 3 con un lancio di 2d6: 1+2 e 2+1. Sembrano uguali, ma la differenza è quale numero viene visualizzato sul primo dado e quale numero viene visualizzato sul secondo. Puoi anche immaginare che i dadi siano di colori diversi, quindi ad esempio in questo caso un dado è rosso e l'altro è blu. Quindi conta il numero di opzioni per ottenere un numero pari: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Si scopre che ci sono 18 opzioni per un esito favorevole su 36, come nel caso precedente, la probabilità sarà pari allo 0,5 o al 50%. Forse inaspettato, ma abbastanza accurato.

Simulazione Montecarlo

Cosa succede se hai troppi dadi per questo calcolo? Ad esempio, vuoi sapere qual è la probabilità di ottenere un totale di 15 o più lanciando 8d6. Ci sono MOLTI risultati individuali diversi per otto dadi e contarli a mano richiederebbe molto tempo. Anche se troviamo una buona soluzione per raggruppare diverse serie di lanci di dadi, ci vorrà comunque molto tempo per contare. In questo caso, il modo più semplice per calcolare la probabilità non è contare manualmente, ma utilizzare un computer. Esistono due modi per calcolare la probabilità su un computer.

Il primo metodo può darti una risposta precisa, ma richiede un po' di programmazione o scripting. In sostanza, il computer esaminerà ogni possibilità, valuterà e conterà il numero totale di iterazioni e il numero di iterazioni che corrispondono al risultato desiderato, quindi fornirà le risposte. Il tuo codice potrebbe assomigliare a questo:

int conteggio vittorie=0, conteggio totale=0;

for (int i=1; i<=6; i++) {

for (int j=1; j<=6; j++) {

for (int k=1; k<=6; k++) {

... // inserisci più loop qui

se (i+j+k+… >= 15) (

probabilità float = conteggio vittorie/conteggio totale;

Se non sai molto di programmazione e desideri solo una risposta approssimativa anziché esatta, puoi simulare questa situazione in Excel, lanciando 8d6 alcune migliaia di volte e ottenendo la risposta. Per lanciare 1d6 in Excel, utilizzare la seguente formula:

PIANO(CASUALE()*6)+1

C'è un nome per la situazione in cui non conosci la risposta e ci provi più volte - Simulazione Montecarlo, e questa è un'ottima soluzione a cui ricorrere quando cerchi di calcolare la probabilità ed è troppo complicato. La cosa bella è che in questo caso non abbiamo bisogno di capire come funziona il calcolo, e sappiamo che la risposta sarà “abbastanza buona” perché, come già sappiamo, più tiri, più il risultato si avvicina a quello media.

Come combinare prove indipendenti

Se chiedi informazioni su più prove ripetute ma indipendenti, il risultato di un tiro non influenza i risultati degli altri tiri. C'è un'altra spiegazione più semplice per questa situazione.

Come distinguere tra qualcosa di dipendente e indipendente? Fondamentalmente, se puoi isolare ogni lancio di un dado (o serie di lanci) come un evento separato, allora è indipendente. Ad esempio, se vogliamo un totale di 15 quando lanciamo 8d6, questo caso non può essere suddiviso in più tiri di dado indipendenti. Dato che per ottenere il risultato conti la somma dei valori di tutti i dadi, il risultato che esce su un dado influenza i risultati che dovrebbero uscire sugli altri dadi, perché solo sommando tutti i valori potrai ottenere il risultato richiesto.

Ecco un esempio di tiri indipendenti: stai giocando a un gioco di dadi e lanci più volte dadi a sei facce. Per rimanere nel gioco, devi ottenere un numero 2 o superiore al tuo primo lancio. Per il secondo tiro: 3 o più. Il terzo richiede un 4 o più, il quarto richiede un 5 o più, il quinto richiede un 6. Se tutti e cinque i tiri hanno successo, vinci. In questo caso tutti i lanci sono indipendenti. Sì, se un tiro fallisce, ciò influenzerà l'esito dell'intera partita, ma un tiro non influenza un altro tiro. Ad esempio, se il tuo secondo lancio di dadi ha molto successo, ciò non influisce sulla probabilità che i tiri successivi abbiano lo stesso successo. Pertanto, possiamo considerare separatamente la probabilità di ciascun lancio di dadi.

Se hai probabilità separate e indipendenti e vuoi sapere qual è la probabilità Tutto gli eventi si verificheranno, determini ogni singola probabilità e la moltiplichi. Un altro modo: se usi la congiunzione “e” per descrivere diverse condizioni (ad esempio, qual è la probabilità che si verifichi un evento casuale E qualche altro evento casuale indipendente?), calcola le probabilità individuali e moltiplicale.

Non importa cosa pensi Mai Non sommare probabilità indipendenti. Questo è un errore comune. Per capire perché questo è sbagliato, immagina una situazione in cui stai lanciando una moneta 50/50 e vuoi sapere qual è la probabilità di ottenere testa due volte di seguito. Ciascun lato ha una probabilità del 50% di ottenere testa, quindi se sommi queste due probabilità insieme, ottieni una probabilità del 100% di ottenere testa, ma sappiamo che non è vero perché avrebbe potuto essere croce due volte di seguito. Se invece moltiplichi le due probabilità, ottieni 50%*50% = 25%, che è la risposta corretta per calcolare la probabilità di ottenere testa due volte di seguito.

Esempio

Torniamo al gioco dei dadi a sei facce, in cui devi prima ottenere un numero superiore a 2, poi superiore a 3, ecc. a 6. Quali sono le probabilità che in una data serie di 5 lanci tutti i risultati siano favorevoli?

Come detto sopra, si tratta di prove indipendenti e quindi calcoliamo la probabilità per ogni singolo lancio e poi le moltiplichiamo. La probabilità che l'esito del primo lancio sia favorevole è 5/6. Secondo - 4/6. Terzo - 3/6. Il quarto - 2/6, il quinto - 1/6. Moltiplica tutti questi risultati e otterrai circa 1,5%... Quindi, vincere in questo gioco è piuttosto raro, quindi se aggiungi questo elemento al tuo gioco, avrai bisogno di un jackpot abbastanza grande.

Negazione

Ecco un altro consiglio utile: a volte è difficile calcolare la probabilità che si verifichi un evento, ma è più semplice determinare quali sono le probabilità che un evento si verifichi. non verrà.

Ad esempio, supponiamo di avere un altro gioco e di lanciare 6d6 e se almeno una volta Se ottieni un 6, vinci. Qual è la probabilità di vincere?

In questo caso, devi considerare molte opzioni. Forse apparirà un numero, 6, cioè uno dei dadi mostrerà il numero 6, e gli altri avranno numeri da 1 a 5, e ci sono 6 possibilità di quali dadi mostreranno il numero 6. Quindi puoi ottenere il numero 6 su due dadi, o su tre, o ancora di più, e ogni volta dobbiamo fare un calcolo separato, quindi è facile confondersi.

Ma c'è un altro modo per risolvere questo problema, guardiamolo dall'altra parte. Voi perderai Se non su nessuno il dado non lancerà il numero 6. In questo caso abbiamo sei prove indipendenti, la probabilità di ciascuna di esse è 5/6 (qualsiasi altro numero tranne 6 può cadere sul dado). Moltiplicandoli e ottieni circa il 33%. Pertanto, la probabilità di perdere è 1 su 3.

Pertanto, la probabilità di vincita è del 67% (o 2 a 3).

Da questo esempio è ovvio che se calcoli la probabilità che un evento non si verifichi, devi sottrarre il risultato dal 100%. Se la probabilità di vincita è del 67%, allora la probabilità perdere — 100% meno 67% o 33%. E viceversa. Se è difficile calcolare una probabilità, ma è facile calcolare il contrario, calcola il contrario e poi sottrai dal 100%.

Combiniamo le condizioni per un test indipendente

Ho detto poco sopra che non dovresti mai aggiungere probabilità tra prove indipendenti. Ci sono casi in cui Potere riassumere le probabilità? - Sì, in una situazione speciale.

Se vuoi calcolare la probabilità di più risultati favorevoli non correlati in una singola prova, somma le probabilità di ciascun risultato favorevole. Ad esempio, la probabilità di ottenere i numeri 4, 5 o 6 su 1d6 è quantità la probabilità di ottenere il numero 4, la probabilità di ottenere il numero 5 e la probabilità di ottenere il numero 6. Puoi anche immaginare questa situazione come segue: se usi la congiunzione “o” in una domanda sulla probabilità (ad esempio , qual è la probabilità che O risultato diverso di un evento casuale?), calcolare le probabilità individuali e sommarle.

Tieni presente che quando sommi tutti i risultati possibili gioco, la somma di tutte le probabilità deve essere pari al 100%. Se la somma non è pari al 100%, il calcolo è stato eseguito in modo errato. Questo è un buon modo per ricontrollare i tuoi calcoli. Ad esempio, hai analizzato la probabilità di ottenere tutte le combinazioni nel poker, se sommi tutti i risultati ottenuti, dovresti ottenere esattamente il 100% (o almeno un valore abbastanza vicino al 100%, se usi una calcolatrice, potresti avere un piccolo errore di arrotondamento, ma se sommi i numeri esatti manualmente, tutto dovrebbe sommarsi). Se i conti non tornano, significa che molto probabilmente non hai tenuto conto di alcune combinazioni, oppure hai calcolato in modo errato le probabilità di alcune combinazioni e quindi è necessario ricontrollare i calcoli.

Probabilità disuguali

Finora abbiamo ipotizzato che ogni lato del dado venga lanciato alla stessa frequenza, perché è così che funziona il dado. Ma a volte ti trovi di fronte a una situazione in cui sono possibili risultati diversi e loro diverso perdere le possibilità. Ad esempio, in una delle espansioni del gioco di carte “Nuclear War” c'è un campo da gioco con una freccia da cui dipende il risultato del lancio di un razzo: in pratica infligge danni normali, più o meno forti, ma a volte il danno è raddoppiato o triplicato, oppure un razzo esplode sulla rampa di lancio e ti ferisce, oppure si verifica un altro evento. A differenza del tabellone delle frecce in “Chutes & Ladders” o “A Game of Life”, il tabellone di gioco in “Nuclear War” ha risultati disuguali. Alcune sezioni del campo di gioco sono più grandi e la freccia si ferma su di esse molto più spesso, mentre altre sezioni sono molto piccole e la freccia si ferma su di esse molto più spesso.

Quindi, a prima vista, l'osso assomiglia a questo: 1, 1, 1, 2, 2, 3; ne abbiamo già parlato, è qualcosa come un 1d3 ponderato, quindi dobbiamo dividere tutte queste sezioni in parti uguali, trovare l'unità di misura più piccola di cui tutto è multiplo e quindi rappresentare la situazione come d522 (o qualche altra), dove molte facce di dado rappresenteranno la stessa situazione, ma con più risultati. E questo è un modo per risolvere il problema, ed è tecnicamente fattibile, ma esiste un modo più semplice.

Torniamo ai nostri dadi standard a sei facce. Abbiamo detto che per calcolare il valore medio del lancio di un dado normale è necessario sommare i valori su tutte le facce e dividerli per il numero di facce, ma come esattamente c'è un calcolo in corso? C'è un altro modo per esprimerlo. Per un dado a sei facce, la probabilità che venga lanciata ciascuna faccia è esattamente 1/6. Ora moltiplichiamo Esodo ogni faccia probabilità di questo risultato (in questo caso 1/6 per ciascun lato), quindi sommiamo i valori risultanti. Quindi, sommando (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ) , otteniamo lo stesso risultato (3.5) del calcolo precedente. In effetti, contiamo ogni volta in questo modo: moltiplichiamo ogni risultato per la probabilità di quel risultato.

Possiamo fare lo stesso calcolo per la freccia sul campo di gioco nel gioco “Nuclear War”? Certo che possiamo. E se sommiamo tutti i risultati trovati, otterremo il valore medio. Tutto quello che dobbiamo fare è calcolare la probabilità di ciascun risultato per la freccia sul tabellone e moltiplicarla per il risultato.

Un altro esempio

Questo metodo di calcolo della media moltiplicando ciascun risultato per la sua probabilità individuale è adatto anche se i risultati sono ugualmente probabili ma presentano vantaggi diversi, ad esempio se si lancia un dado e si vince di più su alcuni lati rispetto ad altri. Ad esempio, prendiamo un gioco da casinò: piazzi una scommessa e lanci 2d6. Se ottieni tre numeri di valore basso (2, 3, 4) o quattro numeri di valore alto (9, 10, 11, 12), vincerai un importo pari alla tua scommessa. I numeri con il valore più basso e quello più alto sono speciali: se ottieni 2 o 12, vinci due volte tanto rispetto alla tua offerta. Se esce qualsiasi altro numero (5, 6, 7, 8), perderai la scommessa. Questo è un gioco piuttosto semplice. Ma qual è la probabilità di vincere?

Iniziamo contando quante volte puoi vincere:

• Il numero massimo di risultati quando si lanciano 2d6 è 36. Qual è il numero di risultati favorevoli?
• C'è 1 opzione per lanciare un due e 1 opzione per lanciare un dodici.
• Ci sono 2 opzioni per lanciare il tre e l'undici.
• Ci sono 3 opzioni per lanciare un quattro e 3 opzioni per lanciare un dieci.
• Ci sono 4 opzioni per lanciare un nove.
• Riassumendo tutte le opzioni, otteniamo il numero di risultati favorevoli 16 su 36.

Quindi, in condizioni normali, vincerai 16 volte su 36 possibili... la probabilità di vincita è leggermente inferiore al 50%.

Ma in due casi su 16 vincerai il doppio, cioè È come vincere due volte! Se giochi a questo gioco 36 volte, scommettendo $ 1 ogni volta, e ciascuno di tutti i possibili risultati esce una volta, vincerai un totale di $ 18 (in realtà vincerai 16 volte, ma due di queste volte conteranno come due vincite). Se giochi 36 volte e vinci $ 18, non significa che hai le stesse possibilità?

Prenditi il ​​​​tuo tempo. Se conti il ​​numero di volte che puoi perdere, otterrai 20, non 18. Se giochi 36 volte, scommettendo $ 1 ogni volta, vincerai un totale di $ 18 se azzecchi tutte le scelte vincenti... ma perderai l'importo totale di $ 20 se si verificano tutti e 20 i risultati sfavorevoli! Di conseguenza rimarrai un po’ indietro: perdi in media 2 dollari netti ogni 36 partite (puoi anche dire che perdi in media 1/18 di dollaro al giorno). Ora vedi quanto è facile commettere un errore in questo caso e calcolare la probabilità in modo errato!

Riorganizzazione

Finora abbiamo dato per scontato che l’ordine dei numeri nel lancio dei dadi non abbia importanza. Lanciare 2+4 equivale a lanciare 4+2. Nella maggior parte dei casi contiamo manualmente il numero di risultati favorevoli, ma a volte questo metodo non è pratico ed è meglio utilizzare una formula matematica.

Un esempio di questa situazione è tratto dal gioco di dadi “Farkle”. Per ogni nuovo round, tiri 6d6. Se sei fortunato e ottieni tutti i risultati possibili 1-2-3-4-5-6 (“dritto”), riceverai un grosso bonus. Qual è la probabilità che ciò accada? In questo caso, ci sono molte opzioni per ottenere questa combinazione!

La soluzione è la seguente: uno dei dadi (e uno solo) deve avere il numero 1! In quanti modi si può lanciare il numero 1 su un dado? Sei, poiché ci sono 6 dadi e su ognuno di essi può uscire il numero 1. Prendi quindi un dado e mettilo da parte. Ora uno dei dadi rimanenti dovrebbe lanciare il numero 2. Ci sono cinque opzioni per farlo. Prendi un altro dado e mettilo da parte. Quindi quattro dei dadi rimanenti potrebbero dare 3, tre dei dadi rimanenti potrebbero dare 4, due dadi potrebbero dare 5 e alla fine ti ritroverai con un dado che dovrebbe dare 6 (in quest'ultimo caso c'è solo un dado e non c'è scelta). Per calcolare il numero di risultati favorevoli per ottenere una scala, moltiplichiamo tutte le diverse opzioni indipendenti: 6x5x4x3x2x1 = 720 - sembra esserci un numero piuttosto elevato di possibilità per questa combinazione.

Per calcolare la probabilità di ottenere una scala, dobbiamo dividere 720 per il numero di tutti i possibili risultati lanciando 6d6. Qual è il numero di tutti i possibili risultati? Ogni dado può avere 6 facce, quindi moltiplichiamo 6x6x6x6x6x6 = 46656 (il numero è molto più alto!). Dividi 720/46656 e ottieni una probabilità di circa l'1,5%. Se stessi progettando questo gioco, ti sarebbe utile saperlo in modo da poter creare un sistema di punteggio di conseguenza. Ora capiamo perché in Farkle otterrai un bonus così grande se ottieni una scala, perché questa situazione è piuttosto rara!

Il risultato è interessante anche per un altro motivo. L'esempio mostra quanto raramente, infatti, un risultato corrispondente alla probabilità si verifichi in un breve periodo. Naturalmente, se lanciassimo diverse migliaia di dadi, molto spesso uscirebbero facce diverse del dado. Ma quando lanciamo solo sei dadi, quasi Mai Non succede che ciascuna delle facce cada! Sulla base di ciò, diventa chiaro che è stupido aspettarsi che ora appaia un’altra faccia, che non è ancora caduta “perché non abbiamo lanciato il numero 6 per molto tempo, il che significa che ora cadrà”.

Ascolta, il tuo generatore di numeri casuali è rotto...

Ciò ci porta a un malinteso comune sulla probabilità: il presupposto che tutti i risultati si verifichino con la stessa frequenza. in un breve periodo di tempo, cosa che in realtà non è così. Se lanciamo i dadi più volte, la frequenza con cui ciascuna faccia cade non sarà la stessa.

Se hai già lavorato su un gioco online con qualsiasi tipo di generatore di numeri casuali, molto probabilmente ti sei imbattuto in una situazione in cui un giocatore scrive al supporto tecnico per dire che il tuo generatore di numeri casuali è rotto e non mostra numeri casuali. ed è arrivato a questa conclusione perché ha appena ucciso 4 mostri di fila e ha ricevuto 4 identiche ricompense, e queste ricompense dovrebbero apparire solo il 10% delle volte, quindi questo Quasi mai non dovrebbe avere luogo, il che significa questo ovviamente che il tuo generatore di numeri casuali è rotto.

Stai facendo un calcolo matematico. 1/10*1/10*1/10*1/10 è uguale a 1 su 10.000, il che significa che è piuttosto raro. Ed è esattamente ciò che il giocatore sta cercando di dirti. C'è un problema in questo caso?

Tutto dipende dalle circostanze. Quanti giocatori ci sono attualmente sul tuo server? Supponiamo che tu abbia un gioco abbastanza popolare e che 100.000 persone ci giochino ogni giorno. Quanti giocatori possono uccidere quattro mostri di fila? Tutto è possibile, più volte al giorno, ma supponiamo che la metà di loro stia semplicemente scambiando vari oggetti nelle aste o chattando sui server RP o svolgendo altre attività di gioco, quindi solo la metà di loro sta effettivamente dando la caccia ai mostri. Qual è la probabilità che a qualcuno apparirà la stessa ricompensa? In questa situazione, puoi aspettarti che la stessa ricompensa possa apparire almeno più volte al giorno!

A proposito, ecco perché sembra che almeno ogni poche settimane qualcuno vince la lotteria, anche se è qualcuno Mai Non sei tu o i tuoi amici. Se un numero sufficiente di persone gioca ogni settimana, è probabile che ce ne saranno almeno uno fortunato... ma se Voi Se giochi alla lotteria, la probabilità di vincere è inferiore alla probabilità di essere invitato a lavorare presso Infinity Ward.

Carte e dipendenza

Abbiamo discusso di eventi indipendenti, come il lancio di un dado, e ora conosciamo molti potenti strumenti per analizzare la casualità in molti giochi. Calcolare la probabilità è un po' più complicato quando si tratta di pescare carte da un mazzo, perché ogni carta che peschiamo influenza le carte rimanenti nel mazzo. Se hai un mazzo standard da 52 carte e tiri fuori, ad esempio, 10 cuori e vuoi conoscere la probabilità che la carta successiva sia dello stesso seme, la probabilità è cambiata perché hai già rimosso una carta del seme di cuori dal mazzo. Ogni carta rimossa cambia la probabilità della carta successiva nel mazzo. Poiché in questo caso l'evento precedente influenza quello successivo, chiamiamo questa probabilità dipendente.

Tieni presente che quando dico "carte" intendo Qualunque meccanica di gioco in cui è presente un insieme di oggetti e si rimuove uno degli oggetti senza sostituirlo, un “mazzo di carte” in questo caso è analogo a un sacchetto di fiches da cui si rimuove un gettone e non lo si sostituisce, oppure un'urna da cui si estraggono biglie colorate (in realtà non ho mai visto un gioco da cui venisse estratta un'urna con biglie colorate, ma sembra che gli insegnanti di probabilità preferiscano questo esempio per qualche motivo).

Proprietà di dipendenza

Vorrei chiarire che quando si tratta di carte, presumo che tu peschi carte, le guardi e le rimuovi dal mazzo. Ognuna di queste azioni è una proprietà importante.

Se avessi un mazzo di, diciamo, sei carte con i numeri da 1 a 6, e le mescolassi, tirassi fuori una carta e poi mescolassi di nuovo tutte e sei le carte, sarebbe come lanciare un dado a sei facce; un risultato non influenza quelli successivi. Solo se pesco carte e non le sostituisco, il risultato di pescare una carta con il numero 1 aumenterà la probabilità che la prossima volta che pescherò una carta con il numero 6 (la probabilità aumenterà finché non pescherò quella carta o finché non mischio le carte).

Il fatto che noi Aspetto anche sulle carte è importante. Se tolgo una carta dal mazzo e non la guardo, non ho informazioni aggiuntive e la probabilità in realtà non cambia. Ciò può sembrare controintuitivo. Come può il semplice lancio di una carta cambiare magicamente le probabilità? Ma è possibile perché puoi calcolare la probabilità di elementi sconosciuti semplicemente in base a ciò che Sai. Ad esempio, se mescoli un mazzo di carte standard e riveli 51 carte e nessuna di queste è una regina di fiori, saprai con certezza al 100% che la carta rimanente è una regina di fiori. Se mescoli un mazzo di carte standard e peschi 51 carte, nonostante su di essi, la probabilità che la carta rimanente sia una regina di fiori sarà ancora 1/52. Aprendo ciascuna carta, ottieni maggiori informazioni.

Il calcolo della probabilità per gli eventi dipendenti segue gli stessi principi degli eventi indipendenti, tranne per il fatto che è un po' più complicato perché le probabilità cambiano quando riveli le carte. Quindi è necessario moltiplicare molti valori diversi invece di moltiplicare lo stesso valore. Ciò significa realmente che dobbiamo combinare tutti i calcoli che abbiamo fatto in un'unica combinazione.

Esempio

Mischi un mazzo standard da 52 carte e peschi due carte. Qual è la probabilità di pescare una coppia? Esistono diversi modi per calcolare questa probabilità, ma forse il più semplice è il seguente: qual è la probabilità che se estrai una carta, non potrai estrarre una coppia? Questa probabilità è zero, quindi non importa quale prima carta peschi, purché corrisponda alla seconda. Non importa quale carta peschiamo per prima, abbiamo ancora la possibilità di pescare una coppia, quindi la probabilità di poter pescare una coppia dopo aver pescato la prima carta è del 100%.

Qual è la probabilità che la seconda carta corrisponda alla prima? Ci sono 51 carte rimaste nel mazzo e 3 di queste corrispondono alla prima carta (in realtà ce ne sarebbero 4 su 52, ma hai già rimosso una delle carte corrispondenti quando hai estratto la prima carta!), quindi la probabilità è 1 /17. (Quindi la prossima volta che il ragazzo seduto di fronte a te che gioca a Texas Hold'em dice: "Bene, un'altra coppia? Mi sento fortunato oggi", saprai che ci sono buone probabilità che stia bluffando.)

Cosa succede se aggiungiamo due jolly e ora abbiamo 54 carte nel mazzo e vogliamo sapere qual è la probabilità di pescare una coppia? La prima carta può essere un jolly e poi il mazzo conterrà solo uno carta, non tre, che corrisponderà. Come trovare la probabilità in questo caso? Divideremo le probabilità e moltiplicheremo ciascuna possibilità.

La nostra prima carta potrebbe essere un jolly o qualche altra carta. La probabilità di estrarre un jolly è 2/54, la probabilità di estrarre un'altra carta è 52/54.

Se la prima carta è un jolly (2/54), la probabilità che la seconda carta corrisponda alla prima è 1/53. Moltiplicando i valori (possiamo moltiplicarli perché sono eventi separati e vogliamo Entrambi eventi si sono verificati) e otteniamo 1/1431 - meno di un decimo di punto percentuale.

Se peschi prima un'altra carta (52/54), la probabilità di abbinare la seconda carta è 3/53. Moltiplichiamo i valori e otteniamo 78/1431 (poco più del 5,5%).

Cosa facciamo con questi due risultati? Non si intersecano e vogliamo conoscere la probabilità tutti di loro, quindi sommiamo i valori! Otteniamo un risultato finale di 79/1431 (ancora circa il 5,5%).

Se volessimo essere sicuri dell'esattezza della risposta, potremmo calcolare la probabilità di tutti gli altri risultati possibili: pescare un jolly e non abbinare la seconda carta, oppure pescare un'altra carta e non abbinare la seconda carta, e sommarle tutto sommato con la probabilità di vincita, otterremmo esattamente il 100%. Non fornirò i calcoli qui, ma puoi provare i calcoli per ricontrollare.

Paradosso di Monty Hall

Questo ci porta ad un paradosso piuttosto famoso che spesso confonde molte persone: il paradosso di Monty Hall. Il paradosso prende il nome dal conduttore del programma televisivo “Let’s Make a Deal” Monty Hall. Se non hai mai visto questo programma, era l'opposto del programma televisivo "The Price Is Right". In "The Price Is Right", il conduttore (il conduttore era Bob Barker, ora è... Drew Carey? Comunque...) è tuo amico. Lui vuole così puoi vincere soldi o fantastici premi. Cerca di darti ogni opportunità di vincere, purché tu possa indovinare quanto valgono effettivamente gli oggetti acquistati dagli sponsor.

Monty Hall si è comportato diversamente. Era come il gemello malvagio di Bob Barker. Il suo obiettivo era farti sembrare un idiota sulla televisione nazionale. Se eri nello show, lui era il tuo avversario, giocavi contro di lui e le probabilità erano a suo favore. Forse sono troppo duro, ma quando la possibilità di essere scelto come concorrente sembra direttamente proporzionale al fatto che indossi un abito ridicolo, arrivo a questo tipo di conclusioni.

Ma uno dei meme più famosi dello show era questo: c'erano tre porte davanti a te e si chiamavano Porta numero 1, Porta numero 2 e Porta numero 3. Potevi scegliere una porta... gratis! Dietro una di queste porte c'era un magnifico premio, ad esempio un'auto nuova. Dietro le altre porte non c'erano premi; queste due porte non avevano alcun valore. Il loro obiettivo era umiliarti e quindi non è che dietro di loro non ci fosse proprio niente, c'era qualcosa dietro di loro che sembrava stupido, come se dietro di loro ci fosse una capra o un enorme tubetto di dentifricio o qualcosa... qualcosa, cosa esattamente accaduto Non una nuova autovettura.

Stavi scegliendo una delle porte e Monty stava per aprirla per farti sapere se avevi vinto o no... ma aspetta, prima che lo sappiamo, diamo un'occhiata a uno dei quelli la porta tu non scelto. Dal momento che Monty sa quale porta si trova dietro il premio, e c'è solo un premio e due porte che non hai scelto, qualunque cosa accada, può sempre aprire una porta che non ha un premio dietro di sé. “Stai scegliendo la porta numero 3? Allora apriamo la Porta n. 1 per dimostrare che dietro non c'era alcun premio." E ora, per generosità, ti offre la possibilità di scambiare la Porta numero 3 che hai scelto con ciò che si trova dietro la Porta numero 2. È a questo punto che si pone la questione della probabilità: poter scegliere un'altra porta aumenta la tua probabilità di vincendo, o lo diminuisci, o rimane lo stesso? Come pensi?

Risposta corretta: la possibilità di scegliere un'altra porta aumenta probabilità di vincita da 1/3 a 2/3. Questo è illogico. Se non hai mai incontrato questo paradosso prima, probabilmente starai pensando: aspetta, abbiamo magicamente cambiato la probabilità aprendo una porta? Ma come abbiamo già visto nell'esempio delle carte qui sopra, questo esattamente cosa succede quando otteniamo maggiori informazioni. È ovvio che la probabilità di vincere alla prima scelta è 1/3 e credo che tutti saranno d'accordo con questo. Quando una porta si stacca, la probabilità di vincere per la prima scelta non cambia affatto, la probabilità è ancora 1/3, ma questo significa che la probabilità che altro la porta ora è corretta per 2/3.

Diamo un'occhiata a questo esempio da una prospettiva diversa. Scegli una porta. La probabilità di vincita è 1/3. Ti suggerisco di cambiare due altre porte, che è ciò che effettivamente Monty Hall propone di fare. Naturalmente apre una delle porte per dimostrare che dietro non c'è nessun premio, ma lui Sempre può farlo, quindi non cambia davvero nulla. Ovviamente vorrai scegliere una porta diversa!

Se non hai ben chiaro questo argomento e hai bisogno di una spiegazione più convincente, fai clic su questo collegamento per accedere a una piccola fantastica applicazione Flash che ti permetterà di esplorare questo paradosso in modo più dettagliato. Puoi giocare iniziando con circa 10 porte e poi passare gradualmente fino a un gioco con tre porte; C'è anche un simulatore in cui puoi selezionare un numero qualsiasi di porte da 3 a 50 e giocare o eseguire diverse migliaia di simulazioni e vedere quante volte vinceresti se giocassi.

Un'osservazione dell'insegnante di matematica superiore e specialista dell'equilibrio dei giochi Maxim Soldatov, che, ovviamente, Schreiber non aveva, ma senza la quale è abbastanza difficile comprendere questa magica trasformazione:

Scegli una porta, una delle tre, la probabilità di “vincere” è 1/3. Ora hai 2 strategie: cambiare dopo aver aperto la porta sbagliata, scelta o meno. Se non cambi la tua scelta, la probabilità rimarrà 1/3, poiché la scelta avviene solo nella prima fase e devi indovinare subito, ma se cambi, puoi vincere se prima scegli quello sbagliato porta (poi ne aprono un'altra sbagliata, resterà fedele, tu cambi idea e la prendi)
La probabilità di scegliere la porta sbagliata all'inizio è 2/3, quindi risulta che cambiando la tua decisione aumenti la probabilità di vincere 2 volte maggiore

E ancora sul paradosso di Monty Hall

Per quanto riguarda lo spettacolo in sé, Monty Hall lo sapeva perché anche se i suoi concorrenti non erano bravi in ​​matematica, Lui lo capisce bene. Ecco cosa ha fatto per cambiare un po' il gioco. Se scegli una porta dietro la quale c'era un premio, la cui probabilità è 1/3, esso Sempre ti ha offerto l'opportunità di scegliere un'altra porta. Dopotutto, hai scelto un'autovettura e poi la scambi con una capra e sembrerai piuttosto stupido, che è esattamente ciò di cui ha bisogno perché è una specie di ragazzo malvagio. Ma se scegli la porta dietro la quale non ci sarà alcun premio, soltanto a metà In questi casi, ti chiederà di scegliere un'altra porta e, in altri casi, ti mostrerà semplicemente la tua nuova capra e tu lascerai la scena. Analizziamo questo nuovo gioco in cui Monty Hall può scegliere offrirti la possibilità di scegliere un'altra porta oppure no.

Diciamo che segue questo algoritmo: se scegli una porta con un premio, ti offre sempre la possibilità di scegliere un'altra porta, altrimenti c'è una probabilità del 50/50 che ti offra di scegliere un'altra porta o ti regali una capra. Qual è la tua probabilità di vincere?

In una delle tre opzioni, scegli immediatamente la porta dietro la quale si trova il premio e il presentatore ti invita a scegliere un'altra porta.

Delle restanti due opzioni su tre (inizialmente scegli una porta senza premio), nella metà dei casi il presentatore ti offrirà di scegliere un'altra porta, e nell'altra metà dei casi no. La metà di 2/3 è 1/3, cioè in un caso su tre riceverai una capra, in un caso su tre sbagli la porta e l'oste ti chiederà di sceglierne un'altra e in un caso su tre scegli la porta giusta e ti chiederà di scegliere un'altra porta.

Se il presentatore si propone di scegliere un'altra porta, sappiamo già che quel caso su tre in cui ci regala una capra e noi usciamo non è accaduto. Questa è un'informazione utile perché significa che le nostre possibilità di vincita sono cambiate. In due casi su tre, quando abbiamo la possibilità di scegliere, in un caso significa che abbiamo indovinato correttamente, e nell'altro che abbiamo indovinato male, quindi se ci fosse offerta la possibilità di scegliere, significa che il la probabilità della nostra vincita è 50/50 e non esiste matematico vantaggi, mantieni la tua scelta o scegli un'altra porta.

Come il poker, ora è un gioco psicologico, non matematico. Monty ti ha dato una scelta perché pensa che tu sia un idiota che non sa che scegliere l'altra porta è la decisione "giusta", e che manterrai ostinatamente la tua scelta perché psicologicamente la situazione è quando hai scelto la porta macchina, e poi l'hai persa, più difficile? Oppure pensa che tu sia intelligente e scelga un'altra porta, e ti offre questa possibilità perché sa che hai indovinato bene fin dall'inizio e che rimarrai agganciato e intrappolato? O forse è insolitamente gentile con se stesso e ti spinge a fare qualcosa nel tuo interesse personale perché non regala un'auto da un po' e i suoi produttori gli dicono che il pubblico si sta annoiando e che sarebbe meglio regalarne una presto un grande premio in modo che gli ascolti non diminuiscano?

In questo modo, Monty riesce a offrire delle scelte (a volte) e a mantenere comunque la probabilità complessiva di vincita a 1/3. Ricorda che la probabilità di perdere completamente è 1/3. La probabilità che indovini subito è 1/3 e vincerai nel 50% dei casi (1/3 x 1/2 = 1/6). La probabilità che tu sbagli all'inizio, ma poi hai la possibilità di scegliere un'altra porta è 1/3, e il 50% di quelle volte vincerai (anche 1/6). Somma due possibilità di vincita indipendenti e ottieni una probabilità di 1/3, quindi sia che tu mantenga la tua scelta o scelga un'altra porta, la tua probabilità complessiva di vincita durante il gioco è 1/3... la probabilità non aumenta che in una situazione in cui indovineresti la porta e il presentatore ti mostrerebbe cosa c'è dietro questa porta, senza la possibilità di scegliere un'altra porta! Quindi lo scopo di offrire la possibilità di scegliere una porta diversa non è quello di cambiare la probabilità, ma di rendere il processo decisionale più divertente da guardare in televisione.

A proposito, questo è proprio uno dei motivi per cui il poker può essere così interessante: nella maggior parte dei formati, tra i round in cui vengono effettuate le puntate (ad esempio, flop, turn e river nel Texas Hold'em), le carte vengono gradualmente rivelate, e se all'inizio del gioco hai una probabilità di vincita, dopo ogni giro di scommesse, quando vengono scoperte più carte, questa probabilità cambia.

Paradosso del ragazzo e della ragazza

Questo ci porta ad un altro famoso paradosso che di solito lascia perplessi tutti: il paradosso ragazzo-ragazza. L'unica cosa di cui scrivo oggi che non è direttamente correlata ai giochi (anche se immagino che ciò significhi semplicemente che dovrei incoraggiarti a creare meccaniche di gioco rilevanti). È più un enigma, ma interessante, e per risolverlo devi comprendere la probabilità condizionata, di cui abbiamo parlato sopra.

Problema: ho un amico con due figli, almeno una la bambina è una femmina. Qual è la probabilità che il secondo figlio Stesso ragazza? Supponiamo che in ogni famiglia ci sia una probabilità 50/50 di avere una femmina o un maschio, e questo vale per ogni figlio (infatti alcuni uomini hanno più spermatozoi con un cromosoma X o un cromosoma Y, quindi la probabilità cambia un po' se sai che un bambino è una femmina, la probabilità di avere una femmina è leggermente più alta, inoltre ci sono altre condizioni, ad esempio l'ermafroditismo, ma per risolvere questo problema non ne terremo conto e supponiamo che la nascita di un figlio è un evento indipendente e le probabilità di avere un maschio o una femmina sono le stesse).

Dato che stiamo parlando di 1/2 possibilità, intuitivamente ci aspetteremmo che la risposta sia probabilmente 1/2 o 1/4, o qualche altro numero tondo che sia multiplo di due. Ma la risposta è: 1/3 . Aspetta, perché?

La difficoltà qui è che le informazioni di cui disponiamo riducono il numero di possibilità. Supponiamo che i genitori siano fan di Sesame Street e, indipendentemente dal fatto che il bambino sia nato maschio o femmina, chiamino i loro figli A e B. In condizioni normali, ci sono quattro possibilità ugualmente probabili: A e B sono due maschi, A e B sono due femmine, A è un maschio e B è una femmina, A è una femmina e B è un maschio. Poiché lo sappiamo almeno una il bambino è una femmina, possiamo eliminare la possibilità che A e B siano due maschi, quindi ci restano tre possibilità (ancora ugualmente probabili). Se tutte le possibilità sono ugualmente probabili e ce ne sono tre, sappiamo che la probabilità di ciascuna di esse è 1/3. Solo in una di queste tre opzioni entrambi i bambini sono femmine, quindi la risposta è 1/3.

E ancora sul paradosso di un ragazzo e una ragazza

La soluzione del problema diventa ancora più illogica. Immagina che ti dica che il mio amico ha due figli e un figlio... ragazza nata martedì. Supponiamo che in condizioni normali la probabilità che un bambino nasca in uno dei sette giorni della settimana sia la stessa. Qual è la probabilità che anche il secondo figlio sia una femmina? Potresti pensare che la risposta sarebbe comunque 1/3; Qual è il significato di martedì? Ma anche in questo caso l’intuizione ci delude. Risposta: 13/27 , il che non solo non è intuitivo, ma è anche molto strano. Qual è il problema in questo caso?

In realtà martedì cambia la probabilità perché non lo sappiamo Quale il bambino è nato martedì o forse due bambini nato martedì. In questo caso usiamo la stessa logica di cui sopra, contiamo tutte le combinazioni possibili quando almeno un bambino è una femmina nata martedì. Come nell'esempio precedente, supponiamo che i nomi dei bambini siano A e B, le combinazioni appaiono così:

• A è una femmina nata martedì, B è un maschio (in questa situazione ci sono 7 possibilità, una per ogni giorno della settimana in cui potrebbe nascere un maschio).
• B è una femmina nata martedì, A è un maschio (anche 7 possibilità).
• A è una ragazza nata martedì, B è una ragazza nata il un altro giorno della settimana (6 possibilità).
• B è una bambina nata martedì, A è una bambina nata non martedì (anche 6 probabilità).
• A e B sono due femmine nate martedì (1 possibilità, bisogna prestare attenzione per non contare due volte).

Sommiamo e otteniamo 27 diverse combinazioni ugualmente possibili di nascite di bambini e giorni con almeno una possibilità che una bambina nasca martedì. Di queste, ci sono 13 possibilità quando nascono due femmine. Sembra anche del tutto illogico e sembra che questo compito sia stato creato solo per causare mal di testa. Se questo esempio ti lascia ancora perplesso, il teorico dei giochi Jesper Juhl ha una buona spiegazione di questo problema sul suo sito web.

Se stai attualmente lavorando a un gioco...

Se c'è una casualità nel gioco che stai progettando, questo è un ottimo momento per analizzarla. Seleziona qualche elemento che vuoi analizzare. Per prima cosa chiediti qual è la probabilità di un dato elemento secondo le tue aspettative, cosa pensi che dovrebbe essere nel contesto del gioco. Ad esempio, se stai realizzando un gioco di ruolo e ti stai chiedendo quale dovrebbe essere la probabilità che il giocatore riesca a sconfiggere un mostro in battaglia, chiediti quale percentuale di vincita ti sembra giusta. In genere, quando si gioca ai giochi di ruolo per console, i giocatori si arrabbiano molto quando perdono, quindi è meglio non perdere spesso... forse il 10% delle volte o meno? Se sei un progettista di giochi di ruolo, probabilmente lo sai meglio di me, ma devi avere un'idea di base di quale dovrebbe essere la probabilità.

Allora chiediti se questo è qualcosa dipendente(come le carte) o indipendente(come i dadi). Analizzare tutti i possibili risultati e le loro probabilità. Assicurati che la somma di tutte le probabilità sia 100%. E infine, ovviamente, confronta i tuoi risultati con i risultati delle tue aspettative. Il lancio dei dadi o l'estrazione delle carte avviene nel modo previsto o vedi che è necessario modificare i valori. E, naturalmente, se tu troverai cosa deve essere aggiustato, puoi usare gli stessi calcoli per determinare quanto qualcosa deve essere aggiustato!

Assegnazione dei compiti

I tuoi “compiti” di questa settimana ti aiuteranno ad affinare le tue abilità di probabilità. Ecco due giochi di dadi e un gioco di carte che analizzerai utilizzando la probabilità, oltre a una strana meccanica di gioco che ho sviluppato una volta e che metterà alla prova il metodo Monte Carlo.

Gioco n. 1: Ossa di drago

Questo è un gioco di dadi che io e i miei colleghi abbiamo inventato una volta (grazie a Jeb Havens e Jesse King!), e che lascia a bocca aperta le persone con le sue probabilità. Questo è un semplice gioco da casinò chiamato “Dragon Dice” ed è una competizione di dadi tra il giocatore e la casa. Ti viene dato un normale dado da 1d6. Lo scopo del gioco è ottenere un numero più alto di quello della casa. A Tom viene assegnato un 1d6 non standard - uguale al tuo, ma invece di un 1 su un lato c'è l'immagine di un Drago (quindi, il casinò ha un dado del Drago - 2-3-4-5-6). Se la casa ottiene il Drago, vince automaticamente e tu perdi. Se entrambi ottenete lo stesso numero, è un pareggio e lanciate di nuovo i dadi. Vince chi ottiene il numero più alto.

Ovviamente non tutto va a favore del giocatore, perché il casinò ha un vantaggio sotto forma di Dragon’s Edge. Ma è davvero così? Questo devi calcolarlo. Ma prima, controlla la tua intuizione. Diciamo che le vincite sono 2 a 1. Quindi, se vinci, mantieni la tua scommessa e raddoppi la tua scommessa. Ad esempio, se scommetti $ 1 e vinci, tieni quel dollaro e ne ottieni altri due per un totale di $ 3. Se perdi, perdi solo la scommessa. Giocheresti? Quindi, intuitivamente senti che la probabilità è maggiore di 2 a 1, o pensi ancora che sia inferiore? In altre parole, in media su 3 partite, ti aspetti di vincere più di una volta, o meno, o una volta?

Una volta che hai chiarito il tuo intuito, usa la matematica. Ci sono solo 36 posizioni possibili per entrambi i dadi, quindi puoi contarle tutte senza problemi. Se non sei sicuro dell'offerta 2 per 1, considera questo: supponiamo che tu abbia giocato 36 volte (scommettendo $ 1 ogni volta). Per ogni vincita ottieni 2 dollari, per ogni perdita ne perdi 1, e un pareggio non cambia nulla. Calcola tutte le tue probabili vincite e perdite e decidi se perderai o guadagnerai dei dollari. Quindi chiediti quanto fosse giusta la tua intuizione. E poi realizza che cattivo sono.

E sì, se hai già pensato a questa domanda, ti sto deliberatamente confondendo travisando i reali meccanismi dei giochi di dadi, ma sono sicuro che puoi superare questo ostacolo con solo un piccolo pensiero. Prova a risolvere questo problema da solo. La prossima settimana pubblicherò tutte le risposte qui.

Gioco n. 2 - Lancia per fortuna

Si tratta di un gioco d'azzardo con i dadi chiamato "Roll for Luck" (anche "Birdcage" perché a volte i dadi non vengono lanciati, ma posti in una grande gabbia metallica, che ricorda la gabbia del "Bingo"). È un gioco semplice che sostanzialmente si riduce a questo: scommetti, diciamo, $ 1 su un numero da 1 a 6. Poi lanci 3d6. Per ogni dado che emette il tuo numero, ricevi $ 1 (e mantieni la tua scommessa originale). Se il tuo numero non esce su nessuno dei dadi, il casinò riceverà il tuo dollaro e tu non otterrai nulla. Quindi, se scommetti su un 1 e ottieni un 1 sui lati tre volte, ottieni $ 3.

Intuitivamente, sembra che questo gioco abbia le stesse possibilità. Ogni dado ha una possibilità di vincita individuale di 1 su 6, quindi quando li sommi tutti e tre, la tua possibilità di vincita è 3 su 6. Tuttavia, ovviamente, ricorda che stai aggiungendo tre dadi separati e puoi solo aggiungere se si tratta di combinazioni vincenti separate dello stesso dado. Qualcosa che dovrai moltiplicare.

Una volta calcolati tutti i possibili risultati (probabilmente più facile da fare in Excel che a mano, dato che ce ne sono 216), a prima vista il gioco sembra ancora dispari-pari. Ma in realtà, il casinò ha ancora maggiori possibilità di vincere: quanto ancora? Nello specifico, quanti soldi ti aspetti di perdere in media per ogni round di gioco? Tutto quello che devi fare è sommare le vittorie e le sconfitte di tutti i 216 risultati e poi dividere per 216, il che dovrebbe essere abbastanza semplice... Ma come puoi vedere, ci sono alcune trappole in cui puoi cadere, ed è per questo che io ti sto dicendo: se pensi che questo gioco abbia pari possibilità di vincere, ti sbagli tutto.

Gioco n. 3: Poker Stud a 5 carte

Se ti sei già riscaldato con i giochi precedenti, controlliamo cosa sappiamo sulla probabilità condizionata usando questo gioco di carte come esempio. Nello specifico, immaginiamo una partita di poker con un mazzo da 52 carte. Immaginiamo anche il 5 card stud, in cui ogni giocatore riceve solo 5 carte. Non puoi scartare una carta, non puoi pescarne una nuova, non c'è un mazzo condiviso: ottieni solo 5 carte.

Una scala reale è 10-J-Q-K-A in una mano, ce ne sono quattro in totale, quindi ci sono quattro modi possibili per ottenere una scala reale. Calcola la probabilità di ottenere una di queste combinazioni.

Devo avvisarti di una cosa: ricorda che puoi pescare queste cinque carte in qualsiasi ordine. Cioè, prima puoi pescare un asso o un dieci, non importa. Quindi, quando calcoli questo, tieni presente che in realtà ci sono più di quattro modi per ottenere una scala reale, presupponendo che le carte siano state distribuite in ordine!

Gioco n. 4 - Lotteria FMI

Il quarto problema non può essere risolto così facilmente utilizzando i metodi di cui abbiamo parlato oggi, ma puoi facilmente simulare la situazione utilizzando la programmazione o Excel. È sull'esempio di questo problema che puoi elaborare il metodo Monte Carlo.

Ho menzionato prima il gioco "Chron X", su cui ho lavorato una volta, e lì c'era una carta molto interessante: la lotteria del FMI. Ecco come ha funzionato: l'hai usato in un gioco. Al termine del round, le carte venivano ridistribuite e c'era una probabilità del 10% che la carta andasse fuori dal gioco e che un giocatore casuale ricevesse 5 unità di ogni tipo di risorsa il cui gettone era presente su quella carta. La carta veniva inserita nel gioco senza un solo gettone, ma ogni volta che rimaneva in gioco all'inizio del turno successivo, riceveva un gettone. Quindi c'era una probabilità del 10% che se la mettessi in gioco, il round finirebbe, la carta uscirebbe dal gioco e nessuno otterrebbe nulla. Se ciò non accade (90% di probabilità), c'è una probabilità del 10% (in realtà 9%, poiché è il 10% del 90%) che nel turno successivo lasci il gioco e qualcuno riceva 5 unità di risorse. Se la carta lascia il gioco dopo un round (il 10% dell'81% disponibile, quindi la probabilità è dell'8,1%), qualcuno riceverà 10 unità, un altro round - 15, un altro - 20 e così via. Domanda: Qual è il valore generale atteso del numero di risorse che otterrai da questa carta quando finalmente lascerà il gioco?

Normalmente proveremmo a risolvere questo problema trovando la possibilità di ciascun risultato e moltiplicando per il numero di tutti i risultati. Quindi c'è una probabilità del 10% che otterrai 0 (0,1*0 = 0). 9% che riceverai 5 unità di risorse (9%*5 = 0,45 risorse). L'8,1% di ciò che ottieni è 10 (8,1%*10 = 0,81 risorse in totale, valore previsto). E così via. E poi riassumeremmo il tutto.

E ora il problema ti è evidente: c'è sempre la possibilità che la carta Non lascerà il gioco per poter restare nel gioco per sempre, per un numero infinito di round, quindi è possibile calcolare ogni possibilità non esiste. I metodi che abbiamo imparato oggi non ci permettono di calcolare la ricorsione infinita, quindi dovremo crearla artificialmente.

Se sei abbastanza bravo a programmare, scrivi un programma che simuli questa mappa. Dovresti avere un ciclo temporale che porti la variabile ad una posizione iniziale pari a zero, mostri un numero casuale e con una probabilità del 10% che la variabile esca dal ciclo. Altrimenti aggiunge 5 alla variabile e il ciclo si ripete. Quando finalmente esce dal ciclo, aumenta il numero totale di esecuzioni di prova di 1 e il numero totale di risorse (di quanto dipende da dove finisce la variabile). Quindi reimpostare la variabile e ricominciare. Esegui il programma diverse migliaia di volte. Infine, dividi il numero totale di risorse per il numero totale di esecuzioni: questo sarà il valore Monte Carlo previsto. Esegui il programma più volte per assicurarti che i numeri ottenuti siano più o meno gli stessi; se la dispersione è ancora ampia, aumenta il numero di ripetizioni nel ciclo esterno finché non inizi a ottenere corrispondenze. Puoi essere sicuro che qualunque numero ti ritroverai sarà approssimativamente corretto.

Se non hai familiarità con la programmazione (e anche se lo hai), ecco un breve esercizio per riscaldare le tue abilità con Excel. Se sei un game designer, le competenze di Excel non sono mai una cosa negativa.

Ora troverai molto utili le funzioni IF e RAND. RAND non richiede valori, emette semplicemente un numero decimale casuale compreso tra 0 e 1. Di solito lo combiniamo con FLOOR e più e meno per simulare il lancio di un dado, che è ciò che ho menzionato prima. Tuttavia, in questo caso lasciamo solo il 10% di possibilità che la carta lasci il gioco, quindi possiamo semplicemente controllare se il valore RAND è inferiore a 0,1 e non preoccuparcene più.

SE ha tre significati. Nell'ordine: una condizione che è vera o falsa, quindi un valore restituito se la condizione è vera e un valore restituito se la condizione è falsa. Pertanto la seguente funzione restituirà il 5% delle volte e 0 il restante 90% delle volte:
=SE(CASUALE()<0.1,5,0)

Esistono molti modi per impostare questo comando, ma io utilizzerei questa formula per la cella che rappresenta il primo round, diciamo che è la cella A1:

SE(CASUALE()<0.1,0,-1)

Qui utilizzo una variabile negativa per significare “questa carta non ha lasciato il gioco e non ha ancora ceduto alcuna risorsa”. Quindi se il primo round finisce e la carta lascia il gioco, A1 vale 0; altrimenti è -1.

Per la cella successiva che rappresenta il secondo round:

SE(A1>-1, A1, SE(CASUALE()<0.1,5,-1))

Quindi, se il primo round è terminato e la carta ha lasciato immediatamente il gioco, A1 è 0 (il numero di risorse) e questa cella copierà semplicemente quel valore. Altrimenti A1 è -1 (la carta non è ancora uscita dal gioco), e questa cella continua a muoversi in modo casuale: il 10% delle volte restituirà 5 unità di risorse, il resto del tempo il suo valore sarà comunque pari a -1. Se applichiamo questa formula a celle aggiuntive, otteniamo round aggiuntivi e qualunque cella ti ritroverai ti darà il risultato finale (o -1 se la carta non ha mai lasciato il gioco dopo tutti i round giocati).

Prendi quella fila di celle, che rappresenta l'unico round con quella carta, e copia e incolla diverse centinaia (o migliaia) di righe. Potremmo non essere in grado di farlo infinito test per Excel (c'è un numero limitato di celle in una tabella), ma almeno possiamo coprire la maggior parte dei casi. Quindi seleziona una cella in cui inserirai la media dei risultati di tutti i round (Excel fornisce gentilmente una funzione MEDIA() per questo).

Su Windows, puoi almeno premere F9 per ricalcolare tutti i numeri casuali. Come prima, fallo alcune volte e vedi se i valori che ottieni sono gli stessi. Se lo spread è troppo grande, raddoppia il numero di corse e riprova.

Problemi irrisolti

Se ti capita di avere una laurea in Probabilità e i problemi di cui sopra ti sembrano troppo facili, ecco due problemi su cui mi gratto la testa da anni, ma ahimè, non sono abbastanza bravo in matematica per risolverli. Se per caso conosci una soluzione, postala qui nei commenti, sarò felice di leggerla.

Problema irrisolto n. 1: lotteriaFMI

Il primo problema irrisolto è il compito precedente assegnato a casa. Posso facilmente applicare il metodo Monte Carlo (utilizzando C++ o Excel) ed essere sicuro della risposta alla domanda "quante risorse riceverà il giocatore", ma non so esattamente come fornire una risposta matematicamente dimostrabile esatta (è una serie infinita). Se conosci la risposta, postala qui... dopo averla testata con Monte Carlo, ovviamente.

Problema irrisolto n. 2: sequenze di figure

Questo problema (e ancora una volta va ben oltre la portata dei problemi risolti in questo blog) mi è stato segnalato da un amico giocatore più di 10 anni fa. Ha notato una cosa interessante mentre giocava a blackjack a Las Vegas: quando ha estratto le carte da un sabot con 8 mazzi, ha visto dieci figure in fila (un pezzo o una figura - 10, Jolly, Re o Regina, quindi ce ne sono 16 in totale in un mazzo standard da 52 carte, quindi ce ne sono 128 in un sabot da 416 carte). Qual è la probabilità che in questa scarpa almeno una sequenza di dieci o più cifre? Supponiamo che siano stati mescolati equamente, in ordine casuale. (O, se preferisci, qual è la probabilità che non trovato da nessuna parte una sequenza di dieci o più cifre?)

Possiamo semplificare il compito. Ecco una sequenza di 416 parti. Ogni parte è uno 0 o un 1. Ci sono 128 uno e 288 zeri sparsi casualmente in tutta la sequenza. Quanti modi ci sono per intervallare casualmente 128 unità con 288 zeri, e quante volte in questi modi ci sarà almeno un gruppo di dieci o più unità?

Ogni volta che iniziavo a risolvere questo problema, mi sembrava facile e ovvio, ma non appena ho approfondito i dettagli, improvvisamente è andato in pezzi e mi è sembrato semplicemente impossibile. Quindi non affrettatevi a dare la risposta: sedetevi, riflettete attentamente, studiate le condizioni del problema, provate a inserire numeri reali, perché tutte le persone con cui ho parlato di questo problema (compresi diversi studenti laureati che lavorano in questo campo ) ha reagito più o meno allo stesso modo: "È del tutto ovvio... oh, no, aspetta, non è affatto ovvio." Questo è proprio il caso per il quale non dispongo di un metodo per calcolare tutte le opzioni. Potrei certamente forzare bruscamente il problema attraverso un algoritmo informatico, ma sarei molto più curioso di conoscere il modo matematico per risolvere questo problema.

Traduzione - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

I dadi sono stati usati dagli esseri umani per migliaia di anni.

Nel 21° secolo, le nuove tecnologie rendono possibile lanciare i dadi in qualsiasi momento opportuno e, se si dispone di accesso a Internet, in un luogo conveniente. Un dado è sempre con te a casa o in viaggio.

Il generatore di dadi ti consente di lanciare online da 1 a 4 dadi.

Lancia i dadi online onestamente

Quando si utilizzano dadi veri, è possibile utilizzare giochi di prestigio o dadi appositamente realizzati con un vantaggio su un lato. Ad esempio, puoi far girare il cubo lungo uno degli assi e quindi la distribuzione di probabilità cambierà. Una caratteristica speciale dei nostri cubi virtuali è l'uso di un generatore di numeri pseudocasuali software. Ciò ci consente di garantire un verificarsi veramente casuale di questo o quel risultato.

E se aggiungi questa pagina ai segnalibri, i tuoi dadi online non si perderanno da nessuna parte e saranno sempre a portata di mano al momento giusto!

Alcune persone si sono adattate all'uso dei dadi online per predire il futuro o fare previsioni e oroscopi.

Buon divertimento, buona giornata e buona fortuna!

Il tipo più comune ha la forma di un cubo, con numeri da uno a sei su ciascun lato. Il giocatore, lanciandolo su una superficie piana, vede il risultato sul bordo superiore. Le ossa sono un vero portavoce del caso, della buona o della cattiva sorte.

Incidente.
I cubi (ossa) esistono da molto tempo, ma hanno acquisito la forma tradizionale con sei lati intorno al 2600 a.C. e. Gli antichi greci amavano giocare a dadi e nelle loro leggende l'eroe Palamede, ingiustamente accusato di tradimento da Ulisse, viene menzionato come il loro inventore. Secondo la leggenda, inventò questo gioco per intrattenere i soldati che assediavano Troia, che venne catturata grazie ad un enorme cavallo di legno. Anche i romani al tempo di Giulio Cesare si divertivano con una varietà di giochi di dadi. In latino il cubo era chiamato datum, che significa “dato”.

Divieti.
Nel Medioevo, intorno al XII secolo, i dadi divennero molto popolari in Europa: i dadi, che potevano essere portati con sé ovunque, erano apprezzati sia dai soldati che dai contadini. Si dice che esistessero più di seicento giochi diversi! La produzione di dadi diventa una professione separata. Il re Luigi IX (1214-1270), di ritorno dalla crociata, non approvava il gioco d'azzardo e ordinò che fosse vietata la produzione di dadi in tutto il regno. Più che del gioco in sé, le autorità erano insoddisfatte dei disordini ad esso associati: allora si giocava principalmente nelle taverne e i giochi spesso finivano con risse e accoltellamenti. Ma nessun divieto ha impedito ai dadi di sopravvivere al tempo e di sopravvivere fino ad oggi.

Dadi caricati!
Il risultato di un tiro di dado è sempre determinato dal caso, ma alcuni imbroglioni cercano di cambiare la situazione. Praticando un foro in uno stampo e versandovi piombo o mercurio, puoi assicurarti che il lancio dia ogni volta lo stesso risultato. Un cubo di questo tipo è chiamato “caricato”. Realizzati con vari materiali, siano essi oro, pietra, cristallo, osso, i dadi possono avere forme diverse. Piccoli dadi a forma di piramide (tetraedro) sono stati trovati nelle tombe dei faraoni egiziani che costruirono le grandi piramidi! In tempi diversi furono realizzati dadi con 8, 10, 12, 20 e persino 100 facce. Solitamente sono contrassegnati da numeri, ma al loro posto possono esserci anche lettere o immagini, dando spazio alla fantasia.

Come lanciare i dadi.
Non solo i dadi hanno forme diverse, ma hanno anche modi diversi di giocare. Le regole di alcuni giochi richiedono che tu lanci in un certo modo, solitamente per evitare un tiro calcolato o per evitare che il dado si fermi in una posizione inclinata. A volte sono dotati di un bicchiere speciale per evitare imbrogli o cadute dal tavolo da gioco. Nel gioco inglese della crêpe, tutti e tre i dadi devono colpire il tavolo da gioco o il muro per evitare che i bari fingano di lanciare semplicemente spostando i dadi senza ruotarli.

Casualità e probabilità.
Il dado dà sempre un risultato casuale che non può essere previsto. Con un dado, un giocatore ha le stesse possibilità di ottenere un 1 che un 6: tutto è determinato dal caso. Con due dadi, al contrario, il livello di casualità diminuisce, poiché il giocatore ha più informazioni sul risultato: ad esempio, con due dadi, il numero 7 può essere ottenuto in diversi modi - lanciando 1 e 6, 5 e 2 , oppure 4 e 3... Ma la possibilità di ottenere il numero 2 è una sola: lanciare due volte 1. Quindi la probabilità di ottenere un 7 è maggiore che di ottenere un 2! Questa si chiama teoria della probabilità. Molti giochi sono associati a questo principio, soprattutto i giochi con soldi.

Informazioni sull'uso dei dadi.
Dice può essere un gioco a sé stante, senza altri elementi. L'unica cosa che praticamente non esiste sono i giochi con un solo dado. Le regole ne richiedono almeno due (ad esempio, crêpe). Per giocare a poker con i dadi devi avere cinque dadi, carta e penna. L'obiettivo è completare combinazioni simili a quelle dell'omonimo gioco di carte, registrandone i punti in un'apposita tabella. Inoltre, il cubo è una parte molto popolare nei giochi da tavolo, poiché consente di spostare le fiche o decidere l'esito delle battaglie di gioco.

Il dado è tratto.
Nel 49 a.C. e. il giovane Giulio Cesare conquistò la Gallia e tornò a Pompei. Ma il suo potere era fonte di preoccupazione per i senatori, che decisero di sciogliere il suo esercito prima del suo ritorno. Il futuro imperatore, giunto ai confini della repubblica, decide di violare l'ordine varcandolo con il suo esercito. Prima di attraversare il Rubicone (il fiume che era il confine), disse ai suoi legionari “Alea jacta est” (“il dado è tratto”). Questo detto è diventato uno slogan, il cui significato è che, come nel gioco, dopo aver preso alcune decisioni non è più possibile tirarsi indietro.

Quali sono le tre leggi della casualità e perché l'imprevedibilità ci dà l'opportunità di fare previsioni più affidabili.

La nostra mente resiste con tutte le sue forze all’idea del caso. Nel corso della nostra evoluzione come specie, abbiamo sviluppato la capacità di cercare relazioni di causa ed effetto in ogni cosa. Molto prima dell'avvento della scienza, sapevamo già che un tramonto rosso cremisi prefigura una tempesta pericolosa, e un rossore febbrile sul viso di un bambino significa che sua madre avrà una notte difficile. La nostra mente cerca automaticamente di strutturare i dati che riceviamo in modo tale da aiutarci a trarre conclusioni dalle nostre osservazioni e utilizzare queste conclusioni per comprendere e prevedere gli eventi.

L’idea di casualità è così difficile da accettare perché contraddice l’istinto di base che ci costringe a cercare schemi razionali nel mondo che ci circonda. E gli incidenti ci dimostrano che tali modelli non esistono. Ciò significa che la casualità limita fondamentalmente la nostra intuizione, poiché dimostra che esistono processi di cui non possiamo prevedere completamente il corso. Questo concetto non è facile da accettare, anche se è parte essenziale del meccanismo dell'Universo. Senza capire cosa sia la casualità, ci ritroviamo in un vicolo cieco in un mondo perfettamente prevedibile che semplicemente non esiste al di fuori della nostra immaginazione.

Direi che solo quando avremo padroneggiato i tre aforismi - le tre leggi del caso - potremo liberarci dal nostro primitivo desiderio di prevedibilità e accettare l'Universo così com'è, e non come vorremmo che fosse.

La casualità esiste

Usiamo qualsiasi meccanismo mentale per evitare di affrontare il caso. Stiamo parlando del karma, questo equalizzatore cosmico che collega cose apparentemente non correlate. Crediamo nei buoni e nei cattivi presagi, nel fatto che “Dio ama la Trinità”, affermiamo di essere influenzati dalla posizione delle stelle, dalle fasi lunari e dal movimento dei pianeti. Se ci viene diagnosticato un cancro, automaticamente cerchiamo di dare la colpa a qualcosa (o qualcuno).

Ma molti eventi non possono essere previsti o spiegati completamente. I disastri si verificano in modo imprevedibile e ne soffrono sia le persone buone che quelle cattive, compresi coloro che sono nati “sotto una buona stella” o “sotto un segno favorevole”. A volte riusciamo a prevedere qualcosa, ma il caso può facilmente smentire anche le previsioni più attendibili. Non sorprenderti se il tuo vicino motociclista obeso e fumatore accanito vive più a lungo di te.

Inoltre, gli eventi casuali possono fingere di essere non casuali. Anche lo scienziato più astuto può avere difficoltà a distinguere tra un effetto reale e una fluttuazione casuale. Il caso può trasformare i placebo in cure magiche e i composti innocui in veleni mortali; e può persino creare particelle subatomiche dal nulla.

Alcuni eventi non possono essere previsti

Se entri in un qualsiasi casinò di Las Vegas e osservi la folla di giocatori ai tavoli da gioco, probabilmente vedrai qualcuno che pensa di essere fortunato oggi. Ha vinto più volte di seguito e il suo cervello gli assicura che continuerà a vincere, quindi il giocatore continua a scommettere. Vedrai anche qualcuno che ha appena perso. Anche il cervello del perdente, come quello del vincitore, gli consiglia di continuare il gioco: visto che hai perso tante volte di seguito, significa che ora probabilmente inizierai ad avere fortuna. Sarebbe stupido andarsene adesso e perdere questa occasione.

Ma qualunque cosa ci dica il nostro cervello, non esiste una forza misteriosa che possa fornirci una “serie di fortuna”, né una giustizia universale che possa garantire che il perdente inizi finalmente a vincere. All'universo non importa se vinci o perdi; Per lei tutti i tiri di dado sono uguali.

Non importa quanti sforzi fai per guardare di nuovo il lancio dei dadi, e non importa quanto attentamente osservi i giocatori che pensano di essere stati fortunati, non otterrai assolutamente alcuna informazione sul lancio successivo. Il risultato di ogni lancio è completamente indipendente dalla storia dei lanci precedenti. Pertanto, qualsiasi aspettativa che si possa ottenere un vantaggio guardando la partita è destinata a fallire. Tali eventi, indipendenti da qualsiasi cosa e completamente casuali, sfidano qualsiasi tentativo di trovare schemi, perché questi schemi semplicemente non esistono.

La casualità rappresenta una barriera all’ingegno umano perché dimostra che tutta la nostra logica, tutta la nostra scienza e il nostro ragionamento non possono prevedere completamente il comportamento dell’universo. Non importa quali metodi usi, non importa quale teoria inventi, non importa quale logica applichi per prevedere i risultati di un lancio di dadi, perderai cinque volte su sei. Sempre.

Un complesso di eventi casuali è prevedibile, anche se i singoli eventi non lo sono

La casualità è spaventosa, limita l’attendibilità anche delle teorie più sofisticate e ci nasconde alcuni elementi della natura, non importa con quanta tenacia cerchiamo di penetrarne l’essenza. Tuttavia non si può sostenere che il casuale sia sinonimo di inconoscibile. Questo non è affatto vero.

La casualità obbedisce alle proprie regole e queste regole rendono il processo casuale comprensibile e prevedibile.

La Legge dei Grandi Numeri afferma che, sebbene i singoli eventi casuali siano completamente imprevedibili, un campione sufficientemente ampio di questi eventi può essere abbastanza prevedibile e quanto più grande è il campione, tanto più accurata è la previsione. Un altro potente strumento matematico, i teoremi limite centrale, mostra anche che la somma di un numero sufficientemente grande di variabili casuali avrà una distribuzione vicina alla normale. Con questi strumenti possiamo prevedere gli eventi in modo abbastanza accurato a lungo termine, non importa quanto caotici, strani e casuali possano essere a breve termine.

Le regole del caso sono così potenti da costituire la base delle leggi della fisica più immutabili e immutabili. Sebbene gli atomi in un contenitore di gas si muovano in modo casuale, il loro comportamento complessivo è descritto da un semplice insieme di equazioni. Anche le leggi della termodinamica presuppongono che un gran numero di eventi casuali siano prevedibili; queste leggi sono incrollabili proprio perché il caso è così assoluto.

È ironico che sia proprio l’imprevedibilità degli eventi casuali a darci l’opportunità di fare le nostre previsioni più affidabili.